Lógica matemática

La lógica  matemática es   una   parte   de   la lógica y   las matemáticas que   consiste   en   el   estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica  matemática   tiene   estrechas   conexiones   con   las ciencias   de   la   computación y   la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones   intuitivas   de   objetos   matemáticos como conjuntos, números,demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.

La   lógica   matemática   suele   dividirse   en   cuatro   subcampos: teoría   de  modelos, teoría   de   la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha   jugado   un   papel   fundamental   en   el   estudio   de   los fundamentos   de   las   matemáticas. Actualmente   se   usan   indiferentemente   como sinónimos las   expresiones:   lógica   simbólica   (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal. 

La  lógica matemática no es  la «lógica de  las matemáticas» sino  la «matemática de  la  lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Historia

Siglo XIX

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar  las operaciones lógicas formales de una manera simbólica  por  parte  de algunos  filósofos  matemáticos  como Leibniz yLambert,  pero su labor permaneció desconocida y aislada.

A  partir   de   la   segunda  mitad  del   siglo   XIX,   la   lógica   sería   revolucionada  profundamente.   En 1847, George Boole publicó un breve tratado titulado El análisis matemático de la lógica, y en 1854 otro más importante titulado Las leyes del pensamiento. La idea de Boole fue construir a la lógica como un cálculo en el que los valores de verdad se representan mediante el 0 (falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les aplican operaciones matemáticas como la suma y la multiplicación.

Al mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su obra Lógica formal, donde introduce las leyes   de   De   Morgan e   intenta   generalizar   la   noción   de   silogismo.   Otro   importante contribuyente   inglés   fue John  Venn,   quien   en   1881   publicó   su   libro Lógica   Simbólica,   donde introdujo los famosos diagramas de Venn.

Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder también hicieron importantes contribuciones.

Sin   embargo,   la   verdadera   revolución  de   la   lógica   vino  de   la  mano  de Gottlob   Frege,   quien frecuentemente   es   considerado   como   el   lógico   más   importante   de   la   historia,   junto   con 

Aristóteles.  En su trabajo de 1879, la Conceptografía, Frege ofrece por primera vez un sistema completo   de lógica   de   predicados y cálculo   proposicional.   También   desarrolla   la   idea   de un lenguaje   formal y   define   la   noción   de prueba.   Estas   ideas   constituyeron   una   base   teórica fundamental para el desarrollo de las computadoras y las ciencias de la computación, entre otras cosas.   Pese   a   esto,   los   contemporáneos   de   Frege   pasaron   por   alto   sus   contribuciones, probablemente a causa de la complicada notación que desarrolló el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Las leyes de la aritmética, donde intenta deducir toda la matemática a partir de la lógica, en lo que se conoce como elproyecto logicista. Su sistema y su aplicación a la teoría de conjuntos, sin embargo, contenía una contradicción (la paradoja de Russell).

Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Siglo XX

El  siglo XX sería  uno de enormes desarrollos  en  lógica.  A  partir  del  siglo  XX,   la   lógica  pasó a estudiarse por su interés  intrínseco, y no sólo por sus virtudes como propedéutica, por  lo que estudió a niveles mucho más abstractos.

En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publican Principia  mathematica,  un trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica, evitando caer en las paradojas en las que cayó Frege. Los autores reconocen el mérito de Frege en el prefacio. En contraste   con   el   trabajo   de   Frege, Principia   mathematica tuvo   un   éxito   rotundo,   y   llegó   a considerarse uno de los trabajos de no ficción más importantes e influyentes de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza una notación inspirada en la de Giuseppe Peano, parte de la cual todavía es muy utilizada hoy en día.

En 1912 C. I.  Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, justo después de los Principia Mathematica de   Russell   y  Whitehead.   En   1918   publica A   Survey   of   Symbolic   Logic en   donde propone un nuevo condicional  más adecuado para recoger el  significado de  la  expresión "si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación estricta. El nuevo condicional requiere, para   ser   verdadero,   una   relación  más   fuerte   entre   el   antecedente   y   el   consecuente   que   el condicional clásico.

En   1920 David   Hilbert propuso   de   forma   explícita   un   proyecto   de   investigación (en metamatemática, como se  llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert.  Quería  que  la matemática fuese formulada sobre unas bases  sólidas  y  completamente lógicas.

El origen de los modelos abstractos de computación se encuadra en los años '30 (antes de que existieran   los   ordenadores   modernos),   en   el   trabajo   de   los   lógicos Alonzo   Church,Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil  Leon Post, Haskell  Curry y Alan Turing.  Estos  trabajos  iniciales  han 

tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo teórico como en abundantes aspectos de la práctica de la computación; previendo incluso la existencia de ordenadores de propósito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, y la representación de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de producción.

La deducción natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en 1934-1935.

En los años 40 Alfred Tarski comenzó a desarrollar junto a sus discípulos el álgebra relacional, en la que   pueden   expresarse   tanto   la teoría   axiomática   de   conjuntos como   laaritmética   de   Peano. También desarrolló junto a sus discípulos  las álgebras cilíndricas, que son a la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana a la lógica proposicional. En 1941 publicó en inglés uno de los manuales de lógica más acreditados, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.

Noam Chomsky en  1956  propone  una   clasificación   jerárquica  de  distintos  tipos  de gramáticas formales que generan lenguajes formales llamada jerarquía de Chomsky.

Si bien a la luz de los sistemas contemporáneos la lógica aristotélica puede parecer equivocada e incompleta, Jan Łukasiewicz mostró que, a pesar de sus grandes dificultades, la lógica aristotélica era  consistente,  si  bien había  que  interpretarse  como lógica  de clases,   lo  cual  no es  pequeña modificación. Por ello la silogística prácticamente no tiene uso actualmente.

Además de la lógica proposicional y la lógica de predicados, el siglo XX vio el desarrollo de muchos otros sistemas lógicos; entre los que destacan las muchas lógicas modales.

Concepto de lógica matemática

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos   intuitivos   de   objetos   matemáticos   como   conjuntos,   números,   demostraciones   y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalógicas de los mismos.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento  dado  dentro  de  un  determinado   sistema   formal.   En  un  nivel   avanzado,   la   lógica matemática se ocupa de  la posibilidad de axiomatizar  las teorías matemáticas,  de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de  la  demostración y  la matemática  inversa son dos de  los razonamientos más recientes de  la lógica  matemática  abstracta.  Debe   señalarse  que   la   lógica  matemática   se  ocupa  de   sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no  es  método  de  descubrir   verdades  del  mundo  físico   real,   sino   sólo  una   fuente  posible  de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional.

La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del  proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechas usando  lenguaje  informal  con algunos signos o diagramas,  sino sólo de demostraciones   y   razonamientos   que   pueden   ser   completamente   formalizados   en   todos   sus aspectos.

Sistemas lógicos

La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos:

La sintaxis de las lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.

La semántica de   las   lenguajes   formales,  es  decir,   los   significados  atribuibles  a  un  conjunto  de signos,  así   como el   valor  de  verdad  atribuible  a  algunas  de   las  proposiciones.  En  general   las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.

Los aspectos metalógicos de  las  lenguas formales,  como por ejemplo  la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.

Los diferentes tipos de sistemas lógicos pueden ser clasificados en:

Lógica proposicional (Lógica de orden cero): En ella existe símbolos para variables proposicionales (que pueden ser interpretados informalmente como enunciados que puden ser ciertos o falsos) además   de   símbolos   para   diversas conectivas.   Estas   conectivas   permiten   formar   expresiones complejas a partir de variables proposicionales simples. Un sistema lógico puede incluir diversos tipos de conectivas, entre ellos, la lógica clásica suele hacer uso de los siguientes:

¬ se lee “no”

∧ se lee “y”

∨ se lee “o”

→ se lee “…implica…” o “si,…entonces…,”

↔ se lee “…equivalente con…” o "…si, sólo sí…"

Dentro de la lógica proposicional pueden distinguirse varios tipos, por ejemplo restringiendo las posibilidades   de   interpretación   semántica   se   obtiene   la lógica   intuicionista y   ampliando   la complejidad de las interpretaciones semánticas se obtienen las lógicas modales.

Lógica   de   predicados:   Esta   no   incluye   símbolos   para   variables   proposicionales   sino   que   las proposiciones   más   elementales   son   predicados   atómicos   (formados   a   partir   de   variables interpretables como objetos singulares, relaciones (entre estas frecuentemente se usan = , <, >, etc), funciones matemáticas. Además símbolos para representar variables, relaciones y funciones este   tipo   de   lógicas   incluyen cuantificadores.   Dentro   de   la   lógica   de   predicados   se   pueden distinguir ciertos tipos:

Lógica  de  primer  orden que  usualmente  es  finitaria   (sólo   se  admiten  proposiciones   formadas mediante un número finito de pasos) aunque también existen lógicas infinitarias.

Lógica de segundo orden que a su vez pueden ser de diferentes subtipos.

Teorías axiomáticas

Una teoría   axiomática está   formada   por   un   conjunto   de   proposiciones   expresables   en   un determinado lenguaje formal y todas las proposiciones deducibles de dichas expresiones mediante las reglas de inferencia posibles en dicho sistema lógico.

El   objetivo   de   las   teorías   axiomáticas   es   construir   sistemas   lógicos   que   representen   las características esenciales de ramas enteras de las matemáticas. Si se selecciona un conjunto más amplio o menos amplio de axiomas el conjunto de teoremas deducibles cambian. El interés de la teoría  de  modelos es  que  en  un modelo  que satisfagan  los  axiomas  de  determinada  teoría también se satisfacen los teoremas deducibles de dicha teoría. Es decir, si un teorema es deducible en una cierta teoría, entonces ese teorema es universalmente válido en todos los modelos que satisfacen los axiomas. Esto es interesante porque en principio la clase de modelos que satisface una cierta teoría es difícil  de conocer,  ya que las teorías matemáticas interesantes en general admiten toda clase infinita de modelos no isomorfos, por lo que su clasificación en general resulta difícilmente abordable sin no existe un sistema lógico y un conjunto de axiomas que caracterice los diferentes tipos de modelos.

Áreas

La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:Filosófica y críticaLógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)Teoría de modelosTeoría de la computabilidadTeoría de conjuntosTeoría de la demostración y matemática constructiva algebraica]]

Modelos no estándar

En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Churry-Howard   entre  pruebas   y   programas   se   corresponde   con   la   teoría  de  pruebas,   donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas.

Algunos   sistemas   lógicos   como   el cálculo   lambda,   y   la lógica   combinatoria entre   otras   han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.

Tipos de sistemas lógicos

Lógica proposicional

La   lógica  proposicional   (o   lógica  de  orden   cero)  es  un   lenguaje   formal  en  el  que  no  existen variables  ni   cuantificación,  eso   implica  que  cualquier   secuencia  de   signos  que  constituya  una fórmula bien formada de la lógica proposicional admite una valoración en la proposición es cierta o falsa dependiendo del valor de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. En otras palabras   en   la   lógica   proposicional   cualquier   fórmula   bien   formada   define   una   función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica proposicional es decidible y en   un   número   finito   de   pasos   puede   determinarse   la   verdad   o   falsedad   semántica   de   una proposición. Esto hace que la  lógica proposicional  sea completa y muy sencilla de caracterizar semánticamente.

Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.

Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.

Aspectos metalógicos y algorítimicos

Metalógica

Leopold   Löwenheim (1915)   y Thoralf   Skolem (1920)   formularon   el   llamado teorema   de Löwenheim-Skolem, que afirma que cualquier sistema axiomático basado en la lógica de primer orden no puede controlar la cardinalidad de la estructuras no finitas que satisfacen los axiomas de dicho sistema. Skolem comprendió que este teorema podría aplicarse para las formalizaciones de primer orden de la teoría de conjuntos, siendo dicha formalización numerable, existiría un modelo numerable para dicha teoría aun cuando la teoría afirma que existen conjuntos no contables. Este resultado contraintuitivo es la conocida paradoja de Skolem.

En   su   tesis   doctoral, Kurt   Gödel (1929)   demostró   el teorema   de   completitud   de   Gödel,   que establece una correspondencia entre la sintaxis y la semántica de la lógica de primer orden. Gödel usó dicho teorema de completitud para probar el llamado teorema de compacidad, demonstrando la naturaleza fintiaria del operador de consecuencia lógica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lógica de primer orden como el tipo de lógica dominante en las matemáticas actual.

En   1931,  Gödel   publicó On   Formally   Undecidable   Propositions   of   Principia  Mathematica   and Related  Systems,   que  demostraba   la   incompletitud   (en  un   sentido  diferente  del   término)  de cualquier   sistema   axiomático   suficientemente   expresivo,   cuyo   sistema   de   axiomas   fuera recursivamente enumerable. Este tipo de resultados, conocidos comoteorema de incompletitud de Gödel, implica que los sistemas axiomáticos de primer orden tienen severas limitaciones para fundamentar   las   matemáticas,   y   supusieron   un   duro   golpe   para   el   llamado programa   de Hilbert para la fundamentación de las matemáticas. Uno de los resultados de Gödel estableció que es imposible que pueda formalizarse la consistencia de la aritmética en una teoría formal en la que se pueda formalizar la propia aritmética. Por otra parte, durante algún tiempo ni Hilbert ni otros de   sus   colaboradores   fueron   conscientes   de   la   importancia   del   trabajo   de   Gödel   para   su pretensión de fundamentar las matemáticas mediante el citado "programa de Hilbert".

Teoría de modelos

La teoría de modelos introducida anteriormente permite atribuir una interpretación semántica a las expresiones purmente formales de los lenguajes formales. Pero además, permiten estudiar en sí mismos los conjuntos de axiomas, su completitud, su consistencia, la independencia de unos de otros y permiten introducir un importante número de cuestiones metalógicas.

Teoría de la computabilidad y Recursividad .

La   Teoría   de   la   computabilidad   es   la   parte   de   la Teoría   de   la   computación que   estudia los problemas de decisión que pueden ser   resueltos  con un algoritmo o equivalentemente  con una máquina de Turing.

Teoría de la demostración

La teoría   de   la   demostración es   la   rama   de   la   lógica   matemática   que   trata   a las demostraciones como   objetos   matemáticos,   facilitando   su   análisis   mediante   técnicas matemáticas. Las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas  que se  construyen  de  acuerdo  con  los axiomas y reglas  de   inferenciade  los   sistemas lógicos. En este sentido, la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis, en contraste con la teoría  de  modelos,  que  trata  con   la semántica.   Junto  con   lateoría  de  modelos,   la teoría  de conjuntos axiomática y la teoría de la recursión, la teoría de la demostración es uno de los "cuatro pilares" de los fundamentos de las matemáticas.