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Exercices de Mathematiques
Module et conjugaison
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soit u une racine carree de zz. Montrer que |z|+ |z| =z + z2 +
u
+ z + z2 u.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Determiner les complexes z tels que |z| = |z 2| et arg z = arg(z
+ 3 + i) (mod 2pi).
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Determiner les complexes z tels que les modules de z,1
zet z 1 soient egaux.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
x, y, z etant trois complexes de module 1, comparer |x+ y + z|
et |xy + yz + zx|.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soit ABCD un parallelogramme. Montrer que AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +
CD2 +DA2.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Trouver une condition necessaire et suffisante sur z pour que
les points A(z), B(z2), C(z3)forment un triangle isoce`le.
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Exercices de Mathematiques
Module et conjugaison
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
Premie`re methode : on proce`de par elevation au carre.
Deuxie`me methode : on utilise a, b dans lC tels que a2 = z et
b2 = z.
Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
On trouve z = 1 +i
3.
Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
On trouve z = exp(ipi
3) et z = exp(ipi
3).
Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Utiliser legalite |z| = |z|, et limplication |z| = 1 1z= z.
Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
Montrer que cela equivaut a` |b+ d|2 + |b d|2 = 2(|b|2 + |d|2)
pour tous a, b, c, d.
Indication pour lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
On trouve la reunion de deux cercles.
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Exercices de Mathematiques
Module et conjugaison
Corriges
Corriges des exercices
Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
Pour cet exercice, on va voir deux methodes :
Premie`re methode
On proce`de par elevation au carre, en sachant que pour tous u,
v de lC, on a :|u+ v|2 = (u+ v)(u+ v) = |u|2 + 2Re (uv) + |v|2
|u v|2 = (u v)(u v) = |u|2 2Re (uv) + |v|2
|u+ v|2 + |u v|2 = 2 |u|2 + 2 |v|2On en deduit :(z + z2 + u
+ z + z2 u)2 = z + z2 + u
2 + 2 (z + z)24 u2+ z + z2 u
2= 2
z + z22 + 2 |u2|+ 2 (z + z)24 zz
= (z + z)22+ 2 |z| |z|+ (z z)22
= |z|2 + 2 |z| |z|+ |z|2 = (|z|+ |z|)2
Ce qui est le resultat espere.
Deuxie`me methode
Soient a une racine carre de z et b une racine carree de z.
On a donc a2 = z, b2 = z et (ab)2 = zz = u2. Ainsi u =
ab.Lenonce donne le meme role a` u et a` u. On peut donc choisir u
= ab.On trouve alors :z + z2 + u
+ z + z2 u = a2 + b22 + ab
+ a2 + b22 ab
=
(a+ b)22+ (a b)22
= |a|2 + |b|2 = |z|+ |z|Et on retrouve le resultat (cette
deuxie`me methode est un peu plus simple.)
Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
Soit m le point du plan complexe ayant pour affixe z.
Dire que |z| = |z 2|, cest dire que M est equidistant de O et de
A(2).Cela equivaut donc a` dire que z secrit z = 1 + i, avec
IR.Legalite arg z = arg(z + 3 + i) (mod 2pi) equivaut a` z + 3 + i
= z, avec IR+.En remplacant z par 1 + i dans cette expression, on
trouve :
4 + i(+ 1) = (1 + i) donc = 4 et =1
3.
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Exercices de Mathematiques
Module et conjugaison
Corriges
Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
Legalite |z| =1z equivaut a` |z| = 1.
On doit donc chercher les nombres complexes de module 1 tels que
|z| = |z 1|, cest-a` dire lespoints m(z) du cercle unite qui sont
equidistants de lorigine et du point daffixe 1, cest-a`-dire
qui ont pour abscisse 12 .
Les deux reponses sont bien sur z = exp(ipi
3) et z = exp(ipi
3)
Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
On sait quun nombre complexe z de module 1 verifie legalite1
z= z. On a donc :
|x+ y + z| = |x+ y + z| = |x+ y + z| =1x + 1y + 1z
=
xy + xz + yzxyz = |xy + xz + yz||xyz| = |xy + xz + yz|
Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
Il sagit de montrer que dans un parallelogramme, la somme des
carres des longueurs desdiagonales est egale a` la somme des carres
des longueurs des cotes.
On ne perd aucune generalite a` supposer que le sommet A est a`
lorigine.
Si b est laffixe de B et si d est celui de D, alors celui de C
est c = b+ d.
Avec ces notations : AC = |c| = |b+ d|, BD = |b d|, AB = CD =
|b|, BC = DA = |d|.La propriete a` demontrer devient alors |b+ d|2
+ |b d|2 = 2(|b|2 + |d|2).
Effectivement, on a :
{ |b+ d|2 = (b+ d)(b+ d) = |b|2 + 2Re (bd) + |d|2|b d|2 = (b
d)(b d) = |b|2 2Re (bd) + |d|2
Et |b+ d|2 + |b d|2 = 2(|b|2 + |d|2) apre`s addition terme a`
terme.
Corrige de lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
La condition imposee secrit
{ |z2 z| = |z3 z| (1)ou |z2 z| = |z3 z2| (2)
On a (1) |z| |z 1| = |z| |z 1| |z + 1| {z = 0 ou z = 1ou |z + 1|
= 1
De meme, (2) |z| |z 1| = |z|2 |z 1| {z = 0 ou z = 1ou |z| =
1
Les solutions sont les nombres complexes dont le point-image
dans lC est sur la reunion ducercle de centre (1, 0) et de rayon 1
et du cercle de centre (0, 0) et de rayon 1.
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