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LOS CUASICRISTALES,

EL CRISTAL DEL ESPACIO

Ricardo Ferreiro de Aguiar

Colexio Plurilingüe Divina Pastora Franciscanas Ourense, 1º BACH

Coordinador: Sergio Mascarenas Cid

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Resumen

Las estructuras químicas de muchas partículas se pueden clasificar en dos grandes

grupos: ordenados o desordenados. Los primeros están relacionados con la regularidad

mientras que los segundos con la irregularidad. Sin embargo, existe otra forma de

orden que se presenta en la naturaleza: el orden aperiódico. Eso significa que existen

sistemas que siguen reglas bien definidas, pero sin ser repetitivas (periodicidad). El

objetivo de este trabajo bibliográfico es el estudio de la estructura molecular y atómica

de unos materiales, que presentan un ordenamiento aperiódico predecible. Los

materiales que presentan esta ordenación reciben el nombre de cuasicristales y son

estudiados en profundidad hoy en día en Física del Estado Sólido y en varios apartados

de la química, con numerosas investigaciones en curso y diversas aplicaciones

experimentales. En mi redacción voy a presentar su estructura, y sus propiedades. Los

cuasicristales son nuevos materiales con una perspectiva enorme, tienen varias

aplicaciones y algunas aun no han sido estudiadas, de esto también voy a hablar. A la

vez voy a contar varias confusiones como con “el efecto twining” o con los cristales,

también de su origen, con el descubrimiento del científico israelí Dan Shechtman.

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Abstract

The chemical structures of many particles can be classified into two large groups:

ordered or disordered. The first ones are related to regularity while the seconds with the

irregularity. However, there is another form of order that is presented in nature: the

aperiodic order. This means that there are systems that follow well-defined rules, but

without being repetitive (periodicity). The objective of this bibliographic work is the

study of the molecular and atomic structure of some materials, which present a

predictable aperiodic ordering. The materials presented by this ordination are called

quasicrystals and are studied in depth today in solid state physics and several sections of

chemistry, with numerous ongoing research and various experimental applications. In

my writing I will present its structure, and its properties. The quasicrystals are new

materials with a huge perspective, have several applications and some have not yet been

studied, of this also I will talk. At the same time I will count several confusions as with

"the twining effect" or with the crystals, also of their origin, with the discovery of the

Israeli scientist Dan Shechtman

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Índice general

Resumen . . . . . . . . 2

Abstract . . . . . . . . 3

Bibliografía . . . . . . . 17

1. Orígenes . . . . . . . . 5

2. Formación, ¿cómo se crean? . . . . . 7

2.1. Estructura cuasicristalina . . . . . 8

2.2. Confusión con el efecto “twining” . . . . 8

3. Tipos . . . . . . . . . 9

3.1. Según su estabilidad térmica . . . . 9

3.2. Según su dimensión . . . . . . 9

4. Formas de orden de la materia . . . . . 10

5. Propiedades . . . . . . . . 11

5.1 Diferencias entre los cuasicristales y los cristales . 11

5.2. Orden cuasiperiódico . . . . . . 11

6. Relación entre los vidrios y los cristales . . . 12

7. Aplicaciones . . . . . . . . 13

8. Las matemáticas de los cuasicristales . . . . 14

9. Conclusión . . . . . . . . 16

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1. Orígenes

En 1982, Dan Shechtman, un científico israelí (ganador del premio nobel de química en

2011, gracias a su excelente trabajo sobre los cuasicristales) estaba en la Universidad

Johns Hopkins, en el trabajo que estaba haciendo pretendía producir un vidrio metálico

al reducir la temperatura de una aleación de magnesio y aluminio. Observó en el

microscopio electrónico, círculos concéntricos, cada

uno hecho de diez puntos brillantes a la misma distancia

entre sí, una imagen que nunca fue registrada

anteriormente. Esta constelación de puntos tenía una

simetría de orden diez; es decir, que al girarlo diez

veces vuelve a la posición original. En aquel entonces,

la Unión Internacional de Cristalografía tenía definidas

cuatro simetrías posibles, todo lo demás contradecía lo

observado. Más tarde identificó simetrías de orden 5, 3,

y 2. Descubrió la fase llamada icosaédrica, que abre un

nuevo campo de estudio para los cristales

cuasiperiódicos. Gracias a este trabajo publicó el

artículo "Metallic Phase with Long-Range Orientational

Order and No Translational Symmetry" (Fase metálica con orden orientacional de largo

alcance y sin simetría traslacional), por el cual se hizo famoso en el mundo científico.

Aunque al principio muchos le criticaron duramente, incluyendo la de cristalógrafos y

químicos tan excelsos como Linus Pauling, dos veces laureado con el Nobel, ya que la

tesis que el intentaba defender iba en contra de las teorías, las cuales llevan desde siglos

sin contradicciones, que decían que no existían este tipo de cristales no periódicos.

Más tarde, otros compañeros descubrieron muchos más casos similares que también

rompían la simetría de la cristalografía. La explicación estaba en algo que los

matemáticos habían encontrado unos años

antes, las superficies y los volúmenes pueden

rellenarse completamente siguiendo pautas

regulares pero no necesariamente,

periódicamente perfectas. Por ejemplo,

pueden hacerlo con simetría de dilatación,

siguiendo pautas como la serie de Fibonacci,

ligada al famoso número de oro.

Hasta 2009, todos los cuasicristales eran

creados artificialmente, un físico de Princeton llamado Paul Steinhardt encontró un

cuasicristal de origen natural en un museo de rocas. Provenía de un antiguo meteorito

que cayó en Khatyrka al este de Rusia. Tras estudiar el mineral compuesto de aluminio,

cobre y hierro, llamado Icosaedrita1, Steinhardt descubrió que había recibido golpes

antes de impactar en la Tierra y se preguntó si las altas presiones de un choque podrían

tener que ver con la creación de cuasicristales.

1 Icosaedrita: primera fase cuasicristalina natural conocida.

Primer cuasicristal con simetría orden

diez.

Un cuasicristal icosaédrico de Ho-Mg-Zn formado

como un dodecaedro.

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Al saber esto, Paul Asimow y sus compañeros de Caltech, han intentado comprobar la

hipótesis que dice que estas estructuras no se forman en la Tierra, sino que proceden de

colisiones entre asteroides del Sistema Solar. Hizieron un experimento para comprobar

la hipótesis, el experimento se basaba en un disparo de una bala de tántalo2 a una gran

velocidad a distintos blancos, con la idea de replicar un impacto a alta velocidad entre

objetos en el espacio. Con esta comprobación reforzó la idea de que los cuasicristales se

forman en el espacio exterior.

Además, en 1992 la Unión Internacional de Cristalografía amplió su definición de un

cristal, debido a los hallazgos de Shechtman, reduciéndolo a la habilidad de producir un

patrón de difracción claro y reconociendo la posibilidad de que el ordenamiento sea

periódico o aperiódico.

2 Tántalo: metal de transición raro, azul grisáceo, duro, que presenta brillo metálico y resiste muy bien la

corrosión.

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2. Formación, ¿cómo se crean?

Los cuasicristales son estructuras que no poseen una simetría de traslación, es decir, son

aperódicos3, pero sí tiene un orden de largo alcance que presenta un patrón de

difracción con puntos bien definidos, pero con una simetría incompatible con la

periodicidad, que se consideraba fundamental para que se presentara un fenómeno de

difracción coherente.

Desde la observación de los cuasicristales, se han hecho varios experimentos con

diferentes aleaciones de materiales, las aleaciones más comunes donde se han observado

cuasicristales son de cobalto, hierro y níquel, lo que han dado diferentes cuasicristales y

se han utilizado las últimas tecnologías para formar cristales cada vez más perfectos.

Para crear los cuasicristales artificialmente hubo varias fases, las primeras fases

cuasicristalinas descubiertas, obtenidas mediante técnicas de enfriamiento ultrarrápido,

eran metaestables y pasaban con facilidad al estado cristalino al someter el material a

tratamiento térmico para mejorar su estructura.

Después de la observación de estas primeras fases, un grupo de científicos descubrieron

materiales cuasicristalinos termodinámicamente estables, capaces de preservar una

estructura cuasiperiódica de extraordinaria calidad hasta alcanzar su punto de fusión (en

torno a los 1500º C).

También se han hallado cuasicristales en la

naturaleza, tras el hallazgo de minerales

naturales cuasicristalinos, en las montañas

de Koryak (Rusia) supuso el

descubrimiento del primer cuasicristal

natural. Fue una muestra de que pueden

formarse y mantenerse estables en la

naturaleza bajo determinadas condiciones

geológicas naturales. El cuasicristal hallado

era icosaédrico, con seis ejes distintos de

simetría pentagonal .No obstante, los

investigadores todavía desconocen los

detalles del proceso natural de formación

de dicha roca.

Una de las ideas más populares, es la cual propuso el físico Steinhardt, se basa en la

hipótesis de que los cuasicristales se forman en el espacio, debido a las altas presiones

de choques entre asteroides.

Para cotejar esa tesis, Paul Asimow y sus compañeros de Caltech, partieron de una

aleación de cobre y aluminio, un material similar a la icosahedrita hallada en el

meteorito. Colocaron la muestra dentro de una cámara de tantalio, la cual era un disparo

de una bala de tántalo a más de 3200km/h a varios materiales, entre los cuales había

olivino4 y una muestra de meteorito de hierro-níquel, con la idea de replicar un impacto

a alta velocidad entre objetos en el espacio. La onda de choque que atraviesa el mineral

emana una fuerza con una presión equivalente a 200.000 atmósferas, esto hace que se

3 Cristal aperiódico: cristal en el cual no existe ningún tipo de reticulado periódico que lo contenga. 4 Olivino: grupo de minerales constituyentes de rocas.

Piedra sacada del meteorito caído en Rusia, donde se

encuentra el primer cuasicristal natural.

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forme un cuasicristal de una estructura muy similar a la icosaedrita, lo que viene a

fortalecer la idea de que los cuasicristales se forman en choques espaciales.

2.1. Estructura.

Muchos de los cristalógrafos intentaron identificar la estructura de un cuasicristal con

los métodos de recuperación de fases5 , pero estos métodos no se aplican a los

cuasicristales ya que solo sirven para la identificación de cristales con una simetría

periódica, por lo que no hay una manera sistemática de conocer su estructura atómica.

Se empezaron a estudiar modelos, cuyo ejemplo en

dos dimensiones es el mosaico del Penrose,

formación cuasiperiódica en un plano. Después se

generalizaron a tres dimensiones y se demostró

que, al proyectar estructuras periódicas en cinco o

seis dimensiones, pueden obtenerse otras

cuasiperiódicas. Dicha proyección es el punto

donde, con ayuda de métodos matemáticos (en

particular la geometría), científicos han centrado su

interés en crear un cuasicristal como la proyección

de cristales en espacios de cinco o seis

dimensiones y usar el resultado para entender la

estructura atómica de estos materiales.

En conclusión, en la estructura atómica de estos materiales no es posible definir un

motivo único repetitivo, es más, los átomos no se encuentran situados en planos.

2.2. Confusión con el efecto “twining”

La existencia de diferentes formas cristalinas en un mismo material, puede producir un

efecto conocido como “twining”. El twining es el resultado de estudiar la difracción de

electrones de dos cristales idénticos al mismo tiempo, pero con diferentes orientaciones.

En este caso, los patrones de difracción se superponen y pueden aparentar ser parte del

cristal, cuya simetría no corresponde con la verdadera simetría de los cristales, incluso

genera la impresión de simetrías prohibidas. Debido a este efecto, muchas de las críticas

que atacaron al trabajo de Shechtman, argumentando que no era necesario recurrir a la

existencia de cuasicristales para explicar sus resultados, pues seguramente se trataba de

un policristal6 que producía el efecto “twining”.

5 Método de recuperación de fases: métodos que permiten describir la estructura atómica detallada de los

materiales periódicos. 6 Policristal: es una unión de pequeños cristales de cualquier sustancia, a los cuales, por su forma

irregular, a menudo se les denomina cristalitas o granos cristalinos.

Modelo atómico de un cuasicristal.

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3. Tipos

En teoría, hay dos tipos de cuasicristales generalmente. El primer tipo son los

cuasicristales poligonales (dihedros), tienen un eje de simetría local de 8, 10, o 12

pliegues (cuasicristales octagonales, decagonales, o dodecagonales, respectivamente).

Ellos son periódicos a lo largo de este eje y cuasiperiódicos en los planos normales a él.

El segundo tipo, los cuasicristales icosaédricos, son aperiódicos en todas las

direcciones. Pero dependiendo de sus características hay varios tipos.

3.1. Según su estabilidad térmica.

Con respecto a su estabilidad térmica, se distinguen tres tipos:

• Cuasicristales estables crecidos por enfriamiento lento.

• Cuasicristales metaestables preparados por fusión-giro.

• Cuasicristales metaestables formados por la cristalización de la fase amorfa.

3.2. Según su dimensión.

• Una dimensión (N=2): descrito por una razón aurea y la seria de Fibonacci que

relaciona la red y la celda unitaria en secuencias lineales. Son dados por un

apilamiento cuasiperiódico de planos periódicos.

• Dos dimensiones (N=3, 4,5): consisten en un apilamiento periódico de capas

aperiódicas de átomos. Dentro de este grupo existen diferentes tipos que son

clasificados según la simetría de la capa cuasiperódica que presenta, por

ejemplo:

▪ Cuasicristales con simetría octogonal.

▪ Cuasicristales con simetría decagonal.

▪ Cuasicristales con simetría dodecagonal.

• Tres dimensiones (N=4,5,6): también llamados tri-dimensionales o icosaédricos.

Muestran cuasiperiocidad en las tres direcciones con simetría icosaédrica. El

primer cuasicristal obtenido era de este tipo.

.

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4. Formas de orden de la materia

Aunque parezcan ilimitadas, lo cierto es que son muy pocas las opciones para rellenar

ordenadamente un espacio repitiendo periódicamente una misma pieza. Por ejemplo, si

queremos rellenar una superficie lo podemos hacer con rectángulos, con triángulos, con

cuadrados o con hexágonos, pero no con pentágonos. Desde el siglo XIX, la

cristalografía tiene únicamente 17 formas distintas de completar una superficie, formas

que se pueden disfrutar visitando la Alhambra, ya que eran conocidas por los geómetras

árabes. Y también se demuestra que sólo existen 230 formas distintas de empaquetar

periódicamente un volumen con unidades idénticas.

Los cristalógrafos comprueban, con el

teorema de restricción cristalográfica, ese

orden cuando iluminan un cristal con un

haz de electrones, neutrones o rayos X.

Entonces el cristal genera (difractando la

luz) constelaciones de puntos que muestran

la simetría del ordenamiento. Y siempre

esas constelaciones coinciden, como manda

la teoría, con una de las 230 formas

distintas de empaquetamiento. Siempre con

simetría de orden uno, dos, tres, cuatro o

seis. Nunca con ejes de rotación de orden

cinco, ni más de seis. Pero esto no afecta a

los cuasicristales, debido a que los

cuasicristales tienen, por ejemplo simetría de orden 5, este descubrimiento hace que este

campo de la cristalografía se esté abriendo.

Se puede ordenar con átomos un material siguiendo un proceso análogo al del conocido

juego de muñecas rusas, de modo que pequeños agregados de átomos con simetría

icosaédrica se anidan en el interior de otros agregados mayores con su misma forma, los

cuales, a su vez, incluyen dentro de nuevos agregados similares de mayor tamaño. Lo

que hace que en vez de átomos haya agregados dotados de simetría icosaédrica, que se

organizando una forma jerárquica en el espacio.

La forma de percibir este nuevo ordenamiento consiste en aprovechar la propiedad

matemática por la que cualquier función cuasiperiódica se puede expresar como una

función periódica en un espacio de dimensión adecuada. De esta forma la cristalografía

se generaliza en el hiperespacio, dando lugar a la descripción de un cuasicristal

icosaédrico como un cubo de seis dimensiones.

Modelo estructural de un cuasicristal icosaédrico basado en

agregados moleculares.

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5. Propiedades

Gracias a la física del estado sólido se han podido hacer experimentos para hallar las

características de los cuasicristales. Estos materiales tienen baja conductividad térmica y

eléctrica, mientras que poseen alta estabilidad estructural. Los cuasicristales no

pertenecen a la familia de los conductores, pero tampoco son aislantes comunes, pues

recuperan su conductividad notablemente a altas temperaturas. Tampoco se pueden

considerar como semiconductores o semimetales. Constituyen un material o talmente

distinto, con propiedades poco comunes, que requiere de un tratamiento exclusivo.

Son más elásticos que los metales ordinarios a altas temperaturas. De hecho, exhiben en

su mayoría súper plasticidad por encima de 700ºC. Además son extremadamente duros

y resistentes a la deformación, ya que poseen pocos electrones libres, y esto hace que no

conduzcan bien la electricidad.

Otra característica relevante de los cuasicristales es la fricción superficial. Al no haber

una concordancia u orden claro ni periódico entre ambas superficies, los cuasicristales

que se rocen no alinearan sus átomos, y la fricción será pequeña y estará disgregada en

zonas locales o microscópicas.

5.1. Diferencias entre los cuasicristales y los cristales.

Las estructuras cristalinas están formadas por conjuntos de átomos ordenados

periódicamente, es decir, con patrones que se van repitiendo a lo largo de la estructura,

y muestran, además, unas características simétricas que se ajustan a unas leyes o

normas. Los cuasicristales, sin embargo, violan estas restricciones, poseen estructuras

aperiódicas y exhiben simetrías “prohibidas” en el mundo de los cristales, como

simetrías pentagonales, más propias de algunos seres vivos como los erizos o las

estrellas de mar. En resumen, podríamos decir que tanto cristales como cuasicristales

están formados por infinidad de átomos ordenados. La diferencia entre ambos es que en

los primeros este orden es periódico mientras que en los cuasicristales no lo es.

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6. Relación entre el vidrio y el cristal

Los cuasicristales, al igual que los vidrios, se pueden producir al enfriar líquidos por

debajo de su punto de fusión y a una tasa de enfriamiento alto. Sin embargo, esta tasa de

enfriamiento es insuficiente para formar un vidrio, pero lo suficientemente alta como

para impedir la cristalización típica del material. A diferencia de los vidrios, sí existe un

calor latente en la transición de líquido-cuasicristal, por lo que esta transición sí se trata

de una transición de fase de primer orden, al igual que la transición líquido-cristal.

Desde el punto de vista termodinámico, los cuasicristales son un estado que se

encuentra entre el estado cristalino y el estado vítreo, pues tiene un orden rotacional de

largo alcance, como es el caso de los cristales, en cambio, no posee un orden de

traslación como en los vidrios. Varios experimentos demuestran que los cuasicristales

tienen propiedades tanto de los vidrios como de los cristales. Además su formación

contiene características de la transición vítrea y de la cristalina.

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7. Aplicaciones

Los materiales cuasicristalinos pueden utilizarse en gran número de aplicaciones, por

ejemplo:

• Aplicaciones potenciales en aleaciones y revestimientos protectores ya que este

material no conduce eficientemente la electricidad, por lo que se emplea en

recubrimientos protectores antiadherente.

• Los cuasicristales no presentan líneas de fractura y por lo que son más

resistentes a romperse. Sirven para fabricar objetos cotidianos mezclando

cuasicristales, en forma de armadura, incrustados en un acero suave, gracias a

este proceso se crean los cuchillos de acero, las maquinas de afeitar, material

quirúrgico…

• Los cuasicristales pueden ser buenos materiales termoeléctricos, para convertir

el calor en electricidad y para reutilizar el calor residual de motores. Gracias a

esta propiedad sirven para crear motores diesel y materiales que convierten el

calor en electricidad.

• Tienen un valor científico: estudiarlos nos ayuda a comprender las leyes que

controlan el crecimiento y la estructura de la materia sólida.

Desgraciadamente, no se puede aplicar a funciones tecnológicas, debido a que no tiene

propiedades de utilidad para mejorar o reforzar la tecnología.

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8. Cuasicristales matemáticos

Las estructuras geométricas abstractas que verifican esta propiedad eran conocidas en

matemáticas desde antes del descubrimiento de Shechtman. En particular, Roger

Penrose propuso en 1976 un conjunto de solo dos teselas (conocido como Teselación de

Penrose) que produjo únicamente teselaciones no-periódicas del plano. Estas

teselaciones mostraron ejemplos de simetría de cinco pliegues. En retrospectiva,

patrones similares fueron observados en algunas teselaciones decorativas ideadas por

arquitectos islámicos medievales. Casi al mismo tiempo, Robert Ammann creó un

conjunto de teselas aperiódicas que produjeron una simetría de ocho pliegues. Estos dos

ejemplos de cuasicristales matemáticos han mostrado estar derivados de un método más

general que los trata como proyecciones de un entramado de mayor dimensión.

8.1. Teselaciones de Penrose.

Una teselación7 de Penrose o suelo de baldosas de Penrose es una teselación no

periódica generada por un conjunto aperiódico de baldosas prototipo nombradas en

honor a Roger Penrose.

La teselación de Penrose original fue propuesta en

1974 en un documento titulado “el papel de la

estética en la investigación pura y aplicada”, donde

enseñaba dos tipos de baldosas con una forma de

rombo: una está formada por dos triángulos de

ángulos 36o, 72o y 72o (llamados “triángulos áureos”)

pegados a lo largo del lado menor; la otra, por dos

triángulos de ángulos 36o, 36o y 108o (llamados

“gnomons áureos”) pegados a lo largo del lado

mayor. Estas figuras están adecuadamente formadas

para que sus lados midan exactamente lo mismo, de

modo que puedan acoplarse unas con otras siguiendo

reglas precisas.

Las piezas usadas por Penrose están muy relacionadas con la geometría pentagonal y,

con la razón áurea. De hecho, la proporción entre la cantidad de rombos celestes y

verdes que aparecen debe ser cada vez más parecida al número de oro ~1,618… si se

contabiliza a lo largo de planos cada vez más grandes. Esto muestra en particular que no

puede haber simetría traslacional, pues si la hubiese, entonces dicha proporción debe

aproximarse cada vez más a un número racional. Además, esto explica otra

característica muy especial del embaldosado de Penrose: la existencia de una simetría

rotacional de orden 5. Este aspecto no es menor pues, de acuerdo a una ley llamada

“restricción cristalográfica”, si una configuración que cubre el plano se repite

traslacionalmente en alguna dirección, entonces solo puede tener simetrías rotacionales

de orden 2, 3, 4 o 6. De este modo, las rotaciones de orden 5 están prohibidas para los

cristales, pero autorizadas para los cuasicristales.

En un primer momento su interés en los mosaicos no periódicos fue puramente

recreativo. Incluso patentó sus teselaciones para su posible comercialización como

puzles o motivos decorativos. Pero ya en 1976 conjeturó la posibilidad de otras

7Teselación: construcción de polígonos regulares o irregulares que al juntarlos, sin superponerlos no dejan

huecos entre sí, cubren un plano.

Ejemplo de una teselación de Penrose.

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aplicaciones: “utilizando como unidades fundamentales los sólidos no periódicos...sin

llegar a cristales cuasiperiódicos de direcciones de hendidura aparentemente

imposibles”. Pues bien, estos cristales cuasiperiódicos conjeturados por Penrose no son

otra cosa que los cuasicristales encontrados por Shechtman, cuyos átomos se disponen

de manera regular, pero no periódica, dando lugar a patrones de difracción antes

prohibidos. Su descubrimiento ejemplifica, una vez más, cómo una teoría matemática

elaborada inicialmente por su internes intrínseco acaba encontrando aplicaciones en la

naturaleza.

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9. Conclusión

Para finalizar este trabajo quisiera decir que las pruebas experimentales realizadas en

sólidos icosaedrales apoyan la presencia de los cuasicristales. Cabe esperar que

cualquier simetría pueda aparecer.

Los cuasicristales serían una interpolación entre dos fases cristalinas. Aunque mucho se

ha avanzado en el estudio de los cuasicristales quedan también muchas preguntas sin

contestar. Entre otras cosas falta una descripción detallada de los decorados de los

sólidos icosaedrales conocidos, esto es, de la colocación precisa que guardan los átomos

en las celdas. Los estudios realizados acerca del orden de las aleaciones son por ende

tan sólo preliminares; la estructura misma de los cuasicristales hace prever especiales

propiedades mecánicas, pero no hay muchos estudios en esta dirección y las

propiedades magnéticas ni siquiera han sido tocadas. Aun así sus propiedades son útiles,

por ejemplo para convertir el calor en electricidad y para reutilizar el calor residual de

motores, una aplicación moderna que puede ser actual, lo que convierte al cuasicristal,

en no un descubrimiento obsoleto, sino en una invención contemporánea. Una de sus

múltiples utilidades es su valor científico: estudiarlos nos ayuda a comprender las leyes

que controlan el crecimiento y la estructura de la materia sólida

He de destacar el esfuerzo de Dan Shechtman, el cual ha revolucionado varias ramas de

la ciencia como la cristalografía y la ciencia de los materiales. Ha permitido el

desarrollo de materiales cuasicristalinos, de propiedades únicas. Su descubrimiento, así

como su perseverante personalidad, han marcado la historia. Sus obras sociales,

múltiples conferencias y entrega total a la educación y al desarrollo lo califican como un

digno laureado.

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Bibliografía

- Shechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, J. W. “Metallic Phase with Long-Range

Orientational Order and No Translational Symmetry”.

- P.J. Steinhardt, D.R. Nelson y M. Ronchetti Phys. Rev.

-D. Levine y P.J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett.

-R. Penrose, Bull. Inst. Math. Appl.

-U. Suthcrland, Phys. Jlev.

- A.L. Mackay, Sov. Phys. Crystallogr

- https://rmf.smf.mx/pdf/rmf/34/3/34_3_375.pdf

- http://www.xtal.iqfr.csic.es/publications/nobel_quimica_2011.pdf

https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/6111/PFC%20%20David%20Her

nandez.pdf?sequence=1&isAllowed=y