Los Enteros - MATE 3131 · Title: Chapter 1 Author: Billstein, Libeskind, and Lott Subject: An Introduction to Problem-Solving Created Date: 10/2/2013 10:11:38 AM

Capítulo

Los Enteros

5

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El conjunto de los enteros se denota Z.

Los enteros negativos son los inversos

aditivos de los enteros positivos.

–4 es el opuesto de 4

3 es el opuesto de –3

Representaciones de los Enteros


Ejemplo

Para cada expresión a continuación, determinar el

opuesto.

a. x = 3 −x = −3

b. x = −5 −x = 5

c. x = 0 −x = 0


Noten que la

expresión “-x “

denota el

“opuesto de x” y

no

necesariamente

implica que x es

un valor

negativo

Suma de enteros

Modelo de fichas de colores

Fichas negras representan enteros positivos y

fichas rojas representan enteros negativos.

Las parejas negro/rojo se neutralizan.


Suma de enteros

Model de carga

Similar al modelo de fichas. Enteros positivos se

representan por el símbolo “+” y los enteros negativos

con “–”. Cargas positivas neutralizan las cargas

negativas.


Suma de enteros

Modelo de la recta numérica

Enteros positivos se representan con movimiento

hacia la derecha en la recta numérica. Los

enteros negativos se representan con

movimiento hacias la izquierda.


Ejemplo

La temperatura −4°C. En una hora,

subió 10°C. ¿Cuál es la temperatura

nueva?

−4 + 10 = 6

La temperatura nueva es 6°C.


Valor absoluto

El valor absoluto es siempre positivo o 0.

|4| = 4 y |−4| = 4


El valor absoluto de un número a, se escribe |a|, y

denota la distancia sobre la recta numérica desde 0

hasta a.

Definición


Ejemplo 5

Evaluar:

a. |20| |20| = 20

b. |−5| |−5| = 5

c. |0| |0| = 0

d. −|−3 | −|−3| = −3

e. |2 + −5| |2 + −5| = |−3| = 3


Propiedades de la suma de enteros

La suma de enteros comparte todas las

propiedades de la suma de naturales.

Dado enteros a, b, y c

Propiedad de clausura de la suma de enteros

a + b es un entero único

Propiedad Conmutativa de la suma de enteros

a + b = b + a.

Propiedad Asociativa de la suma de enteros

(a + b) + c = a + (b + c).


Propiedades de la suma de enteros

Elemento de identidad de la suma de enteros

0 es el entero único tal que, para todo entero a,

0 + a = a = a + 0.

Inverso aditivo

Para cada número real x, existe el número −a,

llamado inverso aditivo de x (opuesto de x), tal

que: a + −a = 0 = −a + a.


Propiedades del inverso aditivo

Por definición, el inverso aditivo, −a, es la solución

de la ecuación x + a = 0.

Para enteros a y b, la ecuación x + a = b tiene una

solución única , b + −a.

Para enteros a y b

−(−a) = a y −a + −b = −(a + b).


Ejemplo

Determinar el inverso aditivo de cada expresión.

a. −(3 + x) 3 + x

b. a + −4 −(a + −4) =

c. −3 + −x −(−3 + −x) =


−a + 4

3 + x

Resta de enteros

Modelo de fichas para la resta de enteros

3 − −2

Necesitamos fichas rojas para poder quitar 2.

Sumamos 0 en la forma 2 + −2

(dos fichas negras y dos fichas rojas.)


= 5

Resta de enteros

Modelo de fichas para la resta de enteros

-4 − 3

Necesitamos fichas negras para poder quitar 3.

Sumamos 0 en la forma 3 + −3

(tres fichas negras y tres fichas rojas.)


=

Resta de enteros

Calculamos 3 – 7

3 – 7 = n si y solo si 3 = 7 + n.

Resta usando el sumando faltante

La resta de enteros se puede definir en términos

de suma


4 hacia la izquierda

Como 7 + –4 = 3, entonces n = –4.

= −4

Definición

Resta

Para enteros a y b, a − b es un entero único n

tal que a = b + n.


Ejemplo

Usar la definición de resta para determinar las

siguientes:

a. 3 − 10

Sea 3 − 10 = n, entonces 10 + n = 3,


Por lo tanto, n = −7.

7 hacia la izquierda

= −7

Ejemplo - continuación

Usar la definición de resta para determinar las

siguientes:

b. −2 − 10

Por lo tanto, n = −12.


Sea −2 − 10 = n, entonces 10 + n = −2, 12 hacia la izquierda

= −12

Resta de enteros

Resta usando la suma del opuesto

Restar un entero es equivalente a sumar su

opuesto.

Para todo entero a y b

a − b = a + −b.


Ejemplo

Usar el hecho de que a − b = a + −b, computar

cada uno de los siguientes:

a. 2 − 8 2 − 8 =

b. 2 − −8 2 − −8 =


−6

2 + −(−8) = 2 + 8 = 10

2 + −8 =

Ejemplo - continuación

Usar el hecho de que a − b = a + −b, computar

cada uno de los siguientes:

c. −12 − −5 −12 − −5 =

d. −12 − 5 −12 − 5 =


−12 + 5 = −12 + −(−5) = −7

−12 + −5 = −17

Orden de Operaciones

La resta ni es conmutativa ni asociativa.

Una expresión como 3 − 15 − 8 es ambigua a

menos que exista un acuerdo en cómo realizar las

operaciones.

En matemáticas el acuerdo es que 3 − 15 − 8

significa (3 − 15) − 8.

Esto es que, en ausencia de paréntesis, las

restas consecutivas se simplifican en orden de

izquierda a derecha.


Ejemplo

Simplifica las siguientes expresiones.

a. 2 − 5 − 5 2 − 5 − 5 =

b. 3 − 7 − 3 3 − 7 − 3 =

c. 3 − (7 − 3) 3 − (7 − 3)


−3 − 5 = −3 + − 5 = −8

−4 − 3 = −7

= 3 − 4 = −1

Ejemplo

Simplifica las siguientes expresiones.

a. -8 − |-15 - (-15)| =

b. -33 − (7 − 22)= -27 − (7 − 22)


= -8 -8 − |-15 + 15| =

= -27 − (7 – 4)

= −30

-8 − 0

= -27 − 3

Ejemplo

Escribir expresiones equivalentes a cada una de

las siguientes que no tengan paréntesis.

a. −(b − c)

−(b − c) =

b. a − (b + c)

a − (b + c) =


−(b + −c) = −b + −(−c) = −b + c

a + −(b + c) = a + (−b + −c)

Ejemplo

Simplifique las siguientes expresiones.

a. 2 − (5 − x) = 2 + −(5 + −x)

= 2 + −5 + −(−x)

= 2 + −5 + x

= −3 + x

= x − 3


Ejemplo- continuación

Simplifique la siguiente expresión.

b. 5 − (x − 3) = 5 + −(x + −3)

= 5 + −x + −(−3)

= 5 + −x + 3

= 8 + −x

= 8 − x


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