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Exercices de Mathematiques
Racines n-ie`mes complexes (I)
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Resoudre z7 =1
z2dans lC.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Resoudre 27(z 1)6 + (z + 1)6 = 0 dans lC.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Resoudre lequation (E) (z 1)3 + (z 1)2(z + 1) + (z 1)(z + 1)2 +
(z + 1)3 = 0.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Dans lC, resoudre lequation z8 =1 + i3 i .
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Calculer les sommes
S = C 0n +C
4n +C
8n +
T = C 1n +C5n +C
9n +
U = C 2n +C6n +C
10n +
V = C 3n +C7n +C
11n +
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Exercices de Mathematiques
Racines n-ie`mes complexes (I)
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
Les solutions sont les racines cinquie`mes de lunite.
Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
On est amene a` chercher les racines sixie`mes uk de 27.Les
solutions sont les zk =
uk1uk+1
. On trouve :
z0 = 2 + i3, z1 =
12 +
12 i3, z2 =
27 +
17 i3, z3 =
27 +
17 i3, z4 =
12 +
12 i3, z5 = 2 + i
3
Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
Remarquer que lequation equivaut a` (z 1)4 = (z + 1)4.On trouve
trois solutions : z1 = i, z2 = 0, z3 = i.
Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Utiliser la forme trigonometrique du second membre.
Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
Developper (1 + x)n, avec x = 1, x = i, x = 1 et x = i.Resoudre,
par combinaisons lineaires, le syste`me dont S, T, U, V sont
solutions.
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Exercices de Mathematiques
Racines n-ie`mes complexes (I)
Corriges
Corriges des exercices
Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
En prenant les modules, il vient |z| = 1. Lequation devient z7z2
= 1 donc z5 = 1.Les solutions sont les racines cinquie`mes de
lunite : zk = exp
2ikpi5 avec 0 k 4.
Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
Lequation, qui ne posse`de pas la solution z = 1, secrit
:(z+1z1
)6= 27 = 27eipi.
Les racines sixie`mes de 27eipi sont les uk =3 exp
(ipi6 +
ikpi3
)avec 0 k 5.
Lequation initiale est donc equivalente a` : z+1z1 = uk, avec 0
k 5.Mais z+1z1 = uk z =
uk1uk+1
(les uk sont tous distincts de 1).On trouve successivement :
u0 =32 +
12 i3 u1 = i
3 u2 = 32 +
12 i3
u3 = 32 12 i3 u4 = 32
12 i3 u5 =
32
12 i3
Ensuite, si uk = xk + iyk, on a :uk 1uk + 1
=(uk 1)(uk + 1)
|uk + 1|2=
2 2iyk4 2xk =
1
2 xk (1 iyk).
Voici finalement les six solutions de lequation initiale :
z0 = 2 + i3 z1 =
12 +
12 i3 z2 =
27 +
17 i3
z3 =27 +
17 i3 z4 =
12 +
12 i3 z5 = 2 + i
3
Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
On sait que pour tous a, b lC, on a la factorisation a4 b4 = (a
b)(a3 + a2b+ ab2 + b3).Si on multiplie (E) par (z + 1) (z 1) (donc
par 2), on obtient une equation equivalente.
(E) (z 1)4 (z + 1)4 = 0(z 1z + 1
)4= 1 z 1
z + 1= {1, i,1,i}.
Legalitez 1z + 1
= 1 ne donne aucune solution z. Sinonz 1z + 1
= z = 1 + 1 .
On trouve trois solutions : z1 =1 + i
1 i = i, z2 = 0, z3 =1 i1 + i
= i
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Exercices de Mathematiques
Racines n-ie`mes complexes (I)
Corriges
Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
On a 1 + i =2 exp ipi4 et
3 i = 2 exp ipi6 .
Donc = 1+i3i =
12exp 5ipi12 .
On doit donc trouver les racines huitie`mes de .
Les solutions sont les zk = 21/16 exp
(5ipi96 +
ikpi4
), avec k {0, . . . , 7}.
Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
On utilise le binome pour developper (1 + x)n, avec x = 1, x =
i, x = 1 et x = i.On obtient successivement :
(1 + 1)n = C 0n +C1n +C
2n +C
3n +C
4n +C
5n + = S + T + U + V
(1 + i)n = C 0n + iC1n C 2n iC 3n +C 4n + iC 5n + = S + iT U
iV
(1 1)n = C 0n C 1n +C 2n C 3n +C 4n C 5n + = S T + U V(1 i)n = C
0n iC 1n C 2n + iC 3n +C 4n iC 5n + = S iT U + iV
Ainsi S, T, U, V sont solutions du syste`me :
S + T + U + V = 2n : (1)
S + iT U iV = (1 + i)n : (2)S T + U V = 0 : (3)S iT U + iV = (1
+ i)n
En effectuant (1) + (2) + (3) + (4), on trouve :
S =2n+(1+i)n+(1i)n
4 =2n+2Re ((1+i)n)
4 =2n+2
2ncosnpi4
4
En effectuant (1) i(2) (3) + i(4), on trouve :
T =2ni(1+i)n+i(1i)n
4 =2n2Re (i(1+i)n)
4 =2n+2
2nsinnpi4
4
En effectuant (1) (2) + (3) (4), on trouve :
T =2n(1+i)n(1i)n
4 =2n2Re ((1+i)n)
4 =2n22n cosnpi4
4
En effectuant (1) + i(2) (3) i(4), on trouve :
T =2n+i(1+i)ni(1i)n
4 =2n+2Re (i(1+i)n)
4 =2n22n sinnpi4
4
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