Proposicin Enunciado u oracin declarativa de la cual se puede afirmar que es verdadera o que es falsa.

ProposicinEnunciado u oracin declarativa de la cual se puede afirmar que es verdadera o que es falsa. Valor de verdad de una proposicin { verdadero , falso} Los perros son blancos : no es proposicin

Dos ms tres es igual a seis : es una proposicin

Los cuadrados tienen cuatro lados : es una proposicin

La madre es mayor que el hijo : es una proposicin Ejemplos.Por ejemplo, ninguno de las siguientes enunciados es una proposicin puesto que no podemos afirmar si la oracin es verdadera o falsa. Tome tres pastillas. Habla usted espaol ? 3+x=7La matemtica es importante.15 es un nmero primo. Son proposiciones los siguientes enunciados ?Axioma o postuladoes una proposicin que se asume verdadera.Famosos son los siguientes axiomas de la geometra euclidiana:

Dado dos puntos en el plano hay exactamente una recta que los contiene.

Dos rectas no pueden cortarse en ms de un punto.

El conjunto de postulados de los cuales se desprenden las dems proposiciones del sistema se llama el conjunto de postulados del sistema. Los postulados (axiomas) de un sistema no son deducibles de otros postulados (axiomas) o de otras proposiciones. Se dice que ellos son independientes.No es posible determinar si es verdadera o falsa la proposicin: Dos rectas no pueden cortarse en ms de un punto.a partir de suponer verdadera la proposicin: Dado dos puntos en el plano hay exactamente una recta que los contiene.

Probar la indepencia de los axiomas que generan un sistema es una tarea muy compleja. Los matemticos demoraron bastante tiempo en encontrar el conjunto de axiomas independientes que fuera el conjunto de postulados de la geometra euclidiana.Conjunto de postulados de un sistema = { p, q, r, ..}TEOREMAEs una proposicin que se desprende de otra proposicin o proposiciones dadas por supuestas (probadas) dentro del sistema. Se entiende que una proposicin es probada (o demostrada) dentro del sistema si ella es deducible a partir de proposiciones que se desprenden de los axiomas del conjunto .5Un ejemplo en geometraSe sabe que la afirmacin : los ngulos internos de un tringulo en el plano suman 180 grados es verdadera, luego es una proposicin + + = 180 grados Ella se demuestra a partir del conjunto de axiomas (postulados) que sostienen a la geometra euclidiana. ResumiendoLos axiomas o postulados de un sistema son proposiciones que se aceptan como verdaderas, no es necesario demostrarlas. El conjunto independiente de axiomas es la axiomtica de la teora.

Las proposiciones y teoremas se deducen a partir de los axiomas (postulados) .

Sin entrar en detalles dejamos de ejercicio investigar cuntos y cules son los axiomas en los que se sustenta la geometra euclidiana. Las proposiciones compuestas Las proposiciones, en Lgica, se escriben con letras : p, q, r , . y las variables se escriben con letras del tipo x, y, t

Una proposicin compuesta es una combinacin de proposiciones que se articulan usando conectivos lgicos.

Algunos conectivos.

Negacin ~ Conjuncin ^ Conyuncin v Conyuncin excluyente v Condicional Bicondicional

Axiomas de Euclidesson los postulados que sustentan la geometra planarAxioma 1: Por dos puntos diferentes pasa una nica lnea recta.Axioma 2: Unsegmentorectilneo puede ser siempre alargado.Axioma 3: Existe una nicacircunferenciacon un centro y radio determinado.Axioma 4: Todos los ngulos rectos son iguales.Axioma 5: Una recta secante que corta a dos rectas formando a un lado ngulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ngulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarn en el mismo lado.

Proposicin demostrada a partir de los postulados Proposicin 1 Dado un segmento se puede construir una tringulo equiltero de lado igual a la longitud de ese segmento.

Demostracin

Proposicin 2Dado un punto Q y una longitud d se puede construir un segmento con extremo Q y longitud d. Proposicin 3Dados dos segmento de diferente longitud se puede construir sobre el mayor de ellos uno de longitud del menor.

Tabla de verdadEs un arreglo ( o tabla) que muestra los valores de verdad de una proposicin compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.La negacin Es una nueva proposicin que tiene de valor de verdad opuesta.

La tabla de verdad de la negacin (~ p) est descrita por

p~ pvFFVLa conjuncin (^)La conjuncin (^) es la proposicin compuesta que resulta de conectar dos preposiciones p y q mediante el conectivo ^La silla es blanca y el mantel es floreado, es una proposicin compuesta del tipo p ^ q , donde

p: la silla es blanca q: el mantel es floreado. Tabla de verdad de la conjuncin pqP ^ qVVVVFFFVFFFFr : El da est soleado y el auto es viejo . Es una proposicin compuesta por dos proposiciones. Si p: el da est soleado es verdadera y q : el auto es viejo es falsa se obtiene que la proposicin r es falsa. La disyuncin (V)La disyuncin (V) es la proposicin compuesta que resulta de conectar dos preposiciones p y q mediante el conectivo V (o)La silla es blanca o el mantel es floreado, es una proposicin compuesta del tipo p V q , donde

p: la silla es blanca q: el mantel es floreado. Tabla de verdad de la disyuncin pqP V qVVVVFVFVVFFFr : El da est soleado o el auto es viejo . Es una proposicin compuesta por dos proposiciones. Si p: el da est soleado es verdadera y q : el auto es viejo es falsa se obtiene que la proposicin r es verdadera.Tabla de verdad de la disyuncin excluyente pqP V qVVFVFVFVVFFFTabla de verdad de la condicional pqP qVVVVFFFVVFFVTabla de verdad de la bicondicional pqP qVVVVFFFVFFFVCon esta tablas bsicas de verdad se puede calcular la tabla de verdad de cualquier proposicin compuesta. Para aplicar adecuadamente las leyes de la lgica se utiliza la ley asociativa, lo cual nos permite calcular las tablas de verdad de proposiciones ms complejas. Por ejemplo la tabla de verdad de la preposicin: ~pVq^r se calcula realizando primero la tabla de verdad de p1:= (~pVq) y su resultante se conecta con r con el conectivo lgico ^.

Ley asociativa: ~p V q ^ r = ( ~p V q) ^r

Tabla de verdad de ~p V q pq~p ~p V q 1VVFV2VFFF3FVVV4FFVVpqr~p V q (~p V q)^r 1vvvvv2vFvFF3vFFFF4vvFvF5Fvvv6FFvv7FFFv8FvFvMuestras de largo tres con dos objetos.Tabla de verdad de ~p V q ^ r Tautologas y equivalencias Una Tautologa es una proposicin cuyo valor de verdad es siempre verdadero independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.Una Contradiccin es una proposicin cuyo valor de verdad es siempre falso independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.Dos proposiciones son lgicamente equivalentes si al conectarlas con el conectivo se obtiene una tautologa. Por ejemplo las proposiciones p ^ q y q ^ p son lgicamente equivalentes Se describe la equivalencia por : p ^ q q ^ p pqp ^ qq ^ pp ^ q q ^ pvvvvvvFFFvFvFFvFFFFvResumiendo, Dos proposiciones p , q son equivalentes si la proposicin

p q es una tautologa.Si una proposicin no es una tautologa ni tampoco una contradiccin se dice que ella es una contingencia,Unas equivalencias importante

(p q ) (~q ~p )(p q ) (~q ~p )

Demostracin

pqp q~q ~p(P q ) (~q ~p)VVVFFVFFARGUMENTOS

pq , qr p r

Premisas y conclusin Si un hombre es soltero, es infelizSi un hombre es infeliz, muere jovenPor lo tanto, los solteros mueren jvenesEquivalencias bsicasSe demuestran mediantes tablas de verdad.pq(p V q) ~(p V q) ~p ^ ~q VVVFFVFVFFFVVFFFFFVVpq(p ^ q) ~(p ^ q) ~p v ~q VVVFFVFFVVFVFVVFFFVVMs Equivalencias bsicas(Se demuestran mediantes tablas de verdad) . pq p q pq q p (p(qp)) q(p (qp)) q(p q) qAsociatividad y conmutatividad (p q)^ q(q ^ p) (~q ^ q)(~q ^ p) ~q ^ (p q) conmutatividad: a ^ b b ^ a a v b b v a Hemos probado que : (p(qp)) q(p q) (*)Ejercicio 4 de la Gua 4

Discernir si es verdadera la siguiente Proposicin

(p(qp)) q (p q)Por (*) sabemos que la proposicin de la izquierda es equivalente a (p q)

Por otro lado: (p q) ~(~p q) p qp[((p q) ( pq ))] p q Determine la veracidad de la siguiente proposicin:Debemos simplificar la proposicin de la izquierda y verificar si se reduce a la proposicin de la derecha.Notemos que (p q) q p ~q p y tambin ( pq )= ~p ~qp[((p q) ( pq ))] p q ~(~q p ) (~ p ~q )) (~q p ) (~ p ~q )) ((~q p) ~p ) ((~ q p) ~q ) (~q ) (~ q p) ~q pLas tres enunciados siguientes son equivalentes