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UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA
PROF. ADILANDRI MERCIO LOBEIRO (UTFPR-CM-COINF).DISCIPLINAS: EA32F, ED3XA, ED3XB, EL32B
EQUACOES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS
CAMPO MOUR AO
2011/2
Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada e quecorrespondem aos livros textos deste Curso. Sugere-se a sua aquisicao.O unico objetivo destas notase facilitar as atividades dos alunos em salade aula, pois nao precisarao anotar conteudos e enunciados de exercı-cios. De forma que o aluno tem um maior conforto em sala de aulae oprofessor podera explicar os temas de forma mais rapida. De nenhumamaneira a leitura ou consulta da bibliografia esta descartada, istoe deverdo aluno.
P.ALunoAtendimento Quinta Sexta
Horarios 18:40-20:20 18:40-20:20
ProvasEventos EL32B EA32F ED3XB ED3XA
Primeira Prova 01/09/11 09/09/11 09/09/11 09/09/11Segunda Prova 19/10/11 21/10/11 21/10/11 21/10/11Terceira Prova 30/11/11 25/11/11 25/11/11 25/11/11Reavaliacao 08/12/11 08/12/11 08/12/11 08/12/11
SUMARIO
1 INTRODUCAO AS EQUACOES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4INTRODUC AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 TERMINOLOGIA E DEFINICOES BASICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Classificacao pelo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Classificacao pelo Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 61.1.3 Classificacao como Linear e Nao-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Solucoes Explıcitas e Implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82 PROBLEMA DE VALOR INICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13INTRODUC AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133 CLASSIFICAC AO DAS EDO DE PRIMEIRA ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1 QUADRATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 VARIAVEIS SEPARAVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 183.3 EQUACOES HOMOGENEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 233.3.1 Equacoes Homogeneas de ClasseA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Equacoes Homogeneas de ClasseB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.3 Equacoes Homogeneas de ClasseC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.4 Equacoes Homogeneas de ClasseD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.5 Equacoes Homogeneas de ClasseG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 EQUACOES EXATAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 363.5 EQUACOES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 403.6 EQUACAO DE BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 443.7 EQUACAO DE RICATTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 453.8 EQUACAO DE CLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 463.9 EQUACAO DE D’ALEMBERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 474 APLICAC OES DE EQUACOES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 504.2 MEIA-VIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 CRONOLOGIA DO CARBONO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 514.4 RESFRIAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 PROBLEMAS DE MISTURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 524.6 CIRCUITOS EM SERIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 525 EQUACOES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR . . . . . . . . . . . 54INTRODUC AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 545.1 TEORIA PRELIMINAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.1 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2 Dependencia Linear e Independencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.3 Solucoes Para Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 61Equacoes Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 61
Princıpio de Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 62Solucoes Linearmente Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Equacoes Nao-Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 65Funcao Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 CONSTRUINDO UMA SEGUNDA SOLUCAO A PARTIR DE UMA SOLUCAO
CONHECIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Reducao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 EQUACOES LINEARES HOMOGENEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES 70Equacao Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Equacao de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 OPERADORES DIFERERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 76Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Equacoes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Operador Anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR ANULADORES . . . 81Resumo do Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6 VARIACAO DOS PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .845.6.1 Resolucao de Equacoes Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 845.6.2 Equacoes de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 86REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4
1 INTRODUCAO AS EQUACOES DIFERENCIAIS
As palavras equacao e diferencial sugerem certamente algum tipo de equacao que envolve
derivadas. Da mesma forma que um curso dealgebra e trigonometria, nos quais um bom tempo
e gasto na resolucao de equacoes comox2 +5x+4 = 0 para a incognitax, neste curso uma de
nossas tarefas sera resolver equacoes diferenciais comoy′′+2y′+y= 0 para a funcao incognita
y = φ(x).
O primeiro paragrafo acima nos fala algo, mas nao tudo, sobre o curso que voce esta prestes
a comecar. No decorrer do curso, voce vera que ha mais no estudo de equacoes diferenciais que
tao somente o domınio de metodos idealizados por alguem para resolve-las. Mas, em primeiro
lugar, para ler, estudar e familiarizar-se com esse assuntotao especializado,e necessario conhe-
cer algumas definicoes e terminologias basicas sobre o mesmo (ZILL DENNIS G; CULLEN,
2006).
1.1 TERMINOLOGIA E DEFINICOES BASICAS
No curso de calculo, voce aprendeu que, dada uma funcaoy = f (x), a derivada
dydx
= f ′(x)
e tambem, ela mesma, uma funcao dex e e calculada por regras apropriadas. Por exemplo, se
y = ex2, entao
dydx = 2xex2
ou dydx = 2xy
O problema com o qual nos deparamos neste curso nao e: dada uma funcao y = f (x)
encontre sua derivada. Nosso problemae: dada uma equacao comodydx
= 2xy, encontre, de
algum modo, uma funcao y = f (x) que satisfaca a equacao. O problemae mais ou menos
equivalente ao familiar problema inverso do calculo diferencial: dada uma derivada, encontrar
uma antiderivada. Em outras palavras, nos queremos resolver equacoes diferenciais.
Definicao 1.1 (Equacao Diferencial) Uma equacao que contem as derivadas ou diferenciais
5
de uma ou mais variaveis dependentes, em relacao a uma ou mais variaveis independentes,e
chamada deequacao diferencial (ED).
Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equacoes diferenciais portipo, ordem e
linearidade.
1.1.1 Classificacao pelo Tipo
Se uma equacao contiver somente derivadas ordinarias de uma ou mais variaveis depen-
dentes em relacao a umaunica variavel independente, ela sera chamada deequacao diferencial
ordin aria (EDO). Por exemplo,
dydt
−5y = 1
d2ydx2 −2
dydx
+6y = 0
(y−x)dx+4xdy = 0dudx
− dvdx
= x
(1.1.1)
sao equacoes diferenciais ordinarias.
Uma equacao que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaveis dependentes de
duas ou mais variaveis independentese chamada deequacao diferencial parcial (EDP). Por
exemplo,∂u∂y
= −∂v∂x
x∂u∂x
+y∂u∂y
= u
∂ 2u∂x2 =
∂ 2u∂ t2 −2
∂u∂ t
(1.1.2)
sao equacoes diferenciais parciais.
As derivadas ordinarias serao escritas ao longo deste texto como a notacao de Leibnizdydx
,
d2ydx2 ,
d3ydx3 , · · · ou com a notacao linhay′, y′′, y′′′, · · · . Usando aultima notacao, podemos
escrever as duas primeiras equacoes diferenciais em (1.1.1) um pouco mais compactamente
como y′ − 5y = 1 e y′′ − 2y′ + 6y = 0. Na realidade, a notacao linhae usada somente para
denotar as tres primeiras derivadas; a quarta derivadae escrita comoy(4), em vez dey′′′′
. Em
geral, an-esima derivadae escrita comodnydxn ou y(n). Embora seja menos conveniente para
escrever e imprimir, a notacao de Leibniz tem, sobre a notacao linha, a vantagem de explicitar
claramente as variaveis dependentes e independentes. Por exemplo, na equacaod2xdt2
+16x = 0
ve-se imediatamente que o sımbolo x representa uma variavel dependente et, uma variavel
6
independente. Derivadas parciais sao frequentemente denotadas por umanotacao em subscrito
indicando as variaveis independentes. Por exemplo, com a notacao em subscrito, a terceira
equacao em (1.1.2) torna-seuxx = utt −2ut .
1.1.2 Classificacao pelo Ordem
A ordem de uma equacao diferencial (EDO) ou (EDP)e a ordem da maior derivada na
equacao. Por exemplo,d2ydx2 +5
(dydx
)3
−4y = ex
e uma equacao diferencial ordinaria de segunda ordem (ou de ordem dois). Como a equacao
diferencial(y−x)dx+4xdy= 0 pode ser escrita na forma
4xdydx
+y = x
dividindo-se pela diferencialdx, trata-se entao de uma equacao diferencial ordinaria de primeira
ordem. A equacao
a2∂ 4u∂x4 +
∂ 2u∂ t2 = 0
e uma equacao diferencial parcial de quarta ordem.
Embora as equacoes diferenciais parciais sejam muito importante, seu estudo demanda um
bom conhecimento da teoria de equacoes diferenciais ordinarias. Portanto, na discussao que se
segue, limitaremos nossa atencaoas equacoes diferenciais ordinarias.
Uma equacao diferencial ordinaria geral den-esima ordeme frequentemente representada
pelo simbolismo
F
(
x,y,dydx
, · · · , dnydxn
)
= 0
ondex e a variavel independente.
Por exemplo,F em 4xdydx
+y = x ficaF
(
x,y,dydx
)
= 4xdydx
+y−x = 0
1.1.3 Classificacao como Linear e Nao-Linear
Uma equacao diferenciale chamada delinear quando pode ser escrita na forma
an(x)dnydxn +an−1(x)
dn−1ydxn−1 + · · ·+a1(x)
dydx
+a0(x)y = g(x)
Observe que as equacoes diferenciais lineares sao caracterizadas por duas propriedades:
7
• A variavel dependentey e todas as suas derivadas sao do primeiro grau: istoe, a potencia
de cada termo envolvendoy e 1.
• Cada coeficiente depende apenas da variavel independentex.
Uma equacao que naoe lineare chamada denao-linear.
As equacoes
xdy+ydx = 0
y′′−2y′ +y = 0
x3d3ydx3 −x2d2y
dx2 +3xdydx
+5y = ex
sao equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira, segunda e terceira ordens, respectiva-
mente. Por outro lado,
yy′′−2y′ = x ed3ydx3 +y2 = 0
sao equacoes diferenciais ordinarias nao-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Como mencionado antes, nosso objetivo neste cursoe resolver ou encontrar solucoes para
equacoes diferenciais.
Definicao 1.2 (Solucao para uma Equacao Diferencial) Qualquer funcao f definida em al-
gum intervalo I, que, quando substituıda na equacao diferencial, reduz a equacao a uma iden-
tidade,e chamada desolucaopara a equacao no intervalo.
Em outras palavras, uma solucao para uma equacao diferencial ordinaria
F(x,y,y′, · · · ,y(n)) = 0
e uma funcao f que possui pelo menosn derivadas e satisfaz a equacao; istoe,
F(x, f (x), f ′(x), · · · , f (n)(x)) = 0
para todox no intervaloI .
Exemplo 1.1 Verifique se y=x4
16e uma solucao para a equacao nao-linear
dydx
−xy1/2 = 0
no intervalo(−∞,+∞).
8
Exemplo 1.2 Verifique se y= xex e uma solucao para a equacao linear
y′′−2y′ +y = 0
no intervalo(−∞,+∞).
Note que, nos exemplos(1.1) e (1.2), a funcao constantey = 0 tambem satisfaz a equacao
diferencial dada para todox real. Uma solucao para uma equacao diferencial quee identica-
mente nula em um intervaloI e em geral referida comosolucao trivial .
Nem toda equacao diferencial que escrevemos possui necessariamente uma solucao.
Exemplo 1.3 As equacoes diferenciais de primeira ordem
(dydx
)2
+1 = 0 e (y′)2 +y2 +4 = 0
nao possuem solucao. Por que? A equacao de segunda ordem
(y′′)2 +10y4 = 0
posuui somente uma solucao real. Qual?
1.1.4 Solucoes Explıcitas e Implıcitas
Voce deve estar familiarizado com as nocoes de funcoes explıcitas vistas em seu estudo
de calculo. Similarmente, solucoes de equacoes diferenciais sao divididas em explıcitas ou
implıcitas. Uma solucao para uma equacao diferencial ordinaria (EDO) que pode ser escrita na
formay = f (x) e chamada de solucao explıcita. Vimos em nossa discusao inicial quey = ex2
e uma solucao explıcita dedydx
= 2xy. Nos exemplos(1.1) e (1.2), y =x4
16e y = xex sao
solucoes explıcitas dedydx
= xy1/2 ey′′−2y′+y= 0, respectivamente. Dizemos que uma relacao
G(x,y) = 0 e uma solucao implıcita de uma equacao diferencial em um intervaloI , se ela define
uma ou mais solucoes explıcitas emI .
Exemplo 1.4 Verifique que para−2< x< 2, a relacao x2+y2−4= 0 e uma solucao implıcita
para a equacao diferencialdydx
= −xy
9
Al em disso, note que qualquer relacao da formax2 + y2 − c = 0 satisfaz, formalmente,dydx
= −xy
para qualquer constantec. Porem, fica subentendido que a relacao deve sempre fazer
sentido no sistema dos numeros reais; logo, nao podemos dizer quex2 + y2 +1 = 0 determina
uma solucao da equacao diferencial.
Como a distincao entre uma solucao explıcita e uma solucao implıcita e intuitivamente
clara, nao nos daremos ao trabelho de dizer “aqui temos uma solucao explıcita (implıcita)”.
Numero de Solucoes - Voce deve se acostumar com o fato de que uma dada equacao
diferencial geralmente possui um numero infinito de solucoes.
Exemplo 1.5 Verifique que para qualquer valor de c, a funcao y=cx
+ 1 e uma solucao da
equacao diferencial de primeira ordem
xdydx
+y−1 = 0
no intervalo(0,+∞).
Em alguns casos, quando somamos duas solucoes de uma equacao diferencial, obtemos
uma outra solucao.
Exemplo 1.6 a) Verifique se as funcoes y1 = c1cos4x e y2 = c2sin4x, em que c1 e c2 sao
constantes arbitrarias, sao solucoes para equacao diferencial
y′′+16y = 0.
b) Verifique se a soma das duas solucoes da parte(a), ou seja, y3 = c1cos4x+ c2sin4x,
tambeme uma solucao para y′′+16y = 0.
Observacao 1.1 Nem sempre a soma de duas solucoes de uma EDOe uma solucao da EDO.
Para exemplificar isto, basta tomar no exemplo(1.5), c1 e c2 numeros reais diferentes de zero.
Exemplo 1.7 Verifique se
y1 = c1ex , y2 = c2e−x e y3 = c1ex +c2e−x,
sao todas solucoes da equacao diferencial linear de segunda ordem
y′′ −y = 0.
10
O proximo exemplo mostra que uma solucao de uma equacao diferencial pode ser uma
funcao definida por partes.
Exemplo 1.8 a) Verifique que qualquer funcao da famılia y = cx4 e uma solucao para a equacao
diferencial
xy′−4y = 0.
b) Verifique se a funcao definida por partes
y =
{
−x4 se x< 0
x4 se x≥ 0,
tambeme uma solucao.
Observacao 1.2 Observe que a funcao y=
{
−x4 se x< 0
x4 se x≥ 0nao pode ser obtida por in-
termedio de umaunica escolha do parametro c, na famılia de funcoes y= cx4 a um parametro.
Mais Teminologia - O estudo de equacoes diferenciaise semelhante ao calculo integral.
Quando calculamos uma antiderivada ou integral indefinida,utilizamos umaunica constante
de integracao. De maneira analoga, quando resolvemos uma equacao diferencial de primeira
ordemF(x,y,y′) = 0, normalmente obtemos uma famılia de curvas ou funcoesG(x,y,c) = 0,
contendo um parametro arbitrario tal que cada membro da famılia e uma solucao da equacao di-
ferencial. Na verdade, quando resolvemos uma equacao den-esima ordemF(x,y,y′, · · · ,y(n)) =
0, em quey(n) significad(n)ydxn , esperamos umafamılia a n-parametros de solucoes
G(x,y,c1, · · · ,cn) = 0.
Uma solucao para uma equacao diferencial que nao depende de parametros arbitrariose chamada
de solucao particular . Uma maneira de obter uma solucao particulare escolher valores es-
pecıficos para o(s) parametro(s) na famılia de solucoes. Por exemplo,e facil ver quey = cex
e uma famılia a um parametro de solucoes para a equacao de primeira ordemy′ = y. Para
c = 0,−2e5, obtemos as solucoes particularesy = 0, y = −2ex e y= 5ex, respectivamente.
As vezes, uma equacao diferencial possui uma solucao que nao pode ser obtida especifican-
do-se os parametros em uma famılia de solucoes. Tal solucaoe chamada desolucao singular.
Por exemplo, provaremos no futuro proximo que uma famılia a um parametro de solucoes para
y′ = xy1/2 e dada pory =
(x2
4+c
)2
, quandoc = 0, a solucao particular resultantee y =x4
16.
11
Neste caso, a solucao trivialy = 0 e uma solucao singular para a equacao, pois ela nao pode ser
obtida da famılia atraves de uma escolha do parametroc.
Revisao - Classificamos uma equacao diferencial quanto ao tipo:ordin aria ou parcial;
quantoaordem; e quantoa linearidade:linear ounao-linear.
Umasolucao para uma equacao diferenciale qualquer funcao relativamente diferenciavel
que satisfaca a equacao em algum intervalo.
Quando resolvemos uma equacao diferencial ordinaria den-esima ordem, esperamos en-
contrar uma famılia de solucoes an-parametros. Umasolucao particular e qualquer solucao,
nao dependente de parametros, que satisfaca a equacao diferencial. Umasolucao singular e
qualquer solucao que nao pode ser obtida da famılia de solucoes an-parametros atraves de
escolha dos parametros. Quando uma famılia de solucoes an-parametros fornece todas as
solucoes para uma equacao diferencial em algum intervalo, elae chamada solucao geral, ou
completa.
Exercıcio 1.1 Classifique as equacoes diferenciais dizendo se elas sao lineares ou nao-lineares.
De tambem a ordem de cada equacao,
1. (1−x)y′′−4xy′ +5y = cosx;
2. yy′ +2y = 1+x2;
3. x3y(4)−x2y′′ +4xy′−3y = 0;
4.dydx
=
√
1+
(d2ydx2
)2
;
5. (sinx)y′′′− (cosx)y′ = 2;
Exercıcio 1.2 Verifique se a funcao dadae uma solucao para a equacao diferencial. (c1 e c2
sao constantes).
1. 2y′ +y = 0; y = e−x/2
2.dydx
−2y = e3x; y = e3x +10e2x
3. y′ = 25+y2; y = 5tan5x
4. y′ +y = sinx; y =12
sinx− 12
cosx+10e−x
12
5. x2dy+2xydx= 0; y = − 1x2
6. y′− 1x
y = 1; y = xlnx, x > 0
7. y′′−6y′ +13y = 0; y = e3xcos2x
8. xd2ydx2 +2
dydx
= 0; y = c1 +c2x−1
9. x2y′′−3xy′ +4y = 0; y = x2 +x2 lnx, x > 0
10. y′′′−3y′′ +3y′−y = 0; y = x2ex
Exercıcio 1.3 Verifique se a funcao definida por partes y=
{
−x2 se x< 0
x2 se x≥ 0e solucao para
a equacao diferencial xy′−2y = 0.
Exercıcio 1.4 Verifique que uma famılia a um parametro de solucoes para
y = xy′ +(y′)2 e y= cx+c2.
Determine um valor de k para que y= kx2 seja uma solucao singular para a equacao diferen-
cial.
Exercıcio 1.5 Encontre valores de m para que y= emx seja uma solucao para equacao difer-
encial
y′′−5y′ +6y = 0.
Exercıcio 1.6 Mostre que y1 = x2 e y2 = x3 sao ambas solucoes para
x2y′′−4xy′ +6y = 0.
As funcoes c1y1 e c2y2, com c1 e c2 constantes arbitrarias, sao tambem solucoes? A soma
y1 +y2 e uma solucao?
13
2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Estamos interessados em resolver equacoes de primeira ordem que podem ser escritas na
formadydx
= f (x,y)
sujeitaa condicao inicialy(x0) = x0, em quex0 e um numero no intervaloI e y0 e um numero
real arbitrario. O problema
Resolva:dydx
= f (x,y)
Su jeita a : y(x0) = y0
(2.0.1)
e chamado deproblema de valor inicial PVI . Em termos geometricos, estamos procurando
uma solucao para a equacao diferencial, definida em algum intervaloI tal que o grafico da
solucao passe por um(x0,y0) determinado a priori.
Exemplo 2.1 Vimos que y= cex e uma famılia de solucoes paradydx
= y no intervalo(−∞,∞).
Encontre uma solucao para o problema de valor inicial (PVI).
dydx
= y
y(0) = 3.
A questao fundamental surge quando consideramos um problema de valor inicial como
(2.0.1):
Existe uma solucao para o problema?
Se existe uma solucao, elae unica?
Em outras palavras, a equacao diferencialdydx
= f (x,y) possui uma solucao cujo grafico
passa pelo ponto(x0,y0)? E sera que essa solucao, se existir,e unica?
Exemplo 2.2 Verifique se cada uma das funcoes y= 0 e y=x4
16satisfaz o problema de valor
14
inicial (PVI).
dydx
= xy1/2
y(0) = 0.
Em geral, deseja-se saber, antes de considerar um problema de valor inicial, se uma solucao
existe e, quando existe, see aunica solucao para o problema.
Teorema 2.1 (Existencia de umaUnica Solucao - Teorema de Picard)Seja R uma regiao re-
tangular no plano xy definida por a≤ x ≤ b, c≤ y ≤ d, que contem o ponto(x0,y0) em seu
interior. Se f(x,y) e∂ f∂y
sao contınuas em R, entao existe um intervalo I centrado em x0 e uma
unica funcao y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
dydx
= f (x,y)
y(x0) = y0
. (2.0.2)
Exemplo 2.3 Use o teorema(2.1) para verificar a existencia de umaunica solucao para o
problema de valor inicial(PVI)
dydx
= xy1/2
y(x0) = y0
.
Exemplo 2.4 Use o teorema(2.1) para garantir a existencia de umaunica solucao para o
problema de valor inicial(PVI)
dydx
= y
y(0) = 3.
Exemplo 2.5 Use o teorema(2.1) para garantir a existencia de umaunica solucao para o
problema de valor inicial(PVI)
dydx
= x2 +y2
y(x0) = y0
.
Observacao 2.1 Devemos estar cientes da distincao entre a existencia de uma solucao e poder
exibir tal solucao. Evidentemente, se encontrarmos uma solucao exibindo-a, podemos dizer
15
que ela existe, mas, por outro lado, uma solucao pode existir e nao ser possıvel expressa-la.
Pelo exemplo (2.5), sabemos que uma solucao para o problema
dydx
= x2 +y2
y(0) = 1,
existe em algum intervalo em torno de x= 0 eeunica. Porem, a equacao nao pode ser resolvida
em termos de funcoes elementares.
Exercıcio 2.1 Determine uma regiao do plano xy para a qual a equacao diferencial teria uma
unica solucao passando por um ponto(x0,y0) na regiao.
1.dydx
= y2/3;
2. xdydx
= y ;
3. (4−y2)y′ = x2;
4. (x2 +y2)y′ = y2;
5.dydx
= x3cosy;
Exercıcio 2.2 Verifique que y= cx e uma solucao para a equacao diferencial xy′ = y para
todo valor do parametro c. Encontre pelo menos duas solucoes para o problema de inicial{
xy′ = y
y(0) = 0. Observe que a funcao definida por partes y=
{
0 se x< 0
x se x≥ 0satisfaz a
condicao y(0) = 0. Ela e uma solucao para o problema de valor inicial?
Exercıcio 2.3 Verifique se o Teorema(2.1) garante unicidade de solucao para a equacao difer-
encial y′ =√
y2−9, passando pelo ponto dado.
1. (1,4)
2. (2,−3)
16
3 CLASSIFICAC AO DAS EDO DE PRIMEIRA ORDEM
Apresentadas todas as terminologias necessarias, estamos agora aptos para estudar algumas
das equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem segundo a classificacao dosoftware
Maple 12e resolve-las.
Se uma equacao diferencial de primeira ordem puder ser resolvida, veremos que a tecnica
ou metodo para resolve-la depende do tipo da equacao de primeira ordem com que estamos
lidando. Durante anos, muitos matematicos se esforcaram para resolver diversos tipos particula-
res de equacoes. Por isso, ha varios metodos de solucao: o que funciona para um tipo de equacao
de primeira ordem nao se aplica necessariamente a outros tipos de equacao (MALUMBRES,
1996).
Estudaremos alguns tipos de EDO de primeira ordem mostrado na Figura (1), conforme a
classificacao dosoftwareMaple 12, ou versoes superiores.
Figura 1: EDO de primeira ordem.
Iniciaremos nossos estudos com o tipo “Quadrature”.
3.1 QUADRATURA
Comecamos nosso estudo sobre a resolucao de equacoes diferenciais de primeira ordem
F
(
x,y,dydx
)
= 0 (3.1.1)
17
que pode ser escrita na forma explıcita
dydx
= f (x,y) (3.1.2)
com a mais simples dentre todas as equacoes diferenciais, aquela ondef e independente da
variavely, isto e, f (x,y) = h(x). De (3.1.2), temos:
dydx
= h(x) . (3.1.3)
Resolver esta equacao consiste em encontrar uma funcao cuja derivada sejah(x), isto e, encon-
trar a primitiva (integral indefinida) deh(x).
Integrando ambos os lados de (3.1.3), ou ainda, usando o primeiro teorema fundamental do
calculo, obtemos
y(x) =∫
h(x)dx= H(x)+c
A funcaoy dada desta formae a solucao geral da equacao (3.1.3). Geometricamente, a primitiva
e a equacao de uma famılia de curvas e uma solucao particulare a equacao de uma dessas curvas.
Estas curvas sao denominadas curvas integrais da equacao diferencial. Sef e independente da
variavelx, isto e, f (x,y) = g(y), resolvemos de maneira analoga, veja .
Definicao 3.1 (Equacao Quadratura) Uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordem
da formadydx
= h(x) (3.1.4)
oudydx
= g(y) (3.1.5)
e chamada de quadratura.
Exemplo 3.1 Vamos encontrar a solucao da quadratura,dydx
= 2x.
Exemplo 3.2 Considere a equacao
dydx
= y2−4 , (3.1.6)
classificada como quadratura. Vamos encontrar a sua solucao.
Exercıcio 3.1 (Quadratura) Ache a solucao geral das equacoes diferenciais dadas.
1.dydx
= sinx;
18
2.dydx
= 1+e2x;
3.2 VARIAVEIS SEPARAVEIS
Considerando a equacao diferencial de 1a ordem
dydx
= f (x,y) (3.2.1)
podemos escrever a funcao f = f (x,y) como o quociente de duas outras funcoes, a saber,M =
M(x,y) eN = N(x,y), logo:dydx
=M(x,y)N(x,y)
E conveniente manter o sinal negativo no segundo membro da equacao, na forma:
dydx
= −M(x,y)N(x,y)
assim podemos escrever a equacao (3.2.1) na forma diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (3.2.2)
Exemplo 3.3 Escreva as equacoes diferenciais a seguir na forma diferencial.
1.dydx
= cos(x+y)
2.dydx
=x−3y2y−5x
O problema de resolver equacoes diferenciais de 1a ordem depende da solucao da equacao
(3.2.1) ou da solucao da equacao(3.2.2).
SeM e uma funcao apenas da variavel x, isto e, M = M(x) e N e uma funcao apenas da
variavely, isto eN = N(y), entao a equacao(3.2.2) fica na forma
M(x)dx+N(y)dy = 0 (3.2.3)
e elae chamada equacao separavel.
Definicao 3.2 (Equacao Separavel) Uma equacao diferencial de primeira ordem da forma
dydx
= f (x)g(y) (3.2.4)
e chamada de separavel ou de variaveis separaveis.
19
Metodo de solucao: Para resolver a equacao (3.2.4), devemos considerar os seguintes
casos:
a) Se g(y) = a, ondea e constante, temos uma EDO separavel quee, em particular, uma
quadratura. Temos da equacao (3.2.4) que
dydx
= a f(x) . (3.2.5)
Para obter a solucao basta observar como resolvemos (3.1.4). Para reforcar oentendi-
mento veja o exemplo (3.1).
b) Se f (x) = b, ondeb e constante, temos uma EDO separavel quee, em particular, uma
quadratura conforme(3.1.5). Da equacao (3.2.4), temos
dydx
= bg(y). (3.2.6)
Nesta situacao vamos considerar dois casos:
(i) g(y) 6= 0;
Ao considerarmosg(y) 6= 0, obtemos:
1g(y)
dydx
= b∫
dyg(y)
= b∫
dx∫
dyg(y)
= bx+c,
quee a solucao da equacao.
(ii) g(y) = 0.
Seg(y) = 0 significa que existey0 tal queg(y0) = 0. Logo a solucaoey0 = c, onde
c e constante. De fato,
ddx
(y0) = 0 = b·0 = bg(y0).
Concluımos quey0 e uma solucao singular.
c) Se nemf e nemg forem constantes temos uma equacao de variavel separavel. Para resolver-
mos consideraremos dois casos:
Caso 1: g(y) 6= 0;
20
Se para todoy temosg(y) 6= 0. Podemos escrever a equacao (3.2.4) da forma
1g(y)
dydx
= f (x).
Ao calcularmos a integral∫
dyg(y)
=∫
f (x)dx+c .
obtemos a solucao.
Caso 2: g(y) = 0.
Se existey0 tal queg(y0) = 0. Temos quey0 = c, ondec e constante,e solucao. De
fato,ddx
(y0) = 0 = f (x) ·0 = f (x) ·g(y0).
Observacao 3.1 Uma equacao diferencial de primeira ordem da forma
dydx
= f (x)g(y) ,
e chamada de separavel ou de variaveis separaveis.
a) Se g(y) = a, onde ae constante, temos uma EDO separavel quee, em particular, uma
quadratura.
b) Se f(x) = b temos uma situacao analoga ao item anterior;
c) Se nem f e nem g forem constantes temos uma equacao de variavel separavel.
Observacao 3.2 1. Como este metodo depende de escrevermos(3.2.1) ou (3.2.2) na forma
(3.2.3), onde as variaveis estao “separadas” em dois termos, elee chamado de Metodo
de Separacao de Variaveis, e as variaveis sao ditas separaveis.
2. Nao se deve memoriar a formula obtida no final. O que fizemos aqui foi mostrar o cami-
nho que deve ser seguido para resolver uma “equacao separavel”.
3. Nao ha necessidade de usar duas constantes na integracao de uma equacao separavel,
pois ∫
N(y)dy+c1 =∫ −M(x)dx+c2
∫
N(y)dy =∫ −M(x)dx+c2−c1
∫
N(y)dy =∫ −M(x)dx+c
21
Apresentaremos agora alguns exemplos para melhor entendimento.
Exemplo 3.4 Considere a EDOdydx
= x(y−1).
Vamos encontrar sua solucao.
Exemplo 3.5 (Equacao Separavel) Encontre a solucao
1. Da equacao diferencial xy4dx+(y2 +2)e−3xdy = 0 .
2. Do PVI
dydx
=−xy
y(4) = 3.
Exercıcio 3.2 1. Encontre a solucao geral da
dydx
=x2 +12−y
(3.2.7)
2. Determine a solucao particular para a qual y(−3) = 4.
Exercıcio 3.3 Resolva a xdydx
−y = 2x2y
Exercıcio 3.4 Resolva a xe−ysinxdx−ydy= 0
Nem sempre, no entanto, essa situacao privilegiada ocorre, istoe, nem sempre podemos
separar as variaveis. Por exemplo, nao existe nenhuma maneira atraves da qual a equacao
dydx
=x−3y2y−5x
pode ser escrita na forma(3.2.3). Nestes casos, somos obrigados a usar outros metodos. A
procura de tais metodose nosso objetivo neste capıtulo. As vezes, o fato de uma equacao ser
“separavel” naoe taoobvio.
Dois pontos devem ser mencionados neste instante. Primeiro, a menos que seja importante
ou conveniente, nao ha necessidade de tentar resolvery como funcao dex em uma expressao
que representa uma famılia de solucoes. Segundo, deve-se estar atentoa separacao de variavel
para ter certeza de que os divisores nao sao nulos. Uma solucao constante pode facilmente ser
esquecida no embaralhamento do processo de resolucao para o problema.
22
Exemplo 3.6 Resolva o problema de valor inicial(PVI)
dydx
= y2−4
y(0) = −2
Exemplo 3.7 Resolva o problema de valor inicial(PVI)
dydx
= xy1/2
y(0) = 0
Exercıcio 3.5 Resolva a equacao diferencial dada por separacao de variavel.
1.dydx
= sin5x.
2. dx+e3xdy= 0 .
3. (x+1)dydx
= x+6 .
4. xdydx
= 4y .
5.dydx
=y3
x2
6.dxdy
=x2y2
1+x.
7.dydx
= e3x+2y .
8. 2y(x+1)dy= xdx.
9. ylnxdxdy
=
(y+1
x
)2
.
10.dSdr
= kS.
11.dPdt
= P−P2 .
12. sec2xdy+cscydx= 0 .
13. eysin2xdx+cosx(e2y−y)dy= 0 .
Exercıcio 3.6 Resolva a equacao diferencial dada sujeitaa condicao inicial indicada.
1.
{
(e−y +1)sinxdx = (1+cosx)dy
y(0) = 0
23
2.
{
ydy = 4x(y2 +1)1/2dx
y(0) = 1
3.
dxdy
= 4(x2 +1)
x(π
4
)
= 1
4.
{
x2y′ = y−xy
y(−1) = −1
Exercıcio 3.7 Encontre uma solucao para a equacao diferencialdydx
−y2 =−9 que passe pelos
pontos indicados.
1. (0,0)
2. (0,3)
3.
(13,1
)
Mudanca de Variaveis
Como uma equacao diferencial cujas variaveis sao separaveise facil de resolver, surge entao
a seguinte pergunta:
“Existem outros tipos de equacoes diferenciais cujas variaveis nao sao separaveis mas que
podem ser transformadas em equacoes cujas variaveis sao separaveis?”
A resposta, a esta perguntae “sim”. De fato, uma das maneiras mais importantes de resolver
uma equacao diferencial dadae fazer umamudanca de variavel conveniente, que reduza a
equacao num tipo que possamos resolver.E uma situacao semelhante a que usamos em calculo
I para resolver integrais por meio de uma mudanca de variaveis. Em alguns casos a mudanca de
variaveis a ser usadae sugerida pela forma da equacao. Em outros casos a transformacao naoe
taoobvia.
3.3 EQUACOES HOMOGENEAS
Antes de considerar o conceito de equacao diferencial homogenea de primeira ordem e
seu metodo de solucao, precisamos primeiro examinar a natureza de uma funcao homogenea.
Comecamos com a definicao deste conceito.
24
Definicao 3.3 (Funcao Homogenea) Se uma funcao f satisfaz
f (tx, ty) = tn f (x,y) (3.3.8)
para algum numero real n, entao dizemos que fe uma funcao homogenea de grau n.
Vamos apresentar um exemplo.
Exemplo 3.8 Dadas as funcoes abaixo vamos determinar se elas sao homogeneas e especificar
o grau de homogeneidade, quando for o caso.
1. f(x,y) = x2−3xy+5y2
2. f(x,y) = 3√
x2 +y2
3. f(x,y) = x3 +y3 +1
4. f(x,y) =x2y
+4
Seja f (x,y) uma funcao homogenea de graun, ou seja,
f (tx, ty) = tn f (x,y) ,
podemos escrever
f (x,y) =
(1t
)n
f (tx, ty) . (3.3.9)
Fazendotx = 1 temosx =1t
e t =1x
. De (3.3.9), obtemos:
f (x,y) = xn f(
1,yx
)
. (3.3.10)
Fazendoty = 1 temosy =1t
e t =1y
. Substituindo em (3.3.9), obtemos:
f (x,y) = yn f
(xy,1
)
. (3.3.11)
E importante observar quef(
1,yx
)
e f
(xy,1
)
sao ambas homogeneas de grau zero.
Uma equacao diferencial homogenea de primeira ordeme definida em termos das funcoes
homogeneas.
25
Definicao 3.4 (Equacao Homogenea) Uma equacao diferencial da forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e chamada de homogenea se ambos os coeficientes M e N sao funcoes homogeneas do mesmo
grau.
Em outras palavras,
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e homogenea se
M(tx, ty) = tnM(x,y) e N(tx, ty) = tnN(x,y)
ou ainda,
M(x,y) = xnM(
1,yx
)
e M(x,y) = ynM
(xy,1
)
e
N(x,y) = xnN(
1,yx
)
e N(x,y) = ynN
(xy,1
)
3.3.1 Equacoes Homogeneas de ClasseA
Uma equacao diferencial homogenea pode sempre ser expressa na forma alternativa
dydx
= f(y
x
)
oudydx
= g
(xy
)
.
Para ver isso, consideramos a equacao homogeneaM(x,y)dx+N(x,y)dy= 0 e escrevemos na
forma,dydx
= f (x,y), onde
f (x,y) = −M(x,y)N(x,y)
.
Sabendo queM eN sao homogeneas de graun, observamos quef (x,y) deve ser necessari-
amente homogenea de grau zero e
f (x,y) = −xnM(1, yx)
xnN(1, yx)
= −M(1, yx)
N(1, yx)
.
26
A ultima razaoe uma funcao da formaf(y
x
)
. Analogamente,
f (x,y) = −ynM(x
y,1)
ynN(xy,1)
= −M(x
y,1)
N(xy,1)
.
A ultima razaoe uma funcao da formag
(xy
)
.
Definicao 3.5 (Equacao Homogenea de ClasseA) A forma geral de uma equacao homogenea
de classe Ae dada pordydx
= f(y
x
)
(3.3.12)
oudydx
= g
(xy
)
(3.3.13)
onde f(y
x
)
e g
(xy
)
sao funcoes arbitrarias.
Metodo de solucao: O metodo consiste em transformar a EDO homogenea de ClasseA,
em uma equacao de variaveis separaveis com a substituicaoy(x)
x= u(x) , ou de uma forma
mais simplesyx
= u , ondeu = u(x) e uma nova funcao incognita.
Dada a equacao homogeneaM(x,y)dx+N(x,y)dy= 0, podemos escreve-la na forma
dydx
= f(y
x
)
.
Fazendoyx
= u, temos
y = ux
⇒ dydx
= u+xdudx
podemos entao separar as variaveis
u+xdudx
= f (u)
ou ainda,
xdudx
= f (u)−u. (3.3.14)
onde temos dois casos, a considerar:
Caso 1: f (u)−u 6= 0;
27
Se f (u)−u 6= 0 podemos escrever (3.3.14) da seguinte forma
1f (u)−u
du =dxx
, .
Integrando, ambos os membros, obtemos∫
1f (u)−u
du =∫
dxx
ou ainda,∫
duf (u)−u
= lnx+c
⇒ lnx− lnc =∫
1f (u)−u
du
⇒ lnxc
=∫
1f (u)−u
du
⇒ xc
= e∫ 1
f (u)−udu
isolandox,
x = ce∫ 1
f (u)−udu.
Fazendo
φ(u) =∫
1f (u)−u
du
obtemos
x = ceφ(u).
Comoyx
= u
⇒ y = ux
⇒ y = cueφ(u)
Portanto, obtemos{
x = ceφ(u)
y = cueφ(u)(3.3.15)
que sao as curvas de equacoes parametricas que sao as solucoes para a equacao diferencial
homogenea de ClasseA para cadac∈ IR.
Caso 2: f (u)−u = 0.
Suponhamos que existe algumu0 tal que f (u0) = u0. Neste caso,e imediato comprovar
que a retay = u0x e solucao da equacao diferencial (3.3.12), pois:
dydx
= u0.1 = u0 = f (u0) = f(y
x
)
.
A retay = u0x e a solucao singular da equacao (3.3.12).
28
Apresentaremos agora um exemplo de EDO homogenea de Classe A.
Exemplo 3.9 Resolva a equacao homogenea de classe A
dydx
=2xy−y2
x2 .
3.3.2 Equacoes Homogeneas de ClasseB
Definicao 3.6 (Equacao Homogenea de ClasseB) A forma geral de uma equacao homogenea
de classe Be dada por
F
(dydx
,yx
)
= 0.
Metodo de Solucao:
Para resolvermos esta equacao vamos considerar a curvaF(α,β )= 0. Suponhamos, tambem,
que temos uma representacao parametrica da curva dada porα = ψ(t) e β = ϕ(t), isto e, que
satisfaz
F(ψ(t),ϕ(t)) = 0
Facamos agora,yx
= ϕ(t)
e levamos em consideracao quedydx
= ψ(t).
Se derivarmosy = xϕ(t) em relacao ax, obtemos
dydx
= ϕ(t)+xϕ ′(t)dtdx
.
Comodydx
= ψ(t), temos
ψ(t) = ϕ(t)+xϕ ′(t)dtdx
⇒ ψ(t)−ϕ(t) = xϕ ′(t)dtdx
quee uma EDO de variaveis separaveis.
Devemos considerar os seguintes casos:
29
Caso 1: ψ(t)−ϕ(t) 6= 0;
Seψ(t)−ϕ(t) 6= 0 temos
dxx
=ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt
∫dxx
=∫ ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt+c
lnx =∫ ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt+c
x = e∫ ϕ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt+c
x = e∫ ϕ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt ·ec
x = ce∫ ϕ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt
x = ceφ(t)
ondeφ(t) =∫ ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t). Comoy = xϕ(t), temosy = cϕ(t)eφ(t).
Portanto, obtemos a solucao{
x = ceφ(t)
y = cϕ(t)eφ(t)
na forma parametrica, ondec∈ IR.
Caso 2: ψ(t)−ϕ(t) = 0;
Seψ(t)−ϕ(t) = 0 entao existe algumt0 tal queψ(t0) = ϕ(t0). Temos quey = xϕ(t0) e
solucao da EDO. De fato,
F
(dydx
,yx
)
= F
(ddx
(xϕ(t0)),xϕ(t0)
x
)
= F
(ddx
(xϕ(t0)),xϕ(t0)
x
)
= F (ϕ(t0),ϕ(t0))
= F (ϕ(t0),ψ(t0))
= 0.
Concluımos que a retay = xϕ(t0) e solucao da EDO.
3.3.3 Equacoes Homogeneas de ClasseC.
Definiremos a seguir uma Equacao Homogenea de ClasseC.
30
Definicao 3.7 (Equacao Homogenea de ClasseC) A forma geral de uma equacao homogenea
de classe Ce dada pordydx
= f
(ax+by+crx+sy+ t
)
onde f e uma funcao arbitraria e a, b, c, r, s e t sao constantes.
Metodo de Solucao:
Consideremos a equacao da forma
dydx
= f
(ax+by+crx+sy+ t
)
ondea, b, c, r, s e t sao constantes. Para esse tipo de equacao temos dois casos a considerar:
Caso 1: O
∣∣∣∣∣
a b
r s
∣∣∣∣∣
e diferente de zero.
Suponhamos em primeiro lugar que o
∣∣∣∣∣
a b
r s
∣∣∣∣∣6= 0, ou seja, que as retasax+by+c= 0 e
rx+sy+ t = 0 se interceptam em um ponto(α;β ), ou ainda, ao considerarmos o sistema
{
ax+by+c = 0
rx+sy+ t = 0(3.3.16)
temos como solucaox = α ey = β .
Fazendo{
x = u+αy = v+β
(3.3.17)
e substituindo no sistema(3.3.16), temos
dvdu
= f
(a(u+α)+b(v+β )+cr(u+α)+s(v+β )+ t
)
que pode ser escrita como
dvdu
= f
(au+bv+aα +bβ +cru+sv+ rα +sβ + t
)
.
Como(α,β ) e solucao do sistema, temos
dvdu
= f
(au+bvru+sv
)
.
31
Obtemos assim uma equacao homogenea de classe A,
dvdu
= f
(
a+b(
vu
)
r +s(
vu
)
)
,
para resolvermos essa equacao basta observamos (3.3.13). Observamos que, geometri-
camente, equivale a uma translacao dos eixos coordenados para o ponto(α,β ) quee a
intersecao das retas componentes do sistema, o quee verdadeiro, uma vez que o determi-
nante considerado e diferente de zero.
Caso 2: O
∣∣∣∣∣
a b
r s
∣∣∣∣∣
e igual a zero.
Suponhamos agora, que o
∣∣∣∣∣
a b
r s
∣∣∣∣∣= 0, ou seja, que as retasax+by+c= 0 erx+sy+t =
0 sejam paralelas distintas, ou seja, a solucao do sistemae vazia. Isto implica que o
metodo aplicado no primeiro caso nao faz sentido.
Como
∣∣∣∣∣
a b
r s
∣∣∣∣∣= 0 , os coeficentes dex e y sao proporcionais, de modo que se podemos
escreveras= rb, ou ainda,sb
=ra. (3.3.18)
Chamando a relacao dem, temos:
sb
=ra
= m 6= ct
(3.3.19)
logosb
= m⇒ s= bm
era
= m⇒ r = am.
Comodydx
= f
(ax+by+crx+sy+ t
)
e substituindo as relacoes anteriores nesse sistema, obtemos
dydx
= f
(ax+by+c
m(ax+by)+ t
)
(3.3.20)
Fazendoax+by= z, e sendoz= g(x), temos
y =1b(z−ax). (3.3.21)
32
Derivando (3.3.21) em relacao ax, obtemos
dydx
=1b
(dzdx
−a
)
(3.3.22)
Substituindo as equacoes (3.3.21) e (3.3.22) na equacao (3.3.20), temos:
1b
(dzdx
−a
)
= f
(z+c
mz+ t
)
o que implica emdzdx
= a+b f
(z+c
mz+ t
)
quee uma EDO de variaveis separaveis. Para resolvermos esta equacao basta observar
(3.2.4).
Apresentamos a seguir um exemplo de uma EDO homogenea de classeC.
Exemplo 3.10 Resolva as equacoes diferenciais homogeneas de classe C.
1.dydx
=2x−3y−13x+y−2
;
2.dydx
=x−y−1x−y−2
.
Exercıcio 3.8 Resolva as equacoes diferenciais homogeneas de classe C.
1.dydx
=2x−3y
3x−y−1;
2.dydx
=x+2y−42x+1y−5
.
3.dydx
=2x−y+16x−3y−1
;
4.dydx
=−2x−3y+12x+3y+2
.
3.3.4 Equacoes Homogeneas de ClasseD
Definicao 3.8 (Equacao Homogenea de ClasseD) A forma geral de uma equacao homogenea
de classe De dada por
dydx
=yx
+g(x) f(y
x
)
(3.3.23)
onde f e g sao funcoes arbitrarias.
33
Metodo de Solucao: Fazendo
yx
= u (3.3.24)
temos
y = u·x⇒ dy
dx= u
dxdx
+xdudx
.
Daı
dydx
= u+xdudx
(3.3.25)
quee uma equacao de variaveis separaveis.
Substituindo (3.3.24) e (3.3.25) em (3.3.23), temos
xdudx
= g(x) f (u). (3.3.26)
Temos dois casos, a considerar:
Caso 1: f (u) 6= 0
Se f (u) 6= 0 podemos escrever (3.3.26) da forma
1f (u)
du=1x
g(x)dx
e, integrando,∫
1f (u)
du=∫
1x
g(x)dx+c
obtemos a solucao geral da equacao diferencial.
Caso 2: f (u) = 0
Suponhamos que existe algumu0 tal que f (u0) = 0. Neste caso,e imediato comprovar
que a reta,y = u0x, e solucao da equacao diferencial (3.3.23), pois
yx
+g(x) f(y
x
)
=u0xx
+g(x) f (u0) = u0 +g(x) ·0 = u0 =dydx
.
Temos quey = u0x e chamada de solucao solucao singular da EDO.
Exemplo 3.11 Vamos aplicar o metodo de solucao para resolver a equacao diferencial ho-
mogenea de classe D
xdydx
−y =2x3
ye
yx .
34
3.3.5 Equacoes Homogeneas de ClasseG
Seja a equacaodydx
= f (x,y), (3.3.27)
onde f satisfaz a condicao
f (λx,λ αy) = λ α−1 f (x,y)
para algumα, ou ainda,
f (x,y) =1
λ α−1 f (λx,λ αy).
Note em primeiro lugar que, quandoα = 0 eλ = x−1, temos:
dydx
= f (x,y) =1
(x−1)0−1 f(x−1x,(x−1)0y
)= x−1 f (1,y)
entao
xdydx
= f (1,y)
quee uma EDO Separavel, veja equacao (3.2.4).
Seα = 1 eλ = x−1, temos:
dydx
= f (x,y) =1
(x−1)1−1 f(x−1x,(x−1)1y
)=
1(x−1)0 f
(
1,yx
)
= f(
1,yx
)
ou seja,dydx
= f(
1,yx
)
quee uma Equacao Homogenea de Classe A, veja definicao (3.5).
Em outros casos, fazendo
y = (ux)α (3.3.28)
temosdydx
= α(ux)α−1(u+xdu
dx
)(3.3.29)
Substituindo (3.3.28) e (3.3.29) em (3.3.27), temos:
α(ux)α−1(
u+xdudx
)
= f (x,(ux)α)
daı,
u+xdudx
=1α
(1ux
)α−1
f (x,(ux)α)
35
ou ainda,
u+xdudx
=1α
f
(1ux
x,
(1ux
)α(ux)α
)
logo
u+xdudx
=1α
f
(1u,1
)
quee uma EDO Separavel, veja equacao (3.2.4).
Temosdydx
= f (x,y) = f(
x,xα yxα
)
= xα−1 f(
1,y
xα
)
= xα−1h( y
xα
)
ondeλ = x ex = 1.
Observacao 3.3 Se a equacaodydx
= f (x,y) e tal que para algumα 6= 0, f satisfaz
f (λx,λ αy) = λ α−1 f (x,y)
entao a mudanca y= (ux)α transforma a equacao em uma EDO Separavel. Seα = 1 eλ = x−1
a equacao e Homogenea de Classe A. Tambem, se f satisfaz a relacao paraα = 0 e λ = x−1,
a EDOe separavel.
Definicao 3.9 (Equacao Homogenea de ClasseG) A forma geral de uma equacao homogenea
de classe Ge dada pordydx
=yxF( y
xα
)
(3.3.30)
onde Fe uma funcao arbitraria.
Metodo de Solucao: Considerando
y = (ux)α (3.3.31)
temosdydx
= α(ux)α−1(
u+xdudx
)
. (3.3.32)
Substituindo (3.3.31) e (3.3.32) em (3.3.30), temos
α(ux)α−1(
u+xdudx
)
=(ux)α
xF
((ux)α
xα
)
,
que acarreta em,
u+xdudx
=1α
(ux)−α+1(ux)α
xF(uα),
ou ainda,
u+xdudx
=uα
F(uα).
36
o que acarreta, em
xdudx
= −u+uα
F(uα),
quee uma EDO Separavel.
Vamos resolver um exemplo de uma EDO Homogenea de ClasseG.
Exemplo 3.12 Neste exemplo resolveremos a EDO Homogenea de Classe G
dydx
=y2x
− 3√
xy2
3.4 EQUACOES EXATAS
Embora a EDO seja
ydx+xdy= 0
seja Separavel e Homogenea, podemos ver que elae tambem equivalentea diferencial do pro-
duto dex ey, isto e
d(xy) = ydx+xdy= 0.
Por integracao, obtemos imediatamente a solucaoxy= c.
Voce deve se lembrar do calculo que, sez= f (x,y) e uma funcao com derivadas parciais
contınuas em uma regiaoR do planoxy, entao sua diferencial totale
dz=∂ f∂x
dx+∂ f∂y
dy.
Agora, sef (x,y) = c, segue-se que
∂ f∂x
dx+∂ f∂y
dy= 0
Em outras palavras, dada uma famılia de curvasf (x,y) = c, podemos gerar uma equacao
diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total.
Exemplo 3.13 Dada f(x,y) = x2−5xy+y3 = c encontraremosdydx
. Para isso, basta calcular
a diferencial total.
Para nossos propositos,e mais importante inverter o problema, istoe, dada uma equacao
comodydx
=5y−2x
−5x+3y2 , (3.4.33)
37
queremos encontrar uma funcao, neste casof (x,y) = x2−5xy+y3, onde
d(x2−5xy+y3) = 0.
Observacao 3.4 Note que a equacao (3.4.33) nao e separavel nem homogenea.
Definicao 3.10 (Equacao Exata)Uma expressao diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy
e uma diferencial exata em uma regiao R do plano xy se ela correspondea diferencial total de
algum funcao f(x,y). Uma equacao diferencial da forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e chamada de uma equacao exata se a expressao do lado esquerdoe uma diferencial exata.
Exemplo 3.14 Dada a funcao f(x,y) = x3y3, observe que, a equacao x2y3dx+ x3y2dy= 0 e
exata.
O teorema a seguire um teste para uma diferencial exata.
Teorema 3.1 (Criterio para uma Diferencial Exa ta)Sejam M(x,y) e N(x,y) funcoes contınuas
com derivadas parciais contınuas em uma regiao retangular R definida por a< x< b, c< y< d.
Entao, uma condicao necessaria e suficiente para que
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
seja uma diferencial exatae∂M∂y
=∂N∂x
Prova de que a Condicaoe necessaria: Para simplificar, suponha que M(x,y) e N(x,y) tenham
derivadas parciais de primeira ordem contınuas em todo plano(x,y). Agora, se a expressao
M(x,y)dx+N(x,y)dy e exata, existe algum funcao f tal que
M(x,y)dx+N(x,y)dy=∂ f∂x
dx+∂ f∂y
dy
para todo(x,y) em R. Logo,
M(x,y) =∂ f∂x
, N(x,y) =∂ f∂y
,
38
e∂M∂y
=∂∂y
(∂ f∂x
)
=∂ 2 f
∂y∂x=
∂∂x
(∂ f∂y
)
=∂N∂x
.
A igualdade das derivadas parciais mistase uma consequencia da continuidade das derivadas
parciais de primeira ordem de M(x,y) e N(x,y).
A prova de que a condicao do teorema (3.1)e suficiente consiste em mostrar que existe uma
funcao f tal que∂ f∂x
= M(x,y) e∂ f∂y
= N(x,y). A construcao de tal funcao na verdade reflete
um procedimento basica na resolucao para equacoes exatas.
Metodo de Solucao: Dada a equacao
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
mostre primeiro que∂M∂y
=∂N∂x
.
Depois suponha que∂ f∂x
= M(x,y),
daı podemos encontrarf integrandoM(x,y) com relacao ax, considerandoy constante. Es-
crevemos,
f (x,y) =∫
M(x,y)dx+g(y), (3.4.34)
em que a funcao arbitraria g(y) e a constante de integracao. Agora, derivando(3.4.34) com
relacao ay e supondo∂ f∂y
= N(x,y):
∂ f∂y
=∂∂y
∫
M(x,y)dx+g′(y) = N(x,y).
Assim
g′(y) = N(x,y)− ∂∂y
∫
M(x,y)dx (3.4.35)
Finalmente, integre(3.4.35) com relacao ay e substitua o resultado em(3.4.34). A solucao
para a equacaoe f (x,y) = c.
Exemplo 3.15 Resolva a EDO
(1−2x2−2y)dydx
= 4x3 +4xy.
Algumas vezes,e possıvel convertermos uma equacao diferencial nao exata em uma equacao
39
exata multiplicando-a por uma funcaoµ(x,y) chamada “fator de integracao”.
Definicao 3.11 (Fator de Integracao) Se
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e multiplicada porµ(x,y) para obter
µ(x,y)M(x,y)dx+ µ(x,y)N(x,y)dy= 0
cujo membro esquerdoe uma diferencial exata, dizemos que obtivemos uma equacao diferencial
exata. A funcao de multiplicacao µ e chamada fator de integracao da equacao diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0.
Dada a equacao nao exata
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0 (3.4.36)
queremos determinar um fator de integracao µ, onde supomos queµ depende apenas de uma
variavel. Temos dois casos, a considerar:
1. µ = µ(x)
Comoµ e um fator de integracao para(3.4.36), ao multiplicarmos porµ, obtemos uma
equacao exata da forma
µ(x)M(x,y)dx+ µ(x)N(x,y)dy= 0
assim∂ (µM)
∂y=
∂ (µN)
∂x,
daıµMy = µxN+ µNx
⇒ µMy−µNx = µxN
⇒ (My−Nx)µ = µxN
⇒ µx
µ=
My−Nx
N, N 6= 0.
⇒∫ µx
µ=
∫My−Nx
N
⇒ ln µ =∫
My−Nx
N.
Obtemos o fator de integracaoµ, quee dado por
µ(x) = e∫ My−Nx
N dx , N 6= 0. (3.4.37)
40
2. µ = µ(y)
Raciocinando de forma analoga ao item anterior obtemos,
µ(y) = e∫ Nx−My
M dx , M 6= 0.
Para melhor entendimento, apresentaremos os exemplos a seguir.
Exemplo 3.16 Dada a EDO
(x+y)dx+xlnxdy= 0,
encontraremos a sua solucao.
Exemplo 3.17 Resolva x2y3dx+x3y2dy= 0.
Exercıcio 3.9 Resolva(5y−2x)dx+(5x−3y2)dy= 0.
Exercıcio 3.10 1. Resolva2xydx+(x2−1)dy= 0.
2. Resolva o problema de valor inicial (PVI).
{
(cosxsinx−xy2)dx+y(1−x2)dy = 0
y(0) = 2
3. Resolva(e2y−ycosxy)dx+(2xe2y−xcosxy+2y)dy= 0.
Exercıcio 3.11 Calcule o fator integrante(µ(x) e µ(y))
1. ey(x2 +1)dx−2dy= 0;
2. (x+2y)dx−xdy= 0;
3. (√
x+y−3)dx−xdy= 0.
3.5 EQUACOES LINEARES
No capıtulo (1) secao (1.1.3), definimos a forma geral para uma equacao diferencial de
ordemn, como
andnydxn +an−1(x)
dn−1ydxn−1 + · · ·+a1(x)
dydx
+a0(x)y = g(x)
41
Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes sao funcoes dex somente e
quey e todas as suas derivadas sao elevadasa primeira potencia. Agora, quandon= 1, obtemos
uma “EDO linear de Primeira Ordem”,
a1(x)dydx
+a0(x)y = g(x).
Dividindo pelo coeficientea1(x), temos
dydx
+P(x)y = f (x) (3.5.38)
ondeP(x) =a0(x)a1(x)
e f (x) =g(x)a1(x)
.
Definicao 3.12 (Equacao Linear) Uma equacao diferencial da forma
dydx
+P(x)y = f (x) (3.5.39)
e chamada de equacao linear.
Metodo de Solucao: Usando diferenciais, podemos escreve-la, como
dy+[P(x)y− f (x)]dx= 0. (3.5.40)
Equacoes lineares possuem a agradavel propriedade atraves da qual podemos sempre en-
contrar uma funcaoµ(x) em que
µ(x)dy+ µ(x)[P(x)y− f (x)]dx= 0, (3.5.41)
e uma equacao diferencial exata. Logo
∂∂x
(µ(x)) =∂∂y
[µ(x)(P(x)y− f (x))] (3.5.42)
entaodµdx
= µ(x)P(x).
Estae uma equacao separavel em que podemos determinarµ(x). Sendoµ(x) 6= 0, temos
dµµ(x)
= P(x)dx. (3.5.43)
Entao
ln µ =∫
P(x)dx (3.5.44)
42
assim
µ(x) = e∫
P(x)dx (3.5.45)
A funcaoµ(x) definida em(3.5.45) e um fator de integracao para a equacao linear(3.5.39).
Note que nao precisamos usar uma constante de integracao em(3.5.44), pois(3.5.42) nao se
altera se multiplicarmos por uma constante. Observe queµ(x) 6= 0 para todox emI .
Multiplicando a equacao(3.5.39) por (3.5.45), obtemos
e∫
P(x)dx[
dydx
+P(x)y
]
= e∫
P(x)dx f (x), (3.5.46)
daı
ddx
[
e∫
P(x)dxy]
= e∫
P(x)dx f (x). (3.5.47)
Integrando esta equacao, obtemos
y = e−∫
P(x)dx∫
e∫
P(x)dx f (x)dx+ce−∫
P(x)dx. (3.5.48)
Em outras palavras, se(3.5.39) tiver uma solucao, ela devera ser da forma(3.5.48). Reci-
procamente,e imediato que(3.5.48) constitui uma famılia a um parametro de solucoes para a
equacao(3.5.39).
Observacao 3.5 Uma equacao diferencial da forma
dydx
+P(x)y = f (x) (3.5.49)
e chamada de equacao linear.
a) Se P(x) = 0 temos, em particular, uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
b) Se f(x) = 0 temos, em particular, uma EDO separavel. Veja (3.2.4);
b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
Exemplo 3.18 Dada a equacao diferencial
dydx
− 4x
y = x5ex (3.5.50)
vamos obter sua solucao.
43
Solucao Geral - Por hipoteseP(x) e f(x) sao contınuas em um intervaloI e x0 e um ponto
desse intervalo. Entao, segue-se do Teorema 2.1 que existe umaunica solucao para o problema
de valor inicial
dydx
+P(x)y = f (x)
y(x0) = y0
(3.5.51)
Mas vimos antes que(3.5.39) possui uma famılia de solucoes e que toda solucao para a
equacao no intervaloI tem a forma(3.5.48). Logo, obter a solucao para(3.5.51) e uma simples
questao de encontrar um valor apropriado dec em(3.5.48). Consequentemente estamos certos
em chamar(3.5.48) de solucao geral da equacao diferencial. Voce deve se lembrar de que em
varias ocasioes encontramos solucoes singulares para equacoes nao lineares. Isso nao pode
acontecer no caso de uma equacao linear em queP(x) e f (x) sao contınuas.
Exemplo 3.19 Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)
dydx
+2xy = x
y(0) = −3(3.5.52)
Exercıcio 3.12 1. Encontre a solucao geral para
(x2 +9)dydx
+xy= 0
2. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)
xdydx
+y = 2x
y(1) = 0(3.5.53)
3. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)
dydx
=1
x+y2
y(−2) = 0(3.5.54)
4. Encontre uma solucao contınua satisfazendo
dydx
+y = f (x)
y(0) = 0(3.5.55)
em que f(x) =
{
1 se 0≤ x≤ 1
0 se x> 1
44
3.6 EQUACAO DE BERNOULLI
Definicao 3.13 (Equacao de Bernoulli) A equacao diferencial
dydx
+P(x)y(x) = f (x)y(x)n (3.6.56)
em que ne um numero real qualquer,e chamada de equacao de Bernoulli. Para n= 0 e n= 1,
a equacao (3.6.56) e linear em y.
Metodo de Solucao: Sey 6= 0, a equacao(3.6.56) pode ser escrita como
y−ndydx
+P(x)y−n ·y = f (x) .
Entao
y−ndydx
+P(x)y1−n = f (x) . (3.6.57)
Se fizermosw = y1−n, comn 6= 0 en 6= 1, temos
dwdx
= (1−n)y−ndydx
Com esta substituicao, a equacao(3.6.57) transforma-se na equacao
dwdx
+(1−n)P(x)w = (1−n) f (x) , (3.6.58)
quee uma EDO linear. Resolvendo(3.6.58) e depois substituindoy1−n = w, obtemos a solucao
de(3.6.56).
Observacao 3.6 A equacao diferencial
dydx
+P(x)y(x) = f (x)y(x)n (3.6.59)
em que ne um numero real qualquer,e chamada de equacao de Bernoulli (MURPHY, 1960).
a) Se n= 0 ou n= 1 temos, em particular, uma EDO Linear de Primeira Ordem. Veja(3.5.40);
b) Se P(x) = 0 ou f(x) = 0 temos, em particular, uma EDO separavel. Veja (3.2.4);
b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
Exemplo 3.20 Vamos aplicar o metodo de solucao para resolver a equacao de Bernoulli
dydx
+1x
y = xy2. (3.6.60)
45
3.7 EQUACAO DE RICATTI
Definicao 3.14 (Equacao De Ricatti) A equacao diferencial nao linear
dydx
= P(x)+Q(x)y+R(x)y2 (3.7.61)
e chamada de equacao de Ricatti.
Metodo de Solucao: Sey1 e uma solucao particular para a equacao(3.7.61), entao as substituicoes
y = y1 +u edydx
=dy1
dx+
dudx
na equacao(3.7.61) produzem a seguinte equacao diferencial na variavelu:
dudx
− (Q+2y1R)u = Ru2 (3.7.62)
Como (3.7.62) e uma equacao de Bernoulli comn = 2, ela pode, por sua vez, pode ser
reduzidaa Equacao Lineardwdx
+(Q+2y1R)w = −R (3.7.63)
atraves da substituicaow = u−1. Ao encontrarmos,u na equacao (3.7.63), basta substituirmos
na relacao
y = y1 +u
e teremos a solucao da EDO.
Observacao 3.7 A equacao diferencial nao linear
dydx
= P(x)+Q(x)y+R(x)y2 (3.7.64)
a) Se P(x) = 0 a equacao (3.7.64) passa a ser uma EDO de Bernoulli;
b) Se R(x) = 0 a equacao (3.7.64) passa a ser EDO Linear de Primeira Ordem;
c) Se P, Q e R forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
Exemplo 3.21 Dada a EDOdydx
= 2−2xy+y2 , (3.7.65)
encontre sua solucao.
46
3.8 EQUACAO DE CLAIRAUT
Definicao 3.15 (Equacao De Clairaut) Toda equacao diferencial de1a ordem da forma
y = xdydx
+g
(dydx
)
(3.8.66)
e chamada de Equacao de Clairaut onde ge uma funcao diferenciavel.
Metodo de Solucao: Para resolver a equacao (3.8.66) fazemos a mudanca de variaveldydx
= p. Assim, a equacao (3.8.66) passa a ser
y = xp+g(p) . (3.8.67)
Derivando(3.8.67) com relacao ax, obtemos
dydx
= p+xp′ +g′(p).p′
p = p+xp′ +g′(p).p′
(x+g′(p))p′ = 0
entao
p′ = 0 ou x+g′(p) = 0
Caso 1: Solucao geral
Sep′ = 0 entao p = c. Devido ao fato dedydx
= p temosdydx
= c. Portanto a solucao geral
e
y = cx+g(c).
Concluımos quey= cx+g(c) e uma famılia de retas em quec e uma constante arbitraria.
Caso 2: Solucao singular
Sex+g′(p) = 0 podemos obter outra solucao da equacao (3.8.67) eliminandop entre as
equacoes{
x+g′(p) = 0
y = xp+g(p)
Esta solucao e conhecida como solucao singular da equacao de Clairaut a qual conduz
sempre a uma envoltoria da famılia de retas definida pela solucao geral.
Observacao 3.8 Envoltoria e uma curva quee tangente a todas as curvas da famılia de curvas.
47
Exemplo 3.22 Resolveremos a EDO
y = xdydx
+12
(dydx
)2
(3.8.68)
como exemplo de uma EDO de Clairaut.
3.9 EQUACAO DE D’ALEMBERT
Definicao 3.16 (Equacao de D’Alembert) A forma geral da equacao diferencial ordinaria de
d’Alemberte dada por:
y = x f
(dydx
)
+g
(dydx
)
onde f e g sao funcoes arbitrarias. Esta EDOe uma generalizacao da E.D.O. de Clairaut.
Metodo de Solucao: Fazendodydx
= p
temos
y = x f (p)+g(p) .
Daıdydx
= 1 f (p)+x f ′ (p)dpdx
+g′ (p)dpdx
logo,
p = f (p)+x f ′ (p)dpdx
+g′ (p)dpdx
,
ou ainda,
(x f ′ (p)+g′ (p))dpdx
= p− f (p)
Caso 1: p− f (p) 6= 0;
Sep− f (p) 6= 0, temos:(
xf ′ (p)
p− f (p)+
g′ (p)
p− f (p)
)dpdx
= 1
ou ainda
xf ′ (p)
p− f (p)+
g′ (p)
p− f (p)=
dxdp
ou seja,dxdp
− f ′ (p)
p− f (p)x =
g′ (p)
p− f (p)
quee uma equacao linear em x.
48
Caso 2: p− f (p) = 0.
Se existe algump0 tal quep0− f (p0) = 0, temos que,
y = p0x+g(p0)
e solucao singular da EDO. De fato, dada a equacao,
y = x f
(dydx
)
+g
(dydx
)
ey = p0x+g(p0) temosdydx
= p0
e
y = x f (p0)+g(p0)
p0x+g(p0) = x f (p0)+g(p0)
p0x = x f (p0)
p0x−x f (p0) = 0
(p0− f (p0))x = 0
0 = 0
Exemplo 3.23 Resolva a equacao de D’Alembert
y = x
(
y′ +1y′
)
+(y′)4 . (3.9.69)
Exercıcio 3.13 Resolva a equacao de Bernoulli dada.
1. xdydx
+y =1y2 ;
2.dydx
= y(xy3−1);
3. x2dydx
+y2 = xy
Exercıcio 3.14 Resolva a equacao diferencial dada sujeitaa condicao inicial indicada.
1.
x2dydx
−2xy = 3y4
y(1) =12
2.
xy(1+xy2)dydx
= 1
y(1) = 0
49
Exercıcio 3.15 Resolva a equacao de Ricatti dada: y1 e uma solucao conhecida para a equacao.
1.
dydx
= −2−y+y2
y1 = 2
2.
dydx
= − 4x2 −
1x
y+y2
y1 =2x
Exercıcio 3.16 Resolva a equacao de Clairaut dada. Obtenha uma solucao singular.
1. y= xy′ +1− lny′;
2. y= xdydx
−(
dydx
)3
.
Exercıcio 3.17 Resolva as Equacoes Diferenciais de D’Alembert.
1. y= 2x
(dydx
)
−x
(dydx
)2
2. y= 2xdydx
+1dydx
3. y= xdxdy
− dydx
4. y=
(
1+dydx
)
x+
(dydx
)2
5. y= −12
(dydx
)(
2x+dydx
)
;
6. y= 2x
(dydx
)
+
(dydx
)2
;
7. y= y
(dydx
)2
+2x
(dydx
)
.
50
4 APLICAC OES DE EQUACOES LINEARES
4.1 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
O problema de valor inicial
dxdt
= kx
x(t0) = x0
(4.1.1)
em quek e uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias fısicas envolvendo
crescimentoou decrescimento. Por exemplo, em biologia,e frequentemente observado que a
taxa de crescimento de certas bacteriase proporcional ao numero de bacterias presente no dado
instante. Durante um curto intervalo de tempo, a populacao de pequenos animais, tais como
roedores, pode ser prevista com alto grau de precisao pela solucao para(4.1.1). Em fısica, um
problema de valor inicial como(4.1.1) proporciona um modelo para o calculo aproximado da
quantidade remanescente de uma substancia que esta sendo desintegrada atraves de radioati-
vidade. A equacao diferencial em(4.1.1) pode ainda determinar a temperatura de um corpo
em resfriamento. Em quımica, a quantidade remanescente de uma substancia durante certas
reacoes tambem pode ser descrita por(4.1.1).
Exemplo 4.1 Em uma cultura, ha inicialmente N0 bacterias. Uma hora depois, t= 1, o numero
de bacterias passa a ser32
N0. Se a taxa de crescimentoe proporcional ao numero de bacterias
presentes, determine o tempo necessario para que o numero de bacterias triplique.
Exemplo 4.2 Sabe-se que a populacao de uma certa comunidade cresce a uma taxa propor-
cional ao numero de pessoas presentes em qualquer instante. Se a populacao duplicou em5
anos, quando ele triplicara? Quando quadruplicara?
4.2 MEIA-VIDA
Em fısica,meia-vida e uma medida de estabilidade de uma substancia radioativa. A meia-
vida e simplesmente o tempo gasto para metade dosatomos de uma quantidade inicialA0 se
51
desintegrar ou se transmutar ematomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma
substancia, mais estavel elae. Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo radio,Ra−226,e
cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade deRa−226e transmutada
em radonio, Rn− 222. O isotopo de uranio mais comum,U − 238, tem uma meia-vida de
aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade deU −238
e transmutada em chumbo,Pb−206.
Exemplo 4.3 Um reator converte uranio 238 em isotopo de plutonio 239. Apos 15 anos, foi
detectado que0,043%da quantidade inicial A0 de plutonio se desintegrou. Encontre a meia-
vida desse isotopo, se a taxa de desintegracao e proporcionala quantidade remanescente.
4.3 CRONOLOGIA DO CARBONO
Por volta de 1950, o quımico Willard Libby inventou um metodo para determinar a idade
de fosseis usando o carbono radioativo. A teoria dacronologia do carbonose baseia no fato
de que o isotopo do carbono 14e produzido na atmosfera pela acao de radiacoes cosmicas no
nitrogenio. A razao entre a quantidade deC−14 para carbono ordinario na atmosfera parece ser
uma constante e, como consequencia, a proporcao da quantidade de isotopo presente em todos
os organismos vivose a mesma proporcao da quantidade na atmosfera. Quando um organismo
morre, a absorcao deC−14, atraves da respiracao ou alimentacao, cessa. Logo, comparando
a quantidade proporcional deC−14 presente, digamos, em um fossil com a razao constante
encontrada na atmosfera,e possıvel obter uma razoavel estimativa da idade do fossil. O metodo
se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C− 14, cerca de 5.600 anos.
Por esse trabalho, Libby ganhou o Premion Nobel de quımica em 1960. O metodo de Libby
tem sido usado para datar mobılias de madeira nos tumulos egıpcios e os pergaminhos do Mar
Morto.
Exemplo 4.4 Um osso fossilizado contem1
1.000da quantidade original do C−14. Determine
a idade do fossil.
4.4 RESFRIAMENTO
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variacao de temperaturaT(t) de um
corpo em resfriamentoe proporcionala diferenca entre a temperatura do corpo e a temper-
atura constanteTm do meio ambiente, istoe,dTdt
= k(T −Tm), em quek e uma constante de
proporcionalidade.
52
Exemplo 4.5 Quando um boloe retirado do forno, sua temperaturae de300◦F. Tres minutos
depois, sua temperatura passa para200◦F. Quanto tempo levara para sua temperatura chegar
a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente
70◦F?
4.5 PROBLEMAS DE MISTURAS
Na mistura de dois fluıdos, muitas vezes temos de lidar com equacoes diferenciais lineares
de primeira ordem. No proximo exemplo, consideramos a mistura de duas solucoes salinas com
diferentes concentracoes.
Exemplo 4.6 Inicialmente,50gramas de sal sao dissolvidos em um tanque contendo300litros
de agua. Uma solucao salinae bombeada para dentro do tanque a uma taxa de3 litros por
minuto, e a solucao bem misturadae entao drenada na mesma taxa. Se a concentracao da
solucao que entrae 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer
instante. Quantas gramas de sal estao presentes apos 50 minutos? E depois de um longo
tempo?
4.6 CIRCUITOS EM SERIE
Em um circuito em serie contendo somente um resistor e um indutor, a seguda lei de Kirch-
hoff diz que a soma da queda de tensao do indutor
(
L
(didt
))
e da queda de tensao do resistor
(iR) e iguala voltagem(E(t)) no circuito.
Logo, obtemos a equacao diferencial linear para a correntei(t),
Ldidt
+Ri = E(t) (4.6.2)
em queL e R sao constantes conhecidas como a indutancia e a resistencia, respectivamente. A
correntee algumas vezes chamada de resposta do sistema.
A queda de potencial em um capacitor com capacitanciaC e dada porq(t)C , em queq e a
carga no capacitor. Entao, para o circuito em serie mencionado anteriormente, a segunda lei de
kirchhoff nos da
Ri+1C
q = E(t) (4.6.3)
Mas a correntei e a cargaq estao relacionadas pori =dqdt
, logo, (4.6.3) torna-se a equacao
53
diferencial linear
Rdqdt
+1C
q = E(t) (4.6.4)
Exemplo 4.7 Uma bateria de12voltse conectada a um circuito em serie no qual a indutancia
e de12 henry e a resistencia,10ohms. Determine a corrente i se a corrente iniciale zero.
Exercıcio 4.1 Uma barra de metal com uma temperatura de 100◦F e colocada em um ambiente
com temperatura constante de 0◦F. Se apos 20 minutos a temperatura da barrae de 50◦F,
determinar o tempo (t) necessario para que a barra atinja uma temperatura de 25◦F. Qual a
temperatura que estara esta barra depois de decorridos 10 minutos?
Exercıcio 4.2 Um para-quedista, pesando70kg, salta de um aviao e abre o paraquedas apos
10s. Antes da abertura do para-quedas, o seu coeficiente de atritoe kspq= 5kgs−1, depoise
kcpq = 100kgs−1. Qual a velocidade do para-quedista no instante em que se abre o paraque-
das? Qual a distancia percorrida em queda livre? Qual a velocidade mınima que o para-
quedista podera atingir apos a abertura do paraquedas?
Exercıcio 4.3 O sudario de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem cru-
cificado, que muitos acreditam ser de Jesus de Nazare. Em1988, o Vaticano deu a permissao
para datar por carbono o sudario. Tres laboratorios cientıficos e independentes analisaram o
tecido e concluıram que o sudario tinha aproximadamente660anos, idade consistente com seu
aparecimento historico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade original
de C−14 remanescente no tecido em1988.
Exercıcio 4.4 O isotopo radioativo de chumbo, Pb−209, decresce a uma taxa proporcionala
quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vidae 3,3 horas. Se1 grama de chumbo
esta presente inicialmente, quanto tempo levara para90%de chumpo desaparecer?
Exercıcio 4.5 Um termometroe removido de uma sala, em que a temperaturae de70◦F, e
colocado do lado de fora, em que a temperaturae de10◦F. Apos 0,5 minuto, o termometro
marcava50◦F. Qual sera a temperatura marcada no termometro no instante t= 1 minuto?
Quanto tempo levara para o termometro marcar15◦F?
Exercıcio 4.6 Um tanque contem200 litros de fluıdo no qual sao dissolvidos30g de sal. Uma
solucao salina contendo1g de sal por litroe entao bombeada para dentro do tanque a uma taxa
de4 litros por minuto; a misturae drenadaa mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas
de sal A(t) no tanque em qualquer instante.
54
5 EQUACOES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR
5.1 TEORIA PRELIMINAR
Comecamos a discussao sobre equacoes diferenciais de ordem maior, como fize-
mos com equacoes de primeira ordem, com a nocao de um problema de valor inicial. Porem,
concentramos nossa atencao nas equacoes diferenciais lineares.
5.1.1 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno
Problema de Valor Inicial
Para uma equacao diferencial de n-esima ordem, o problema
Resolva: an(x)dnydxn +an−1(x)
dn−1ydxn−1 + · · ·+a1(x)
dydx
+a0(x)y = g(x)
Su jeita: y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, · · · ,y(n−1)(x0) = y(n−1)0
(5.1.1)
em quey0,y′0, · · · ,y(n−1)0 sao constantes arbitrarias,e chamado de umproblema de valor ini-
cial. Os valores especıficosy(x0) = y0, y′(x0) = y′0, · · · , y(n−1)(x0) = y(n−1)0 sao chamados de
condicoes iniciais. Procuramos uma solucao em algum intervaloI contendox0.
No caso de uma equacao linear de segunda ordem, uma solucao para o problema de valor
inicial
Resolva: a2(x)d2ydx2 +a1(x)
dydx
+a0(x)y = g(x)
Su jeita: y(x0) = y0, y′(x0) = y′0
(5.1.2)
e uma funcao que satisfaca a equacao diferencial emI cujo grafico passa pelo ponto(x0,y0)
com inclinacao igual ay′0.
O proximo teorema nos fornece condicoes suficientes para a existencia de umaunica solucao
para(5.1.1).
Teorema 5.1 (Existencia de umaUnica Solucao) - Sejam an(x),a(n−1)(x), · · · ,a1(x),a0(x) e
g(x) contınuas em um intervalo I com an(x) 6= 0 para todo x neste intervalo. Se x= x0 e algum
55
ponto deste iintervalo, entao existe umaunica solucao y(x) para o problema de valor inicial
(5.1.1) neste intervalo.
Exemplo 5.1 Verifique se y= 3e2x +e−2x−3x e aunica solucao para o
{
y′′−4y = 12x
y(0) = 4, y′(0) = 1
Exemplo 5.2 Verifique se y≡ 0 e aunica solucao para o
{
3y′′′ +5y′′−y′ +7y = 0
y(1) = 0, y′(1) = 0, y′′(1) = 0
Exemplo 5.3 Verifique se a funcao y=14
sin4x e uma solucao para o
{
y′′ +16y = 0x
y(0) = 0, y′(0) = 1
Observacao 5.1 No teorema(5.1), a continuidade de ai(x); i = 0,1,2, · · · ,n e a hipotese an(x) 6=0 para todo x em I sao ambas importantes. Especificamente, se an(x) = 0 para algum x no in-
tervalo, entao a solucao para um problema de valor inicial linear pode nao serunica ou nem
mesmo existir.
Exemplo 5.4 Verifique se a funcao y= cx2 + x+ 3 e uma solucao para o problema de valor
inicial{
x2y′′−2xy′ +2y = 6
y(0) = 3, y′(0) = 1
no intervalo de(−∞,+∞) para qualquer escolha do parametro c.
Problema de Valor de Contorno
Um outro tipo de problema consiste em resolver uma equacao diferencial de ordem dois ou
maior na qual a variavel dependentey ou suas derivadas sao especificadas em pontos diferentes.
Um problema como
Resolva: a2(x)d2ydx2 +a1(x)
dydx
+a0(x)y = g(x)
Su jeita: y(a) = y0, y(b) = y1
56
e chamado deproblema de valor de contorno. Os valores especificadosy(a) = y0 ey(b) = y1
sao chamados decondicoes de contornoou de fronteira. Uma solucao para o problema em
questaoe uma funcao que satisfaca a equacao diferencial em algum intervaloI , contendoa eb,
cujo grafico passa pelos pontos(a,y0) e (b,y1).
Exemplo 5.5 Verifique que, no intervalo(0,+∞), a funcao y= 3x2−6x+3 satisfaz a equacao
diferencial e as condicoes de contorno do problema de valor de contorno
{
x2y′′−2xy′ +2y = 6
y(1) = 0, y(2) = 3
Para uma equacao diferencial de segunda ordem, outras condicoes de contorno podem ser
1. y′(a) = y′0 , y(b) = y1;
2. y(a) = y0 , y′(b) = y′1;
3. y′(a) = y′0 , y′(b) = y′1.
em quey0,y′0,y1ey′1 denotam constantes arbitrarias.
Os proximos exemplos mostram que, mesmo quando as condicoes do teorema(5.1) sao
satisfeitas, um problema de valor de contorno pode ter:
1. varias solucoes;
2. umaunica solucao;
3. nenhuma solucao.
Exemplo 5.6 Verifique se y= c1cos4x+c2sin4x e uma solucao para a equacao
y′′ +16y = 0
Suponha agora que queiramos determinar aquela solucao para a equacao que tambem satisfaca
as condicoes de contorno.
1. y(0) = 0 , y(π2) = 0;
2. y(0) = 0 , y(π8) = 0;
3. y(0) = 0 , y(π2) = 1.
57
LISTA DE EXERC ICIOS
1. Sabe-se quey= c1ex+c2e−x e uma famılia a dois parametros de solucoes paray′′−y= 0
no intervalo(−∞,+∞). Encontre um membro dessa famılia satisfazendo as condicoes
iniciaisy(0) = 0 , y′(0) = 1.
2. Sabe-se quey = c1e4x + c2e−x e uma famılia a dois parametros de solucoes paray′′−3y′−4y = 0 no intervalo(−∞,+∞). Encontre um membro dessa famılia satisfazendo as
condicoes iniciaisy(0) = 1 , y′(0) = 2.
3. Sabe-se quey = c1x+ c2xlnx e uma famılia a dois parametros de solucoes parax2y′′−xy′ + y = 0 no intervalo(−∞,+∞). Encontre um membro dessa famılia satisfazendo as
condicoes iniciaisy(1) = 3 , y′(1) = −1.
4. Sabe-se quey = c1excosx+ c2exsinx e uma famılia a dois parametros de solucoes para
y′′−2y′ +2y = 0 no intervalo(−∞,+∞). Encontre, se existir, um membro dessa famılia
satisfaca as condicoes.
(a) y(0) = 1, y′(0) = 0;
(b) y(0) = 1, y′(π) = −1;
(c) y(0) = 1, y(π2) = 1;
(d) y(0) = 1, y(π) = 0.
5.1.2 Dependencia Linear e Independencia Linear
Os dois proximos conceitos sao basicos para o estudo de equacoes diferenciais lineares.
Definicao 5.1 (Dependencia Linear) - Dizemos que um conjunto de funcoes
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
e linearmente dependenteem um intervalo I se existirem constantes c1,c2, · · · ,cn nao todas
nulas, tais que
c1 f1(x)+c2 f2(x)+ · · ·+cn fn(x) = 0
para todo x no intervalo.
Definicao 5.2 (Independencia Linear) - Dizemos que um conjunto de funcoes
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
58
e linearmente independenteem um intervalo I se ela nao e linearmente dependente no inter-
valo.
Em outras palavras, um conjunto de funcoese linearmente independente em um intervalo
se asunicas constantes para as quais
c1 f1(x)+c2 f2(x)+ · · ·+cn fn(x) = 0
para todox no intervalo, saoc1 = c2 = · · · = cn = 0.
E facil de entender essas definicoes no caso de duas funcoes f1(x) e f2(x). Se as funcoes
sao linearmente dependentes em um intervalo, entao existem constantesc1 e c2, que nao sao
ambas nulas, tais que, para todox no intervalo,
c1 f1(x)+c2 f2(x) = 0
Portanto, se supomosc1 6= 0, segue-se que
f1(x) = −c2
c1f2(x)
isto e, se duas funcoes sao linearmente dependentes, entao umae simplesmente uma constante
multipla da outra.
Reciprocamente, sef1(x) = c2 f2(x) para alguma constantec2, entao
(−1) f1(x)+c2 f2(x) = 0
para todox em algum intervalo. Logo, as funcoes sao linearmente dependentes, pois pelo menos
uma das constantes (a saberc1 =−1) naoe nula. Concluımos que duas funcoes sao linearmente
independentes quando nenhuma delase multipla da outra em um intervalo.
Exemplo 5.7 Verifique se as funcoes f1(x) = sin2x e f2(x) = sinxcosx sao linearmente depen-
dentes no intervalo de(−∞,+∞).
Exemplo 5.8 Verifique se as funcoes f1(x) = x e f2(x) = |x| sao linearmente dependentes ou
linearmente independentes no intervalo de(−∞,+∞).
Observacao 5.2 Na consideracao de dependencia linear ou independencia linear, o intervalo
no qual as funcoes sao definidase importante. As funcoes f1(x) = x e f2(x) = |x| do exemplo
(5.8) sao linearmente dependentes no intervalo(0,+∞), pois
c1x+c2|x| = c1x+c2x = 0
59
e satisfeita se, por exemplo, c1 = 1 e c2 = −1.
Exemplo 5.9 Verifique se as funcoes f1(x) = cos2x, f2(x) = sin2x, f3(x) = sec2x e f4(x) =
tan2x sao linearmente dependentes no intervalo de(
−π2,+
π2
)
.
Dizemos que um conjunto de funcoes
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
e linearmente dependentes em um intervalo se pelo menos uma funcao pode ser expressa como
uma combinacao linear das outras funcoes.
Exemplo 5.10 Verifique se as funcoes f1(x) =√
x+5, f2(x) =√
x+5x, f3(x) = x−1 e f4(x) =
x2 sao linearmente dependentes no intervalo de(0,+∞).
Wronskiano
O seguinte teorema proporciona condicao suficiente para a independencia linear den funcoes
em um intervalo. Supomos que cada funcao seja diferenciavel pelo menosn−1 vezes.
Teorema 5.2 (Criterio para Independencia Linear de Funcoes)- Suponha que
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
sejam diferenciaveis pelo menos n−1 vezes. Se o determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
f1 f2 · · · fn
f ′1 f ′2 · · · f ′n...
......
...
f (n−1)1 f (n−1)
2 · · · f (n−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, entao as funcoes f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
serao linearmente independentes no intervalo.
O determinante do teorema precedentee denotado por
W( f1(x), f2(x), · · · , fn(x))
e e chamado oWronskiano das funcoes.
60
Observacao 5.3 Josef Maria Hoene Wronski (1778-1853) Nascido na Polonia e educado
na Alemanha, Wronski passou a maior parte de sua vida na Franc¸a. Mais um filosofo do
que um matematico, ele acreditou que a verdade absoluta poderia ser alcancada atraves da
matematica. Suaunica contribuicao digna de notaa matematica foi o determinante acima.
Sempre um excentrico, eventualmente tinha crises de insanidade.
Corolario 5.1 Se f1(x), f2(x), · · · , fn(x) possuem pelo menos(n− 1) derivadas e sao linear-
mente dependentes em I, entao
W( f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) = 0
para todo x no intervalo.
Exemplo 5.11 Verifique se as funcoes f1(x) = sin2x e f2(x) = 1− cos2x sao linearmente de-
pendentes no intervalo de(−∞,+∞), depois calcule o W( f1(x), f2(x)).
Exemplo 5.12 Verifique se as funcoes f1(x) = em1x e f2(x) = em2x tal que m1 6= m2 sao L.I.
Exemplo 5.13 Verifique que seα e β sao numeros reais,β 6= 0, entao y1 = eαxcos(βx) e
y2 = eαxsin(βx) sao linearmente independentes em qualquer intervalo do eixox.
Exemplo 5.14 Verifique se as funcoes f1 = ex, f2 = xex e f3 = x2ex sao linearmente indepen-
dentes em qualquer intervalo do eixo x.
Observacao 5.4 Vimos no exemplo(5.8) que f1(x) = x e f2(x) = |x| sao linearmente indepen-
dentes no intervalo(−∞,+∞), porem, nao e possıvel calcular o Wronskiano, pois f2 nao e
difetenciavel em x= 0.
Um conjunto de funcoes f1(x), f2(x), · · · , fn(x) pode ser linearmente independente em al-
gum intervalo, mesmo que o Wronskiano seja nulo.
Exemplo 5.15 Verifique que:
1. f1 = x2 e f2 = x|x| sao linearmente independentes em(−∞,+∞).
2. W( f1(x), f2(x)) = 0 para todo numero real.
61
Exercıcio 5.1 Determine se as funcoes dadas sao linearmente independentes ou dependentes
em(−∞,+∞).
1. f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = 4x−3x2;
2. f1(x) = 5, f2(x) = cos2x, f3(x) = sin2x;
3. f1(x) = x, f2(x) = x−1, f3(x) = x+3;
4. f1(x) = 1+x, f2(x) = x, f3(x) = x2.
Exercıcio 5.2 Mostre, calculando o Wronskiano, que as funcoes dadas sao linearmente inde-
pendentes no intervalo indicado.
1. x12 , x2; (0,+∞).
2. sinx, cscx; (0,π).
3. ex, e−x, e4x; (−∞,+∞).
5.1.3 Solucoes Para Equacoes Lineares
Equacoes Homogeneas
Uma equacao diferencial de n-esima ordem da forma
an(x)dnydxn +an−1(x)
d(n−1)y
dx(n−1)+ · · ·+a1(x)
dydx
+a0(x)y = 0 (5.1.1)
e chamadahomogenea, enquanto
an(x)dnydxn +an−1(x)
d(n−1)y
dx(n−1)+ · · ·+a1(x)
dydx
+a0(x)y = g(x) (5.1.2)
comg(x) nao identicamente zero,e chamada denao-homogenea
Observacao 5.5 1. A palavra homogenea neste contexto nao se refere aos coeficientes como
sendo funcoes homogeneas.
2. A equacao 2y′′ + 3y′ − 5y = 0 e uma equacao diferencial ordinaria linear de segunda
ordem homogenea.
3. A equacao x3y′′′− 2xy′′ + 5y′ + 6y = ex e uma equacao diferencial ordinaria linear de
terceira ordem nao-homogenea.
62
4. Veremos, que, para resolver uma equacao nao-homogenea, devemos primeiro resolver a
equacao homogenea associada.
5. Para evitar repeticoes desnecessarias no decorrer do texto, faremos sempre as seguintes
suposicoes com relacao as equacoes lineares(5.1.1) e (5.1.2). Em algum intervalo I,
(a) os coeficientes ai(x); i = 0,1, · · · ,n sao contınuas;
(b) a funcao g(x) e contınua;
(c) an(x) 6= 0 para todo x no intervalo.
Princıpio de Superposicao
No proximo teorema, veremos que a soma, ousuperposicao, de duas ou mais solucoes para
uma equacao diferencial linear homogeneae tambem uma solucao.
Teorema 5.3 (Principıo de Superposicao - Equacao Homogenea)
Sejam y1,y2, · · · ,yk solucoes para a equacao diferencial linear de n-esima ordem homogenea
(5.1.1) em um intervalo I. Entao, a combinacao linear
y = c1y1(x)+c2y2(x)+ · · ·+ckyk(x)
em que os ci, i = 1,2, · · · ,k sao constantes arbitrarias, e tambem uma solucao no intervalo.
Corolario 5.2 1. Um multiplo y = c1y1(x) de uma solucao y1(x) para uma equacao dife-
rencial linear homogeneae tambem uma solucao;
2. Uma equacao diferencial linear homogenea sempre possui a solucao trivial y = 0.
Exemplo 5.16 Verifique usando o princıpio de superposicao que, a combinacao linear
y = c1x2 +c2x2 lnx
e solucao para a equacao homogenea
x3y′′′−2xy′ +4y = 0
no intervalo(0,+∞).
63
Exemplo 5.17 Verifique usando o princıpio de superposicao que, a combinacao linear
y = c1ex +c2e2x +c3e3x
e solucao para a equacao homogenea
d3ydx3 −6
d2ydx2 +11
dydx
−6y = 0
em(−∞,+∞).
Exemplo 5.18 Verifique se y= cx2 e solucao para a equacao linear homogenea
x2y′′−3xy′ +4y = 0
em(0,+∞), usando o corolario (5.2).
Solucoes Linearmente Independentes
Estamos interessados em determinar quandon solucoesy1,y2, · · · ,yn para a equacao di-
ferencial homogenea(5.1.1) sao linearmente independentes. Surpreendentemente, o Wrons-
kiano nao nulo em um conjunto den solucoes em um intervaloI e necessario e suficiente para
a independencia linear.
Teorema 5.4 (Criterio para Independencia Linear de Solucoes)
Sejam y1,y2, · · · ,yn n solucoes para a equacao diferencial linear homogenea de n-esima
ordem(5.1.1) em um intervalo I. Entao, o conjunto de solucoese linearmente independente
em I se e somente se
W(y1,y2, · · · ,yn) 6= 0
para todo x no intervalo.
Definicao 5.3 (Conjunto Fundamental de Solucoes)
Qualquer conjunto y1,y2, · · · ,yn de n solucoes linearmente independentes para a equacao
diferencial linear homogenea de n-esima ordem(5.1.1) em um intervalo Ie chamado decon-
junto fundamental de solucoesno intervalo.
Teorema 5.5 Sejam y1,y2, · · · ,yn n solucoes linearmente independentes para a equacao dife-
rencial linear homogenea de n-esima ordem(5.1.1) em um intervalo I. Entao, toda solucao
64
Y(x) para (5.1.1) e uma combinacao linear das n solucoes independentes y1,y2, · · · ,yn, ou
seja, podemos encontrar constantes C1,C2, · · · ,Cn, tais que
Y = C1y1 +C2y2 + · · ·+Cnyn
A questao basica de existencia de um conjunto fundamental para uma equacao lineare
respondida no proximo teorema.
Teorema 5.6 (Existencia de um Conjunto Fundamental)
Existe um conjunto fundamental de solucoes para a equacao diferencial linear homogenea
de n-esima ordem(5.1.1) em um intervalo I.
Definicao 5.4 (Solucao Geral - Equacoes Homogeneas)
Sejam y1,y2, · · · ,yn n solucoes linearmente independentes para a equacao diferencial linear
homogenea de n-esima ordem(5.1.1) em um intervalo I. Asolucao geralpara a equacao no
intervaloe definida por
y = c1y1 +c2y2 + · · ·+cnyn
em que os ci, i = 1,2, · · · ,n sao constantes arbitrarias.
Lembre-se de que a solucao geral,e tambem chamada desolucao completapara a equacao
diferencial.
Exemplo 5.19 Sabendo que a equacao diferencial de segunda ordem
y′′−9y = 0
possui duas solucoes
y1 = e3x e y2 = e−3x
encontre a solucao geral.
Exemplo 5.20 Sabendo que as funcoes
y1 = ex , y2 = e2x e y3 = e3x
satisfazem a equacao de terceira ordem
d3ydx3 −6
d2ydx2 +11
dydx
−6y = 0
65
encontre a solucao geral para a equacao diferencial no intervalo(−∞,+∞).
Equacoes Nao-Homogeneas
Voltamos agora nossa atencao para a definicao de solucao geral para uma equacao linear
nao-homogenea. Qualquer funcao yp, independente de parametros, que satisfaca(5.1.2) e
chamada desolucao particular para a equacao (algumas vezese chamada deintegral partic-
ular ).
Exemplo 5.21 1. Verifique se yp = 3 e uma solucao particular para y′′ +9y = 27.
2. Verifique se yp = x3−x e uma solucao particular para x2y′′ +2xy′−8y = 4x3 +6x.
Teorema 5.7 Sejam y1,y2, · · · ,yn solucoes para a equacao diferencial linear homogenea de
n-esima ordem(5.1.1) em um intervalo I e seja yp qualquer solucao para a equacao nao-
homogenea(5.1.2) no mesmo intervalo. Entao
y = c1y1 +c2y2 + · · ·+cnyn +yp(x)
e tambem uma solucao para a equacao nao-homogenea no intervalo para qualquer constantes
c1,c2, · · · ,cn.
Podemos agora provar o analogo do Teorema (5.5) para as equacoes diferenciais nao-
homogeneas.
Teorema 5.8 Seja yp uma dada solucao para a equacao diferencial linear nao-homogenea de
n-esima ordem (5.1.2) em um intervalo I e sejam{y1,y2, · · · ,yn} um conjunto fundamental de
solucoes para a equacao homogenea associada (5.1.1) no intervalo. Entao, para qualquer
solucao Y(x) de (5.1.2) em I, podemos encontrar constantes C1,C2, · · · ,Cn tais que
Y = C1y1(x)+C2y2(x)+ · · ·+Cnyn(x)+yp(x).
Definicao 5.5 (Solucao Geral - Equacoes Nao-homogeneas)Seja yp uma dada solucao para
a equacao diferencial linear nao-homogenea de n-esima ordem(5.1.2) em um intervalo I e seja
yc = c1y1(x)+c2y2(x)+ · · ·+cnyn(x)
a solucao geral para a equacao homogenea associada(5.1.1) no intervalo. Asolucao geral
para a equacao nao-homogenea no intervaloe definida por
y = c1y1(x)+c2y2(x)+ · · ·+cnyn(x)+yp(x) = yc(x)+yp(x)
66
Funcao Complementar
Na definicao(5.5), a combinacao linear
yc = c1y1(x)+c2y2(x)+ · · ·+cnyn(x)
quee a solucao geral para(5.1.1), e chamada defuncao complementarpara a equacao(5.1.2).
Em outras palavras, a solucao geral para uma equacao diferencial linear nao-homogeneae
y = funcao complementar + qualquer solucao particular
Exemplo 5.22 Verifique se a funcao yp = −1112
− 12
x e uma solucao particular para a equacao
nao-homogenead3ydx3 −6
d2ydx2 +11
dydx
−6y = 3x
depois, descreva a solucao geral para a equacao.
Exercıcio 5.3 Verifique que as funcoes dadas formam um conjunto fundamental de solucoes
para a equacao diferencial no intervalo indicado. Forme a solucao geral.
1. y′′−y′−12y = 0; e−3x, e4x, (−∞,+∞).
2. y′′−2y′ +5y = 0; excos2x, exsin2x, (−∞,+∞).
3. x2y′′−6xy′ +12y = 0; x3, x4, (0,+∞).
4. x3y′′′ +6x2y′′ +4xy′−4y = 0; x, x−2, x−2 lnx, (0,+∞).
Exercıcio 5.4 Verifique que a dada famılia a dois parametros de funcoese a solucao geral para
a equacao diferencial nao-homogenea no intervalo indicado.
1. y′′−7y′ +10y = 24ex; y = c1e2x +c2e5x +6ex, (−∞,+∞).
2. y′′−4y′ +4y = 2e2x +4x−12; y = c1e2x +c2xe2x +x2e2x +x−2, (−∞,+∞).
67
5.2 CONSTRUINDO UMA SEGUNDA SOLUCAO A PARTIR DE UMA SOLUCAO CON-HECIDA
Reducao de Ordem
Um dos fatos mais interessantes e importantes no estudo de equacoes diferenciais lineares
de segunda ordeme que podemos construir uma segunda solucao a partir de uma solucao con-
hecida. Suponha quey1(x) seja uma solucao nao trivial para a equacao
a2(x)y′′ +a1(x)y′ +a0(x)y = 0 (5.2.1)
Supomos, como fizemos na secao precedente, que os coeficientes em(5.2.1) sao contınuos
e a2(x) 6= 0 para todox em um intervaloI . O processo que usaremos para encontrar uma
segunda solucaoy2(x) consiste emreduzir a ordem da equacao (5.2.1), transformando-a em
uma equacao de primeira ordem. Por exemplo, verifica-se facilmente que y1 = ex satisfaz a
equacao diferencialy′′ − y = 0. Se tentarmos determinar uma solucao da formay = u(x)ex
entao
y′ = uex +exu′
y′′ = uex +2exu′ +exu′′
assim
y′′−y = ex(u′′ +2u′) = 0
Comoex 6= 0, estaultima equacao implica queu′′ +2u′ = 0.
Se fizermosw = u′, entao a equacao acima sera uma equacao linear de primeira ordem em
w, w′ +2w = 0. Usando o fator de integracaoe2x, podemos escrever,
ddx
[e2xw] = 0
w = c1e−2x ou u′ = c1e−2x
Logo,
u = −c1
2e−2x +c2
assim,y = u(x)ex = −c12 e−x +c2ex. Escolhendoc2 = 0 ec1 = −2, obtemos a segunda solucao
y2 = e−x. Como
W(ex,e−x) 6= 0
para todox, as solucoes sao linearmente independentes em(−∞,+∞), portanto a expressao
paray e de fato a solucao geral para a equacao dada.
68
Exemplo 5.23 Verifique se y1 = x3 e solucao para a equacao x2y′′−6y = 0. Se for solucao,
use reducao de ordem para encontrar uma segunda solucao no intervalo de(0,+∞).
Caso Geral
Dividindo a equacao(5.2.1) pora2(x), esta toma a forma padrao
y′′ +P(x)y′ +Q(x)y = 0 (5.2.2)
em queP(x) eQ(x) sao contınuas em algum intervaloI . Vamos supor ainda quey1(x) seja uma
solucao conhecida para(5.2.2) em I e quey1(x) 6= 0 para todox no intervalo. Se definirmos
y = u(x)y1(x), segue-se que
y′ = uy′1 +y1u′
y′′ = uy′′1 +2y′1u′ +y1u′′
y′′ +Py′ +Qy= u[y′′1 + py′1 +Qy1]︸ ︷︷ ︸
zero
+y1u′′ +(2y′1 + py1u′) = 0
Isso implica que devemos ter
y1u′′ +(2y′1 +Py1)u′ = 0
ou
y1w′ +(2y′1 +Py1)w = 0 (5.2.3)
em que substituımosw = u′. Observe que a equacao (5.2.3) e linear e separavel. Aplicando
estaultima tecnica, obtemos
dww
+2y′1y1
dx+Pdx = 0
ln |w|+2ln|y1| = −∫
Pdx+C
ln |wy21| = −
∫
Pdx+C
wy21 = c1e−
∫Pdx
w = c1e−
∫Pdx
y21
Integrando novamente
u = c1
∫e−
∫Pdx
y21
dx+c2
e portanto
y = u(x)y1 = c1y1(x)∫
e−∫
Pdx
y21
dx+c2y1(x)
69
Escolhendoc2 = 0 ec1 = 1, concluımos que uma segunda solucao para a equacao(5.2.2) e
y2 = y1(x)∫
e−∫
Pdx
y21
dx (5.2.4)
E um bom exercıcio de derivacao comecar com a formula (5.2.4) e verificar que a equacao
(5.2.2) e satisfeita.
Agora,y1(x) ey2(x) sao linearmente independentes, pois
w(y1(x),y2(x)) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y1
∫e−
∫Pdx
y21
dx
y′1 y′1
∫e−
∫Pdx
y21
dx+y1e−
∫Pdx
y21
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= e−∫
Pdx
e diferente de zero em qualquer intervalo em quey1(x) seja diferente de zero.
Exemplo 5.24 Verifique se a funcao y1 = x2 e uma solucao para a equacao
x2y′′−3xy′ +4y = 0
Encontre se possıvel a solucao geral no intervalo(0,+∞).
Exercıcio 5.5 Encontre uma segunda solucao para cada equacao diferencial. Use reducao de
ordem ou a formula(5.2.4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
1. y′′ +5y′ = 0; y1 = 1.
2. y′′−4y′ +4y = 0; y1 = e2x.
3. y′′ +16y = 0; y1 = cos4x.
4. xy′′ +y′ = 0; y1 = lnx.
Exercıcio 5.6 Use o metodo de reducao de ordem para encontrar uma solucao para a equacao
nao-homogenea dada. A funcao indicada y1(x) e uma solucao para a equacao homogenea as-
sociada. Determine uma segunda solucao para a equacao homogenea e uma solucao particular
da equacao nao-homogenea.
1. y′′−4y = 2; y1 = e−2x.
2. y′′−3y′ +2y = 5e3x; y1 = ex.
70
5.3 EQUACOES LINEARES HOMOGENEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vimos que a equacao linear de primeira ordemdydx
+ ay = 0, em quea e uma constante,
possui solucao exponencialy = c1e−ax em(−∞,+∞). Portanto,e natural procurar determinar
se solucoes exponenciais existem em(−∞,+∞) para equacoes de ordem maior como
any(n) +a(n−1)y(n−1) + · · ·+a2y′′ +a1y′ +a0y = 0 (5.3.1)
em que osai , i = 0,1, · · · ,n sao constantes. O fato surpreendentee que todas as solucoes para
(5.3.1) sao funcoes exponenciais ou construıdas a partir de funcoes exponenciais. Comecamos
considerando o caso especial da equacao de segunda ordem
ay′′ +by′ +cy = 0 (5.3.2)
Equacao Auxiliar
Se tentarmos uma solucao da formay = emx, entao y′ = memx e y′′ = m2emx. Assim a
equacao(5.3.2) torna-se
am2emx+bmemx+cemx = 0
ou
emx(am2 +bm+c) = 0
Comoemx nunca se anula para valores reais dex, entao aunica maneira de fazer essa funcao
exponencial satisfazer a equacao diferenciale escolherm de tal forma que ele seja raiz da
equacao quadratica
am2 +bm+c = 0 (5.3.3)
Essaultima equacao e chamada deequacao auxiliar ou equacao caracterıstica da equacao
diferencial(5.3.2). Consideramos tres casos: as solucoes para a equacao auxiliar correspon-
dem as raızes reais distintas, raızes reais iguais e raızes complexas conjugadas.
• Caso 1: Raızes Reais Distintas- Com a hipotese de que a equacao auxiliar 5.3.3 possui
duas raızes reais distintasm1 em2, encontramos duas solucoes
y1 = em1x e y2 = em2x
Vimos que essas funcoes sao linearmente independentes em(−∞,+∞) e portanto formam
um conjunto fundamental. Segue-se que a solucao geral para a equacao (5.3.2) nesse
71
intervaloe
y = c1em1x +c2em2x (5.3.4)
• Caso 2: Raızes Reais Iguais- Quandom1 = m2, obtemos somente uma solucao expo-
nencialy1 = em1x. Porem, segue-se imediatamente da discusao da Secao anterior que uma
solucaoe
y2 = em1x∫
e−bax
e2m1xdx (5.3.5)
Mas, da forma quadratica, temosm1 = − b2a, pois aunica maneira de term1 = m2 e ter
b2−4ac= 0. Em vista do fato de que 2m1 = −ba torna-se
y2 = em1x∫
e2m1x
e2m1xdx= xem1x
a solucao para 5.3.2 e entao
y = c1em1x +c2xem1x (5.3.6)
• Caso 3: Raızes Complexas Conjugadas- Sem1 e m2 sao complexas, entao podemos
escrever
m1 = α + iβ e m2 = α − iβ
em α e β > 0 sao numeros reais ei2 = −1. Formalmente, nao ha diferenca entre este
caso e o Caso 1, em que
y = C1e(α+iβ )x +C2e(α−iβ )x.
Porem, na pratica, preferimos trabalhar com funcoes reais em vez de exponenciais com-
plexas. Para este fim, usamos a formula de Euler.
eiθ = cosθ + i sinθ
em queθ e qualquer numero real. Segue-se desta formula que
eiβx = cosβx+ i sinβx e eiβx = cosβx− i sinβx (5.3.7)
em que usamos cos(−βx) = cosβx e sin(−βx) = −sinβx. Note que somando e depois
subtraindo as duas equacoes em(5.3.7), obtemos, respectivamente,
eiβx +e−iβx = 2cosβx e eiβx−e−iβx = 2i sinβx
72
Como y = C1e(α+iβ )x +C2e(α−iβ )x e uma solucao para(5.3.2) para qualquer escolha
das constantesC1 e C2. FazendoC1 = C2 = 1 eC1 = 1, C2 = −1, temos, nesta ordem,
solucoes:
y1 = e(α+iβ )x +e(α−iβ )x e y2 = e(α+iβ )x−e(α−iβ )x
Mas,
y1 = eαx(eiβx +e−iβx) = 2eαxcosβx
e
y2 = eαx(eiβx−e−iβx) = 2ieαxsinβx
Portanto, pelo colorario (5.2) e o Teorema(5.3), os doisultimos resultados mostram que
as funcoeseαxcosβx eeαxsinβx sao solucoes para(5.3.2). Como
W(eαxcosβx,eαxsinβx) = βe2αx 6= 0
β > 0, e daı podemos concluir que as duas funcoes formam um conjunto fundamental
de solucoes para a equacao diferencial em(−∞,+∞). Pelo principıo de superposicao, a
solucao gerale
y = c1eαxcosβx+c2eαxsinβx
y = eαx(c1cosβx+c2sinβx)(5.3.8)
Exemplo 5.25 Resolva as seguintes equacoes diferenciais
1. 2y′′−5y′−3y = 0;
2. y′′−10y′ +25y = 0;
3. y′′ +y′ +y = 0.
Exemplo 5.26 Resolva o problema de valor inicial
{
y′′−4y′ +13y = 0
y(0) = −1, y′(0) = 2
Equacao de Ordem Superior
No caso geral, para resolver uma equacao diferencial den-esima ordem
any(n) +a(n−1)y(n−1) + · · ·+a2y′′ +a1y′ +a0y = 0 (5.3.9)
73
em que osai , i = 0,1, · · · ,n sao constantes reais, devemos resolver uma equacao polinomial de
graun
anmn +an−1mn−1 + · · ·+a2m2 +a1m+a0 = 0 (5.3.10)
Se todas as raızes de(5.3.10) sao reais e distintas, entao a solucao geral para(5.3.9) e
y = c1em1x +c2em2x + · · ·+cnemnx (5.3.11)
E um pouco mais difıcil resumir os analogos dos Casos II e III porque as raızes de uma equacao
auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer com varias combinacoes. Por exemplo, uma
equacao de grau cinco pode ter cinco raızes reais distintas, ou tres raızes reais distintas e duas
complexas, ou uma raiz real e quatro complexas, ou cinco raızes reais iguais, ou cinco raızes
reais, mas duas delas iguais etc. Quandom1 e uma raiz de multiplicidadek de uma equacao au-
xiliar de graun (isto e,k raızes sao iguais am1), pode ser mostrado que as solucoes linearmente
independentes sao
em1x,xem1x,x2em1x, · · · ,xk−1em1x
e a solucao geral tem de conter a combinacao linear
c1em1x +c2xem1x +c3x2em1x + · · ·+ckxk−1em1x
Por ultimo, devemos lembrar que, quando os coeficientes sao reais, raızes complexas de uma
equacao auxiliar sempre aparecem em pares conjugados. Logo, por exemplo, uma equacao
polinomial cubica pode ter no maximo duas raızes complexas.
Exemplo 5.27 Resolva
1. y′′′ +3y′′−4y = 0;
2. 3y′′′ +5y′′ +10y′−4y = 0;
3.d4ydx4 +2
d2ydx2 +y = 0
O exemplo acima ilustra um caso especial quando a equacao auxiliar possui raızes com-
plexas repetidas. No caso geral, sem1 = α + iβ e uma raiz complexa de multiplicidadek de
uma equacao auxiliar com coeficientes reais, entao seu conjugadom1 = α − iβ e tambem uma
raiz de multiplicidadek. A partir das 2k solucoes complexas
e(α+iβ )x,xe(α+iβ )x,x2e(α+iβ )x, · · · ,xk−1e(α+iβ )x
74
e(α−iβ )x,xe(α−iβ )x,x2e(α−iβ )x, · · · ,xk−1e(α−iβ )x
concluımos, com a ajuda da formula de Euler, que a solucao geral para a equacao diferencial
correspondente tem entao de conter uma combinacao linear das 2k solucoes reais linearmente
independentes
eαxcosβx,xeαxcosβx,x2eαxcosβx, · · · ,xk−1eαxcosβx
eαxsinβx,xeαxsinβx,x2eαxsinβx, · · · ,xk−1eαxsinβx
LISTA DE EXERC ICIOS
1. Encontre a solucao geral para a equacao diferencial dada.
(a) 4y′′ +y′ = 0;
(b) y′′−36y = 0;
(c) y′′ +9y = 0;
(d) y′′−y′−6y = 0;
(e)d2ydx2 +
dydx
+16y = 0;
(f) y′′ +3y′−5y = 0;
(g) 12y′′−5y′−2y = 0;
(h) y′′−4y′ +5y = 0;
(i) 3y′′ +2y′ +y = 0;
(j) y′′′−4y′′−5y′ = 0;
(k) y′′′−y = 0;
(l) y′′′−5y′′ +3y′ +9y = 0;
(m) y′′′ +y′′−2y = 0;
(n) y′′′ +3y′′ +3y′ +y = 0;
(o)d4ydx4 +
d3ydx3 +
d2ydx2 = 0;
(p) 16d4ydx4 +24
d2ydx2 +9y = 0;
(q)d5ydx5 −16
dydx
= 0;
(r)d5ydx5 +5
d4ydx4 −2
d3ydx3 −10
d2ydx2 +
dydx
+5y = 0.
2. Resolva a equacao diferencial dada sujeitaas condicoes iniciais indicadas.
75
(a)
{
y′′ +16y = 0
y(0) = 2, y′(0) = −2
(b)
{
y′′ +6y′ +5y = 0
y(0) = 0, y′(0) = 3
(c)
{
2y′′−2y′ +y = 0
y(0) = −1, y′(0) = 0
(d)
{
y′′ +y′ +2y = 0
y(0) = y′(0) = 0
(e)
{
y′′−3y′ +2y = 0
y(1) = 0, y′(1) = 1
(f)
{
y′′′ +12y′′ +36y′ = 0
y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = −7
(g)
{
y′′′−8y = 0
y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = 0
(h)
d4ydx4 −3
d3ydx3 +3
d2ydx2 −
dydx
= 0
y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = y′′′(0) = 1
3. Resolva a equacao diferencial dada sujeitaas condicoes de contorno indicada.
(a)
{
y′′−10y′ +25y = 0
y(0) = 1, y(1) = 0
(b)
y′′ +y = 0
y′(0) = 0, y′(π2) = 2
4. As raızes de uma equacao auxiliar saom1 = 4, m2 = m3 = −5. Quale a equacao diferen-
cial correspondente?
5. Encontre a solucao geral para a equacaoy′′′−9y′′ +25y′−17y = 0, em quey1 = ex.
76
5.4 OPERADORES DIFERERENCIAIS
Em calculo, usamos frequentemente a letra maiusculaD para denotar derivacao; istoe,
dydx
= Dy
O sımboloD e chamado deoperador diferencial; ele transforma uma funcao diferenciavel em
outra funcao; por exemplo,
D(e4x) = 4e4x , D(5x3−6x2) = 15x2−12x e D(cos2x) = −2sin2x
O operador diferencialD tambem possui uma propriedade de linearidade;D operando em
uma combinacao linear de duas funcoes diferenciaveise o mesmo que a combinacao linear de
D operando nas funcoes individualmente. Em sımbolos, isso significa
D{a f(x)+bg(x)} = aD f(x)+bDg(x) (5.4.1)
em quea e b sao constantes. Por causa da igualdade(5.4.1), dizemos queD e umoperador
diferencial linear
Derivadas de Ordem Superior
Derivadas de ordem superior podem ser expressas em termos deD de uma maneira natural:
ddx
(dydx
)
=d2ydx2 = D(Dy) = D2y , e no caso geral,
dnydxn = Dny
em quey representa uma funcao suficientemente diferenciavel. Expressoes polinomiais envol-
vendoD, tais como
D+3 , D2 +3D−4 e 5D3−6D2 +4D+9
sao tambem operadores diferenciais lineares.
Equacoes Diferenciais
Qualquer equacao diferencial linear pode ser expressa em termos deD. Por exemplo,
uma equacao diferencial de segunda ordem com coeficientes constantesay′′ + by′ + cy= g(x)
pode ser escrita como
aD2y+bDy+cy= g(x) ou (aD2 +bD+c)y = g(x)
77
Se definirmosL = aD2 +bD+c, entao aultima equacao pode ser escrita de maneira com-
pacta como
L(y) = g(x)
O operadorL = aD2 +bD+ c e chamado deoperador diferencial linear de segunda ordem
com coeficientes cosntantes.
Exemplo 5.28 Escreva a equacao
y′′ +y′ +2y = 5x−3
em termos do operador diferencial.
Um operador diferencial linear de n-esima ordem
L = anDn +an−1Dn−1 + · · ·+a1D+a0
com coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinomio caracterıstico
anmn +an−1mn−1 + · · ·+a1m+a0
tambem se fatora. Por exemplo, se tratarmosD como uma quantidade algebrica, entao D2 +
5D+6 pode ser fatorado como(D+2)(D+3) ou como(D+3)(D+2). Em outras palavras,
para uma funcaoy = f (x) duas vezes diferenciavel
(D2 +5D+6)y = (D+2)(D+3)y = (D+3)(D+2)y
Para ver por que isso funciona assim, sejaw = (D+3)y = y′ +3y, entao
(D+2)w = Dw+2w = (y′′ +3y′)+(2y′ +6y) = y′′ +5y′ +6y
Analogamente, se colocarmosw = (D+2)y = y′ +2y, entao
(D+3)w = Dw+3w = (y′′ +2y′)+(3y′ +6y) = y′′ +5y′ +6y
Isso ilustra uma propriedade geral:
Fatores de um operador linear com coeficientes constantes comutam
Exemplo 5.29 Escreva a equacao
y′′ +4y′ +4y = 0
78
em termos do operador diferencial (forma fatorada).
Operador Anulador
SeL e um operador diferencial com coeficientes constantes ey = f (x) e uma funcao sufi-
cientemente diferenciavel, tal que
L(y) = 0
entao dizemos queL e um anulador da funcao. Por exemplo, sey = k (uma constante), entao
Dk = 0. Ainda,D2x = 0, D3x2 = 0 e assim por diante.
O operador diferencial Dn anula cada uma das funcoes
1,x,x2,x3, · · · ,xn−1 (5.4.2)
Como consequencia imediata de(5.4.2) e do fato de que a derivacao pode ser feita termo a
termo, um polinomio
c0 +c1x+c2x2 + · · ·+cn−1xn−1
e anulado por um operador que anula a maior potencia dex.
Exemplo 5.30 Encontre um operador diferencial que anula
1−5x2 +8x3
Observacao 5.6 As funcoes que sao anuladas por um operador diferencial linear de n-esima
ordem L sao simplesmente aquelas que podem ser obtidas a partir da solucao geral para a
equacao homogenea L(y) = 0.
O operador diferencial (D−α)n anula cada uma das funcoes
eαx,xeαx,x2eαx, · · · ,xn−1eαx (5.4.3)
Para ver isso, note que a equacao auxiliar da equacao homogenea(D−α)ny = 0 e (m−α)n = 0. Comoα e uma raiz de multiplicidaden, a solucao gerale
y = c1eαx +c2xeαx +c3x2eαx + · · ·+cnxn−1eαx
79
Exemplo 5.31 Encontre um operador anulador para
1. e5x;
2. 4e2x−6xe2x.
Quandoα e β sao numeros reais, a formula quadratica mostra que
[m2−2αm+(α2 +β 2)]n = 0
possui raızes complexasα +β i, α −β i, ambas de multiplicidaden.
O operador diferencial [D2−2αD+(α2 +β 2)]n anula cada uma das funcoes
eαxcosβx,xeαxcosβx,x2eαxcosβx, · · · ,xn−1eαxcosβx
eαxsinβx,xeαxsinβx,x2eαxsinβx, · · · ,xn−1eαxsinβx(5.4.4)
Exemplo 5.32 Encontre um operador anulador para y= 5e−xcos2x−9e−xsin2x.
Exemplo 5.33 Encontre um operador anulador para
y = c1cosx+c2sinx+c3xcosx+c4xsinx
Estamos interessados em anuladores da soma de duas ou mais funcoes. SeL e um operador
diferencial linear tal queL(y1) = 0 eL(y2) = 0, entaoL anula a combinacao linearc1y1(x)+
c2y2(x). Isto e uma consequencia direta do Teorema(5.3). Vamos supor agora queL1 e L2 sao
operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que,L1 anulay1(x) e L2 anula
y2(x), masL1(y2) 6= 0 eL2(y1) 6= 0. Entao, oo produto dos operadores diferenciais L1L2 anula
a somac1y1(x)+ c2y2(x). Podemos facilmente demonstrar isso usando linearidade e ofato de
queL1L2 = L2L1:
L1L2(y1 +y2) = L1L2(y1)+L1L2(y2)
= L2L1(y1)+L1L2(y2)
= 0
(5.4.5)
Exemplo 5.34 Encontre um operador diferencial que anula7−x+6sin3x.
Exemplo 5.35 Encontre um operador diferencial que anula e−3x +xex.
Observacao 5.7 O operador diferencial que anula uma funcao nao e unico. Por exemplo,
sabemos que D−5 anula e5x, mas tambem os operadores diferenciais de ordem superior, como
80
(D−5)(D + 1) e (D−5)D2, anulam essa funcao. Quando procuramos um anulador diferen-
cial para uma funcao y= f (x), queremos o operador de menor ordem possıvel que faca este
trabalho.
LISTA DE EXERC ICIOS
1. Escreva a equacao diferencial na formaL(y) = g(x).
(a)dydx
+5y = 9sinx;
(b) 3y′′−5y′ +y = ex;
(c) y′′′−4y′′ +5y′ = 4x.
2. Se possıvel, fatore o operador diferencial dado.
(a) 9D2−4;
(b) D2−4D−12;
(c) D3 +2D−13D+10;
(d) D4 +8D.
3. Verifique que o operador diferencial dado anula a funcao indicada.
(a) D4 ; y = 10x3−2x;
(b) (D−2)(D+5) ; y = 4e2x.
4. Encontre um operador diferencial que anule a funcao dada.
(a) 1+6x−2x3;
(b) 1+7e2x;
(c) cos2x;
(d) 13x+9x2−sin4x;
(e) e−x +2xex−x2ex;
(f) 3+excos2x.
81
5.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR ANULADORES
Para obter a solucao geral para uma equacao diferencial linear nao-homogenea devemos
fazer duas coisas:
1. Encontrar a funcao complementaryc.
2. Encontrar uma solucao particularyp para a equacao nao-homogenea.
Lembre-se de que uma solucao particulare qualquer funcao, independente de constantes,
que satisfaca a equacao diferencial. A solucao geral para uma equacao nao-homogenea em um
intervaloe entaoy = yc +yp.
SeL denota um operador diferencial linear da formaanDn + an−1Dn−1 + · · ·+ a1D + a0,
entao uma equacao diferencial linear nao homogenea pode ser escrita simplesmente como
L(y) = g(x) (5.5.6)
O metodo dos coeficientes indeterminadosapresentado nesta secao limita-se a equacoes
lineares nao-homogeneas
• que tem coeficiente constantes, e
• em queg(x) e uma constantek, uma funcao polinomial, uma funcao exponencialeαx,
sinβx, cosβx ou somas e produtos finitos dessas funcoes.
Observacao 5.8 Precisamente, g(x) = k, (uma constante)e uma funcao polinomial. Como
uma funcao constante nao e provavelmente a primeira coisa que lhe vema mente quando voce
pensa em funcoes polinomiais, para enfatizar, continuamos a usar a redundancia “funcoes
constantes, polinomiais,· · · ”
O que segue sao alguns exemplos de tipos de funcoes aplicadasg(x) que sao apropriados
para essa discussao:
g(x) = 10
g(x) = x2−5x
g(x) = 15x−6+8e4x
g(x) = sin3x−5xcos2x
g(x) = excosx− (3x2−1)e−x
(5.5.7)
82
e assim por diante. Em outras palavras,g(x) e uma combinacao linear de funcoes da forma
k(constante) , xm , xmeαx , xmeαxcosβx e xmeαxsinβx.
em quem e um inteiro nao negativo eα e β sao numeros reais. O metodo dos coeficientes
indeterminados nao se aplica a equacoes da forma(5.5.6) quando, por exemplo,
g(x) = lnx , g(x) =1x
, g(x) = tanx e g(x) = arcsinx.
Como vimos, uma combinacao linear de funcoes do tipo
k(constante) , xm , xmeαx , xmeαxcosβx e xmeαxsinβx
e precisamente o tipo de funcao que pode ser anulada por um operadorL1 (de menor ordem)
consistindo em um produto de operadores tais como
Dn , (D−α)n e [D2−2αD+(α2 +β 2)]n
AplicandoL1 a ambos os membros de(5.5.6), obtemos
L1L(y) = L1(g(x)) = 0 (5.5.8)
Resolvendo aequacao homogeneade ordem maiorL1L(y) = 0, podemos descobrir a forma
de uma solucao particularyp para a equacao nao-homogenea originalL(y) = g(x).
Exemplo 5.36 Resolva a equacao y′′ +3y′ +2y = 4x2;
Exemplo 5.37 Resolva a equacao y′′−3y′ = 8e3x +4sinx.
Resumo do Metodo
Para sua conveniencia, o metodo dos coeficientes indeterminados esta aqui resumido:
Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Anuladores
A equacao diferencialL(y) = g(x) tem coeficientes constantes e a funcao consiste em somas
e produtos finitos de constantes, funcoes polinomiais, funcoes exponenciaiseαx, senos e co-
senos.
1. Encontre a solucao complementaryc para a equacao homogeneaL(y) = 0.
83
2. Opere em ambos os lados da equacao nao-homogeneaL(y) = g(x) com um operador
diferencialL1, que anula a funcaog(x).
3. Encontre a solucao geral para a equacao diferencial homogenea de maior ordemL1L(y) =
0.
4. Desconsidere todos os termos da solucao encontrada em(3) que estao duplicados na
solucao complementaryc encontrado em(1). Forme uma combinacao linearyp dos ter-
mos restantes. Essae a forma de uma solucao particular paraL(y) = g(x).
5. Substituayp encontrada em(4) na equacao L(y) = g(x). Agrupe os coeficientes das
funcoes em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equacoes para os
coeficientes indeterminados emyp.
6. Com a solucao particular encontrada em(5), forme a solucao geraly = yc + yp para a
equacao diferencial dada.
LISTA DE EXERC ICIOS
1. Resolva a equacao diferencial dada pelo metodo dos coeficientes indeterminados.
(a) y′′−9y = 54;
(b) y′′ +y′ = 3;
(c) y′′ +4y′ +4y = 2x+6;
(d) y′′′ +y′′ = 8x2;
(e) y′′−y′−12y = e4x;
(f) y′′−2y′−3y = 4ex−9;
(g) y′′ +25y = 6sinx;
(h) y′′ +6y′ +9y = −xe4x;
(i) y′′−y = x2ex +5;
(j) y′′−2y′ +5y = exsinx;
(k) y′′ +25y = 20sin5x;
(l) y′′ +y′ +y = xsinx;
(m) y′′′−3y′′ +3y′−y = ex−x+16;
(n) y(4)−2y′′′ +y′′ = ex +1;
84
(o) 16y(4)−y = ex2 .
(p) y′′ +8y = 5x+2e−x;
(q) y′′ +y = xcosx−cosx;
(r) y′′−2y′ +y = 10e−2xcosx;
(s) y′′′−4y′′ +4y′ = 5x2−6x+4x2e2x +3e5x.
2. Resolva a equacao diferencial dada sujeitaas condicoes iniciais indicadas.
(a)
{
y′′−64y = 16
y(0) = 1, y′(0) = 0;
(b)
{
y′′−5y′ = x−2
y(0) = 0, y′(0) = 2;
(c)
y′′ +y = 8cos2x−4sinx
y(π
2
)
= −1, y′(π
2
)
= 0;
(d)
{
y′′−4y′ +8y = x3
y(0) = 2, y′(0) = 4.
5.6 VARIACAO DOS PARAMETROS
5.6.1 Resolucao de Equacoes Lineares de Primeira Ordem
No Capıtulo 2, vimos que a solucao geral para a equacao diferencial linear de primeira
ordem
dydx
+P(x)y = f (x) (5.6.9)
em queP(x) e f (x) sao contınuas em um intervaloI , e
y = e−∫
P(x)dx∫
e∫
P(x)dx f (x)dx+c1e−∫
P(x)dx. (5.6.10)
Agora, (5.6.10) tem a formay = yc +yp, em queyc = c1e−∫
P(x)dx e uma solucao para
dydx
+P(x)y = 0 (5.6.11)
e
yp = e−∫
P(x)dx∫
e∫
P(x)dx f (x)dx (5.6.12)
85
e uma solucao particular para (5.6.9). Para motivar um metodo adicional para resolver equacoes
lineares nao-homogeneas de ordem superior, vamos novamente deduzir (5.6.12),agora por um
metodo conhecido comovariacao de parametros.
Suponha quey1 seja uma solucao conhecida para (5.6.11), istoe,
dy1
dx+P(x)y1 = 0
Sabemos quey1 = e−∫
P(x)dx e uma solucao e, como a equacao diferenciale linear sua solucao
ey = c1y1(x). Variacao dos parametros consiste em encontrar uma funcaou1 tal que
yp = u1(x)y1(x)
. seja uma solucao particular para (5.6.9). Em outras palavras, trocamos o parametroc1 por
uma variavelu1.
Substituindoyp = u1y1 em (5.6.9), obtemos
dydx
+P(x)y = f (x)
ddx
[u1y1]+P(x)[u1y1] = f (x)
u1dy1
dx+y1
du1
dx+P(x)u1y1 = f (x)
u1
[dy1
dx+P(x)y1
]
+y1du1
dx= f (x)
y1du1
dx= f (x)
assim
y1du1
dx= f (x)
Separando as variaveis, encontramos
du1 =f (x)
y1(x)dx e u1 =
∫f (x)
y1(x)dx
segue-se entao que
y = u1y1 = y1
∫f (x)
y1(x)dx
Comoy1 = e−∫
P(x)dx, temos que oultimo resultadoe
y = e−∫
P(x)dx∫
e∫
P(x)dx f (x)dx
86
5.6.2 Equacoes de Segunda Ordem
Para adaptar o procedimento precedente a equacoes diferenciais lineares se segunda ordem
a2(x)y′′ +a1(x)y
′ +a0(x)y = g(x), (5.6.13)
colocamos (5.6.13) na forma padrao
y′′ +P(x)y′ +Q(x)y = f (x) (5.6.14)
dividindo pora2(x). Aqui, supomosP(x), Q(x) e f (x) sao contınuas em alugm intervaloI . A
equacao (5.6.14)e analoga a (5.6.9). Como sabemos, quandoP(x) e Q(x) sao constantes, nao
temos nenhuma dificuldade em escreveryc.
Suponha quey1 e y2 formem um conjunto fundamental de solucoes emI da forma ho-
mogenea associada (5.6.14), istoe,
y′′1 +P(x)y′1 +Q(x)y1 = 0
e
y′′2 +P(x)y′2 +Q(x)y2 = 0
Agora, perguntamos: podemos encontrar duas funcoesu1 eu2 tais que
yp = u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
seja uma solucao particular para (5.6.14)? Note que nossa suposicao parayp e a mesma que
yc = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x), mas substituımosc1 e c2 pelos “parametros variaveis” u1 e u2.
Como queremos determinar duas funcoes desconhecidas, a razao nos diz que precisamos de
duas equacoes. Como na discussao introdutoria que resultou na descoberta de (5.6.12), uma
dessas equacoes resulta na substituicaoyp = u1y1 +u2y2 na equacao diferencial dada (5.6.14).
A outra equacao que impomose
y1u′1 +y2u′2 = 0 (5.6.15)
Essa equacaoe uma suposicao que fazemos para simplificar a primeira derivada e, consequente-
mente, a segunda derivada deyp. Usando a regra do produto para derivaryp, obtemos:
y′p = u1y′1 +y1u′1 +u2y′2 +y2u′2 (5.6.16)
87
assim
y′p = u1y′1 +u2y′2.
Continuando, encontramos
y′′p = u1y′′1 +u′1y′1 +u2y′′2 +u′2y′2.
Substituindo esses resultados em (5.6.14), temos
y′1u′1 +u′2y′2 = f (x).
Em outras palavras,u1 eu2 tem de ser funcoes que tambem satisfacam a condicao
y′1u′1 +u′2y′2 = f (x) (5.6.17)
As equacoes (5.6.15) e (5.6.17) constituem um sistema linear de equacoes para determinar as
derivadasu′1 eu′2. Pela regra de Cramer, a solucao para
{
y1u′1 +y2u′2 = 0
y′1u′1 +y′2u′2 = f (x)
pode ser expressa em termos de determinantes:
u′1 =W1
We u′2 =
W2
W(5.6.18)
em que
W =
∣∣∣∣∣
y1 y2
y′1 y′2
∣∣∣∣∣
, W1 =
∣∣∣∣∣
0 y2
f (x) y′2
∣∣∣∣∣
e W2 =
∣∣∣∣∣
y1 0
y′1 f (x)
∣∣∣∣∣
(5.6.19)
O determinanteW e o Wronskiano dey1 e y2. Pela independencia linear dey1 e y2 em I ,
sabemos queW(x) 6= 0 para todox no intervalo.
Resumo do Metodo
Em geral, naoe uma boa ideia memorizar formulas em vez de entender o processo. Porem,
o procedimento precedentee muito longo e complicado de usar cada vez que queremos resolver
uma equacao direferencial. Neste caso,e mais eficiente simplesmente usar as formulas de
(5.6.18). Entao, para resolvera2(x)y′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = g(x), primeiro encontre a funcao
complementaryc = c1y1 +c2y2 e entao calcule o Wronskiano
W =
∣∣∣∣∣
y1 y2
y′1 y′2
∣∣∣∣∣.
88
Dividindo pora2, colocamos a equacao na formay′′ + P(x)y′ + Q(x)y = f (x) para determinar
f (x). Encontramosu1 eu2 integrandou′1 =W1/W eu′2 =W2/W, em queW1 eW2 estao definidos
em (5.6.19). Uma solucao particulare yp = u1y1 + u2y2. A solucao geral para a equacao e
portantoy = yc +yp.
Exemplo 5.38 Resolva y′′−4y′ +4y = (x+1)e2x.
Exemplo 5.39 Resolva4y′′ +36y = csc3x.
Constantes de Integracao Quando calculamos as integrais indefinidasu′1 e u′2, nao pre-
cisamos introduzir constantes. Isso porque
y = yc +yp = c1y1 +c2y2 +(u1 +a1)y1 +(u2 +b2)y2
= (c1 +a1)y1 +(c2 +b1)y2 +u1y1 +u2y2
= C1y1 +C2y2 +u1y1 +u2y2
.
LISTA DE EXERC ICIOS
1. Generalize o metodo de variacao de parametros para equacoes diferenciais nao-homogeneas
de n-esima ordem.
2. Resolva cada equacao diferencial pelo metodo da variacao dos parametros. Defina um
intervalo no qual a solucao geral seja valida.
(a) y′′ +y = sinx;
(b) y′′ +y = secx;
(c) y′′−4y =e2x
x;
(d) y′′′ +y′ = tanx.
(e) y′′−2y′ +y = e−x lnx.
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REFERENCIAS
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ZILL DENNIS G; CULLEN, M. R. Equacoes diferenciais, Volume I. 4. ed. Sao Paulo:Markon Books, 2006.
