1

LOPTA

SFERA (LOPTA) i DELOVI LOPTE

P= 4R2 π V=34 R3π

RR

lopta

OVDE JE : - R je poluprečnik lopte

- h je visina zone ( odsečka, isečka) -r1 i r2 su poluprečnici presečnih krugova Površina kalote: P= 2Rπ h Površina zone : P= 2Rπ h

Zapremina loptinog odsečka: V=3

2hπ (3R-h)

Zapremina loptinog isečka: V= 32 R2π h

Zapremina loptinog sloja: V=6hπ (3r1

2+3r22+h2)

R

hr

kalota(samo poklopac)

R

hr

loptin odsecak

2

R

r

rh

1

2

loptin sloj(zona)

.R R

h

loptin isečakodsečak + kupa

UZAJAMNI POLOŽAJ LOPTE I DRUGIH TELA

- Da bi se u prizmu mogla upisati sfera potrebno je i dovoljno da se u njen normalni presek može upisati krug čiji je prečnik jednak visini prizme - Da bi se u piramidu mogla upisati sfera dovoljno je da nagibni uglovi bočnih strana prema osnovi piramide budu jednaki - Ako se oko poliedra može opisati sfera, tada njen centar leži u tački preseka simetralnih ravni svih ivica poliedra - Da bi se oko prizme mogla opisati sfera potrebno je i dovoljno da prizma bude prava i da se oko njene osnove može opisati krug. - Da bi se oko piramide mogla opisati sfera potrebno je i dovoljno da se oko njene osnove može opisati krug - Lopta je upisana u prav valjak ako osnove i sve izvodnice valjka dodiruju loptu. To je moguće ako je prečnik osnove valjka jednak visini valjka - Lopta je upisana u pravu kupu ako osnova i sve izvodnice kupe dodiruju loptu. To je uvek mogućno! - Lopta je opisana oko valjka ako su osnove valjka preseci lopte. Oko svakog pravog valjka može se opisati lopta - Lopta je opisana oko kupe ako je osnova kupe presek lopte i ako vrh kupe pripada odgovarajućoj sferi. Oko svake kupe može se opisati lopta.

3

1) Površina lopte jednaka je π225 . Naći njenu zapreminu.

π

π

π

5,562

)5,7(3434

3

3

=

=

=

V

V

RV

2) Preseci dve ravni i lopte imaju površine π49 i π4 , a rastojanje izmedju tih ravni koje su sa raznih strana centra lopte iznosi 9. Naći površinu lopte.

?

9449

________

2

1

=

===

LP

hPP

ππ

Preseci lopte su krugovi, pa ćemo odatle naći 1r i 2r .

7

49

1

21

211

==

=

rr

rP

ππ

π

2

4

2

22

222

==

=

rr

rP

ππ

π

Uočimo dva pravougla trougla (na slici) čije su hipotenuze R a katete za jedan x i 1r a za drugi y i 2r

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=2

222

21

22

ryR

rxR

Sada je 5=− xy ∧ 9=+ xy ⇒ y = 7 zamenimo, pa je

ππ 21245327 22222 =⇒=⇒=⇒+= PRPRR

?

225_____________

=

=

V

P π

5,72

154

2254

2254225

4

2

2

2

=

=

=

=

=

=

R

R

R

R

RRP

ππ

π

5))((45

449 22

22

221

2

=−+−=

+=+

+=+

xyxyxy

yx

ryrx

4

3) Poluprečnik lopte je 15. Koji se deo površine lopte vidi iz tačke koje je od centra lopte udaljena za 25? Nacrtamo najpre sliku: Trouglovi ABC i ABD su očigledno pravougli i slični. Izvucimo ih na stranu!!! Iz njihove sličnosti sledi proporcionalnost stranica:

922525

25:1515:25::

====

xx

xRRx

Pošto je Površina koja se vidi je ustvari kalota visine 6=h

πππ

18061522

=⋅⋅⋅==

K

K

PhRP

4) Izračunati zapreminu odsečka lopte ako je poluprečnik njegove osnove jednak 6, a poluprečnik lopte je 7,5

5,7

61

==

Rr

Najpre i ovde nacrtamo sliku: Iz pravouglog trougla ABC je:

6915

=−=−=

⇓

=+

hh

xRh

Rhx

5,465,7 222

21

22

=−=

−=

XX

rRX

5

Kako je Zapremina odsečka je:

( )

( )

ππ

π

π

5,585,193

35,7333

33

2

2

=⋅=

−⋅⋅

=

−=

VV

V

hRhV

5) Površina lopte opisane oko prave pravilne četvorostrane prizme osnovne ivice

4=a je π36=P . Izračunati površinu dijagonalnog preseka. Nacrtajmo i ovde prvo sliku:

π36

4==

LPa

Iz površine lopte ćemo izračunati poluprečnik:

39

436

4

2

2

2

==

=

=

RR

R

RPL

ππ

π

Izvucimo ‘’na stranu’’ dijagonalni presek: Odavde je:

( ) ( )( )

24

32362436

22

2

2

22

222

==

−=

−=

−=

HHHH

aRH

35,45,7

=−=−==+

hh

xRhRxh

6

Površina dijagonalnog preseka je:

28

2242

=

⋅=⋅=

P

HaP

6) Oko kocke površine 32=P opisana je lopta. Izračunati zapreminu dela lopte iznad gornje strane kocke. Pošto je površina kocke ⇒= 32P

Poluprečnik R lopte je očigledno jednak polovini telesne dijagonale 4

33

343

=

⋅==

D

aD

22

=

=

R

DR

Razmišljamo ovako: → Ovakvih odsečka ima 6. → Nadjemo zapreminu lopte i zapreminu kocke → Oduzmemo ih i podelimo sa 6.

( )9

323329

364969

3643

32

9364

273364

334

3322

34

34

3

3

33

−=−

−=−=−

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

===

π

ππ

πππ

KL

KL

K

L

VV

VV

aV

RV

Sad nam treba ovo kroz 6 ( )

( )3232716

5432332

6

−=

−=

−=

π

π

OD

KLOD

V

VVV

334

343

166

32326

2

2

2

==

=

=

=

a

a

a

a

7

7) U pravu kupu čija izvodnica ima dužinu 15 i čiji je poluprečnik osnove 9, upisana je lopta. Naći zapreminu lopte.

r

RR

s

A B

C

M

N

Iz sličnosti trouglova ABC i MNC dobijamo:

?

915

_______

=

==

LV

rs

12144

81225915

2

2

222

222

==

−=

−=

−=

HHHH

rsH

29

29

24108

10824910815

)12(91515:)12(9:

:)(:

=

==

=−=−=−=−=

R

R

RRRRR

RRSRHrR

2243

29

3434

3

3

π

π

π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

V

V

RV