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Exercices de Mathematiques
Trigonometrie
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Calculer cos 5a en fonction de cos a. En deduire lexpression de
cospi
10.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Transformer cosx+ 2 cos 2x+ cos 3x en produit.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Transformer sin x+ sin 2x+ sin 7x+ sin 8x en produit.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Simplifier lexpression P = (2 cos x 1)(2 cos 2x 1) (2 cos(2n1x)
1).
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Simplifier lexpressioncos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10
cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Resoudre lequationcosx+
sin x = 1.
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Exercices de Mathematiques
Trigonometrie
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
On developpe cos 5a+ i sin 5a = (cos a+ i sin a)5 et on prend
les parties reelles.
Avec a = pi10 et t = cos2 a, on a 16t2 20t+ 5. Finalement x
=
5+5
8 .
Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
Transformer cosx+ cos 3x en produit.
Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
Transformer sin x+ sin 8x et sin 2x+ sin 7x en produits.
Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Verifier et utiliser legalite (2 cos 2kx 1)(2 cos 2kx+ 1) = 2
cos(2k+1x) + 1.On trouve finalement P =
2 cos 2nx+ 1
2 cos x+ 1.
Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
Multiplier le denominateur par 2 cos x.
Indication pour lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
Etudier lapplication x 7 (x) = cosx+sin x sur [0, pi2 ].
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Exercices de Mathematiques
Trigonometrie
Corriges
Corriges des exercices
Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
On developpe cos 5a+ i sin 5a = (cos a+ i sin a)5 et on prend
les parties reelles :
cos 5a = cos5 a 10 cos3 a(1 cos2 a) + 5 cos a(1 cos2 a)2= 16
cos5 a 20 cos3 a+ 5 cos a
Pour a = pi10 et on posant x = cos a, on trouve :
0 = cos 5a = 16x5 20x3 + 5x = x(16x4 20x2 + 5)
Le reel t = x2 est solution de 16t2 20t+ 5. Donc t {558 ,
5+5
8
}.
Or 0 < a < pi4 12 < t < 1. La seule possibilite est
donc t =
5+5
8 .
Dautre part, x = cos a est positif. On en deduit : x =
5+5
8 .
Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
On a tout dabord cosx+ cos 3x = 2 cos(2x) cos x.
On en deduit : cos x+ 2 cos 2x+ cos 3x = 2 cos(2x)(1 + cos x) =
4 cos(2x) cos2x
2.
Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
On a par exemple : sinx+ sin 8x = 2 sin9x
2cos
7x
2et sin 2x+ sin 7x = 2 sin
9x
2cos
5x
2.
Donc sin x+ sin 2x+ sin 7x+ sin 8x = 2 sin9x
2
(cos
7x
2+ cos
5x
2
)= 4 sin
9x
2cos(3x) cos
x
2
Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
On a : (2 cos 2kx 1)(2 cos 2kx+ 1) = 4 cos2(2kx) 1= 4
1 + cos(2k+1x)
2 1 = 2 cos(2k+1x) + 1.
Si on pose vk = 2 cos 2kx+ 1, lexpression donnee par lenonce
secrit :
n1k=0
(2 cos 2kx 1) =n1k=0
vk+1vk
=vnv0
=2 cos(2nx) + 1
2 cos x+ 1
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Exercices de Mathematiques
Trigonometrie
Corriges
Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
On a : 2 cos x(cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x) = 2 cos x cos(5x) +
10 cos x cos 3x+ 20 cos2 x
= cos 6x+ cos 4x+ 5(cos 4x+ cos 2x) + 10(1 + cos 2x)
cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10
Conclusion :cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10
cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x= 2 cos x
Corrige de lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
Le premier membre est 2pi-periodique en x, sur la reunion des Ik
=[2kpi, 2kpi + pi2
], k ZZ.
Lensemble des solutions a la meme periodicite. On se place par
exemple sur I0.
Lapplication x 7 (x) = cosx+sin x est continue sur I0, derivable
sur I 0 =]0, pi2
[.
x I 0, (x) =(cosx)3/2 (sinx)3/2
2cosx
sin x
a le signe de cos x sin x.
Ainsi est strictement croissante sur[0, pi4
]et strictement decroissante sur
[pi4 ,
pi2].
Or (0) = (pi2 ) = 1. On en deduit que sur I0, (x) = 1 x {0,
1}.Par periodicite, les solutions sur IR sont les x = 2kpi et les x
= pi2 + 2kpi, avec k ZZ.
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