LuK PVarvia

Approksimaatiovirhemenetelmään perustuvavaimennuksen korjaus emissiotomografiassa

Petri VarviaLuonnontieteiden kandidaatin tutkielma

Sovellettu fysiikkaItä-Suomen yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos

2. syyskuuta 2012

ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekuntaSovellettu fysiikka, Laskennallinen ja teknillinen fysiikkaVarvia Petri Mikael: Approksimaatiovirhemenetelmään perustuva vaimennuksen kor-jaus emissiotomografiassaLuonnontieteiden kandidaatin tutkielma, 30 sivuaTutkielman ohjaaja: Dosentti Aku Seppänen, FTSyyskuu 2012

Avainsanat: approksimaatiovirhemenetelmä, inversio-ongelma, SPECT, vaimennuk-sen korjaus, TV-priori

Tiivistelmä

Yksifotoniemissiotomografia (Single Photon Emission Computed Tomograp-hy, SPECT) on kuvantamismenetelmä, jossa kohteesta lähtevää gammasäteilyämitataan gammakameralla eri kulmista. Gammakuvien eli projektioiden perus-teella estimoidaan aktiivisuusjakaumaa kohteen sisällä. SPECT:n yleisin käyt-tökohde on lääketieteellisessä kuvantamisessa, jossa potilaalle annettu radioak-tiivinen merkkiaine kertyy kudoksiin. SPECT:a käytetään yleisesti esimerkiksisydämen perfuusiokuvauksessa, jolla voidaan diagnosoida sydänlihaksen veren-kiertohäiriöitä.

Gammasäteilyn vaimeneminen kuvauskohteessa tuottaa ongelmia aktiivi-suusjakauman estimoinnissa. Kohteen sisältä lähtenyt säteily vaimenee enem-män kuin reuna-alueilta tuleva. Jos kohteen vaimennusjakauma on tunnettu,on vaimennuksen vaikutuksen korjaus yksinkertaista. Käytännössä vaimennus-jakauma on usein tuntematon. Tuntematon vaimennusjakauma on yksi tär-keimpiä SPECT:n kuvanlaatuun heikentävästi vaikuttavia tekijöitä.

Tässä työssä kehitetään uusi, approksimaatiovirhemenetelmään perustuva,laskennallinen menetelmä tuntemattomasta vaimennuksesta aiheutuvan vir-heen korjaamiseen SPECT:ssa. Approksimaatiovirhemenetelmä on uusi lasken-nallinen menetelmä, jossa mallinnusvirheet mallinnetaan tilastollisesti. Työssäkehitetyn vaimennuskorjausmenetelmän toimivuutta testataan tietokonesimu-laatiolla ihmisen rintakehää pelkistetysti kuvaavan fantomin tapauksessa.

Sisältö

1 Johdanto 4

2 Yksifotoniemissiotomografia 6

2.1 Suora malli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Rekonstruktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Estimointiteoriaa 10

3.1 Regularisointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Tilastollinen inversio 12

4.1 Estimaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Priorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.1 Gaussiset priorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.2 Totaalivariaatiopriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.3 Positiivisuusrajoite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Approksimaatiovirhemenetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3.1 Approksimaatiovirheen odotusarvo ja kovarianssi . . . . . . . 18

5 Vaimennuksen korjaus approksimaatiovirhemenetelmällä 20

5.1 Rintakehän mallinnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Approksimaatiovirhemenetelmän toteutus . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3 Inversio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4 Tulokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Pohdinta 27

Viitteet 28

3

1 Johdanto

Yksifotoniemissiotomografia (Single Photon Emission Computed Tomography,SPECT) [36] on kuvantamismenetelmä, jossa kohteesta lähtevää gammasäteilyä mi-tataan gammakameralla eri kulmista kohteen ympärillä. Kohteesta otettuja gamma-kuvia nimitetään projektioiksi. Näiden projektioiden perusteella estimoidaan aktiivi-suusjakaumaa kohteen sisällä. Tätä prosessia nimitetään rekonstruktioksi. SPECT:nyleisin käyttökohde on lääketieteellisessä kuvantamisessa, jolloin potilaalle annetturadioaktiivinen merkkiaine kertyy kudoksiin, esimerkiksi kasvaimiin tai sydänlihak-seen. Tällöin rekonstruktiona saadaan merkkiaineen jakautuminen potilaassa, minkäperusteella voidaan tunnistaa kasvaimia tai sydämen verenkiertohäiriöitä.

Merkkiaineesta lähtenyt säteily vaimenee kulkiessaan kudosten läpi. Kohteen vaimen-nusjakauma on yleensä tuntematon. Tuntematon vaimennusjakauma on yksi SPECT:nkuvanlaatua eniten heikentäviä tekijöitä. Käytettäessä väärää vaimennusjakaumaalaskennassa, on rekonstruktio virheellinen erityisesti kohteen sisäosissa, joista lähte-nyt säteily on vaimentunut voimakkaimmin. Vaimennuksen korjaus parantaa SPECT-kuvien perusteella tehtyä diagnosointia merkittävästi [21, 10].

Vaimennuksen korjaamiseen on esitetty kirjallisuudessa useita eri menetelmiä. Me-netelmät voidaan jakaa karkeasti kahteen tyyppiin: vaimennusjakaumaa voidaan jo-ko approksimoida erillisen transmissiokuvauksen perusteella tai estimoida emissioda-tasta. Transmissionkuvaukseen perustuvista menetelmistä nykyisin ehkä käytännönkannalta merkittävin on SPECT/CT, jossa SPECT-kuvauslaitteistoon on yhdistet-ty röntgentomografialaitteisto. Menetelmä vaatii kuitenkin uuden kuvauslaitteistonhankkimista ja röntgenkuvaus kasvattaa potilaalle koituvaa säteilyannosta. Menetel-mät joissa vaimennuksen korjaus tehdään ilman erillistä transmissiomittausta, perus-tuvat yleensä joko vaimennusjakauman lisäämiseen tuntemattomiksi, estimoitaviksiparametreiksi [26] tai jonkin pelkistetyn vaimennusmallin sovittamiseen [35]. Vaimen-nuksen korjaus tällä tavoin lisää tuntemattomien muuttujien määrää ongelmassa jatekee siitä laskennallisesti vaikeamman ja merkittävästi raskaamman.

Rekonstruktio SPECT:n tapauksessa on yleensä inversio-ongelma. Inversio-ongelmallatarkoitetaan estimointiongelmaa joka on erityisen herkkä pienille muutoksille mit-tausdatassa tai jolle ei ole yksikäsitteistä ratkaisua. Koska SPECT:n tapauksessa onyleensä enemmän määritettäviä tuntemattomia kuin havaintoja, ei yksikäsitteistä rat-kaisua ole olemassa. Lisäksi mittausgeometria ja säteilyn vaimeneminen voivat tehdäongelmasta herkemmän mittauskohinalle.

Tilastollisissa inversio-ongelmissa [14] niin mallin parametreja, kuin mittausdataa kä-sitellään satunnaismuuttujina. Muuttujien satunnaisuus kuvaa epävarmuutta muut-tujiin liittyvästä informaatiosta ja tämä informaatio sisältyy muuttujien todennäköi-syysjakaumiin. Inversio-ongelman ratkaisu on tällöin posteriorijakauma, joka kuvaamallin tuntemattomien muuttujien eri arvojen todennäköisyyksiä, kun havaittu mit-tausdata huomioidaan. Tälle todennäköisyysjakaumalle voidaan laskea erilaisia tilas-tollisia tunnuslukuja kuten odotusarvo, moodi tai kovarianssi. Tilastollinen inversioantaa myös viitekehyksen estimoitavista muuttujista ennalta tunnetun tiedon käyt-töön inversio-ongelman ratkaisussa.

4

Approksimaatiovirhemenetelmä [14, 15] on uusi laskennallinen menetelmä, jossa mal-lin epätarkkuudet ja epävarmuudet mallinnetaan tilastollisesti. Tällöin mallinnusvir-heiden tilastolliset ominaisuudet voidaan huomioida tilastollisessa inversio-ongelmanratkaisussa. Approksimaatiovirhemenetelmää on aiemmin käytetty impedanssitomo-grafiassa [22, 23, 24] ja optisessa tomografiassa [1, 17, 32, 31]. Approksimaatiovirhe-menetelmää on sovellettu myös epästationaarisissa inversio-ongelmissa [19].

Tässä työssä kehitetään uusi approksimaatiovirhemenetelmään pohjautuva menetel-mä vaimennuksen korjaukseen SPECT:ssä ja tehdään katsaus approksimaatiovirhe-menetelmän ja tilastollisen inversion teoriaan. Tarkoituksena on korjata tuntemat-tomasta vaimennusjakaumasta aiheutuva mallin epävarmuus käyttämällä approk-simaatiovirhemenetelmää. Approksimaatiovirhemenetelmällä vaimennuksen korjausvoidaan tehdä laskennallisesti, ilman lisämittauksia. Tällöin vaimennuksen korjausvoitaisiin ottaa käyttöön vanhoissakin kuvauslaitteistoissa, jolloin uusia kuvauslait-teistohankintoja ei vaimennuksen korjauksen osalta tarvittaisi. Koska erillistä trans-missiokuvausta ei tarvita, vähentää esitetty lähestymistapa myös potilaan säteilyal-tistusta. Kehitetyn menetelmän toimivuutta testataan tietokonesimulaatiolla ihmisenrintakehän poikkileikkausta kuvaavan fantomin tapauksessa.

5

2 Yksifotoniemissiotomografia

SPECT:ssa mitataan kohteesta lähtevää gammasäteilyä gammakameralla useista erikulmista. [36] Eri kulmista otetuista projektioista koottua kuvaa kutsutaan yleisestisinogrammiksi. Projektioita otetaan kuvattavasta kohteesta riippuen yleensä 60 – 120kappaletta ja yleensä koko kehältä (0 − 360◦), sydämen perfuusiokuvauksessa tosinyleensä vain puolikkaalta kehältä (0 − 180◦).[36] Kuvassa 1 on esitetty SPECT:nmittaustapahtuma.

SPECT:a käytetään elinten funktionaaliseen kuvantamiseen. Radioaktiivisen merk-kiaineen avulla voidaan tutkia muun muassa elinten verenkiertoa, aineenvaihduntaatai esimerkiksi lääkeaineen imeytymistä. Tärkeitä yksittäisiä käyttökohteita ovat sy-dämen perfuusiokuvaus [20], jossa tutkitaan sydänlihaksen verenkiertohäiriöitä, kil-pirauhassyövän diagnosointi kilpirauhastutkimuksessa [4], aivojen verenkierron tutki-minen [11] sekä luiden kuvantaminen [5].

Kuva 1: SPECT:n mittaustapahtuma: Gammakameralla otetaan kuvia kohteesta eri kul-mista ja nämä projektiot kasataan sinogrammiksi. Projektioiden perusteella rekonstruoi-daan aktiivisuuden jakautuminen kohteessa.

Gammakameran edessä käytetään kollimaattoria, jotta vain kameraan kohtisuoras-sa tulevat gammakvantit rekisteröitäisiin. Kollimaattori ei kuitenkaan ole koskaanideaalinen, vaan myös pienessä, nollasta poikkeavassa, kulmassa kameraan tulevat

6

kvantit rekisteröidään. Kollimaattorin epäideaalisuus voidaan kuitenkin huomioidamallinnuksessa.

Koska SPECT:ssa kuvataan radioaktiivisen aineen hajoamisesta syntyvää säteilyä,noudattavat havaitut kvanttimäärät Poisson-jakaumaa. Havaintojen Poisson-luonnetuottaa ongelmia erityisesti pienillä säteilymäärillä, sillä pienillä kvanttimäärillä pro-jektiokuvat ovat suhteellisesti kohinaisempia.

Säteilyn vaimeneminen ja siroaminen kohteen väliaineessa vaikeuttavat rekonstruoin-tia. Tärkeimpänä tekijänä on säteilyn vaimeneminen väliaineessa. Kohteen sisäosis-ta lähtenyt säteily on vaimentunut voimakkaimmin, koska se on kulkenut pisimmänmatkan väliaineessa. Vaimennus voidaan huomioida havaintomallissa, jos kohteen vai-mennusjakauma on tunnettu. Toinen tärkeä tekijä on säteilyn siroaminen kohteessa.Emissiotomografiassa käytettyjen gammakvanttien energia-alueella tärkein sirontail-miö on Compton-sironta. Sironta on ongelmallinen erityisesti siinä mielessä, että fo-toni voi sirota kameran suuntaan. Tällöin muualta lähtenyt fotoni rekisteröidään sensirontapaikkaan. Tässä työssä on keskitytty vaimennuksen vaikutukseen, eikä sätei-lyn siroamista ole huomioitu mallinnuksessa. Sironnan huomiointia on käsitelty muunmuassa artikkeleissa [13, 27].

2.1 Suora malli

Suoralla mallilla tarkoitetaan matemaattista mallia, joka kuvaa havaintojen riippu-vuutta kohteen parametreistä. SPECT:n tapauksessa suora malli kuvaa kohteen ak-tiivisuuden projektiodataksi. Olkoon f kohteen aktiivisuusjakauma ja z havainnot.Suora malli ilman mittausvirhettä on z = Hf , missä H on mittausgeometriasta riip-puva matriisi.

Jokainen havaittu projektio on vektori jonka alkiot vastaavat gammakameran ku-vausalkioiden arvoja, vektorissa z nämä eri kulmista saadut projektiovektorit on ase-tettu peräkkäin. Vektorin f alkiot vastaavat käytetyn diskretisointihilan pikselikoh-taisia aktiivisuuksia. Havaintomatriisin H alkiot Hij kuvaavat todennäköisyyttä jollapikselistä j emittoitunut gammakvantti havaitaan gammakameran kuva-alkiossa i.Havaintomatriisin rakentamista on käsitelty tarkemmin esimerkiksi julkaisussa [33].Kuvassa 2 on esitetty kuvausalkion havaintojen muodostuminen. Kuva-alkiossa ha-vaittu kvanttimäärä syntyy lineaarikombinaationa varjostetulla alueella olevista pik-seleistä lähtevistä kvanteista.

Säteilyn vaimeneminen väliaineessa voidaan ottaa huomioon suorassa mallissa, josvaimennusjakauma on tunnettu. Gammasäteilyn vaimeneminen noudattaa Beerin jaLambertin lakia

I = I0 exp− ∫

C

µ(x)dx , (2.1)

missä I on säteilyn intensiteetti väliaineen jälkeen, I0 intensiteetti ilman vaimennusta,µ(x) paikasta riippuva vaimennuskerroin ja C säteen kulkema polku. Kun vaimen-nuskerroin approksimoidaan mittauskohteen diskretisoinnissa pikseleittäin vakioksi,

7

Kuva 2: Kuva-alkiossa havaitun kvanttimäärän muodostuminen, havaittu kvanttimäärämuodostuu varjostetuista pikseleistä lähtevien säteilykvanttien lineaarikombinaationa.

saa Beerin ja Lambertin laki diskreetin muodon

I = I0 exp− n∑

j=1µixi

, (2.2)

missä xi on säteen kulkema matka pikselissä i ja µi kyseisen pikselin vaimennusker-roin.

Kaavan (2.2) mukaiset vaimennustermit voidaan kasata vaimennusmatriisiin A, jolle

Aij = exp(−∑l

µlxlij

), (2.3)

missä xlji on matka jonka pikseliä j ja kameran kuva-alkiota i yhdistävä suora kul-kee pikselissä l. Alkio Aij vastaa siis kerrointa jolla pikselistä j lähtenyt säteily onvaimentunut sen saapuessa kuva-alkioon i. Vaimennuskorjatuksi havaintomatriisiksisaadaan

H = H̄ ◦ A (2.4)missä ◦ on Hadamardin tulo eli alkioittain kertominen ja H̄ vaimennuskorjaamatonhavaintomatriisi.

Alkio H̄ij kuvaa todennäköisyyttä jolla pikselistä j emittoitunut gammakvantti ha-vaittaisiin gammakameran kuva-alkiossa i, jos matkalla ei tapahtuisi vaimennusta.Kun kerrotaan H̄ij alkiolla Aij, joka vastaa todennäköisyyttä jolla fotoni ei absorboi-du väliaineessa, vastaa tulona syntyvä alkio Hij todennäköisyyttä jolla emittoitunutkvantti ei absorboidu ja havaitaan kameran kuva-alkiossa.

SPECT:ssa mittausdata on Poisson-jakautunutta johtuen radioaktiivisen hajoamisenluonteesta. Siten i:nnelle mittaukselle zi pätee

zi = Poisson (Hif) , (2.5)

missä Hi matriisin H i. rivi. Jos aktiivisuus on suuri, on Poisson kohinan Gaussi-nen approksimaatio yleensä riittävä. Gaussisen approksimaation avulla kaava (2.5)voidaan kirjoittaa muotoon

z = Hf + v, (2.6)

8

missä v on normaalijakautunutta satunnaiskohinaa. Koska Poisson-jakautuneen muut-tujan x ∼ Poisson(λ) odotusarvo ja varianssi on λ, täytyy virheen v kovarianssimat-riisin olla muotoa Γv = diag(Hf), missä merkintä diag(Hf) tarkoittaa diagonaali-matriisia joka sisältää vektorin Hf arvot diagonaalilla.

2.2 Rekonstruktio

Rekonstruktiossa estimoidaan aktiivisuusjakaumaa f datan z perusteella eli ratkais-taan kappaleessa 2.1 esitettyä suoraa mallia vastaava inversio-ongelma. Rekonstruk-tioon SPECT:ssa on käytetty useita eri rekonstruktiomenetelmiä [3], joista yleisimminkäytetyt ovat:

Suodatettu takaisinprojektio (filtered backprojection, FBP) [16] on perinteinen ja pal-jon käytetty rekonstruktiomenetelmä. Yksinkertaistetusti FBP:ssa mitatut projektio-kuvat takaisinprojisoidaan suodatuksen jälkeen mittauskohteeseen. FBP on lasken-nallisesti kevyt mutta toimii huonosti jos projektioita on vähän.

Iteratiiviset menetelmät muodostavat toisen tärkeän rekonstruktiomenetelmäjoukon.Kaczmarz-iteraatioon perustuva ART-algoritmi (algebraic reconstruction technique)[7] variaatioineen on näistä yksi tärkeimpiä.

EM-algoritmi (expectation maximization) on yleisesti käytetty iteratiivinen mene-telmä tilastollisten estimaattien laskentaan. Vanhin ja käytetyin versio on ML-EM-algoritmi (maximum likelihood - EM) [30]. ML-EM on laskennallisesti raskaampikuin FBP, mutta huomioi mittausdatan Poisson-luonteen. ML-EM:sta on kehitettylaskennalliseti nopeampi versio OS-EM (ordered subsets EM) [12]. Lisäksi on olemas-sa MAP-EM –algoritmi [8], jolla voidaan laskea myöhemmin esiteltävä maximum aposteriori –estimaatti.

9

3 Estimointiteoriaa

Mittausdataa ja tutkittavaa ilmiötä kuvaavan mallin estimoitavia parametrejä yhdis-tää havaintomalli. Käytetään jatkossa seuraavia merkintöjä: z ∈ RM on mittausdatansisältävä havaintovektori, f ∈ RN fysikaalisen mallin parametrit sisältävä vektori jav ∈ RM mittausvirhe. Yleisesti havaintomalli on muotoa

z = h(f, v), (3.1)

missä h on funktio joka kuvaa havaintojen yhteyttä mallin parametreihin. Usein mit-tausvirhe on additiivista, esimerkiksi mittauslaitteiston elektroniikasta peräisin olevakohina. Tällöin havaintomalli (3.1) saa muodon

z = h(f) + v. (3.2)

On huomioitava että havainnot z ja kohina v mallinnetaan satunnaismuuttujina. Täs-sä kappaleessa käsiteltävän perinteisen estimointiteorian yhteydessä muuttujat f mal-linnetaan deterministisina.

Siinä tapauksessa että kuvaus h : RN → RM on lineaarinen, voidaan havaintomallikirjoittaa muotoon

z = Hf + v, (3.3)missä H ∈ RM×N on matriisi. Matriisia H kutsutaan usein havaintomatriisiksi tai ku-vantamisongelmien yhteydessä kuvausmatriisiksi. Jos SPECT:n tapauksessa tehdäänmittausvirheelle kappaleessa 2.1 esitetty Gaussinen approksimaatio, on SPECT:n ha-vaintomalli kaavan (3.3) muotoa. Tästä syystä keskitytään alla olevassa tarkastelussakaavan (3.3) mukaiseen havaintomalliin.

Pienimmän neliösumman estimoinnissa (PNS) [2] tarkoituksena on löytää estimaattif̂ joka minimoi residuaalin z −Hf euklidisen normin neliön

f̂ = arg minf

{||z −Hf ||2

}. (3.4)

Estimaatille f̂ saadaan klassinen analyyttinen ratkaisu

f̂ =(HTH

)−1HT z, (3.5)

kun matriisi HTH on kääntyvä. PNS-estimaatti on yksikäsitteinen vain silloin kunongelma ei ole alimäärätty.

Alimäärätyssä tapauksessa kaavan 3.4 mukaisia PNS-ratkaisuja on olemassa ääretönmäärä. Tällöin lasketaan usein niin sanottu miniminormiestimaatti

f̂ = arg minf

{||f ||

∣∣∣ f = arg minf

{||z −Hf ||2

}}, (3.6)

joka on ratkaisuista se jolla on pienin normi. Estimaatti f̂ voidaan ratkaista käyttä-mällä Moore-Penrosen pseudoinverssiä (merkitään H†)

f̂ = H†z, (3.7)

missäH† = V S−1UT , (3.8)

kun H = USV T on matriisin H singulaariarvohajotelma.

10

3.1 Regularisointi

Inversio-ongelmaksi kutsutaan huonosti määrättyä ongelmaa jossa pyritään määrit-tämään mallin parametrit mittausdatasta. Ongelma on huonosti määrätty kun se eitäytä Hadamardin ehtoja:

1. Ratkaisu on olemassa

2. Ratkaisu on yksikäsitteinen

3. Ratkaisu riippuu jatkuvasti datasta

Kolmannella ehdolla tarkoitetaan sitä, että pienistä muutoksista mittausdatassa tuleeseurata vastaavasti pieni muutos ratkaisussa, jotta ongelma olisi hyvin määrätty.

Huonosti määrätyissä ongelmissa osa tai yksikään Hadamardin ehdoista ei toteudu.Inversio-ongelmat ovat usein alimäärättyjä ja pienistä muutoksista havainnoissa (mit-tausvirhe) seuraa suuri muutos ratkaisussa. Regularisoinnin tarkoituksena on muut-taa ongelma paremmin määrättyyn muotoon siten, että regularisoidun ongelman rat-kaisu on lähellä alkuperäisen inversio-ongelman todellista ratkaisua. Perinteisiä regu-larisointimenetelmiä ovat esimerkiksi katkaistu singulaariarvohajotelma [9], erilaisetkatkaistut iteratiiviset menetelmät [6] ja Tihonovin regularisointi.[34]

Tihonovin regularisoinnissa lisätään kaavan (3.4) funktionaaliin sivurajoite, jolla rat-kaisut saadaan riippumaan jatkuvasti datasta z. Yleistetty Tihonov-ongelma on muo-toa

f̂ = arg minf

{||z −Hf ||2 + α ||L(f − f0)||2

}, (3.9)

missä α on sivurajoitteen voimakkuutta säätelevä regularisointiparametri, L sivu-rajoitematriisi ja f0 vektori jota kohti ratkaisua halutaan muuttaa. Yleisiä valinto-ja sivurajoitematriisiksi ovat esimerkiksi eriasteiset differenssimatriisit. Kaavan (3.9)funktionaali voidaan myös kirjoittaa muotoon

||z −Hf ||2 + α ||L(f − f0)||2 =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣[

z−√αLf0

]−[

H−√αL

]f

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=∣∣∣∣∣∣z̃ − H̃f ∣∣∣∣∣∣2 (3.10)

missä

z̃ =[

z−√αLf0

](3.11)

H̃ =[

H−√αL

](3.12)

sitenf̂ = arg min

f

{∣∣∣∣∣∣z̃ − H̃f ∣∣∣∣∣∣2} . (3.13)

Kaava (3.13) on samaa muotoa kuin PNS-estimaatin kaava (3.4). Siten Tihonovinongelman ratkaisu voidaan kirjoittaa kaavan (3.5) muotoon

f̂ =(H̃T H̃

)−1H̃T z̃. (3.14)

11

4 Tilastollinen inversio

Tilastollisessa inversiossa kaikkia mallin muuttujia käsitellään satunnaismuuttujina.Muuttujien satunnaisuus kuvastaa niistä tunnetun informaation epävarmuutta ja tä-mä informaatio muuttujista sisältyy muuttujien todennäköisyysjakaumiin. Tämänosion katsaus perustuu kirjaan [14].

Perinteisessä regularisointinäkökulmassa mallin estimoitavat parametrit mallinnetaandeterministisiksi, eli että niillä on yksi oikea arvo. Vastaavasti regularisointimenetel-millä saadaan inversio-ongelman ratkaisuksi yksittäinen arvo. Tilastollisessa inver-siossa inversio-ongelman ratkaisuksi saadaan sen sijaan todennäköisyysjakauma. Täl-le jakaumalle voidaan laskea erilaisia tilastollisia tunnuslukuja, kuten odotusarvo,moodi tai kovarianssi.

Tarkastellaan yleistä havaintomallia tilastolliselta kannalta. Merkitään jatkossa sa-tunnaismuuttujia isoilla kirjaimilla ja niiden vastaavia realisaatioita pienillä. Reali-saatiolla tarkoitetaan tässä yhteydessä satunnaismuuttujasta otettua näytettä, esi-merkiksi nopan silmälukua vastaavan satunnaismuuttujan realisaatio olisi silmälukujonka noppa saa heitettäessä. Yleinen havaintomalli (3.1) saa muodon

Z = h(F, V ). (4.1)

Havaintomalli siis sitoo satunnaismuuttujat F , Z ja V toisiinsa, tällöin myös muuttu-jien todennäköisyysjakaumat riippuvat toisistaan. Satunnaismuuttuja Z vastaa mit-tauksia ja sen realisaatio Z = z varsinaista mittausdataa. Muuttuja F vastaa tunte-mattomia muuttujia ja V mittausvirhettä.

Ennalta tunnettua, eli ennen mittaustapahtumaa tunnettua, informaatiota muuttu-jasta F kutsutaan prioritiedoksi. Bayesilaisessa teoriassa oletetaan että prioritietovoidaan sisällyttää todennäköisyystiheysfunktioon πpr(f). Vastaavaa jakaumaa kut-sutaan priorijakaumaksi. Tätä kautta tilastollinen inversio luo tulkinnallisesti selkeänviitekehyksen ennalta tunnetun tiedon käyttöön.

Kun oletetaan että satunnaismuuttujalla F on tunnettu realisaatio f , voidaan mit-taukselle Z kirjoittaa ehdollinen todennäköisyystiheys π(z|f), jota kutsutaan uskot-tavuusfunktioksi (likelihood function). Uskottavuusfunktio kuvaa eri mittausrealisaa-tioiden z todennäköisyyttä kun mallin tuntemattomien muuttujien arvot sidotaan.

Vastaavasti kun mittausdata Z = z on tunnettu ja F tuntematon, voidaan kirjoittaaehdollinen todennäköisyystiheys π(f |z), jota kutsutaan posterioritiheydeksi. Posterio-rijakauma kuvaa realisaatioiden f todennäköisyyttä kun data z on huomioitu.

Bayesilaisessa inversiossa tarkoituksena on löytää posteriorijakauma π(f |z), kun mit-tausdata Z = z on tunnettu. Posteriorijakaumalle voidaan kirjoittaa Bayesin teoree-man avulla

π(f |z) = π(z|f)πpr(f)π(z) . (4.2)

Koska π(z) ei riipu f :stä, voidaan edelleen kirjoittaa

π(f |z) ∝ π(z|f)πpr(f). (4.3)

12

Bayesin teoreeman avulla muuttujista f olevaa ennakkokäsitystä πpr(f) muutetaanhavaintojen z perusteella. Havaintojen tuoma lisäinformaatio muuttujista sisältyyposteriorijakaumaan.

Monissa tapauksissa mittausvirhe V oletetaan additiiviseksi ja satunnaismuuttujastaF riippumattomaksi. Tällöin tilastollinen havaintomalli on

Z = h(F ) + V. (4.4)

Oletetaan että mittausvirheellä V on tunnettu todennäköisyystiheysfunktio πV (v) jalisäksi että v ja f ovat riippumattomia. Tällöin uskottavuusfunktio saa muodon

π(z|f) = πV (z − h(f)). (4.5)

Sijoittamalla kaava (4.5) kaavaan (4.3) saadaan posteriorijakaumaksi

π(f |z) ∝ πV (z − h(f))πpr(f). (4.6)

Additiivisen, f :stä riippumattoman, normaalijakautuneen mittausvirheen v ∼ N (v0,Γv),missä v0 on odotusarvo ja Γv kovarianssimatriisi, tapauksessa posteriorijakaumallevoidaan edelleen kirjoittaa

π(f |z) ∝ exp(−1

2(z − h(f)− v0)TΓ−1v (z − h(f)− v0)

)πpr(f). (4.7)

4.1 Estimaattorit

Tilastollisessa inversiossa estimaattorit ovat posteriorijakauman tilastollisia tunnus-lukuja. Yksi yleisimmin käytetyistä estimaattoreista on maximum a posteriori –estimaatti (MAP), joka vastaa posteriorijakauman moodia, eli todennäköisintä rea-lisaatiota f joka on voinut tuottaa havainnot z. MAP-estimaatti on määritelty seu-raavasti:

f̂MAP = arg maxf{π(f |z)} = arg max

f{π(z|f)πpr(f)} . (4.8)

Kun posteriorijakauma on kaavan (4.7) muotoa ja priorijakauma Gibbsin muotoa

πpr(f) = exp(−12W (f)), (4.9)

saa posteriorijakauma (4.7) muodon

π(f |z) ∝ exp(−1

2(z − h(f)− v0)TΓ−1v (z − h(f)− v0)− 1

2W (f)). (4.10)

Siten MAP-estimaatti (4.8) on

f̂MAP = arg maxf

{exp

(−1

2(z − h(f)− v0)TΓ−1v (z − h(f)− v0)− 1

2W (f))}

= arg minf

{(z − h(f)− v0)TΓ−1

v (z − h(f)− v0) +W (f)}.

(4.11)

13

Koska kovarianssimatriisi Γv, ja siten myös Γ−1v , on positiividefiniitti, voidaan kir-

joittaa Γ−1v = LTv Lv, missä Lv on matriisin Γ−1

v Cholesky-tekijä. Tällöin kaava (4.12)voidaan kirjoittaa muotoon

f̂MAP = arg minf

{||Lv(z − h(f)− v0)||2 +W (f)

}. (4.12)

Toinen yleisesti käytetty estimaatti on ehdollinen odotusarvo (conditional mean, CM),joka vastaa posteriorijakauman odotusarvoa. Normaalijakautuneen mittausvirheen jaGaussisen priorin tapauksessa CM- ja MAP-estimaatit vastaavat toisiaan.

4.2 Priorit

Priorijakauman rakentaminen on merkittävä osa tilastollista inversiota. Käytetynpriorin tulisi vastata hyvin tuntemattoman muuttujan F käyttäytymistä siten, et-tä todellisuutta vastaavilla realisaatioilla olisi merkittävästi muita realisaatioita suu-rempi todennäköisyys. Jos esimerkiksi tiedetään että ratkaisun tulee olla positiivinenja sileä, tulisi priorijakauma valita siten, että positiiviset ja sileät ratkaisut ovat to-dennäköisempiä.

Usein ennalta tunnetun tiedon kirjoittaminen priorijakaumaan on haastavaa, koskatieto voi olla laadultaan hyvinkin kvalitatiivista tai muuten vaikeasti käytettävää.Käyttökelpoista tietoa ratkaisun sileyden lisäksi ovat esimerkiksi muuttujien vaihte-luvälit tai ratkaisun muut ennalta tiedetyt geometriset ominaisuudet, kuten tunnetutreunat kuvassa.

4.2.1 Gaussiset priorit

Normaalijakauma on yleisin valinta priorijakaumaksi. Olkoon f ∼ N (f0,Γf ). Priori-jakauma on tällöin

πpr(f) ∝ exp(−1

2(f − f0)TΓ−1f (f − f0)

). (4.13)

Merkitään Γ−1f = LTf Lf , missä Lf on matriisin Γ−1

f Cholesky-tekijä. Kaava (4.13)voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

πpr(f) ∝ exp(−1

2 ||Lf (f − f0)||2). (4.14)

Selvästi havaitaan että priori on Gibbsin muotoa (4.9) ja W (f) = ||Lf (f − f0)||2.Sijoittamalla kaavaan (4.12) saadaan

f̂MAP = arg minf

{||Lv(z − h(f)− v0)||2 + ||Lf (f − f0)||2

}. (4.15)

Tapauksessa, jossa Γv = βI, β ∈ R, v0 = 0 ja h(f) = Hf , saadaan

f̂MAP = arg minf

{||z −Hf ||2 + 1

β||Lf (f − f0)||2

}. (4.16)

14

Vertaamalla kaavaa (4.16) yleistettyyn Tihonovin regularisointiin (3.9), havaitaan,että Tihonov–regularisoitua ratkaisua voidaan pitää MAP-estimaatin erikoistapauk-sena, kun mittausvirhe on valkoista kohinaa ja priorijakauma Gaussinen. Gaussisenmittausvirheen ja priorijakauman tapauksessa MAP-estimaatti voidaan siis laskeakuten Tihonovin regularisoitu ratkaisu kappaleessa 3.1.

Usein matriisiksi Lf valitaan ensimmäistä tai toista diskreettiä derivaattaa vastaavadifferenssimatriisi. Differenssimatriisin tapauksessa kuitenkaan matriisi LTf Lf = Γ−1

f

ei ole kääntyvä, jolloin kovarianssimatriisia Γf ei ole olemassa. Informatiivisen smooth-ness priorin ideana on muuttaa perinteistä smoothness prioria siten, että priori oninformatiivinen eli matriisi Γf on olemassa. Informatiivinen smoothness priori voidaanrakentaa niin sanottujen marginalisointipisteiden avulla. Parametrivektorin f alkioil-le marginalisointipisteissä kirjoitetaan odotusarvo ja varianssi. Vektori f voidaan nytjakaa kahteen osaan

f =[yx

], (4.17)

missä y ∈ RP on vektorin f arvot marginalisointipisteissä ja x ∈ RQ muissa pisteissä.Olkoon L differenssimatriisi, merkitään Lpre = αL. Prepriorin kovarianssimatriisinkäänteismatriisi voidaan jakaa pisteitä y ja x vastaaviin osiin

LTpreLpre = Γ−1pre =

[B11 B12B21 B22

], (4.18)

missä B11 ∈ RP×P , B12 = BT21 ∈ RP×Q ja B22 ∈ RQ×Q.

Voidaan osoittaa että tällöin priorin odotusarvo on [14, Luku 3.4.1]

f0 =[

y0−B−1

22 B21y0

](4.19)

ja kovarianssi

Γf =[2αB12B

−122 B21 + Γ−1

y 2αB212αB12 2αB22

]−1

, (4.20)

missä y0 on f :n odotusarvo marginalisointipisteissä ja Γy vastaava kovarianssimatriisi.Pisteiden x varianssit tulee säätää samaan suuruusluokkaan kuin marginalisointipis-teiden y varianssit, tämä onnistuu säätämällä α:n arvoa. Tämän jälkeen skaalataankovarianssimatriisin Γf varianssit haluttuihin arvoihin, mikä onnistuu seuraavasti: Ol-koon K diagonaalimatriisi joka on kasattu matriisin Γf diagonaalialkioista. Tällöinkorrelaatiomatriisi Rf on

Rf = K−12 ΓfK−

12 , (4.21)

merkintä K− 12 tarkoittaa matriisin K−1 Cholesky-tekijää. Skaalattu kovarianssimat-

riisi Γ̄f onΓ̄f = S

12RfS

12 , (4.22)

missä S 12 on halutut keskihajonnat sisältävä diagonaalimatriisi, vastaten siis haluttu-

jen varianssien muodostaman diagonaalimatriisin S Cholesky-tekijää.

Marginalisointipisteiden valinnalla voidaan säädellä havaintoalkioiden välisiä kova-riansseja ja sitä kautta ratkaisun sileyttä. Tiheämmällä marginalisointipistejoukolla

15

saavutetaan lyhyempi korrelaatiopituus vektorin f alkioiden välillä. Rakenteellista in-formaatiota voidaan siis sisällyttää prioriin kolmea eri reittiä: ratkaisun vaihteluvälimarginalisointipisteissä varianssin kautta, ratkaisun odotusarvo marginalisointipis-teissä ja marginalisointipisteiden valinnan kautta ratkaisun sileys eri alueilla. Esimer-kiksi jos tiedetään että ratkaisu on jollain laajalla alueella tasainen, voidaan kyseisellealueelle laittaa marginalisointipisteitä harvaan ja säätää sopiva vaihteluväli. Vastaa-vasti jos tiedetään että jollain alueella on merkittäviä vaihteluita, voidaan alueellelaittaa suuren varianssin omaavia marginalisointipisteitä tiheään.

4.2.2 Totaalivariaatiopriori

Totaalivariaatiopriori (TV-priori) kuvaa parametrivektorin kokonaisvariaatiota. Ku-van totaalivariaatio on määritelty seuraavasti jatkuvassa tapauksessa [28]

TV(f) =∫|∇f |dxdy, (4.23)

kuva määritellään tässä yhteydessä funktiona f(x, y), kun x ja y ovat kuvan koordi-naattiakselit. Diskreetissä pikselihilassa kaava (4.23) saa muodon

TV(f) =∑i,j

√(fi+1,j − fi,j)2 + (fi,j+1 − fi,j)2, (4.24)

gradientti∇f on tässä tapauksessa vierekkäisten pikseleiden välinen differenssi vaaka-ja pystysuuntaan. TV-priorin todennäköisyystiheys on

π(f) ∝ exp(−αTV (f)). (4.25)

TV-priori suosii ratkaisuja jotka koostuvat tasaisista alueista joilla on lyhyt reuna.Kuvantamisessa tämä käyttäytyminen on hyödyllistä, koska usein ratkaisut ovat esi-merkiksi jonkun elimen kohdalla melko tasaisia, mutta kokien jyrkkiä muutoksia siir-ryttäissä elimestä toiseen. TV-priori esitettiin alunperin menetelmänä kohinan pois-toon kuvista [28], mutta sen käyttö on sittemmin levinnyt eri aloille. TV-prioria onaiemmin käytetty SPECT:n yhteydessä osana EM-algoritmia [25].

Kaavan (4.24) funktio ei ole derivoituva kaikkialla, haitaten siten yleisten optimoin-tipohjaisten estimointimenetelmien käyttöä. Funktiosta saadaan derivoituva approk-simaatiolla

TV(f) =∑i,j

√(fi+1,j − fi,j)2 + (fi,j+1 − fi,j)2 + β, (4.26)

missä β on pieni positiivinen vakio. Funktiolle TV(f) voidaan laskea osittaisderivaatat[25]

∂TV

∂fi,j= fi,j − fi−1,j√

(fi,j − fi−1,j)2 + (fi−1,j+1 − fi−1,j)2 + β

+ fi,j − fi,j−1√(fi+1,j−1 − fi,j−1)2 + (fi,j − fi,j−1)2 + β

+ fi+1,j + fi,j+1 − 2fi,j√(fi+1,j − fi,j)2 + (fi,j+1 − fi,j)2 + β

.

(4.27)

16

4.2.3 Positiivisuusrajoite

Yleensä estimoitavat parametrit edustavat jotain fysikaalista suuretta, joka usein onmääritelty vain positiivisilla arvoilla. Tälläisiä suureita ovat esimerkiksi aineen vai-mennuskerroin, sähkönjohtavuus tai radioaktiivisuus. Tällöin on perusteltua huomioi-da suureen positiivisuus priorijakaumassa, siten että negatiivisten f :n arvojen to-dennäköisyyden tulisi olla nolla. Käytännössä positiivisuusrajoite voidaan toteuttaaoptimointirajoitteena kaavassa (4.11); sen sijaan että etsittäisiin minimikohtaa kokoreaaliavaruudesta, etsitään minimikohta jolle pätee f ≥ 0.

4.3 Approksimaatiovirhemenetelmä

Usein mallinnettavaa ilmiötä tarkasti kuvaava havaintomalli on laskennallisesti ras-kas tai mallin kiinnitetyissä parametreissä on epävarmuutta. Jos sen sijaan käytetääntilannetta huonommin kuvaavaa mallia laskennassa, vaikuttavat mallinnusvirheet rat-kaisun laatuun, koska inversio-ongelmat ovat virheherkkiä. Approksimaatiovirheme-netelmässä [14, 15] käytetään mallinnusvirheille laskettuja tilastollisia ominaisuuksiainversio-ongelman ratkaisussa.

Koska SPECT:ssä on lineaarinen havaintomalli, käsitellään tässä approksimaatiovir-hemenetelmän teoria lineaarisessa tapauksessa. Teoria ei kuitenkaan rajoitu lineaari-seen tapaukseen, vaan epälineaarinen tapaus käsitellään vastaavasti. Olkoon ilmiötätarkasti mallintava tarkka havaintomalli

z = Htf + v (4.28)

ja vastaavasti approksimoitu havaintomalli

z = Haf + v. (4.29)

Approksimoidussa havaintomallissa on tehty joitain approksimaatioita, jotta ongelmaolisi esimerkiksi laskennallisesti kevyempi.

Tarkalla ja approksimoidulla havaintomallilla lasketun suoran ongelman eroa ε(f) =Htf−Haf kutsutaan approksimaatiovirheeksi. Approksimaatiovirhe on siis virhe jokasyntyy käytettäissä approksimoitua mallia tarkan mallin sijaan. Approksimaatiovir-heen avulla voidaan havaintomalli (4.28) kirjoittaa muotoon

z = Haf + (Htf −Haf) + v = Haf + ε(f) + v. (4.30)

Käytetään jatkossa merkintää ε = ε(f).

Tekemällä sekä approksimaatiovirheelle ε = Htf −Haf että mittausvirheelle v Gaus-siset approksimaatiot, voidaan approksimaatiovirheelle ε ja muuttujille f kirjoittaayhteisjakauma π(ε, f) [18]

π(ε, f) ∝ exp−1

2

[ε− ε0f − f0

]T [Γεε ΓεfΓfε Γff

]−1 [ε− ε0f − f0

] . (4.31)

Voidaan kirjoittaaε|f ∼ N (ε0,f ,Γε|f ), (4.32)

17

missä

ε0,f = ε0 + ΓεfΓ−1ff (f − f0) (4.33)

Γε|f = Γεε − ΓεfΓ−1ff Γfε (4.34)

Otetaan jatkossa käyttöön merkinnät Γε = Γεε ja Γf = Γff .

Olkoon n kokonaisvirhettä kuvaava, normaalijakautunut muuttuja jolle pätee n|f =v + ε|f ja

n|f ∼ N (n0,f ,Γn|f ), (4.35)missä

v0,f = v0 + ε0 + ΓεfΓ−1f (f − f0) (4.36)

Γn|f = Γv + Γε − ΓεfΓ−1f Γfε (4.37)

Posteriorijakauma (4.10) voidaan kirjoittaa muotoon

π(f |z) ∝ exp(−1

2(z −Haf − n0,f )TΓ−1n|f (z −Haf − n0,f )−W (f)

), (4.38)

josta edelleen muotoon

π(f |z) ∝ exp(−1

2(z − (Ha + ΓεfΓ−1

f )f − v0 − ε0 + ΓεfΓ−1f f0

)TΓ−1n|f

·(z − (Ha + ΓεfΓ−1

f )f − v0 − ε0 + ΓεfΓ−1f f0

)−W (f)

).

(4.39)

Jos muuttujat f ja ε approksimoidaan tilastollisesti riippumattomiksi, vastaten tilan-netta Γεf = 0, saadaan niin sanottu parannettu virhemalli (enhanced error model).Tällöin posteriorijakauma (4.38) on muotoa

π(f |z) ∝ exp(−1

2(z −Haf − ε0 − v0)TΓ−1n (z −Haf − ε0 − v0)−W (f)

), (4.40)

missä Γn = Γv + Γε. MAP-estimaatti on tällöin

f̂MAP = arg minf

{||Ln(z −Haf − ε0 − v0)||2 +W (f)

}, (4.41)

missä LTnLn = Γ−1n . Voidaan tulkita, että approksimaatiovirheen statistiikan kautta

tuodaan tarkkaan malliin sisältyvää informaatiota approksimoidulla mallilla suoritet-tuun laskentaan.

4.3.1 Approksimaatiovirheen odotusarvo ja kovarianssi

Approksimaatiovirheen ε(f) odotusarvo ε0,f ja kovarianssi Γε|f eivät yleensä ole mää-ritettävissä analyyttisesti. Käytännössä odotusarvoa ja kovarianssia on approksimoi-tava otoskeskiarvolla ja -kovarianssilla. Lisäksi suositellaan korvaamaan myös odo-tusarvo f0 ja kovarianssi Γf vastaavilla otoskeskiarvolla ja -kovarianssilla [18].

Otetaan joukko näytteitä{f (j), j = 1, . . . ,m

}priorijakaumasta πpr(f), jos approksi-

maatiovirhemenetelmän tarkoituksena on käsitellä mallin kiinnitettyjen parametrien

18

epävarmuutta, näytteistetään myös kyseisiä parametreja ja rakennetaan vastaavattarkat mallit H(j)

t , ja lasketaan näytteitä vastaavat approksimaatiovirheet

ε(j) = H(j)t f (j) −Haf

(j). (4.42)

Lasketaan otoskeskiarvot ja kovarianssit

ε0 = 1m

m∑j=1

ε(j) (4.43)

f0 = 1m

m∑j=1

f (j) (4.44)

Γε = 1m− 1

m∑j=1

(ε(j) − ε0)(ε(j) − ε0)T (4.45)

Γεf = 1m− 1

m∑j=1

(ε(j) − ε0)(f (j) − f0)T = ΓTfε (4.46)

Γf = 1m− 1

m∑j=1

(f (j) − f0)(f (j) − f0)T (4.47)

Jos ε ja f odotetaan riippumattomiksi, tarvitaan vain kaavoja (4.43) ja (4.45).

Artikkeleissa [1, 32, 31, 23, 24] tarvittavat näytteet f (j) otettiin kohdetta kuvaavastainformatiivisesta smoothness priorista. Artikkelissa [22] näytteet generoitiin simuloi-malla satunnaisia pallonmuotoisia kappaleita sylinterinmuotoisessa mittauskohteessa.

19

5 Vaimennuksen korjaus approksimaatiovirheme-netelmällä

Tässä luvussa testataan approksimaatiovirhemenetelmän toimivuutta väärästä vai-mennusjakaumasta aiheutuvan mallinnusvirheen korjaamiseen. Testaus tehdään tie-tokonesimulaatioiden perusteella. SPECT:n tapauksessa approksimatiivisena malli-na käytetään jotain approksimatiivistä vaimennusjakaumaa, joka voi olla esimerkiksikohteen sisällä homogeeninen. Approksimaatiovirhelaskentaa varten generoidaan nytaktiivisuusnäytteiden lisäksi myös vaimennusjakaumanäytteitä.

Simulaatioissa mallinnettiin SPECT-laitteistoa kaksiulotteisessa yhden leikekuvan ta-pauksessa. Havaintomalli rakennettiin kappaleen 2.1 mukaisesti. Kuvauslaitteistoksioletettiin 128 kuva-alkion gammakamera, jonka edessä käytettiin 4 cm paksua kolli-maattoria. Kollimaattorin aukot mallinnettiin yhdensuuntaisiksi. Kuvauskohteen hal-kaisija oli 40 cm ja gammakameran kiertosäde 34 cm. Säteilyn Poisson-luonne huo-mioitiin mallinnuksessa generoimalla mittausvirhe Poisson-jakaumasta. Simulaatiois-sa otettiin 32 kappaletta projektioita, mikä on vähemmän kuin yleensä käytännön so-velluksissa. Simuloitujen projektioiden yhteenlasketut havaitut kvanttimäärät olivatvälillä 1–2 · 106.

Mallinnettu kuvauslaitteisto on hyvin yksinkertainen, mutta on painotettava, ettätässä työssä esitetty approksimaatiovirhemenetelmään pohjautuva vaimennuksenkor-jausmenetelmä ei ole sidottu mihinkään tiettyyn havaintomalliin. Vastaavanlainensimulaatio voitaisiin toteuttaa millä tahansa SPECT-laitteistoa mallintavalla havain-tomallilla. Menetelmä ei myöskään ole sidottu kaksiulotteiseen tapaukseen, vaan samavoitaisiin tehdä kolmiulotteisella mallilla.

5.1 Rintakehän mallinnus

Tämän työn simulaatioissa käytettiin ihmisen rintakehän poikkileikkausta kuvaavaalaskennallista fantomia. Rintakehä on hyvä testikohde, koska keuhkoista johtuen vai-mennusjakauma on merkittävästi epähomogeeninen. Vaimennuskerroin on huomatta-vasti pienempi keuhkoissa, kuin ympäröivässä kudoksessa.

Approksimaatiovirhemenetelmään liittyvää laskentaa varten tarvittiin keino luodasuuri määrä toisistaan poikkeavia fantomeja. Tämä toteutettiin rakentamalla ensinperusfantomi rintakehän anatomian perusteella. Perusfantomi rakennettiin rintake-hän leikekuvan perusteella, elinten (keuhkot, sydän ja selkäranka) ja rintakehän reu-noilta valittiin käsin pisteitä ja näihin pisteisiin sovitettiin splinet.

Perusfantomia nyt muunneltiin muuttamalla splinen sovituspisteiden sijaintia. Rin-takehän ja elinten kokoa muunneltiin ilmaisemalla pisteet napakoordinaatistossa, jol-loin kokoa voitiin muuttaa yhdellä satunnaisesti generoidulla luvulla elinta kohden.Elinten sijaintia muutettiin lisäämällä splinen pisteiden karteesisiin koordinaatteihinsatunnaisgeneroidut arvot. Tällä tavoin luotiin sekä aktiivisuus- että vaimennusja-kaumia. Lisäksi fantomin osien vaimennuskertoimet ja aktiivisuudet otettiin satun-naisjakaumasta. Kuvassa 3 on esitetty perusfantomi jota muunnellaan. Kuvassa 4 on

20

Kuva 3: Perusfantomi jota käytetään jakaumien generoinnissa, vasemmalla aktiivisuus-jakauma ja oikealla vaimennusjakauma. Väriasteikko kuvaa aktiivisuusjakaumilla kvantti-määrää/pikseli ja vaimennusjakaumalla vaimennuskerrointa cm−1.

esitetty muutama tässä työssä käytetyllä menetelmällä generoitu fantomi.

5.2 Approksimaatiovirhemenetelmän toteutus

Työssä käytettiin approksimoituna havaintomallina Ha mallia, jossa oletettiin koh-teessa olevan keskikokoisen rintakehän muotoinen homogeeninen vaimennusjakauma.Laskennan vaiheet voidaan jakaa seuraavasti:

1. Generoidaan vaimennusjakauma µ(j) kappaleessa 5.1 esitellyllä fantomilla.

2. Luodaan generoitua vaimennusjakaumaa µ(j) vastaava tarkka havaintomalliH(j)t .

3. Generoidaan aktiivisuusjakaumanäyte f (j) kappaleessa 5.1 esitellyllä fantomilla

4. Lasketaan ε(j) = H(j)t f (j) −Haf

(j)

Kun haluttu määrä approksimaatiovirheitä ε(j) oli laskettu, laskettiin niiden keskiarvoε0 ja kovarianssimatriisi Γε. Tämän työn tapauksessa keskiarvo ja kovarianssin lasken-taa varten otettiin 10000 näytettä. Koska jokaista vaimennusjakaumanäytettä vartenjoudutaan luomaan vastaava tarkka havaintomalli iteraation sisällä, on approksimaa-tiovirheiden laskenta raskasta.

5.3 Inversio

Inversiossa mallinnettiin mittausvirhe normaalijakautuneeksi, jotta voitaisiin käyt-tää kirjallisuudessa esitettyä approksimaatiovirhemenetelmää. On kuitenkin muis-tettava, että mittausvirhe on todellisuudessa Poisson-jakautunutta. Koska Poisson-jakautuneen virheen odotusarvo ei ole tunnettu, rakennettiin Gaussinen approksi-maatio simuloimalla. Approksimaatiota varten generoitiin 1000 kappaletta aktiivi-suusfantomeita luvun 5.1 menetelmällä, laskettiin jokaista fantomia kohden Poisson-kohinaisen ja kohinattoman mittausdatan ero ja näille simuloiduille virheille lasket-

21

Kuva 4: Generoituja fantomeita: 1. ja 3. rivillä aktiivisuusjakaumat ja niiden alapuolel-la 2. ja 4. rivillä vastaavat vaimennusjakaumat. Väriasteikko kuvaa aktiivisuusjakaumillakvanttimäärää/pikseli ja vaimennusjakaumalla vaimennuskerrointa cm−1.

tiin otoskovarianssi. Virheen kovarianssimatriisina Γv käytettiin simuloidun otosko-varianssimatriisin diagonaalia, johon lisättiin yksikkömatriisi, jotta matriisi Γv olisikääntyvä.

Ongelmassa esiintyneen numeerisen epävakauden poistamiseksi skaalattiin mittaus-virheen ja approksimaatiovirheen yhdistetty kovarianssimatriisi Γn = Γv + Γε siten,että sen alkioiden suurin arvo on 1. Siten Γ̃n = 1

knΓn, missä kn on matriisin Γn suurin

alkio. Jos approksimaatiovirhemenetelmää ei käytetä, Γε = 0 ja tällöin Γn = Γv.

Priorijakaumana käytettiin positiivisuusrajoitettua TV-prioria (4.26). Posteriorija-kauma on tällöin muotoa

π(f |z) ∝ exp(−1

21kn

(z −Haf − ε0)T Γ̃−1n (z −Haf − ε0)− 1

knα̃TV(f)

), f ≥ 0,

(5.1)missä α̃ = knα. MAP-estimaatiksi saadaan

f̂MAP = arg minf≥0

{∣∣∣∣∣∣L̃n(z −Haf − ε0)∣∣∣∣∣∣2 − α̃TV(f)

}, (5.2)

missä L̃Tn L̃n = Γ̃−1n . Jos approksimaatiovirhemenetelmää ei käytetä, niin edellisissä

ε0 = 0.

22

Kaavan (5.2) estimointiongelma sisältää positiivisuusrajoitteen, jolloin on käytettäväjotain rajoitteellista optimointimenetelmää. Tässä työssä optimointi tehtiin käyttä-mällä Matlab-ympäristöön kehitettyä minConf ohjelmiston (Mark Schmidt, http://www.cs.ubc.ca/~schmidtm/Software/minConf.html) optimointirutiinia minConf_PQN.Optimointimenetelmän toiminta on kuvattu tarkemmin lähteessä [29]. Optimointiavarten tarvitaan kaavan (5.2) optimoitavan funktionaalin (merkitään l) gradientti

∇l = −2HTa L̃

Tn L̃n(z −Haf − ε0) + α̃∇TV(f). (5.3)

Skaalattuna regularisointiparametrin arvona käytettiin α̃ = 3 · 10−3 ja approksimaa-tiovirhemenetelmän tapauksessa α̃ = 5 · 10−3. Approksimaatiovirhemenetelmää käyt-tävien estimaattien α valittiin suuremmaksi, jotta ratkaisut olisivat likimain saman-laatuisia. Regularisointiparametrin arvot valittiin silmämääräisen tarkastelun perus-teella. TV-priorin approksimaation (4.26) parametrin β arvoksi valittiin 10−6.

Inversiorikoksella (inverse crime) tarkoitetaan tilannetta, jossa numeerisen simulaa-tion data luodaan samalla suoralla mallilla jota käytetään inversio-ongelman ratkai-sussa. Tässä työssä inversiorikos vältettiin luomalla projektiodata käyttäen 256× 256pikselin diskretisointihilaa vastaavaa havaintomallia. Inversiossa käytettiin 128× 128pikselin hilaa.

5.4 Tulokset

Vaimennuksen korjausta approksimaatiovirhemenetelmällä testattiin neljän eri koh-teen tapauksessa, kuvat 5 – 8. Vertailun vuoksi estimaatit laskettiin myös sekä tar-kalla, tunnettua vaimennusjakaumaa vastaavalla, mallilla, että approksimoitua vai-mennusjakaumaa vastaavalla mallilla. Kuvien ylärivissä vasemmalla ja keskellä onkäytetyn fantomin oikea aktiivisuus- ja vaimennusjakauma. Ylärivissä oikealla onhomogeeninen vaimennusjakauma jota käytettiin approksimatiivisena vaimennusja-kaumana rekonstruktioissa ja approksimaatiovirhemenetelmän approksimoidun mal-lin rakentamiseen. Alarivissä vasemmalla on oikeaa vaimennusjakaumaa käyttämällälaskettu rekonstruktio ja keskellä homogeenista vaimennusjakaumaa vastaava rekon-struktio. Alarivissä oikealla on rekonstruktio jossa on käytetty homogeenistä vaimen-nusjakaumaa ja approksimaatiovirhemenetelmää.

Kuvassa 5 oikealla vaimennusmallilla laskettu estimaatti vastaa kohteen todellista vai-mennusjakaumaa tarkasti matalan aktiivisuuden alueilla. Sydänlihaksen reunat ovatselvästi sumentuneet. Homogeenisella vaimennusjakaumalla laskettu rekonstruktio onaktiivisuuksiltaan huomattavasti todellista korkeampi. Lisäksi väärän vaimennusja-kauman vaikutus havaitaan siitä, että keuhkot erottuvat rekonstruktiosta huonosti.Approksimaatiovirhemenetelmää käyttämällä saatu tulos on myös hieman yliestimoi-tunut sydänlihaksen alueella, mutta vastaa tarkalla mallilla laskettua estimaattia pa-remmin. Estimaatti myös vastaa paremmin todellisuutta keuhkojen alueella

Kuvassa 6 on esitetty vastaava simulaatio toista fantomia käyttäen. Homogeenisel-la vaimennusjakaumalla saatu tulos on nyt aktiivisuuksiltaan selvästi liian alhainen.Keuhkoja ei pysty erottamaan ympäröivästä kudoksesta. Approksimaatiovirhemene-telmällä tehty vaimennuskorjaus toimi tässä tapauksessa erittäin hyvin, laskettu es-timaatti vastaa lähes täysin tarkalla mallilla saatua tulosta.

23

Kuvan 7 tapauksessa homogeenisella vaimennusjakaumalla saatiin melko hyvä esti-maatti. Tosin kuten aiemminkin, keuhkot ovat estimoituneet väärin. Approksimaa-tiovirhemenetelmä parantaa estimaattia keuhkojen alueella.

Neljännessä simulaatiossa, kuva 8, väärällä vaimennusjakaumalla saadaan ongelmal-linen estimaatti, jonka perusteella sydänlihaksen toinen seinämä vaikuttaisi olevanaktiivisuudeltaan selvästi matalampi kuin toinen, viitaten verenkiertohäiriöön. Ap-proksimaatiovirhemenetelmää hyödyntämällä lasketussa estimaatissa seinämien väli-nen aktiivisuusero on pienempi.

Simulaatioiden perusteella voidaan todeta, että parhaassa tapauksessa tässä työssäesitetyllä menetelmällä voidaan saavuttaa lähes yhtä hyviä tuloksia kuin käyttämällätarkkaa vaimennusmallia. Approksimaatiovirhemenetelmä myös konsistentisti korjaakeuhkojen alueen aktiivisuuden tasoittumisen. Sydänlihaksen korkean aktiivisuudenalueet korjautuvat huonommin, mutta approksimaatiovirhemenetelmä tuo kuitenkinhavaittavaa parannusta. Simulaatioiden perusteella myös nähdään, että käytetty 32projektiokuvaa riittää jo tuottamaan melko hyviä rekonstruktioita.

24

Kuva 5: Simulaatio 1: Ylärivissä vasemmalla ja keskellä fantomin aktiivisuus- ja vaimen-nusjakauma, ylärivissä oikealla redusoidussa mallissa käytetty homogeeninen vaimennusja-kauma. Alarivissä vasemmalla tarkalla vaimennusmallilla laskettu rekonstruktio, keskellähomogeenisellä vaimennusjakaumalla laskettu rekonstruktio ja oikealla homogeenisellä vai-mennusjakaumalla ja approksimaatiovirhemenetelmällä saatu tulos.


25



26

6 Pohdinta

Tässä tutkielmassa kehitettiin uusi approksimaatiovirhemenetelmään perustuva las-kennallinen menetelmä tuntemattomasta vaimennusjakaumasta aiheutuvan virheenkorjaamiseen SPECT:ssa. Menetelmän toimivuutta testattiin tietokonesimulaatioilla.Simulaatioiden perusteella voidaan todeta, että kehitetty menetelmä on käyttökel-poinen ja parantaa approksimatiivisella vaimennusjakaumalla laskettuja estimaattejahuomattavasti.

Aikaisemmin esitetyt vaimennuskorjausmenetelmät voidaan perinteisesti jakaa kar-keasti kahteen tyyppiin: vaimennusjakauman estimointiin pelkän projektiodatan pe-rusteella ja vaimennusjakauman määrittämiseen erillisen transmissiokuvauksen perus-teella. Tässä työssä esitetyn menetelmän voidaan todeta muodostavan tulkinnallises-ti kolmannen menetelmätyypin, jossa vaimennuksenkorjaus tehdään laskennallisestiilman transmissiodataa ja ilman vaimennusjakauman estimointia.

Approksimaatiovirhemenetelmän etu vaimennusjakauman estimointiin projektioda-tan perusteella on siinä, että approksimaatiovirhemenetelmän vaatima raskas lasken-ta voidaan tehdä etukäteen, ennen mittauksia. Lisäksi approksimaatiovirhenäytteidenlaskenta on rinnakkaistettavissa. Approksimaatiovirhemenetelmässä malliin ei lisätäuusia ratkaistavia muuttujia. Periaatteessa rekonstruktio on tällöin yhtä raskas laskeakuin rekonstruktio ilman approksimaatiovirhemenetelmää. Transmissiokuvaukseen javaimennusjakauman estimointiin pohjautuvissa menetelmissä kuitenkin saadaan si-vutuotteena estimaatti kohteen vaimennusjakaumasta, jolla voi olla merkittävää diag-nostista arvoa. Approksimaatiovirhemenetelmällä vastaavaa vaimennusestimaattia eisaada.

Tässä työssä esitellyn menetelmän ongelmana on, että se nykymuodossaan edellyt-tää mittausvirheen olettamista normaalijakautuneeksi, mikä ei vastaa todellisuuttaemissiotomografian tapauksessa. Poisson-kohinalle voidaan kuitenkin tehdä, varsin-kin suurilla kvanttimäärillä, melko hyvä Gaussinen approksimaatio. Approksimaatiokuitenkin tuottanee ongelmia kuvaustilanteissa joissa kohteen aktiivisuus tai projek-tiokuviin käytetty mittausaika on pieni.

Vaikkakin tässä työssä on käsitelty vain SPECT:a, pitäisi esitetyn menetelmän ollakäyttökelpoinen myös positroniemissiotomografiassa (PET). Vastaavanlaista lähesty-mistapaa voitaisiin myös käyttää gammasäteilyn sironnasta aiheutuvan virheen kor-jaamiseen tai esimerkiksi potilaan liikkeistä johtuvien virheiden korjaamiseen.

Esitetty menetelmä ei ole myöskään sidottu tässä työssä käsiteltyyn esimerkkita-paukseen mittauslaitteiston tai mittauskohteen osalta, eikä myöskään vain kaksiu-lotteiseen, yhden leikekuvan, tapaukseen. Aidosti kolmiulotteisen tomografian huo-mattavasti korkeampi dimensio luo merkittävän käytännön ongelman, koska käytetytkovarianssimatriisit kasvavat todella suuriksi. Approksimaatiovirheen kovarianssimat-riisit ovat myös yleensä lähes täysiä, eli melkein kaikki niiden alkioista ovat nollastapoikkeavia.

27

Viitteet

[1] S. R. Arridge, J. P. Kaipio, V. Kolehmainen, M. Schweiger, E. Somersalo, et.al.Approximation errors and model reduction with an application in optical dif-fusion tomography. Inverse Problems, 22(1):175, 2006.

[2] Å. Björck. Numerical methods for least squares problems. SIAM, 1996.

[3] P. P. Bruyant. Analytic and iterative reconstruction algorithms in SPECT. Jour-nal of Nuclear Medicine, 43(10):1343–1358, 2002.

[4] J. J. S. Chen, N. D. Lafrance, M. D. Allo, D. S. Cooper, ja P. W. Ladenson.Single photon emission computed tomography of the thyroid. The Journal ofClinical Endocrinology & Metabolism, 66(6):1240–1246, 1988.

[5] B. D. Collier Jr., R. S. Hellman, ja A. Z. Krasnow. Bone SPECT. Seminars inNuclear Medicine, 17(3):247 – 266, 1987.

[6] H. E. Fleming. Equivalence of regularization and truncated iteration in the solu-tion of ill-posed image reconstruction problems. Linear Algebra Appl., 130:133–150, 1990.

[7] R. Gordon, R. Bender, ja G. T. Herman. Algebraic reconstruction techniques(ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography. J TheorBiol, 29:471–481, 1970.

[8] P. J. Green. Bayesian reconstructions from emission tomography data using amodified EM algorithm. IEEE Trans. Med. Imag., 9(1):84–93, 1990.

[9] P. C. Hansen. The truncated SVD as a method for regularization. BIT NumericalMathematics, 27:534–553, 1987.

[10] G. V. Heller, T. M. Bateman, L. L. Johnson, S. J. Cullom, J. A. Case, J. R. Galt,et.al. Clinical value of attenuation correction in stress-only Tc-99m sestamibispect imaging. Journal of Nuclear Cardiology, 11(3):273 – 281, 2004.

[11] B. L. Holman ja M. D. Devous Sr. Functional brains SPECT: The emergence ofa powerful clinical method. J Nucl Med, 33:1888–1904, 1992.

[12] H. M. Hudson ja R. S. Larkin. Accelerated image reconstruction using orderedsubsets of projection data. IEEE Trans. Med. Imag., 13(4):601–609, 1994.

[13] D. J. Kadrmas, E. C. Frey, ja B. M. W. Tsui. Application of reconstruction-based scatter compensation to thallium-201 SPECT: Implementations for re-duced reconstruction image noise. IEEE Trans. Med. Imag., 17:325–333, 1998.

[14] J. P. Kaipio ja E. Somersalo. Statistical and Computational Inverse Problems.Springer, New York, 2005.

[15] J. P. Kaipio ja E. Somersalo. Statistical inverse problems: Discretization, modelreduction and inverse crimes. Journal of Computational and Applied Mathema-tics, 198(2):493 – 504, 2007. Applied Computational Inverse Problems.

28

[16] P. E. Kinahan, M. Defrise, ja R. Clackdoyle. Analytic image reconstruction met-hods. Kirjassa Emission Tomography: The Fundamentals of PET and SPECT,sivut 421–442. Elsevier-Academic Press, San Diego, CA, 2004.

[17] V. Kolehmainen, M. Schweiger, I. Nissilä, T. Tarvainen, S. R. Arridge, ja J. P.Kaipio. Approximation errors and model reduction in three-dimensional diffuseoptical tomography. J. Opt.Soc.Am. A, 26(10):2257–2268, 2009.

[18] V. Kolehmainen, T. Tarvainen, S. R. Arridge, ja J. P. Kaipio. Marginalizationof uninteresting distributed parameters in inverse problems – application to dif-fuse optical tomography. International Journal for Uncertainty Quantification,1(1):1–17, 2011.

[19] A. Lipponen, A. Seppänen, J. Hämäläinen, ja J. P. Kaipio. Nonstationary in-version of convection-diffusion problem – recovery from unknown nonstationaryvelocity fields. Inverse Problems and Imaging, 4(3):463–483, 2010.

[20] J Maddahi, H Kiat, K. F. Van Train, F. Prigent, J. Friedman, E. V. Garcia,et.al. Myocardial perfusion imaging with technetium-99m sestamibi SPECT inthe evaluation of coronary artery disease. The American Journal of Cardiology,66(13):E55 – E62, 1990.

[21] Y. Masood, Y.-H. Liu, G. DePuey, R. Taillefer, L. I. Araujo, S. Allen,et.al. Clinical validation of spect attenuation correction using x-ray computedtomography-derived attenuation maps: Multicenter clinical trial with angiograp-hic correlation. Journal of Nuclear Cardiology, 12(6):676 – 686, 2005.

[22] A. Nissinen, L. M. Heikkinen, ja J. P. Kaipio. The Bayesian approximation errorapproach for electrical impedance tomography – experimental results. Measure-ment Science and Technology, 19(1):015501, 2008.

[23] A. Nissinen, L. M. Heikkinen, V. Kolehmainen, ja J. P. Kaipio. Compensationof errors due to discretization, domain truncation and unknown contact impe-dances in electrical impedance tomography. Measurement Science and Techno-logy, 20(10):105504, 2009.

[24] A. Nissinen, V. Kolehmainen, ja J. P. Kaipio. Compensation of errors due toincorrect model geometry in electrical impedance tomography. Journal of Phy-sics: Conference Series, 224(1):012050, 2010.

[25] V. Y. Panin, G. L. Zeng, ja G. T. Gullberg. Total variation regulated EMalgorithm. IEEE Transactions on Nuclear Science, 46(6):2202–2210, 1999.

[26] R. Ramlau, R. Clackdoyle, F. Noo, ja G. Bal. Accurate attenuation correctionin SPECT imaging using optimization of bilinear functions and assuming anunknown spatially-varying attenuation distribution. ZAMM - Journal of AppliedMathematics and Mechanics, 80(9):613–621, 2000.

[27] T. A. Riauka ja Z. W. Gortel. Photon propagation and detection in single-photon emission computed tomography – an analytical approach. Med. Phys.,21:1311–1321, 1994.

29

[28] L. I. Rudin, S. Osher, ja E. Fatemi. Nonlinear total variation based noise removalalgorithms. Physica D, 60:259–268, 1992.

[29] M. Schmidt, E. van den Berg, M. P. Friedlander, ja K. Murphy. Optimizing costlyfunctions with simple constraints: A limited-memory projected quasi-Newtonalgorithm. Kirjassa AI & Statistics, 2009.

[30] L. A. Shepp ja Y. Vardi. Maximum likelihood reconstruction for emission tomo-graphy. IEEE Trans. Med. Imag., 1(2):113–122, 1982.

[31] T. Tarvainen, V. Kolehmainen, J. P. Kaipio, ja S. R. Arridge. Corrections tolinear methods for diffuse optical tomography using approximation error model-ling. Biomedical Optics Express, 1(1):209–222, 2010.

[32] T. Tarvainen, V. Kolehmainen, A. Pulkkinen, M. Vauhkonen, M. Schweiger, S. R.Arridge, ja J. P. Kaipio. An approximation error approach for compensatingfor modelling errors between the radiative transfer equation and the diffusionapproximation in diffuse optical tomography. Inverse Problems, 26(1):015005,2010.

[33] R. Thierry, J.-L. Pettier, ja L. Desbat. Simultaneous compensation for attenua-tion, scatter and detector response for 2D-emission tomography on nuclear was-te with reduced data. Kirjassa Proc. 1st World Congress on Industrial ProcessTomography, 1999.

[34] A. N. Tikhonov ja V. Y. Arsenin. Solutions of ill-posed problems. Winston &Sons, Washington, 1977.

[35] J. W. Wallis, T. R. Miller, ja P. Koppel. Attenuation correction in cardiacSPECT without a transmission measurement. J Nucl Med, 36(3):506–512, 1995.

[36] G. L. Zeng, J. R. Galt, M. N. Wernick, R. A. Mintzer, ja J. N. Aarsvold. Single-photon emission computed tomogaphy. Kirjassa Emission Tomography: The Fun-damentals of PET and SPECT, sivut 127–166. Elsevier-Academic Press, SanDiego, CA, 2004.

30

Documents

LuK PVarvia