Loading [MathJax]/jax/output/HTML‐CSS/jax · PDF fileđạt giá trị lớn ... DB = 4,5 cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh ... đường

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Loading [MathJax]/jax/output/HTML‐CSS/jax.js

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốnsách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn.Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng

ký.3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những

chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.

Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vàođường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách incùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tươngứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giảichi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèmđể tiện truy cập.

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

ĐỊNH LÝ TA‐LET

ĐỊNH LÝ TA‐LET ‐HỆ QUẢ ĐỊNH LÝ TA‐LET1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABDvuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giaođiểm của AC và BF. Chứng minh rằng:a. HA = KA.

b. HA2 = HB. KC.

Xem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/470/86122

2. Cho tam giác OBC. Hai đường thẳng m và m' lần lượt qua B và C song song vớinhau và không cắt tam giác OBC. Gọi A là giao điểm của OC và m, D là giao điểm

của OB và m'. Xác định vị trí của m và m' để 1AB

+1CD

đạt giá trị lớn nhất.


3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Một đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, ACtheo thứ tự ở C', B' và cắt tia đối của tia CB ở A'. Chứng minh hệ thức: 1

GA ′ +1

GB ′ =1

GC ′ .


4. Đoạn thẳng AB gấp 5 lần đoạn thẳng CD; đoạn thẳng A’B’ gấp 7 lần đoạnthẳng CD.a. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’.b. Cho biết đoạn thẳng MN = 505 cm và đoạn thẳng M’N’ = 707 cm. So sánh hai

tỉ lệ AB

A ′B ′ và MN

M ′N ′

http://tilado.edu.vn/470/86122




5. Cho các hình vẽ. Tìm độ dài của đoạn thẳng AN; QP, biết các số trong hình cócùng đơn vị đo là cm.


6. Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB.

a. Biết AB = 20 cm,CACB

=23. Tính độ dài CA, CB.

b. Biết CAAB

=mn. Tính tỉ số

CACB

?


7. Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc đoạn thẳng AB, điểm D thuộc tia đối của tia

BA sao cho CACB

=DADB

= 2. Biết CD = 4 cm, tính độ dài AB?


8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắtcác cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Tính FC, biết AE = 4 cm; ED = 2 cm;BF = 6 cm.






9. Cho ΔABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho BDBC

=14. Điểm E thuộc đoạn thẳng

AD sao cho AE = 2ED. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số AKKC

?


10. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy,cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F.

Chứng minh rằng: AEAD

+CFBC

= 1.


11. Cho ΔABC, điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ DE // AC (E ∈ AB); DF // AB (

F ∈ AC). Tính: AEAB

+AFAC

?


12. Cho ΔABC, một đường thẳng song song với cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC lầnlượt tại D và E. Qua C kẻ đường thẳng song song với EB, cắt AB ở F.Chứng minh rằng: AB2 = AD. AF.


13. Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD). Đường thẳng song song với hai






đáy cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N. So sánh các tỉ số:

a. AMAD

và BNBC

.

b. AMMD

và BNNC

.

c. MDDA

và NCCB

.


14. Cho ΔABC (AB < AC), đường phân giác AD (D ∈ BC). Qua trung điểm M củacạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự tại E và K.Chứng minh rằng:a. AE = AKb. BK = EC.


15. Cho ΔABC, A = 900, đường cao AD (D ∈ BC). Từ D kẻ DE⊥AB (E ∈ AB); DF⊥AC (F ∈ AC). Chứng minh khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng AEAB

+AFAC

không thay đổi.


16. G là trọng tâm của ΔABC. Qua G vẽ GD // AB (D ∈ BC); GE // AC (E ∈ BC).

a. Tính tỉ số BDBC

?

b. Chứng minh: BD = DE = EC


17. Cho M là điểm bất kì thuộc miền trong của ΔABC. Tia AM cắt BC tại N. Dựnghình bình hành ADME (D ∈ AB; E ∈ AC).





Chứng minh tổng: ADAB

+AEAC

+MNAN

có giá trị không đổi.


18. Tính độ dài x, y theo a trên hình vẽ, biết DM / /EN / /BC.


19. Cho ΔABC, điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5 cm; DB = 4,5 cm. Tính tỉsố các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.


20. Cho ΔABC, đường cao AH. Đường thẳng d / /BC, cắt các cạnh AB, AC, AH theothứ tự tại B’, C’, H’.

a. Chứng minh rằng: AH ′

AH=B ′C ′

BC.

b. Áp dụng: Cho biết AH ′ =13AH và SΔABC = 67, 5 cm2. Tính SΔAB ′C ′?






21. Cho ΔABC, BC = 15 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI= IH. Qua I và K vẽ các đường EF // MN // BC. (M, E ∈ AB; N, F ∈ AC)a. Tính độ dài các đoạn thẳng MN; EF.

b. Tính SMNFE, biết SΔABC = 270 cm2.


22. Cho hình thang ABCD (AB / /CD). Đường thẳng d / /AB, cắt các cạnh bên vàđường chéo AD; BD; AC; BC theo thứ tự tại các điểm M; N; P; Q.Chứng minh rằng: MN = PQ.


23. Cho hình thang cân ABCD (AB / /CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tạiO. Gọi M; N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Biết MD = 3MO, đáy lớn CD= 5,6 cm. a. Tính MN; AB?b. So sánh MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.


24. Cho hình thang ABCD (AB / /CD). Lấy E trên cạnh AD sao cho AEED

=pq .

Kẻ EF / /CD ; F ∈ BC. Chứng minh rằng: EF =p. CD + q. AB

p + q .


25. Cho hình thang ABCD (AB / /CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho

BE = CD. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với DB, DE. Chứng minh AKKC

=ACCI

.






26. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy

cắt các cạnh bên AD, BC tại M, N sao cho AMMD

=12.

a. Tính tỉ số BNNC

?

b. Cho AB = 8 cm, CD = 17 cm. Tính MN?


27. Cho ΔABC, A = 1200, AB = 3 cm, AC = 6 cm. Tính độ dài đường phân giác AD(D ∈ BC).


28. Cho ΔABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB).a. Chứng minh DE // BC.b. Tính độ dài AB, biết DE = 6 cm, BC = 15 cm.


29. Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theothứ tự tại M, N, K.

a. Chứng minh: DM2 = MN.MK

b. Tính: DMDN

+DMDK

= ?


30. Cho ΔABC, gọi I là trung điểm của AB, E là trung điểm của BI, D thuộc cạnh

AC sao cho CD =13CA. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Tính các tỉ số

BFFD

;EFFC

.








TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦATAM GIÁC

BÀI TẬP LIÊN QUAN31. Cho ΔABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm. Kẻ đường phân giác AD của ^

BAC (D ∈ BC).a. Tính DB, DC?b. Tính tỉ số diện tích của ΔABD và ΔACD


32. Cho ΔABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB).

Tính DBDC

.ECEA

.FAFB

?


33. Cho ΔABC, A = 900, đường phân giác AD (D ∈ BC). Biết DB = 15 cm, DC =20 cm. Tính AB, AC.


34. Cho ΔABC, A = 900, AB = AC = 1 dm, đường phân giác BD (D ∈ AC). TínhAD, DC.


35. Cho ΔABC có AB = 12 cm, AC = 20 cm, BC = 28 cm. Kẻ đường phân giác AD





của ^

BAC (D ∈ BC). Qua D kẻ DE // AB (E ∈ AC).a. Tính BD, DC, DE?

b. Cho biết SΔABC = a cm2. Tính SΔABD ; SΔADE ; SΔDCE?


36. Cho ΔABC, A = 900, AB = 15 cm, AC = 20 cm, đường cao AH (H ∈ BC).

Tia phân giác của ^

HAB cắt HB tại D. Tia phân giác của ^

HAC cắt HC tại E.a. Tính AH.b. Tính DH, HE.


37. Cho ΔABC, AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm các đườngphân giác của ΔABC. Tính BI.


38. Cho ΔABC, A = 900, AB = 21 cm, AC = 28 cm. Đường phân giác AD (D ∈ BC), DE⊥AC (E ∈ AC).a. Tính BD, DC, DE.b. Tính SΔABD; SΔACD ?


39. Cho ΔABC, AB = AC = 15 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác BD (D ∈ AC)a. Tính AD, DC.b. Đường vuông góc với BD cắt đường thẳng AC tại E. Tính EC.


40. Cho ΔABC, các đường phân giác BD và CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Biết






ADDC

=23;AEEB

=56.

Tính các cạnh của ΔABC, biết chu vi của ΔABC bằng 45 cm.


41. Cho ΔABC, AB = 12 cm, AC = 18 cm, đường phân giác AD (D ∈ BC). ĐiểmI thuộc đoạn thẳng AD sao cho AI = 2ID. Gọi E là giao điểm của BI và AC.

a. Tính tỉ số AEEC

.

b. Tính AE, EC.


42. Cho ΔABC, AB = AC = b , BC = a, A = 360

Chứng minh: a2 + ab − b2 = 0.


43. Cho ΔABC, AB = AC, A = 360. Tính ABBC

.


44. Cho ΔABC có AB + AC = 2BC. Gọi I là giao điểm các đường phân giác ΔABCvà G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh IG // BC.


45. Cho ΔABC (AB < AC). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi M, N






lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính ^

CMN, biết ^

BAC = 500.



CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦATA,M GIÁC

TRƯỜNG HỢP CANH‐CẠNH ‐CẠNH46. Cho điểm O nằm trong ΔABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạnthẳng OA, OB, OC.a. Chứng minh: ΔPQR ∼ ΔABCb. Tính chu vi ΔPQR, biết chu vi ΔABC bằng 540 cm.


47. Cho tứ giác ABCD có AB = 3 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, AD = 5 cm, đườngchéo BD = 6 cm. Chứng minh:a. ΔABD ∼ ΔBDCb. Tứ giác ABCD là hình thang.


48. Cho ΔABC, A = 900, AB = 24 cm, BC = 26 cm và ΔIMN, I = 900, IN = 25 cm, MN = 65 cm.Chứng minh: ΔABC ∼ ΔIMN


49. Cho ΔABC, A = 900 và ΔA ′B ′C ′ ,Â ′ = 900. Biết

AB

A ′B ′ =BC

B ′C ′ = 2.

a. Tính AC

A ′C ′ = ?

b. Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′B ′C ′





50. Cho ΔA ′B ′C ′ ∼ ΔABC. Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm và nửa chuvi của ΔA ′B ′C ′ là 30 cm. Tính độ dài các cạnh của ΔA ′B ′C ′ .


51. Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 34 và hiệu hai cạnh tương ứng

của chúng là 2 cm. Tính hai cạnh đó.


52. Cho ΔABC có AB :BC :AC = 4: 5 : 6. Biết ΔDEF ∼ ΔABC và cạnh nhỏ nhấtcủa ΔDEF là 8 cm. Tính các cạnh còn lại của ΔDEF.


53. Cho ΔABC có BC = 9 cm, AC = 6 cm, AB = 4 cm. Gọi ha, hb, hc là chiềucao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tamgiác có ba cạnh bằng ha, hb, hc.


54. Cho ΔABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R, D, H, K theothứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, AB, AC, BC.a. Chứng minh ΔKHD ∼ ΔPQR, tìm tỉ số đồng dạng.b. Tính chu vi ΔPQR, ΔABC, biết chu vi ΔKHD bằng 100 cm.


55. Cho điểm H nằm trong ΔABC. Gọi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các







đoạn thẳng AH, BH, CH. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳngKM, KN, MN.a. Chứng minh ΔFED ∼ ΔABC, tìm tỉ số đồng dạng?b. Biết nửa chu vi của ΔABC là 12 cm. Tính chu vi ΔFED.


56. Cho ΔABC có AB :BC :AC = 2: 5 : 4. Biết ΔDEF ∼ ΔABC và chu vi của ΔDEFlà 55 cm. Tính các cạnh của ΔDEF.


57. Cho ΔABC có BC = a, AC = b, AB = c và a2 = bc. Gọi ha, hb, hc là chiềucao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tamgiác có ba cạnh bằng độ dài các đường cao của ΔABC.


58. Cho ΔABC, A = 900 và ΔA ′B ′C ′ ,Â ′ = 900. Biết

AB

A ′B ′ =BC

B ′C ′ = k

a. Tính AC

A ′C ′

b. Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′B ′C ′

c. Tính tỉ số diện tích của ΔABC và ΔA ′B ′C ′ .


59. Cho ΔABH, H = 900, AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy

điểm C sao cho AC =53AH.

a. Chứng minh: ΔABH ∼ ΔCAH

b. Tính ^

BAC = ?






60. Cho tứ giác ABCD có: ^

BAD = 900,^

CBD = 900, AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9 cm.a. Chứng minh ΔABD ∼ ΔBDCb. Tứ giác ABCD là hình thang vuông.


TRƯỜNG HỢP CẠNH ‐GÓC ‐CẠNH61. Cho ΔABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Trên cạnh AB lấy điểm Msao cho AM = 10 cm, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 8 cm. Tính độ dàiMN.


62. Cho hình thang ABCD (AB / /CD) có AB = 4 cm, CD = 16 cm, BD = 8 cm.

a. Biết ^

BAD = 1300, tính ^

DBC = ?

b. Tính tỉ số ADBC

= ? .


63. Cho ΔABCcó AB = 4 cm. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 2 cm, DC = 6cm.

Biết ^

ACB = 200, tính ^

ABD?


64. Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 900), AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9






cm.Tính độ dài BC.


65. Cho hình bình hành ABCD, A > 900, các đường cao AH, AK (H ∈ CD; K ∈ BC).

So sánh ^

AKH và ^

ACH.


66. Cho ΔABC, AB = 4 cm, BC = 5 cm, AC = 6 cm. Tính tỉ số B

C.


67. Cho hình thoi ABCD có A = 600. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối củacác tia BA, DA theo thứ tự ở E, F. Goi I là giao điểm của DE và BF.

a. So sánh EBBA

và ADDF

.

b. Chứng minh ΔEBD ∼ ΔBDF.

c. Tính ^BID = ? .


68. Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 900), AB = 10 cm, CD = 30 cm, AD =35 cm.

Điểm E nằm trên cạnh AD sao cho AE = 15 cm. Tính ^

BEC?

Xem lời giải tại:







69. Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O, AC = 2AB. Vẽ trung tuyến BE của ΔABO (E ∈ AO). Gọi M là trung điểm của BC.

a. So sánh ^

ABE và ^

ACB.b. Chứng minh EM⊥BD.


70. Cho ΔABC. Đường thẳng d / /BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E sao cho DC2 = BC. DE.a. So sánh ΔDEC và ΔCDB.b. Nêu cách dựng DE.


71. Cho ΔABC và G là điểm thuộc miền trong tam giác, tia AG cắt BC tại K và tiaCG cắt AB tại M. Biết rằng AG = 2GK; CG = 2GM. Chứng minh rằng G là trọngtâm của ΔABC


72. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Biết

AB = 9cm; BD = 12cm; CD = 16cm;^

ADB = 450. Tính ^

BCD ?


73. Cho ΔABC và ΔDEF có B = E; BA = 2, 5DE; BC = 2, 5EF; AC + DF = 49cm.Tính AC và DF.







74. Cho góc xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ox lấy các điểm A và C’ sao cho OA = 4cm; OC ′ = 9cm. Trên tia Oy lấy các điểm A’ và C sao cho OA ′ = 12cm; OC = 3cm. Trên tia Ot lấy các điểm B và B’ sao cho OB = 6cm; OB ′ = 18cm.

a. Chứng minh rằng ΔOAB ∼ ΔOA ′B ′

b. Tính các tỉ số AB

A ′B ′ ;BC

B ′C ′ ;AC

A ′C ′


75. Trên một cạnh của một góc có đỉnh là O, đặt các đoạn thẳng OA = 5cm; OB = 16cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm; OD = 10cm.a. Chứng minh rằng ΔOCB ∼ ΔOAD.b. Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh rằng AI. ID = IB. IC


TRƯỜNG HỢP GÓC ‐ GÓC76. Qua điểm O tùy ý ở trong tam giác ABC kẻ đường thẳng song song với AB,cắt AC và BC ở D và E, đường thẳng song song với AC cắt AB và BC tại F và K,đường thẳng song song với BC cắt AB và AC ở M và N.

Chứng minh rằng: AFAB

+BEBC

+CNCA

= 1.


77. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BI và CK, điểm M thuộc cạnh BC. GọiD và E theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi D' là hình chiếu của Dtrên AC, E' là hình chiếu của E trên AB, H là giao điểm của DD' và EE'. Chứng





minh rằng ba điểm H, K ,I thẳng hàng.


78. Cho tam giác ABC. Qua điểm O thuộc miền trong tam giác kẻ các đườngthẳng DE, FH, MK tương ứng song song với AB, BC, CA (H, K thuộc AB; M, Ethuộc BC; F, D thuộc AC). Gọi A' là giao điểm của AO với BC, B' là giao điểm củaBO với AC, C' là giao điểm của CO với AB. Chứng minh rằng:FHBC

+MKAC

+DEAB

= 2.


79. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Lấy điểm D thuộc cạnh

AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho ^

ADE = B. Gọi G, H theo thứ tự là hình chiếucủa E, D trên BC. Tính tổng DE + EG + DH.


80. Các đáy của một hình thang là a và b (a > b). Hãy xác định độ dài đoạn thẳngsong song với cạnh đáy của hình thang và chia hình thang thành hai phần códiện tích bằng nhau.


81. Giả sử AC là đường chéo lớn nhất trong hình bình hành ABCD. Từ C kẻ CEvuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB) và CF vuông góc với AD (F thuộcđường thẳng AD). Chứng minh rằng:AB. AE + AD. AF = AC2








82. Cho ΔABC có A = 900 và đường cao AH. Từ điểm H hạ đường HK⊥AC (hìnhvẽ)Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu tam giác đồng dạng với nhau.


83. Hình thang ABCD (AB//CD) có

AB = 2, 5cm; AD = 3, 5cm; BD = 5cm;^

DAB =^

DBCa. Chứng minh rằng ΔADB ∼ ΔBCDb. Tính độ dài các cạnh BC, CD


84. Cho ΔABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểmE sao cho DE / /BC.a. Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC và viết tỷ số đồng dạng.b. Nếu BC = 3ED, AB = 6cm tính độ dài của BD.


85. Cho ΔABC trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho ^

ADE =^

ACB. Chứng minh rằng:a. ΔADE ∼ ΔACBb. AD. AB = AE. AC






86. Cho ΔABC có A = 900, dựng AH⊥BC (H ∈ BC). Đường phân giác BE cắt AHtại F.

Chứng minh rằng FHFA

=EAEC

.


87. Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong hình vẽ biết rằng ABCD là hình thang,

AB // CD; AB = 12, 5 cm; CD = 28, 5 cm;^

DAB =^

DBC.


88. Cho hình thang ABCD, (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ACvà BD.a. Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OCb. Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng

minh rằng OHOK

=ABCD


89. Cho ΔABC có cạnh AB = 24 cm; AC = 28 cm đường phân giác của góc A cắtcạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳngAD.

a. Tính tỉ số BMCN





b. Chứng minh rằng AMAN

=DMDN


90. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên

cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của ^

BDE. Chứng minh rằng

BD. CE =BC2

4


91. Cho ΔABC và ΔA ′B ′C ′ biết A +Â ′ = 1800; B =

^B ′ . Chứng minh rằng

AB. A ′B ′ + AC. A ′C ′ = BC. B ′C ′


92. Cho ΔABC có A = 2B = 4C. Chứng minh rằng: 1AB

=1BC

+1AC

.


93. Cho ΔABC có AB = c; BC = a; AC = b; A = 2B. Chứng minh rằng a2 = b2 + bc


94. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BA, BC đặt BP = BQ vẽ BH⊥CP. Chứngminh rằng DH⊥HQ







95. Cho ΔABC đều, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm

Q trên cạnh AC sao cho ^

PMQ = 600. Chứng minh:a. ΔPBM ∼ ΔMCQb. ΔMBP ∼ ΔQMP

c. SMPQSABC

=PQ2BC


96. Cho ΔABC đều, O là trọng tâm của tam giác và điểm M ∈ BC, M không trùngvới trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đườngvuông góc này lần lượt cắt OB và OC taị I và K.a. Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hànhb. Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.


TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG97. Cho ΔABC : A = 900; AC = 9 cm; BC = 24 cm. Đường trung trực của BC cắtđường thẳng AC tại D, cắt BC tại M. Tính độ dài đoạn CD.


98. Cho ΔABC; A = 900; AC = 4 cm; BC = 6 cm. Kẻ Cx⊥BC (tia Cx và điểm Akhác phía so với đường thẳng BC). Trên Cx lấy điểm D sao cho BD = 9 cm. Chứngminh BD / /AC.







99. Cho ΔABC có A = 900; AH⊥BC (H ∈ BC). Chứng minh AH2 = BH. CH.


100. Cho ΔABC có A = 900; AH⊥BC (H ∈ BC); MB = MC (M ∈ BC). Tínhdiện tích ΔAHM biết BH = 4 cm, CH = 9 cm.


101. Cho ΔABH; H = 900 có AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy

điểm C sao cho ACAH

=53.

a. Chứng minh: ΔABH ∼ ΔCAH.

b. Tính ^

BAC?


102. Cho ΔABC có A = 900; AH⊥BC (H ∈ BC), AH = 8 cm, BC = 20 cm. Gọi D làhình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.a. Chứng minh: ΔADE ∼ ΔABC.b. Tính SΔADE ?


103. ΔABC có C = 900; CH⊥AB (H ∈ AB). Trên CH lấy điểm E, qua B kẻ BD⊥AE (D ∈ AE). Chứng minh rằng:

a. AD. AE + BA. BH = AB2

b. AD. AE − HA. HB = AH2


104. Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Gọi E và F theo thứ tự






là hình chiếu của C trên AB và AD. Gọi H là hình hình chiếu của D trên AC. Chứngminh rằng:a. AD. AF = AC. AH

b. AD. AF + AB. AE = AC2


105. Cho ΔABC. Qua D ∈ BC lần lượt kẻ DE / /AC (E ∈ AB); DF / /AB (F ∈ AC).Biết SΔBED = 16 cm2; SΔDFC = 25 cm2. Tính SΔABC ?


106. Cho ΔABC, ba trung tuyến AK, BN, CM cắt nhau tại O. Gọi A1; A2; A3 là bađiểm lần lượt trên AK, BN, CM sao cho

AA1 =13A1K; BB1 =

13B1N; CC1 =

13C1M.

Tính SΔA1B1C1 biết SΔABC = 128 cm2.


107. Cho ΔABC vuông ở A và có đường cao AH, BH = 9cm, CH = 16cm. Tính độdài các cạnh của ΔABC.


108. Cho ΔABC vuông tại A, BC = 20cm; AB = 12cm, AH là đường cao (H ∈ BC).Tính độ dài đoạn CH.


109. Cho ΔABC có A = 900; C = 300 và đường phân giác BD (D ∈ AC).






a. Tính tỉ số ADCD

b. Cho biết độ dài AB = 12, 5cm, tính chu vi của ΔABCc. Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng ΔADB = ΔMDC


110. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, gọi P là trung điểm của BH, Q làtrung điểm của AH. Chứng minh rằng:a. ΔABP ∼ ΔCAQb. AP⊥CQ


111. Cho ΔABC, đường cao AH, kẻ HI⊥AB; HK⊥AC. Chứng minh rằng:a. AH2 = AI. ABb. ΔAIK ∼ ΔACB

c. Đường phân giác của ^

AHB cắt AB tại E. Biết EBAB

=25. Tính

BIAI


112. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BH⊥CM, nối DH, vẽ HN⊥DH(N ∈ BC). Chứng minh rằng:a. ΔDHC ∼ ΔNHBb. ΔMHB ∼ ΔBHCc. NB = MB


113. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm; AB = 8cm và hai đường chéo cắtnhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d⊥DB , d cắt BC tại E.a. Chứng minh rằng: ΔBDE ∼ ΔDCE

b. Kẻ CH⊥DE tại H, chứng minh DC2 = CH. DB





c. Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC.

d. Tính tỷ số SEHCSEDB


114. Cho ΔABC vuông tại A có AH là đường cao, gọi D và E lần lượt là hình chiếuvuông góc của H lên AB, AC.a. Chứng minh rằng ΔAED ∼ ΔABCb. Giả sử SABC = 2SADHE . Chứng minh rằng ΔABC vuông cân tại A.Xem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/475/868182

115. Cho hình thang ABCD có (AB//CD), AB = m; CD = n(n > m), các điểm P, Qlần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ / /AB / /CD; SABQP = SPQCD. Chứng

minh rằng: PQ2 =m2 + n2

2


116. Cho ΔABC cân tại đỉnh A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếuvuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng ΔBIC ∼ ΔAOH.






BÀI TẬP TỔNG HỢP

BÀI TẬP LIÊN QUAN117. Cho tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và

BD cắt nhau tại O và ^

BAC =^

BDC. Chứng minh rằng:a. ΔABO ∼ ΔDCOb. ΔBCO ∼ ΔADO


118. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đườngvuông góc kẻ từ A xuống BD.a. Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCDb. Tính độ dài đoạn thẳng AHc. Tính diện tích ΔAHBXem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/477/869124

119. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ^

ABD =^

ACD. GọiE là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:a. ΔAOB ∼ ΔDOCb. ΔAOD ∼ ΔBOCc. EA. ED = EB. ECXem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/477/869134

120. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phân giác BD.a. Tính độ dài ADb. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, tính độ dài HA, HB.c. I là giao của AH và BD. Chứng minh rằng ΔAID cân.






121. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 36 cm; AC = 48 cm. Đường phân giác AK. Tiaphân giác của B cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và ACtheo thứ tự ở D và E.a. Tính độ dài BK

b. Tính tỉ số AIAK

c. Tính độ dài DE.


122. Cho ΔABC vuông tại A, AB = a; AC = 3a, trên cạnh AC lấy các điểm DE saocho AD = DE = EC.

a. Tính các tỉ số DBDE

;DCDB

b. Chứng minh rằng ΔBDE ∼ ΔCDB

c. Tính tổng ^

AEB +^

ACBd. Tính chu vi ΔBDE


123. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm Othuộc cạnh BC, vẽ OM // CE, ON // BD (M ∈ AB; N ∈ AC), MN cắt BD, CE theothứ tự ở I, K.

a. Gọi H là giao điểm của OM và BD. Tính tỷ số MHMO

b. Chứng minh rằng MI =13MN

c. Chứng minh rằng MI = IK = KN


124. Cho ΔABC, có trực tâm H, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC.Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC.a. Chứng minh rằng ΔOMN ∼ ΔHAB




b. Tính tỉ số OMAH

c. Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh rằng ΔHAG ∼ ΔOMGd. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO


125. Cho ΔABC cân tại A, vẽ các đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB)a. Chứng minh BK = CHb. Chứng minh KH // BCc. Biết BC = a; AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.


126. Cho ΔABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH. DH = BH. EH = CH. FH


127. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM⊥BC; AN⊥CD(M ∈ BC; N ∈ CD).Chứng minh rằng ΔMAN ∼ ΔABC


128. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm.

a. Chứng minh rằng CA2 = CH. CB

b. Kẻ AD là tia phân giác của ^

BAC(D ∈ BC). Tính HD.c. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK⊥BI tại K. Chứng minh rằng

ΔBHK ∼ ΔBICd. Cho AI = 8cm. Tính diện tích ΔBHK.







129. Cho ΔABC vuông tại A, (AB < AC) và trung tuyến AD, kẻ đường thẳngvuông góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.a. Chứng minh ΔDCE ∼ ΔDFBb. Chứng minh AE. AC = AB. AF

c. Đường cao AH của ΔABC cắt EF tại I. Chứng minh rằng SABCSAEF

=ADAI

2


130. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao

cho DM = 2cm. Biết ^

AMB = 900

a. Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tính độ dài MC.

b. Tia phân giác của ^

AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằngEA=EK.

c. Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác góc ^

BMH


131. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H ∈ BC).a. Chứng minh ΔABH ∼ ΔCBAb. Trên tia HC, lấy D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH

cắt AC tại E. Chứng minh CE. CA = CD. CBc. Chứng minh AE = ABd. Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh AH. BM = AB. HM + AM. HB


132. Cho ΔABC nhọn, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên AB, AC, BC. Chứng minhrằng:

( )




a. SADESABC

=AD. AEAB. AC

b. Trong ba tam giác ΔADE; ΔBDF; ΔCEF tồn tại một tam giác có diện tích

không quá 14SABC . Khi nào thì SADE = SBDF = SCEF =

14SABC


133. Cho ΔABC vuông tại A (AB > AC) kẻ đường cao AH.

a. Chứng minh rằng: AB2

BH=AC2

CH

b. Kẻ AD là tia phân giác của ^

BAH(D ∈ BH). Chứng minh ΔACD cân và DH. DC = BD. HC

c. Tính độ dài AH trong trường hợp SABH = 15, 36 cm2 ; SACH = 8, 64 cm2

d. Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH.Chứng minh rằng: CE / /AD.


134. Cho tứ giác ABCD, điểm E ∈ AB, qua E kẻ đường thẳng song song với AC,cắt BC ở F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại G. Qua G kẻ đườngthẳng song song với AC cắt AD ở H.a. Tứ giác EFGH là hình gì?b. Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có điều kiện gì?c. Nếu EFGH là hình chữ nhật thì tính diện tích các tứ giác ABCD, EFGH biết

AC = 45(cm); BD = 30(cm);BEBA

=12


135. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), phân giác BD. Trên tia đối của tia AB lấy

điểm F sao cho ^

ACF =^

ABD . Gọi E là giao điểm của CF và BD.

( ) ( )




a. Chứng minh: ΔBEF ∼ ΔCAFb. Chứng minh: ΔBCF cânc. Đường thẳng qua E, song song với AC cắt BF tại K. Chứng minh: AC2 = 4KF. BK


136. Cho ΔABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi K là hình chiếucủa H lên BC. Chứng minh rằng:a. BH. BD = BK. BCb. CH. CE = CK. CB

c. BH. BD + CH. CE = BC2

d. Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng.


137. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 20(cm); AH = 8(cm). Gọi D làhình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.a. Tứ giác ADHE là hình gì?b. Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABCc. Tính diện tích ΔADE.


138. Cho ΔABC vuông tại A và có đường cao AH.a. Chứng minh rằng: ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC

b. Chứng minh rằng: AB2 = BH. BC, AC2 = CH. BC

c. Biết AB=3, AC=4, SHAC = 32cm2. Tính diện tích của ΔHBA


139. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 6cm; AC = 8cm; đường cao AH.

a. Chứng minh AB2 = BC. BHb. Tính AH





c. Tia phân giác của ^

AHC cắt cạnh AC tại D. Tính diện tích ΔDHC


140. Cho ΔABC và một điểm D trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua D và songsong với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. Nối BGcắt AC tại H; qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minhrằng:a. DA. EG = DB. DE

b. HC2 = HE. HA

c. 1HI

=1BA

+1CG


141. Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Kẻ tia Ax vuônggóc với AE cắt CD tại F. Kẻ trung tuyến AI của ΔAEF và kéo dài cắt CD tại K. QuaE kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng:a. AE = AFb. Tứ giác EGFK là hình thoi.c. ΔFIK ∼ ΔFCEd. EK = BE + DK. Khi E chuyển động trên BC thì chu vi ΔECK không đổi.


142. Cho ΔABC có các đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Các đường thẳng kẻ từB vuông góc với AB và kẻ từ C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minhrằng:a. BHCD là hình bình hành.b. AI.AB = AK.ACc. ΔAIK và ΔACB đồng dạng.d. ΔABC cần có thêm điều kiện gì để đường thẳng DH đi qua A. Khi đó tứ giác

BHCD là hình gì?







143. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC. Từ C hạ các đườngvuông góc CE và CF lần lượt xuống các tia AB, AD. Chứng minh rằng AD. AF + AB. AE = AC2


144. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BCtại D, từ D kẻ DE ⊥ AC (E ∈ AC)a. Tính độ dài BCb. Tính độ dài BD và CDc. Chứng minh: ΔABC ∼ ΔEDC

d. Tính DE. Tính tỉ số SABDSADC


145. Cho hình bình hành ABCD có ^

BAD nhọn. Kẻ BH, CM, CN, DI lần lượt vuônggóc với AC, AB, AD và AC.a. Chứng minh rằng: AH = CIb. Tứ giác BIDH là hình gì?c. Chứng minh rằng: AB.CM = CN.AD

d. Chứng minh rằng: AD. AN + AM. AB = AC2


146. Cho hình thang vuông ABCD có AB // CD (A = D = 900), AB = 2cm; AD =CD = 8cm. Gọi O là trung điểm của AD.a. Tính BC

b. Chứng minh: ^

BOC = 900

c. ΔAOB ∼ ΔDCO; ΔABO ∼ ΔOBC






147. Cho ΔABC đều, qua trung điểm O của BC vẽ ^xOy = 600. Các tia Ox, Oy cắt

các cạnh AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng:a. ΔBOM ∼ ΔCNO

b. 4BM. CN = BC2

c. ΔBOM ∼ ΔONM, OM là phân giác của ^

BMN.

d. ON2 = CN. NMXem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/477/869504

148. Cho ΔABC(AB < AC), đường phân giác AD. Qua điểm M là trung điểm củaBC kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và K. Chứngminh rằng:a. AE = AKb. BE = CKc. CA.MK = BE. ADXem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/477/869514

149. Cho ΔABC cân ở A, đường phân giác BD. Có BC = 5cm; AC = 20cm.a. Tính độ dài AD, DCb. Tính độ dài BD.Xem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/477/869534

150. Cho hình thang vuông ABCD A = D = 900 , M là trung điểm của AD và

^BMC = 900. Biết AD = 2a. Chứng minh rằng:

a. AB. CD = a2

b. ΔMAB ∼ ΔCMB

c. BM là tia phân giác của ^

ABCXem lời giải tại:

( )







151. Cho ΔABC có AB = 15cm; AC = 21cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 7cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm. Chứng minh rằng:a. ΔABD ∼ ΔACEb. ΔIBE ∼ ΔICD. Trong đó I là giao điểm của BD và CEc. IB. ID = IC. IEXem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/477/869564

152. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên

cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của góc ^

BDE. Chứng minh rằng:

a. EM là tia phân giác của ^

CEDb. ΔBDM ∼ ΔCME

c. BD. CE = MB2





Documents

Loading [MathJax]/jax/output/HTML‐CSS/jax · PDF fileđạt giá trị lớn ... DB = 4,5 cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh ... đường