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CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 5
Los números reales es un conjunto no vacio dotado por dos operaciones
internas, llamadas adición y multiplicación, denotadas por:
ψ (a, b) = a + b
ϕ (a, b) = a . b
y una relación de orden mayor, denotada por “>”.
Propiedades:
El conjunto de los números reales es infinito.
El conjunto de los números reales es denso; es decir que entre dos
números reales hay infinitos números reales
Se les representa gráficamente en una recta denominada recta real,
en la cual están ordenados de izquierda a derecha, de menor a
mayor. Por eso se dice que el conjunto R es ordenado.
A todo punto de la recta real le corresponde un único punto real y a cada
número real le corresponde un solo punto en la recta. Esta característica
nos dice que el conjunto R es completo.
LOS NÚMEROS REALES
¤ Racionales
Enteros¢
Naturales¥
IrracionalesI
2
3
M
ℝ
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Equipo de Matemática 6
1. ADICIÓN DE NÚMEROS REALES
Es la operación que hacen corresponder a cada par (a;b) de números
reales, un tercer número real único que se denota (a + b) y llamado
suma de los reales a y b.
Se escribe: a + b = c
Esto es: (a;b) a + b = c
1.1. Axiomas de la Adición
1.2. Sumas Notables:
a) Suma de los “n” primeros números naturales
b) Suma de los números pares
c) Suma de los números impares
Axiomas Expresión Matemática
Clausura a, b ℝ, a + b ℝ
Conmutativa a + b = b + a
Asociativa a + ( b + c) = ( a + b) + c
Existencia y unicidad del
elemento neutro aditivo 0 ℝ : a + 0 = 0 + a = a
Existencia y unicidad del
elemento inverso aditivo
∀ “a” ℝ , existe –a ℝ
a + (- a) = (- a ) + a = 0
Cancelativa
Si : a+b+m=m+c a + b = c
n
n(n+1)S =1+2+3+...+n=
2
2nS =2+4+6+....+2n=n(n+1)
22n-1S =1+3+5+1...+(2n-1)=n
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Equipo de Matemática 7
d) Suma de los cuadrados de los “n” primeros números
e) Suma de los cubos de los “n” primeros números
f) Suma de los productos de 2 números consecutivos
2. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES
Dados los números reales a y b se llama diferencia de a y b, y se
denota por a - b , al número real a + (- b)
Es decir: a – b = a + (-b)
MINUENDO – SUSTRAENDO = DIFERENCIA
2.1. Propiedades:
a) S i : M – S = D
M + S + D = 2 M
b ) ( M – x ) – ( S – x ) = D
c ) ( M + x ) – ( S + x ) = D
d ) S i : ab – ba = xy ⇒ x + y = 9
e) Si: abc es un número de tres cifras donde a c ; se
cumple:
a b c
c b a
x y z
y 9
x z 9
22 2 2 2
n
n(n+1)(2n+1)S =1 +2 +3 +...+n =
6
3
23 3 3 3
n
n(n+1)S =1 +2 +3 +...+n =
2
n(n+1)(n+2)S=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=
3
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Equipo de Matemática 8
f) Dado un número de cuatro cifras abcd donde a d ; se
cumple:
a b c d
d c b a
p q r s
18
p q r s ó
27
2.2. COMPLEMENTO ARITMÉTICO:
Sea N un número de “n” cifras entonces su complemento será:
Cuando se halla el CA de un número en otro sistema de
numeración, las expresiones son similares.
Observación:
Si: “d” es diferente de cero:
CA abcd 9 a 9 b 9 c 10 d
{{ (8) (8)87
CA 5342 7 0 243510
3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
Se llama multiplicación a la operación que hace corresponder a cada
par (a;b) de números reales, un tercer número real único que se
denota por a.b y que se llama producto de los reales a y b
Se escribe: a x b = c a.b = c ab = c
nCA N 10 N
n
(b) (b)CA N 10 N
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Equipo de Matemática 9
3.1. Axiomas de la Multiplicación
Axiomas Expresión Matemática
Clausura a, b ℝ; a . b ℝ
Conmutativa a, b ℝ , a . b = b . a
Asociativa a, b, c ℝ a.(b.c)=(a.b).c
Existencia y unicidad del
elemento neutro multiplicativo a ℝ, 1 ℝ: a.1=1.a=a
Elemento absorbente a ℝ , a . 0 = 0 . a
Existencia y unicidad del
elemento inverso multiplicativo a ℝ, a. -1a = 1; si a 0
Distributiva a, b, c ℝ,
a(b+c)=a.b+a.c
4. DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Tal como sucede en los números racionales Q, el cociente de dos
números reales es un número real, siempre que el divisor sea
diferente de cero.
Dada la siguiente división
D d
r q
Donde:
D: dividendo d: divisor q: cociente r: residuo
4.1. División Exacta
D d q
residuo 0
aa ; b ;b 0 ; ( )
b ¡ ¡ ¡
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D d
0 q
a) Alteraciones del cociente
Si al dividendo de una división exacta se le multiplica (o
divide) por un valor entero, el cociente queda
multiplicado (o dividido) por el mismo valor entero.
EJEMPLO
20 5
0 4
Si al divisor de una división exacta, se le multiplica (o
divide) por un valor entero el cociente queda dividido (o
multiplicado) por el mismo valor entero.
EJEMPLO
40 5
0 8
b) Inestabilidad del Cociente
Si al dividendo y al divisor de una división exacta se les
multiplica (o divide) por un mismo valor entero, el cociente
no varía.
EJEMPLO
40 5
0 8
4.2. División Inexacta o Euclidiana
a) Inexacta por Defecto
b) Inexacta por Exceso
20(5) 5
0 4(5)
40 5(2)
0 8 : 2
40(2) 5(2)
0 8
D d
r q
D d q r
0 r d
e
D d
r q 1
e
e
D d q 1 r
0 r d
D = d x q
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c) Propiedades:
er r d
r d
maxr d 1
mínr 1
d) Alteraciones de la División Inexacta
Por multiplicación de unidades al Dividendo
Alterando el Divisor
Si se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo
valor, el cociente no varía y el residuo queda
multiplicado por el mismo valor.
EJEMPLO
50 6
2 8
Alterando el Cociente
Si se multiplica al dividendo y al cociente por un mismo
valor, el residuo queda multiplicado por dicho valor.
Pero se señala las mismas observaciones que en el
caso por adición.
20 3
2 6
Ejemplo:
Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser
divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente
corresponde.
Resolución
Sea “N” uno de dichos números:
N = 31q + 3q
N = 34q
Además, sabemos: resto < divisor q 3 31
q 31/3 q 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Cantidad de valores =10
50(2) 6(2)
2(2) 8
20(5) 3
2(5) 6(5)
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5. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
Es aquella operación que consiste en multiplicar un número por si
mismo varias veces.
1 4 4 44 2 4 4 4 43n
"n" factores
a =a . a . a . a . a . a ...a =P
Teorema Fundamental
Para que un número entero positivo sea una potencia perfecta de
grado “n”; es condición necesaria y suficiente que todos los
exponentes de los factores primos en su descomposición canónica
sean múltiplos de “n”.
CASOS PARTICULARES
4.1. Cuadrado Perfecto (K2)
Si en su descomposición canónica, los factores primos, están
elevados a exponentes múltiplos de dos.
Donde:
A, B, C, …: factores primos
, , ,...: múltiplos de 2
Características de Exclusión de Cuadrados Perfectos
Si un número termina en: 2; 3; 7 u 8 no puede ser cuadrado
perfecto.
Para que un número, que termina en cero, pueda ser
cuadrado perfecto deberá terminar en una cantidad par de
ceros.
Para que un número que termina en cinco, pueda ser
cuadrado perfecto su cifra de decenas debe ser de dos y su
cifra de centenas 0,2 ó 6.
Si un número es múltiplo de un factor primo; para que pueda
ser cuadrado perfecto deberá ser también múltiplo del
cuadrado de dicho módulo.
N A B C ...
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4.2. Cubo Perfecto (K3)
Si en su descomposición canónica los factores primos, están
elevados a exponentes múltiplos de 3.
Donde:
A, B, C, …: factores primos
, , , ...: múltiplos de 3
Características de exclusión de cubos perfectos
Para que un número que termina en 5, pueda ser cubo
perfecto su cifra de decenas debe ser 2 ó 7.
Para que un número que acabe en cero pueda ser cubo
perfecto debe terminar en una cantidad de ceros múltiplo de 3
Si un número es múltiplo de un factor primo para que pueda
ser cubo perfecto deberá ser también múltiplo del cubo de
dicho factor.
Para que un número pueda ser cubo perfecto debe ser:
o3
k 9 ó
o3
k 9 1
Importante:
Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
Un cuadrado perfecto puede terminar en 0,1,4,5,6,9.
Para que un número sea cuadrado y cubo a la vez de ser:
6
N k
6. RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES
Operación matemática inversa a la potenciación, que consiste en que
dados dos números llamados índice y radicando, se calcula un tercer
número llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca
el radicando.
En general
Donde:
N: es el radicando n: es el índice k: es la raíz “n-ésima”
N A B C ...
nk N n
N k
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6.1. Raíz Cuadrada
a) Raíz Cuadrada Exacta ( R 0 )
En general:
N k
0
2N k
b) Raíz Cuadrada Inexacta ( R 0 )
Se calcula de dos maneras:
Por Defecto:
En general:
d
N k
R 2
dN k R
Condición: d0 R 2k 1
Por Exceso:
En general:
e
N k 1
R
2
eN k 1 R
Propiedades:
d eR R 2k 1
máximoR 2k
mínimoR 1
6.2. Raíz Cúbica
a) Raíz Cúbica Exacta ( R 0 )
En general:
3 N k
0
3N k
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b) Raíz Cúbica Inexacta ( R 0 )
Se calcula de dos maneras:
Por Defecto:
En general:
3
d
N k
R 3
dN k R
Condición: d0 R 3k(k 1) 1
Por Exceso:
En general:
3
e
N k 1
R
3
eN k 1 R
Propiedades:
d eR R 3k k 1 1
máximoR 3k(k 1)
mínimoR 1
PROGRESIONES
Es un conjunto de números que aparecen ordenados, en forma general
una sucesión numérica se escribe así:
1 2 3 ka , a , a , a ,
1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Son aquellas sucesiones en la que se cumple que cualquier término,
después del primero es igual al anterior más una cantidad constante
llamada razón o diferencia
1.1. Notación de una Progresión Aritmética
1 2 3 n-1 na , a , a ,..., a ,a
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O también
De donde:
1a Primer término
na Término de lugar “n” ó último término
r Razón o diferencia
n Número de términos
S Suma de términos
1.2. Propiedades:
a) Un término cualquiera de una P.A.:
b) El primer término de una P.A.:
c) La razón o diferencia de una P.A.:
d) El número de términos de una P.A.:
e) El término central de una P.A.:
n 1a = a + n-1 r
1 na = a - n-1 r
n 1a - ar =
n - 1
n 1a - an = +1
r
1 na + aTc =
2
1 1 1 1 1a , a .r, a 2r, a . n 2 r,a n 1 r
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f) La suma de los “n” primeros términos de una P.A.:
1.3. Medios Aritméticos o Medios Diferenciales de una P.A.:
Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos.
La razón de interpolación
2. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Es una sucesión de números, en la que cada término siguiente es
igual al término anterior multiplicado por una constante llamada razón
de la progresión.
2.1. Notación de una Progresión Geométrica:
O también
De donde:
1t Primer termino
nt Termino de lugar “n” o último termino
1 2 3 n 1 na , a , a , ...... , a , a
"n" términos
"m" medios aritméticos
1 na + aS = × n
2
n 1a - ar =
m + 1
1 2 3 n-1 nt , t , t , ...... , t , t
2 n 2 n 11 1 1 1 1t , t .q , t .q , ... , t q , t .q
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qRazón
n Número de términos
S Suma de términos
P Producto de términos
2.2. Propiedad:
a) Un término cualquiera de una P.G.
b) El primer término de una P.G.
c) La razón de una P.G.
d) El producto de los términos de una P.G.
e) La suma de los “n” primeros términos de una P.G.
f) Suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada:
n-1n 1t = t × q
n1 n-1
tt =
q
nn-1
1
tq =
t
n
n-1
tq =
t
n
1 nP = t ×t
n 1t ×q-tS =
q-1
1tS=1-q
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2.3. Medios Geométricos o Medios Proporcionales de una P.G.
Son los términos de una P.G. comprendidos entre sus extremos:
la razón de interpolación:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Si: C.A. 1ab + C.A 2ab + C.A. 3ab +...+ C.A. 9ab = 41ab El valor de
ba es:
A) 1 B) 6 C) 8 D) 10 E) 4
Resolución
Por dato se tiene:
CA 1ab +CA 2ab +...+CA 9ab = 41ab
3 3 310 -1ab + 10 -2ab +...+ 10 -9ab = 41ab
39×10 - 1ab+2ab+...+9ab = 4100+ab
3 1ab+9ab9×10 - ×9 = 4100+ab
2
9000- 500+ab ×9 = 4100+ab
a + b = 4
CLAVE : E
1 2 3 n 1 nt , t , t , ...... , t , t
"m" medios geométricos
"n" términos
400 10 ab ab 40
nm+1
1
tq =
t
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2. Si en una división, el residuo por exceso, residuo por defecto, divisor y
cociente son números pares consecutivos. El valor del dividendo es:
A) 25 B) 52 C) 48 D) 60 E) 56
Resolución
Al ser pares consecutivos, entonces cada uno es igual al anterior
incrementado en 2 unidades.
eR =N ; dR =N+2 ; d=N+4 ; q=N+6
Sabemos que:
R + R = de d
N+2 + N = N+4 N=2
R = 2e ; R =4d ; d = 8 ; q=8
D = 6 8 + 4 = 52
CLAVE: B
3. La suma de 3 números en P.A. es 15, si a estos números se agregan el doble de la razón excepto al término central entonces ahora se encontrarán en P.G. indicar la razón de esta última progresión.
A) 20
3 B) -3 C) 5 D)
10
3 E)
5
3
Resolución
Sea la progresión aritmética: a - r, a, a + r
La suma de los términos es: 3a = 15 ⟹ a = 5
Por condición
5 – r, 5, 5 + r
5+r, 5, 5+ 3r P.G.
La razón es: 5 5 3r
5 r 5
⟺ 25 5 r 5 3r
225 25 20r 3r
23r 20r
20r
3
CLAVE: A
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4. Al extraer la raíz cúbica de abc se obtuvo como residuo por exceso
259 y por residuo por defecto 12. El valor de a x b es:
A) 14 B) 15 C) 18 D) 28 E) 56
Resolución
Por raíz cúbica sabemos:
d eR +R =3k k+1 +1
271=3 k k+1 +1
Resolviendo:
9 = k
3 3M=K +12=9 +12=741=abc
a = 7; b = 4; c = 1
a x b = 28 CLAVE: D
5. La cantidad de números de cuadrados perfectos de la forma 13 -4o
que
se encuentran entre 924 y 5960 es:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Resolución
Sea el número: 2N=K y 0
N=13 -4
2924<K < 5960
30,3<K<77,2
K = 31; 32; 33;…….; 77.
02N=13 -4=K
0213 -13=K -9
Hay 7 números.
CLAVE: D
eR 259
dR 12271
0
13 K 3 K 3
0
13 3 42,55,68
0
13 3 36,49,62,75