Upload
tranthevut
View
240
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
1/328
NGUYN CHNH TKhoa Ton, i Hc S Phm Hu
Gio trnh in t
L THUYT M RNG TRNG V
GALOIS
Hu 12-2006
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
2/328
D AC TNH KY THUA
T
C the tra cuu den tung phan cu a gio trnh bang cch click vo Bookmarks
bn le tri cu a Acrobat Reader.
C siu kin ket tham kha o cho v tham chieu den cc ti lie
u tham kha o
(305).
C siu lin ket de tra cuu cc thua
t ngu hoa
c no
i dung cu
the bang Ch mu
c
(307) o cuoi gio trnh.
C the lin ket voi trang web ch ra.
C siu lin ket de tham kha o nhanh huong dan gia i cu a tung bi ta
p (250).
C the do
c trn ma
ng, download hoa
c nhanh chng in thnh gio trnh do
c.
C the dng de trnh chieu voi chuc nang View|Full Screen.
ii
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
3/328
MUC LU
C
LOI NI DAU ix
HUONG DAN SU DUNG xiii
VI NT VE LICH SU 1
a) Lich su gia i phuong trnh da thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
b) Cuoc doi cu a Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chuong 0 KIE
N THUC CHUAN BI 21
0.1 Truong. Dac so cu a truong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.2 Vnh da thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
4/328
0.3 Mot so nhm huu ha
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
0.4 Hm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Chuong 1 MO RO
NG TRUONG 45
1 Mo rong truong. Ba
c cu a mo ro
ng truong . . . . . . . . . . . . . 45
1.1 Mo rong truong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2 Bac cu a mo ro
ng truong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Mo rong don . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1 Vnh con v truong con sinh ra boi mot ta
p . . . . . . . . . 53
2.2 Cau trc cu a mo rong don . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Mo rong huu ha
n v mo ro
ng da
i so . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1 Tnh chat cu a mo rong huu ha
n v mo ro
ng da
i so . . . . . 69
iv
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
5/328
3.2 Truong con cc phan tu dai so. Truong dng da
i so. Bao dng
dai so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 Du
ng hnh bang thuoc ke v compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Ba bi ton dung hnh co d ien . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Dieu kien can d e da gic deu p ca
nh du
ng duo
c bang thuoc
ke v compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Bi ta
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Truong phn r cu a mot da thuc. Da thuc tch duo
c . . . . . . . 91
5.1 Truong phn r cu a mot da thuc . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Da thuc tch duoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Chuong 2 L THUYE
T GALOIS 109 6 Tu da ng cau v truong trung gian cu a mo ro
ng truong . . . . . . 109
6.1 Nhm cc tu da ng cau cu a mo ro
ng truong . . . . . . . . . 110
v
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
6/328
6.2 Truong trung gian cu a mo rong truong . . . . . . . . . . . 114
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7 Mo
ro
ng tch du
oc, chuan tac v Galois . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1 Mo rong tch duo
c v di
nh l phan tu nguyn thu y . . . . . 124
7.2 Tiu chuan cu a mo rong Galois v chuan tac . . . . . . . . 127
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8 Dinh l co ba n cu a L thuyet Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Bi ta
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9 Mot so ung dung cu a L thuyet Galois . . . . . . . . . . . . . . . 1569.1 Truong huu ha
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.2 Truong v da thuc chia duong trn . . . . . . . . . . . . . . 160
9.3 Da gic deu dung duo
c bang thuoc ke v compa . . . . . . . 169
9.4 Dinh l co ba n cu a da
i so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10 Nhm Galois cu a da thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.1 Bie
t thuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
vi
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
7/328
10.2 Nhm Galois cu a da thuc bac 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3 Da thuc bac 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.4 D
a thuc tong qut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11 Tiu chuan gia i duoc bang can thuc cu a da thuc . . . . . . . . . 201
11.1 Mo rong can v tiu chuan gia i duo
c . . . . . . . . . . . . . 201
11.2 Tnh khng gia i duoc cu a da thuc c ba
c lon hon bon . . . . 211
11.3 Nghiem can thuc cu a cc da thuc tong qut c ba
c khng qu 4213
Bi tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
PHU
LU
C 223
A Nhm gia i duoc v nhm don . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B Dinh l Sylow v Di
nh l Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 239
C Bao dng dai so cu a mo
t truong . . . . . . . . . . . . . . . 242
D So luoc ve Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
HUONG DAN GIA I BI TA
P 250
vii
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
8/328
BA NG K HIEU V QUY UOC 302
TI LIE
U THAM KHA O 305
CHI MUC 307
viii
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
9/328
LOI NI DAU
L thuyet Galois l mot trong nhung l thuyet de
p de nhat cu a da
i so, ta
p ho
p
nhieu kien thuc v phuong php cu a cc lnh vuc ton hoc khc nhau, nham gia iquyet cc bi ton co d ien v nhung van d e quan tro
ng khc cu a da
i so hie
n da
i.
Mot trong nhung ung du
ng chu yeu cu a L thuyet Galois l gia i quyet bi ton
tm nghiem can thuc cu a phuong trnh da thuc, da
c bie
t ch ra rang phuong trnh
bac lon hon bon khng the gia i duo
c bang can thuc. Ma
t khc, L thuyet Galois cho
php xc dinh da gic deu n ca
nh du
ng duo
c bang thuoc ke v compa. Bn ca
nh
d, chng ta nhan d uo
c tu L thuyet Galois loi gia i cho ba bi ton du
ng hnh co
d ien, d l khng the (bang thuoc ke v compa) chia ba mot gc, gap di hnh la
p
phuong hoac cau phuong duong trn.
Do tam quan trong cu a L thuyet Truong v Galois m tu nam 1986, mn ho
c
ny d duoc Bo
Gio du
c v do ta
o dua vo trong chuong trnh chnh thuc cu a
khoa Ton cc truong Dai hoc v Cao da ng, dac biet l cho khoa Ton cc TruongSu pha
m. Hon the, L thuyet Galois cung d uo
c gia ng da
y cho cc lop Cao Ho
c, xem
nhu kien thuc co ba n de tu d mo rong cho nhung nghin cuu l thuyet v ung
du
ng su sac hon. ix
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
10/328
Gio trnh ny ra doi trn co so bi gia ng cu a tc gia cho sinh vin Khoa Ton,
Truong Dai ho
c su pha
m Hue suot hon 10 nam tru
c tiep gia ng da
y mn ho
c ny.
Trong qu trnh d, ba n tha o duoc chnh sua v bo sung sao cho vua ph ho
p voi
chuong trnh cu a Bo
Gio duc v Do ta
o, vua dp ung nhu cau su du
ng cc cng
cu
moi cu a dai so tnh ton, vua bo sung nhung kien thuc lin quan kh c the
tm du trong mot vi quyen sch tham kha o. V the, gio trnh ra doi, truoc het,
nham dp ung nhu cau su dung cu a sinh vin da
i ho
c, cao da ng v ho
c vin cao
hoc ngnh ton. Bn ca
nh d, gio trnh c the l mo
t ti lie
u tham kha o bo ch cho
gio vin pho thng trung hoc v hoc sinh gio i. Ho c the tm thay trong gio trnhny co so ton ho
c cha
t che cho vie
c tm nghie
m can thuc cu a phuong trnh da
thuc, cu a cc bi ton dung hnh bang thuoc ke v compa, nhung kien thuc ve li
ch
su ton hoc lin quan. Ngoi ra, gio trnh so luo
c gioi thie
u ve Maple, mo
t trong
nhung he
thong tnh ton dai so ma
nh me v pho bien nhat hie
n nay. Thng qua
nhung v du
minh ho
a, gio trnh ch ra kha nang tnh ton ma
nh me cu a Maple
cung nhu viec ho tro dac luc cu a phan mem ny cho cc gio vin pho thng, chosinh vin v ho
c sinh trong hoa
t do
ng gia ng da
y, nghin cuu v ho
c ta
p ton.
x
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
11/328
Gio trnh duoc bin soa
n trn nguyn tac da m ba o day du v cha
t che cu a kien
thuc. De lm viec voi gio trnh ny, do
c gia ch can mo
t so kien thuc co so cu a da
i
so tuyen tnh, lgic, dai so da
i cuong nhu d ho
c trong nam thu nhat v thu hai
cu a Dai ho
c hoa
c Cao da ng. Ngoi nhung kien thuc d, nhung khi nie
m moi duo
c
dinh ngha v nhung ket qua moi d eu d uo
c chung minh day d u . Phan kien thuc
bo sung, neu chua duoc ho
c trong nhung nam dau tin cu a chuong trnh Da
i ho
c,
Cao da ng, se duoc gioi thie
u chi tiet trong Phu
lu
c. Cuoi moi tiet (), gio trnh
cung cap mot he
thong phong ph cc bi ta
p tu de den kh, bat dau tu bi trac
nghiem l thuyet nham gip doc gia nam mot cch chac chan nhung khi niem vket qua chu yeu. Gan 150 bi ta
p trong gio trnh deu c phan huong dan gia i day
du trong no luc gip do
c gia c the tu
ho
c. Qua thu
c te gia ng da
y, tc gia cho rang
viec da
y-ho
c ton hie
n nay ni chung, o da
i ho
c ni ring, nguoi da
y v nguoi ho
c
can khai thc su ho tro
hie
u qua cu a cc phan mem ton ho
c. C su
ho tro
ny,
vie
c da
y-ho
c c nhung thay doi tch cu
c v chat luo
ng gio du
c duo
c ca i thie
n r
ret. Cng voi viec nam vung kien thuc l thuyet, c kha nang gia i quyet cc biton ung du
ng, nguoi ho
c can biet su du
ng cc phan mem ho tro
cho cc mu
c dch
xi
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
12/328
tnh ton cu
the. C nhieu tnh ton rat kh v phuc tap truoc dy nay tro nn
v cng don gia n voi su tro
gip cu a cc phan mem ton ho
c. Trn tinh than d,
o
nhung vi
tr thch ho
p, tc gia bo sung cc le
nh v v du
minh ho
a cho vie
c su
dung Maple.
De hon thnh gio trnh ny, tc gia d nhan duo
c su
ho tro
cu a nhieu the he
sinh vin v ho
c vin cao ho
c trong vie
c pht hie
n, sua chua sai st trong gio
trnh. Nhieu thay c, dong nghiep v ba
n b cung d dng gp nhieu kien qu
bu trong qu trnh bin soan. Nhn di
p gio trnh ny ra doi, tc gia , mo
t lan
nua, goi loi ca m on su sac den cc thay c, dong nghiep, ban b v sinh vin venhung gip do v gi trn.
Mac d d co gang, gio trnh ny khng the trnh kho i nhung thieu st. Tc
gia v cng biet on neu nhan duo
c nhung kien dng gp, bnh lua
n v nhung
pht hien loi trong gio trnh ny cu a d o
c gia gan xa. Mo
i kien dng gp, trao doi
xin gui ve di
a ch : TS. Nguyen Chnh T, Khoa Ton, Truong Da
i ho
c su pha
m
Hue, 32 L Loi, Thnh pho Hue, email: [email protected].
Hue ngy 25 thng 4 nam 2007.
xii
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
13/328
HUONG DAN SU DUNG
L thuyet Galois c nhieu cch tiep can khc nhau. Mo
t cch tiep ca
n c nhieu
uu diem l trnh by L thuyet Galois trn co so L thuyet mo rong truong. Quand iem d cu a Bo
Gio du
c v do ta
o duo
c chng ti thong nhat trong vie
c bin
soan gio trnh ny. Gio trnh c 2 chuong, ung voi L thuyet mo ro
ng truong v
L thuyet Galois. Moi chuong duoc chia ra thnh cc tiet () tuong ung voi 4-5 gio
hoc ta
p trn lop. Ngoi ra, gio trnh c bo sung phan Kien thuc chuan bi
(Chuong
0), nham nhac la
i nhung kien thuc cu chu yeu c lin quan sau ny. Gio trnh co
gang trnh by theo thu tu hop l nhat cu a viec gia ng day-hoc tap mn hoc. Tuynhin ty theo mu
c dch m do
c gia c the su du
ng theo mo
t thu tu
ph ho
p khc.
Sau khi doc xong phan l thuyet cu a tiet, do
c gia can tu
mnh gia i quyet cc bi
tap cuoi tiet v tra loi bi ta
p trac nghie
m (c the tham kha o phan huong dan, neu
can). Cc bi tap duo
c sap xep tu de den kh ; nhung bi ta
p (*) di hoi su
tu duy
cao hon. Nhu d trnh by, ne
u c die`u kien, doc gia
nn khai thc su
dung Maplethng qua cc v du
v no
i dung cu
the trong gio trnh.
Tu ( 8), gio trnh su dung thm cc kien thuc su sac hon cu a da
i so da
i cuong.
xiii
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
14/328
Nhung kien thuc ny duoc trnh by chi tiet trong Phu
luc.
Cc dinh l, me
nh de, he
qua , bo de duo
c dnh so theo tung tiet, v du
Me
nh de
2.3 nam trong
2 v duoc trch dan l Me
nh de 2.3 hoa
c go
n hon l 2.3. Cc
cng thuc hoac phuong trnh duo
c dnh so tu dau d en cuoi gio trnh ve bn pha i,
v du
Df = 4p3 27q2 (1)duo
c trch dan l (1). Ring phan Phu
lu
c, moi di
nh l, me
nh de,...duo
c dnh so
voi mot chu ci dung truoc, v du
Me
nh de A.2. duo
c trch dan l Me
nh de A.2.
hay don gia n l A.2.. Gio trnh c ba ng cc k hieu su dung trong gio trnh vphan Ch Mu
c (307) (Index) nham gip do
c gia de dng tra cuu duo
c no
i dung khi
niem hoa
c kien thuc can thiet.
xiv
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
15/328
VI NT VE LICH SU 1
A) LI
CH SU GIA I PHUONG TRNH D A THUC
Ngy nay, nguoi ta tin rang, viec gia i phuong trnh da thuc ba
c hai d duo
c cc
nh ton hoc co da
i Babilon quan tm cch dy gan 4000 nam. Nhung tam dat st
c nin dai 1600 BC duo
c tm thay cu a nen van minh Babilon cn ghi la
i vie
c tm
nghiem cu a nhung phuong trnh ba
c hai cu
the. Tuy nhin, nhung loi gia i trn
duoc m ta bang phuong php hnh ho
c v do d ch lin quan den nhung phuong
trnh bac hai c he so lon hon 0.Nhung phuong php hnh ho
c de gia i phuong trnh ba
c hai tiep tu
c duo
c nh
ton hoc v da
i Hy La
p Euclid (325 BC-265 BC) de ca
p den. Mi den the k thu 7,
nh ton hoc An Do
Brahmagupta (598-665), moi trnh by mo
t cch gia i phuong
trnh bac hai c su du
ng so m v cc k hie
u, dnh dau su
pht trien cu a da
i so.
Viec xt mo
t cch day du nghie
m cu a phuong trnh ba
c hai bang phuong php
dai so ch duo
c thu
c hie
n boi cc nh ton ho
c Arab, tiu bieu l al-Khwarizmi
1Thng tin trong phan ny duoc tham kha o chu yeu tu [5] v [7].
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
16/328
2 Vi nt ve lich su
(780-880). Tuy nhin, cc nh ton hoc Arab la
i chua biet den so m, do d trong
cuon sch cu a mnh c tn Hisabal-jabrwal-muqaba, al-Khwarizmi d phn
thnh 6 loai phuong trnh ba
c hai, ung voi 6 chuong trong cuon sch v trnh
by cch gia i cho tung loai. Dy duo
c xem l cuon sch dau tin ve da
i so v tu
Algebra (dai so) ra doi tu tn cu a cuon sch ny. Den nam 1145, cuon sch noi
tieng cu a nh ton hoc Ty Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136)
duoc xuat ba n o chu u c tn Latinh l Liber ambadorum cung trnh by day
du nghiem cu a cc phuong trnh ba
c hai.
Truong phi ton hoc Italy khoi dau khoa ng nam 1500 voi cuon sch cu a Luca
Pacioli (1445-1517) xuat ba n nam 1494, duoc biet den voi tn viet tat l Suma,
trong d loigia i cu aphuong trnh bachaiduo
c trnh by chi tiet bang ngn ngu da
i
so hien da
i. Pacioli khng de ca
p den vie
c gia i phuong trnh da thuc ba
c ba nhung
ng lai nhac den vie
c gia i phuong trnh da thuc ba
c bon. ng viet, theo ngn ngu
cu a d ai so ngy nay, phuong trnh bac bon x4
= a + bx2
giai duoc bang phuongphp nhudoi voi phuong trnh ba
c hai, nhung cc phuong trnh x4 + ax2 = b v
x4 + a = bx2 th khng thegiai duoc.
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
17/328
Vi nt ve lich su 3
Nguoi dau tin tm duoc nghie
m cu a phuong trnh da thuc ba
c ba l Scipione
del Ferro (1465-1526), mot gio su noi tieng cu a Da
i ho
c Bologna, Italy. Ferro tm
duoc nghie
m can thuc cu a phuong trnh x3 + mx = n. Tat nhin, neu biet su
du
ng khi niem so m cu a cc nh ton ho
c An Do
, th cng thuc nghie
m d l
du de gia i tat ca cc dang cu a phuong trnh ba
c ba. Tuy nhin, lc bay gio, Ferro
khng biet dieu d. Ferro gia i duoc phuong trnh ba
c ba nu trn vo nam 1515,
nhung giu b mat cho den truoc lc qua doi nam 1526 moi tiet lo
cho mo
t nguoi ho
c
tr cu a mnh l Antonio Fior. Fior l mot nguoi ho
c ton bnh thuong v ngay la
p
tuc lm r r loi gia i cu a thay mnh ra ngoi. Tin don ve loi gia i cu a phuong trnhba
c ba lan ro
ng khap Bologna v cc vng ln ca
n, kch thch nh ton ho
c nghie
p
du Niccolo Fontana(1499-1557) tm ra loi gia i cu a phuong trnh x3 + mx2 = n
khng lu sau d. N. Fontana (duoc biet den voi tn Tartaglia) quyet di
nh cng
bo thnh cng cu a mnh. Mot cuo
c thch do khoa ho
c no ra giua Tartaglia v Fior
nam 1535. Lua
t cu a cuo
c thi don gia n l moi nguoi se dua ra 30 phuong trnh ba
c
ba cho doi thu , hen trong 50 ngy, ai gia i duoc nhieu hon th thang. Tat ca ccphuong trnh m Fior dua ra cho Tartaglia deu c da
ng x3 + mx = b v Fior tin
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
18/328
4 Vi nt ve lich su
Hnh 1: Chn dung Tartaglia
chac l Tartaglia khng the gia i duoc. Truoc thoi ha
n cuoi cng 8 ngy, Tatarlia
d tm duoc phuong php tong qut gia i tat ca phuong trnh ba
c ba. Truoc cng
chng, Tartaglia dua ra loi gia i cu a 30 bi ton trong vng 2 gio v d uoc cng nha
n
l nguo`i tha
ng cuo
c. Tuy nhin, ng khng cng bo
lo`i gia
i chi tie
t.
Chien thang cu a Tartaglia lan den Milan, kch thch mot nh ton ho
c nghie
p
du khc, bc s Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lap tuc moi Tartaglia
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
19/328
Vi nt ve lich su 5
den tham Milan vo nam 1539 v tm cch thuyet phuc Tartaglia tiet lo
loi gia i
phuong trnh bac ba cho mnh. Tartaglia dong voi giao uoc Cardano pha i giu
b mat ve loi gia i cho den khi Tartaglia tu
mnh xuat ba n cng trnh d. Nhung
Cardano khng giu giao uoc, loi gia i cu a phuong trnh bac ba v ba
c bon d d uo
c
xuat hien chi tiet trong quyen sch Ars Magna noi tieng cu a Cardano, xuat ba n
nam 1545. Tartaglia v cng tuc gian v trong mo
t bi bo cu a mnh xuat ba n sau
d, Tartaglia kha ng dinh la
i cng lao cu a mnh v ln n su
pha n bo
i cu a Cardano.
Trong Ars Magna, cuon sch tieng Latinh dau tin trn the gioi ve dai so,
Cardano c de cap den cng lao cu a Tartaglia chnh l tc gia cu a cng thuc
nghiem cu a phuong trnh ba
c ba, nhung ng cung gia i thch thm rang vie
c chung
minh cng thuc cung nhu trnh by loi gia i chi tiet l cu a ng cng cc hoc tr cu a
mnh. Dac bie
t, cuon sch cu a Cardano lan dau tin trnh by loi gia i cho 20 loa
i
phuong trnh da thuc bac bon. Cc loi gia i ny deu c chung phuong php l tmnghie
m cu a mo
t phuong trnh phu
ba
c ba (ngy nay ta go
i l giai thuc ba
c ba),
roi su dung n de gia i phuong trnh ba
c bon d cho. Tc gia cu a ket qua ny l
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
20/328
6 Vi nt ve lich su
Hnh 2: Chn dung G. Cardano
Lodovico Ferari (1522-1565), mot trong nhung ho
c tr xuat sac nhat cu a Cardano.
Mot l do nua de gia i thch cho quyet di
nh cu a Cardano l ng pht hie
n ra rang
Ferro l nguoi d gia i duoc cc phuong trnh ba
c ba truoc d 30 nam.
Su ra doi cu a Ars Magna truyen ca m hung cho nhieu nh ton hoc trn thegioi tiep tuc nghin cuu ve phuong trnh da thuc nhu Bombelli (1526-1572, Italy),
Vite (1540-1603, Php), Descartes (1596-1650, Php), Harriot (1560-1621, Anh),
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
21/328
Vi nt ve lich su 7
Hnh 3: Chn dung N. Abel
Tschirnhaus (1651-1708, Duc), Euler (1707-1783, Thu
y S), Bezout (1730-1783,
Php). Sau khi gia i duoc phuong trnh da thuc ba
c ba v bon, van de tm nghie
m
can thuc cho phuong trnh da thuc bac nam duo
c da
t ra mo
t cch tu
nhin v thu
ht su quan tm cu a nhieu nh ton hoc trong mot thoi gian di. Euler that baitrong no luc cu a mnh nhung da
t d uo
c mo
t phuong php moi gia i phuong trnh
bac bon. Lagrange (1736-1813), mo
t nh ton ho
c Italy-Php, d da
t duo
c buoc
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
22/328
8 Vi nt ve lich su
tien quan trong trong vie
c nghin cuu ba n chat qu trnh tm nghie
m cu a phuong
trnh bac nho hon nam ; qu trnh d phu
thuo
c vo vie
c xc di
nh cc hm nghie
m
m chng khng doi duoi tc dong cu a cc hon vi
da
c bie
t trn ta
p nghie
m cu a
da thuc ; ng cung d ch ra rang qu trnh d khng the thuc hie
n duo
c d oi voi da
thuc bac nam. Tu d, gia thuyet ve vie
c khng the gia i duo
c phuong trnh ba
c nam
bang can thuc tro thnh mot thch thuc cho cc nh ton ho
c. Nam 1813, Ruffini
(1765-1822, Italy) d co gang dua ra mot chung minh cho gia thuyet trn, rat tiec
chung minh cu a ng cn nhieu diem khng chnh xc. Van de ch duoc gia i quyet
tron ven boi than dong ton hoc nguoi Na Uy, Niels Henrik Abel (1802-1829) vonam 1824. Abel chua ki
p gia i quyet bi ton tong qut hon l khi no mo
t phuong
trnh da thuc bac n c thegiai duo
c bang can thuc th ng qua doi lc chua trn
27 tuoi. Cng trnh cu a Abel ch duoc cng nha
n v xuat ba n sau d, nam 1830.
Ba nam sau, mot bi ki
ch tuong tu
cung xa y ra voi Evariste Galois (1811-1832),
mot tha`n d o
`ng ton hoc khc. Su ra d i d ot ngot cu a ng d khng kip cho the
gioiton ho
c nha
n ra mo
t trong nhung l thuyet d e
p d e nhat cu a d a
i so, m tu d de
dng c cu tra loi cho bi ton tong qut trn. Pha i doi den nam 1843, muoi mo
t
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
23/328
Vi nt ve lich su 9
Hnh 4: Chn dung Galois lc 15 tuoi
nam sau ngy ng qua doi, nhung tuyn bo sau cu a nh ton hoc Php Joseph
Liouville (1809-1882) trong buc thu gui cho Vien Hn Lm Khoa Ho
c Php moi
dnh dau su thua nha
n chnh thuc cu a co
ng dong ton ho
c dnh cho E. Galois.
Liouville viet :
Hy vo
ng ti se mang den cho Vie
n Hn Lm mo
t suquan tm da
c bie
t bang
vie
c cng bo rang ti d pht hie
n duoc trong cc cng trnh cua Evariste
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
24/328
10 Vi nt ve lich su
Galois loi giai hon hao v su sac cho bi ton noi tieng: khi no th
phuong trnh da thuc giai duoc bang can thuc.
Abel v Galois, hai so phan bat hanh voi nhieu diem tuong dong k la, xuat hien
v bien mat nhu hai vet sao bang sng chi trn bau troi ton ho
c. Su
ton ta
i ngan
ngu i cu a ho
d de lai nhung di sa n v da
i cho van ha nhn loa
i. Cng trnh cu a
Abel v Galois khp lai mo
t chuong cu a li
ch su gia i phuong trnh da thuc v mo
ra nhieu chuong moi cu a dai so hie
n da
i, khoi nguon cho nhung l thuyet de
p de
cng nhieu ung du
ng quan tro
ng khc.
B) CUO
C D OI CUA EVARISTE GALOIS
Evariste Galois sinh ngy 25 thng 10 nam 1811 tai Bourg-la-Reine, mo
t vng
ngoai cu athu d Paris nuoc Php, trong mo
t gia dnh tr thuc. Bo Galois l mo
t
nguoi noi tieng, nhieu nam l thi
truong cu a Bourg-la-Reine. Me
ng am hieu
nhie`u lnh vuc nhu trie
t hoc, ngn ngu, tha
`n hoc. Galois duoc me day tie
ng Hyla
p, Latinh, than ho
c cho den nam 12 tuoi.
Thng 10 nam 1823, Galois bat dau den truong v vo hoc lop 4, Truong Louis-
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
25/328
Vi nt ve lich su 11
le-Grand. Tai dy, Galois som chung kien su
noi da
y cu a ho
c sinh huong ung cuo
c
cch mang chong la
i vua Louis XVIII v sau d l vua Charles X. Gan 40 ho
c sinh
cu a truong bi
duoi hoc trong nam ho
c dau tin cu a Galois. Vie
c ho
c cu a Galois
trong nam hoc d au tin dien ra thua
n lo
i. Galois da
t d iem so tot v nha
n duo
c ho
c
bong. Tuy nhin, viec ho
c trn lop ngy cng tro nn km hap dan v Galois pha i
luu ban vo nam 1826 do thieu diem mn tu tu hoc.
Nam 1827, Galois tham gia kha hoc ton dau tin voi gio su M. Vernier, v
som say m mn ho
c ny. Nam 1828, Galois thi vo truong cole Polytechnique,
truong dai ho
c danh gi hng dau cu a Php nhung khng do. Quay tro ve Louis-
le-Grand, anh tham gia kha hoc ton voi gio su Louis Richard (1795-1849) v
bat dau nghin cuu nhung de ti ring biet cu a mnh. Galois tm do
c cc gio trnh
ton cao cap nhu Hnh ho
c cua Legendre, l thuyet Langrange...Richard viet ve
Galois Sinh vin ny ch quan tm den nhung lnh vuc kh nhat cua ton ho
c.
Suc ht cu a ton hoc lm anh chenh ma ng hon voi viec hoc trn lop. Phie
u nhanxt ve Galois nhung nam d deu m ta anh l mo
t ho
c sinh khc thuong, la
p
di, do
c do v khp kn. Thng 4 nam 1829, Galois c cng trnh ton dau tin
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
26/328
12 Vi nt ve lich su
Hnh 5: Chn dung Galois duoc anh trai ve lai nam 1848
xuat ba n trn tap ch Annales de Mathmatiques ve lin phn so. Cuoi thng 5 v
dau thng 6, Galois gui cho Vien hn lm khoa ho
c Php cc ket qua nghin cuu
ve nghiem cu a phuong trnh da
i so. Cauchy (1789-1857) l nguoi duo
c phn cng
pha n bien v ng d bc bo cc ket qua ny.
Tha m kich bat d au xa y ra voi Galois khi cha anh tu
tu tu mo
t su
vu co c hiem
cu a vi
thay te vng Bourg-la-Reine. Cha cu a Galois l mot chnh khch theo phi
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
27/328
Vi nt ve lich su 13
cong ha. Nhung xung do
t chnh tri
phuc ta
p thoi bay gio giua phi co
ng ha v
ba o hong d li cuon v gp phan day den nhung bi kich lin tiep cho Galois
v gia dnh anh. Ci chet cu a cha gy soc ma
nh me v tc do
ng lon den cuo
c doi
Galois sau ny.
Ch vi tuansaucichet cu a cha, Galois pha itra iqualanthithu hai vo Truong
cole Polytechnique. V Galois lai rot ! Khng na n ch, thng 12 nam 1829, Galois
thi v do vo truong cole Normal. Trong k thi d, vi
gim kha o mn ton d c
nhan xt ve Galois nhu sau :
Ho
c sinh ny nhieu khi dien ta mo
t cch roi ram tuong cua mnh nhungl mo
t ho
c sinh thng minh v c kha nang da
c bie
t trong nghin cuu.
Cn nhung nhan xt cu a vi
gim kha o mn van ho
c l :
D y l hoc sinh duy nhat tra loi rat toi cu hoi cua ti v to ra khng biet
g ca. Truoc dy, nhie`u nguoi ni voi ti ra
`ng hoc sinh ny c nang khie
uda
c bie
t ve ton ho
c. Ti tha
t su
nga
c nhin ve dnh gi d v sau k thi
ny, ti cho rang anh ta khng thng minh lam.
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
28/328
14 Vi nt ve lich su
Cuoi nam 1829, Galois lai gui mo
t cng trnh khc ve l thuyet phuong trnh cho
Cauchy. Mot lan nua Cauchy khng thua nha
n ket qua cu a Galois. Thng 2 nam
1830, Galois gui cng trnh Ve dieu kie
n mo
t phuong trnh giai duo
c bang can
thuc cho Vien hn lm khoa ho
c Php de tham du
gia i thuong ton ho
c cu a Vie
n.
Thu k Vien, gio su noi tieng J. Fourier (1768-1830), l nguoi pha n bie
n cng
trnh cu a Galois. Nhung Fourier qua doi dot ngo
t vo thng 4 nam 1830. V cng
trnh cu a Galois khng bao gio duoc tm thay nua. Khoa ng thoi gian ny, Galois
biet rang mot bi bo cu a nh ton ho
c qu co Abel duo
c xuat ba n trn Bulletin
de Frussac c mot phan ket qua giong cu a mnh. Sau khi tm doc cc bi bo cu aAbel v Jacobi (1804-1851, Duc), Galois d hon thnh cc nghin cuu ve cc hm
elliptic v tch phn aben. Galois d dang 3 cng trnh trn Bulletin de Frussac
trong thng 4 nam 1830. Trong thng 6, Galois biet tin gia i thuong ton hoc cu a
Vien hn lm d duo
c trao dong thoi cho Abel v Jacobi.
Thng 6 nam 1830, nuoc Php suc si voi nhung xung dot giua phe cong hav ba o hong. Vua Charles X bi
truc xuat kho i Php, nhuong ngai vng cho vua
Louis-Phillipe. Cc cuoc bieu tnh, ba
o loa
n, dn p tiep tu
c xa y ra thuong xuyn
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
29/328
Vi nt ve lich su 15
trn cc duong pho Paris. Hieu truong truong cole Normal, GS. M. Guigniault,
nhot hoc sinh trong truong de trnh khng cho ho
c sinh tham gia xuong duong.
Tro tuong ra ngoi khng thnh, Galois viet mo
t bi bo dang trn Gazette des
coles de pha n doi viec kha cua nhot ho
c sinh trong truong cu a hie
u truong.
Galois bi
duoi hoc v tham gia vo pho binh, mo
t binh chu ng trong qun do
i
hong gia. Tuy nhin, den thng 12 nam 1830, pho binh bi
gia i tn boi sac lenh
cu a nh vua do lo so binh chu ng ny l moi de do
a cho ngai vng.
Galois co gang quay tro lai lm ton. Anh mo mo
t lop ho
c ve da
i so cao cap thu
ht khoa ng 40 sinh vin. Nhung sau buoi hoc dau tin, so sinh vin gia m mot cchnhanh chng v cuoi cng lop ho
c tan r. Nhung cng trnh cuoi cng trong doi
Galois l 2 bi bo nho dang trn Annales de Gergonne (thng 12 nam 1830) v
trn Gazette des coles (thng 1 nam 1831).
Thng 1 nam 1831, theo goi cu a vie
n s Vie
n hm lm khoa ho
c Php Poisson
(1781-1840), lan thu ba, Galois gui cng trnh nghin cuu ve phuong trnh cu a
mnh cho Vien hn lm.
Chnh su nuoc Php la
i li cuon Galois, nguoi dang mang tm tra
ng na
ng ne
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
30/328
16 Vi nt ve lich su
khi pha i doi mat voi nhung bat ha
nh don da
p. Nguoi thanh nin ny lin tiep roi
vo vng xoy cu a nhung ngh v hnh dong tiu cu
c. Cuoi nam 1830, muoi chn
s quan pho binh bi
bat ve to
i m luu la
t do ngai vng, nhung duo
c tha bong sau
d. Ngy 9 thng 5 nam 1831, nhung nguoi cong ha to chuc mo
t bua tie
c cho
mung su kie
n ny v ph truong thanh the. Phan khch tu khng kh cu a bua
tiec, Galois deo knh, tay cam dao gam ku go
i mo
i nguoi chong la
i nh vua. Sau
bua tiec, Galois bi
bat giam o nh t Sainte-Plagie. Ra ta, Galois duo
c tha bong
vo ngy 15 thng 6 nam 1831. Ngy 14 thng 7, k niem su
kie
n ngu
c Bastille,
Galois lai xuat hien o hng dau trong cuoc bieu tnh ram ro cu a nhung nguoi congha, voi trang phu
c pho binh, tay cam sng v kiem. Galois la
i bi
tong giam vo
Sainte-Plagie. Lan ny Galois bi
ket n 6 thng t giam. Trong t, Galois nhan
duoc tin ve so pha
n ham hiu cu a cng trnh khoa ho
c m anh gui lan thu 3 cho
Vien hn lm khoa ho
c Php. Poisson nha
n xt ve cng trnh cu a Galois :
Chng ti d co
gang de
hie
u chung minh cua Galois. Ra
t tie
c, lap luancua tc gia khng r rng v nhung ket qua da
t duo
c chua du dechng ti
khang dinh duo
c tnh dng dan cua cng trnh...Ti cho rang tc gia nn
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
31/328
Vi nt ve lich su 17
bin soa
n la
i ton bo
ket qua cua mnh trong mo
t cng trnh thong nhat de
c tnh thuyet phu
c lon hon.
Thng 3 nam 1832, dich ta honh hnh o Paris. Galois cng cc t nhn duocchuyen den nh an duong Sieur Faultrier. Ta
i dy, mo
t con gi mt tuong chung
c the lm diu di nhung dau buon v ta
n trong lng nguoi t tre . Galois dem lng
yu Stephanie-Felice du Motel, con gi cu a mot nh va
t l trong vng. Bat ha
nh
thay, day l mot moi tnh don phuong v la
i l khoi dau cho bi ki
ch lon nhat cu a
Galois. Sau khi duo
c tu
do vo ngy 29 thng 4 nam 1832, Galois tiep tu
c theo
duoi c gi no, nhung c lun tm cch tu choi tnh ca m cu a anh.Trong thoi gian ny, nghe theo loi khuyn cu a Poisson, Galois la
ng le xu chuoi
lai nhung pht minh cu a mnh bang nhung trang viet vo
i vng (Hnh 6).
The roi, Galois bi
li vo cuoc dau sng di
nh me
nh vo ngy 30 thng 5 nam
1832 voi Perscheux dHerbinville. Nguyn nhn cu a cuoc dau sng van chua thu
c
su r rng nhung chac cha
n l c lin quan truc tie
p de
n Stephanie-Felice duMotel. Nhu tin don duo
c ket cu
c, dm 29 thng 5, Galois thuc tro
n d e viet buc
thu cuoi cng cho nguoi ban Auguste Chevalier, tm tat la
i ton bo
pht minh
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
32/328
18 Vi nt ve lich su
Hnh 6: Mot trang ba n tha o cu a Galois
cu a mnh. Rat nhieu doan trong buc thu bi
bi xa nhieu lan voi ch thch ti
khng c du thoi gian. Sng hm sau, Galois buoc chn den dau truong v ket cuc
tin lieu d xay ra. Cuo
i ngy, mot nguoi nng dn trong vng pht hien Galoisbi
tro
ng thuong nam trn cnh dong v dua anh vo be
nh vie
n. Ngy 31 thng 5
nam 1832, Galois trt hoi tho cuoi cng tai be
nh vie
n Cochin v duo
c an tng ta
i
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
33/328
Vi nt ve lich su 19
Montparnasse 2 ngy sau d.
Anh cu a Galois v Chavalier gui buc thu cng ton bo
nhung ba n tha o dang
do cu a Galois cho Gauss (1777-1855, Duc) v Jacobi nhu di chc cu a anh. Khng
hieu v l do g, khng c mot pha n ung hoac kien no tu Gauss v Jacobi. Mayman l sau d, cng trnh cu a Galois den d uo
c tay Liouville. Muoi mo
t nam sau,
Liouville d viet thu thng bo cho Vien hn lm Php ve su
dng dan v su sac
trong ket qua cu a Galois ; ng d cho xuat ba n nhung pht minh cu a Galois trn
tap ch Revue Encyclopdia cu a mnh vo nam 1846.
Galois ke
t thc buc thu dinh menh cua mnh ba
`ng nhung dng :
Xin gui cho Gauss v Jacobi deho
dnh gi cng khai, khng phai ve tnh
dng dan m l tam quan tro
ng cua nhung dinh l ny. Ti hi vo
ng ha
u
the sec nguoi thay duoc su
su sac cua chng cung nhugiai m duo
c tat
ca nhung b an hien thoi.
Pht minh m Galois dem lai cho khoa hoc de
tu d hau the d, dang v se tieptu
c gia i m l l thuyet mang tn ng : L thuye t Galois.
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
34/328
20 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
35/328
Chuong 0
KIE N THUC CHUAN BI
444
Trong phan Kien thuc chuan bi, ta nhac la
i cc kien thuc co ba n nhat cu a da
i
so dai cuong se duo
c su du
ng trong cuon sch ny. Chung minh cu a cc ket qua
ny de dng tm thay trong cc gio trnh dai so o Cao da ng v Da
i ho
c. Cc kien
thuc su sac hon ve L thuyet nhm can thiet se duoc trnh by chi tiet trong Phan
Phu luc. Dac biet, viec giai quye
t cc bi tap cuo
i tie
t ny tao d ie
`u kien cho doc gia
nam tot hon cc tnh chat v phuong php co ba n su dung trong L thuyet truong
v vnh da thuc.
21
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
36/328
22 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
0.1 TRUONG. D AC SO CUA TRUONG.
D inh ngha.
Truong l mot vnh giao hon c don vi
khc 0 v mo
i phan tu
khc 0 de`u kha
nghich.Nha
n xt 0.1. Truong l mo
t mien nguyn, da
c bie
t truong khng c uoc cu a 0.
V du
1. Q l truong cc so huu t voi cc php ton cong v nhn thng thuong.
Tuong tu, ta c truong R cc so thu
c v truong cc so phuc C.
V du
2. Vnh thuong Zn = Z/nZ l mot truong khi v ch khi n nguyn to.
Truong Zp voi p nguyn to
l truong huu han c p pha`n tu
.
D inh ngha.
Mot dong cau truong l mo
t d ong cau vnh bien don vi
thnh don
vi. Tuong tu
nhu vnh, ta c khi nie
m don cau, ton cau v da ng
cau truong.
Cho F l mot truong. Mo
t d ong cau (da ng cau) truong tu F vo F go
i l mo
t tu
dong cau (tu
dang cau) truong. Ta
p tat ca cc tu
da ng cau truong voi php ton
tch cc nh xa
tao thnh mo
t nhm, k hie
u Aut(F).
Nha
n xt 0.2. Moi dong cau truong deu l don cau.
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
37/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
23
D inh ngha.
Mot vnh con A chua phan tu 1 cu a truong F duo
c go
i l truong
con neu A on dinh voi php lay phan tu nghi
ch da o.
Nha
n xt 0.3.
(i) Mot truong con cu a F l mo
t truong voi cc php ton ca m sinh.
(ii) Giao cu a mot ho
khc rong cc truong con l mo
t truong con.
Cho F l mot truong. Xt nh xa
: Z F
m m 1F.De dng chung minh rang l mo
t dong cau vnh. Xt Ker(), ta c cc truong
hop sau:
Ker() = 0. Do Z l mien nguyn chnh, ta c Ker() = (p) voi p > 0 l songuyn duong nho nhat tho a p 1F = 0. R rng p l mo
t so nguyn to. Suy ra
cam sinh mot d on ca
u tu Zp vo F, do d F chua mot truong con da
ng ca
uvoi Zp. Truong con ny chua trong tat ca cc truong con cu a F. So nguyn to
p duoc go
i l da
c so cu a truong F.
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
38/328
24 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
Ker() = 0, tuc l 0 lso nguyn duy nhat de m 1F = 0.Khid mo rong duynhat thnh mo
t dong cau truong tu Q vo F di
nh boi
m/n
(m)(n)1. Do d F chua mo
t truong con da ng cau voi Q v
truong con ny chua trong tat ca cc truong con cu a F. Khi d ta ni F l
truong c da
c so 0.
D inh ngha.
Cho F l mot truong. Giao cu a tat ca cc truong con cu a F go
i l
truong con nguyn to cu a F.
Tu ket qua trn, ta c:
Menh de 0.4. Mo
t truong da
c so p c truong con nguyn to dang cau voi Zp xc
dinh boi m m1F. Mo t truong da c so
0 c truong con nguyn to dang cau voi Q
xc dinh boi mn (m1F)(n1F)1.
Nha
n xt 0.5. Ch rang ch c duy nhat mot dong cau tu Q hay Zp vo mo
t
truong cho truoc F v dong cau d xc di
nh nhu trong me
nh de trn. Tha
t va
y, gia
su F c dac so 0 v : Q F l mot dong cau truong. Khi d m N,(m) = (1 + + 1) = m(1) = m1F.
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
39/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
25
Hon nua, (m) = (m) = (m1F) = (m)1F. Hay(m) = m1F, m Z.
Do d(m/n) = (m1F)(n1F)
1 voi moi m/n Q.
Tuong tu voi truong ho
p F c da
c so p v : Zp F l mot dong cau, ta lun
c (m) = m1F.
0.2 VNH D A THU
CCho A l mo
t vnh giao hon c don vi
1 = 0. K hie
u A[x] l vnh cc da thuc
bien x siu viet c he
tu trong A. Mo
t da thuc
f = a0 + a1x + + anxn A[x], an = 0go
i l c ba
c n, k hie
u deg(f). Khi d vnh A chua trong A[x] nhu mo
t vnh con.
Menh de 0.6 (Tnh pho du
ng cu a vnh da thuc). Cho vnh da thuc A[x] v
R l mo
t vnh giao hon v R. Khi d mo
i dong cau vnh : A RmoNguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
40/328
26 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
ro
ng duy nhat thnh dong cau vnh tuA[x] vo Rthoa
(x) = v (a) = (a), a A.
Me nh de 0.7. Cho f, g A[x] v g = 0 c he tudan dau kha nghich. Khi d, tonta
i duy nhat q, r D[x] sao cho f = gq + r voi r = 0 hay deg(r) < deg(g). D athuc q (tuong ung r) go
i l thuong (tuong ung du) cua php chia (Euclide) f cho g.
Vnh da thuc trn truong dng mot vai tr da
c bie
t quan tro
ng trong L thuyet
mo rong truong v Galois. Suot trong cuon sch ny, ta k hie
u F l mo
t truong
neu khng c gia i thch khc.
He
qua 0.8. Mo
i idan cua F[x] deu l idan chnh. Hon the idan (f) F[x] ltoi da
i khi v chkhi f bat kha quy.
Thuat ton Euclide cho php ta tm uoc chung lon nhat cu a 2 da thuc cho truoc
v hon the, cho php ta tm cc da thuc s, t trong he
qua sau:
He
qua 0.9. Cho f, g F[x]. K hie
u d = (f, g). Khi d ton ta
i cc da thuc
s, t F[x] sao cho sf + tg = d.Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
41/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
27
Voi Maple, cc thuat ton trn trong Q[x] duo
c cho boi cc le
nh the hie
n trong
v du
sau:
Sudu ng Maple1
.
De
tnh du v thuong cu a php chia da thucf = x5 + 2 x4 + x3 + x 1
cho g = x3 x + 3, ta c the dng lenh rem hoa
c quo:
> rem(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,q);
7
3 x
x2
> q;
x2 + 2 x + 2
Nhu the khi chia f cho g ta duoc thuong l x2 + 2x + 2 v du l
7 3x x2.De tnh uoc chung lon nhat trong Q[x], ta dng le
nh
> gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x);
1
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
42/328
28 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
Lenh trn cung cho ta tnh duo
c da thuc s, t sao cho sf + tg = d nhu v du
sau
dy.
> gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,s,t);
1
> s,t;
64511
+24
511x 1
511x2,
149
511+
18
511x2 +
79
511x 22
511x3 +
1
511x4
Tnh ton trong vnh Zp[x], ta dng lenh Rem v Gcdex tuong ung.
Menh de 0.10. Cho f Z[x] bat kha quy trn Z. Khi d f bat kha quy trn Q.
D inh ngha.
Cho D l mot mien nguyn Gauss. Mo
t da thuc thuo
c vnh D[x]
goi l chuan tac neu he
tu dan dau cu a f bang 1.
Menh de 0.11. Cho f Z[x] l mo
t da thuc chuan tac. Neu g Q[x] l mo
t uoc
chuan tac cua f trong Q[x] th g
Z[x].
Chung minh. Xem BT 0.14.
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
43/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
29
Me
nh de 0.12 (Tiu chua n ba t kha quy cu a Eisenstein).
Cho f = anxn + + a0 Z[x]. Neu ton ta
i mo
t so nguyn to p sao cho:
p an, p|ai, i = 0, . . . , n 1 v p2 a0 th f bat kha quy trong Q[x].
Me
nh de 0.13. Cho f = a0 + + anxn Q[x]. Neu phan tu
r
s Q , voi
(r, s) = 1, l nghie
m cua f th r | a0 v s | an.
Sudu
ng Maple 2. Maple c the tm da
ng nhn tu ha cu a mo
t da thuc khc 0
bat ky trong Q[x] hay Zp[x] bang le
nh factor hay Factor.
> factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5);
(2 x2 + 1) (x2 + 2 x + 5)
> Factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5) mod 13;
2 (x + 4) (x2 + 7) (x + 11)
Xt vnh thuong Zm. Ton cau chnh tac Z Zm mo rong tam thuong thnhton cau vnhZ[x] Zm[x] bien f = anx
n+ +a0 thnh f := anxn+ +a0.
Nguyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
44/328
30 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
Menh de 0.14. Cho f Z[x]. Neu ton ta
i mo
t so nguyn to pkhng chia het he
tu
cao nhat cua f v f bat kha quy trong Zp[x] th f bat kha quy trong Q[x].
Chung minh. Xem Bi tap 0. 8.
Ch rang, menh de trn ch cho mo
t d ieu kie
n du . C nhung da thuc bat kha
quy trong Q[x] nhung a nh cu a n trong Zp[x] l kha quy voi moi so nguyn to p,
xem Bi tap 0. 6.
0.3 MO T SO
NHM HUU HANCap cu a mo
t nhm (nhn) huu ha
n G l so phan tu cu a nhm, k hie
u (G : 1) hay
|G|. Cap cu a mot phan tu a G l cap cu a nhm con cyclic sinh ra boi a. Ta gioi
thieu mo
t so nhm huu ha
n quan tro
ng se ga
p trong no
i dung cu a cuon sch ny.
a) Nhm dihedral D2nNhm dihedral D
2ncn go
i l nhm cc php doi xu
ng cua da gic deu n ca
nh
Pn, tuc l nhm cc php bien d oi d a ng cu cu a ma
t pha ng bien Pn thnh chnh n.
Goi l php quay c tm l tm cu a Pn v gc quay l 2/n (gc di
nh huong).
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
45/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
31
R rng c cap n. Goi l php doi xung tru
c voi tru
c doi xung di qua mo
t dnh
chon truoc cu a Pn. Cap cu a bang 2. Khi d
D2n = {i
j
| i = 0, 1 ; j = 1, . . . , n}c cap bang 2n.
De dng ch ra rang
D2n =< , | n = 2 = 1, = 1 > .b) Nhm doi xung Sn
Nhm doi xung Sn l nhm cc php hon vi n phan tu cu a tap = {1, . . . , n}, c cap bang n!. Moi phan tu cu a Sn goi l mot php the. Nhmdoi xung Sn voi n 3 l mot nhm khng giao hon.
Mot vng xch = (a1 a2 . . . am) gom cc so tu
nhin phn biet cu a bieu dien
mot php the cu a Sn di
nh boi (ai) = ai+1 voi 1 i m 1, (am) = a1 vgiu
nguyn cc phan tu
cn la
i cu a .
Vng xch goi l c do
di m neu n chua m phan tu. Hai vng xch go
i l do
c
lap neu chng khng c phan tu chung. Tch cu a 2 vng xch do
c la
p c tnh giao
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
46/328
32 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
hon. C the chung minh de dng ket qua sau.
Menh de 0.15. Mo
i php the deu c thebieu dien mo
t cch duy nhat (sai khc thu
tu) duoi dang tch cua cc vng xch doc lap. Bie
u die
n ny duoc goi l bie
u die
nvng xch cua php the.
V du
3. Trong S12, cho php the dinh boi:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12 2 3 1 11 9 5 10 6 4 7 8
Ta c = (1 12 8 10 4)(5 11 7)(6 9).Khi duo
c bieu dien bang tch cu a cc vng xch do
c la
p, nghi
ch da o cu a php the
duoc xc di
nhmo
tcchde dngbangcchviet da onguo
cccphan tu trong cc vng
xch doc la
p cu a n. V du
, voi php the o trn, ta c
1 = (4 10 8 12 1)(7 11 5)(6 9).Ta cung de dng chung minh duo
c ket qua sau.
Menh de 0.16. Cap cua php the bang bo
i chung nho nhat cua do
di cua cc
vng xch trong bieu dien vng xch cua .
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
47/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
33
Chung minh. Xem Bi tap 0.16.
Mot vng xch c do
di bang 2 go
i l mo
t php chuyen tr. Mo
i vng xch deu
duoc bieu dien (khng duy nhat) bang tch cu a cc php chuyen tr, cha ng ha
n :
= (a1 a2 . . . am) = (a1 am) (a1 a3)(a1 a2). (1)Tu d suy ra :
Menh de 0.17. Mo
i php the deu bieu dien duo
c duoi dang tch cua cc php
chuyen tr.
Nhu the tap hop T tat ca cc php chuyen tr cu a Sn sinh ra Sn. Ket qua saucung duo
c su du
ng sau ny.
Menh de 0.18. Nhm doi xung Sn duo
c sinh boi vng xch (1 2 . . . n) v php
chuyen tr(12).
Chung minh. Cho c = (1 2 . . . n) v t = (12). Go
i G l nhm con sinh boi t v
c. Khi d G chua phan tu c tc1 = (2 3), nn chua
c(23)c1 = (3 4), . . .
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
48/328
34 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
v do d chua cc php chuyen tr dang (m m + 1). Suy ra G chua cc phan tu
(1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) ; (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ; ...
nhu the G chua cc php chuyen tr dang (1 m). Do d G chua cc phan tu da
ng
(1 m)(1 r)(1 m) = (m r) voi moi m, r {1, . . . , n}. Tat ca cc php chuyen tr
sinh ra Sn nhu d thay o menh de trn. Do d G = Sn.
Ta nhac lai khi nie
m dau cu a php the v gioi thie
u nhm thay phin An.
D
at
n =
1i
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
49/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
35
Dat
sign() =(n)
n {1}
goi l da
u cu a php the
.D i
nh ngha.Php the go
i l php the chan neu sign() = 1, l php the le
neu sign() = 1.Me
nh de 0.19. nh xa
sign : Sn {1} l mo t ton ca
u nhm.
Chung minh. Ta c
sign( ) =
1i
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
50/328
36 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
V du
4. Ta tnh dau cu a php chuyen tr ty (i j). Ta d biet php chuyen tr
(12) l mot php the le . Go
i = (1 i)(2j) l php the hon vi
1 cho i v 2 cho j.
Khi d ta c (i j) = (1 2). V sign l dong cau nhm, ta c
sign(i j) = (1) sign()2 = 1.Va
y php chuyen tr l php the le .
Menh de 0.21. Mo
t vng xch do
di m l php the le khi v chkhi m l so chan.
Suy ra, mo
t php the l le khi v chkhi so cc vng xch do
di chan trong bieu
dien vng xch cua l mot so le.Chung minh. Mo
t vng xch do
di m c the bieu dien nhu tch cu a m 1 php
chuyentr(xem(1)).Domoi php chuyentrlle ,suyradieupha ichung minh.
c) Nhm quaternion
Nhm quaternion Q8 l nhm c 8 phan tu, xc d inh nhu sau. Cho
Q8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k},voi php nhn di
nh boi:
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
51/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
37
1a = a1 = a voi moi a Q8 ;
(1)(1) = 1 ; (1)a = a(1) = a voi moi a Q8 ;
ii = jj = kk = 1 ;
ij = k ; ji = k ;
jk = i ; kj = i ;
ki = j ; ik = j.
De dng kiem tra tat ca cc tin de cu a nhm deu tho a mn.
0.4 HM EULER
Ta nhac lai khi nie
m hm Euler v mo
t so tnh chat quan tro
ng cu a n. Phan
chung minh cc tnh chat ny duoc thu
c hie
n trong phan Bi ta
p.
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
52/328
38 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
D i
nh ngha.
Hm Euler l mot nh xa
tu N vo N di
nh boi
(n) = #{m N | m n, (m, n) = 1}.
Ngha l (n) l so cc so tu nhin khng lon hon n v nguynto cng nhau voi n.
Mot so tnh chat cu a hm Euler duo
c pht bieu trong me
nh de sau.
Menh de 0.22. K hie
u l hm Euler. Khi d:
(i) (p) = p
1 voi p l so nguyn to ;
(ii) (pm) = (p 1)pm1 ;(iii) (ab) = (a)(b) voi mo
i (a, b) = 1 ;
(iv) Neu a = pm11 pmrr th
(a) = a(1
1
p1)
(1
1
pr) ;
(v)d|n
(d) = n.
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
53/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
39
Chung minh. Xem Bi tap 0.17.
Bi tap
0.1. Chon dng (D), sai (S) cho cc me
nh de sau:
a) Hai da thuc bat ky cu a F[x] deu ton tai uoc chung lon nhat.
b) Tuong ung tu F[x] vo Z cho boi f deg(f) l mot dong cau vnh.
c) Moi truong de`u da
ng ca
u voi truong cc thuong cu
a n.
d) Vnh Zn l mot mien nguyn khi v ch khi n l mo
t truong.
e) Moi da thuc trn truong F deu c mo
t nghie
m trong F.
f) Moi da thuc bat kha quy trn Q deu bat kha quy trn Z.
g) Moi da thuc bat kha quy trn Q th bat kha quy trn R.
h) C v han cc da thuc bat kha quy bac n trn Q (trn R, trn C).
i) Nhung da thuc nguyn to cng nhau th c bac khc nhau. (Xem HD 250)
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
54/328
40 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
0.2. Cho F l truong c dac so p > 0. Xt nh xa
: F F
a
ap.
goi l nh xa
Frobenius. Chung minh rang l mo
t d ong cau truong. Suy ra
neu F l truong huu han th l mo
t tu
da ng cau. (Xem HD 250)
0.3. Cho D l mien nguyn v FD l truong cc thuong cu a n. Cho K l mot
truong v : D K l mot don cau vnh. Chung minh rang ton ta
i duy
nhat mot dong cau truong : FD
K sao cho (a) = (a),
a
D. Suy
ra tnh duy nhat cu a truong cc thuong cu a D. (Xem HD 250)
0.4. Xc d inh cc tu
dong cau cu a truong cc so huu ty. Tuong tu
, xc di
nh cc tu
dong cau cu a Zp; suy ra cng thuc Fermat ap a mod p vi moi a Z. (XemHD 251)
0.5. Chung minh rang mot truong F c da
c so 0 (tuong ung p nguyn to) khi v
ch khi ton tai mo
t d ong cau (don cau) truong tu Q (tuong ung Zp) vo F. Hon
nua, dong cau truong d l duy nhat.
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
55/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
41
(Xem HD 252)
0.6. Cho f = x4 10x2 + 1 Z[x]. Chung minh rang f bat kha quy trn Z nhungkha quy khi xt nhu mo
t da thuc trong Zp[x] voi mo
i p nguyn to.
(Xem HD 252)
0.7. Chung minh He
qua 0.8. (Xem HD 252)
0.8. Chung minh Menh d e 0.14. (Xem HD 253)
0.9. Tm d = (f, g) voi f, g Z11[x] cho boi f = x5 +2x4 +3x3 +3x25x+2, g =2x3 + 7x2 + 5x2. Tm s, t Z11[x] sao cho sf+ tg = d. Nn su dung Maple.
(Xem HD 253)
0.10. Chung minh dang tong qut cu a MD. 0.10: cho D l mien nguyn Gauss v
FD l truong cc thuong cua D. Neu f D[x] bat kha quy trn D th bat khaquy trn FD. (Xem HD 253)
0.11. Xc dinh tnh bat kha quy cu a cc da thuc sau dy. Trong truong hop kha quy,tm da
ng nhn tu ha cu a da thuc trn truong ch ra.
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
56/328
42 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
a) x4 + 1 trn Q.
b) x4 + 1 trn R.
c) x7 + 11x3
33x + 22 trn Q.
d) x4 + x3 + x2 + x + 1 trn Q.
e) x3 7x2 + 3x + 3 trn Q.f) x4 + 15x3 + 7 trn Q.
g) x4 + 7 trn Z17.
h) x3 5 trn Z11. (Xem HD 253)
0.12. Tm nghiem cu a cc da thuc sau dy (truoc tin trong Q sau d trong R, C).
a) x3 + 1.
b) x3
6x2 + 11x
6.
c) x5 + x + 1.
d) x2 + 1.
e) x4 + x3 + x2 + x + 1.
f) x4 6x2 + 11.
(Xem HD 254)
0.13. Tm tat ca cc da thuc chuan tac x2 + bx + c Z5[x]. Da thuc no bat khaquy ? Trong moi truong ho
p, tnh := b2 4c. Du
don v chung minh tiu
chuan bat kha quy theo . (Xem HD 254)
0.14. Chung minh Menh de 0.11. (Xem HD 254)
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
57/328
Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
43
0.15. Cho p l mot so nguyn to. Chung minh rang trong Zp[x] c dng
p2 p2
da
thuc chuan tac bat kha quy bac 2. (Xem HD 255)
0.16. Chung minh Menh de 0.16 bang cch chung minh cc kha ng dinh sau.
Neu = (a1 a2 . . . am) th voi moi i {1, 2, . . . , m}, ta c i(ak) = ak+i
voi k + i duoc lay tha
ng du theo modulo m.
Trong mot nhm nhn G, cho a, b l 2 phan tu giao hon duo
c, khi d
(ab)n = anbn voi moi n Z.
0.17. Cho l hm Euler. Chung minh rang
a) neu q | n th (qn) = q(n) ;b) neu (p, n) = 1 v p nguyn to th (pn) = (p 1)(n) ;c) suy ra neu p nguyn to v (p, n) = 1 th
(pmn) = (p 1)pm1(n) ;d) suy ra (ab) = (a)(b), (a, b) = 1 ;
Nguy en Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
58/328
44 Chuong 0. KIEN THUC CHUAN BI
e)d|n
(d) = n. (Xem HD 255)
* 0.18. Cho F l mot truong. Chung minh rang mo
i nhm con huu ha
n cu a nhm
nhn F = F {0} l mot nhm cyclic. Suy ra neu F l truong huu han thF l nhm cyclic. (Xem HD 256)
* 0.19. Xc d inh ta
p cc tu
dong cau cu a truong R. (Xem HD 257)
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
59/328
Chuong 1
MO RO
NG TRUONG
444
1 MO RO
NG TRUONG. BAC CU A MO RO
NG TRUONG
1.1 MO RO
NG TRUONG
D inh ngha.
Cho truong K v F l mo
t truong con cu a K. Khi d F
K go
i
l mot mo rong truong v K duoc goi l mot mo rong (truong) cu aF. Mo
t mo ro
ng truong F K cn duo
c k hie
u l K : F hay
K/F.45
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
60/328
46 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
Nha
n xt 1.1. (i) Moi truong deu l mo ro
ng cu a truong con nguyn to cu a n.
(ii) Cho K : F l mot mo ro
ng truong. Khi d truong con nguyn to cu a chng
trng nhau.
V du
5. Q R, Q C, R C l cc mo rong truong.
V du
6. Cho F l mot truong v F(x) l truong cc phn thuc huu ty bien x siu
viet trn F. Dong nhat F voi cc phn thuc hang, ta c F F(x) l mo
t mo ro
ng
truong.
D inh ngha.
Cho K : F v L : F l cc mo rong truong cu a F. Mo
t d ong cau
(da ng cau) truong : K L tho a (a) = a, a F goi l
F-dong cau (F-da ng cau). Mo rong K : F duo
c go
i l F-da ng cau
voi mo rong L : F neu ton ta
i mo
t F-da ng cau tu K vo L, k
hieu K =F L. Neu K = L th cc F-dong cau (F-da ng cau) goi
l F-tu dong cau (F-tu da ng cau).
Tong qut hon, ta c:
Ng uyen Chnh T
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
61/328
1. Mo rong truong. Ba
c cu a mo ro
ng truong 47
D inh ngha.
Cho F K v E L l cc mo rong truong, cho
: F E l mot dong cau (da ng cau) truong. Dong cau
(da ng cau) : K
L go
i l mo
t mo ro
ng cu a neu
(a) = (a), a F.
D inh ngha.
Mo rong F K go
i l da ng cau voi mo ro
ng E L neu ton ta
i
cc da ng cau i : F E v mot mo ro
ng cu a n j : K L,
ngha l j(a) = i(a), a F.Nha
n xt 1.2. Quan he
da ng cau cu a cc mo ro
ng truong l mo
t quan he
tuong
duong. Dac biet, quan he =F l mot quan he tuong duong.
Menh de 1.3. Cho K : F v L : F l cc moro
ng truong, cho : K L l mo tF-dong cau. Cho K l mo
t nghie
m cua f F[x]. Khi d () L l mo
t
nghie
m cua f.
Chung minh. Goi f = anxn
+ + a0. Ta cf() = an
n + + a0 = 0.Nguy en Chnh T
`
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
62/328
48 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
Suy ra
0 = (f()) = an()n + + a0 = f(()).
Ngha l () l mo
t nghie
m cu a f.
Ta c dang tong qut cu a me
nh de trn, xem Bi ta
p 1. 8.
1.2 BA
C CUA MO RO
NG TRUONG
Cho K : F l mot mo ro
ngtruong. Khi d K c cau trc cu a mo
t khng gian vc
to trn F voi php nhn v huong l php nhn trn K. Mot co so cu a Fkhng
gian vc to K cung duoc goi l co so cu a mo rong truong K : F.
D inh ngha.
Bac cu a mo ro
ng truong K : F l chieu cu a Fkhng gian vc to
K, k hieu [K : F]. Neu [K : F] huu ha
n th ta go
i K : F l mo
t
mo rong huu ha
n. Neu mo ro
ng K : F khng huu ha
n th go
i l
mo rong v ha
n.
V du
7. Xt mo rong truong C : R. Ta biet mo
i phan tu cu a C duo
c viet mo
t cch
duy nhat duoi dang a + bi voi a, b R. Do d {1, i} l mo
t co so cu a C : R. Suy
ra [C : R] = 2.
Ng uyen Chnh T
` `
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
63/328
1. Mo rong truong. Ba
c cu a mo ro
ng truong 49
V du
8. Cc mo rong truong R/Q, C/Q, K(x)/K l cc mo ro
ng v ha
n.
Nha
n xt 1.4. Bac cu a mo ro
ng F K bang 1 khi v ch khi F = K. Ni cch
khc ba
c cu a mo ro
ng truong bang 1 khi v ch khi mo ro
ng l tam thuong. Tha
t
vay, neu K = F. th 1 = a, ko theo = a1 F. Do d F = K.D i
nh l 1.5. Cho K : F v L : K l cc moro
ng truong. Khi d L : F l mo
t moro
ng truong v
[L : F] = [L : K][K : F].
Hon the neu {ei}iI v {fj}jJ lan luot l co so cua K : F v L : K th{eifj}iI,jJ l mot cosocua L : F.Chung minh.
K hieu E = {ei}iI, S = {fj}jJ v ES = {eifj}iI,jJ. Cho u L. Khi d
u =
ajfj voi aj K. Do aj bieu thi tuyen tnh qua E nn thay aj trong bieu
dien cu a u boi cc to hop tuyen tnh cu a S , ta c bieu dien tuyen tnh cu a u qua
ES. Do d ES l he
sinh cu a khng gian vc to L trn F.
Ta chung minh rang ES doc la
p tuyen tnh. Xt mo
t to ho
p tuyen tnh trong L
cho boi
i,j aijeifj = 0 voi aij F. Ta viet
j(
i aijei)fj = 0 nhu mot quan he
Nguy en Chnh T
`
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
64/328
50 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
tuyen tnh tam thuong cu a S. Do S doc la
p tuyen tnh, ta c
i aijei = 0 voi mo
i
j. Mat khc, do E do
c la
p tuyen tnh, ta c aij = 0 voi mo
i i, j. Vay ES do
c la
p
tuyen tnh.
Nha
n xt 1.6. Dinh l trn cho thay rang L : F l mo ro
ng huu ha
n khi v ch
khi L : K v K : F l cc mo rong huu ha
n.
Bi tap
1.1. Trong cc truong hop sau, du l mo rong truong ?a) Q A := {a + b2 | a, b Q} ;b) Q B := {a + b | a, b Q} voi N ;c) Q C := {a + b 32 | a, b Q} ;d) Q D := {a + bi | a, b Q} ? (Xem HD 257)
1.2. Xc d inh ba
c cu a cc mo ro
ng truong tm duo
c trong bi ta
p trn. (Xem HD
257)
Ng uyen Chnh T
1 M t B t 51
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
65/328
1. Mo rong truong. Ba
c cu a mo ro
ng truong 51
1.3. Chung minh rang Q[
3] := {a + b3 | a, b Q} vQ[
5] := {a + b5 | a, b Q} deu l cc mo ro
ng truong ba
c 2 cu a Q
nhung khng da ng cau voi nhau. (Xem HD 257)
1.4. Chung minh rang mo rong R : Q l v ha
n. (Xem HD 258)
1.5. Chung minh rang moi tu
dong cau truong : K K deu l Ptu
dong
cau voi P l truong con nguyn to cu a K. (Xem HD 258)
1.6. Chung minh ra`ng quan he da
ng ca
u cu
a cc mo
rong truong l mot quan hetuong duong.
1.7. Cho F K l mot mo ro
ng truong. Mo
t truong E tho a F E K duo
c
goi l truong trung gian cu a mo ro
ng F K. Chung minh rang mo
i mo ro
ng
truong bac nguyn to khng c truong trung gian no khc F v K. (Xem HD
258)
1.8. a) Cho : F E l mot dong cau truong. Khi d mo ro
ng thnh mo
t don
Nguy en Chnh T
C O O G O G
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
66/328
52 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
cau vnh : F[x] E[x] dinh boi:(a0 + + anxn) = (a0) + + (an)xn.
Dac biet, ch ra rang neu l da ng cau truong th l da ng cau vnh vkhi d, neu f F[x] bat kha quy trn F th (f) bat kha quy trn E. D edon gian, ta thuong viet f thay cho (f).
b) Cho F K v E L l cc mo rong truong; cho : F E l mo
t dong
cau truong v : K L l mot mo ro
ng cu a . Chung minh rang neu
Kl nghie
m cu a
f F[x]th
() Ll nghie
m cu a
f.(Xem HD 258)
Ng uyen Chnh T
2 Mo rong don 53
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
67/328
2. Mo rong don 53
2 MO RO
NG DON
2.1 VNH CON V TRUONG CON SINH RA BOI MO
T TA
P
D inh ngha.
Cho K l mot truong v S l mot tap con cu a K. Giao cu a tat cacc vnh con (truong con) cu a K chua S l mo
t vnh con (truong
con) cu a K, goi l vnh con (truong con) sinh ra boi S. Vnh con
(truong con) sinh ra boi S l vnh con (truong con) nho nhat cu a
K chua S.
D inh ngha.
Cho F
K l mot mo ro
ng truong, cho S l mo
t ta
p con cu a K.
Vnh con (truong con) sinh ra boi F Strong K duoc go
i l vnh
con (truong con) sinh ra boi S trn F, k hieu F[S]
tuong ung
F(S).
Neu S = {s1, . . . , sn} th ta k hieu F[s1, . . . , sn] cho F[S]. Tuong tu k hieuF(s1, . . . , sn) cho F(S).
Nha n xt 2.1.
(i) Ta c F(s1, . . . , sn) = F(s1, . . . , sn1)(sn), n 2.Nguy en Chnh T
54 Ch 1 MO RONG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
68/328
54 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
(ii) Neu S F, dac bie
t khi S = th F[S] = F(S) = F. Trong truong ho
p
S = ta c ket qua sau:Me
nh de 2.2. Cho mo
ro
ng truong F
K v
= S l mo
t ta
p con cua K. Khi d
(i) F[S] =
huu ha
nai1ins
i11 sinn | ai1in F, sj S, n N
voi quy uoc
s0 = 1, s S;
(ii) F(S) =f
g:= f g1 | f, g F[S], g = 0
. Ni cch khc, ta
p F(S) l
truong cc thuong cua F[S].
Chung minh. (i) Dat
E =
huu han
ai1insi11 sinn | ai1in F, sj S, n N
.
Ta chung minh rang E l vnh con nho nhat chua F S. R rng F E doquy uoc trn. Ta
p E l mo
t vnh con v n l mo
t nhm con v dng kn voi
php nhn. Cuoi cng moi vnh con cu a K chua F S deu chua cc phan tu
cu a E.
Ng uyen Chnh T
2 Mo rong don 55
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
69/328
2. Mo rong don 55
(ii) Hien nhin do tnh nho nhat cu a truong cc thuong.
V du
9. C = R[i] = R(i). Tuong tu, ta c Q[2] = Q(2).
2.2 CA U TRC CUA MO RO
NG D ON
D i
nh ngha.
Mo rong truong F K go
i l mo ro
ng don neu ton ta
i K
sao cho K = F(). Phan tu goi l phan tu nguyn thu y cu a
mo rong don. Ch rang mot mo rong don c the c nhieu phantu nguyn thu y khc nhau.
V du
10. Cc mo rong R C, Q Q(), Q Q(i), F F(x) l cc mo ro
ng
don.
D inh ngha.
Cho K : F l mo rong truong. Phan tu u K duo
c go
i l da
i so
trn F neu n l nghiem cu a mo
t da thuc f khc 0 trong F[x].
Mot phan tu u Kkhng da
i so trn F duo
c go
i l siu vie
t trn
F.
Nguy en Chnh T
56 Chuong 1 MO RONG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
70/328
56 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
D inh ngha.
Mo rong K : F duo
c go
i l mo ro
ng da
i so neu mo
i phan tu cu a
K deu dai so trn F.
V du
11. Cc phan tu i,
2,
2 + 3
5 deu da
i so trn Q.
Nha
n xt 2.3. Nam 1844, Liouville (1809-1882, Php) chung minh su ton ta
i cu a
so siu viet (trn Q). Nam 1873, Hermite (1822-1901, Php) chung minh so e siu
viet. Sau d, so siu vie
t d uo
c Lindemann (1852-1939, Duc) chung minh nam
1882. Nam 1874, Cantor (1845-1918, Php) chung minh rang tap cc so da
i so
trn Q l dem duo
c v ta
p cc so thu
c R l khng dem duo
c. Nhu the, so cc so
thuc siu vie
t l nhieu hon so cc so thu
c da
i so. Tuy nhin, ni chung, rat kh
de chung minh mot so thu
c cu
the l siu vie
t.
Nam 1934, Gelfond (1906-1968, Nga) v Schneider doc la
p chung minh bi ton
thu 7 noi tieng cu a Hilbert (1862-1943), rang cc so l siu viet, trong d ,
dai so trn Q, = 0, 1 v / Q.
By gio, chng ta se phn tch su hon ve cau trc cu a cc mo rong don F(u)
ung voi cc truong hop u da
i so hoa
c siu vie
t trn F.
Ng uyen Chnh T
2 Mo rong don 57
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
71/328
2. Mo rong don 57
Cho K : F l mot mo ro
ng truong v u K. Xt dong cau vnh :
: F[x] F[u]f
f(u).
R rng l mot ton cau. Xt Ker(), c 2 truong ho
p nhu sau :
Ker() = 0. Ngha l u siu viet trn F. Khi d l mo
t da ng cau, do d
F(x) = F(u). Ker() = 0. Ngha l u da
i so trn F. Do F[x] l mien nguyn chnh nn
Ker() = (f), voi 0 = f F[x]. Khi d f chnh l da thuc c bac nhonhat nha
n u lm nghie
m. Suy ra f bat kha quy v do d Ker() l idan toi
dai (xem 0.8). Theo di
nh l dong cau vnh, ta c F[x]/Ker() = F[u]. Do
F[x]/Ker() l mot truong nn F[u] = F(u).
Nhu the, ta d chung minh ket qua sau dy :
Me nh de 2.4. Cho K : F l mot morong truong v u K.(i) Neu u siu vie
t trn F th F(u) =F F(x), truong cc phn thuc huu ty trn F.
Nguy en Chnh T
58 Chuong 1 MO RONG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
72/328
58 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
(ii) Neu u da
i so trn F th
F(u) = F[u] =F F[x]/(f)
voi f = 0 l mot da thuc c bac nho nhat nhan u lm nghiem.Nha
n xt 2.5. Cho K : F l mo ro
ng truong v u K da
i so trn F. Khi d :
(i) Da thuc 0 = f F[x] c bac nho nhat nha
n u lm nghie
m khi v ch khi f
bat kha quy nhan u lm nghie
m. Dieu d tuong duong voi f(u) = 0 v f chia
het moi da thuc nha
n u lm nghie
m.
(ii) Neu f v g l 2 da thuc cu a F[x] c bac nho nhat nhan u lm nghiem thdeg(f) = deg(g) v hon the f g. Trong cc da thuc c ba
c nho nhat nha
n
u lm nghiem, ton ta
i duy nhat mo
t da thuc c he
tu dan dau bang 1, da thuc
d duoc go
i l da thuc toi tieu cua u. Ba
c cu a f duo
c go
i l ba
c cua u (trn F).
He
qua 2.6. Cho K : F l mo
t moro
ng truong v u K da
i so trn F c ba
c n.
Khi d moi phan tucua F(u) duoc viet duy nhat duoi dang
a0 + a1u + + an1un1, ai FNg uyen Chnh T
2 Mo rong don 59
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
73/328
2. Mo rong don 59
voi mo
i i = 0, . . . , n 1. Ni cch khc ta
p {1, u, , un1} l mo
t cosocua
F(u) : F. Suy ra morong don F(u) : F l mo
t morong huu ha
n.
Chung minh. Goi f l da thuc toi tieu cu a u. Cho
F(u). Go
i
= b0 + b1u + + bmum. Xt g = b0 + b1x + + bmxm. Ton ta i q, r F[x]sao cho g = fq + r voi r = a0 + a1x + + atxt, voi t < n. R rng
= g(u) = r(u) = a0 + a1u + + atut.
Hon nua, neu c 2 bieu dien
= a0 + a1u + + an1un1 = c0 + c1u + + cn1un1,
th chng trng nhau, ngha l ai = ci, i = 0, . . . , n 1. That vay, neu khngth 0 = (a0 c0) + + (an1 cn1)un1 tri voi gia thiet u c bac n.
Moi mo ro
ng don da
i so deu l mo ro
ng huu ha
n. Dieu nguo
c la
i ni chung khng
dng. Sau ny, ta se xc dinh dieu kien de mot mo rong huu han l mo rong donda
i so.
Nguy en Chnh T
60 Chuong 1 MO RONG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
74/328
60 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
He
qua 2.7. Cho K : F l mo
t moro
ng truong v u, v K da
i so trn F. Neu
u v v c cng mo
t da thuc toi tieu th ton tai duy nhat mo
t F-dang cau truong
: F(u) F(v) sao cho (u) = v.
Chung minh. That va
yccmo ro
ng don F(u) v F(v) deu da ngcau voi F[x]/(f)
voi f l da thuc toi tieu cu a u v v.
Ta thay rang, ung voi mot mo ro
ng don da
i so trn F c mo
t lop cc da thuc bat
kha quy lin ket voi nhau trn F nha
n u lm nghie
m. Nguo
c la
i, ta chung minh
rang :
Menh de 2.8. Cho F l mo
t truong v f F[x] l mo t da thuc ba
t kha quy. Khi
d ton ta
i mo
t morong don da
i so F() : F sao cho l mo
t nghie
m cua f.
Chung minh. Da
t K := F[x]/(f).Theo(0.8), nhat a
F voi a
K,tac K : F
l mot mo rong truong. Dat = x. R rng f() = f = 0 v K = F().
Ng uyen Chnh T
2. Mo rong don 61
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
75/328
2. Mo rong don 61
Bi tap
2.1. Xc di
nh tnh dng, sai cho cc me
nh de sau :
a) Moi truong deu c mo
t mo ro
ng khng tam thuong.
b) Moi truong deu c mo
t mo ro
ng da
i so khng tam thuong.
c) Moi mo ro
ng don deu l mo ro
ng da
i so.
d) Moi mo ro
ng truong deu l mo ro
ng don.
e) Moi mo rong don dai so deu da ng cau.f) Mo
i mo ro
ng don siu vie
t cu a mo
t truong cho truoc deu da ng cau.
g) Moi da thuc toi tieu deu bat kha quy.
h) Moi da thuc bat kha quy thuo
c F[x] nha
n u K F lm nghie
m deu c
cng bac.
i) Moi da thuc bat kha quy thuo
c F[x] nha
n u K F lm nghie
m d eu l
da thuc toi tieu cu a u.
Nguy en Chnh T
62 Chuong 1. MO RONG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
76/328
62 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
j) Bac cu a da thuc bat kha quy thuo
c F[x] nha
n u K F lm nghie
m go
i
l bac cu a u. (Xem HD 258)
2.2. Cho K =Q
[] voi
Cl nghie
m cu a da thu
c x3
x2 + x + 2. Bieu dien
cc phan tu (2 + + 1)(2 ) v ( 1)1 cu a K nhu cc da thuc theo c ba
c khng qu 2. (Xem HD 258)
2.3. M ta cc mo rong don F() voi l mo
t nghie
m cu a cc da thuc sau trn
truong ch ra :
a) x2
5 Q[x] ;b) x4 + x3 + x2 + x + 1 Q[x] ;c) x2 + x + 1 Z2[x] ;d) x3 + 2 Q[x]. (Xem HD 259)
2.4. Cho K : F l mo
t mo ro
ng huu ha
n v f
F[x] l mo
t da thuc bat kha quy
c deg(f) > 1. Chung minh rang neu [K : F] v deg(f) nguyn to cng nhau
th f khng c nghiem trong K. (Xem HD 259)
Ng uyen Chnh T
2. Mo rong don 63
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
77/328
g
2.5. Cho K : F l mot mo ro
ng truong v [K : F] = n. Cho f F[x] l da thuc
bat kha quy bac m tho a (m, n) = 1. Chung minh rang f bat kha quy trn K.
(Xem HD 259)
2.6. Xc dinh ba
c v ch ra mo
t co so cu a cc mo ro
ng truong :
a) Q Q(2, i) ; b) Q Q( 35, 2) ;c) Q Q(18, 32) ; d) Q Q(27, 3 + 12);e) Q Q(18, 42) ; f) Q Q(u, 32) voi u l
nghiem cu a x4 + 6x2 + 3.
(Xem HD 260)
2.7. Xc d inh tat ca tu
dong cau cu a cc truong Q(i), Q(
3
2). (Xem HD 260)
2.8. Chung minh rang Q(
a,
b) = Q(
a +
b), a, b N. (Xem HD 260)2.9. Bieu dien cc truong con sau cu a Z2(x) :
a) Z2(x2) ;b) Z2(x + 1). (Xem HD 260)
Nguy en Chnh T
64 Chuong 1. MO RONG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
78/328
6 C uo g O O
G UO G
2.10. Tm da thuc toi tieu cu a cc phan tu sau dy trn truong ch ra :
a)
5 + 1
2trn Q ;
b) i3 12
trn Q ;
c) Z3(t)() voi tho a 2 = t + 1 trn Z3(t) ;d) 4
5 +
5 trn Q ;
e) 3
2 + 3
4 trn Q ;
f) u2+
u voi u l nghie
m cu a x3
+ 3x2
3;
g) + 6 voi = e2i/7 trn Q ;
h) + 2 + 4 voi = e2i/7 trn Q ;
i) 2 + 5 voi = e2i/7 trn Q. (Xem HD 260)
2.11. Cho v lan luot l nghie
m cu a x2 2 v x2 4x + 2 thuo
c Q[x]. Chung
minh rang Q() =Q Q(). (Xem HD 261)2.12. Cho F l truong c da
c so khc 2 v f l mo
t da thuc ba
c 2 c he
tu trong
Ng uyen Chnh T
2. Mo rong don 65
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
79/328
g
F. Chung minh rang ca 2 nghiem cu a f deu thuo
c mo
t mo ro
ng don F(u) voi
u2 F. Suy ra tnh chat moi da thuc ba
c 2 deu gia i duo
c trn mo ro
ng truong
cu a F nhan duo
c bang cch ghp vo cc can ba
c 2 cu a cc phan tu cu a F.
Chung to rang tnh chat d khng dng voi truong c dac so 2. (Xem HD 261)
2.13. a) Chung minh rang moi mo ro
ng ba
c 2 trn Q deu da ng cau voi Q(
d) voi
d Z l mot so khng chnh phuong.
b) Chung minh rang moi mo ro
ng ba
c 2 trn R deu d a ng cau voi C.
(Xem HD 262)
2.14. Cho K : F l mot mo ro
ng truong v [K : F] = n. Chung minh rang ba
c cu a
phan tu u K l mot uoc cu a n. Suy ra neu n nguyn to th K = F(u) voi
moi u K\ F. (Xem HD 262)
2.15. Tm tat ca cc da thuc bat kha quy ba
c 2 trn Z3. M ta cc mo ro
ng don ba
c 2
trn Z3. Chung minh tat ca cc mo rong don d l da ng cau voi nhau.
(Xem HD 262)
Nguy en Chnh T
66 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
80/328
g
2.16. Cho E = F() l mot mo ro
ng thu
c su
cu a F voi l nghie
m chung cu a x3 1
v x4 + x2 + 1. Xc dinh da thuc toi tieu cu a . (Xem HD 262)
2.17. Cho i : F
E l mo
t da ng cau truong. Go
i l nghie
m cu a mo
t da thuc
f = a0 + a1x + + anxn F[x] bat kha quy. Goi l mot nghiem cu a dathuc
if := i(a0) + i(a1)x + + i(an)xn E[x].Chung minh ton ta
i mo
t mo ro
ng j : F() E() cu a i sao cho j() = .
Ket qua trn mo rong cho He
qua 2.7. (Xem HD 262)
2.18. Cho mo rong don da
i so F() voi f F[x] l da thuc toi tieu cu a . Cho K : F
l mot mo ro
ng truong. Chung minh rang
a) Neu : F() K l mot F-dong cau th () l mo
t nghie
m cu a f.
b) nh xa
() xc d inh mo
t song nh giua ta
p cc F-d ong cau tu F()
vo K v tap cc nghie
m cu a f trong K. Suy ra so cc F-dong cau bang so
nghiem phn biet cu a f trong K. (Xem HD 262)2.19. Cho mo ro
ng don da
i so F() voi f F[x] l da thuc toi tieu cu a . Cho
Ng uyen Chnh T
2. Mo rong don 67
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
81/328
: F K l mot dong cau truong. Chung minh:
a) Neu : F() K l mot mo ro
ng cu a th () l mo
t nghie
m cu a
f trong K. Xem Bi ta
p 1. 8 ve di
nh ngha cu a f.
b) nh xa
() l mot song nh giua ta
p cc mo ro
ng cu a voi ta
p cc
nghiem phn bie
t cu a f trong K.
Bi tap ny l da
ng tong qut cu a bi ta
p trn. (Xem HD 263)
* 2.20. Chung minh cc mo rong Q R v Q C deu khng pha i l cc mo ro
ng don.
(Xem HD 263)
* 2.21. Cho F l truong c dac so khc 2 v cho E : F l mo
t mo ro
ng truong c ba
c
bang 2. Dat
S(E) = {a F | a = b2, voi b E}.
Chung minh rang:a) S(E) l mo
t nhm con cu a F chua (F)2;
Nguy en Chnh T
68 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
82/328
b) Hai mo rong ba
c hai E, E cu a F l F-da ng cau khi v ch khi S(E) =
S(E);
c) Ton ta
i v ha
n cc mo ro
ng ba
c hai E1, E2 . . . cu a Q sao cho
Ei Ej, i = j.d) Ton ta
i duy nhat (sai khc da ng cau) mo
t truong c dng p2 phan tu.
(Xem HD 264)
Ng uyen Chnh T
3. Mo rong huu ha
n v mo ro
ng da
i so 69
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
83/328
3 MO RO
NG HUU HA
N V MO RO
NG DA
I SO
3.1 TNH CHA T CUA MO RO
NG HUU HA
N V MO RO
NG D AI SO
Ta biet rang mot mo rong d on d ai so l mo rong huu han. Ta c ket qua tong quthon sau dy :
Menh de 3.1. Cho K : F lmo
t moro
ng truong v u1, . . . , un Ksao cho u1 da i
so trn F v uj dai so trn F(u1, . . . , uj1), j = 2, . . . , n. Khi d F(u1, . . . , un)
l morong huu ha
n trn F.
Chung minh. Ta chung minh bang quy nap trn n. Voi n = 1 ta c mo rong donda
i so nn l mo ro
ng huu ha
n. Gia thiet ket qua dng cho k. Da
t
E = F(u1, . . . , uk). Ta c
[F(u1, . . . , uk+1) : F] = [F(u1, . . . , uk+1) : E][E : F].
Theo gia thiet quy na
p, ta c [E : F] huu ha
n. Ma
t khc, ta c mo ro
ng
F(u1, . . . , uk+1) : E = E(uk+1) : E c uk+1 dai so trn E nn l mo ro
ng
huu han. Suy ra F(u1, . . . , uk+1) : F l mo ro
ng huu han.
Nguy en Chnh T
70 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
84/328
Menh de 3.2. Mo
i phan tucua mo
t moro
ng huu ha
n ba
c n deu da
i so v c ba
c
l mo
t uoc cua n.
Chung minh. Cho K : F l mo ro
ng huu ha
n v da
t n = [K : F]. Xt u
K.
Tap hop {1, u , . . . , un} lmot tap gom n+1 phan tu trong Knn phu thuoc tuyentnh.Dod ton ta
iquanhe
tuyentnhkhngtamthuong a0+a1u+ +anun = 0.
Ni cch khc u l nghiem cu a da thuc f = a0 + a1x + + anxn F[x] khc
0. Do d u dai so trn F. Ma
t khc, ta c
[K : F] = [K : F(u)][F(u) : F] = n.
Do d [F(u) : F] | n. Vay bac cu a u l uoc cu a n.Sau ny (xem 3.6) ta se ch ra rang ton ta
i cc mo ro
ng da
i so khng huu ha
n.
He
qua 3.3. Mo
t mo rong K : F l mo ro
ng huu han khi v ch khi ton ta
i
u1, . . . , un K da i so trn F sao cho K = F(u1, . . . , un).
Chung minh. Gia su [K : F] = n. Go
i
{u1, . . . , un
}l mo
t co so cu a mo ro
ng
K : F. Theo menh d e trn u1, . . . , un da
i so trn F. R rng K = F(u1, . . . , un).Dieu kie
n du c duo
c do Me
nh de 3.1.
Ng uyen Chnh T
3. Mo rong huu ha
n v mo ro
ng da
i so 71
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
85/328
Menh de 3.4. Cho F K L l cc moro
ng truong. Khi d L : F l moro
ng
da
i so khi v chkhi L : K v K : F l cc moro
ng da
i so.
Chung minh. Neu L : F da
i so th r rng cc mo ro
ng L : K v K : F da
i so.
Nguoc la
i, gia su L : K v K : F da
i so. Xt u L. Do u da
i so trn K nn ta
c b0 + b1u + + bnun = 0 voi bi K khng dong thoi bang 0. Xt mo rongF(b0, . . . , bn, u) : F, theo Me
nh de 3.1, d l mot mo ro
ng huu ha
n. Do d u da
i
so trn F.
3.2 TRUO`
NG CON CC PHA
N TU
D AI SO
. TRUO`
NG D NGD AI SO
.BAOD NG D AI SO .
Menh de 3.5. Cho K : F l mo
t moro
ng truong. Ta
p ho
p
E = {u K | u da
i so trn F}l mo
t truong con cua K chua F, go
i l truong con cc phan tuda
i so cua K trn
F. Suy ra E : F l mot morong dai so.Chung minh. V mo
i phan tu thuo
c F deu da
i so trn F nn F E. Cho
Nguy en Chnh T
72 Chuong 1. MO RO
NG TRUONG
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
86/328
u, v E. Xt mo rong F(u, v) : F. Theo (3.1) v (3.2), ta c F(u, v) l da
i so trn
F. Suy ra F(u, v) E. Suy ra u v,uv F(u, v) E v neu u = 0 ta cu1 F(u, v) E. Va
y E l truong.
Nha
n xt 3.6. Truong con E cc phan tu dai so cu a R trn Q l mo
t mo ro
ng v
han trn Q. Tha
t va
y, neu [E : Q] = n th de dng ch ra mo
t phan tu da
i so thuo
c
R c bac lon hon n. Dieu ny mu thuan voi Me
nh de 3.2.
D inh ngha.
Mot truong K duo
c go
i l dng da
i so neu mo
i da thuc ba
c lon
hon 0 deu c t nhat mot nghie
m trong K.
V du 12. Truong cc so phuc C l mot truong dng dai so. Dy l mot ket qua codien thuong duo
c go
i l Di
nh l co ba n cu a da
i so. Ta se dua ra mo
t chung minh
cu a dinh l ny trong 9.
Nha
n xt 3.7. Cho K l mot truong. Cc me
nh de sau l tuong duong :
(i) K dng dai so ;
(ii) moi da thuc thuoc K[x] c bac lon hon khng deu phn tch thnh tch ccnhn tu ba
c nhat ;
Ng uyen Chnh T
3. Mo rong huu ha
n v mo ro
ng da
i so 73
8/2/2019 L thuyt m rng trng v Galois
87/328
(iii) moi da thuc bat kha quy trong K[x] deu l da thuc ba
c nhat ;
(iv) moi mo ro
ng da
i so cu a K deu trng voi K.
D inh ngha.Cho mo ro
ng truong K : F. Truong K duo
c go
i l bao dng da
i
so cu a F neu K dng dai so v K : F l mo ro
ng da
i so.
V du
13. Truong C l bao dng dai so cu a R nhung khng pha i l bao dng da
i so
cu a Q.
Menh de 3.8. Cho K : F l moro
ng truong, trong d K dng da
i so. K hie
u E l
truong con cc phan tuda
i so cua K : F. Khi d E l mo
t bao dng da
i so cua F.
Chung minh. Ta d biet F E l mo rong da
i so. Cho
f = a0 + a1x + + anxn E[x]l mo
t da thuc ba
c lon hon 0. Do K dng da
i so, da thuc f c nghie
m u K. R
rng F(a0, . . . , an, u) : F l mot mo ro
ng da
i so (Me
nh de 3.1) nn u da
i so trn
F. Suy ra u E. Vay E dng dai so
.Nha
n xt 3.9. Mo
i truong con cu a C deu ton ta
i mo
t bao dng da