LXXXVIII Encuentro Anual – Temuco 2019dme.ufro.cl/somachi2019/doc/sesion02.pdf · 2019-10-25 · LXXXVIII Encuentro Anual – Temuco 2019 Sociedad de Matem´atica de Chile Linealizacion

LXXXVIII Encuentro Anual – Temuco 2019

Sociedad de Matematica de Chile

Familias coseno y seno en escalas temporales

Aldo Pereira

⇤

Abstract

Familias coseno y seno definidas en espacios de Banach son herramientas utiles en elestudio de una amplia clase de ecuaciones de evolucion abstractas. En este trabajo, mo-tivados por la reciente introduccion de C0-semigrupos, familias coseno y seno discretas[1], y C0-semigrupos en escalas temporales [3], we presentamos una definicion de famil-ias coseno y seno en escalas temporales, relacionadas a un tipo particular de ecuacionde segundo orden. Esta formulacion permite unificar los casos continuo y discreto, conaquellos que se encuentran entre los ya mencionados [2]. Estudiamos la relacion entrela familia coseno en escalas temporales y su generador, la familia seno en escalas tem-porales, y sus propiedades principales. Finalmente, aplicamos nuestra teorıa al estudiode los problemas abstractos de Cauchy homogeneo y no homogeneo en espacios de Ba-nach. Este es un trabajo en conjunto con Jaqueline Mesquita (U. de Brasılia, Brasil) yRodrigo Ponce (U. de Talca, Chile).

References

[1] R. Agarwal, C. Cuevas, C. Lizama, Regularity of Di↵erence Equations on Banach

spaces, Springer-Verlag, New York, 2014.

[2] M. Bohner, A. Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with

Applications, Birkhauser, Boston, 2001.

[3] H.R. Henrquez, C. Lizama, J.G. Mesquita, Semigroups on time scales and applications

to abstract Cauchy problems, submitted.

⇤Departamento de Matematica, Universidade de Brasılia, Brasil. e-mail: [email protected]

1



Sobre algunas propiedades de la solucion fundamental de una

ecuacion telegrafica no local en tiempo.

Francisco Alegria M.

*

Resumen

En esta charla, hablaremos de una ecuacion telegrafica no local en tiempo que mez-

cla dinamicas temporales. Nos enfocaremos en estudiar algunas propiedades de la so-

lucion fundamental asociada a dicha ecuacion. En particular, veremos que la solucion

fundamental es una funcion de densidad de probabilidad y que el respectivo proceso

estocastico asociado a esta solucion posee una varianza la cual, dependiendo de ciertas

condiciones, puede crecer de manera arbitrariamente lenta.

Referencias

[1] Schilling, Rene L. and Song, Renming and Vondracek, Zoran. Bernstein functions.

De Gruyter Studies in Mathematics (2010), xii+313.

[2] Pruss, Jan . Evolutionary integral equations and applications. Modern Birkhuser

Classics. Birkhuser/Springer Basel AG, Basel, 1993. xxvi+366 pp.

[3] Juan C. Pozo and Vicente Vergara. A non-local in time telegraph equation.

Nonlinear Analysis (2019), In press.

*Departamento de fısica y matematica, Universidad Austral de Chile, Chile, e-mail:

[email protected].

1



Linealizacion suave de una EDO no autonoma.

´

Alvaro Casta

˜

neda

*

Resumen

En esta charla mostraremos un teorema de linelizacion suave para una ecuacion

diferencial autonoma con dicotomıa exponencial uniforme. A saber, mostraremos que

la conjugacion topologica entre los sistemas

x = A(t)x

y

y = A(t)y + f(t, y)

es de clase C

rcon r � 1 cuando el sistema lineal es uniformemente asintoticamente

estable y f tiene propiedades adecuadas.

Referencias

[1]

´

A. Castaneda, P. Monzon and G. Robledo, Smoothness of topological equivalence on

the half–line for nonautonomous systems , Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (2019)

doi.org/10.1017/prm.2019.32

[2]

´

A. Castaneda, P. Monzon and G. Robledo Nonuniform contractions and density stabi-

lity results via a smooth topological equivalence, arxiv.org/abs/1808.07568

*Departamento de Matematicas, Universidad de Chile, e-mail: [email protected].

1



Fundamental solutions for fractional di↵erential equations

involving fractional powers of finite di↵erence operators

Jorge Gonz

´

alez Camus

*

Resumen

In this talk we study the representation of the solution (unique) for the followingtime/space fractional evolution equation:

(D�

t u(n, t) = Bu(n, t) + g(n, t), n 2 Z, t > 0.

u(n, 0) = '(n), ut(n, 0) = �(n) n 2 Z,(1)

where we consider the operator Bf(n) = (K ⇤ f)(n), with K 2 l1(Z), f 2 lp(Z),p 2 [1,1] and � 2 (1, 2] is real number. We recall that D�

t denotes the Caputo fractionalderivative.

It is important remark the fact that fractional powers for a class of the finite dif-ference operators have a representation through discrete convolution, involving kernelssatisfying the above hypotheses, for instance the discrete fractional Laplacian and thediscrete fractional left/right derivative.

Referencias

[1] H. Bateman, Some simple di↵erential di↵erence equations and the related functions.

Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 494–512.

[2] J. Gonzalez-Camus, V. Keyantuo, C. Lizama and M.Warma. Fundamental solutions for

discrete dynamical systems involving the fractional Laplacian. Mathematical Methodsin the Applied Sciences, (2019), 1–24. Commun. Math. Phys. (2013) 222: 221–232

[3] M. Ortigueira. Fractional central di↵erences and derivatives. J. Vib. Control 14 (2008),no. 9-10, 1255–1266.

*Departamento de Matematicas y Computacion, Universidad de Santiago de Chile. e-mail:

[email protected].

1



Ecuaciones de Schrodinger tiempo-espacio fraccionario sobre

una escala de espacios de Sobolev

Jos

´

e Ram

´

ırez Molina

*

ResumenEl objetivo de la presente charla es demostrar existencia, unicidad y propie-

dades de regularidad de soluciones (debiles) para una clase de ecuaciones de Schrodingertiempo-espacio fraccionario no lineales definidas sobre un espacio de Sobolev fracciona-rio H—(Rn), donde n œ N, — > 0, ver [3].

Referencias[1] N. Laskin. Time fractional quantum mechanics. Chaos Solitons Fractals (2017), 1–13.

[2] P. Gorka, H. Prado and J. Trujillo. The time fractional Schrodinger equation on Hilbertspace. Integral Equations and Operator Theory. 87 (2017), 1–14.

[3] H. Prado and J. Ramırez. The fractional in time Schrodinger equation with a Hartreeperturbation. Submitted (2019).

*Facultad de Ciencia, Departamento de Matematica y Ciencia de la Computacion,e-mail:

[email protected].

1



Formulas asintoticas para soluciones de ecuaciones

diferenciales impulsivas con argumento constante a trozos.

Ricardo Torres Naranjo

*

Trabajo en conjunto con Manuel Pinto. (Universidad de Chile).

Resumen

Consideremos x

0(t) = f(t, x(t), x(�(t))), donde �(t) es un argumento constante a trozos

generalizado. �(t) = ⇣k, si t 2 Ik = [tk, tk+1) , para (tk)k2Z y (⇣k)k2Z tales que tk <

tk+1 , 8k 2 Z con lım

k!±1tk = ±1, tk ⇣k tk+1. Si en el caso anterior la continuidad

en los extremos de los intervalos Ik no es considerada, se da origen a las Ecuaciones

diferenciales impulsivas con argumento constante a trozos (IDEPCAG)

x

0(t) = f(t, x(t), x(�(t))), t 6= tk

�x(tk) = Qk(x(t�k )), t = tk (1)

En esta ocasion estudiaremos la existencia de un equilibrio asintotico para la clase de

ecuaciones IDEPCAG a tiempos fijos, basandonos en condiciones de integrabilidad, una

desigualdad del tipo Gronwall-Bellman y del teorema de punto fijo de Banach. Ademas,

probaremos que toda solucion de (1) con x (a) = x0 donde a � ⌧ satisface lım

t!1x(t) = ⇠,

para algun ⇠ 2 Cn, y para ella vale la formula asintotica

x(t) = ⇠ +O0

@Z 1

t�(s)ds+

X

ttk<1µk

1

A.

donde � y µ son constantes de Lipschitz de f y Qk. Tambien estudiaremos el sistema

y

0(t) = A(t)y(t) + f(t, y(t), y(�(t))), t 6= tk

�y(tk) = Jky(t�k ) + Ik(y(t

�k )), t = tk, k 2 N (2)

y probaremos que toda solucion y(t) de (2) satisface y(t) = �(t) (⇠ + ✏(t)), cuando t !1, donde �(t) es la matriz fundamental del sistema lineal impulsivo asociado.

Referencias

[1] S. Castillo, M. Pinto, R. Torres, Asymptotic formulae for solutions to impulsive di↵e-

rential equations with piecewise constant argument of generalized type Electronic Jour-

nal of Di↵erential Equations, Vol. 2019 (2019), 40, pp. 122. ISSN: 1072-6691. URL:

http://ejde.math.txstate.edu.

*Instituto de Cs. Fısicas y Matematicas, Facultad de Ciencias, Universidad Austral de Chile, Valdivia,

Chile. Partially supported by Fondecyt N

�1170466. e-mail: [email protected]

1



Approximation of Mild Solutions of Delay Di↵erential

Equations on Banach Spaces

Felipe Poblete

*

Resumen

In this talk we will show an approximation of a mild a solution y of a semilinearfirst order abstract di↵erential problem with delay, which depends of an initial historycondition and an unbounded closed linear operator A generating a C0-semigroup ona Banach space X. The approximation considers the mild solutions (z�)�>0 of the co-rresponding family of di↵erential equations with piecewise constant argument, varyingthe semilinear term with a parameter �. Our main results is about the obtaining of thesolution z� in terms of a di↵erence equation on X and conditions to ensure uniform con-vergence of z� to y as � ! 0, on compact and unbounded intervals. We obtain explicitexponential decay estimates for the error function using the stability of the semigroupand the Halanay’s inequality. Also with a new idea and method we prove that the ap-proximation is stable and there exists a transference of asymptotic stability betweenthe solution of delayed di↵erential equation and its corresponding di↵erence equation,obtained by piecewise constant argument.

*Instituto de Ciencias Fsicas y Matemticas, Facultad de Ciencias, Universidad Austral de Chile, e-mail:[email protected]. Partially supported by CONICYT + FONDECYT/Iniciacion + 11181263

1

LXXXVIII Encuentro Anual – Temuco 2019Sociedad de Matematica de Chile

Propiedades suavizantes para la ecuacion de

Zakharov-Kuznetsov

Octavio Vera * Veronica Poblete **

Resumen

En este trabajo estudiamos la regularidad de la ecuacion dos dimensional Zakharov-Kuznetsov (ZK):

(u

t

+ u

xxx

+ u

xyy

+ uu

x

= 0, (x, y) 2 R2, t 2 R.

u(x, y, 0) = u0(x, y).

Concretamente, probamos ganancia en la regularidad de solucion respecto a lo co-nocido para estos modelos. Para esto, trabajamos en espacios apropiados con peso yprobamos varias desigualdades validas en estos espacios. Nuestro principal resultadoestablece que si el dato inicial u0 posee cierta regularidad y suficiente decaimiento en elinfinito, entonces la solucion de la ecuacion (ZK) sera mas suave que u0.

Referencias

[1] O. V. Besov, V. P. II’in, S. M. Nikolskii. Integral representations of functions and

imbedding theorem. Vol. I. J. Wiley. 1978.

[2] D. Lannes, F. Linares, J. Saut. The Cauchy problem for the Euler Poisson system and

derivation of the Zakharov-Kuznetsov equation in: Studies in Phase Space Analysis

with Applications to PDEs in: Progr. Nonlinear Di↵erential Equations Appl. Vol. 84.Birkhauser, Springer (2013) 181-213.

[3] J. Levandosky, M. Sepulveda, O. Vera. Gain of regularity for the KP-I equation. JDE.245 (2008) 762-808.

[4] V. E. Zakharov, E. A. Kuznetsov. Three dimensional solitons. Sov. Phys. JETP. 39(1974) 285-286.

*Departamento de Matematicas, Universidad del Bıo-Bıo, Concepcion, e-mail: [email protected]

**Departamento de Matematicas, Universidad del Chile, e-mail: [email protected]

1



Some Relations Between Senior and Junior Exponents and the

Exponential Dichotomy Spectrum

Gonzalo Robledo

*

Resumen

Given a linear system of di↵erence equations

xn+1 = A(n)xn, (1)

where the sequence of matrices A:Z+ ! Md(R) satisfies the following properties:

(A1) The matrices A(n) are non–singular for any n 2 Z+.

(A2) Given a matrix norm || · ||, there exists M > 0 such that

supn2Z+

{||A(n)||, ||A�1(n)||} M for any n 2 Z+,

we will study some relations between the spectrum of the exponential dichotomy withthe senior upper Bohl exponent

⌦0(A) := lım supm,n�m!+1

(||X(n,m)||)1

n�m (2)

and the junior lower Bohl exponent

!0(A) := lım infm,n�m!+1

�||X�1(n,m)||

� �1n�m

, (3)

where X(n,m) is the transition matrix associated to (1).

Referencias

[1] B. Aulbach, S. Siegmund. A spectral theory for nonautonomous di↵erence equations.Proc. of 5th Int. Conference on Di↵erence Equations and Applications, Temuco/Chile,45–55, 2000.

[2] I. Gohberg, M.A. Kaashoek, J. Kos, Classification of linear periodic di↵erence equations

under periodic kinematic similarity. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 21 (1999) 481–507.

*Departamento de Matematicas, Universidad de Chile, Las Palmeras 3425,

˜

Nunoa – Santiago e-mail:

[email protected]

1

[3] C. Potzsche, Fine structure of the dichotomy spectrum. Integral Equations Oper.Theory 73 (2012), 107–151.

[4] C. Potzsche, Dichotomy spectra of triangular equations, Discrete Contin. Dyn. Syst.36 (2016), 423–450.

[5] S. Siegmund, Block diagonalization of linear di↵erence equations, J. Di↵erence Equ.Appl., 8 (2002), 177–189.

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