25

Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� ���������� ��� ��� � ����

��� ���� �� ���� ���� �������

����� ����� �� ���� ���� ��� ��� ����

������ � ����

��������

�� ������� ���� ����� ����� ������ ���� �� ���� ��� ������ ������� ���������� � ������ � ��� ��� � ��� ����� �� ������ �� ������ ���� ���� ���� ��

�������� ������ ��� ! "�� ������� �� ������ �# ��� �� ������� ����� �� $� �� %��

�� ����#� �� ���� ��� ��� ���� �������� ��� ��� �� ��� ��� � &�'� ��� ����

���! �� ������ �� ������ �� �� �� ���� ��� ����#� �� ���� ��� �� ���� (�)�!

*�� � �� ����� � ����������� +�� ������� ������� � � � +� � ���� �� � � ��

����� ���� ������� �� �� �� �� (�)! ,� � ��� �� ������ � +��� �� ���� ��� ��

�������� +�� �������� !�! ������� � �� ������ � +�� � ���� ��� ��+ ���! "��

������� ���� ��� �� ������ ����� �� ������ ������ �� �� �� �� ���� �������

��� �#��� �� ����� �� ������! -� �� ����� �� ������ � � �� �� �� � ��� ��� ��

���� �� �� ���� ���� ����������� �� �� ���� � � � ��� ����� ����� ����� ���� �

�� ��� ����� ��� ����#� � ���� ��!

��� ����� ���� �� ��� ������� ���� � ������� �����

��� ������ ������������� ��� ����� ����������� ������ �� ���� ���� �������� ���!�����"

��������

� ������ �� �

� ��� ����� �� ������ ������� �� ��� ������ �� ������

#"$ � � ����% � &�' ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " (

#"# )* �+�� �, ������ - � �*�� . " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " �

#"� )* �+�� �, ������ - � �*�� .. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " /

����������� �������� ��� ������ �� ���� ��� ������� �� ���������� ����������� ���������� � � � ���! �� �������� ��� "�#� �� ���� ��� $�� ������ %& ����� ����������� ��������������� �������� ��� ��'�� '� ��(�!��� �� ����� �� ������������

Page 2: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

# �� ����� ��� �� � �� ���

! ����� �� "#��$��� �%�"$ 0 1 � ����% � &�' ������ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " $�"# )* ��-���!� ��* � 2�� �+�� �, " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " $$�"� )* ��� ����-���!� ��* � 2�� �+#� #, ��� �+�� �, " " " " " " " " " " " " " " " " " " $(

&����� ��� ��

� ������� ��

.� �*�� ��� � 3 �� ���� �� � 3��* � � �����1 ��� ����� �����4�������� �2 ��������� �� ������- �� ���� ���� �������" )* �������� �2 ���* ������� �� �* �+���, ������� �������� �!� 5�� ��� ��� 6���� �� 7#8�

�� 9 +��,� 9 +��,��� : � � � � $ � � � �

;�� � ����� ���� � �2 � ��� �� �* �+���, ������ *�� ��������� ������� � �������� 3�� ����������" )* � �������� �� �* �� ���� � ����������� *�� � � ��� �*��1� �� ������ 3��*������� ��������� �2 �* &��� 3 1-� '�� � +&�', ������" ;�� 4���� �� � ���1� ������������ � 3��* � � ������ �*�� �� ������������ �� ��� �������� � � � ��� ���������� �����1 3��*��< � �� � ������ � ��� ������ � 3��� 1� �*���1* � ������ �� ��� ������� 2��� 3*��* �* � � �1 3��* � �*�� �*�2�� ����� 1 � ��� ������� ���� ��� !� �� ���� � ����� �2 ����������" )� ��������� �* �* �� ����� ��� ��� ����� ������� � �� �� ����1 ���������� ������ �� "1"� �* 2����� �����+#� #, ���������� 3*��* �� �2 �* 2���

�+� �, :

����

����

������

���� �� ��� � # �

� ��* �3��

.� �*�� ��� +3*��* �*���� ! ������ � � �� � ��������� �2 �* 1 � ��� 2��� 3���,� �* � ����� ������� � �� ��� 4��� �� �* �1 � �2 �* ���������" ���� �* ��= ������ � � �*��� � ������� ��� �� � � ����� �� ��� ��� � �* �+#� #, ������ �� � �����!� 3 �� � �� " ;��� ���* � ����� �2�� 3� �* � �� ��� ���������� � ! �3 � �* �+#� #, ������ ���� "1"� *�� �!���� ���� ���������3�" 6�3 � �� 3*�� � 3 �� 2���������� �2 ���� ������� ��3� � ��� �� ��>��� �� ���� 3 ����������� ��� * �� �� � �� �� �� �� ���������� ��������� �� �* 2��� �2 �� ? ������ ��������@�� ���1� ��� � ��� � ��������� 3��* �* �+#� #, ������ +�� 3 �� �� 3��* ��* � ������� �������,��* ��������� �� ��� 3*�� ����� �" ;�� 4���� � �� ��� ��� � �������� �� �* ��������� �� �9�+3*��* �� ����� �� �� �����1 � ��� �� ���� ����� � �� �� �* ������ �2 �* 2��� �����," )*�������2�������� � 1�����% � �* ��������� ��� �* �������� �2 �* ���1���� ������ ��� ! �!���� ��� � � ��-��������� � �� !� �����1 �* ����� �� " ;�� ��� � ����� 3 � 2 � �� 7$�� $A� $/8" ;���* ������ �2 �* �� � �� 3���� 3 ��� �* � 2�� ��� �*�� 2��� �� ���������� ����� �2 �� 3���������� �2 ��������� ������� ��� ! 3 �� � >� �� ��� 2��� � ��� ����� ����� �2 �� 3� �� *�� �� ! ���� �� � �!��� �����4������1 ��������� �*�� *�� ���-�����* ��� �2�� �" .� �� ������������� �� ��� �� �*�� ���������� �� ��� � � ��� ���� �� �* �+���, ������" ������������������ 3 � �*�3� �� 4��� 2�� � ���� �� �2 ��* � ������ �� ���� ���� �������" ;�� ��� 4���� � 3 � 2 � �� 7$�� $A� $B8 ��� �* � 2 � �� � �* � ��".� �*�� 3��� 3 �� ��� � �� � �� � � �����1 ������������� ��� ���� +��, � �*��� 2�� �����4-

������1 ��������� �2 ���* ������ �� ���� ���� �������" ;����� 3 3���� ��� �� ���� �� ��

Page 3: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ �

��* � �������* � 2�� �����4������1 ��������� 2�� �* � �������" ��� �2 �* 3���� ���� ����1���������� +��������1 7#8,� �� �� ���-�� ����� �����4��������" C�2������� ��� �� ��� � �* ���!����� ��� ���� �1 �� ���� ��� � �2 �� ����� � �*��� 2�� �����4������1 ��������� �2 ���* ������� *�� ��� ! � ����� �" �� �� �� 3��* �� ����� � �*���� �� ��� � �� ������� �* ��!!� ������������ �*�� � � ��� �� �* ���-�����* ��� �2�� � �2 �* ��������� �� *�� �� �� �>�� �� 3*��* ��1*� � ���� �� �* � ����� �2 >� ���� � �*�� ��� ! ���� �2 �* ��������" 0 ��< � ���������* 3�� ��� � �� 7$(8 ��� 7$�8� 3* � � ����� >��� -��< � �� � �*��� 3 � 4���� �" )* � � �*��� 1 � ��� � �����!����� � �� �* ��� �2�� �" 5 � ����� �* ����� ��� D �� 7#� �8 �� � ���-���� � �*��� 2�� �����4������1 �* ��������� �2 ��������� �������" )* �� � �*�� 3�� !�� ��� �* ��<����� � ������ ������� � �*�� �2 7$�8" E� �������1 �2 ������� � �*��� �� � ��* �� �*��� �� �*�� �� �� � ����� �� ��� �� �� � �� �* ��1� �2 �* ��������" 6 �� � �* � �� �� � ��� 3���� �!��� ���������� 3* � �* �������� ��1*� �*��1 ��� ��1� ��� ��� ���� �� ���-��� �� 1��� �2 �* ������ �� �� �������� ��� ����� ������������" )*�� �� � � � ���� ���� 3��* ��� ��=�" )*�� ���� ��� �2 ������� � �*��� ���� ����� �1����� �* � 3* � �� �� �������� ��� � �� ��� ��������� �*�� ��� �*��1 �* �� ��1� +3*��* �� �2� � �* ��� 3��* ���� ���� �������,"

)* ��� �2 ������������� ��� ���� � �*��� 3 3��� ������� �� �*�� ��� �� ����1 � ���������������� ���� >��� � � �� �����4������� �� �* ������� �����!� � ����� � 3��* 4������� ������ �������!� *�1* ��� � 5��1 -&���� ��� ����� ��%����� 7#�8� 3 � >��� � � ��� � 2�� ���� ������� ��3����������1 >��� � ������� � !� ����!��� � ��" �� � � �� � �2 ��� �� 7�� A� /� B� $8" ;�� � � ���� �� ��������� �2 �* � �*�� �� 3 �� �� ��� ���� � ������� ��� ������������� 3 � 2 � �* � �� �� ���* � ���� ��� � 7(8� �* ���� � ��� � 7�8� ��* � ��� �� �� �*�� �����1 � ����� � ��� �* � �� 3��� � 7$#8"

;�� ������� ���������1 *�1* � ��� � ������� � ������� �� ������������� ��� ���� � �*��������� ! ��� ���� ����� �" )*�� �� ! ���� �* �������� ���� � 3*��* �������� �2 �� � 3�� ����������� ������������� �� �* � � �� ��� �2�� �� �� ��� � 1���� ���1* �� *���� *�1* �� ������� �" )*�� �� � ������� ?���-���2�����1@ ��� �� >��� � � ���" 0 ���� ��� ��� � ������������� �2 �* ������������� ��� ���� � �*�� ��� ���� �� �* * �� ������ ���������1 � ����� ������� � ����� �� �� � � �*�� 3*��* ! *�� � ��� �� �� �* ����������� !�� �� ��������� �� 3��*�* ���1���� ������ ��< ���1 2��� E+$, ����� 7##� #�8"

)* �� � �2 ����� ������������� ��� ���� � �*��� 2�� ��� � � �� �� ��=� 3��* *�1* � � ����-��� � �� �� � 3��� �* ������ �� � >��� ��� � ���� �� ��� ���� �* � ����� �* ���������������� ���� � �*�� �� �* ���� �" 0 � � ��1� �� �� 2�� �* ���� �� �2 ���* � �*��� �� �* ��� 2��� ��1� �2 ��� �2�� ��� ����� F�4 �" )* � F�4 � ���� ! � ��1� � �� 1������ ���!����� �������� �����!����� �2 ��� �* ��4������ �����!� � �������� � �� �����4���� �* � ������� � �2 �* ��������" )* ����� �����!����� �2 ��� �* ��4������ �����!� � �� 3*� �* � �*�� �� ���� � � ?�����@������������� ��� ���� � �*�� �� 7$$8"

)* >��� ����� ������������� ��� ���� � �*�� 3�� � � ��� � !� ����!��� ��� �*� 7$$8� 2��� ���� ����� ��<����� ������ +���������1 � ���� � ������� �," )* �� 3��� 3�� ������� � !��* ���� ��2�� ��� ����� 4� ��� ��� �2 G���� ��� 5 !�� 7$8 2�� �* ����� ���!� ���� �-���� � �������" D�� �� H�� ��� �*� 7#(8 � � ��� � � ����� ������������� ��� ���� � �*�� 2�� � 1 � ���&�' ��� ������ ���������1 �*��� � ������� �" .� !��* 7$$8 ��� 7#(8� �����!� ��� ����� F�4 ��� � � �� ��� �2�� � 3 � 1�� �� 3*��* � � �� �����!� ������ �� �� ���!����� �2 �* � �*��� ��3 �� �� ���� ������ � 2�� �* ��� �� ��� �" )* D�� � �*�� 3�� 1 � ����% � �� ��=� 3��*2����* ��� >2�* ������� � ������� � �� 7#�8"

Page 4: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

( �� ����� ��� �� � �� ���

)* �������� �2 �*�� ��� � �� �� 2����3�" .� � ����� # 3 �� � �� �3� 2����������� �2 ��� ������� � �*��" I ����� �� �#"$ 3��* � � �� 3 �2 ���!� �� � �*��� 2�� 1 � ��� &�' �������"6 � 3 �� �� ��� �* � ����� �2 �* 2���������� �2 �� ��* � �" I �* � ���� � �� �#"# �� 3*��*3 4� �� �* � �� �� �� �* �+�� �, ������" .� ����������� 3 ���� � ������ �� ���!����� � �����*�3��1 �*��

������ �� � ��� ���� �� �� ��� +3*��* �� �* ��� �2 �� ��� ��3 � � �� ����� ��

�� �����1 �*�� �* ����-���� �2 �* �������� �� � ��� ���� �� �� ��� ," ;������� �� � ����� #"�3 �� � �� �� ��� ������ �������* 2�� �* ������������ �2 �* ��� ����� F�4 � �� 3*��* 3 3��� � ��* � �*�� �� ���!� 3��* � �� �� �� ����� � ����!������ �2 �* ��������".� � ����� � 3 �� � �� � � �� � �2 ��� ����� ����������� �� 3*��* 3 � ��2� �* 4� �� �

�������� �2 �* ��* � ��� �* �� �* ���!����� !� ���������1 �* ��-���� 2�� � �����!� ��3 �"I ���� �� � �� � � ��� ��� ����� 4� ��� ��� �� 3*��* 3 �*�3 ���������� ! �3 � ������������� *�3 ���������� � �1 2��� ������� ������� ����" .� ����������� 3 �� � �� � ����� �2 4���� � �� 3*��* ����� ������������ � � ��� ! *��� �* �����1 ����������" I � �������� �*�� ����� �� ���-�� ����� � �*���� ��� �� � �*��� �� ����!� �2 ��������1 �������� ������* ������������ ��� �* ���-�����* 2�����" ��� ���������1 � ����� �� ������ � �� � ����� ("

� ��� ���� ��� ������� ������� �� �� ������ ���

�������

��� ��������� �� ��������

.� 7#(8 H�� ��� �*� �� � �� � ��� �����% � � ����� ������������� ��� ���� � �*�� 2�� &�'-��� ������� �2 �* 2���

�� 9 �+�,� 9 +��+�,�+�+�,�,�,� : � +#"$,

��1� �� � 3��* �* ������� ���� �+� � : , : ��+,� ��� � ������ !������� ����������" )* 2�������� �+�,� �+�,� ��� �+�, �� ��!������ +�����*, 2��������" )* &�' ������ �� � �� ������� �2 +#"$, +2�� �* �*��� �+�, : ��� �+�, : �� ��� �+�, : �,")* 2��� �2 ������ +#"$, 3�� �*�� � �� �� � �*����� ������ �������J �� ����� �� ! � �������

4� ����� �2 �* &�' ������� �*�� ����� ����3� �� �� 3��� � ���!� �� � �*��" .�� � ����1����� �� ��� ��� �� >�� � ��� � �2 ��� � �� 3��* � ������ �� ���� ���� � �� �*�� >�� ���� �* 2����2 +#"$,� 3*��* �� �* � ���� �� �2 3*� �� ���* 4���� � 3 � �� � �� � �� 7#(8".� ����� ��� �*�� � ��� � ������ � �� 7#$8 �� � ! ���1 �� �* 2����� �2 ������� � ����! � !�

+#"$," ;�� �* �*��� �+�, : ��� �+�, : �� ��� �+�, : ��#� 3 �!����

�� 9 +��,� 9 +�+��,��,� : +#"#,

= ������ +#"#, �� ���3� �� *�� ��������� ��������� �2 �* 2���

�+� �, :

� �#� ���

������

�� �� ��� � �

� ��* �3��

)� ��� �*�� �� � ������� � �2-������� �� 3 ����� 3��* � !�� 2 � ��������� �2 � ���!� ��� �*�� 2�� +#"$," I � ��� �* � �* !� �� : 7������ �����8� 2�� � : $� � � " )* � �� � �2�* � �� �� � : +����� 9 �����,�#� ��� K� : ����" I � ��� !� ������� ��� �

����� �* ���� �2

Page 5: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ �

� �� ������ 2��� �* ��1*� � ��� ����� ��� 2��� �* � 2� � ��� ��� � �� ���� ��" I ��� ��3 � >� �* �� � 3�� -���������� ���� ��� �� �* ���� �2 ����������� �2 � 1� � �� ��* � �� ��� �" "

��� :�� J � � � +��, 2�� � ��� � : $� � �

��

��3� ������ � +#"$, �� � � ������ ������ L ��� � 3��� �� �� �* >���-��� � ���� ���� 9 +�+�, 9 ��+�,�,� : ��� �+�,� : �� � �+�,� :

+#"�,

I � ���* 2�� � �������� �2 +#"�, �� � ��� �2 �� � 3�� ���������� 2��������� �� �� � � ���� �*�������2� +#"�, �� � 3 �� � �� " 6 �� � 3 �������� +#"�, !� � �� 2�������� �� �� � � ���� ������ 1��� !� ����� �� � �� � �� �� �� �!�����

�������

+�+�, 9 ��+�,�,���9 M� 9 ���M��

�� �

���� �

� M� 9 ���M��

�� �

���� �

: ���

���9

��

�+�,���� M��� �

���� �

9 M��� �

��

�� �

: � +#"(,��

��� 9

��

�+�,���� M��� �

���� �

9 M��� �

���� �

:

)* ?*��@ � ��� �� +#"(, �� �* !������� � ��� �*�� � �1 2��� �* ��� 1������ !� �����")* � �� �* ��-���� � ?��� ����� F�4 �@ �*�� �� � � �� ! � � ���� �" )* 2� ��� �� �*�����1��� ����� F�4 � ��� ! �����% � 2�� � ��1���1 � ��* � �*�� �N��� � ����� ���!����� ���� ��� �".�� �� �� 3�� �*�3� �� 7#(8 �*�� �� �� �����!� �� ���� � � �� ������ �� ������� �� ��-���!������ ���� ��� �� �!���� ���� ������ � �2 �* � ��� ����� F�4 � �� �*�� � ��J

��� : �+��,� �+��,�� � �� � M� : �+��,� M� : ��� +#"�,

M� : M�+��� ��,� M� : M�+��� ��,

I ���� �* *��2-��� 1 � ����� � �9$�# �� ��� ������� � �� +#"�, �� ������ � �� �* ��� ������+�" " �* ��� �2�� � ! �3 � �* � ���," 6 � M�+��� ��, ��� �M�+��� ��, �� ������� F�4 �� �" "�D����*��% ���������� �� !��* ��1�� ���� ������� �� +�" " M�+�� �, : �+�,,� ���-� �� ����1 �� �* >��� ��1�� ��� ��� ���-���� ����1 �� �* � ����" I��* ���* � �*��� �2 F�4 � 3 *�� J

'��$�� �� �(� )��� ����$� ��*��� �+ ��� � ��� ��������� ������� �� �� M������ ������ �� �������� �� �� ����� ����������� ��������

$

#

��

��

��+� �,� 9 M��� �

� M��� �

�� +#"�,

)* ����2 �2 ����������� #"$ ��� ! 2���� �� 7#(8" � 4�� !� ������1 +#"�, �� � ��� � 3 *��

&�������� �(� )�� ��� � �+ � �������� �� �� ����� ����������� �� �� ������� ����

$

#

��

��

��+� �,� �

Page 6: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

� �� ����� ��� �� � �� ���

;������� 3 3��� �* 2����3��1 ���� ������ � �* ����2 �2 3*��* ��� ! 2���� �� 7#(8"

'��$�� �� �(� )����� �� ���+ � ����� ��� �� ����� ����������� ������� �� �� ������� !

�� 9 �� 9 ���� : �

��������

���� � K��

� � +#"A,

"��� �� �� �� ��#������ ���"��� �� ����� �������� ��� ��� ��������� ����� �������� ��������� ������� �� �� ���� � 9 � ����$���$�� �� � ��� �� ���� ��

%����&��

$" )* �*��� �2 ��� ����� F�4 � �� +#"�, �� ��� ��� � " )* � �� ��� �*�� �� 3�� ���*��� �* � F�4 � ��� �!���� �* ���!����� � �����"

#" )* ��� ����� ����������� *��� �*�� �* ���� ������ +#"A, �� ��!-�������" 0� ��� � �2� 9 $ �� �!� �� � ���� �� �2 �* ���� � � 9 $�# !��* �� �* �� ��� �* �� �����"

�" )* ����2 �2 � �� ������ �� ������ ��� �� ���!����� ����� ! ����� 4� �� � �� �* �����-��� ������� ��� " ��� �������� �� ��� � �2 � 9 $ ����� ! �!���� � 2�� #-����� ���� �������"

(" )* ���!����� � ����� �� ����� ��� ���� 2�� � ������ !������� ����������" ���!� ��* � ���� ! � ��� � ���� 2�� ��* � ��� � �2 !������� ����������"

��� ��� ���� �� ������� � ������ �

������ � �* �+�� �, ������

�� 9 +��,� 9 +��,��� : � +#"/,

��1� �� � 3��* ������� ���� �+� �:, : ��+, ��� � ������ !������� ����������" .� �*�� � �����

3 3��� � ����� �� � �*�� 2�� 3*��* 3 �* � ���� �*�� �* ��� 1��� �2 �* +� 9 $, � ��3 ��2 �* �����4���� ���������

������� �� � ��� ���� �� �� ��� " D�� �� 3 3��� �� � �� ����* �

� �*�� 2�� �����4������1 �* �������� �2 +#"/, 3*��* �� !�� � �� ��� ���%����� ��� ������ �* � ����� �!���� � 3��* !��* � �*���"I ����� !� � 3�����1 +#"/, �� � >��� ��� � ���� �� 3��* �*� ���������� �����!� �� �� �� �J�����

�� 9 +� 9 �,� : ��� �� : �� � �� : �� � �� : �

+#"B,

Page 7: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ A

��� ���� 2�� �� �� �� � � ���� ���* �*�� 2�� ��� � �� 2������� !� "� �� � � �����

��!����

+� 9 �,!�� 9 +O��� �

9 M��� �

,!��� �

� +O��� �

9 M��� �

,!��� �

: ���

�"� 9

��

�"��� M��� �

"��� �

9 M��� �

"��� �

: � +#"$,��

���9

��

����� M��� �

���� �

9 M��� �

��

�� �

: ���

������

���� :

)* ��� ����� F�4 O� �� �* >��� ������ �� +#"$, �� � ���� ���� F�4� 3*��* 3 ��� �*��� �� ��< � �� 3��� ���* ��� "1"� !� ��3�����1" .� ����� � ����� �� � � ���� �* ��* � ��� �����F�4 � M�� M�� ��� M� �� +#"$," ���� �* � �� �� 4������ � ������ ! �3 � � ��� � +� : ���,� �* � � ���� �� ���� �� � 1� �2 2� ��� �� � � ������1 M� ��� M�" .� �*�� ��� � M� ��� M� 3��� *�� �� ! 2��� ������� ��� � �� 1������ ���!�����" )* ���!����� �������� ! ��3 ��11 ��� �*�� ������������ �*��� �2 �* � F�4 � ��� !

M��� �

: ���� �

� M��� �

: ���� �

� M��� �

: ���� �

� +#"$$,

��

M��� �

: ���� �

� M��� �

: ���� �

� M��� �

: ���� �

+#"$#,

'��$�� �� �(! � ����'�����

������

"��� � �� �� �������� �� ���()�����((�� ���� ��� �������� �� �����

������ I >��� ����� �*�� �* ��3 � � �� ��� ��� �*��� �� ��3��� ���� ���� F�4�O������ : �������" I ���� �� �� � � ��3 �� �� � � ���� 2����3��1 �* ����2" ���� +#"$,*���� 2�� ��� � �� 2�������� �� ���� �� ���������� 3 ��� �*��� ! : �� " : �� � : �� ����� : ��" I��* �* � � �� 2�������� ��� �* ��� ����� F�4 � �2 +#"$$,� ������ +#"$, ! ��� ��

����� $

#

��

+��,�����

����9 +���� �

,� � ���� �

���� �

9 ���� �

���� �

� ���� �

���� �

: ���

���9$

#

��

+��,��� ���� �

���� �

9 +���� �

,� : � +#"$�,

���

������

����9 ��

�� �

���� �

� ���� �

���� �

: ���

+� � ��,��� :

Page 8: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

/ �� ����� ��� �� � �� ���

0����1 �* >��� �*� ������� �� +#"$�, ��� ������1 �� � ��� � +�����1 ���� ������� �* � ������ !������� ����������,� �� ���

����9$

#

��

� ���� �

� ���� �

���9

$

#

��

� ���� �

� ���� �

���:

6 �� ������ � � ��� 3��* �* 2����* ������ �� +#"$�, 3 *��

��

��

����� �

%����&��

$" ;�� �� � � ��3 � �� �* ��� �*��� �2 O� 1�� � � � ��� �2������" 6�3 � �� �*�� ���

��� ! � 1��� �*��� �� � ��� �2 ��3�����1 ��� � ����� ��3��� !��� � F�4� ���* �� �* D�4-;�� ����*� F�4� �*���� ! �� �"

#" )* � ���� �2 �* ����������� ����� *���� �2 �* ��� ����� F�4 � �� �*�� � �� +#"$#,���� �� �2 +#"$$,"

�" .� ��� �* ��3 � � �� ���� ����������� #"� ���� � �*�� �* ����-���� �2 �* �������� �� ���� � �� �� �� ��� " 6 �� � �� �* ��� 3* � � �� ���� ����������� #"� ������ � ����!����� � ����" ;�� 4���� � 2�� �* �+�� �, ������� 3 �� �� 3��* � ��* � 2�� 3*��*�* ��-���� �2 �* �������� �� � ��� ���� �� �� ��� " )*�� �� � ��� � ����!� ����������� 2�� �� �* ���!����� �2 �* ��* � �� ���� �� � 3* � ������ �� "1"� 3��* �* �+#� #, ������ 2�� 3*��* ��� 3 1 � �� �*��

���� �� � ��� � ��� �� ��� � ��� * �� �

��1��>������ � �� ������� �� � �* ��� ����� ��������"

��� ��� ���� �� ������� � ������ ��

0� ��� ������ ������������ �2 �* ��� ����� F�4 ��� ! ��� 3��* ��� ���%����� ��1�� ���" )�� �������� �* ���� �� �� 3 ������ � �* �+�� �, ������

�� 9 +��,� 9 +��,��� : � +#"$(,

��1� �� � 3��* �* ������� ��������� �+� � : , : ��+,� ��� ��!N �� �� � ������ !�����������������" .� �#"# 3 *�� ��������� � � ��* � 2�� 3*��*

������� �� � ��� ���� �� �� ���

+* � � � �� �* ��� ����� ��������," 0� ��� ��� ����� � ��� �� � � ���� �� ����������� #"�� �* � ��� ��< � �� ! �3 � ��� ��� � � ��3 ��" E�� �P� ���� �� �� ��-���� �2 �� � � ��3 �� 3*��*��� ! ��� ������ �� � ���!����� ��������� �� �* ��� ����� ��������" E� �* ��* � *���� � ��P�� ���� ��

������� 3��* +� 9 $, ���� �� 3*��* ��� 3 *�� � �� ������� �� � �* ��� �����

��������".� ���* ��� �� 3 3���� ��� �� 3��� � ��* � �*�� �� �� � ��� ���!� 3��* � �� �� �� �����

� ����!������ �2 �* ��������" I ����� �*�� Q�+� �, �� �* 4��� �������� �2 +#"$(,� ��� ������ �

�+� �, : Q�+� �, 9 �+� �,� +#"$�,

Page 9: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ B

3* � �+� �, �� � ����� � ����!�����" ��!��������1 +#"$�, �� +#"$(, ��� � 1� ����1 *�1*-��� �� ��� 3 *��

�� 9 �+Q�����,� 9 �+Q�

����,��� : +#"$�,

)� 2���* � ������2� +#"$�, 3 � � Q� : #� 2�� � �������� #� ��� �� �� 3��*

�� 9 $�� 9 $���� : � $ : �#��� +#"$A,

)* � 4� �� � �� �� 3��� � ���!� ��� ����� ��* � 2�� �* ��� �� ������ +#"$A," 6 � � !����!����� 3 � �� �*�� �* �� ���� �2 �* ��� ����� �������� �� ���-���� ����1 �� ��� " )*��3��� ������ �� 3��* � �����!� �*��� �2 ��� ����� F�4 � 3*��* 3 ��� �* � 1 � ����% �� >������!���� � ��* � 2�� �* ������ �� ������ +#"$(," ;����� 3 � 3��� +#"$A, �� �* >���-��� ����� ��

�� 9 $�� 9 �� : ��� $�� : �� � �� : �

+#"$/,

��� � � 2�� �� �� � � ��� ���* �*�� 2�� ��� � �� 2�������� !� "� � � ���� �* 2����3��1 ���� � �������> �J �

��!����

+$� 9 �,!��9 +$O��� �

9 M��� �

,!��� �

� +$O��� �

9 M��� �

,!��� �

: ���

�"� 9

��

$�"��� $M��� �

"��� �

9 $M��� �

"��� �

: � +#"$B,��

���9

��

����� M��� �

���� �

9 M��� �

��

�� �

:

I � � �� �� ��2� O�� M�� M� ��� M� +���* �*�� �+�,� �� ���-���� ����1," 6 � � O� �� �* ���� ���� F�4� 3*��* ��� ! �*�� �� "1"� �� D�4-;�� ����*�" )* �*��� �2 �* ��* � ��� ����� F�4 � �*��3��� 1������ ���!����� �� � � � �� �� �* ��1� �2 $" .� ��� � �� ���� $ �� ��3��� ���-� 1���� "6�3 � �� �2 � �� � �� $ ��� �*��1 ��� ��1�" ;�� ��� � 3 ��� ��* � �*��� M� : ��� M� : ��� M� : ����� M� : ��� M� : ��� M� : ��" ;�� � � �� �� �� ��� �� � �*�� � +��� ����, ���!� �*��� ��J

M� : ���

M� :

���� �2 $ ���� �2 $ � �

+#"#,

M� : ��

��3� 1�� � � ��* � �*�� �� ���!� 2�� �* ��� �� ������� �* � ���� �� � �� �� 1 � ����% �� ���* +������ ��, �+�� �, ������" 6 �� � 3 � 3��� �+�� �, �� � >���-��� � ���� �J�

�� 9 +�� 9 �,� : ��� �� : �� � +��,� :

+#"#$,

Page 10: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

$ �� ����� ��� �� � �� ���

;�� ��� �� �* ��� ����� F�4 � �� 1�� � ��J

M��� �

: ���� �

M��� �

: ���� �

������ �

: +���� �

,�

+E� M� : ��� M� : ������ : +��,�," ;�� � � �� �* 1 � ����%����� �2 �* ��� ���� ���!� ��� �����F�4 � � ���J

M��� �

: ���� �

M��� �

:

����� �

� �2 +���� �

,��� 9 +���� �

,��� �

���� �

� ��* �3�� ������ �

: +���� �

,�

� ���� ��� ��������

)* E�= ���� � 3 �� �� �* 2����3��1 4���� � �� �* 4������� ������ ���� ���!� � �*���-��� �5��1 -&���� � �*�� �2 7#�8" .� ��� 4���� �� �* >1�� � �� � �� �* �������� �!���� � 3��* ����������� �*��� �2 1���" I *�� � ��> � 3��* �* ��� �2 ���� ���� � �* � >� � ���� �*�� ����� ��� �� �* �����4�������� �� ��� ������� ���� �1 ��"

��� � ��������� �� �������

.� ��� >��� 4���� � 3 �����4���� ��������� �2 ������ +#"#,� �� 9 +��,� 9 +�+��,��,� : ";����� �� )�!� �"$ 3 ������� �* �������� �2 �* ��-���� �2 �* �������� 2�� � ���1� ���������������� ����" 6 � � 3 �� � � ����������� 3��* #� ��� �# � ���" 0� 4� �� �� �* ��-���� ����� �� �� � �� ��� " 0���� �* >� � �* 1��� ��� �* ���3 � �� �* ��� �2 � ��� �2 �* ��-����" .�)�!� �"# 3 �*�3 �� �������� � �� 2�� � ���1� ��������� ������� ����" )* �������� �� � ���� ��� �����* ����� �2 �* ��������"I ���� � !� �*�3��1 � ��������� ! �3 � �3� ���������� �� ;�1" �"$" )* ������� ���� ��

��� � ��

�+� , :

�( ���++ 9 ,�#,� � 7�# � 8�# ���++� # ,�#,� � 7 � � 8�� ��* �3��

+�"##,

)* ������������� ������ �� ��� � �� 7�( � ## 8 3��* � � ����������� ��� #� � ���" )* ���������� �*�3� �� ��� � % : $� #� (� �" 0� ��� ! � � �� �* >1�� � �* � �� ��� � ���� �� �*�� ����������*�� � �� �� ! �2 �* 2��� �2 � ���������-����-��������� ���� ������� �� �* �� � ���� � 2���* �+#� #, ������ �� 7#8" .� �* � 4� 4���� 3 4� ��� �� 3��* � ��������� ! �3 � �*� ���������" )* � ����� �� �*�3� �� ;�1" �"#" )*�� ��� �* ������� ���� �� ��� � ��

�+� , :

�����( ���++ 9 ,�#,� � 7�# � 8�� ���++� # ,�#,� � 7 � � 8�# ���++� � ,�#,� � 7( � � 8�� ��* �3��

+�"#�,

Page 11: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ $$

�� ���� �,% �,� �,� �,! �, �,- �,. �,/� : #� "/AAB "/A�( "/A# "/�A$ "/�( "/�$$ "/�/# "/�#(� : �# "/AA� "/A(( "/A�$ "/A#� "/A$/ "/A$# "/A� "/�B�

)�!� �"$J )* ��-���� �� ��< � �� ��� 2�� ������ +#"#, ��� � ���1� ��������� ������� ����")* �������� �� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"$ ��� � � �����������"

0 �, / �,/% �,��� �,� ���� ���� ��� � ���� ��� � ���� ��� �

�� $"BA -$ $"(� -$ "� $"$� -$ "�/ B"�# -# "A��� ("/� -$ �"�( -$ "�$ #"/$ -$ "�/ #"�( -$ "A�

$ �� $"�� -� �"(� -( $"AA #"A� -( #"$ $"AB -( $"A$�� A"B� -� #"BB -� $"B# $"A -� $"�� $"A -� $"/(

)�!� �"#J 0� �������� � �� 2�� � �� ��������� �������� �2 ������ +#"#," )* �������� �������� � 2�� �* ��������� �� �����* �� ��� �� ��� % : �("

��������� �� �* �� ����� 4���� � �* ������������� ������ �� ��� � �� 7�( � ## 8 3��* � �

����������� ��� #� � ���" )* �������� �� �*�3� �� ��� � % : � #� (� �" .� �*�� ��� �* � �� ����� � ���� �� �*�� ���������� �*�� ��� �2 �� �����3� �������� "

��� ��� �������� ������ ��� ���� ��

.� �* 2����3��1 � �� � �2 4���� � 3 �� � �� � ����� �!���� � 3��* �* � �*�� � ����! � ���#"#" I ����� 3��* �* ����1 �* �������� �2 �* � �*�� !� �����4������1 �* �������� �2 �* �+�� �, ������

�� 9 +��,� 9 +��,�� : � +�"#(,

3��* � ���1� ��������� ������� ���� �2 �* 2���

��+, :

��

#���

�� � 7�$� � $� 8�

� ��* �3�� +�"#�,

)* � ����� �� �*�3� �� )�!� �"�" )* � 1� �2 �* ����������� �� ��� � �� � : � $� ��� �* � ����� ���>�� �* 4� �� � � 9 $ ��� � �2 �������� �2 �* ��* � "I ���� � !� 4������1 �* ��� ������� ! �3 � �3� ����������" 6 � �* ������� ���� ��

��� � ��

��+, :

��� ���+,� � 7�$� � $� 8����# ���+� �� ,� � 7# � � 8�

� ��* �3��

+�"#�,

)* � ����� �� �*�3� �� ;�1" �"�" .� ����������� �* �������� �� ����� � �����1 �* ������ ����� ������� �� ��� % : �� ��� �2� � �* ���������� ���� �*���1* ��* ��* � �� ��� % : #"

Page 12: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

$# �� ����� ��� �� � �� ���

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=1

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=2

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=4

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=6

;�1�� �"$J 0� ��� ������� ! �3 � �3� ���������� 2�� ������ +#"#," )* ������� ���� �� 1�� �!� +�"##," )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"$" )* ������������� � � 3��* #� � ���"

Page 13: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ $�

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=0

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=2

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=4

0 20 40 60−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T=6

;�1�� �"#J 0� ��� ������� ! �3 � �*� ���������� 2�� ������ +#"#," )* ������� ���� �� 1�� �!� +�"#�," )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"$" )* ������������� � � 3��* #� � ���"

Page 14: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

$( �� ����� ��� �� � �� ���

)* ����������� �� � � 3��* # � ���" 0� ��� ! � � �� �* >1�� � �* ��� ������� � �� � ������ � ���� �� �* � 2� ��� � �� �*�� �* ��������� �� ��� 2���� ������" )* ����������� *�3 � ���� � � �� � �1 ��� �2 �* ��� ������� ������" 01���� �* � ���� �2 �* ��� ������� ����� ��� � ���������-����-��������� ����"� 4�� 3 ���� +�"#(, ��!N �� �� �* ������� ����

��+, :

��

#���

�� � 7�� � � 8� +�"#A,

��� % �� �� 3* � " )* � ����� �2 ��� ����������� �� �*�3� �� ;�1" �"(" 0� ��� ���� �� � ������2 ��������� ���������� ������ 2��� �* ������� ���� ��� ��� � �� �* ��1*�" 0� �* ��� ��� �� ����� ����������� � � ���� �� �* � 2� ��� �2�� �2 �* ������� ����" )*�� 4���� �� ���� � ���-����� � �* �������1 � �2 �* ������������� ��� ���� � �*�� �� � � �� ���-�� ����� � �*��" .��� ���-�� ����� � �*���� �� � �� �� �����% � >�� � �� ��� � �� � ��� �* ��!!� �������������*�� � � ��� �� �* ���-�����* ��� �2�� +�" " �* �1 � �2 �* ����������," .� �* ;���� � ���� �� >�� � ������� �� 1 � �����1 � +�� 2 ��!��, �����* � ��� �� �* *�1*-��� �" C�2������� ������* � >�� � ��� ��� ������1���* ! �3 � ��� ����� ������������ �*�� � � ��� �� �� �* ���-�����* !�������� ��� �*������ ������������� ��� �* �� �*�� � �� �� � � ��� �� �* �� � �� 4���� �� �* � 2� ��� �2�� " I �� ��� ���3 3*�� �� �* ����� �2 �* � ������������� ��� �� ������3� �1 � �*�� �� �* >��� ��� �*�� ���* ������������ �� �!� �� �" � � ��* � ��� 3 ������ ��*�� �� ! � 2����� ���� 4���� �*�� �*�3� *�3 �� � �*�� ��� ������ �������� ����� �*������ �2�� � ��� ����� ������������ 3��*��� ��� �� ���� ����������".� ;�1" �"� 3 ������ �* � ����� �2 ��� �� � �*�� 3��* �*�� �!���� � 3��* � �� ���-

�� ����� � �*��" .� ��� � �� ! �!� �� � �� 3��* �* ���-�����* ��� �2�� � 3��* � �� ���-�� ����� � �*��� 3 �� � �����* ��3-���� >�� � �� �* ;���� � ���� " I*�� ������ ����� � �� ���������1 �* ��!!� �* ��� ��� �3�� 2��� �* �������������� �* >�� � �� � ���� � ����� �!� ������1 �� �* ������������ �� �* � 2� ��� �2�� " 0 %��� �� �* ����������� � 1��� �� �*�3� ��;�1" �"� +!," =� � $#( ��� � �� � �� ���-�� ����� �������� �� ��� � ���� �* ������������ �* 3�� �* �� � �*�� �� � 3��* ���� ( � ���" �* � >� � ��� �2 �* �� �������� � � ����� ������� ���� �1 �� �*�� ����������� ��������" I ! �� � �*�� �* ������� ������������ �*�� 3 1 � �� �* � 2� ��� �2 �* �������� 3��* �3� ��� � �� �� � �*��� �� � �����1 ���������� �*���* ������������ �� �� ��� 1��� ���� �2 �* �������� ��� ��� � ��� ����� ����2���" .� )�!� �"( 3 ������� �* ��-���� �2 �* ������ � �������� �� ��< � �� ��� � 3��* ��< � �� 1��� � ���������2�� �* ������� ���� +�"#A," �� ����� �* � �� � � �� ���3 � ��� �2 �* �� ���� �� ��� � 3*��*���>��� �* ���!����� ���� ��� � �2 ��� ��* � � � 3* � �* �������� �� � �� �����������"0 ��� 3*�� ������� �* ��� ��� �� �!� �� � 3* � ������1 +�"#(, ��!N �� �� �* ������� ����

��+, :

�# ���+��,� � 7�#� � #� 8� ��* �3��

+�"#/,

)* � ����� �� �*�3� �� ;�1" �"�" 6 � � 3 � ���������� �*�� ����� 2��� �* ������� ���� ������ �� �* ��1*�" 0� �* ��� ��� � �� ����������� ! *����� � � ���� �� �* � 2� ��� �2�� "

��� ��� ����������� ������ ��� ���� �� ��� ���� ��

.� �* 2����3��1 4���� �� 3 3��� �� �* �� �* � �2������ �2 �* ��� ����-���!� ��* � � 3 � � ��� � �� �#"�"

Page 15: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ $�

0 20 40 60

0

0.5

1

1.5

2T=0

0 20 40 60

0

0.5

1

1.5

2T=6

0 20 40 60

0

0.5

1

1.5

2T=10

0 20 40 60

0

0.5

1

1.5

2T=20

;�1�� �"�J 0� ��� ������� ! �3 � �3� ���������� 2�� �* �+�� �, ������ +�"#(," )* ����������� �� 1�� � !� +�"#�," )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"#" )* ����������� �� � � 3��* # � ���"

Page 16: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

$� �� ����� ��� �� � �� ���

−20 −10 0 10 20−0.5

0

0.5

1

1.5T=0

−20 −10 0 10 20−0.5

0

0.5

1

1.5T=2

−20 −10 0 10 20−0.5

0

0.5

1

1.5T=6

−20 −10 0 10 20−0.5

0

0.5

1

1.5T=8

;�1�� �"(J )* �+�� �, ������ +�"#(," ���������� ��������1 2��� �* ������� ���� +�"#A,"���1���� ������������ � � ��� �� �* � 2� ��� �2�� " )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"#" )* ����������� �� � � 3��* ( � ���"

Page 17: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ $A

+�,-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

Spectral N=256Spectral N=512

Spectral N=1024 DG N=400

+!,-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

Spectral N=256Spectral N=512

Spectral N=1024 DG N=400

;�1�� �"�J )* �+�� �, ������ +�"#(," +�, ���������� ��������1 2��� �* ������� ���� +�"#A,�� % : /" 0 �������� �!���� � 3��* � �� ���-�� ����� � �*�� +��������1 � �����* *�1*-����>�� �, 3��* � : #��� �$#� $#( ��� �" )* �� � �*�� �� �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"#3��* � : (" +!, R�����1 �� �* ����������� � 1��� �� �* � 2� ��� �2�� "

Page 18: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

$/ �� ����� ��� �� � �� ���

−10 0 10 20 30 40 50

0

0.5

1

1.5

2

2.5T=0

−10 0 10 20 30 40 50

0

0.5

1

1.5

2

2.5T=2

−10 0 10 20 30 40 50

0

0.5

1

1.5

2

2.5T=4

−10 0 10 20 30 40 50

0

0.5

1

1.5

2

2.5T=12

;�1�� �"�J )* �+�� �, ������ +�"#(," ���������� ��������1 2��� �* ������� ���� +�"#/,"E����������� � � ��� �� �* � 2� ��� �2�� " )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2� ����� #"#" )* ����������� �� � � 3��* # � ���"

Page 19: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ $B

0 �, % �,/% �,�.% �,!�% ���� ���� ��� � ���� ��� � ���� ��� �

�� $"(/ -$ B"## -# "�/ �"#/ -# "/ #"/( -# "/B�� #"$A -$ $"�� -$ "�B A"�� -# "/# ("$ -# "B

$ �� $"A -� �"B# -( #"$$ $"/ -( $"/� #"�� -� #"��� �"B( -� $"A -� $"/$ ("$A -( #"# $"$ -( #"�

)�!� �"�J 0� �������� � �� 2�� � �� -��������� �������� �2 �* �+�� �, ������ +�"#(, 3��*� ���1� ��������� ������� ���� +�"#�," )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2� ����� #"#" )* �������� �� ������ � 2�� �* ��������� �� �����* �� ��" 0 +� 9 $, ��� � �2�������� �� �!� �� �"

� �,% �,� �, �,. �,/� "��$A "��$� "��B "��$ "�#B#� "��$� "��$� "��$# "��$$ "��$

)�!� �"(J )* ��-���� 2�� �* �+�� �, ������ +�"#(, 3��* �* ������� ���� +�"#A," )* ���������� �!���� � 3��* �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"#" )* ����������� �� � �� 3��* � ��� �������"

$" ��� �+#� #, �*�� ��( )* ��������� ���� ���1 3�� �������� 2�� �* �+#� #, �������

�� 9 +��,� 9 +��,��� : � +�"#B,

�� 1�� � !� �* ���������

�+� �, :(�

�����

�� ��

(

�� �� ��� � # +�"�,

.� ��� >��� 4���� � 3 ���� +�"#B, ��!N �� �� � �� -��������� ������� ��������� +1�� �!� +�"�, 3��* � : $," )* � ����� �2 �* �������� � �� 3��* �*�� ������� ���� �� �*�3� ��)�!� �"�" )* �������� �� ������ � �� % : �# 3��* � �� � � ��� � � �����������" )* � ����� �*�3� �� �*�� ��!� ���>�� �* 4� �� � � 9 $ ��� � �2 ��������"

0 ��������� ! �3 � �3� ���������� �� �*�3� �� ;�1" �"A" ��������� �� �* ���1���� ���-������� ��� � 7#8� �2� � �* ��������� 3 �!� �� �* � �1 �� �2 � ���������-����-��������� ����" ;������� ���������� ��������1 2��� � ��� 1 � ��� ������� ���� �� �*�3��� ;�1" �"/" 6 � � �* ������� ���� �� ��� � ��

��+, :(

�����

/

�� � 7�( � ( 8� +�"�$,

��� % �� �� 3* � "

Page 20: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

# �� ����� ��� �� � �� ���

0 20 40 60 80

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T=0

0 20 40 60 80

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T=10

0 20 40 60 80

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T=15

0 20 40 60 80

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T=30

;�1�� �"AJ )3� ��������� ��������1 2�� �* �+#� #, ������ +�"#B," )* �������� �� �!-���� � 3��* �* ��� ����-���!� ��* � �2 � ����� #"�" )* ����������� �� � � 3��* � � ����� 7�( � #� 8"

Page 21: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ #$

−20 0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

T=0

−20 0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

T=10

−20 0 20 40 60 80 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

T=50

0 50 100 150−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

T=120

;�1�� �"/J ���������� ��������1 2��� 1 � ��� ������� ���� �� �* �+#� #, ������ +�"#B," )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��� ����-���!� ��* � �2 � ����� #"�" )* ������� ���� �� 1�� � !�+�"�$," ��� �* ��< � �� �4�� �� % : $#"

Page 22: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

## �� ����� ��� �� � �� ���

0 �, % �,/% �,��% �,�.% ���� ���� ��� � ���� ��� � ���� ��� �

�� A"�# -# ("#A -# "A/ �"$ -# "/� #"�� -# "B�� #"� -$ $"�/ -$ "A� B"/( -# "/( A"�( -# "//

$ �� $"�� -� ("� -( $"B( $"/� -( $"B� $"( -( $"BA�� $"#$ -# �"#( -� $"B $"(A -� $"B� /"�( -( $"B�

# �� $"$( -( #"$$ -� #"(� ("(B -� �"/# $"(B -� �"/��� �"( -( $"�( -( #"$B #"�# -� ("# $"/ -� �"A

)�!� �"�J E�� � �2 �������� 2�� �* �+#� #, ������ +�"#B, 3��* � �� -��������� ������� ����+�"�,� � : $� % : �#" )* �������� �� �!���� � 3��* �* ��� ����-���!� ��* � �2 � ����� #"�")* �������� �� ������ � �� �* �����* � 1��� �2 �* ��������� �3�� 2��� ��� ��� �2�� "

#" ��� �+�� �, �*�� ��( I 3���� ��� �� ������ �* ��-���!� ��* � �2 � ����� #"# 3��*�* ��� ����-���!� ��* � �2 � ����� #"�" ;�� �*�� ������ � 3 � � �� �3� �2 �* �� ����� 4���� �J �* ��� ������� ! �3 � �3� ���������� 3��* �* ������� ���� 1�� � !� +�"#�,��� �* ���������� ��������1 2��� �* ������� ���� +�"#A, +�" " �* 4���� �*�� � � �����* ���1���� ������������," )* � ����� �2 �* ����������� �� �*�3� �� ;�1" �"B" .� �* >��� ��� 3��* �* �3� ��������1 ����������� �* � ����� �!���� � 3��* !��* � �*��� �� � ���� �� ������" I��* �* � ���� ��� � �* � �� ��� ��< � �� ! �3 � �* ��������� ���* ����������� � 1���" )* ��-���!� � �*�� � �� �� ! �� � � ���� �* ������������"

� ������� ���

.� �*�� 3��� 3 �� � �� � � � ��� �������* � 2�� � ��1���1 ��� ����� ��* � � 2�� �����4������1��������� �2 � ����� ������ �� ���� ���� �������" ;����� �� �#"# 3 ��������� � � ����� ��� �*�� ���* �*�� � ���� ������� ��3 2�� �* ������ 3�� �������� � ���� � ���!����� ���������2�� �* ��� ����� ��* � " I*�� � ����������1 �*�� �������* !� ��������1 � �����!� ��� �����F�4 2�� � � ��� ������� �2 ��� � ��� �� �� ��������� �� ��� �*�� �*�� �������* � ��� � ����� 2���� � ��1� �* ��� ����� F�4 �*�� 3��� ���� �* ���!� � �� *���"

.� ��� � ���� �������*� �* �� �2 �#"�� 3 ��������� � � ����� �� � �*�� �*�� �� ���!� 3��*� �� �� �� ����� � ����!������ �2 �* ��������" I*�� ��������1 � �� ������� �� � �* ��� ������������� �*�� �* ������ ����-���!� ��* � �2 � ����� #� �* � ��1� �2 ���* ��� ����-���!� ����* � � 2�� ��< � �� ������� �� � � ����� �� �����1*�2��3��� ����"

�0��1���2���� I 3���� ��� �� �*��� S���!��1 ; �1� 6������1 D��� ��� �*���� 5�� ���2�� 2����2�� �����������" )* 3��� �2 �" D �� 3�� ������� � �� ���� !� �* ��; ��� � ��� ������ ��-$���$$" )* 3��� �2 �"-I" �*� 3�� ������� � �� ���� !� 05E 1���� �00�$B--$-(�� ��; 1���� ��-#A(�$� �0�0 D��1� � 1���� ���$-$��� ��� 0;E�5 1����;(B�#-#-$-$$�" )* 3��� �2 T" H�� 3�� ������� � �� ���� !� E�5 1���� �$(-#-$-A#"

Page 23: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ #�

+�,

0

0.5

1

1.5

2

-10 0 10 20 30 40 50 60

Nonlinearly stableLinearly stable

+!,-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Nonlinearly stableLinearly stable

;�1�� �"BJ )* �+�� �, ������ +�"#(," 0 ���������� ! �3 � �* ������ ����-���!� � �*���2 � ����� #"# ��� �* ��� ���� ���!� � �*�� �2 � ����� #"�" +�, )3� ��������1 ����������" )* ����������� �� � � 3��* # � ��� �� 7�# � $/ 8 �� % : #" +!, ���������� ��������1 2��� �* ������� ���� +�"#A, �� % : /" )* ����������� �� � � 3��* ( � ��� �� 7�� � $( 8"

Page 24: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

#( �� ����� ��� �� � �� ���

���������

7$8 !� "���� ��� �� #�$��� * �'+����� �������� ������������� ����� ������� ����� ����� ��������� �������� �� �� ������������ ,�$���+-��&�� �.�������� T" ������" �*��"� �!�+$BBA,� ��"#�AU#AB"

7#8 %� �������& ��� �� ����� �������� ������ ��� ��������$� �.�������� T" ����" �*��"��3� ��" #� +#$,� ��"A/UA�"

7�8 %� �������& ��� �� ����� * �������� ����� ��� �� /�0 �.������� ���� ���1� �2�* ;�2�* .�� ��������� ���2 � �� �� �� ����� ��� 6�1* E�� � �*��� +.�E�06E-$,+C������," T" ���" ������"� �3 ��" $U(� +##,� ��"(B$U(BB"

7(8 "� ���&$ ��� ������������ 1����&�� ������ ��� ���$������+��������� ��������� ��2�'+3���� 4����� ��� 5������������ ������� )"T" G���* ��� 6" � �������� �������D ���� ��� � �� ������������� ��� �� ��� =�1�� ���1� ����� B� �����1 �� $BBB� ��"�BU##("

7�8 "� ���&$ ��� �� '�������&�� ��� ��� �� � � ��$�������� �� �������������1����&�� ������� �� ������������ 1����&�� 4�����6 ����� 5���������� ��� *����+�������� G" ����!���� �" &���������� ��� �"-I" �*�� ������� D ���� ��� � �� �������-������ ��� �� ��� =�1�� ���1� ����� $$� �����1 �� #� ���� .J E� ��� 3� ��"�U�"

7�8 "� ���&$ �� ��� ��� �� � � %��'�+/���� ����� ���7������ � �+�������������+1����&�� ����� ������� ����� ��� ������ ������$����� ��"�� ��*" �� �" ��� �" 0���"+&�'�,� �- +$BB$,� ��"��AU��$"

7A8 "� ���&$ �� ��� ��� �� � 08 %��'�+/���� 9���� ���7������ ������������1����&�� :����� !������ 4���� ��� -����� 5�����$����� 9�"� ;;6 1������ :����"��&���*" ����"� -� +$B/B,� ��"($$U(��"

7/8 "� ���&$ ��� ���� ��� ��� ��� �� � 08 %��'�+/���� ����� ���7������ ������+������� 1����&�� ����� ������� ����� ��� ������$����� ��"� ;;;6 ��� ����������� ��������T" ������" �*��"� / +$B/B,� ��"BU$$�"

7B8 "� ���&$ ��� �� (� � ��� ��� �� � 08 %��'�+/���� ����� ���7������ ���������+���� 1����&�� ����� ������� ����� ��� ������$����� ��"� ;06 �� ���������������� �������*" ����"� - +$BB,� ��"�(�U�/$"

7$8 "� ���&$ �� ��� ��� �� � 08 %��'�+/���� 9���� ���7������ ������������1����&�� :����� !������ 4���� ��� -����� 5�����$����� 9�"� 06 4��������������� -��+����� T" ����" �*��"� � � +$BB/,� ��"$BBU##("

7$$8 "� ���&$ �� ��� ��� �� � � 9���� ������������ 1����&�� 4���� ��� ���+ �������� 5��$������ �#����� -������� �.0 T" ��� �" 0���"� !- +$BB/,� ��"#((U#(��"

7$#8 "� ���&$ �� ��� ��� �� � %��'�+/���� ������������ 1����&�� 4����� ���5��$������+ �������� ��������� T" ���" ����"� �. +#$,� ��"$A�U#�$"

Page 25: Local Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Dispersive

����� �� ������� ��� ���������� � ������ #�

7$�8 )� ��*��� ��� !��� � �������� * ������������ *���� ������� �� �#����� !.�������<���' ���������� �.0 T" ���" ����" ����"� �� ��" #� +$BB,� ��"#B�U�$"

7$(8 �� �� !� ���� ��%� �+���,������� ��� ���� ���,������ * :����� �#������-���� ��� �� �+#� #, 5�������� !.������� T" ����" �*��"� ��%� +$BB�,� ��"#(/U#�#"

7$�8 ���� -�.��� ��� /�#� /���� * ,�������� -���� �� 5���������� ��*" ��� ����" ������"� 3� +$BB/,� ��"�$BU��"

7$�8 ��%� �� ��� )��� 0����� 5��$��'���� �� -�������+=�$� -�������� �� � ��������� 8�+2���������� �������� -�����6 ;� 5��������� ��� ���&���� �����" ��� ����" ���" ����"�!� ��" � +$BBA,� ��"($BU(�#"

7$A8 ��%� �� ��� )��� 0����� 5��$��'���� �� -�������+=�$� -�������� �� � ��������� 8�+2���������� �������� -������ ;;� 5����� *������� 8��$��� ��� 5��$��'���� �� ,��+*������� -��������� ����� � ����" ���" ����"� � +$BB/,� ��"$�BU$B$"

7$/8 ��%� ��� )��� 0����� ��� )� #����� � ,��+*������� -�������� �� ,�������� =�$�4������ �� ?������ �� )* ��� �2 � � ����% � ;��������@ +'� ���� $BBA,� ��" $#BU$(�"�*����� V 6���W�5� 5 �" ��� � ��*"� %�� �*����� V 6���W �5�� G��� 5����� ;D�$BBB"

7$B8 )� #����� � 5������ ��� ,��������� �������$� ��������� �*��" D �" 0� �3-� +#,���"$B�U#�"

7#8 )� #����� ��� ���� (�.��� 5���������6 -������� "�� :����� =�$����'�� �*��"5 �" D �"� 3% ��" �� +$BB�,� ��"��(U��A"

7#$8 )� #����� ��� �� ����� 5��������� �� � 5���� �� ,���������� >������ !.���������*����� D �� �� 0� �-� +$BBB,� ��"#BAU��"

7##8 ��� �� � �#����� :����������� �� �� ������������ 1����&�� 4����� ��� �� 0����������� �� *�$����� �� -�������� 5�������'� R"-�" �*�� " �� I" S� � ��� T" R�� + ��",���� �� �� ��� #$� ��"$((U$��"

7#�8 ��� �� ��� �� 0����� !����� ;������������� �� !���������� ,��+3���������� -��&5�������' -������ T" ����" �*��"� 33 +$B//,� ��"(�BU(A$"

7#(8 �� ��� ��� ��� �� � * 9���� ������������ 1����&�� 4���� ��� /�0 ��� !.���������.0 T" ��� �" 0���"� % ��" #� +##,� ��"A�BUAB$"

7#�8 �� ��� ��� ��� �� � 9���� ������������ 1����&�� 4����� ��� ������� �#��������!.������� "�� 2�'�� 3���� ���$���$��� T" ���" ����"� �3 +##,� ��"#AU(A"

7#�8 �� 1���* ��� ��� �� � *� *������� �� ��� �#����� :����������� �� �� �����+������� 1����&�� 4���� ��� �#����� !.�������� ��*" �� �" ��� �*" �� 0���" ���"+&�'(,� �! +#�,� ��"�B�U($�"