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L.S.El Riadh Nombres complexes Mr Zribi
4 ére Sc Solutions
2010-2011
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Exercice 1:
A=(2-i)²(3-2i)(1+3i)=(3-4i)(9+7i)=27+28+i(21-36)=55-15i.
B=55+15i= A
C=(1 i )(1 i ) 2( 3 2i ) 6 4i 3 2
i3 2i ( 3 2i )( 3 2i ) 10 5 5
Exercice 2:
1/ pour tout z4
1 i
;
( 3 i ) z 1 i 1 i
( 1 i ) z 4 1 2i
(3+i)(1+2i)z+(1-i)(1+2i)=(1+i)²z-4(1+i)
z[(3+i)(1+2i)-(1+i)²]= -4(1+i)-(1-i)(1+2i)
z[1+7i-2i]= -4-4i- (3+i)
z(1+5i)= -7-5i
z= 4 5 i
1 5 i
donc SC = {4 5 i
1 5 i
}.
2/ (1+2i)z-4 z =2-3i (E) ; on pose z=x+iy
(E) deviant: (1+2i)(x+iy)-4(x-iy)=2-3i
x-2y+i(2x+y)-4x+4iy=2-3i
-3x-2y+i(-2x+5y)=2-3y
3 x 2 y 2 6 x 4 y 4
2 x 5 y 3 6 x 15 y 9
5y
11 y 5 11
2 x 5 y 3 252 x 3
11
5y
11
8x
22
donc z= 8 5
i22 11
et SC= {
8 5i
22 11
}.
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3/
z 3i1 i ; z i
z i
z 3 i ( 1 i )( z i )
z ( 1 ( 1 i ) i ( 1 i ) 3 i
z ( i ) 1 2 i
1 2 iz 2 i
i
z 2 i
donc SC={2+i}
4/ 4z²+8|z|²-3=0 (E) ; on pose z=x+iy
(E) devient 4(x²-y²+2ixy)+8(x²+y²)-3=0
12x²+4y²-3+2ixy=0
12 x ² 4 y ² 3 0
xy 0
12 x ² 4 y ² 3 0 12 x ² 4 y ² 3 0ou
x 0 y 0
13xy
ou 22
y 0x 0
SC ={3 1
i , }2 2
Exercice 3:
1/ si z est solution de (E) z4-2z
3+3z²-2z+2=0
4 3
4 3 2
2 3 z ² 2 z 2 0 0z z
2 3 2 z 2 0z z z
z est solution de (E).
2/ i4-2i
3+3i²-2i+2=1+2i-3-2i+2=0 i est solution de (E).
(1+i)4-2(1+i)
3+3(1+i)²-2(1+i)+2=(2i)(2i)-2(-2+2i)+6i-2-2i+2
= -4+4-4i+6i-2-2i+2=0 (1+i) est solution de (E).
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b) i est solution de (E) i i est solution de (E).
(1+i) est solution de (E) 1 i 1 i est solution de (E).
c) P(z)= (z-i)(z+i)(z-(1+i))(z-(1-i))=(z²+1)(z²-2z+2).
Exercice 4:
1/
( 3 4 i )1 2 i 4 8 i ( 3 4 i )( 1 2 i ) 4 8 if ( 1 2 i )
5 5
15 10 i3 2 i
5
donc A'(3,-2).
2/ soit z=x+iy;
( 3 4 i )( x iy ) 4 8 i 3 x 4 y 4 4 x 3 y 8f ( z ) i
5 5 5
3 x 4 y 4 4 x 3 y 8Re( f ( z )) et Im( f ( z ))
5 5
soit M(z=x+iy) tel que f(z)=z
f(z)=z
3 x 4 y 4x
Re( f ( z )) x 52 x 4 y 4 0
Im( f ( z )) y 4 x 3 y 8y
5
d’où M décrit la droite ∆: -x+2y+2=0.
3/ M(z=x+iy) med[AA'] MA=MA' |1+2i-z|=|3-2i-z|
|1-x+i(2-y)|=|3-x-i(2+y)|
(1-x)²+(2-y)²=(3-x)²+(2-y)²
1-2x+x²+4-4y+y²=9-6xx²+4+4y+y²
-8+4x-8y=0
M ∆. Exercice 5:
1/ M(z=x+iy)D |z-3i|=|z+2-i|
|x+i(y-3|=|x+2+i(y-2)|
x²+(y-3)²=(x+2)²+(y-1)²
x²+y²-6y+9=x²+4x+4+y²-2y+1
4x+4y-4=0
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x+y-1=0
d’où D est la droite d'équation x+y-1=0.
2/ |z-3i|=AM ; |z-(-2+i)|=BM
MD AM=BM M décrit la médiatrice de [AB].
Donc M est la médiatrice de [AB].
c) M(z=x+iy)D MA=MB x+y-1=0
donc D: x+y-1=0 Exercice 6:
1/ soit A(-1+i); |z+1+i|=4 AM=4 M décrit le cercle de centre A et de
rayon 4.
2/ |(1+i)z-2i|=2 |(1+i)(z-2 i
1 i)|=2
|1+i||z-2i (1 i )
(1 i )(1 i )
|=2
2|z-(1+i)|=2 |z-(1+i)|=1
soit B(1+i); |z-(1+i)|=1 BM=1 M décrit le cercle de centre B et de
rayon 1.
3/ soit A(3-2i) , B(-2+i)
|z-(3-2i)|=|z-(-2+i)| AM=BM M décrit la médiatrice de [AB].
4/ soit z=x+iy;
|z+1|=| z -1| |x+1+iy| =|x-1-iy|
(x+1)²+y²=(x-1)²+y²
x²+2x+1+y²=x²-2x+1+y²
x=0
M décrit la droite d'équation x=0.
5/ z0 ; |z|=1
z=|z-1|
1z
z
z z 1
z 1
z z 1
OM 1
OM AM ; A( 1 )
donc M est sur l'intersection du cercle de centre O , de rayon 1 et la médiatrice de
[OA]. Exercice 7:
1/ a) f(A) d'affixe: -i(1-2i)+(1+i)(1+2i)= -3+2i.
b) soit C(z=x+iy) tel que f(B)=C;
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-1+3i= -iz+(1+i) z -1+3i= -i(x+iy)+(1+i)(x-iy)
-1+3i= -ix+y+x-iy+ix+y
-1+3i =2y+x+-iy
x 2 y 1 x 5
y 3 y 3
2/ M(z=x+iy) invariant par f f(M)=M
z= -iz+(1+i) z x+iy=(x+2y)-iy
x 2 y x
y 0y y
z= ix ; xIR.
E={ix; xIR}. Exercice 8:
1/ a)
2x iy 2 [( x 2 ) iy ]
Zx iy 2 [( x 2 ) iy ][( x 2 ) iy ]
( x 2 )² y ² 2 iy ( x 2 )
( x 2 )² y ²
( x 2 )² y ² 2 y ( x 2 )i
( x 2 )² y ² ( x 2 )² y ²
2 y ( x 2 )donc Im Z
( x 2 )² y ²
( x 2 )² y ²b ) Re Z
( x 2 )² y ²
2/ Z imaginaire pur ReZ=0
(x+2)²-y²=0 ; (x,y) (-2,0)
(x+2-y)(x+2+y)= 0 ; (x,y) (-2,0)
x+2+y= ou x+2-y=0 ; (x,y)0
E=∆U∆' / {A(-2,0)} avec ∆: x+2+y=0 et ∆': x+2-y=0. Exercice 9:
1/ soit z=x+iy;
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f ( z ) z z ² z ( x iy )² x iy x ² y ² 2 ixy x iy
x ² y ² x x ² x y ² 0
2 xy y y ( 2 x 1 ) 0
x ² x y ² 0x ² x y ² 0
ou 1y 0 x
2
3y ²
x ( x 1 ) 0 4ou
y 0 1x
2
3 3y yx 0 x 1 2 2ou ou ou
y 0 y 0 1 1x x
2
2
z{0,1, 1 3
2 2
}
2/ soit z=x+iy ; f(z)=x²-y²-2ixy ;
x x ² y ²MOM ' rec tan gle en O OM .OM ' 0 ;M O avec OM etOM '
y 2 xy
x ( x ² y ²) y ( 2 xy ) 0 ; ( x , y ) ( 0 ,0 )
x ( x ² 3 y ²) 0 ; ( x , y ) ( 0 ,0 )
x 0 ou ( x 3 y )( x 3 y ) 0 ;( x , y ) ( 0 ,0 )
x 0 ou x 3 y 0 ou x 3 y 0 ;( x , y ) (
0 ,0 )
L'ensemble des points M est la réunion des droites ∆, ∆', ∆'' d'équations respectives
x=0, x-3y=0, x+3y=0 privées du point O(0,0). Exercice 10:
1 / ( z ) ( z j )( z j ) z ² j z jz j j
2z ² z ( j j ) j ² z ² z ( 2 cos ) 1
3
z ² z 1
2/ soit z=x+iy;
a)(z)=z²+z+1=(x+iy)²+(x+iy)+1=(x²-y²+x+1)+i(2xy+y).
(z) réel Im((z))=0 y(2x+1)=0 y=0 ou 2x+1=0.
E= ∆U ∆' avec ∆:y=0 et ∆':2x+1=0
b) (z) imaginaire pur Re((z))=0 x²-y²+x+1=0
F={M(x,y), x²-y²+x+1=0}
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3/ M(x,y)EF
1y 0 x
ou 2x ² y ² x 1 0
x ² y ² x 1 0
1x
y 0 2ou
x ² x 1 0 impossible 3y
2
EF={A(1 3 1 3
, ),B( , )2 2 2 2
}
Exercice 11:
1/a) i ( 3 2 i ) 1 1 i 3 2 3 2i 3 1
( 3 2i ) i4 2 23 2i i 3 i
.
b) z=x+iy i ;
i z 11 i i z 1 ( 1 i )( z i )
z i
i ( x iy ) 1 ( 1 i )( x iy 1 )
y 1 ix x y 1 i ( y x 1 )
y 1 x y 1 x 0z i ce qui est impossible
x y x 1 y 1
SC =
2/ z=x+iy; i ( x iy ) 1 ( y 1 ) ix [( y 1 ) ix )][ x i ( y 1 )]
( z )x iy i x i ( y 1 ) x ² ( y 1 )²
x ( y 1 ) x ( y 1 ) i ( x ² ( y 1 )²]
x ² ( y 1 )²
x ² ( y 1 )²Im( ( z ))
x ² ( y 1 )²
(z) reel Im((z))=0 x²-(y-1)²=0 ; (x,y)(0,1)
(x-y+1)(x+y-1)=0 (x,y)(0,1)
x-y+1=0 ou x+y-1= ; (x,y)(0,1)
F=∆U ∆' / {A(0,1)} avec ∆:x-y+1=0 et ∆': x+y-1=0. Exercice12:
1/ a) l'affixe de f(M1) est i 2 i 1
i ( ) ii i 2
.
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L'affixe de f(M2) est
3 1i 2 i
3 5 i 1 4 i2 2i ( ) i ( )3 1 3( 1 i ) 3
i i2 2
b) soit M(z); z 2 i z 2 i
2 i i ( ) 2 i 1 ( 2 i 1 )( z i ) z 2 iz i z i
z ( 2 i 1 ) 2 i z 2 i z ( 2 i 2 ) i 2
2 i ( 2 i )( 1 i ) 3 iz
2 2 i 4 4
2/ soit z=x+iy; x iy 2 i [ x i ( y 2 )][ x i ( y 1 )]
Z i ( ) i (x iy i [ x i ( y 1 )][ x i ( y 1 )]
x ² ( y 2 )( y 1 ) x ( y 2 ) x ( y 1 )i ( i )
x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²
3 x x ² y ² y 2i
x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²
a) Z imaginaire pur Re(Z)=0 x=0 ; (x,y) (0,-1)
E est la droite d'équation x=0 privée du point de coordonnées (0,-1).
b) Z réel Im(Z)=0 x²+y²-y-2=0 ; (x,y) (0,-1)
x²+(y-1 3
)² ²2 2
; (x,y) (0,-1)
F est le cercle de centre I(0,1
2) et de rayon
3
2 privé du point de coordonnées (0,-1)
c)z -i; f(M) (O,1) |Z|=1
z 2 ii 1
z i
z 2 ii 1
z i
z 2 i z i
AM BM avec A( 2 i ) et B ( i )
G est la médiatrice de [AB]. Exercice 13:
1/ z=(1-i)(1+2i)=3+i
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2 6 i ( 2 6 i )( 3 i )z ' 2 i
3 i 10
4 i 4 i ( i 1 )z '' 2 2 i
i 1 2
2/ a) z '' z 1 3i ( 1 3i )( 3 i )
iz ' z 3 i 10
z '' zi 1
z ' z
z '' z MM ''et
z ' z MM '
donc MM '' MM '
par suite MM'M'' est un triangle isocèle de sommet principale M.
b) on a: M(3,1), M'(0,2) , M''(2,-2), 3 1
MM ' et MM ''1 3
.
MM '.MM '' 3 3 0 donc MM'M'' est triangle rectangle en M.
3/ G est le centre de gravité de MM'M'' GM GM ' GM '' O
z-zG+z'-zG+z''-zG=0 5+i-3zG=0
zG=5 i
3
4/ le triangle MM'M'' rectangle isocèle en M; pour que MM'M'''M'' soit un carré il
suffit qu'il soit un parallélogramme.
MM ' M '' M ''' z'-z=zM''' -z'' zM'''=-1-i Exercice 14:
1/ a) z i; M=M' z=z' z(z-i)=iz
z²-iz= iz z(z-2i)=0 z=0 ou z=2i.
E={M1(0),M2(2i)}
b) le point B' d'affixe: i i ( i 1 ) 1 1
ii 1 2 2 2
c) soit z i l'affixe de C;
iz2
z i
2(z-i)=iz z(2-i)=2i
2 i 2 i ( 2 i ) 2 4z i
2 i 5 5 5
2/ a) z=x+iyi ;
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iz i ( x iy ) y ix [ y ix ][ x i ( y 1 )]
z i x iy i x i ( y 1 ) x ² ( y 1 )²
yx x ( y 1 ) x ² y ( y 1 )i
x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²
x x ² y ² yi
x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²
x x² y² yx ' et y '
x² ( y 1 )² x² ( y 1 )²
b) z i;
z'iIR x'=0 x=0
=D –{A(i)}.
z' IR+ y'=0 et x' ≥ 0 x²+(y-1 1
)² ( )²2 2
et x ≥0
' est l'arc OA du cercle d'équation : x²+(y-1 1
)² ( )²2 2
privé du point A(i).
3/ a) zi; iz iz iz 1 1
z ' i iz i z i z i
b) si M(A,1) AM=1 |z-i|=1
mais zi; |z-i||z'-i|=|-1|=1
|z'-i|=1 AM'=1
M' (A,1) Exercice 15:
z=1+i;
r 1² 1² 2
1 2cos
22[ 2 ]
41 2sin
22
z [ 2 , ] 2 (cos i sin )4 4 4
1 [1,0 ] 1 2[ , ] (cos i sin )
z 4 2 4 42[ 2 , ]4
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z [ 2 , ] 2 (cos i sin )4 4 4
.
33 3 3
[ 2 2 ,3 ] 2 2 (cos i sin )[ 2 , ]z4 4 44
.
Exercice 16:
6 4 i ( 2 4 i )( 5 i ) 26 26 iz 1 i
5 i 26 26
=[2, ] 2 (cos i sin )
4 4 4
5
5 5 5[4 2 ,5 ] 4 2 (cos i sin )[ 2 , ]z
4 4 44
3
1 [1,0 ] 1 2 3 3[ , 3 ] (cos i sin )
4 4 4 42 2z [ 2 2 ,3 ]4
Exercice 17:
z1=1+i=[2, ] 2 (cos i sin )4 4 4
.
z2=3+i;
2
r 3 1 4 2
3cos
2 [ 2 ]61
sin2
[ 2 , ] 2(cos i sin )z6 6 6
z3=1-3i;
3
r 3 1 4 2
1cos
2[ 2 ]
33sin
2
[ 2 , ] 2(cos i sin )z3 3 3
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1 2 3
1 3
2
[ 2 , ][ 2 , ][ 2 , ] [ 4 2 , ]z z z4 6 3 12
[ 2 , ][ 2 , ] [ 2 2 , ]z z 4 3 12 [ 2 , ]
4z [ 2 , ] [ 2 , ]6 6
332 [8 , ][ 2 , ] [16 , ]z z
2 3 6
Exercice 18:
a) 2
z 2 i [ 2 , ]i 2
b)3 3 3 3
z i ( 1 i 3 )2 2 2
=3
u2
u= -1+3i;
r 3 1 4 2
1cos
22[ 2 ]
33sin
2
2 2 2u [ 2 , ] 2(cos i sin )
3 3 3
3 2 2 2 2z [ ,0 ][ 2 , ] [ 3 , ] 3(cos i sin )
2 3 3 3 3
c) xIR; z= - 3(cosx-i sinx)= -3( cos(-x)+isin(-x))=3(cos(-x)+isin(-x)).
d) 4 4 4
42 i 2 1 i ( 1 i )²z 2 2 2i 2
1 i 1 i 2
Exercice 19:
1/ z=1+i=[2, ] 2 (cos i sin )4 4 4
.
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z'=3+i;
r 3 1 4 2
3cos
2 [ 2 ]61
sin2
z ' [ 2 , ] 2(cos i sin )6 6 6
[ 2 , ]z ' 6 [ 2 , ] 2 (cos i sin )z 12 12 12
[ 2 , ]4
2/ z 1 1 1 1
[ , ] (cos i sin )z 'z ' 12 12 122 2[ 2 , ]z 12
.
z 1 i ( 1 i )( 3 i ) ( 3 1 ) i ( 3 1 )
z ' 4 43 i
3/
1 3 1 3 1(cos i sin ) i
12 12 4 42
6 2 6 2cos i sin i
12 12 4 4
6 2 6 2cos et sin
12 4 12 4
Exercice 20:
1/
u=-3+3i;
r 18 3 2
3 2cos
2 33 2[ 2 ]
43 2sin
23 2
3 3 3u [ 3 2 , ] 3 2 (cos i sin )
4 4 4
2/
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7 7 3 7uz 6 2 (cos i sin ) [ 3 2 , ] z [6 2 , ]
12 12 4 12
7[6 2 , ]
12z [ 2 , ] 2(cos i sin )3 6 6 6
[ 3 2 , ]4
3 1z 2( i sin ) 3 i
2 2
b) uz= (-3+3i)(3-i)=(-33+3)+i(33+3)
(-33+3)+i(33+3)=7 7
( 6 2 cos ) i ( 6 2 sin )12 12
7 76 2 cos 3 3 3 et 6 2 sin 3 3 3
12 12
7 3 3 3 6 2 7 6 2cos et sin
12 4 12 46 2
Exercice 21:
a=1+cos2+isin2=2cos²+2isincos=2cos(cos+isin)
]0,/2[ cos >0
par suite |a|=2cos et Arga=[2].
b=1+cos2 -isin2=2cos² -2isincos=2cos(cos-isin)
=2cos[cos(-)+isin(-)]
par suite |b|=2cos et Argb= -[2].
c=
sin1 i
1 itg cos i sin [1 , ]cos [1 ,2 ]sin1 itg cos i sin [1 , ]
1 icos
Exercice 22:
1/ A(0,2).
b=-3+i;
r 3 1 4 2
3cos
52 [ 2 ]61
sin2
5b [ 2 , ]
6
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on a:
|b|=2 OB=2 le point B est sur le cercle de centre O et de rayon 2.
Arg(b)=5 5
[ 2 ] ( i ,OB ) [ 2 ]6 12
.
D’où une construction du point B.
On a: c=b donc C est le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses.
2/
a ba b BAZ
c b c b BC
a bArg ( Z ) Arg ( ) [ 2 ]
c b
Arg ( a b ) Arg ( c b ) [ 2 ]
( i ,BA ) ( i ,BC ) [ 2 ]
( BC ,i ) ( i ,BA ) [ 2 ]
( BC ,BA ) [ 2 ]
b) 2i ( 3 i ) 3 i 1 3
Z i2 i 2 2( 3 i ) ( 3 i )
Z=1 3
i2 2
1 3r 1
4 4
1cos
22[ 2 ]
33sin
2
2 2 2Z [1 , ] cos i sin
3 3 3
c) BA
Z 1 BA BC ABC est isocèle en BBC
2 2A rg Z [ 2 ] ( BC ,BA ) [ 2 ]
3 3
Exercice 23:
1/ z1=-1-i= -1(1+i)=[1,][5
2 , ] [ 2 , ]4 4
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z2=-1+i3;
2
r 3 1 4 2
1cos
22[ 2 ]
33sin
2
2 2 2[ 2 , ] 2(cos i sin )z
3 3 3
2/
1
2
52 ,
2 7 2 7 74zZ , (cos i sin )
2 2 12 2 12 12z 2 ,3
1 i ( 1 i )( 1 i 3 ) 1 3 1 3Z i
4 4 41 i 3
3/
2 7 7 1 3 1 3(cos i sin ) i
2 12 12 4 4
1 7 1 3 1 7 1 3cos et sin
12 4 12 42 2
7 2 6 7 2 6cos et sin
12 4 12 4
Exercice 24:
A/ 1/
z0=i3-i;
0
r 3 1 4 2
1cos
22[ 2 ]
33sin
2
2 2 2[ 2 , ] 2(cos i sin )z
3 3 3
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4
4 40
n
n n0
822 , ,z 2
3 3
2 n22 , ,z 2
3 3
2/ z0n reel
2 n
3
2k; kZ n=3k, kZ.
le plus petit entier nIN* est 3.
B/ 1/ z1=-z=-r(cos+isin)=r(cos(+)+isin(+))=[r,+].
z2= z =[r,-]=r(cos(-)+isin(-))
2/ |z|=[z1|=|z2|=r OM=OM1=OM2 M, M1 , M2 sont sur le cercle de centre
O et de rayon 2, c'est le cercle de diamètre [MM1] et par suite MM1M2 est
rectangle en M.
3/ M2M =M2M1 |z-z2| =|z1-z2| (2rcos)²+(2rsin)²=(2rcos)²
sin =0 =k; kZ.
C/ z²=[r²,2]=r²(cos2+isin2)
(i3-1) z =[2,2 2
][ r , ] [ 2 r , ]3 3
2/ a) si z est solution de (E) |z²|=|(i3-1) z | r²=2r r(r-2)=0 r=0 ou
r=2 mais r>0 donc r=|z|=2.
b) si z est solution de (E) arg(z²)=arg((i3-1) z ) [2]
2 =2
3
- [2]
3 =2
3
[2]
Exercice 25:
1) a) M(z) invariant par f f(M)=M z=(1-i)z-1 z=i
le point A est le seul point invariant par f.
b)
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i i( )i i4 4
4 4 4 i( )i( ) i( ) i( )2 82 2 2
3i( ) i( )
2 8 2 2 8
1 iz' e 1 e e 1 e 1
2
e e e e 2i sin( )2 8
2 sin( )e 2 sin( )e2 8 2 8
3ona : sin( ) 0
2 4 2 2 8 2 8 8 2 8
.
2) a) 1
arg( z') arg((1 i )z 1)[ 2 ] arg((1 i )( z ))[ 2 ]1 i
1 iarg(1 i ) arg( z )[ 2 ] ( i,BM )[ 2 ]
2 4
b)
*z' arg z' [ 2 ] ( i,BM ) [ 2 ]4
5( i,BM ) [ 2 ]
4
par suite E=[BA)\{B}.
3) z'=z-iz-1 z'-z=i(i-z)
|z'-z|=|i||i-z| |z'-z|=|i-z| MM' =MA donc MAM' est isocèle en M.
z' z
arg( ) arg i[ 2 ] ( MA,MM ' ) [ 2 ]i z 2
d'ou MAM' est rectangle en M.
b)
Étant donnée un point M , on place le point M' tel que MAM' est un triangle
direct rectangle isocèle en M. ( ( M , )
2
M ' r ( A ) )
z''= z' par suite M'' =( O,i )
S (M').
étant donnée un point M, on place le point M' puis le point M''=( O,i )
S (M')
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Exercice 26:
a) soit z=x+iy i;
z'=i ( x iy ) y ix [ y ix ][ x i ( 1 y )] xy x ( 1 y ) i [ x ² y ( 1 y )]
x iy i x i ( 1 y ) x ² ( 1 y )² x ² ( 1 y )²
d'ou x x ² y ( 1 y )
Re( z ') et Im( z ')x ² ( 1 y )² x ² ( 1 y )²
z'IR Im(z')=0 x²+y²-y=0 x²+(y-1
2)²=
1
4
E est le cercle de centre I(0,1
2), de rayon
1
2 privé du point A(0,
1
2).
b) zi, |z'|=|i ziz OM
z ' |z i z i AM
.
|z'|=1 OM=AM
F est la médiatrice de [OA]. Exercice 27:
A/ 1/
z0=i3-i;
0
r 3 1 4 2
1cos
22[ 2 ]
33sin
2
2 2 2[ 2 , ] 2(cos i sin )z
3 3 3
4
4 40
n
n n0
822 , ,z 2
3 3
2 n22 , ,z 2
3 3
2/ z0n reel
2 n
3
2k; kZ n=3k, kZ.
le plus petit entier nIN* est 3.
B/ 1/ z1=-z=-r(cos+isin)=r(cos(+)+isin(+))=[r,+].
z2= z =[r,-]=r(cos(-)+isin(-))
2/ |z|=[z1|=|z2|=r OM=OM1=OM2 M, M1 , M2 sont sur le cercle de centre
O et de rayon 2, c'est le cercle de diamètre [MM1] et par suite MM1M2 est
rectangle en M.
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3/ M2M =M2M1 |z-z2| =|z1-z2| (2rcos)²+(2rsin)²=(2rcos)²
sin =0 =k; kZ.
C/ z²=[r²,2]=r²(cos2+isin2)
(i3-1) z =[2,2 2
][ r , ] [ 2 r , ]3 3
2/ a) si z est solution de (E) |z²|=|(i3-1) z | r²=2r r(r-2)=0 r=0 ou
r=2 mais r>0 donc r=|z|=2.
b) si z est solution de (E) arg(z²)=arg((i3-1) z ) [2]
2 =2
3
- [2]
3 =2
3
[2]
Exercice 28:
a) z 2i;
z' imaginaire pure
z ' z '
2 z 2 z
z 2 i z 2 i
2 z z 4 iz 2 z z 4 i z
z z 4 i ( z z ) 0 posons z x iy
x ² y ² 4 i ( 2 iy ) 0
x ² y ² 8 y 0
x ² ( y 4 )² 16
E est le cercle de centre I(0,4) et de rayon 4..
b) z2i; 2 z OM
z ' 2z 2 i AM
|z'|=2 OM=AM
F est la médiatrice de [OA]. Exercice 29:
1/ a) z=3+4i i ( 3 4 i ) i ( 3 4 i )² i ( 7 24 i ) 24 7 i
z '( 3 4 i ) 25 25 25
b) z'= -1 iz= - z posons z=x+iy
i(x+iy)= -(x-iy) -y+ix= -x+iy x=y
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donc z=x+ix, xIR
2/ |z'|=i z
1 ( z zz
)
|z'|=1 OM'=1
don M' décrit le cercle de centre O et de rayon1.
3/ i i
i ( 2 )22i
iz rz '
z r
e ee
e
.
4/ z0;
z' imaginaire pur Arg(z') k2
2+ k2 2
, kZ
=k2
, kZ
E est la réunion des droites (O, j ) et(O, i ) privée de O.
Deuxième méthode
z' imaginaire pur z'= - z '
iz i z
zz
iz ² i z ²
z ² z ²
z z ou z z
E est la réunion des droites (O, j ) et(O, i ) privée de O.
z' réel z'= z '
iz i z
zz
iz ² i z ²
z ² z ² posons z x iy
x ² y ² 2 ixy x ² y ² 2 ixy
x ² y ² 0
x y ou x y
F est la réunions des droites :y=x et ':y=-x privée de O . Exercice 30:
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1/ zA=3 1 5 5
i cos i sin2 2 6 6
zB=1 3
1 i 3 2( i ) 2(cos i sin )2 2 3 3
2/ zA'= -2izA=1+i3
zB'= -2izB=23-2i
3/ z'-(1+i3)= -2iz-(1+i3)= -2i(z+1 i 3 3 i
) 2 i ( z )2 i 2
b) |z'-(1+i3)|=|2i||z-3 i
2
| BM'=2AM
c) M(A,1) AM=1 donc BM'=2
par suite M' décrit le cercle de centre B et de rayon 2.
4/ a) z'= -2ire i
=2r i i i ( )2 22 re e e
b)
Argz ' [ 2 ] [ 2 ]4 2 4
3[ 2 ]
4
3[ 2 ]; M O
4( i ,OM )
d'ou M décrit la demie droite d'origine O faisant avec l'axe des abscisses un
angle de 3
4
privée du point O.
Exercice 31:
1/ a) z -i; |f(z)|=z i1 iz i ( z i ) AM
1 iz i ( z i ) z i BM
b) BM ; |f(z)|=1 AM=BM
D'ou E est la médiatrice de [AB]
2/ z i, z -i;
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z iArg ( f ( z )) Arg ( )[ 2 ]
z i
Arg ( 1 ) Arg( z i ) Arg ( z i )[ 2 ]
[ 2 ]
[ 2 ]
[ 2 ]
( i ,AM ) ( i ,BM )
( BM ,AM )
( MA ,MB )
f(z)IR-* Arg(f(z)) [ 2 ]
0 [ 2 ]( MA ,MB )
E est la droite (AB) privée du segment [AB].