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Exercices de Mathematiques
Partie reelle, partie imaginaire
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Mettre sous forme cartesienne les nombres complexes :
a =2 + 5i
1 i +2 5i1 + i
, b =3 + 6i
3 4i et c =(1 + i2 i
)2+
1 7i4 + 3i
.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Resoudre le syste`me
{iz 2 = 4 + 3i2 + z = 3
dans lC.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient u et v deux nombres complexes de module 1, tels que uv 6=
1.Montrer que Z =
u+ v
1 + uvest un reel.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
A quelle condition Z = z2 + z + 1 est-il reel ? Imaginaire pur
?
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Calculer limn
nk=1
1 + k(k + 1) + i
1 + k(k + 1) i .
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Exercices de Mathematiques
Partie reelle, partie imaginaire
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
On trouve a = 3, b = 35+ i
6
5, et c = 1 i.
Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
On trouve z = 1 + 2i et = 1 i.
Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
Verifier que Z = Z, en utilisant les proprietes de la
conjugaison.
Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Poser z = x+ iy, avec (x, y) IR2. Z est reel (y = 0 ou x = 1
2) : cest la reunion de deux droites.
Pour Z imaginaire, on obtient une hyperbole equilate`re.
Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
Remarquer que uk =ak+1 bkak bk+1
avec ak = 1 + ki et bk = 1 ki.
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Exercices de Mathematiques
Partie reelle, partie imaginaire
Corriges
Corriges des exercices
Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
a = 2Re2 + 5i
1 i = 2Re(2 + 5i)(1 + i)
(1 i)(1 + i) = Re ((2 + 5i)(1 + i)) = 3.
b =(3 + 6i)(3 + 4i)
(3 4i)(3 + 4i) =15 + 30i
25= 3
5+ i
6
5
c =2i
3 4i +1 7i4 + 3i
=2
4 + 3i+
1 7i4 + 3i
= 1 + 7i4 + 3i
=(1 + 7i)(3i 4)
25= 1 i
Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]{iz 2 = 4 + 3i2 + z
= 3
{iz 2 = 4 + 3i2 + z = 3
{iz 2 = 4 + 3i(1 + i)z = 1 + 3i
Lunique solution est z =1
2(1 + 3i)(1 i) = 1 + 2i et = 1
2(3 z) = 1 i
Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
Il suffit de verifier lZ = Z. Puisque |u| = |v| = 1, on a u =
1uet v =
1
v.
On obtient Z =u+ v
1 + uv=
1
u+
1
v
1 +1
u
1
v
=u+ v
uv + 1= Z.
Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Posons z = x+ iy, avec (x, y) IR2. On a : Z = x2 y2 + x+ 1 +
iy(2x+ 1). Z est reel y(2x+ 1) = 0 (y = 0 ou x = 12). Z est
imaginaire pur x2 y2 + x+ 1 = 0 y2 (x+ 12)2 = 3/4.Les points-images
m(z) des solutions forment lhyperbole equilate`re dont le centre
est en
(12 , 0), daxe transverse x = 12 , et dasymptotes y = (x+
12).
Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
On a : uk =1 + k(k + 1) + i
1 + k(k + 1) i =(1 + (k + 1)i)(1 ki)(1 + ki)(1 (k + 1)i) =
ak+1 bkak bk+1
avec
{ak = 1 + ki
bk = 1 kiOn en deduit
nk=1
1 + k(k + 1) + i
1 + k(k + 1) i =n
k=1
ak+1 bkak bk+1
=an+1b1a1bn+1
=1 i1 + i
1 + (n+ 1)i
1 (n+ 1)i
Finalement : limn
nk=1
1 + k(k + 1) + i
1 + k(k + 1) i =i 1i+ 1
= i.
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