Logic1

Anotacoes sobre Logica matematica

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

[email protected]

‡

1

Sumario

1 Logica matematica 4

1.1 Negacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Conjuncao, (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Disjuncao ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Condicional →, se · · · entao · · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 Condicional ↔, · · · se e somente se · · · . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Proposicoes logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Relacao de implicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Relacao de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8.1 Comutatividade da conjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8.2 Associatividade da conjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8.3 p ∧ p ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8.4 p ∧ v ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8.5 p ∧ f ⇔ f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8.6 Comutatividade da disjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8.7 Associatividade da disjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8.8 p ∨ p ⇔ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8.9 p ∨ v ⇔ v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8.10 p ∨ f ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8.11 Distributividade p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). . . . . . . . . . . . 14

1.8.12 Distributividade p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). . . . . . . . . . . . 14

1.8.13 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

SUMARIO 3

1.8.14 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Sentencas abertas e quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.1 Quantificador universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.2 Quantificador existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Negacao de proposicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10.1 Negacao da negacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10.2 Negacao da conjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10.3 Negacao da disjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10.4 ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11 Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11.1 Condicoes necessarias e suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11.2 Analise logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11.3 Sımbolos para conectivos e quantificadores . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12 Nıvel proposicional e nıvel quantificacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.13 Questoes logicas e brincadeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Capıtulo 1

Logica matematica

m Definicao 1 (Proposicao). Nao daremos definicao rigorosa de proposicao, tentaremos

dar apenas uma nocao intuitiva . As proposicoes sao sentencas, declarativas, que podem

ser classificadas como verdadeiras (v) ou falsas (f). Iremos considerar como proposicao o

conteudo verdadeiro ou falso expresso por uma frase, entao por exemplo uma proposicao

nao depende da lıngua em que foi escrita, dependendo apenas do que se entende dela.

� Proposicoes sao declarativas, nao sao exclamativas, nem interrogativas.

� Possuem apenas um valor logico v ou f .

Diremos que os valores logicos v e f sao opostos . Os valores v ou f tambem podem ser

simbolizados por 0 ou 1 respectivamente.

m Definicao 2 (Argumento). Um argumento e uma sequencia finita de proposicoes, de

uma determinada linguagem, da forma

(pk)n+11 := (p1, . . . , pn+1)

onde as n primeiras proposicoes (pk)n1 se chamam premissas do argumento e a ultima

proposicao pn+1 = c e a conclusao do argumento. Podemos ler tal argumento como:

p1, . . . , pn, entao c,

4

CAPITULO 1. LOGICA MATEMATICA 5

ou usar outras conjuncoes conclusivas como “portanto”, “por conseguinte”, “logo”no lugar

de “entao”. Outros modos de se escrever um argumento sao

p1, . . . , pn, pn+1,

p1, . . . , pnpn+1

,

p1, . . . , pn/pn+1,

p1...

pnpn+1

m Definicao 3 (Argumentos validos e invalidos). Um argumento (pk)n+11 e dito correto

ou valido se a conclusao c = pn+1 for verdadeira sempre que as premissas (pk)n1 forem

verdadeiras. Se as premissas sao verdadeiras e a conclusao for falsa o argumento e dito

invalido ou incorreto.

1.1 Negacao

m Definicao 4 (Negacao de uma proposicao). Dada uma proposicao p, definimos a

negacao da proposicao p como uma proposicao ∼ p, de tal maneira como na tabela

abaixo

p ∼ p

v f

f v

Os valores logicos de p e ∼ p sao sempre opostos, por definicao .

1.2 Conjuncao, (e)

m Definicao 5 (Tabela verdade da conjuncao). Dadas duas proposicoes p e q formamos

uma nova proposicao chamada conjuncao das proposicoes p e q, denotada por p ∧ q, que


sera verdadeira quando p e q sao simultaneamente verdadeiras, conforme a tabela verdade

a seguir:

p q p ∧ q

v v v

v f f

f v f

f f f

p ∧ q le-se p e q.

1.3 Disjuncao ou

m Definicao 6 (Tabela verdade da disjuncao). Dadas duas proposicoes p e q formamos

uma nova proposicao chamada disjuncao das proposicoes p e q, denotada por p ∨ q, que

sera verdadeira quando pelo menos uma for verdadeira, conforme a tabela verdade a seguir

p q p ∨ q

v v v

v f v

f v v

f f f

1.4 Condicionais

1.4.1 Condicional →, se · · · entao · · ·

m Definicao 7 (Tabela verdade do condicional →). Dadas duas proposicoes p e q

formamos uma nova proposicao p → q , que tem como algumas opcoes de leitura : Se p

entao q, p e condicao necessaria para q, q e condicao suficiente para p. Os valores logicos

da nova proposicao sao conforme a tabela verdade a seguir


p q p → q

v v v

v f f

f v v

f f v

1.4.2 Condicional ↔, · · · se e somente se · · ·

m Definicao 8 (Tabela verdade do condicional ↔). Dadas duas proposicoes p e q

formamos uma nova proposicao p ↔ q , que tem como algumas opcoes de leitura :p se

e somente se q, p e condicao necessaria e suficiente para q. Os valores logicos da nova

proposicao sao conforme a tabela verdade a seguir

p q p ↔ q

v v v

v f f

f v f

f f v

p ↔ q e verdadeira quando p e q possuem mesmo valor logico .

1.5 Tautologias

m Definicao 9 (Tautologia). Uma proposicao p, e uma tautologia se ela possui o valor

logico v (verdadeiro), independente do valor logico das proposicoes que formam p .

Z Exemplo 1. p ou ∼ p e uma tautologia, pois a proposicao p ou a proposicao ∼ p e

uma proposicao verdadeira.

b Propriedade 1. A proposicao

(p∧ ∼ p) → (q ∨ p)

e uma tautologia.


ê Demonstracao. Precisamos testar apenas um numero finito de casos, das com-

binacoes possıveis das proposicoes p e q, por isso montamos uma tabela .

p q ∼ p p ∧ ∼ p q ∨ p (p∧ ∼p ) → (q ∨ p)

v v f f v v

v f f f v v

f v f f v v

f f v f f v

$ Corolario 1. Como vimos na tabela anterior p∧ ∼p e sempre falsa, logo sua negacao

e uma tautologia, ∼ (p∧ ∼p) sempre assume valor verdadeiro.

b Propriedade 2. ∼ (p ∧ q) ↔ (∼ p∨ ∼ q) e uma tautologia .

êDemonstracao. Novamente construımos a tabela verdade da proposicao, testando

todas possibilidades de valores logicos para p e q .

p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q (∼ p) ∨ (∼ q) ∼ (p ∧ q) ↔ (∼ p∨ ∼ q)

v v v f f f f v

v f f v f v v v

f v f v v f v v

f f f v v v v v

1.6 Proposicoes logicamente falsas

m Definicao 10 (Proposicao logicamente falsa). Uma proposicao p, e uma Proposicao

logicamente falsa se ela possui o valor logico f (falso), independente do valor logico das

proposicoes que formam p .

Tais proposicoes tambem podem ser chamadas de inconsistentes ou contradicoes.

Z Exemplo 2. p∧ ∼ p e uma Proposicao logicamente falsa, pois a proposicao p ou a

proposicao ∼ p e uma proposicao falsa.

b Propriedade 3. (p∨ ∼ q) ↔ (∼ p ∧ q) e uma proposicao logicamente falsa.

ê Demonstracao. Faremos a tabela verdade analisando todas possibilidades para

p e q .


p q ∼ p ∼ q p∨ ∼ q (∼ p) ∧ q (p∨ ∼ q) ↔ (∼ p ∧ q)

v v f f v f f

v f f v v f f

f v v f f v f

f f v v v f f

$ Corolario 2. Como (p∨ ∼ q) ↔ (∼ p ∧ q) e uma proposicao logicamente falsa, entao

sua negacao e uma tautologia.

1.7 Relacao de implicacao

m Definicao 11 (Relacao de implicacao). Dadas proposicoes p e q, dizemos que p

implica q, quando a proposicao p → q e verdadeira , simbolizamos tal ocorrencia com

p ⇒ q.

m Definicao 12 (Teorema). Um teorema e uma implicacao da forma h ⇒ t, onde h e

chamada de hipotese, t de tese .

Em geral consideramos h como sendo verdadeira.

m Definicao 13 (Demonstracao de um teorema). Como ideia intuitiva a demonstracao

de um teorema, significa mostrar que nao ocorre o caso da hipotese ser verdadeira e a tese

falsa , isto e, temos h ⇒ t.

1.8 Relacao de equivalencia

m Definicao 14 (Relacao de equivalencia). Dadas proposicoes p e q, dizemos que p e

equivalente a q, quando a proposicao p ↔ q e verdadeira e simbolizamos tal ocorrencia

com p ⇔ q.

1.8.1 Comutatividade da conjuncao

b Propriedade 4 (Comutatividade da Conjuncao). Vale que p ∧ q ⇔ q ∧ p.


ê Demonstracao. Comparamos as tabelas verdade

p q p ∧ q q ∧ p

v v v v

v f f f

f v f f

f f f f

portanto sao equivalentes.

1.8.2 Associatividade da conjuncao .

b Propriedade 5 (Associatividade da conjuncao .). Vale que

(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r),

para quaisquer proposicoes p, q e r.

ê Demonstracao.

Iremos construir a tabela verdade analisando todos casos possıveis .

p q r (p ∧ q) (p ∧ q) ∧ r q ∧ r p ∧ (q ∧ r)

v v f v f f f

v v v v v v v

v f f f f f f

v f v f f f f

f v f f f f f

f v v f f v f

f f f f f f f

f f v f f f f

(p ∧ q) ∧ r e p ∧ (q ∧ r) possuem tabelas verdade iguais logo sao equivalentes.

1.8.3 p ∧ p ⇔ p.

b Propriedade 6. Vale que p ∧ p ⇔ p.

ê Demonstracao. Analisamos a tabela verdade


p p ∧ p

v v

f f

Por isso p ∧ p assume sempre o valor logico de p .

1.8.4 p ∧ v ⇔ p.

b Propriedade 7. Vale que p ∧ v ⇔ p. Onde v e uma proposicao verdadeira.


p p ∧ v

v v

f f

Por isso p ∧ v assume sempre o valor logico de p .

1.8.5 p ∧ f ⇔ f.

b Propriedade 8. Vale que p ∧ f ⇔ f. Onde f e uma proposicao falsa.

ê Demonstracao.

Analisamos a tabela verdade

p p ∧ f

v f

f f

Por isso p ∧ f assume sempre o valor falso, independente do valor logico de p.

1.8.6 Comutatividade da disjuncao

b Propriedade 9 (Comutatividade da disjuncao). Vale que p∨q ⇔ q∨p. Para quaisquer

proposicoes p e q .

ê Demonstracao.

Analisamos as possibilidades usando a tabela verdade.


p q p ∨ q q ∨ p

v v v v

v f v v

f v v v

f f f f

Analisando as possibilidades de valores verdade para p e q , observamos que as tabelas

para p ∨ q e q ∨ p sao identicas .

Se pelo menos p ou q sao verdadeiras entao p∨ q e q ∨ p sao verdadeiras. Caso ambas

p e q sejam falsas entao p ∨ q e q ∨ p sao falsas.

1.8.7 Associatividade da disjuncao .

b Propriedade 10 (Associatividade da disjuncao .). Vale que

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r),

para quaisquer proposicoes p, q e r.

ê Demonstracao.

Iremos construir a tabela verdade analisando todos casos possıveis .

p q r (p ∨ q) (p ∨ q) ∧ r q ∨ r p ∨ (q ∨ r)

v v f v v v v

v v v v v v v

v f f v v f v

v f v v v v v

f v f v v v v

f v v v v v v

f f f f f f f

f f v f v v v

(p ∨ q) ∨ r e p ∨ (q ∨ r) possuem tabelas verdade iguais logo sao equivalentes.


1.8.8 p ∨ p ⇔ p

b Propriedade 11. Vale que

p ∨ p ⇔ p,

para qualquer proposicao p.


p p ∨ p

v v

f f

Como as tabelas verdades sao iguais entao as proposicoes possuem mesmo valor logico .

1.8.9 p ∨ v ⇔ v.


p ∨ v ⇔ v,

para qualquer proposicao p e v o valor verdade.


p p ∨ v

v v

f v

Entao p ∨ v sempre assume o valor v e por isso vale a equivalencia p ∨ v ⇔ v .

1.8.10 p ∨ f ⇔ p.


p ∨ f ⇔ p,

para qualquer proposicao p e f o valor falso.



p p ∨ f

v v

f f

Entao p∨ f sempre assume o valor verdade de p e por isso vale a equivalencia p∨ f ⇔ p .

1.8.11 Distributividade p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

b Propriedade 14. Para quaisquer proposicoes p, q e r vale que

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

ê Demonstracao. Analisamos a tabela verdade com todos possıveis valores verda-

des de p, q e r

p q r q ∨ r p ∧ q p ∧ r p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

v v f v v f v v

v v v v v v v v

v f f f f f f f

v f v v f v v v

f v f v f f f f

f v v v f f f f

f f f f f f f f

f f v v f f f f

de onde podemos perceber que p ∧ (q ∨ r) e (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), possuem sempre o mesmo

valor logico por isso temos a equivalencia .

1.8.12 Distributividade p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).

b Propriedade 15. Para quaisquer proposicoes p, q e r vale que

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).

ê Demonstracao. Analisamos a tabela verdade com todos possıveis valores verda-

des de p, q e r


p q r q ∧ r p ∨ q p ∨ r p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

v v f f v v v v

v v v v v v v v

v f f f v v v v

v f v f v v v v

f v f f v f f f

f v v v v v v v

f f f f f f f f

f f v f f v f f

de onde podemos perceber que p ∨ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), possuem sempre o mesmo

valor logico por isso temos a equivalencia .

1.8.13 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p.

b Propriedade 16. Para quaisquer proposicoes p e q vale que

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p.


p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q)

v v v v

v f v v

f v v f

f f f f

daı segue que p ∧ (p ∨ q) equivale a p.

1.8.14 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p.

b Propriedade 17. Para quaisquer proposicoes p e q vale que

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p.



p q p ∨ q p ∨ (p ∧ q)

v v v v

v f f v

f v f f

f f f f

daı segue que p ∨ (p ∧ q) equivale a p.

1.9 Sentencas abertas e quantificadores

m Definicao 15 (Sentencas abertas- funcoes proposicionais). Sentencas abertas sao

sentencas que contem variaveis, proposicoes que podem assumir valores logicos distintos

nao determinados a priori. Tais sentencas nao sao proposicoes pois seu valor logico nao

e definido a princıpio, dependendo das variaveis. Podemos denotar uma sentenca aberta

como P (X) onde X e um conjunto de variaveis . Sentencas abertas tambem podem ser

chamadas de funcoes proposicionais.

1.9.1 Quantificador universal

m Definicao 16 (Quantificador universal ∀). O quantificador universal ∀ e um sımbolo

que associado a uma sentenca aberta P (X) a transforma em uma proposicao, da forma

que (∀X) (P (X)) e verdadeira se para qualquer conjunto X de variaveis aplicaveis a

sentenca P , P (x) e verdadeira e falsa caso contrario .

O sımbolo ∀ pode ser lido como “para todo”, “qualquer que seja”, “para cada”.

1.9.2 Quantificador existencial

m Definicao 17 (Quantificador existencial ∃). O quantificador existencial ∃ e um

sımbolo que associado a uma sentenca aberta P (X) a transforma em uma proposicao,

da forma que (∃X) (P (X)) e verdadeira se existe algum conjunto X de variaveis apli-

caveis a sentenca P tal que P (x) e verdadeira e falsa caso nao exista esse conjunto de


variaveis aplicaveis , isto e, a negacao de (∀X) (P (X)) e (∃X) (∼ P (X)) e a negacao de

(∃X) (P (X)) e (∀X) (∼ P (X)).

O sımbolo ∃ pode ser lido como “existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”.

1.10 Negacao de proposicoes

1.10.1 Negacao da negacao

b Propriedade 18 (Negacao da negacao). Para qualquer proposicao p vale que

∼ (∼ p) ⇔ p.


p ∼ p ∼ (∼ p)

v f v

f v f

daı segue que ∼ (∼ p) equivale a p.

1.10.2 Negacao da conjuncao

b Propriedade 19 (Negacao da conjuncao). Para quaisquer proposicoes p e q temos

que

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q).

A negacao da conjuncao e a disjuncao das negacoes.

ê Demonstracao. Comparamos a tabela verdade das proposicoes

p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ (p ∧ q) (∼ p) ∨ (∼ q)

v v f f v f f

v f f v f v v

f v v f f v v

f f v v f v v

observando que sao equivalentes.


1.10.3 Negacao da disjuncao

b Propriedade 20 (Negacao da disjuncao). Para quaisquer proposicoes p e q temos

que

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q).

A negacao da disjuncao e a conjuncao das negacoes.

ê Demonstracao. Comparamos a tabela verdade das proposicoes

p q ∼ p ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) (∼ p) ∧ (∼ q)

v v f f v f f

v f f v v f f

f v v f v f f

f f v v f v v

observando que sao equivalentes.

1.10.4 ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q.

b Propriedade 21 (Negacao de uma condicional simples). ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q.

Negacao de p implica q e equivalente a p e nao q.

ê Demonstracao. Analisamos os casos na tabela verdade.

p q ∼ q p → q ∼ (p → q) p ∧ (∼ q)

v v f v f f

v f v f v v

f v f v f f

f f v v f f

por meio da tabela verdade acima podemos perceber que o valor verdade de ∼ (p → q)

e p∧ ∼ q sao identicos .

b Propriedade 22 (Negacao de proposicao quantificada). Lembrando que temos as

seguintes negacoes, da definicao dos quantificadores:

∼ (∀xp(x)) ⇔ ∃ ∼ p(x),


nao ( para todo x p(x)) e equivalente a existe nao p(x),

∼ (∃xp(x)) ⇔ ∀ ∼ p(x),

nao ( existe x p(x)) e equivalente a para todo x nao p(x).

1.11 Contrapositiva

b Propriedade 23 (Contrapositiva).

p ⇒ q ⇔∼ q ⇒∼ p.

A proposicao ∼ q ⇒∼ p e chamada contrapositiva da proposicao p ⇒ q.

ê Demonstracao. Comparamos as tabelas verdades das duas proposicoes .

p q p → q ∼ q ∼ p ∼ q →∼ p

v v v f f v

v f f v f f

f v v f v v

f f v v v v

como as tabelas verdade coincidem, entao as proposicoes sao equivalentes.

A contrapositiva e util em matematica, algumas proposicoes sao consideradas mais

faceis de serem demonstradas quando colocadas da forma contrapositiva.

1.11.1 Condicoes necessarias e suficientes

m Definicao 18. Dizemos que A e condicao necessaria para B quando B ⇒ A . B ⇒ A

equivale pela contrapositiva a proposicao ∼ A ⇒∼ B.

Z Exemplo 3. Morar na Europa e uma condicao necessaria para morar em Portugal.

Se nao mora na Europa nao mora em Portugal.

m Definicao 19. Dizemos que A e condicao suficiente para B quando A ⇒ B .


Z Exemplo 4. Morar em Portugal e uma condicao suficiente para morar na Europa.

Uma pessoa mora que mora em Portugal mora na Europa.

z Observacao 1. A e uma condicao e necessaria e suficiente para B quando temos

A ⇔ B. Definicoes sao condicoes necessarias e suficientes. Uma condicao necessaria

e suficiente tambem e chamada sine qua non. Consideramos definicoes, intuitivamente,

apenas o nome dado a certas entes que poderiam existir ou ser imaginados.

m Definicao 20 (Definiendum). O que desejamos definir chamamos de definiendum .

m Definicao 21 (Definiens). O que usamos para definir se chama definiens.

Z Exemplo 5. Considere a seguinte definicao de numero par. Um numero e chamado

de par se e da forma 2n com n ∈ Z. Neste caso “par”e o definiendum, o que definimos e

“Numero da forma 2n com n ∈ Z”e o definiens.

m Definicao 22 (Proposicao como consequencia logica). Seja C um conjunto de pro-

posicoes e p uma proposicao. Dizemos que p e consequencia logica (ou semantica) de

C quando p e verdadeira sempre que todas as proposicoes de C possuam valor logico

verdadeiro, denotamos tal fato por

C � p.

A expressao C � p pode ser lida como :

1. de C conclui-se logicamente p (ou semanticamente),

2. C implica logicamente p.

Se C for um conjunto finito, digamos C = {p1, . . . , pn} podemos escrever tambem

p1, . . . , pn � p,

Se C for o conjunto vazio podemos denotar � p .

$ Corolario 3. Um argumento (pk)n+11 e valido ⇔ p1, . . . , pn � pn+1


1.11.2 Analise logica

Vamos entender como explicitar a forma logica de uma proposicao p sendo o ato de

deixar claro o modo como essa proposicao e formada a partir de proposicoes ou condicoes

mais simples utilizando operadores logicos.

m Definicao 23 (Analise Logica). Entendemos como analise logica a identificacao e

classificacao das componentes logicas e nao logicas de proposicoes e demais expressoes de

uma lıngua ou linguagem.

1.11.3 Sımbolos para conectivos e quantificadores

Resumimos aqui alguns sımbolos para conectivos e quantificadores.

Sımbolo, Leitura Operacao logica Alternativos

∧, e Conjuncao &- ·∨, ou Disjuncao +

∼, nao Negacao ¬,p→, se . . ., entao Implicacao, condicionalidade ⇒, ⊃↔, se e so se Equivalencia ⇔, ≡∀, para todo Quantificacao universal Π, ()

∃, existe Quantificacao existencial Σ, E

1.12 Nıvel proposicional e nıvel quantificacional

m Definicao 24 (Nıvel proposicional e nıvel quantificacional). Temos pelo menos 2

nıveis de analise logica, que citamos a seguir.

� O nıvel proposicional em que interessa apenas o modo como uma proposicao e com-

posta de proposicoes mais simples por meio de conectivos, sem importar o conteudo

das proposicoes.

� O nıvel quantificacional em que o intuito e analisar


1.13 Questoes logicas e brincadeiras

Z Exemplo 6. A gata do Pedrinho sempre espirra antes de uma chuva. Ela espirrou

hoje e Pedrinho pensou:”Isto significa que vai chover”. Ele esta necessariamente certo?

Nao necessariamente pois choveu implica a gata espirrou nao e o mesmo que a gata

espirrou implica que chovera .

Z Exemplo 7. Um professor desenhou diversos cırculos em uma folha de papel. Ele

mostrou a folha para um estudante e depois perguntou : ”Quantos cırculos ha nesta

pagina?”A resposta foi sete , e estava correto . O professor mostrou a folha para outro

aluno e perguntou, novamente quantos cırculos havia naquela pagina que foi mostrada, a

resposta foi cinco, e estava correta. Quantos cırculos havia na folha?

O professor mostrou paginas diferentes da mesma folha ( por exemplo, frente e verso

), em uma havia 5 e em outra 7 . Logo o total na folha e de 5 + 7 = 12.

Z Exemplo 8. O filho do pai de uma pessoa esta falando com o pai do filho desta

pessoa e esta pessoa nao esta participando da conversa, isto e possıvel?.

Sim, como na imagem abaixo, e uma solucao sendo a pessoa do sexo feminino.

Figura 1.1: legenda

Z Exemplo 9 (OBM-2012-Primeira fase -nıvel 3-Questao 1). Quantas vogais tem a

resposta correta desse problema?


1. Seis

2. Cinco

3. Quatro

4. Tres

5. Duas

A resposta correta tem que possuir o mesmo numero de vogais que a quantidade que

indica, entao e a opcao 5), Duas, que possui duas vogais.

Z Exemplo 10. Um recipiente A possui exatamente x litros de leite e nada mais ,

outro recipiente B possui exatamente x litros de cha magico e nada mais. E retirado

do recipiente A, z litros e colocados em B, a mistura se torna entao homogenea , se

retira dessa mistura z litros que sao colocados no recipiente A, qual a relacao entre a

porcentagem de cha magico no recipiente A com a de leite no recipiente B ? .

Sao iguais, pois considere (x, 0)A, a primeira coordenada da a quantidade de leite no

recipiente A e a segunda a quantidade de cha magico . (0, x)B a primeira coordenada da

a quantidade de leite no recipiente B a segunda a quantidade de cha magico .

Na segunda etapa temos (x − z, 0)A e (z, x)B, na terceira etapa o liquido em B fica

homogeneo, entao tiramos z, mais metade deve ser de cha e a outra metade de leite,

entao ficamos com (x − z

2,z

2)A, (

z

2, x − z

2)B daı a porcentagem de cha em A e igual a

porcentagem de leite em B , como se pode verificar .

Z Exemplo 11. Tres logicos entram em um bar. Um Garcom pergunta se todos

tres desejam cerveja. Um dos logicos responde, ”nao sei”, um segundo logico responde o

mesmo, ja o terceiro responde, sim, todos queremos cerveja e com isso todos sao servidos

e bebem . Explique como o terceiro logico deduziu que todos realmente queriam cerveja.

Se o primeiro logico a falar nao quisesse cerveja, ele poderia dizer que nao seria verdade

que todos tres queriam e poderia responder ”nao”, como ele deseja beber entao responde

que nao sabe, pois nao tem informacao sobre o que desejam os outros, o mesmo acontece


para o segundo logico, pois nao sabe se o terceiro gostaria de beber, porem o terceiro logico

analisando a resposta dos outros percebe que eles querem beber, pois caso contrario teriam

respondido nao, como ele tambem deseja beber, responde que sim.

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