Lógica difusa

SISTEMAS DIFUSOSBasados en lgica borrosaEscuela Politcnica Del Ejrcito

Antecedentes:Redes neuronales: emulan la estructura del cerebro. Sistemas Basados en Lgica Borrosa: emulan la manera en que el cerebro piensa o razona. Permite tratar informacin imprecisa. (estatura media, temperatura baja o mucha fuerza), en trminos de conjuntos borrosos (imprecisos). Estos conjuntos borrosos se combinan en reglas para definir acciones. Si la temperatura es alta enfrar mucho. Que sucede con un sistema de control basado en esta lgica?.

Antecedentes:La lgica difusa es una extensin de la lgica tradicional (Booleana) que utiliza conceptos de pertenencia de conjuntos mas parecidos a la manera de pensar humana. Subconjunto Difuso: se considera como una generalizacin de un subconjunto exacto (crisp subset) tradicional. Los subconjuntos exactos usan lgica Booleana con valores exactos como por ejemplo la lgica binaria que usa valores de 1 o 0 para sus operaciones.

Antecedentes:La lgica difusa no usa valores exactos como 1 o 0 pero usa valores entre [1 y 0] (inclusive) que pueden indicar valores intermedios (Ej. 0, 0.1, 0.2, ,0.9,1.0) La lgica difusa tambin incluye los valores 0 y 1, entonces se puede considerar como un subconjunto o extensin de la lgica exacta.

Antecedentes:Por ejemplo se considera a una persona como alta si mide mas de 1.80mts, pero de igual forma se considera a una persona como alta si mide 1.7999mts. Esta consideracin no existe en la lgica tradicional que utiliza demarcaciones estrictas para determinar pertenencia en conjuntos: Ejemplo: A es el conjunto clsico de personas altas A = { x | x > 1.8} Que sucede con una persona que mide 1.799999mts.

Aplicaciones: Las bases tericas se enuncian en 1965 (Zadeh). Aplicacin de lgica borrosa a sistemas de control de vapor (Mamdani , 1974-1983). Aplicacin en control de hornos de cementeras Garca Cerezo, 1991). Aplicacin del control borroso al sistema de purificacin de agua (Japn). Aplicacin del control borroso al sistema de control del tren metropolitano (Japn). Aplicacin del control borroso al sistema de control del provisin de agua caliente en varias ciudades del Japn.

Caractersticas de los Sistemas Difusos Pueden ser aplicados en los mismos problemas en los que son empleadas las Redes Neuronales. Permiten modelar cualquier proceso no lineal. Permiten utilizar el conocimiento del experto humano en un tema. Debido a la simplicidad de los clculos son sistemas baratos y rpidos.

Que es un Sistema Difuso?

Que es un Sistema Difuso?

TerminologaFuzzyDifuso o Borroso: El uso de estos vocablos tiene su origen en la acepcin fotogrfica del trmino fuzzy, que designa una imagen poco definida o desenfocada. CrispNtido: En la literatura sobre conjuntos difusos se usa el trmino crisp como antnimo de fuzzy. En ocasiones se usa tambin la palabra clsico.

TerminologaDefuzzification-Desborrosificacin: Con frecuencia tambin se utiliza el anglicismo "desfuzzificacin", y es el proceso de determinar los valores reales a partir de los valores de pertenencia. t-norma y t-conorma: designan cualquier operacin vlida de interseccin o unin, respectivamente. Universo del discurso: sirve para designar una coleccin cualquiera de elementos, con los que se trabaja en un contexto dado, en el que estos elementos poseen las mismas caractersticas. Se denota generalmente al universo con la letra X, y a sus elementos individuales como x.

ConjuntosConjunto.- El agrupamiento en un todo de objetos bien definidos y distintos de nuestra percepcin o de nuestro pensamiento, los cuales se denominan elementos del conjunto. Conjunto ntido. Siguiendo esta definicin, llamaremos conjunto clsico o ntido a una coleccin cualquiera de elementos de un universo dado. Los conjuntos as definidos dicotomizan los elementos del universo en dos categoras: miembros (aquellos que pertenecen al conjunto) y no miembros.

ConjuntosSe utiliza el smbolo "" para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto, de forma que la expresin x A indica que el elemento x pertenece al conjunto A. El universo del discurso es a su vez un conjunto ntido, denominado conjunto universal, que agrupa a todos los elementos concernientes a una aplicacin o contexto dado. Por el contrario, el conjunto que no contiene elementos se designa como conjunto vaco, denotado por 0.

ConjuntosDado un cierto universo X, existen bsicamente tres mtodos para definir conjuntos en l: 1. Mediante la enumeracin de todos los miembros del conjunto, encerrados entre llaves (mtodo de la lista). Por razones obvias, este mtodo slo puede usarse para conjuntos finitos. As el conjunto A, cuyos miembros son a1, a2, ..., an, se escribe como: A= {a1, a2, ..., an}

Conjuntos2. El segundo mtodo consiste en definir un conjunto A mediante una propiedad que deben satisfacer todos sus miembros. Se trata del denominado mtodo de la regla, para el que se utiliza usualmente la notacin: A={x|P(x)}. 3. Se define un conjunto A mediante una funcin, llamada funcin caracterstica, XA(x), que establece qu elementos de X son miembros de A y cules no. Dicha funcin es una aplicacin de X al conjunto (0,1 }. Devuelve el valor 1 si el elemento x pertenece a A, y 0 si no pertenece.

ConjuntosCardinalidad.- dado un conjunto finito A, la cardinalidad se determina como el nmero de elementos que contiene. Subconjunto.- para dos conjuntos cualesquiera A y B definidos sobre un mismo universo X, si cada miembro del conjunto B lo es tambin del conjunto A decimos que B es subconjunto de A o, alternativamente, que B est contenido en A. Todo conjunto es subconjunto de s mismo y a su vez subconjunto del universo X.

ConjuntosConjunto Potencia.- Un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos suele denominarse familia de conjuntos. La familia de todos los posibles subconjuntos de un conjunto A recibe el nombre de conjunto potencia de A, y se denota usualmente por p(A). La familia de todos los subconjuntos de p(A) se llama conjunto potencia de segundo orden de A, p(p(A)) = p2(A). De forma similar pueden definirse conjuntos potencia de orden superior.

ConjuntosConjunto Difuso.- Al igual que para los conjuntos ntidos, un conjunto difuso se define como una coleccin de elementos escogidos entre los de un cierto universo X. La diferencia fundamental con los conjuntos ntidos es que en los difusos los distintos elementos de X pueden pertenecer parcialmente al conjunto. Por convenio, el concepto de pertenencia parcial se expresa mediante un nmero real del intervalo [0,1], al que se denomina grado de pertenencia y que est asociado indisolublemente a cada elemento del conjunto difuso.

ConjuntosAl igual que suceda en los conjuntos ntidos, a los difusos se les asigna un nombre con la letra inicial en maysculas, y a los elementos un nombre en minsculas escrita en cursiva.

Definicin de Conjuntos Difusos1.- Se define el conjunto A mediante una funcin, llamada funcin de pertenencia, uA(x), que devuelve el grado de pertenencia del elemento x e X al conjunto A. La funcin uA(x) es una aplicacin de X en el intervalo [0, 1]. uA(x): X[0,1]

Definicin de Conjuntos Difusos2. A travs de una representacin grfica: (discretos, contnuos).

A

Definicin de Conjuntos Difusos3. Otra forma de definir conjuntos difusos se basa en la enumeracin de todos sus miembros junto con sus grados de pertenencia obtenidos a partir de la funcin de pertenencia (mtodo de la lista).

Definicin de Conjuntos DifusosSubconjunto difuso.- Sean dos conjuntos difusos A y B, definidos sobre el mismo universo X. Diremos que B es subconjunto de A o, alternativamente, que B est contenido en A (escrito B < A) si todos los elementos de B pertenecen tambin a A con un grado igual o superior, es decir

Definicin de Conjuntos DifusosSubconjunto difuso.- Sean dos conjuntos difusos A y B, definidos sobre el mismo universo X. Diremos que B es subconjunto de A o, alternativamente, que B est contenido en A (escrito B < A) si todos los elementos de B pertenecen tambin a A con un grado igual o superior, es decir:

Conjunto Potencia Difuso.- dado el universo X; se define el conjunto potencia de X, como la familia de todos los posibles subconjuntos difusos de X.

Definicin de Conjuntos Difusos-cortes. Normalidad.-

Definicin de Conjuntos DifusosSoporte, ncleo y altura h(A).ncle o

Soporte

Definicin de Conjuntos DifusosSingletn.

Lgica difusa:Asumiendo que X es un conjunto universo, un conjunto difuso A en X es asociado con una funcin caracterstica: A(x)

A(x): X -> [0, 1] La funcin caracterstica es tpicamente denominada funcin de pertenencia (membership function). Si X es una coleccin de objetos en el cual x X, un conjunto difuso es un mapa A(x) : X -> [0,1], en el cual a cada valor x la funcin A(x) le asigna un nmero entre los valores 0 a 1. El conjunto difuso es el conjunto de pares ordenados: A = {(x, A(x)) | x X}

Lgica difusa:Ejemplos: A = {(0, 0.1), (1, 0.5), (2, 1), (3, 0.1), (4,0.8)} B = {0.1/0, 0.5/1, 1/2, 0.1/3, 0.8/4} X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} es el conjunto de hijos que puede tener una familia, entonces el conjunto difuso D es el nmero razonable de hijos que puede tener una familia D = { (0, 0.1), (1, 0.3), (2, 0.7), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.3), (6, 0.2), (7, 0.1) }

Lgica difusaDatos impreciso s Decisin SISTEMA DE LGICA DIFUSA

Declaracion es vagas Sistema de Lgica Difusa

A(x) =

{

1 , x A 0 , x n A

Lgica difusaX-Universo de discursoA b a

c Regin lmite de un conjunto difuso

Funcin depertenenciaPertenenciabajo alto

Conjuntos difusos alto y bajo

Altura

Configuracin de un sistema difusoBase de reglas Difusas

Conjuntos difusos en X

Conjuntos difusos en Y

Mquina de Inferencia DifusaConfiguracin de un Sistema Difuso Puro

Conjuntos difusos:Funcin de pertenencia: El valor asignado por A(x) corresponde al grado en el cual el valor x tiene el atributo A. Visto de otra manera la funcin A(x) nos indica cual es el grado de pertenencia de x al atributo A. La funcin A(x) se llama la funcin de pertenencia del atributo A. La funcin tiene que ver con un grado de ambigedad sobre la caracterstica de la variable que se esta midiendo pero no es una probabilidad.

Conjuntos difusos:Conjunto : es el agrupamiento en un todo de objetos bien definidos, los cuales se denominan elementos del conjunto". Conjunto clsico o ntido (crisp): es una coleccin cualquiera de elementos de un universo dado. Los conjuntos as definidos dicotomizan los elementos del universo en dos categoras: miembros (aquellos que pertenecen al conjunto) y no miembros.

Ejemplos:u1 uA(x) {A X: A 0 and x X}

Definiciones:Definicin: La medula (o core) de un conjunto A son todos los elementos con valor de pertenencia = 1. Mdula(A) = {x | A(x) = 1 and x X} Definicin: Si A y B son dos conjuntos difusos en X. A es un subconjunto de B si uB(x) >= uA(x) para todos los valores x X. Definicin: Si A y B son dos conjuntos difusos de X. A = B si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de A.

Conjuntos claros:Cardinalidad. Conjunto potencia. Unin. Interseccin. Complemento. Diferencia. Propiedades: Conmutativa. Idempotencia. Asociativa. Distributiva. Identidad. Transitividad. Ley de contradiccin.

Ley del medio excluyente.

Conjuntos difusos:Cardinalidad. Unin. Interseccin. Complemento. Diferencia. Propiedades: Conmutativa. Idempotencia. Asociativa. Distributiva. Identidad. Transitividad. Ley de contradiccin. Suma ponderada: Core (mdula): Subconjunto:

Ley del medio excluyente.

Conjuntos difusos:

Conjuntos difusos:u uA B 1

1

A

B

0 X Unin de conjuntos difusos

0 X Interseccin de conjuntos difusos

Conjuntos difusos:

A

Conjuntos difusos:u 1 A A 1 u A A

0 X

0 X A difuso A de un conjunto

U

Complemento de un conjunto difuso

Ejercicios:Se desea comparar dos sensores en base a sus niveles de deteccin y ajuste de ganancia. La siguiente tabla de ajuste de ganancia y niveles de deteccin del sensor, que est siendo monitoreado con un elemento estndar, proporciona valores tpicos de pertenencia para representar los niveles de deteccin de cada sensor. Encuentre la funcin de pertenencia.

Ajuste de ganancia 0 20 40 60 80 100

Nivel de deteccin S1 0 0.5 0.65 0.85 1 1

Nivel de deteccin S2 0 0.35 0.5 0.75 0.9 1

Determinar los valores de pertenencia de: Unin, Interseccin, Complemento, Unin negada Interseccin negada, Unin de S1 y S1 compl. Interse de S1 y S1 compl.

Ejercicios:Dados los conjuntos difusos A y B, encontrar los valores de pertenencia para: unin, interseccin y complemento.

X ={ a10, b52, b117, C5, C130, f4, f14, f15, f16, f111, kc130 } A={0.3/f16 + b52} 0.5/f14 +0.4/a10 + 0.6/f14 + 0.7/f111 + 1/b117 + 1/

B= {0.4/b117 + 0.4/f111 + 0.6/f4 + 0.8/f15 + 1/f16}

Ejercicios:Dados los siguientes conjuntos difusos, verificar las propiedades: asociativa y distributiva. A={ 1/1 + 0.65/1.5 + 0.4/2 + 0.35/2.5 + 0/3} B={ 0/1 + 0.25/1.5 + 0.6/2 + 0.25/2.5 + 1/3}

C={ 0.5/1 + 0.25/1.5 + 0/2 + 0.25/2.5 + 0.5/3}

A = {0.1/2 +0.6/3+0.4/4+0.3/5+0.8/6}B={ 0.5/2+0.8/3+0.4/4+0.6/5+0.4/6}

U

Para los conjuntos dados A y B, encuentre A A.U

B; B

Ejercicios:Dados los siguientes conjuntos difusos, verificar las propiedades: asociativa y distributiva. A={ 1/1 + 0.65/1.5 + 0.4/2 + 0.35/2.5 + 0/3} B={ 0/1 + 0.25/1.5 + 0.6/2 + 0.25/2.5 + 1/3}

C={ 0.5/1 + 0.25/1.5 + 0/2 + 0.25/2.5 + 0.5/3}

A = {0.1/2 +0.6/3+0.4/4+0.3/5+0.8/6}B={ 0.5/2+0.8/3+0.4/4+0.6/5+0.4/6}

U

Para los conjuntos dados A y B, encuentre A A.U

B; B

Sistema de control difuso:

Controlado r

SActuador Proceso

R+

-

Accin de control

Medicin

Sistemas BorrrososR Pr ep ro ce so Controlador

xFLC

y

S

Po st pr oc es o

A

Control de un proceso o sistema

Sistema difuso:Base de reglas Entrada s Mquina de inferencia Fusificador Defusificador Salid as

Ejemplo:Controladore R L T

v1 v2 v3

retorn o

Proceso Sistema de control manual para un intercambiador de calor

Ejemplo:ControladorAccin de control

R+

-

Actuadorv1 v2

Medicin

v3

retorn o

Proceso Sistema de control automtico para un intercambiador de calor

Defusificacin:Valores difusos Valores claros Procesos futuros

x

Principio de mximo valor de pertenencia. Mtodo del valor promedio ponderado. Mtodo de la Centroide. Centro del rea mas grande.

Defusificacin:

1 0 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 6 0 . 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 0

1

2

3

4

5

6

Principio del mximo valor de pertenencia :1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3

4

5

6

Mtodo del valor promedio ponderado :

x

Mtodo de la Centroide :1 0 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 6 0 . 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 0

1

2

3

4

5

6

Mtodo de centro del rea mas grande:

Ejercicio:A y B, determine el valor de salida defusificada

ciones de pertenencia

Ejercicio:Mantener equilibrada la barra situada sobre una plataforma mvil que puede desplazarse a la izquierda o derechaEntradas: ngulo Velocidad angular Salida: Velocidad de la plataforma d/dtVelocidad de plataforma

Pndulo invertido

Controlador difuso

Medicin

Ejemplo: pndulo invertidoEquilibrar una prtiga sobre una plataforma mvil que puede moverse en dos nicas direcciones, a la izquierda o a la derecha. Deseamos controlar la posicin mediante un sistema de control difuso, para lo cual debemos especificar la velocidad que se debe imprimir al andn que sostiene la prtiga.

v

d/d t

w LFC

Ejemplo: pndulo invertidoProceso de inferencia: 1.Definir (subjetivamente) cual es la velocidad del andn.Negativo grande (NG). Negativo pequeo (NP). Cero (Z). Positivo pequeo (PP). Positivo grande (PG).Negativo grande positivo grande negativo pequeo cero positivo pequeo

-

Velocidad (100)

max. Velocidad (100)

-

50

0

50

max.

Ejemplo: pndulo invertido2. W. Definir (subjetivamente) los conjuntos difusos para yNegativo grande positivo grande negativo pequeo cero positivo pequeo

- 45Negativo grande positivo grande negativo pequeo cero

0

+45positivo pequeo

w100 0 +100

Sistemas difusos3.Seleccionar el tipo de reglas a utilizar en el controlador: Reglas de tipo Mamdani. 4.Definir la base de reglas: If< > then < >. Ejemplo: Si la prtiga est en el conjunto difuso Z y no se mueve:Si es cero y w es cero entonces v es cero. Si es cero y w es PP entonces v PP.

NG NP C PP PG NG NG NP NP C PP NP NP Z PP PP PP C NP NP C PP PP PP NP C PP Z PP PG NP C PP PP PG

w

Sistemas difusosDesarrollo: si tomamos solamente las dos reglas y realizamos los clculos para las entradas dadas x=(, w)=(10,-5).Negativo grande positivo grande0,63

negativo pequeo

cero

positivo pequeo

10

0,8

-5

w

uAB (x)=0,63

regla 1

Sistemas difusosProceso de desfusificacin de la regla 1

Negativo grande positivo grande

negativo pequeo

cero

positivo pequeo

0,63

Sistemas difusosDesarrollo: si tomamos solamente las dos reglas y realizamos los clculos para las entradas dadas x=(, w)=(10,-5).Negativo grande positivo grande negativo pequeo cero positivo pequeo

0,3

10

0,8

0,1

-5

w

uAB (x)=0,1

regla 2

Sistemas difusosDesarrollo: si tomamos solamente las dos reglas y realizamos los clculos para las entradas dadas x=(, w)=(10,-5).Negativo grande positivo grande0,63 0,3

negativo pequeo

cero

positivo pequeo

10

0,8

0,1

-5

Sistemas difusosProceso de desfusificacin de la regla 2


negativo pequeo

cero

positivo pequeo

0,1

Sistemas difusosNegativo grande positivo grande negativo pequeo cero positivo pequeo

-

100negativo pequeo cero

0

100positivo pequeo


-

100 100

-50

0

50

Sistemas difusosNegativo grande positivo grande negativo pequeo cero positivo pequeo

0,63

0,1

-

100 100

-50

0

50

Encontrar el valor real: ui.ui v= -------------= V=-0,6 (0,63*0+0,1*(-50))/(0,73)

ui

Debertemperatura Frio Fresco Nominal Tibio Caliente Si T es fresca Y P es dbil Entonces es P3 .. .. .. . De fu si fi ca do r acelard or

presin

Nula Baja Ok Fuerte alta

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