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Logica, discorso e conoscenza
Primo modulo:
Logica e verita (matematica)ovvero Logica, deduzione, verita
Lezioni 1, 2 e 3
Simone Martini
Dipartimento di Scienze dell’InformazioneAlma mater studiorum – Universita di Bologna
Collegio Superiore
Ottobre–novembre, 2006
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Outline
1 Prima lezione: la logica dall’informale al formale
Pillole di storia (e problemi) della logica
2 Seconda lezione: il linguaggio formale
Formalizzazione di semplici proprieta aritmetiche
3 Terza lezione: verita e validita
Formule vere dovunque e vere in classi di modelli
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Cos’e la logica?
Ars directiva ipsius actus rationis, per quam scilicet homo in ipso
actu rationis ordinate et faciliter et sine errore procedat.[Tommaso d’Aquino, An. posteriora, I, 1]
La parte della filosofia che studia quali sono le leggi del pensare,
che assicurano ad esso validita conoscitiva.
Si chiama logica formale lo studio in abstracto dei procedimenti
seguiti dal pensiero nella formazione dei concetti, dei giudizi, dei
ragionamenti, indipendentemente dai contenuti cui esso si puo
volta a volta applicare.[Lamanna-Adorno, Diz. di termini �loso�ci, 1971]
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Cos’e la logica?
Riflessione razionale sulle strutture (soprattutto formali) delragionamento
I Fascinazione per la ragioneI Consapevolezza di ragionamenti fallaciI Circoscrivere il corretto (e.g., la Scolastica)I Circoscrivere il dicibile (e.g., Wittgenstein)
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Cos’e la logica matematica?
Un settore della matematica che usa tecniche matematiche
per indagare il ragionamento (matematico)
In particolare i concetti diI DimostrazioneI ConsistenzaI TeoriaI Verita
all’interno della conoscenza matematica.
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Aristotele e la scolastica
Enunciazione vs Argomentazione
(proposizione vs dimostrazione, inferenza)
Proposizione:
Discorso completo che esprime un oggetto complesso sul
quale puo essere portato un giudizio (“vero” o “falso”)
I Affermative universali (A): Ogni uomo e mortaleI Affermative particolari (I): Qualche uomo e filosofoI Negative universali (E): Nessun uomo e un angeloI Negative particolari (O): Qualche chiaccherone non e noiosoI (Singolari: Socrate e un uomo, caso particolare di A)
e delle loro relazioni reciproche (conversione)
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Analizziamo una proposizione
Nessun intento filologico relativo alla logica aristotelica!
In particolare: non conosce la quantificazione individuale
concetti singolari (termini: Socrate) che designano individui
concetti universali (variabili quantificate universalmente: ogni
uomo)
concetti particolare (variabili quantificate esistenzialmente:
qualche uomo)
giudizio affermativo o negativo (tutti gli uomini, nessun uomo)
predicati: e un angelo
una proposizione (semplice) risulta dalla predicazione relativa
a (su un) un concetto: ogni uomo e mortale
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Inferenza: il sillogismo
Un sillogismo (di prima figura, “in BArbArA”):I Ogni uomo e mortaleI Ogni neonato e un uomoI dunque: Ogni neonato e mortale
La struttura generale della prima figura:
Premessa maggiore: (M,T )
Premessa minore : (t,M)
Conclusione (dunque:) (t,T )
Variando la disposizione di T , t,M nelle premesse si
ottengono le quattro figure
Per ogni figura, si ottengono i diversi modi, a seconda se le
premesse siano di tipo A, E, I, O
Non tutti i modi sono legittimi, quanto alla validita
dell’inferenza10 / 70
Il sillogismo, 2
Un sillogismo (di seconda figura, “in BArOccO”):I Ogni uomo stolto e noiosoI Qualche chiaccherone non e noiosoI dunque: Qualche chiaccherone non e stolto
La struttura generale della seconda figura:
Premessa maggiore: (T ,M)
Premessa minore : (t,M)
Conclusione (dunque:) (t,T )
Un “sillogismo” scorretto (di prima figura, EAA)I Alcuni uomini sono santiI I criminali sono uominiI dunque: I criminali sono santi
(In prima figura) sit minor affirmans, nec maior particularis
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Una prima morale(dal punto di vista moderno)
Sillogismo valido (corretto):I costruito in uno dei 19 modi legittimi (delle quattro figure)
Sillogismo vero:I sillogismo valido nel quale entrambe le premesse sono vereI impone la verita della conclusione
La correttezza dipende dalla struttura formale del sillogismo
La verita della conclusione e ipotetica: subordinata alla verita
delle premesse (e alla correttezza del sillogismo)
Semantica a varı livelliI Termini =⇒ individuiI Proposizioni =⇒ valori di veritaI Sillogismi =⇒ relazioni ipotetiche tra valori di verita
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Esercizio
La terza figura: (M,T ), (M, t) dunque (t,T ).
Un sillogismo di terza figura in Darapti:I Un centauro e un uomo-cavalloI Un centauro e un essere immaginarioI Dunque, qualche essere immaginario e un uomo-cavallo
Si tratta di un sillogismo legittimo per la scolastica
Si trovi una sua applicazione fallace
Da cosa dipende la fallacia?
(Per chi conosce un po’ di simbologia formale)
Si formalizzi Darapti e si discuta la sua correttezza nel
contesto logico-formale
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I paradossi
Abbiamo sognato [il mondo] resistente, misterioso, visibile, ubiquonello spazio e fermo nel tempo; ma abbiamo ammesso nella suaarchitettura tenui ed eterni interstizi di assurdita, per sapere che efinto. [J. L. Borges, La perpetua corsa di Achille e la tartaruga]
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Il mentitore
Cretenses semper mendaces.[Ad Titum 1, 12]
Epimenide di Creta: “[Tutti] i Cretesi sono bugiardi”
E un paradosso?
Basta che esista un cretese che dice la verita e la frase e falsa.
Eubulide di Mileto: “Io sto mentendo in questo momento”
La chiave: autoriferimento
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Leibniz e la characteristica universalis
Id (. . . ) efficiendum est, ut omnis paralogismus nihil aliud sit
quam error calculi (. . . ). Quo facto, quando orientur controversiae,
non magis disputatione opus erit inter duos philosophos, quam
inter duos computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere
sedereque ad abacos, et sibi mutuo (. . . ) dicere: calculemus![t. VII, 200]
1 Linguaggio formale: Descrizione esatta ed univoca dei concetti
2 Inferenza combinatoria, puramente sintattica (da computistae)3 Proprieta fondamentali:
I Correttezza: non sono possibili paralogismi, da prop vere a
prop vereI Completezza: tutti i paralogismi sono errori di calcolo;
forzando un po’ la mano: ogni prop vera e ottenibile per
calcolo
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Intermezzo:Argomentazioni vs Conclusioni
Leibniz insiste sulla completezza per le argomentazioni (fallaci)
La logica moderna insistera (soprattutto) sulla completezzaper le conclusioni (corrette e/o vere)
I Sistemi formali completi: esprimono tutte le proposizioni vere
(su un certo dominio)I Per ciascuna di esse e sufficiente una argomentazione
(dimostrazione)I Dimostrazioni in formati molto vincolati, non “naturali”
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La crisi dei fondamenti della matematica
La matematica si credeva immune dai paralogismi
Alla fine del XIX secolo scopre, con sorpresa, di essernecontagiata essa stessa
I Russell scrive a Frege:
Un insieme e normale se non contiene se stesso.
Sia N l’insieme di tutti e soli gli insiemi normali.
N e normale?
I Frege risponde a Russell:
Solatium miseris socios habuisse malorum
I Perche tanta drammaticita?I I ragionamenti per assurdo sono presenti sin da EuclideI Russell non ha semplicemente dimostrato che N non esiste?
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La formalizzazione della matematica
Per costruire N si usano solo operazioni elementari di
comprensione
Occorre limitare quelle
Necessita di un linguaggio formale preciso (e dalla semantica
precisa)
Per tagliare un capello in quattro
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Il progetto di Hilbert per la consistenza
Come essere sicuri che anche con tale linguaggio formale i
paradossi non si presentino?
Individuare un nucleo di base cui ridurre tutta la restante
matematica
L’aritmetica formalizzata
Indagare il nucleo con strumenti (matematici, anzi aritmetici)
cosı semplici da non sollevare dubbi sulla loro consistenza
Dimostrare cosı che il nucleo e (auto-)consistente
Cruciale: la struttura dei numeri naturali
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Godel: successi e insuccessi hilbertiani
Il teorema di completezza (“sintattica”), 1927I Ogni proposizione vera in tutti i modelli e derivabile nel
sistema formale
Il teorema di incompletezza (“semantica”), 1930I Vi sono proposizioni vere nella struttura dei numeri naturali
che non sono derivabili nel sistema formaleI Tra di esse c’e la proposizione che esprime la consistenza del
sistema formale
Gran parte del corso sara dedicata a chiarire questi due
enunciati. . .
Cioe: cosa sono i “modelli”?
E cosa significa lo scarto tra “vero in tutti i modelli” e “vero
in una struttura particolare”?
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Semplici proprieta aritmetiche, 1
Il numero 0 e l’elemento neutro della somma
Per ogni numero n, n + 0 = n
8n(n + 0 = n)
Nomi di individui: 0
“Nomi” generici (variabili): n
Un predicato (binario): =
L’applicazione di un predicato ad individui da una
proposizione: n + 0 = n
Un’operazione che trasforma individui in individui: +
Un quantificatore su individui (generici): 8
La relativizzazione della quantificazione (“ogni numero”) e
scomparsa
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Semplici proprieta aritmetiche, 2
Zero non e il successore di alcun numero (in N)
8n ¬(s(n) = 0)
Un altro simbolo di operazione (funzione): s
Un nuovo operatore che trasforma proposizioni in
proposizioni: ¬
Per ogni n, l’inverso e unico
8n8m18m2(n + m1 = 0) ∧ (n + m2 = 0) → m1 = m2
Nuovi operatori che trasformano proposizioni: ∧, →27 / 70
Alcune bipartizioni
1 Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
2 Proposizioni vs Quantificazione
3 Sintassi vs Semantica
4 Linguaggio vs Metalinguaggio
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Bipartizioni, 1
1 Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)I Livello logico comune: rende conto degli aspetti generali del
ragionamento (e.g., connettivi, quantificatori ecc.)I Livello specifico: rende conto degli aspetti specifici del dominio
che si formalizza (e.g., N, Z, ecc.)
2 Proposizioni vs Quantificazione
3 Sintassi vs Semantica
4 Linguaggio vs Metalinguaggio
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Bipartizioni, 2
1 Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
2 Proposizioni vs QuantificazioneI Nomi, variabili e funzioni denotano individui, che possono
essere quantificatiI L’applicazione di predicati (e.g., =) a individui da proposizioniI Proposizioni manipolate con connettivi: congiunzione,
disgiunzione, implicazione, negazione, ecc.I Proposizioni che contengono individui generici, possono dar
luogo ad altre proposizioni mediante quantificazione:
universale, esistenziale
3 Sintassi vs Semantica
4 Linguaggio vs Metalinguaggio
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Bipartizioni, 3
1 Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
2 Proposizioni vs Quantificazione
3 Sintassi vs SemanticaI Sintassi
F I simboli usatiF I modi di comporli in “frasi” sensateF I modi di derivare frasi (conclusioni) da frasi (ipotesi)
I SemanticaF Gli oggetti che i simboli denotanoF I valori di verita che corrispondono alle frasiF La relazione di conseguenza tra la verita di certe frasi (ipotesi)
e la verita di altre frasi (conclusioni)
4 Linguaggio vs Metalinguaggio
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Bipartizioni, 4
1 Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
2 Proposizioni vs Quantificazione
3 Sintassi vs Semantica
4 Linguaggio vs MetalinguaggioI Linguaggio della logicaI (Meta-)linguaggio nel quale la logica e descrittaI “0+1=0” e un teorema dell’aritmeticaI Teoremi e metateoremi (o meglio: teoria e metateoria)
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Sintassi: termini
Fissiamo un insieme di (simboli di) costante (e.g., 0)
Fissiamo un insieme di (simboli di) funzione (e.g., +, s), col
loro numero di argomenti (“arieta”) (e.g., +2, s1)
Assumiamo di avere una riserva infinita di nomi di variabili
(n,m, x , y , . . .)
I termini sono definiti induttivamente come segue:1 Ogni costante e un termine2 Ogni nome di variabile e un termine3 Se f n e un simbolo di funzione n-aria e t1, . . . , tn sono termini,
allora f (t1, . . . , tn) e un termine4 Nient’altro e un termine
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Sintassi: formule
Fissiamo un insieme di (simboli di) predicato ciascuno col
proprio numero di argomenti (“arieta”)
Il predicato di uguaglianza e sempre presente
Le formule sono definite induttivamente come segue:1 Se t1 e t2 sono termini, allora t1 = t2 e una formula2 Se Pn e un simbolo di predicato n-ario e t1, . . . , tn sono
termini, allora P(t1, . . . , tn) e una formula3 Se A e B sono formule, allora ¬A,A ∧ B,A ∨ B,A → B sono
formule4 Se A e una formula, e n e una variabile, allora 8n(A) e 9n(A)
sono formule5 Nient’altro e una formula
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Un linguaggio
La definizione di linguaggio e parametrica nei simboli di
costante, funzione e predicato. Tutto il resto e fissato.
Il linguaggio della somma: Lgruppo
I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {+2}I Simboli di predicato: ;
Esempi di termini:
0, 0 + 0, n, n + m, (n + 0) + m
Esempi di formule:
n = n, 0 + 0 = m, n = m ∧ m = n, n = m ∧ m = p → n = p
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Altri linguaggi
Il linguaggio di somma e prodotto: Lanello
I Simboli di costante: {0, 1}I Simboli di funzione: {+2,�2}I Simboli di predicato: ;
Il linguaggio di zero e successore: Lsucc
I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {s1}I Simboli di predicato: ;
Il linguaggio dell’aritmetica: LPA
I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {s1,+2,�2}I Simboli di predicato: ;
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Una semantica “canonica”?
Ricordiamo Lgruppo :I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {+2}I Simboli di predicato: ;
Siamo tentati di dire che alcune sue formule sono “vere”:
8n(n = n), 8n(n + 0 = n), 8n8m8p(n = m ∧ m = p → n = p)
e che altre sono “false”: 8m(0 + 0 = m), 9n8m(n + m = 0)
Ma non e cosı!
“verita” e “falsita” pre-suppongono un’interpretazione
canonica dei simboli del linguaggio
Nessuna formula e “vera” o “falsa” in assoluto, ma solo in
riferimento ad una specifica interpretazione (cioe una
semantica) del linguaggio
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Sintassi e semantica per un linguaggio
Prendiamo L+,s :I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {s1,+2}I Simboli di predicato: ;
Una semantica di L+,s sara costituita da:I un insieme di individui (per interpretare i termini)I in tale insieme saranno interpretati i simboli di costante e
funzioneI simboli di predicato saranno interpretati come relazioniI = e sempre intepretato con l’identita
Indicheremo con [[ ]] la funzione dalla sintassi alla semantica
che stabilisce una data interpretazione
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Diverse interpretazioni per L+,s
N:I [[0]] = 0N
I [[s]] = successoreN
I [[+]] = +N
Z:I [[0]] = 0Z
I [[s]] = successoreZ
I [[+]] = +Z
S = {�} (l’insieme che contiene il solo elemento �)I [[0]] = �
I [[s]] = succ, dove succ(�) = �
I [[+]] = g , dove g(�, �) = �
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Verita in una interpretazione
P = 8n ¬(s(n) = 0)
e una formula nel linguaggio L+,s
P eI vera in NI falsa in ZI falsa in S = {�}
Esercizio:I Si consideri l’insieme {0, 1}I Si diano due diverse interpretazioni di L+,s su tale insiemeI In modo che in una interpretazione P sia vera, nell’altra falsa
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Intermezzo: Linguaggi del prim’ordine e diordine superiore
La sintassi da noi descritta e detta del prim’ordine:I quantificazione solo su variabili individualiI cioe, semanticamente, solo su elementi del dominio
Un linguaggio si dice del secondo ordine, se:I permette la quantificazione anche su variabili di predicatoI cioe, semanticamente, anche su sottoinsiemi del dominioI Esempio: 8P8n(P(n) → P(n + 1))
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Intermezzo:Linguaggi di programmazione
L’esempio piu diffuso di linguaggi formali e quello dei
linguaggi di programmazione
Semantica dichiarativa vs semantica imperativa
La “variabilita” della semantica e vitale per la coesistenza di
“implementazioni” diverse
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Sintassi: Alfabeto
Sia ΣC un insieme (numerabile) di simboli di costante
Sia ΣF un insieme (numerabile) di simboli di funzione
Sia ΣP un insieme (numerabile) di simboli di predicato
I tre insiemi appena definiti sono disgiunti
Sia Σ = ΣC [ ΣF [ ΣP
L’alfabeto del linguaggio LΣ e dato daI Simboli propri: ΣI Un insieme numerabile di simboli di variabile: x , y , . . .I Connettivi: ¬,∧,∨,→I Quantificatori: 8,9I Uguaglianza: =I Simboli ausiliari: (, ), , (virgola)
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Sintassi: Termini e Formule
I termini sono definiti induttivamente come segue:1 Ogni costante e un termine2 Ogni nome di variabile e un termine3 Se f n e un simbolo di funzione n-aria e t1, . . . , tn sono termini,
allora f (t1, . . . , tn) e un termine4 Nient’altro e un termine
Le formule sono definite induttivamente come segue:1 Se t1 e t2 sono termini, allora t1 = t2 e una formula2 Se Pn e un simbolo di predicato n-ario e t1, . . . , tn sono
termini, allora P(t1, . . . , tn) e una formula3 Se A e B sono formule, allora ¬A,A ∧ B,A ∨ B,A → B sono
formule4 Se A e una formula, e n e una variabile, allora 8n(A) e 9n(A)
sono formule5 Nient’altro e una formula
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Interpretazione: linguaggio
Dato un linguaggio LΣ una sua interpretazione e data da
Un insieme D, detto dominio
Per ogni simbolo c 2 ΣC , un fissato elemento cD 2 D
Per ogni simbolo f k 2 ΣF una fissata funzione f D : Dn → D
Per ogni simbolo Pk 2 ΣP una fissata funzione
PD : Dn → {V ,F }
Un’interpretazione e data da (i) un dominio e (ii) un’associazione
di significato ai simboli propri.
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Interpretazione: termini
Sia A un’interpretazione per un linguaggio LΣ.
L’interpretazione si estende in modo canonico ai termini:
Sia ρ un ambiente, cioe una funzione ρ : Variabili → D
[[c ]]Aρ = cD
[[x ]]Aρ = ρ(x)
[[f (t1, . . . , tn)]]Aρ = f D([[t1]]
Aρ , . . . , [[tn]]
Aρ )
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Interpretazione: formule
Sia A un’interpretazione per un linguaggio LΣ.
L’interpretazione si estende in modo canonico alle formule:
Sia ρ un ambiente, cioe una funzione ρ : Variabili → D
[[t1 = t2]]Aρ = V sse [[t1]]
Aρ = [[t2]]
Aρ
[[P(t1, . . . , tn)]]Aρ = V sse PD([[t1]]
Aρ , . . . , [[tn]]
Aρ ) = V
[[¬A]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = F
[[A ∧ B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = V e [[B]]Aρ = V
[[A ∨ B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = V oppure [[B]]Aρ = V
[[A → B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = F oppure [[B]]Aρ = V
[[8x(A)]]Aρ = V sse per ogni d 2 D, [[A]]Aρ[x←d ] = V
[[9x(A)]]Aρ = V sse esiste un d 2 D, [[A]]Aρ[x←d ] = V
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Verita in un’interpretazione
Sia A una formula sul linguaggio LΣ
Sia A una interpretazione per LΣ
A e vera in A sse per ogni ρ, [[A]]Aρ = V
In simboli: A |= A
Leggi: A e un modello di A
Si estende ad insiemi di formule Γ :
A |= Γ sse per ogni A 2 Γ , si ha A |= A
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Esempi (gia visti)
P = 8n ¬(s(n) = 0)
e una formula nel linguaggio L+,s
N, Z, {�} sono tutte interpretazioni per L+,s
N |= P
Z 6|= P
{�} 6|= P
50 / 70
Formule vere in ogni interpretazione?
Dicemmo:I Siamo tentati di dire che alcune sue formule sono “vere”:
8n(n = n), 8n(n + 0 = n), 8n8m8p(n = m ∧ m = p → n = p)I e che altre sono “false”: 8m(0 + 0 = m), 9n8m(n + m = 0)I “verita” e “falsita” pre-suppongono un’interpretazione
canonica dei simboli del linguaggioI Nessuna formula e “vera” o “falsa” in assoluto, ma solo in
riferimento ad una specifica interpretazione (cioe una
semantica) del linguaggio
Siamo sicuri?
Consideriamo P → P, o 8x(x = x)
Per una interpretazione qualsiasi A, queste formule sono vere
in A
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Leggi logiche
Il linguaggio ha due livelli:1 Livello logico comune: connettivi, quantificatori ecc.2 Livello specifico: aspetti specifici del dominio
La semantica del livello specifico dipende dall’interpretazione
perche dipende da come si associano oggetti semantici ai
simboli
La semantica del livello logico e invece fissata nella nozione di
“funzione semantica”, [[ ]]
E.g., [[A ∧ B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = V e [[B]]Aρ = V
[[t1 = t1]]Aρ = V sse [[t1]]
Aρ = [[t2]]
Aρ
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Validita
Una formula A e valida sse per ogni interpretazione A, si ha A |= A
|= A
Le formule valide sono “leggi logiche”
La loro verita non dipende dal dominio, ma dalla semantica
dei connettivi e dei quantificatori
Questa semantica e per noi “connaturata” (“built-in”) alla
logica che stiamo descrivendo
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Alcune leggi logiche proposizionali
1 P → P
2 P → (Q → P) a fortiori
3 P ∧ Q → P
4 P → ¬¬P doppia negazione debole
5 (P → Q) → (¬Q → ¬P) tollendo tollens
6 P → (¬P → ¬Q) legge debole di Duns Scoto
7 P → (¬P → Q) legge forte di Duns Scoto
8 P ∨ ¬P terzo escluso
9 ¬¬P → P doppia negazione forte
10 (P → Q) ↔ (¬P ∨ Q) legge di Filone Megarico
11 ((P → Q) → P) → P legge di Pierce
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Alcune leggi logiche quantificate
1 (8xP) → (9xP)
2 9x8yP → 8x9yP
3 8xP ↔ ¬9x¬P
4 9xP ↔ ¬8x¬P
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Procedimento di decisione?
Legge proposizionaleI Tavola di veriaI Meccanizzabile (ma richiede tempo esponenziale)
Legge quantificataI Ragionare a partire dalla definizioneI Meccanizzabile?
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Intermezzo: logica classica e altre logiche
La logica che descriviamo viene detta classica
Sono state studiate logiche diverse, il cui insieme di leggi e un
sottinsieme proprio di quello della logica classica
Corrispondono a diverse semantiche dei connettivi (e dei
quantificatori)
Ricordiamo le logicheI minimaleI intuizionista
E.g., per l’intuizionista le leggi proposizionali da 8 in poi (e le
3 e 4 delle leggi quantificate) non sono valide
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Una validita “condizionata”?
Consideriamo le due formule1 8n(n + 0 = n)2 8n8m(n + m = m + n)
8n(0 + n = n) e certamente vera tutte le volte che (1) e (2)
sono vere
Piu precisamente:
In ogni interpretazione che e un modello di (1) e (2), anche
8n(0 + n = n) e vera
Diciamo che 8n(0 + n = n) e conseguenza logica di (1) e (2)
58 / 70
Conseguenza logicaformule chiuse
Sia Γ un insieme di formule chiuse e P una formula.
P e conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ |= P)
sse
per ogni interpretazione A,
se A |= Γ , allora A |= P.
P e necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere.
59 / 70
Conseguenza logicacaso generale
Sia Γ un insieme di formule e P una formula.
P e conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ |= P)
sse
per ogni interpretazione A, e per ogni ambiente ρ su A:
per tutte le Q 2 Γ [[Q]]Aρ = V =⇒ [[P]]Aρ = V
P e necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere,
nello stesso ambiente.
60 / 70
Centralita della conseguenza logica
La matematica e incentrata su questa nozione
La logica del novecento nasce per chiarire questa nozione
Un insieme di formule caratterizza (assiomatizza) una certa
nozione matematica (gli ordini parziali, i gruppi, gli anelli ecc.)
Si studiano i teoremi che valgono per tutte quelle strutture
(tutti i gruppi, tutti gli anelli, tutti gli ordini parziali ecc.)
61 / 70
L’insieme Ord
Sia LOrd il linguaggio senza costanti o funzioni e col solo simbolo
di predicato M
Sia Ord il seguente insieme di formule su LOrd :
8xM(x , x)
8x8y(M(x , y) ∧ M(y , x) → x = y)
8x8y8z(M(x , y) ∧ M(y , z) → M(x , z)
Ord esprime che M e un predicato (binario) riflessivo,
antisimmetrico e transitivo.
Cioe M e una relazione d’ordine.
Se A e un modello di Ord , deve avere un ordine
62 / 70
Alcuni modelli di Ord
N |= Ord
Z |= Ord
{�} |= Ord
Molte altre interpretazioniI D0: D = {0, 1}, MD0(0, 0) = V ,MD0(1, 1) = VI D1: D = {0, 1}, MD1(0, 0) = V ,MD1(1, 1) = V ,MD1(0, 1) = VI D2: D = {0, 1}, MD2(0, 0) = V ,MD2(1, 1) = V ,MD2(1, 2) = V
Ci sono infiniti modelli di Ord!
63 / 70
La teoria degli ordini parziali
Un modello di Ord e un ordine parziale
Le conseguenze logiche di Ord sono le proprieta che valgono
per tutti gli ordini parziali
Th(Ord) = {P | Ord |= P}
La teoria degli ordini parziali e costituita da tutte quelle
formule che sono conseguenza logica di Ord , cioe che sono
vere in ogni ordine parziale.
64 / 70
Conseguenze di formule “logiche”
Consideriamo il linguaggio puro (no costanti, no variabili, un
insieme numerabile di simboli di predicato)
La conseguenza logica ha senso anche in questo caso
A,A → B |= B
B non e certo una legge logica. . .
¬B(c),8x(A(x) → B(x)) |= ¬A(c)
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I gruppi
Un gruppo e un insieme con un’operazione binaria associativa
L’operazione ha un elemento neutro
Ogni elemento ha un inverso
Il linguaggio: Lgruppo = {ε, �2}; nessun predicato.
Sia Grp l’insieme delle quattro formule seguenti:
8x8y8z [(x � y) � z = x � (y � z)]
8x(ε � x) = x) e anche 8x(x � ε) = x)
8x9y(x � y = 0) ∧ (y � x = 0)
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La teoria dei gruppi
Le conseguenze logica di Grp sono i teoremi sui gruppi
Th(Grp) = {P | Grp |= P}
Modelli di Grp sono Z con la somma; Q con il prodotto; Rcon il prodotto ecc. ecc.
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Quanti sono i modelli di una teoria?
1 Ci sono solo modelli finiti (il cui dominio e finito)I Linguaggio con una sola costante, diciamo 0
8x(x = 0) ha un solo modello, quello con un solo elementoI Linguaggio con due sole costanti, diciamo 0 e 1
8x(x = 0 ∨ x = 1) ∧ ¬(0 = 1) ha un solo modello, quello con
un due elementiI In questo caso i modelli di tali formule sono in numero finito
(uno solo, in entrambi i casi)2 Ci sono (anche) modelli infiniti (il cui dominio e infinito)
I Linguaggio con una sola costante (0) ed un simbolo di
funzione s1
I 8x¬(x = s(x)) ha modelli sia finiti (per esempi con due
elementi) sia infiniti (cioe di cardinalita infinita)I In questo caso e possibile dimostrare che esistono
necessariamente una quantita infinita di modelli (ciascuno di
essi con un dominio di cardinalita infinita)
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“Difficolta” della conseguenza logica
Se Γ ha (anche) modelli infiniti (col dominio infinito)
Allora Γ ha infiniti modelli (non e un gioco di parole. . . )
(Tale infinito e di una cardinalita estremamente grande)
L’insieme delle conseguenze logiche di Γ caratterizza cosı il
comportamento di una collezione vastissima di interpretazioni
Come stabilire allora una conseguenza logica?
Non possiamo ragionare su questa (enorme) collezione di
modelli!
Alla ricerca di metodi sintattici
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