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Lgica

Premisas y conclusiones:

Las proposiciones son verdaderas o falsas.

La diferencia entre oraciones y proposiciones se pone de manifiesto al observar que una oracin

siempre forma parte de un lenguaje determinado, mientras que las proposiciones no son propias

de ninguno de los lenguajes en que pueden ser formuladas.

Un razonamiento es cualquier grupo de proposiciones tal que una de ellas se afirma que deriva

de las otras, las cuales son consideradas como elementos de juicio a favor de la verdad de la

primera. La palabra razonamiento se usa a menudo para indicar el proceso mismo. Un

razonamiento no es una mera coleccin de proposiciones, sino que tiene una estructura:

premisas y conclusin. La conclusin de un razonamiento es la proposicin que se afirma

sobre la base de otras proposiciones del mismo, y a su vez estas proposiciones de las que se

afirma que brindan los elementos del juicio o las razones para aceptar la conclusin son las

premisas del razonamiento. Ninguna proposicin es en s misma una premisa o una conclusin:

Es una premisa cuando aparece como supuesto de un razonamiento.

Es una conclusin cuando en un razonamiento en el que se afirma que se desprende de

las proposiciones afirmadas en ese razonamiento.

Un razonamiento siempre supone al menos dos proposiciones: una conclusin y una o ms

premisas.

Dado un razonamiento Cmo podemos saber cul es su conclusin y cules son sus premisas?

Por los indicadores:

Indicadores de Conclusin: Por lo tanto, por ende, as, luego, por consiguiente, se

sigue que, podemos concluir, etc.

Indicadores de Premisas: puesto que, porque, pues, en tanto que, por la razn de

que, ya que, etc.

Cuando en lugar de una conclusin lo ocupa una orden y no una asercin, no estamos ante un

razonamiento. En un razonamiento, es menester afirmar las premisas y las conclusiones, y por

ello los pasajes como esos no expresan razonamientos.

Para que este presente un razonamiento, de una de las proposiciones afirmadas debe sostenerse

que se desprende de otras proposiciones que se afirman como verdaderas, las cuales son

presentadas como fundamentos o razones para creer en la conclusin.

La diferencia entre un razonamiento y un conjunto de enunciados que no constituyen un

razonamiento es principalmente de finalidad o inters. Ambos pueden ser formulados segn el

esquema: Q porque P.

Si estamos interesados en establecer la verdad de Q, y se ofrece P como prueba de ella,

entonces estamos ante un razonamiento. En cambio, si consideramos la verdad de Q como no

problemtica, como tan bien establecida al menos como verdad de P, pero estamos interesados

en explicar porque se da Q, entonces no es un razonamiento, sino una explicacin.

2

Deductivo y no deductivo:

Los razonamientos deductivos pretenden de sus premisas que ofrezcan fundamentos

concluyentes. En el caso de los razonamientos deductivos se usan los trminos tcnicos: valido

e invalido. Un razonamiento deductivo es vlido cuando sus premisas brindan un fundamento

seguro para la conclusin, esto es cuando las premisas y la conclusin estn relacionadas de tal

manera que es absolutamente imposible que las premisas sean verdaderas sin que la conclusin

tambin lo sea.

Un razonamiento inductivo, en cambio, no pretende que sus premisas ofrezcan fundamentos

concluyentes para la verdad de su conclusin, sino solamente que ofrezcan algn fundamento

para ella. Los razonamientos inductivos no son validos ni invlidos.

Si un razonamiento deductivo es vlido, entonces su conclusin se sigue de igual necesidad de

sus premisas independientes de toda otra cosa. El razonamiento sigue siendo vlido aunque

agreguemos premisas adicionales al par original.

Caracterizaremos un razonamiento inductivo como aquel cuya conclusin se sigue de sus

premisas solo con alguna probabilidad, probabilidad que es cuestin de grado y depende de otras

cosas.

La verdad y La validez

Los argumentos deben ser validos solo en virtud de su forma externa y no en virtud de su

contenido.

Las propiedades de validez o invalidez solo pueden pertenecer a razonamientos deductivos, pero

nunca a proposiciones.

Es imposible que las premisas de un razonamiento vlido sean verdaderas y la conclusin falsa.

La verdad o la falsedad de una conclusin no determina la validez y la invalidez de un

razonamiento. Tampoco la validez de un razonamiento garantiza la verdad de su conclusin. Hay

razonamientos perfectamente vlidos que tienen conclusiones falsas, pero deben tener al menos

una premisa falsa. Introducimos el trmino solido para caracterizar a un razonamiento vlido

cuyas premisas son todas verdaderas. Un razonamiento deductivo no logra establecer la verdad

de su conclusin si no es solido, lo que significa o bien que no es vlido, o bien que no todas

sus premisas son verdaderas.

Esquemas de Argumentos

Un esquema de argumento es una representacin esquemtica como la siguiente

A o B No A

B Donde las letras A y B representan oraciones arbitrarias y donde o y no son conectivas. Si las

sustituimos por oraciones reales, obtenemos argumentos reales. Cualquier de este tipo de

esquema da como resultado un resultado vlido independiente de las oraciones que sustituyamos

ah sean verdades o falsas, y por esta razn decimos que es un esquema de argumento vlido.

Pero si reemplazamos la conectiva o por si obtenemos el siguiente esquema:

A si B No A

B

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Este esquema no es un argumento vlido ya que la conclusin puede ser falsa como verdadera.

Proposiciones categricas y clases

El tratamiento clsico, o aristotlico, de la deduccin se centraba en el razonamiento que

contenan proposiciones de un tipo especial llamadas proposiciones categricas.

Hay cuatro formas tpicas de proposiciones categricas, que son las ejemplificadas por las cuatro

proposiciones esquematizadas de la siguiente manera:

1- Todos los S son P.:

Es una proposicin universal afirmativa. Es una asercin acerca de dos clases, y afirma

que la primera clase est incluida o contenida en la segunda; esto significa que todo

miembro de la primera clase es tambin miembro de la segunda. El nombre universal

afirmativa es apropiado porque la proposicin afirma que hay una relacin de inclusin

entre las dos clases y, adems, que la inclusin es completa o universal, es decir, que

todas los miembros de S son tambin miembros de P.

2- Ningn S es P.:

Es una proposicin universal negativa. Hace una asercin acerca de dos clases, dice que

la primera est excluida de la segunda, lo que equivale a decir que no hay ningn miembro

de la primera clase que sea tambin miembro de la segunda. El nombre universal negativa

es adecuada porque la proposicin niega que haya una relacin de inclusin entre las dos

clases y, adems, lo niega universalmente, ya que ninguno de los miembros de S es

miembro de P.

3- Algunos S son P.:

Es una proposicin particular afirmativa. Se acostumbre considerar que la palabra

algunos significa al menos uno, se interpreta como afirmando que al menos un miembro

de la clase designada por el termino sujeto S es tambin miembro de la clase designada

por el termino predicado P. Es apropiado el nombre particular afirmativa porque la

proposicin afirma la existencia de una relacin entre las clases, pero no afirma de la

primera clase universalmente, sino solo parcialmente de algn miembro o de algunos

miembros en particular de la primera clase.

4- Algunos S no son P.:

Es una proposicin particular negativa. Pero a diferencia del anterior, no afirma que los

miembros particulares de la primera clase a los que se refiere estn incluidos en la

segunda clase: esto es precisamente lo que se niega. Afirma que al menos un miembro de

la clase designada por el trmino sujeto S esta excluido de la clase designada por el

trmino predicado P.

Donde la letra S representa el trmino sujeto y la P el trmino predicado.

Se ha sostenido tradicionalmente que todos los razonamientos pueden analizarse en trminos de

estas cuatro formas tpicas de proposiciones categricas y sobre ellas se construyo toda una

elaborada teora. Los trminos sujeto y predicado de una proposicin categrica de forma tpica

deben designar clases.

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Calidad, Cantidad y Distribucin

De toda proposicin categrica de forma tpica se dice que tiene una calidad y una cantidad.

La calidad de una proposicin es afirmativa o negativa segn que la inclusin de las clases

(completa o parcial) sea afirmada o negada por la proposicin. As, la universal afirmativa y la

particular afirmativa son ambas afirmativas en calidad, mientras que la universal negativa y la

particular negativa son ambas negativas. Se acostumbra usar las letras para los nombres de las

cuatro formas tpicas de proposiciones categricas:

A: La universal afirmativa.

E: La universal negativa.

I: La particular afirmativa.

O: La particular negativa.

La cantidad es universal o particular segn que la proposicin se refiere a todos o solamente a

algunos miembros de la clase asignada por el trmino sujeto. As, las proposiciones A y E son

universales en cantidad mientras que las proposiciones I y O son particulares.

Toda proposicin categrica de forma tpica comienza con una de las palabras todos, ningn y

algunos. Estas palabras indican la cantidad de la proposicin y son llamadas cuantificadores.

Entre los trminos sujeto y predicado de toda proposicin de forma tpica aparece algn tiempo

del verbo ser. Este sirve para conectar en termino sujeto con el termino predicado y es llamado

copula.

El esqueleto o esquema general de una proposicin categrica de forma tpica consta de cuatro

partes:

1 parte 2 parte 3 parte 4 parte

CUANTIFICADOR TERMINO SUJETO COPULA TERMINO PREDICADO

Toda proposicin A de esta forma:

Todo S es P.

Se refiere a todos los miembros de la clase designada por su sujeto S, pero no se refiere a todos

los miembros de la clase designada por su trmino predicado P.

Para caracterizar las diversas maneras en que los trminos pueden aparecer en las proposiciones

categricas se usa el termino tcnico distribucin. Una proposicin distribuye un trmino si se

refiere a todos los miembros de la clase designada por ese trmino. El termino sujeto de A esta

distribuido en esta proposicin, mientras que su trmino predicado no est distribuido en ella.

Una proposicin E se refiere a todos los miembros de la clase designada por su trmino

predicado; en este caso, decimos entonces que tambin distribuye su trmino predicado. Las

proposiciones E distribuyen tanto su trmino sujeto como su trmino predicado.

En lo que respecta a las proposiciones I, ninguna de las clases se dice que est totalmente

incluida o excluida, de toda o de parte de la otra. Ni el trmino sujeto, ni el trmino predicado

estn distribuidos en las proposiciones particulares afirmativas.

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La proposicin particular negativa O es similar a la anterior en que no distribuye su trmino sujeto.

Cuando se dice de algo que est excluido de una clase, la referencia se dirige a la totalidad de

esa clase. La proposicin particular negativa distribuye su trmino predicado, pero no su trmino

sujeto.

En resume:

1) La cantidad de cualquier proposicin categrica determina si su trmino sujeto est distribuido

o no lo est:

Las proposiciones universales distribuyen sus trminos sujetos.

Las proposiciones particulares no distribuyen sus trminos sujetos.

2) La calidad de cualquier proposicin categrica determina si su trmino predicado est

distribuido o no lo est:

Las proposiciones afirmativas no distribuyen sus trminos predicados.

Las proposiciones negativas distribuyen sus trminos predicados.

El tradicional cuadro de oposicin

Dos proposiciones son contradictorias si una de ellas es la negacin de la otra, esto es, si no

pueden ser ambas verdaderas y no pueden ser ambas falsas. A y O son contradictorias, como lo

son tambin E e I.

Se dice que dos proposiciones son contrarias si no pueden ser ambas verdaderas, aunque

puedan ser ambas falsas. La teora tradicional de las proposiciones categricas afirmaba que dos

proposiciones A y E se las consideraba como contrarias.

Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas, aunque puedan

ser ambas verdaderas. La teora tradicional mencionada sostena que las proposiciones

particulares que tienen los mismos trminos sujetos y predicado, pero que difieren en calidad, son

subcontrarias. Se afirmaba que las proposiciones I y O debe considerrselas como subcontrarias.

La oposicin entre una proposicin universal y su particular correspondiente (esto es la

proposicin particular que tiene los mismos trminos sujeto y predicado, y la misma calidad que la

proposicin universal) recibi el nombre de subalternacin. La proposicin universal es llamada la

subalternante y la particular, subalterna. En la subalternacin, se sostena, la subalternante

implica la subalterna, la implicacin no es vlida de la subalterna a la subalternante.

Termino Sujeto Distribuido

Termino P No Distribuido

A: Todo S es P E: Ningn S es P Termino P Distribuido I: Algn S es P O: Algn S no es P

Termino Sujeto No Distribuido

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Se representaba estos distintos tipos de oposicin mediante un diagrama llamado el Cuatro de

Oposicin, que se reproduce a continuacin:

Contrarias

(Todo S es P) Subalternante

A E (Ningn S es P) Subalternante

subalternacin Contradictorias subalternacin

Subalterna (Algn S es P) I O

Subalterna (Algn S no es P)

Subcontrarias

Se acostumbra distinguir entre inferencia mediata e inmediata. Inferir es extraer una conclusin

de una o ms premisas. Cuando hay ms de una premisa, como en el silogismo (razonamiento

deductivo con dos premisas y una conclusin), se dice que la inferencia es mediata porque se

supone que la conclusin se extrae de la primera premisa por mediacin de la segunda. Cuando

se extrae a partir de una premisa solamente, se dice que la inferencia es inmediata.

Estas inferencias inmediatas basadas en el cuadro de oposicin tradicional pueden clasificarse de

la siguiente forma:

Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa.

Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa, O es verdadera.

Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas.

Si O es verdadera: A es falsa, E y I quedan indeterminadas.

Si A es falsa: O es verdadera, E y I quedan indeterminadas.

Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminadas.

Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera.

Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa, I es verdadera.

Otras inferencias inmediatas

El tipo ms obvio de inferencia inmediata es el que opera un simple intercambio entre los sujetos

y predicado de una proposicin. Recibe el nombre de conversin y es totalmente vlido en el caso

de proposiciones E e I. Se dice que una proposicin categrica de forma tpica es la conversa

de otra cuando se la forma a partir de esta intercambiando simplemente los trminos sujeto y

predicado.

La convexa de una proposicin A no puede deducirse vlidamente de ella. La lgica tradicional,

por supuesto, reconoca este hecho, pero afirmaba que, para las proposiciones A, era vlida una

forma de inferencia muy semejante a la conversin, que recibi el nombre de conversin por

limitacin. Consiste en intercambiar el sujeto y predicado, y cambiar, adems, la cantidad de la

proposicin de universal en particular.

El trmino convertiente se refiere a la premisa de una inferencia inmediata por conversin; a la

conclusin la llamamos la conversa. Se ha sostenido tradicionalmente que la tabla siguiente da

un cuadro completo de las conversiones validas:

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Convertiente Conversin

A: Todo S es P I: Algn S es P. (Por limitacin)

E: Ningn S es P. E: Ningn P es S.

I: Algn S es P. I: Algn P es S.

O: Algn S no es P. No tiene.

El siguiente tipo de inferencia inmediata que analizaremos es el llamado obversin. En la

obversin el termino sujeto no cambia, como tampoco cambia la cantidad de la proposicin que

se obvierte. Al obvertir una proposicin, cambiamos la cualidad de la misma y reemplazamos el

termino predicado por su complemento. La obversin es una inferencia vlida inmediata cuando

se la aplica a cualquier proposicin categrica de forma tpica. En una obversin, la premisa es

llamada la obvertiente y la conclusin la obversa. Toda proposicin categrica de este tipo es

lgicamente equivalente a su observa. Para obtener la observa de una proposicin dejamos

inalterados la cantidad y el sujeto, cambiamos la calidad de la proposicin y reemplazamos el

predicado por su complemento.

La tabla siguiente da un cuadro completo de todas las observaciones validas:

Obvertiente Obversa

A: Todo S es P E: Ningn S es no-P.

E: Ningn S es P. A: Todo S es no-P.

I: Algn S es P. O: Algn S no es no-P

O: Algn S no es P. I: Algn S es no-P.

La tercera variedad de inferencia inmediata es la contraposicin. Para forma la contrapositiva de

una proposicin dada, reemplazamos el sujeto por el complemento predicado y reemplazamos el

predicado por el complemento del sujeto. La contraposicin no introduce nada nuevo, pues

podemos obtener su contrapositiva aplicndole la obversin, luego la conversin y por ultimo

nuevamente la obversin.

Premisa Contrapositiva

A: Todo S es P A: Todo no-P es no-S.

E: Ningn S es P. O: Algn no-P no es no-S. (por limitacin)

I: Algn S es P. No tiene

O: Algn S no es P. O: Algn no-P no es no-S.

Smbolos y diagramas para las proposiciones categricas

Dado que la interpretacin booleana de las proposiciones categricas depende estrechamente de

la nocin de la clase nula. Para afirmar que la clase designada por el termino S no tiene

miembros, escribimos un signo de igualdad entre S y O. As, la ecuacin S=O afirma que no hay

ningn S, o sea que S no tiene miembros.

Afirmar que la clase S tiene miembros equivale a negar que sea vaca. Simbolizamos esta

negacin cruzando con una raya oblicua el signo de igualdad. La desigualdad SO afirma que S

tiene miembros.

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Las proposiciones categricas de forma tpica se refieren a dos clases. Si cada una de las dos

clases tiene ya un smbolo que las designas, la clase de todas las cosas que pertenecen a ambas

puede representarse colocando uno junto al otro los smbolos de las dos clases originales. Se

representa con el smbolo SP a la parte que tiene en comn las dos clases. Dicha parte o

miembros comunes, a las dos clases es llamada el producto o la interseccin de las dos clases.

El producto de dos clases es la clase de todas las cosas que pertenecen a ambas.

La proposicin E Ningn S es P afirma que ningn miembro de la clase S es miembro de la

clase P, esto es, que no hay miembros que pertenezcan a ambas clases. Esto quiere decir que el

producto de las dos clases es vaco; lo cual se simboliza con la ecuacin SP=O.

La proposicin I Algn S es P afirma que al menos un miembro de S es tambin miembro de P.

Esto significa que el producto no es vacio, lo cual se simboliza mediante la desigualdad SPO.

Designaremos la clase como el complemento de la clase S.

La proposicin A Todo S es P afirma que todos los miembros de la clase S son tambin

miembros de la clase P, es decir, que no hay ningn miembro de la clase S que no sea miembro

de P, o (por obversin) que Ningn S es no-P, que se simboliza por igualdad .

La proposicin O Algn S no es P se tiene por obversin la proposicin I lgicamente

equivalente Algn S es no-P, que se simboliza por la desigualdad .

El Cuadro de Oposicin booleano puede representarse as

Contradictorias

Podemos representar diagramticamente las proposiciones mediante los diagramas de las clases

a las cuales se refieren. Representamos una clase por un crculo rotulado con el trmino que

designa a esa clase. As, la clase S es representada mediante un diagrama como el siguiente:

ste es el diagrama de una clase, no de una proposicin.

Para diagramar la proposicin que afirme la ausencia de miembros en S,

o sea que no hay ningn S, sombreamos todo el interior del circulo que

representa a S, indicando de esta manera que no contiene nada, que est

vaco.

S

S

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Para diagramar la proposicin que afirma la existencia de S, a la

interpretamos como afirmando que hay al menos un miembro de S,

colocamos una x en el interior del circulo que representa a S, indicando

de esta manera que hay algo en su interior, que no est vaco.

Para diagramar una proposicin categrica de forma tpica se requieren dos crculos en vez de

uno. El esqueleto o el armazn para diagramar cualquier proposicin categrica de forma tpica

cuyos trminos sujeto S y predicado P, se construye trazando dos crculos que se intersectan.

Este es el diagrama de las dos clases S y P, pero no es el diagrama de ninguna proposicin

relativa a ellas.

La parte del circulo rotulado S que no se superpone con el circulo rotulo P es el diagrama de

todos los S que no son P y puede considerarse que representa el producto de las clases S y no-P

( ; y podemos roturarlo . Las partes de ambos crculos que se superponen representan el

producto de las clases S y P; es el diagrama de todas las cosas que pertenece a ambas y lo

rotulamos SP. La parte el crculo rotulo P que no se superpone con el circulo rotulado S, es el

diagrama de todas las P que no son S y representa el producto de las clases y ; y lo rotulamos

. Finalmente, la parte del diagrama exterior a ambos crculos representa a todas las cosas que

no estn en S ni en P y es de la cuarta clase, rotulada .

Si sombreamos diversas partes de este cuadro o si insertamos x en ellas, podemos representar

cualquiera de las cuatro proposiciones categricas de forma tpica.

S

X

P

S

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Un diagrama de Venn solo puede expresar una proposicin si tiene una parte sombreada o en la

cual se ha insertado una x.

Silogismos categricos de forma tpica

Un silogismo es un razonamiento deductivo en el que se infiere una conclusin de dos premisas.

Un silogismo categrico es un razonamiento deductivo consistente en tres proposiciones

categricas que contienen exactamente tres trminos, cada uno de los cuales aparece

exactamente en dos de las proposiciones constituyentes. Se dice que est en forma tpica cuando

sus premisas y su conclusin son todas proposiciones categricas de forma tpica y estn

dispuestas en un orden especfico.

La conclusin de un silogismo de forma tpica es una proposicin categrica de forma tpica es

una proposicin categrica de forma tpica que contiene dos de los tres trminos del silogismo. El

trmino predicado de la conclusin es llamado el trmino mayor y el trmino sujeto de la

conclusin es llamado el trmino menor. El otro trmino del silogismo que no parece en la

conclusin, pero si aparece en las dos premisas, es el llamado trmino medio.

Para la proposicin A Todo S es P

simbolizada por , simplemente sombreamos la parte del diagrama que

representa a la clase , para indicar de este modo que no tiene miembros, que es nula.

Para representar la proposicin E Ningn S es P simbolizada por , sombreamos la parte del diagrama que corresponde a la clase

, indicando as que est vaca.

Para representar la proposicin I Algn S es P simbolizada por , insertamos una x en la parte del diagrama que representa a la clase

. Esta insercin indica que la clase producto no es vaca, sino que tiene al menos un miembro

Para representar la proposicin O Algn S no

es P simbolizada por , insertamos una x en la parte del diagrama que representa a la clase a fin de indicar que no es nula, sino que tiene al menos un miembro.

X

S

X

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La premisa mayor es aquella que contiene el trmino mayor y la premisa menor es la que

contiene el trmino menor.

En un silogismo primero se formula la premisa mayor, luego la menor y, por ltimo, la conclusin.

Las premisas mayor y menor no se definen por su posicin, sino porque contiene el termino

mayor y menor, respectivamente.

Se determina el modo de un silogismo categrico de forma tpica por las formas y el orden de las

proposiciones categricas que contiene. Se representa cada modo por tres letras, la primera la

premisa mayor, la segunda la menor y la tercera la conclusin.

La forma de un silogismo categrico puede describirse de manera completa indicando su modo y

su figura, donde la figura designa la posicin del trmino medio en las premisas. Presentamos a

continuacin un esquema de ellas, en el cual solo aparecen las posiciones relativas de los

trminos y se ha suprimido toda referencia del modo, al no representar cuantificadores ni copula.

Primera Figura Segunda Figura Tercera Figura Cuarta Figura

M-P S-M

S-P

P-M S-M

S-P

M-P M-S

S-P

P-M

M-S

S-P

Hay 64 modos posibles, puesto que cada modo puede aparecer en cada una de las cuatro figuras

diferentes, entonces habr 256 formas distintas que pueden aptar los silogismos categricos.

La naturaleza formal del razonamiento silogstico.

La validez o invalidez de un silogismo depende exclusivamente de su forma lgica y es

completamente independiente de su contenido especfico o del tema al que se refiere. Asi,

cualquier silogismo de la forma AAA-1:

Todo M es P. Todo S es M.

Todo S es P.

Es un razonamiento vlido, sea cual fue aquello de lo que trata. Es decir, sean cuales fueren los

trminos S, P y M, el razonamiento resultante ser vlido.

Un silogismo vlido es un razonamiento formalmente vlido, o sea vlido en virtud de su forma

exclusivamente. Esto implica que si un silogismo es vlido, cualquier silogismo de la misma forma

tambin es vlido. Y si en caso contrario es invalido o carece de validez, todo silogismo de esa

forma tambin carece de validez.

Puede demostrarse la incorreccin de cualquier razonamiento mentiroso o dudoso mediante un

segundo razonamiento que tenga exactamente la misma forma que el primero y del que sepamos

que no es vlido porque conocemos la verdad de sus premisas y la falsedad de su conclusin.

Hay que tener en cuenta que un razonamiento invalido puede tener conclusin verdadera, la

invalidez en un razonamiento significa que sus premisas no implican lgicamente conclusin.

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La tcnica de los diagramas de Venn aplicada a la determinacin de la validez o

invalidez de los silogismos

Para determinar si un silogismo es o no vlido mediante el mtodo de los diagramas de Venn, es

necesario representar ambas premisas en un diagrama. En este caso necesitamos de tres

crculos que se intersecten, pues las dos premisas de un silogismo contiene tres trminos

diferentes: el termino menor S, el termino mayor P y el trmino medio M. En dicho diagrama van a

quedan diagramadas 8 clases: .

En los dos crculos rotulados P y M podemos representar cualquier proposicin categorica cuyos

trminos sean P y M, simplemente sombreamos o insertamos una x en los lugares adecuados,

sin tener en cuenta cual sea el sujeto o el predicado. As, para diagramar la proposicin Todo M

es P ( ) sombreamos toda la parte de M que no est contenida en P. Se ve en el siguiente

diagrama que esta rea incluye tanto la parte como la parte

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La ventaja de usar tres crculos que se cortan consiste en que esto nos permite diagramar

conjuntamente dos proposiciones. Asi, el diagrama conjunto de Todo M es P y Todo S es M es:

Este es el diagrama de las dos premisas del silogismo AAA-1:

Todo M es P. Todo S es M.

Todo S es P.

Ahora el silogismo es vlido si y solamente si las dos premisas implican la conclusin, o sea si

afirman conjuntamente lo que afirma la conclusin. Entonces, basta diagramar las premisas de un

razonamiento vlido para que quede diagramada tambin su conclusin, sin necesidad de hacer

nuevas marcas en los crculos.

Apliquemos ahora el diagrama de Venn al siguiente silogismo:

Todo P es M. Todo S es M.

Todo S es P.

Vemos que la conclusin no queda diagramada ya que la clase no esta sombreada y para

diagramar la conclusin debe sombrearse . De este modo, vemos que no basta

diagramar las premisas de un silogismo de la forma AAA-2 para diagramar su conclusin, lo que

prueba que la conclusin afirma ms de lo que afirman las premisas, lo que prueba que no la

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implican. Un razonamiento cuyas premisas no implican su conclusin no es vlido y, por lo tanto,

nuestro diagrama demuestra que todo silogismo de la forma AAA-2 no es vlido.

Cuando se usa el diagrama de Venn para representar un silogismo con una premisa universal y

una particular, se debe diagramar primero la universal y luego la particular.

Para la prueba del silogismo AII-3:

Todo M es P. Algn M es S

Algn S es P. Nos queda el siguiente diagrama:

Si hubiramos representado primero la premisa particular, antes de la universal, no habramos

sabido si insertar la x en o , o si en ambas. Como x est en la clase , esto quiere

decir que existe al menos un miembro que esta en las tres clases: S, P y M. Y por consiguiente x

esta en las clases S y P, esto quiere decir que la conclusin del silogismo ha quedado

diagramada al diagramar sus premisas; por lo tanto, el silogismo es vlido.

Consideremos otro silogismo como el siguiente:

Todo P es M. Algn S es M.

Algn S es P.

Despus de diagramar la premisa universal sombreando las regiones . Luego

diagramo la particular Algn S es M de modo que debe insertarse una x en la parte de las dos

clases S y M. Pero esta superpuesta tiene dos regiones: . En cul de ellas colocar la

x? Las premisas no nos lo dicen, y si tomamos la decisin arbitraria de colocarla en uno o en

otro, insertaramos en el diagrama mas informacin de la que garantizan las premisas, con lo el

diagrama ya no nos servira para saber si el razonamiento es o no vlido. Colocar una x en cada

uno de ellos tambin sera ir mas all de lo que afirman las premisas. En cambio, si colocamos la

x sobre la lnea que divide a la regin superpuesta , en las dos partes , podemos

diagramar exactamente lo que la segunda premisa afirma, sin agregar nada. Colocar una x

sobre la lnea que separa dos regiones indica que hay algo que pertenece a una de ellas, pero no

indica a cual.

X

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Al inspeccionar el diagrama para ver si la conclusin del silogismo aparece en l, hallamos que no

est, ya que para que hubiera quedado diagramada la conclusin Algn S es P tendra que

aparecer una cruz en la parte superpuesta de las dos clases S y P, ya sea en . La

clase esta sombreada y la clase no hay ninguna x asegurada, ya que el diagrama no

me dice si el miembro pertenece a esa clase o a . As, que la conclusin puede ser falsa en lo

que respecta a la informacin de las premisas. Tampoco tenemos la certeza de que la conclusin

sea falsa, sino solamente de que no est afirmada o implicada por sus premisas. El diagrama

demuestra que todos los silogismo de la forma AII-2.

Conectivas veritativo-funcionales

Las constantes lgicas son las conectivas y la negacin; las primeras vinculan dos oraciones para

formar una oracin compuesta, y la otra opera una sola oracin. Las oraciones tienen un valor de

verdad, que pueden ser verdaderas o falsas. Decimos que el valor de verdad de una oracin es 1

si es verdadera y 0 si es falsa. El principio de composicionalidad requiere que el significado de

una oracin compuesta dependa solo del significado (valores de verdad) de las oraciones de la

componen.

De las conectivas que dan lugar a oraciones cuyo valor de verdad depende solo del valor de

verdad de las oraciones conectadas se dice que son conectivas veritativo-funcionales. De esta

manera que la conectiva es una conectiva-funcional ya que:

Esto quiere decir que el valor de verdad de una oracin con depende solo del valor de verdad

de las dos partes que la componen.

Y mientras que no lo es, ya que:

Esto quiere decir que el valor de verdad de una oracin con no depende solamente de la

verdad de las oraciones y , que la componen.

La composicionalidad requiere que consideremos solo conectivas veritativo-funcionales y las

correspondientes conjunciones del lenguaje natural.

X

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Conectivas y tablas de verdad

Cada sistema lgico caracteriza su propia clase de esquemas de argumentos validos: su validez

se basa en el significado de ciertas expresiones que emplea el sistema. Las expresiones que

desempean este papel en un sistema lgico se las denominan sus constantes lgicas, dado que

dentro de un sistema su significado es fijo.

El vocabulario de un lenguaje para la lgica proposicional incluye conectivas como sus constantes

lgicas. Y, como variables lgicas, hay smbolos para representar afirmaciones (proposiciones).

Estos smbolos se denominan letras o variables proposicionales. En general las designaremos

mediante las letras p, q y r. Las letras proposicionales y las expresiones compuestas formadas a

partir de las mismas por medio de las conectivas se clasifican conjuntamente como oraciones o

formulas.

Smbolo Oracin compuesta Significado

La primera conectiva es unaria y las dems son binarios.

Decimos que p es el primer miembro de conjuncin y q es el segundo.