Upload
buihanh
View
248
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
LogikadlainformatykówĆwiczenia7. IndukcjamatematycznaZadania
Zadania–indukcjamatematyczna 1. Wykaż indukcyjnie:
a) 0 + 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 = ! !!!!
dla 𝑛 ≥ 0;
b) 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 − 1 = 𝑛! dla𝑛 > 0;
c) 0! + 1! + 2! +⋯+ 𝑛! = ! !!! !!!!!
dla 𝑛 ∈ ℕ;
d) (1 + 2 +⋯+ 𝑛)! = !! !!! !
! dla 𝑛 > 0;
e) 0! + 1! + 2! +⋯+ 𝑛! = (!!(𝑛 + 1))! dla 𝑛 ∈ ℕ;
f) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 +⋯+ 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) = ! !!! !!!!
dla 𝑛 > 0;
g) 1 ∙ 3 ∙ 1! ! + 2 ∙ 4 ∙ 2! ! +⋯+ 𝑛 ∙ 𝑛 + 2 ∙ 𝑛! ! = 𝑛 + 1 ! ! − 1 dla 𝑛 > 0;
h) 1 ∙ 2! + 2 ∙ 2! +⋯+ 𝑛 ∙ 2! = 2 + 𝑛 − 1 ∙ 2!!! dla 𝑛 > 0;
i) 1 + 11 + 111+. . .+ 11. . .1!
= !"!!!!!!!!"!"
;
j) ∀!∈ℝ,!!!!∀!∈ℕ (1 + 𝛼)! ≥ 1 + 𝑛𝛼;
k) (1 + 1 𝑛)! ≤ 𝑛 + 1 dla 𝑛 > 0;
l) 2!! = 10𝑥 + 6, 𝑥 ∈ ℕ dla 𝑛 ≥ 2;
m) 10 | 𝑛! –𝑛 dla 𝑛 ∈ ℕ;
n) 12 | (10! – 4) dla 𝑛 > 1;
o) 8 | (11! – 3!) dla 𝑛 > 0;
p) 7 | (11! − 4!) dla 𝑛 > 0;
q) 73 | 8!!! + 9!!!! dla 𝑛 > 0 ;
r) 6 | (13! – 7) dla 𝑛 > 0;
s) 2 | (𝑛! + 𝑛 ) dla 𝑛 > 0;
t) 6 | (𝑛3 − 𝑛 ) dla 𝑛 > 1;
u) !!(!!!)
= !!!!
!!!! dla 𝑛 > 0;
v) 𝑖 ∙ 𝑖! = 𝑛 + 1 ! − 1!!!! dla 𝑛 > 0;
w) −1 !!!𝑖! = −1 !!! !(!!!)!
!!!! dla 𝑛 > 0;
x) !(!!!!)(!!!!)
= !!!!!
!!!! dla 𝑛 > 0;
y) 𝑛! > 2! dla 𝑛 > 3.
2. Dla jakich liczb naturalnych 𝑛 ∈ ℕ zachodzi wzór:
a) 𝑛! < 2!;
b) 𝑛3 < 2!;
c) 4𝑛 ≤ 𝑛! − 7;
d) 5𝑛 < 𝑛! − 3;
e) 2𝑛 ! < 2! ! ;
f) 𝑛 + 1 ! < 𝑛!!!;
g) 𝑛! + 𝑛 − 1 < 2!.
3. Dla jakiej wartości 𝑎 ∈ ℕ zachodzi poniższy wzór dla każdego 𝑛 ∈ ℕ :
2 ∙ 1! + 3 ∙ 2! +⋯+ 𝑛 + 1 𝑛! =𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(3𝑛 + 𝑎)
12
4. Niech 𝐴 ⊆ ℕ będzie zbiorem wszystkich tych liczb naturalnych 𝑛, dla których liczba 𝑛! – 3𝑛 + 3 �jest parzysta.
Pokaż, że jeśli 𝑛 ∈ 𝐴 to 𝑛 + 1 ∈ 𝐴. Jakie liczby należą więc do 𝐴 ?