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Lógica Proposicional
BCC101 Matemática Discreta I
1
Lógica Proposicional
Uma proposição é uma sentença declarativaque é verdadeira ou é falsa
• Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais• Brasilia é a capital da Argentina • 1+1=2 • 2+2=3
2
True
FalseTrue
False
• 1+2 é impar e 1+3 > 5• ⊆ 𝐙 ou 2>5• Para todo inteiro n>1, 2n-1 é primo
FalseTrue
False
Axiomas Princípio da não contradição:
Nenhuma proposição é simultaneamente verdadeira e falsa.
Princípio do terceiro excluído:Toda proposição é verdadeira ou é falsa.
Sentenças que não são proposições:
•Que horas são?
•Esta sentença é falsa
depende do valor da variável x
simultaneamente T e F
não se pode atribuir T ou F
• x+1 = 23
Lógica Proposicional
Proposições podem ser combinadas para formar novas proposições:
Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais e o Cruzeiro é o melhor time do Brasil
Duas proposições simples:
Combinadas usando-se o conectivo e
Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais
Cruzeiro é o melhor time do Brasil
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Lógica Proposicional
Vamos usar variáveis para representar proposições: P, Q, R, …
P: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais Q: Cruzeiro é o melhor time do Brasil
A sentença anterior seria representada como
P e Q
5
Vamos usar símbolos especiais para representar os conectivos lógicos:
Exemplo:
Conectivo Simbolo
Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação) →
Equivalência (bi-implicação)
= ⟷
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Lógica Proposicional – sintaxe
Consideramos um conjunto enumerável de variáveis de proposição: P1, P2, P3, ….
fórmulas atômicas
Seja var uma variável de proposição. O conjunto prop das fórmulas da LP pode ser definido pela seguinte gramática:
prop := var |true | false
|(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop -> prop) |(prop <-> prop) 7
Fórmula?
Prop? ((P Q)((P)Q))
Constituintes(devem ser props)
(P Q) ((P)Q)
Constituintes(dos constituintes)
P Q (P) Q
Constituintes(dos constituintes dos constituintes)
PSim, é uma Prop – constituintes casam com as regras da gramática, até o nível de fórmulas atômicas
Usando a gramática podemos determinar se uma sequência de símbolos é uma fórmula (sentença válida)
8
Fórmula?
Prop? (( P ((Q)))((P)Q))
( P ((Q))) ((P)Q)Constituintes(devem ser props)Constituintes(de constituintes)
P ((Q)) (P) Q
Constituintes(de constituintes de constituintes)
(Q) P
Ôpa! Q não é uma PropNenhuma Prop começa com
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Exercício
Quais das seguintes sentenças são fórmulas da Lógica Proposicional?
Caso a sentença seja uma fórmula, relacione todas as suas subfórmulas.
1. ((P ∨ Q) → P)2. ((P ∧ ∨ P) → ¬)
10
Conectivos: precedência associatividade
Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos:
maior precedência
¬ =∧ ∨ ➝
menor precedência
∧ e ∨ têm associatividade à esquerda
➝ tem associatividade à direita
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Conectivos: precedência associatividade
Exemplos:
¬P ∧ Q ➝ R = (((¬P) ∧ Q) ➝ R)
P ∧ Q ∨ R = ((P ∧ Q) ∨ R)
P ∧ Q ∧ R = ((P∧Q)∧R) = (P∧(Q∧R))
P → Q → R = (P → (Q→R)) ≠ ((P→Q) →R)
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Exercício
Elimine os parênteses desnecessários:
((P ∨ Q) ∨ (R ∨ S))(P ➝ (Q ➝ (P ∧ Q)))¬ (P ∨(Q ∧ R))¬ (P ∧(Q ∨R))
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Lógica Proposicional - semântica
O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F
O significado da constante true é TO significado da constante false é F
Existem 2 possíveis interpretações para uma variável de proposição P : T ou F
Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((P˄Q) R) ?
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Negação
Verdadeiro se e somente se o operando é Falso
p ¬ p
T F
F T
15
Conjunção
Verdadeiro se e somente se ambos os operandos verdadeiros
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p q p ∧ q
T T T
T F F
F T F
F F F
Disjunção
Verdadeiro se e somente se qualquer dos operandos é verdadeiro
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p q p ∨ q
T T T
T F T
F T T
F F F
Ou Exclusivo
Verdadeiro se e somente se os operandos tem valores diferentes
18
p q p ⊕ q
T T F
T F T
F T T
F F F
Implicação
Falso se e somente se o 1o operando é verdadeiro e 2o operando é falso
19
p q p ➝ q
T T T
T F F
F T T
F F T
Equivalência ou Bi-implicação
Verdadeiro sse ambos operandos têm o mesmo valor
p⟷q tem o mesmo valor que (p→q)(q→p)p ⟷q tem o mesmo valor que (p ⊕ q)
OBS: Também escrito como p=q 20
p q p ⟷ q
T T T
T F F
F T F
F F T
Implicação – algumas observações
21
se p então qp implica qq segue de p
q somente se pp é suficiente para qq é necessário para p
Existem várias maneiras de expressar uma implicação p ➝ q:
Exemplos:É suficiente que x>10 para que x>5É necessário que x>5 para que x>10
qp
Inverso: pq
Contrapositivo:
Converso:
pq
qp
Implicação: equivalentes(mesma tab-verdade)
equivalentes
Implicação – algumas observações
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Exemplos:
Relação Equivalência:
notação abreviada para
Bi-implicação:
?
relação de equivalência
Bi-implicação – algumas observações
23
ou
ou
ou
Tabela-verdade
24
Proposição: (P Q) (PQ)
P Q
F F
F T
T F
T T
F
T
T
T
(P Q) P
T
T
F
F
(PQ)
F
T
T
T
(PQ) (PQ)
F
T
T
T
Verdadeiro p/ alguma: Satisfazível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas :
Contradição (não satisfazível)
Outra Tabela-verdade
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Proposição: (PQ) (PQ)
P Q
F F
F T
T F
T T
F
T
F
(PQ) P
T
T
F
F
(P Q)
F
T
T
T
(PQ) (PQ)
F
T
F
F F
Equivalência Lógica: =(PQ) (PQ) (PQ)
Sherlock HolmsO mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentesOu o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocenteEntão ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado
M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo
26
M C) L C
L M
Sherlock Holms
27
M C L M C) L C L M
False False False True False True
False False True True True True
False True False True True True
False True True True True True
True False False True False False
True False True True True True
True True False False True False
True True True False True True
M C), L C ⇒ L M
M C) L C
L M
Consequência Lógica
O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática?
É bom quando existem apenas 2 variáveis{T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade
Três variáveis — começa a ficar tedioso{T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores2 2 2 linhas na tabela-verdade
Vinte variáveis — impraticável!2 2 … 2 linhas (220)Você gostaria de preencher um milhão de linhas?Nesse caso, como faria para evitar erros?
Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!
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29
Adição Binária
1001 (9)+ 1 1 (3)------1100 (12)
Portas Lógicas
AND XORNOTOR
Circuitos Digitais
Circuito Meio Somador
Entradas Saídas A B C S 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0
30
S=A BCout=(AB)
31
Somador Completo
Entradas Saídas A B Cin Cout S
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
1
S=A B Cin
Cout=(AB) (Cin (AB)