MateMática iVaULa 06:

tRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS i

eXeRcÍciOS PROPOStOSSeMeStRaL

VOLUME 2

OSG.: 091401/15

01. Sabendo que: tgtg

tgarco duplo2

2

1 2α αα

=−

( )

Veja na ilustração que:

tg

do22 5

5, =

Então: tgtg

tg45

2 22 5

1 22 512º

, º

, º=

−=

25

125

10 25

10 25 0

5 5 2

5 1 2

2

2

2

⋅ = −

= −

− − =

= +

= +( )

d d

d d

d d

d

Logo

d m

:

Resposta: A

02. Sendo h a altura pedida, em metros, temos:

tg

tgh

tg

tg

tg

h

α

α

α

αα

=

=

⇒=

−=

21

28

228

3

42

1 282

(I)

(II)

Substituindo (I) em (II), concluímos:

234

134

28962

⋅

−

= ⇒ =hh

Logo, ao atingir o ponto D, o helicóptero está a 96 m de altura em relação à pista.

Resposta: D

D

h

C

21 m

A28 m

B

α

α

03. Nomeando os vértices conforme a figura a seguir, temos:• EBDˆ é ângulo externo do triângulo ABE. Assim, sendo x a medida do ângulo EÂD, temos que m (AÊB) = x; logo, o triângulo ABE

é isósceles, com AB = BE = 160 m.• ECDˆ é ângulo externo do triângulo BCE. Assim, m (BÊC) = 2x e, portanto, o triângulo BCE é isósceles, com BC = CE = 100 m.

E

DC100160

A

observador

x B 2x

160 100

2xx

torre

4x

OSG.: 091401/15

Resolução – Matemática IV

Pela lei dos senos, aplicada ao triângulo BCE, temos:

100

2

160

180 4

100

2

160

4sen x sen x sen x sen xo=−

⇒ =( )

∴ sen x

sen x

sen x x

sen x

4

2

160

100

2 2 2

2

8

5= ⇒ =

cos∴ cos 2

4

5x =

Pela relação fundamental sen2 2x + cos2 2x = 1, obtemos sen 2x = 3

5 .

Assim, concluímos do triângulo CDE:

sen 4x = DE

100⇒ 2sen 2x · cos 2x =

DE

100 ∴ 2 ·

3

5

4

5 10096⋅ = ⇒ =DE

DE

Resposta: A

04. De acordo com o enunciado, temos:

1,70 m

10 m

d

15º

tgd

tg tg

tg15

117 45 30

1 45 30

13

3

13

3

° = = ° − °+ ° ⋅ °

=−

+

,

117 3 3

3 3

117 3 3

3 3

117 3 3

643

2, , ( ) , ( )

dd d m= −

+→ = ⋅ +

−→ = ⋅ +

�

Resposta: C

05.

I. x(0) = 12 ⇔ 12 = a cos (ω · 0) ⇔ a = 12

II. z(6) = 18 ⇔ 18 = b · 6 ⇔ b = 3

Assim, a + b = 15

Resposta: A

06. X 6 6 6 12 6 6 0 5 63 18

( ) = ⇔ = ⋅( ) ⇔ ⋅( ) = ⇔ = ⇔ =cos cos ,ω ω ωπ

ωπ

Assim: f tx t y t( ) =

( )+

⋅ ( )12

3

12

f tt sen t

f t t

( ) =

+⋅ ⋅

( ) =

1218

6

3 1218

6

218

cos

cos

π π

π

+ ⋅

( ) = ⋅

⋅

+ ⋅

2 318

46 18

4

sen t

f t sen t sen

π

π πcos

ππ π

π π18 6

418 6

t

f t sen t

⋅

( ) = ⋅ +

cos

Resposta: B

OSG.: 091401/15

Resolução – Matemática IV

07.

AC BC BAC ABC

ACB

AB BD

= ⇒ = =

=

=

� �

�β

α

2 ∆ABD é retângulo em D:

sen β = BD

AB

BD

BDo= = ⇒ =

2

1

230β

Então:BAC ABC ACBˆ ˆ ˆ+ + = °180β + β + α = 180ºα = 180º – 60º ⇒ α = 120º

Resposta: B

B

C DA

α

β

β

08. Temos que:

i) cos α = →3

4

4

3

α

7 → =senα 7

4

ii)

d sen sen

d sen sen

=

⋅

− = ⋅ −

⋅

1632 2

8 23

2 2

α α

α α

− = −

− = ⋅ − −

d

d sen

werner

8 2

8 2 2

cos cos

cos

α α

α α

� ��� ���

ccosα( )− = ⋅ − −

→ =d d89

16

7

16

3

45

iii) Veja:

senh

Logo

h m

α = =

=

5

7

4

5 7

4

:

α

hd

Resposta: C

09.

• tg45º = x

x m60

60=

• tg(45º + 15º) = x y+60

∴ tg60º = y + 60

60∴ 3

60

60= +y

∴ y = −( )60 3 1

Resposta: C

15º

45º

60 m

OSG.: 091401/15

Resolução – Matemática IV

10.

L x V x C x

L x senx x

L

( ) = ( ) − ( )

( ) = ⋅

− +

( ) = ⋅

3 212

26

3 3 2

π πcos

ssen

L sen

3

122

3

6

3 3 24

22

⋅

− + ⋅

( ) = ⋅

− +

π π

π π

cos

cos

( ) = ⋅ ⋅ − +

( ) = − =

L

L

3 3 22

22 0

3 3 2 1

Como este valor representa milhares de reais, o lucro é de 1000.

Resposta: C

Zilmar – 20/01/16 – REV.: LSS 091401/15_pro_Aula06 - Transformações trigonométricas I