Logarithme d’une puissance.

De Ridder Manon.

ln aⁿ = n ln a

n = 0

ln aº = 0 ln aln 1 = 0 0 = 0

Ok

n = 1

ln a ¹ = 1 ln aln a = ln a

Ok

• La règle de calcul est évidente dans le cas où :

ln aⁿ = n ln a

• Si n est un nombre strictement positif,

Alors aⁿ = a. … .a n facteurs

Et ln aⁿ = ln a + … + ln a

n termes

ln aⁿ = n ln a

ln aⁿ = n ln a• Si n est un nombre strictement négatif,

Alors q = - n est un nombre entier positif,

et aⁿ =

D’où :

ln aⁿ = ln 1 –

ln aⁿ = n ln a

= - q ln a = n ln a

ln aⁿ = n ln a

• Si n est un nombre rationnel non nul,

Alors n peut s’écrire r/s

r étant un nombre entier non nul et s un naturel non nul.

D’où :

aⁿ =

ou encore =

On a mis à l’exposant s les 2 égalités

ln aⁿ = n ln a

Égalons les logarithmes des deux membres de la dernièreégalité après avoir appliqué les règles de calcul déjàdémontrées:

ln = r ln a (car r Є Z)

et ln = s ln aⁿ (car s Є N)

D’où : r ln a = s ln aⁿ

et ln aⁿ = r/s ln a = n ln a

ln aⁿ = n ln a

La formule est démontrée dans les rationnels et acceptée dans les irrationnels.

ln aⁿ = n ln a (avec n Є Q)

ln aⁿ := n ln a (avec n Є R\Q)

égal de définition

ln aⁿ = n ln a

J’espère que cela vous a aidé àcomprendre la démonstration.

De Ridder Manon.