7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 129

Discrete Mathematics (Ayrık Matematik)

DoccedilDrBanu DİRİ

e-mail banuceyildizedutr veya diriyildizedutrhttpwwwceyildizedutrpersonalbanud

Kaynaklar

bullDiscrete Mathematics and Its Applications

Kenneth HRosen McGraw Hill

Konular

1 Logic and Proof

propositions (oumlnermeler)

conditional propositions (şartlı oumlnermeler)

logical equivalence (mantıksal denklik)

quantifiers (nicelikler)

proof

2 The Language of Mathematics

sets (kuumlmeler)

sequences and strings (diziler) number systems

relations (ilişkiler)

equivalence relations (eşitlik bağıntıları)

matrices of relations

functions

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 229

3 Algorithms

different algorithms

4 Graph Theory

path and cycles

hamiltonian cycles

a shortest-path algorithm

isomorphisms of graph

5 Trees

terminology and characterizations of tree

spanning tree

binary tree

tree traversals

isomorphisms tree

6 Choromatic polinomial

7 Boolean Algebras and Combinatorial Circuit

8 Automata Grammars and Language

finite-state automata (sonlu durum makineleri)

language and grammars

nondeterministic finite-state automata

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 329

Boumlluumlm 1

Mantık ve İspatlar

(Logic and Proofs)

Mantık (Logic)

Mantık (Logic) = doğru ccedilıkarımı eldeetme ccedilalışmasıdır

Mantığın kullanımıMatematikte kullanımı

Teoremleri ispatlamak

Bilgisayar Bilimlerinde kullanımıProgramların kendilerinden beklenen sonucu uumlretip

uumlretmediğinin kontroluumlduumlr

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429

Oumlnermeler (Propositions)

Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir

OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir

ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir

Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin

pqrst gibi değişkenler kullanılır

En ccedilok kullanılan birleştiriciler

Conjunction AND Sembol ^

Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529

AND (conjunction) doğruluk tablosu

Conjunction doğruluk tablosu

p q p ^ q

T T T

T F F

F T F

F F F

p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur

Oumlrnek

p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo

q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo

p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir

p ^ q yanlıştır Neden

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629

OR (disjunction) doğruluk tablosu

Disjunction doğruluk tablosu

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır

Exclusive disjunction OR(XOR)

Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır

p q p v q

T T F

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729

Tersi (Negation)

p doğru iken ~p yanlıştır

p yanlış iken ~p doğrudur

p ~p

T F

F T

prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir

Birden Fazla Oumlnermenin

Birleştirilmesi

p q r basit oumlnermeler olsun

Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz

(porq)^r

por(q^r)

(~p)or(~q)(porq)^(~r)

ve diğer durumlarhellip

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 229

3 Algorithms

different algorithms

4 Graph Theory

path and cycles

hamiltonian cycles

a shortest-path algorithm

isomorphisms of graph

5 Trees

terminology and characterizations of tree

spanning tree

binary tree

tree traversals

isomorphisms tree

6 Choromatic polinomial

7 Boolean Algebras and Combinatorial Circuit

8 Automata Grammars and Language

finite-state automata (sonlu durum makineleri)

language and grammars

nondeterministic finite-state automata

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 329

Boumlluumlm 1

Mantık ve İspatlar

(Logic and Proofs)

Mantık (Logic)

Mantık (Logic) = doğru ccedilıkarımı eldeetme ccedilalışmasıdır

Mantığın kullanımıMatematikte kullanımı

Teoremleri ispatlamak

Bilgisayar Bilimlerinde kullanımıProgramların kendilerinden beklenen sonucu uumlretip

uumlretmediğinin kontroluumlduumlr

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429

Oumlnermeler (Propositions)

Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir

OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir

ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir

Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin

pqrst gibi değişkenler kullanılır

En ccedilok kullanılan birleştiriciler

Conjunction AND Sembol ^

Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529

AND (conjunction) doğruluk tablosu

Conjunction doğruluk tablosu

p q p ^ q

T T T

T F F

F T F

F F F

p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur

Oumlrnek

p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo

q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo

p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir

p ^ q yanlıştır Neden

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629

OR (disjunction) doğruluk tablosu

Disjunction doğruluk tablosu

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır

Exclusive disjunction OR(XOR)

Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır

p q p v q

T T F

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729

Tersi (Negation)

p doğru iken ~p yanlıştır

p yanlış iken ~p doğrudur

p ~p

T F

F T

prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir

Birden Fazla Oumlnermenin

Birleştirilmesi

p q r basit oumlnermeler olsun

Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz

(porq)^r

por(q^r)

(~p)or(~q)(porq)^(~r)

ve diğer durumlarhellip

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 329

Boumlluumlm 1

Mantık ve İspatlar

(Logic and Proofs)

Mantık (Logic)

Mantık (Logic) = doğru ccedilıkarımı eldeetme ccedilalışmasıdır

Mantığın kullanımıMatematikte kullanımı

Teoremleri ispatlamak

Bilgisayar Bilimlerinde kullanımıProgramların kendilerinden beklenen sonucu uumlretip

uumlretmediğinin kontroluumlduumlr

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429

Oumlnermeler (Propositions)

Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir

OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir

ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir

Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin

pqrst gibi değişkenler kullanılır

En ccedilok kullanılan birleştiriciler

Conjunction AND Sembol ^

Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529

AND (conjunction) doğruluk tablosu

Conjunction doğruluk tablosu

p q p ^ q

T T T

T F F

F T F

F F F

p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur

Oumlrnek

p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo

q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo

p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir

p ^ q yanlıştır Neden

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629

OR (disjunction) doğruluk tablosu

Disjunction doğruluk tablosu

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır

Exclusive disjunction OR(XOR)

Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır

p q p v q

T T F

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729

Tersi (Negation)

p doğru iken ~p yanlıştır

p yanlış iken ~p doğrudur

p ~p

T F

F T

prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir

Birden Fazla Oumlnermenin

Birleştirilmesi

p q r basit oumlnermeler olsun

Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz

(porq)^r

por(q^r)

(~p)or(~q)(porq)^(~r)

ve diğer durumlarhellip

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429

Oumlnermeler (Propositions)

Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir

OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir

ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir

Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin

pqrst gibi değişkenler kullanılır

En ccedilok kullanılan birleştiriciler

Conjunction AND Sembol ^

Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529

AND (conjunction) doğruluk tablosu

Conjunction doğruluk tablosu

p q p ^ q

T T T

T F F

F T F

F F F

p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur

Oumlrnek

p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo

q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo

p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir

p ^ q yanlıştır Neden

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629

OR (disjunction) doğruluk tablosu

Disjunction doğruluk tablosu

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır

Exclusive disjunction OR(XOR)

Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır

p q p v q

T T F

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729

Tersi (Negation)

p doğru iken ~p yanlıştır

p yanlış iken ~p doğrudur

p ~p

T F

F T

prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir

Birden Fazla Oumlnermenin

Birleştirilmesi

p q r basit oumlnermeler olsun

Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz

(porq)^r

por(q^r)

(~p)or(~q)(porq)^(~r)

ve diğer durumlarhellip

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529

AND (conjunction) doğruluk tablosu

Conjunction doğruluk tablosu

p q p ^ q

T T T

T F F

F T F

F F F

p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur

Oumlrnek

p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo

q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo

p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir

p ^ q yanlıştır Neden

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629

OR (disjunction) doğruluk tablosu

Disjunction doğruluk tablosu

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır

Exclusive disjunction OR(XOR)

Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır

p q p v q

T T F

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729

Tersi (Negation)

p doğru iken ~p yanlıştır

p yanlış iken ~p doğrudur

p ~p

T F

F T

prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir

Birden Fazla Oumlnermenin

Birleştirilmesi

p q r basit oumlnermeler olsun

Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz

(porq)^r

por(q^r)

(~p)or(~q)(porq)^(~r)

ve diğer durumlarhellip

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629

OR (disjunction) doğruluk tablosu

Disjunction doğruluk tablosu

p q p v q

T T T

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir

Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır

Exclusive disjunction OR(XOR)

Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır

p q p v q

T T F

T F T

F T T

F F F

p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729

Tersi (Negation)

p doğru iken ~p yanlıştır

p yanlış iken ~p doğrudur

p ~p

T F

F T

prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir

Birden Fazla Oumlnermenin

Birleştirilmesi

p q r basit oumlnermeler olsun

Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz

(porq)^r

por(q^r)

(~p)or(~q)(porq)^(~r)

ve diğer durumlarhellip

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729

Tersi (Negation)

p doğru iken ~p yanlıştır

p yanlış iken ~p doğrudur

p ~p

T F

F T

prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir

Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir

Birden Fazla Oumlnermenin

Birleştirilmesi

p q r basit oumlnermeler olsun

Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz

(porq)^r

por(q^r)

(~p)or(~q)(porq)^(~r)

ve diğer durumlarhellip

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829

Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu

p q r (p orororor q) ^ r

T T T T

T T F F

T F T T

T F F F

F T T T

F T F F

F F T FF F F F

Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)

Şartlı oumlnerme (conditional proposition)

ldquoIf p then qrdquo

şeklinde goumlsterilir

Semboluuml p rarr q Oumlrnek

p = Cuumlneyt programcıdır

q = Zeynep avukattır

p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929

p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu

Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur

p q p rarrrarrrarrrarr q

T T T

T F F

F T T

F F T

Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)

p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis

q consequent or conclusion

olarak adlandırılır

ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029

Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)

Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir

Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir

Oumlrnek

If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır

Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo

Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)

Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır

p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q

T T T T

T F F F

F T T TF F T T

Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129

Yer değiştirme (Converse)

Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)

p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p

T T T T

T F F T

F T T F

F F T T

p rarr qrsquonun converse q rarr p dir

Contrapositive (Devrik)

Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır

p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p

T T T T

T F F F

F T T T

F F T T

p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229

Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)

p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır

p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)

T T T T

T F F F

F T F F

F F T T

Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)

ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır

p harr q semboluuml ile goumlsterilir

Totoloji-Tutarlılık (Tautology)

Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q

T T TT F T

F T T

F F T

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329

Ccedilelişki (Contradiction)

Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır

p p (~p)

T FF F

Oumlrnek p ^ ~p

De Morgan Kanunu

Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir

~ (p or q) rarr (~p)^(~q)

~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429

Nicelikler (Quantifiers)

P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun

Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı

D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun

Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır

D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)

Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar

Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar

Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır

D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun

if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır

if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529

Her ve Bazı(For every and for some)

Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır

Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees

EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)

The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır

forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır

En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur

ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo

P(x) ldquox has studied calculusrdquo

forallx P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction

P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)

since the conjunction is true if and only

if P(x1) P(x2)P(xn) are all true

Propositional fonksiyonun doğruluğu

forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D

Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D

P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur

P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır

Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon

ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır

foralln isin D = buumltuumln tam sayılar

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729

For every real number x x2 ge 0 TRUE

For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE

For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE

For every positive integer n if n is even then

n2+n+19 prime FALSE

Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)

The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo

P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır

existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo

şeklinde yazılır

Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829

When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx

P(x) is the same as the disjunction

P(x1)vP(x2)v vP(xn)

since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true

For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE

For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929

Translating Sentences into Logical Expressions

Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression

Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo

To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into

( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall

Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then

this person is someonersquos motherrdquo as logical expression

Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as

( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292

Counterexample

Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur

Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x

Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar

forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır

Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu

~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)

~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292

ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)

Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every

student in the class has taken a course in calculusrdquo

This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo

And this is simply the existential quantification of the negation of the

original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)

Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this

class who has taken a course in calculusrdquo

This is the existential quantificationexistx Q(x)

Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function

forallx ~Q(x)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292

)( x xPnotexist )( xP xnotforall

)( x xPnotforall )( xP xnotexist

Negating Quantifiers

Negation Equivalent Statement When is negation true When false

P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true

There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x

Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)

Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir

kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna

varma

Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521

9831522

983152983150

983153

9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292

ekleme

983120

983152 ν983153there4

983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141

983152 983134 983153

983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155

983152rarr983153

983152

983153

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137

983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

there4

983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155

983152rarr983153

983212983153

983212983152

983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147

983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı

there4

983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı

983152rarr983153

983153

983152

(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150

983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154

983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154

there4

983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153

983212983152

983212983153

983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148

983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129

9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6

2 + 3 ne 8

983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6

there4

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292

983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155

983152 ν 983153983212983152

983153

983254983154983150983141983147

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148

983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137

there4

983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155

983152 rarr 983153983153 rarr 983154

983152 rarr 983154

983254983154983150983141983147

39698316435244 rarr 6698316435244

6698316435244 rarr 398316435244

983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244

there4

983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155

983152 ν 983154

983153 ν 983155

983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149

983152 rarr 983153

983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155

983212983152 ν 983212983154there4there4

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147983152 rarr 983154

983154 rarr 983155

983156 ν 983212983155

983212983156 ν 983157

983212983157

983212983152

983152 rarr 983154 (1)

983154 rarr 983155 (2)

983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)

983156 ν 983212983155 (4)

983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)

983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)

983212983156 ν 983157 (8)

983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)

983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)

983212983157 (11)

983212983152 (10 11 983117983124)

983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145

983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)

983154 rarr 983156

983212983156

983152

983154 rarr 983156 (1)

983212983156 (2)

983212983154 (1 2 983117983124) (3)

983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)

983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)

(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)

983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)

983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292

İspatlar (Proofs)

Bir matematik sistemi

Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)

Tanımlar (Definitions)

Aksiyomlar (Axioms)

Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)

Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir

Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)

Doğru (Line)

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292

Tanımlar (Definitions)

Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır

Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar

Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir

İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir

Aksiyomlar (Axioms)

Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır

Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar

İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur

Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292

Teoremler (Theorems)

Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir

Lemma(yardımcı teoremoumln sav)

veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)

Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir

Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir

Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292

İspat Ccedileşitleri

İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır

Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır

Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır

Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)

forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım

N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme

A Nrsquonin bir alt kuumlmesi

S(n) propositional bir fonksiyon

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true

7272019 Logic Proof

httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929

Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim

4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur

3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru

olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)

2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun

i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle

1 S(1) doğru olduğunu teyit et

Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji

Temel adım (basis step)

S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi

Sonuccedil (Conclusion)

Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu

Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)

S(i)rsquonin doğru farzedilmesi

İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true