MÔ HÌNH HÓA - hcmut.edu.vnhthoang/ndht/Chuong2_NDHT_K17.pdf · Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 5 Hình 2.2: Sô ñoàlieân keát ngoaøi cuûa

Chương 2: MÔ HÌNH HÓA

Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

1

Chương 2

MÔ HÌNH HÓA Chương 2: MOÂ HÌNH HOÙA 2.1. Giới thieäu 2.2. Phaân tích chöùc naêng 2.3. Phaân tích vaät lyù 2.4. Phaân tích toaùn hoïc 2.5 Một số thí dụ Tham khảo: [Smith, 1994], chương 2, 4. [Johansson, 1993], chương 7. 2.1 GIÔÙI THIEÄU • Moâ hình hoùa laø phöông phaùp xaây döïng moâ hình toaùn cuûa heä thoáng baèng caùch phaân tích heä thoáng thaønh caùc khoái chöùc naêng, trong ñoù moâ hình toaùn cuûa caùc khoái chöùc năng ñaõ bieát hoaëc coù theå ruùt ra ñöôïc döïa vaøo caùc qui luaät vaät lyù, sau ñoù caùc khoái chöùc naêng ñöôïc keát noái toaùn học ñeå ñöôïc moâ hình cuûa heä thoáng. • Ba böôùc moâ hình hoùa: Phaân tích chöùc naêng Phaân tích vaät lyù Phaân tích toaùn hoïc



2

2.2 PHAÂN TÍCH CHÖÙC NAÊNG (tham khaûo chöông 2, [Smith, 1994])

2.2.1 Khaùi nieäm

• Phaân tích chöùc naêng laø phaân tích heä thoáng caàn moâ hình hoùa thaønh nhieàu heä thoáng con, moãi heä thoáng con goàm nhieàu boä phaän chöùc naêng (functional component).

• Khi phaân tích chöùc naêng caàn ñeå yù lieân keát vaät lyù (connectivity) vaø quan heä nhaân quaû (causality) giöõa caùc thaønh phaàn beân trong heä thoáng.

• Ba böôùc phaân tích chöùc naêng: Coâ laäp heä thoáng Phaân tích heä thoáng con Xaùc ñònh caùc quan heä nhaân quaû 2.2.2 Coâ laäp heä thoáng - Lieân keát ngoaøi • Xaùc ñònh giôùi haïn cuûa heä thoáng caàn moâ hình hoùa, caét keát noái giöõa heä thoáng khaûo saùt vôùi moâi tröôøng ngoaøi, moãi keát noái bò caét ñöôïc thay theá baèng moät coång ñeå moâ taû söï töông taùc giöõa heä thoáng vaø moâi tröôøng.

Hình 2.1: Heä thoáng coù moät coång lieân keát vôùi moâi tröôøng

Heä thoáng Moâi tröôøng U

Y

bieân cuûa heä thoáng



3

• Coång (port) : laø moät caëp ñaàu cuoái maø qua ñoù naêng löôïng hoaëc coâng suaát vaøo hoaëc ra khoûi heä thoáng. Moät heä thoáng coù theå coù nhieàu coång (multiport system). • Boán loaïi coång thöôøng gaëp: cô khí (Structural), ñieän (Electrical), nhieät (thermal), löu chaát (fluid) Loaïi coång

Teân (Kyù hieäu) Sô ñoà Coâ laäp

a. Tònh tieán (Structural Translation - ST)

b. Quay (Structural Rotation - SR) 1.

CÔ

KH

Í

c. Phöùc hôïp (Structural Complex - SC)

a. Ñieän daãn (Electrical Conduction – EC)

3. Ñ

IEÄN

b. Ñieän böùc xaï (Electrical Radiation – ER)



4

a. Daãn nhieät (Thermal Conduction – TC)

b. Ñoái löu nhieät (Thermal Convention – TV)

3. N

HIE

ÄT

c. Böùc xaï nhieät (Thermal Radiation – TR)

a. Noäi löu (Fluid Internal – FI)

4. L

ÖU

CH

AÁT

a. Ngoaïi löu (Fluid External – FE)

Thí duï 2.1: Coâ laäp heä caùnh tay maùy



5

Hình 2.2: Sô ñoàlieân keát ngoaøi cuûa caùnh tay robot

Thí duï 2.2: Coâ laäp heä thoáng laøm maùt

(a)

(b)

Hình 2.3: Heä thoáng laøm maùt (a) Sô ñoà heä thoáng (b) Sô ñoà trao ñoåi nhieät



6

(a)

(b)

Hình 2.4: Heä thoáng laøm maùt (a) Sô ñoà ña coång cuûa heä thoáng

(b) Sô ñoà ña coång cuûa boä trao ñoåi nhieät

Hình 2.5: Sô ñoà ña coång löu chaát loûng trong heä thoáng laøm maùt



7

2.2.3 Phaân tích heä thoáng con - Lieân keát trong • Phaân tích heä thoáng sau khi coâ laäp thaønh caùc heä thoáng con (subsystem), sau ñoù tieáp tuïc phaân tích caùc heä thoáng con chi tieát ñeán caùc boä phaän (component), thay theá lieân keát giöõa caùc boä phaän baèng caùc coång.

Thí duï 2.3: Phaân tích lieân keát trong heä caùnh tay robot

Hình 2.6: Sô ñoà khoái caùnh tay maùy chi tieát ñeán caùc heä thoáng con

Hình 2.7: Sô ñoà khoái caùnh tay maùy chi tieát ñeán caùc boä phaän



8

2.2.4 Quan heä nhaân quaû - Caùc bieán cuûa heä thoáng • Vì coång laø ñaàu cuoái maø qua ñoù coâng suaát (naêng löôïng) truyeàn vaøo ra heä thoáng neân quan heä nhaân quaû cuûa coång ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc bieán ñònh nghóa coâng suaát taïi coång.

Thí duï 2.4: Caùnh tay maùy

Hình 2.8: Sô ñoà khoái hoaøn chænh cuûa caùnh tay maùy



9

2.3 PHAÂN TÍCH VAÄT LYÙ

2.3.1 Phöông phaùp phaân tích vaät lyù

2.3.1.1 Caùc qui luaät vaät lyù

a. Quan hệ cơ bản giữa lượng, thế và dòng

Hệ thống vật lý có thể chia thành 4 loại: • Điện (Electrical) • Cơ (Machenical) • Nhiệt (Thermal) • Lưu chất (Fluid)

Một hệ thống phức tạp có thể gồm nhiều hệ thống con thuộc 4 loại nói trên.

Mỗi loại hệ thống có 3 phần tử cơ bản (basis element): • Trở (resistance) • Dung (capacitance) • Cảm (inductance) hay quán tính (inertia)

Các phần tử cơ bản này được định nghĩa dựa trên 3 biến: • Lượng (quantity) • Thế (potential) • Thời gian (time).

Bảng 2.1: Các biến được sử dùng để định nghĩa các yếu tố cơ bản của các loại hệ thống.

Biến Loại Hệ thống Lượng Thế Thời gianĐiện Điện tích

(Charge) Điện thế (Voltage)

Giây

Cơ khí Khoảng cách (Distance)

Lực (Force)

Giây

Lưu chất (lỏng)

Thể tích (Volume)

Áp suất (Pressure)

Giây

Nhiệt Nhiệt năng (Heat energy)

Nhiệt độ (Temperature)

Giây



10

Các biến khác được định nghĩa dựa trên 3 biến cơ bản trên. • Cường độ dòng là biến thiên lượng trong một đơn vị thời gian

(hay cường độ dòng là tốc độ biến thiên lượng).

( )löôïngdoøng ñoä cöôøng dtd= (2.1)

• Coâng suaát

doøngñoäcöôøngtheásuaát coâng ×=

Định nghĩa các phần tử cơ bản (Quan hệ giữa lượng, thế và dòng) • Trở là sự chống lại sự chuyển động hay dòng vật chất, năng

lượng. Trở được đo bằng thế cần thiết để chuyển một đơn vị lượng trong một đơn vị thời gian (giây).

doøng ñoä cöôøng

theátrôû= (2.2)

• Dung biểu diễn mối quan hệ giữa lượng và thế. Dung được đo

bằng lượng cần thiết là cho thế biến thiên một đơn vị.

theá

löôïngdung = (2.3)

(2.1) & (2.3) ⇒ ( )dt∫= doøng ñoä cöôøngdung

theá 1 (2.4)

• Cảm hay quán tính là sự chống lại sự thay đổi trạng thái

chuyển động. Cảm được đo bằng thế cần thiết để làm tốc độ biến thiến của lượng thay đổi một đơn vị.

( )doøng ñoä cöôøngcaûmtheádtd×= (2.5)



11

* Các phương trình cân bằng

• Các định luật bảo toàn khối lượng, năng lượng, và xung lượng là các định luật cơ bản được sử dụng khi mô hình hóa. Phương trình cân bằng cơ bản có dạng tổng quát như sau: radoøngvaøodoøng luõytích doøng −= (2.6) Nếu hệ thống không có các phần tử tích trữ khối lượng, năng lượng và xung lượng thì phương trình (2.6) trở thành: radoøngvaøodoøng −=0 (2.7) Nếu hệ thống có phần tử tích trữ khối lượng, năng lượng hay xung lượng thì sự tích trữ này làm thay đổi trạng thái của hệ thống.

( ) ra doøngvaøo doøngthaùi traïng bieán −=dtd (2.8)

• Các hiện tượng tự nhiên xảy ra theo hướng làm tối thiểu năng

lượng, và nhiều bài toán mô hình hóa mô tả điều kiện cân bằng liên quan đến sự tối thiểu năng lượng. 2.3.1.2 Lý tưởng hóa các phần tử vật lý Các nguyên tắc lý tưởng hóa:

• Nguyên tắc thuần hóa: nhận ra ảnh hưởng vật lý cơ bản chi phối hoạt động của đối tượng và dùng các phần tử thuần để biểu diễn.

Hình 2.9: Moâ hình tuï ñieän goàm caùc phaàn töû thuaàn nhaát

ñieän moâi C R



12

• Nguyên tắc tập trung hóa: các ảnh hưởng vật lý thực luôn phân bố trong một miền hay không gian nhất định (dù nhỏ). Các ảnh hưởng phân bố này có thể lý tưởng hóa bằng cách mô hình hóa tập trung.

Hình 2.10: Moâ hình vaùn nhaûy

• Nguyên tắc tuyến tính hóa: tất cả các hệ thống thực đều là hệ

phi tuyến ⇒ lý tưởng hóa bằng cách tuyến tính hóa.

Hình 2.11: Ñaëc tínhphi tuyeán cuûa ñieän trôû



13

2.3.1.3 Sự tương đồng của các quan hệ vật lý

• Do các hiện tượng vật lý có sự tương đồng nên có thể mô hình hóa hệ cơ bằng hệ điện, hệ nhiệt bằng hệ điện,…

Hình 2.12: Sự tương đồng giữa các phần tử cơ bản của các loại hệ thống vật lý



14

2.3.2 Phaân tích vaät lyù heä thoáng ñieän

2.3.2.1 Các phần tử điện

Các biến cơ bản trong hệ thống điện: • Điện lượng: q [C] • Điện thế: u [V] • Cường độ dòng điện: i [A]

(2.1) ⇒ dtdqi =

Các phần tử điện cơ bản • Điện trở: S

lR ρ= [Ω]

(2.2) ⇒ iuR =

• Điện dung: d

SC ε= [F]

(2.3) ⇒ uqC =

(2.4) ⇒ ∫= idtCu 1

• Điện cảm: b

NrL2µπ= [H]

(2.5) ⇒ dtdiLu =

• Nguồn áp lý tưởng: • Nguồn dòng lý tưởng

2.3.2.2 Phương trình cân bằng điện Định luật Kirchoff về dòng. Định luật Kirchoff về áp.

2.3.2.3 Phương pháp giải tích mạch điện Phương pháp dòng vòng Phương pháp thế đỉnh



15

2.3.3 Phaân tích vaät lyù heä thoáng cô 2.3.3.1 Các phần tử cơ Chuyển động thẳng

Các biến: • Khoảng cách: x [m] • Lực: f [N] • Tốc độ: v [m/sec]

(2.1) ⇒ dtdxv =

Các phần tử: • Trở: bRM =

b: hệ số ma sát nhớt [N.sec/m]

(2.2) ⇒ vfb = ⇔

vfRM =

• Dung: kCM /1=

k: Độ cứng lò xo [N/m]

(2.3) ⇒ fx

k=

1 ⇔ fxCM =

(2.4) ⇒ kxvdtkf == ∫ ⇔ ∫= vdtC

fM

1

xf

b

f

xf

k

f



16

• Quán tính cơ: m : khối lượng [kg]

(2.5) ⇒ madtdvmf ==

Chuyển động quay Lực ↔ Moment Khoảng cách ↔ Góc quay Vận tốc ↔ Vận tốc góc Gia tốc ↔ Gia tốc góc Quán tính ↔ Moment quán tính 2.3.3.2 Phương trình cân bằng cơ

Phương trình cân bằng lực. Phương trình Euler – Lagrange:

τ=∂∂

−

∂∂

qL

qL

dtd

&

Trong đó: UTL −= U: thế năng T: động năng q: tọa độ tổng quát τ: ngoại lực (hay moment)

xf

mf



17

2.3.3.3 Söï töông ñoàng giöõa heä thoáng cô vaø heä thoáng ñieän

Hình 2.13: Söï töông ñoàng giöõa caùc phaàn töû

Hình 2.14: Söï töông ñoàng giöõa caùc nguoàn



18

2.3.4 Phaân tích vaät lyù heä thoáng nhieät 2.3.4.1 Caùc phaàn töû nhieät

Caùc bieán trong heä thoáng nhieät : • Nhiệt độ: θ [0C] • Nhiệt năng: Q [J] • Dòng nhiệt: H [J/sec]

(2.1) ⇒ dtdQH =

Caùc phaàn töû nhieät: • Nhiệt trở:

Nhiệt trở dẫn nhiệt: Sk

lRC

T =

trong đó: kC: là hệ số dẫn nhiệt của môi trường truyền nhiệt l: là chiều dài của môi trường truyền nhiệt S: là tiết diện ngang của môi trường truyền nhiệt

(2.2) ⇒ H

RTθ

=

Nhiệt trở đối lưu + Bức xạ nhiệt: xem (Smith,1994)

• Nhiệt dung: McCT .=

trong đó: c: là nhiệt dung riêng của môi trường truyền nhiệt M: là khối lượng của môi trường truyền nhiệt

(2.3) ⇒ θQCT =

(2.4) ⇒ ∫= HdtCT

1θ

• Quán tính nhiệt: TI

(2.5) ⇒ dt

dHIL=θ



19

Hình 2.15: Nhieät trôû (a) Nhieät trôû truyeàn nhieät (b) Nhieät trôû ñoái löu (c) Nhieät trôû böùc xaï



20

Hình 2.16: Nhieät dung

2.3.4.2 Caùc phöông trình caân baèng nhieät 2.3.5 Phaân tích vaät lyù heä löu chaát loûng 2.3.5.1 Caùc phaàn töû löu chaát

Caùc bieán trong heä löu chaát : • Áp suất: p [N/m2] • Thể tích: V [m3] • Lưu lượng: q [m3/sec]

(2.1) ⇒ dtdVq =

Caùc phaàn töû löu chaát: • Lưu trở:

Lưu trở của đường ống: 4128

dlRL π

µ= [N.sec/m]

(2.2) ⇒ qpRL =

Công thức trên chỉ đúng trong trường hợp lưu chất chảy tầng (có hướng), và đường ống dẫn lưu chất dài (l>20d) Lưu trở của van: phi tuyến



21

Hình 2.17: Löu trôû

• Dung: g

ACL ρ= [m5/N]

(2.3) ⇒ pVCL =

(2.4) ⇒ ∫= qdtC

pL

1



22

Hình 2.18: Löu dung

• Quán tính: alILρ

= [Nsec2/m5]

(2.5) ⇒ dtdqIp L=

2.3.5.2 Caùc phöông trình caân baèng trong hệ lưu chất



23

2.3.6 Một số thí dụ Thí duï 2.5: Mô hình hóa hệ thống sau: Cách 1: Dùng định luật Newton Chiếu lên phương chuyển động, áp dụng định luật II Newton:

αsin)()( PtFtxm −=&& Cách 2: Dùng công thức Euler–Lagrange:

Động năng: 2

21 xmT &=

Thế năng: αsinmgxU =

⇒ αsin21 2 mgxxmUTL −=−= &

Áp dụng công thức Euler–Lagrange:

FxL

xL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

⇒ ( ) Fmgxmdtd

=+ αsin&

⇒ Fmgxm =+ αsin&& Thí duï 2.6: Moâ hình hoùa heä thoáng giaûm soác cuûa xe maùy (phuoäc nhuùng)

Cách 1: Áp dụng định luật Newton:

)()()()( txbtkxtftxm &&& −−=

⇒ )()()()( tftkxtxbtxm =++ &&&

P

N F

α

x

x

f

b k

m



24

Cách 2: Áp dụng công thức Euler-Lagrange:

Động năng: 2

21 xmT &=

Thế năng: 2

21 kxU =

⇒ 22

21

21 kxxmUTL −=−= &

Áp dụng công thức Euler–Lagrange:

xbfxL

xL

dtd

&&

−=∂∂

−

∂∂

⇒ ( ) xbfkxxmdtd

&& −=+

⇒ )()()()( tftkxtxbtxm =++ &&& Cách 3: Áp dụng sự tương đồng giữa hệ thống điện và hệ thống cơ: Thế: Uf ↔ Lượng: qx ↔ Dung: Ck ↔/1 Trở: Rb ↔ Cảm: Lm ↔ Quan hệ giữa dòng và áp của mạch điện tương trên là:

)(1)( sULsCs

RsI =

++ ⇒ )(1)( 2 sULs

CRs

ssI

=

++

⇒ )(1)( 2 sULsC

RssQ =

++ ⇒ )()(1)()( tutq

CtqRtqL =++ &&&

Do đó quan hệ giữa các đại lượng của hệ cơ là:

)()()( tfkxtxbtxm =++ &&&

UR C L

i



25

Thí duï 2.7: Moâ hình hoùa heä con laéc ngöôïc

Chuù thích: M : troïng löôïng xe [Kg] m : troïng löôïng con laéc [Kg] l : chieàu daøi con laéc [m] u : löïc taùc ñoäng vaøo xe [N] g : gia toác troïng tröôøng [m/s2] x : vò trí xe [m] θ : goùc giöõa con laéc vaø phöông thaúng ñöùng [rad] Caùch 1: Duøng ñònh luaät Newton Goïi (xP, yP) laø toïa ñoä cuûa vaät naëng m ôû ñaàu con laéc, ta coù: θsinlxxP += (1) θcoslyP = (2) AÙp duïng ñònh luaät II Newton cho chuyeån ñoäng theo phöông x, ta coù:

Fdt

xdmdt

xdM P =+ 2

2

2

2

(3)

Thay xG ôû bieåu thöùc (1) vaøo bieåu thöùc (3) suy ra:

( ) Flxdtdm

dtxdM =++ θsin2

2

2

2

(4)

Khai trieån caùc ñaïo haøm ôû bieåu thöùc (4) vaø ruùt goïn ta ñöôïc: FmlmlxmM =+−+ θθθθ &&&&& )(cos)(sin)( 2 (5)

x

xF M

m

θ

l

mglcosθ

lsinθ



26

Maët khaùc, aùp duïng ñònh luaät II Newton cho chuyeån ñoäng quay cuûa con laéc quanh truïc ta ñöôïc:

θθθ sinsincos 2

2

2

2

mglldt

ydmldt

xdm PP =− (6)

Thay (1) vaø (2) vaøo (6) suy ra:

θθθθθ sinsin)cos(cos)sin( 2

2

2

2

mgllldtdmllx

dtdm =

−

+ (7)

Khai trieån caùc ñaïo haøm ôû bieåu thöùc (7) vaø ruùt goïn ta ñöôïc: θθθ sincos mgmlxm =+ &&&& (8) Töø (5) vaø (8), ta coù theå deã daøng tính ñöôïc:

2

2

)(cossincos)(sin

θθθθθ

mmMmgmlFx

−+−+

=&

&& (9)

lmMml

mlgmMF)()(cos

)sin(cos)(sin)(cos2

2

+−++−

=θ

θθθθθθ&

&& (10)

Caùch 2: Duøng coâng thöùc Euler–Lagrange: Goïi (xP, yP) laø toïa ñoä cuûa vaät naëng m ôû ñaàu con laéc, ta coù: θsinlxxP += (1) θcoslyP = (2) Ñoäng naêng cuûa vaät naëng ñaàu con laéc:

( ) ( )2222 sin21cos

21

21

21 θθθθ &&&&& lmlxmymxmT PPP −++=+=

⇒ 222

21cos

21 θθθ &&&& mlxmlxmTP ++=

Ñoäng naêng cuûa xe:

2

21 xMTC &=

Ñoäng naêng cuûa heä thoáng:

( ) 222

21cos

21 θθθ &&&& mlxmlxmMTTT CP +++=+=

Theá naêng cuûa heä thoáng = theá naêng vaät naëng ñaàu con laéc: θcosmglU =



27

⇒ ( ) θθθθ cos21cos

21 222 mglmlxmlxmMUTL −+++=−= &&&& (3)

Phöông trình Euler – Lagrange:

FxL

xL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

(4)

0=∂∂

−

∂∂

θθLL

dtd

& (5)

Thay (4) vaøo (3): ( ) FmlmlxmM =−++ 2)(sin)(cos θθθθ &&&&& 0sincos =−+ θθθ mgmlxm &&&& Suy ra:

2

2

)(cossincos)(sin

θθθθθ

mmMmgmlFx

−+−+

=&

&&

lmMml

mlgmMF)()(cos

)sin(cos)(sin)(cos2

2

+−++−

=θ

θθθθθθ&

&&

Thí duï 2.8: Moâ hình heä tay maùy hai baäc töï do

l1, l2 : chieàu daøi cuûa 2 m1, m2 : khoái löôïng ϕ1, ϕ2 : goùc quay cuûa caùc khôùp caùnh tay τ1, τ2 : moment laøm quay caùc khôùp noái

Toïa ñoä cuûa caùnh tay maùy trong heä toïa ñoä De-cac laø: 111 sinϕlx −= 111 cosϕly = 22112 sinsin ϕϕ llx −−= 22112 coscos ϕϕ lly +=

ϕ1

ϕ2

l1

l2

m1

m2

y1

y2

x2 x1



28

Vaän toác:

−−

=

=

111

111

1

11 sin

cosϕϕϕϕ

&

&

&

&

ll

yx

v

−−−−

=

=

222111

222111

2

22 sinsin

coscosϕϕϕϕϕϕϕϕ

&&

&&

&

&

llll

yx

v

Ñoäng naêng:

)(21)(

21 2

2222

21

211 yxmyxmT &&&& +++=

⇒ +++= 22

222

21

212

21

211 2

121

21 ϕϕϕ &&& lmlmlmT

)sinsincos(cos 212121212 ϕϕϕϕϕϕ +&&llm Theá naêng: )coscos(cos 22112111 ϕϕϕ llgmglmU ++= Do ñoù:

22

222

21

212

21

211 2

121

21 ϕϕϕ &&& lmlmlmUTL ++=−=

)sinsincos(cos 212121212 ϕϕϕϕϕϕ ++ &&llm )coscos(cos 22112111 ϕϕϕ llgmglm +−− (1) Phöông trình Euler–Lagrange:

111

τϕϕ

=∂∂

−

∂∂ LL

dtd

& (2)

222

τϕϕ

=∂∂

−

∂∂ LL

dtd

& (3)

Thay (1) vaøo (2) vaø (3) ta ñöôïc: 221212121

2121 )sinsincos(cos)( ϕϕϕϕϕϕ &&&& +++ llmlmm

11121222121212 sin)()sincoscos(sin τϕϕϕϕϕϕ =+−−+ glmmllm & (4)

121212122

222 )sinsincos(cos ϕϕϕϕϕϕ &&&& ++ llmlm

2222212121212 sin)sincoscos(sin τϕϕϕϕϕϕ =−−− glmllm & (5)



29

Thí duï 2.9: Moâ hình toaùn boàn chöùa chaát loûng (Single Tank) A: tieát dieän ngang boàn chöùa a: tieát dieän van xaû k: heä soá tæ leä vôùi coâng suaát maùy bôm

Phöông trình caân baèng: ( ) )()()( tqtqtAhdtd

outin −=

Doøng vaøo: )()( tkutqin = Doøng ra: )()/2()( 222 tpCatq Dout ρ= trong ñoù: )()( tghtp ρ= : aùp suaát 6.0=DC : heä soá xaû

Suy ra: ( ))(2)(1)( tghaCtkuA

th D−=&

Thí duï 2.10: Heä boàn noái tieáp (Cascade Tank)

( )

( )

−=

−=

)(2)(21)(

)(2)(1)(

2221112

2

111111

1

tghCatghCaA

th

tghCatukA

th

DD

D

&

&

h(t)u(t)

qin

qout

h1(t)u(t)

qin1

qout2 h2(t)

qout1=qin2



30

Thí duï 2.11: Heä boàn lieân keát (Coupled Tank) Moâ hình toaùn:

( )( )( )( )

−−−−=

−−−−=

)()(2)()(sgn)(2)(1)(

)()(2)()(sgn)(2)(1)(

21121212222222

2

21122112111111

1

ththgaththCtghCatukA

th

ththgaththCtghCatukA

th

DD

DD

&

&

Thí duï 2.12: Söï töông ñoàng giöõa heä löu chaát vaø heä thoáng ñieän:

Ñeå 2 moâ hình treân töông ñöông ta caàn giaû thieát boàn chöùa raát lôùn, khi heä thoáng vaän haønh ñoä cao möïc chaát loûng trong boàn chöùa thay ñoåi khoâng ñaùng keå.



31

Thí duï 2.13: Moâ hình loø saáy )(tSθ : nhieät ñoä nguoàn nhieät )(tθ : nhieät ñoä loø saáy )(tH : doøng nhieät Ta coù:

Doøng nhieät: T

S

RtttH )()()( θθ −

=

Phöông trình caân baèng: )()( tHdt

tdCT =θ

trong ñoù: AkdRT 2

= : nhieät trôû

d: chieàu daøi loø saáy A: tieát dieän ngang k: heä soá daãn nhieät =TC cM : nhieät dung c: nhieät dung rieâng cuûa moâi tröôøng truyeàn nhieät M: khoái löôïng moâi tröôøng truyeàn nhieät Suy ra moâ hình toaùn hoïc cuûa loø saáy laø:

)()()( ttdt

tdCR STT θθθ=+

Tröôøng hôïp loø saáy daøi, coù theå moâ hình hoùa baèng caùch chia laøm nhieàu ngaên:

θ(t) θS(t) H(t)

θ2(t) θS(t) H1(t) θ1(t)

d/4 d/4 d/2

H2(t)



32

Doøng nhieät:

1

11

)()()(T

S

RtttH θθ −

=

2

212

)()()(TR

tttH θθ −=

Phöông trình caân baèng:

)()()(21

11 tHtH

dttdCT −=

θ

)()(2

22 tH

dttdCT =

θ

Suy ra:

−=

−−

−=

2

2122

2

21

1

111

)()()(

)()()()()(

TT

TT

ST

Rtt

dttdC

Rtt

Rtt

dttdC

θθθ

θθθθθ

2.4 PHAÂN TÍCH TOAÙN HOÏC (tham khaûo chöông 5 vaø chöông 8, (Smith, 1994)) Phaân tích toaùn hoïc:

• Keát hôïp taát caû caùc heä phöông trình moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa caùc boä phaän chöùc naêng ñeå ñöôïc heä phöông trình moâ taû heä thoáng.

• Tuyeán tính hoùa quan heä phi tuyeán ñeå ñöôïc moâ taû toaùn hoïc

tuyeán tính Xeùt heä phi tuyeán baäc n coù p ngoõ vaøo, q ngoõ ra moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi.

==

))(),(()())(),(()(

tttttt

uxhyuxfx&

trong ñoù nt ℜ∈)(x laø vector traïng thaùi, pt ℜ∈)(u laø vector tín hieäu vaøo, qt ℜ∈)(y laø vector tín hieäu r; nℜ∈(.)f , qℜ∈(.)h laø vector haøm moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa heä phi tuyeán.



33

Khai trieån Taylor xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh ),( ux ta coù theå moâ taû heä thoáng baèng phöông trình traïng thaùi tuyeán tính:

+=+=

)(~)(~)(~)(~)(~)(~

tttttt

uDxCyuBxAx&

trong ñoù: ( )),( ,)()(~

)()(~)()(~

uhyytytyututu

tt

x

xxx

=−=−=−=

Caùc ma traän traïng thaùi cuûa heä tuyeán tính gaàn ñuùng ñöôïc tính nhö sau:

)(2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

u,x

,xxfA

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

n

nn

n

n

n

n

u

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

K

MOMM

L

L

)(21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

u,x

u,xufB

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

p

nnn

p

p

uf

uf

uf

uf

uf

uf

uf

uf

uf

K

MOMM

L

L

)(21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

u,x

u,xxhC

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

n

qqq

n

n

xh

xh

xh

xh

xh

xh

xh

xh

xh

K

MOMM

L

L



34

)(21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

u,x

u,xuhD

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

p

qqq

p

p

uh

uh

uh

uh

uh

uh

uh

uh

uh

K

MOMM

L

L

• Ñaïi soá sô ñoà khoái – Phöông phaùp sô ñoà doøng tín hieäu vaø coâng

thöùc Mason ñeå tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä tuyeán tính. • Ñaùnh giaù söï phuø hôïp cuûa moâ hình • Duøng moâ hình ñeå döï baùo ñaùp öùng cuûa heä thoáng ñoái vôùi tín

hieäu vaøo cho tröôùc.

Thí duï 2.14: Moâ hình toaùn heä con laéc ngöôïc truyeàn ñoäng duøng ñoäng cô DC, xeùt aûnh höôûng cuûa ma saùt: * Ñaëc tính ñoäng cuûa heä xe–con laéc coù xeùt ñeán aûnh höôûng cuûa ma saùt: Töông töï nhö thí duï 2.7, tuy nhieân löïc taùc ñoäng phaûi keå theâm löïc ma saùt: CfFmlmlxmM −=+−+ θθθθ &&&&& )(cos)(sin)( 2 (1) Pfmgmlxm −=−+ θθθ sincos &&&& (2) trong ñoù: Cf löïc ma saùt taùc ñoäng leân xe Pf löïc ma saùt taùc ñoäng leân con laéc



35

* Ñaëc tính ma saùt: Giaû thieát coù caû ma saùt tónh vaø ma saùt nhôùt taùc ñoäng laøm caûn trôû chuyeån ñoäng cuûa xe vaø con laéc. Caùc löïc ma saùt naøy coù theå moâ taû baèng caùc phöông trình sau: xBeAxf x

xCxC

x && & += −)sgn( (3)

θθ θθ

θθ && &

BeAf CP += −)sgn( (4)

trong ñoù xA , xB , xC , θA , θB , 0>θC . * Ñaëc tính ñoäng cô: baaaaa EIRVIL −−=& (5) ωbb KE = ωω mlmm BTTJ −−=& (6) agim IKKT = FrTl = rxKg /&=ω aL : ñieän caûm phaàn öùng aR : ñieän trôû phaàn öùng aI : doøng ñieän phaàn öùng aV : ñieän aùp phaàn öùng mT : moment ñoäng cô lT : moment taûi ω : toác ñoä quay ñoäng cô r : baùn kính pu-li mJ : moment quaùn tính ñoäng cô mB : heä soá ma saùt nhôùt iK : heä soá moment iK : heä soá moment gK : heä soá giaûm toác bE : söùc phaûn ñieän

F : löïc taùc ñoäng vaøo xe Ñaëc tính ñoäng cô coù theå bieåu dieãn theo aI , x vaø F nhö sau:



36

abg

aaaa VxrKK

IRIL =++ && (7)

FIrKK

xrBK

xr

JKa

gimgmg −=−+ &&& 22 (8)

Do ñoù moâ hình toaùn hoïc cuûa heä xe con laéc vôùi tín hieäu vaøo laø ñieän aùp caáp cho ñoäng cô nhö sau:

=++

−=−+

−=−++−++

abg

aaaa

P

Caigmgmg

VxrKK

IRIL

fmgmlxm

fIrKK

xrBK

mlmlxr

JKmM

&&

&&&&

&&&&&&

θθθ

θθθθ

sincos

)(cos)(sin)( 22

2

Thí duï 2.15: Moâ hình tuyeán tính cuûa heä con laéc ngöôïc xung quanh vò trí thaúng ñöùng. Heä phöông trình moâ taû ñaëc tính ñoäng phi tuyeán cuûa heä con laéc ngöôïc (xem thí duï 7):

2

2

)(cossincos)(sin

θθθθθ

mmMmgmlux

−+−+

=&

&& (1)

lmMml

mlgmMu)()(cos

)sin(cos)(sin)(cos2

2

+−++−

=θ

θθθθθθ&

&& (2)

Ñaët Txxt ],,,[)( &&θθ=x : vector traïng thaùi, ta ñöôïc:

444444444 3444444444 21321&

&

&

&

&

(.))(cos

sincos)(sin)(

)()(cos)sin(cos)(sin)(cos

)(

)()()()(

21

11221

4

21

221111

2

4

3

2

1

fx

−+−+

+−++−

=

xmmMxxmgxxmlu

txlmMxml

xxxmlxgmMxutx

txtxtxtx



37

321

(.))()(

)()(

)(3

1

h

=

=

txtx

txt

tyθ

Ñieåm caân baèng ôû vò trí thaúng ñöùng: )0,(),( 0=ux Tuyeán tính hoùa xung quanh ñieåm caân baèng:

+=+=

)(~)(~)(~)(~)(~)(~

tttttt

uDxCyuBxAx&

trong ñoù:

−

+

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

0001000

000)(0010

)0(4

4

3

4

2

4

1

4

4

3

3

3

2

3

1

3

4

2

3

2

2

2

1

2

4

1

3

1

2

1

1

1

)(

gMm

gMl

mM

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

u

,

,xxfA

0

−

=

∂∂∂∂∂∂∂∂

=∂∂

=

M

Ml

ufufufuf

u u 10

10

)0(

4

3

2

1

)(

,

,x

fB

0

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=01000001

)(4

2

3

2

2

2

1

2

4

1

3

1

2

1

1

1

)(

u,x

,xxhC

xh

xh

xh

xh

xh

xh

xh

xh

u

=

∂∂∂∂

=∂∂

=00

)(

2

1

)(

u,x

,x

hD

uhuh

u u



38

Documents

MÔ HÌNH HÓA - hcmut.edu.vnhthoang/ndht/Chuong2_NDHT_K17.pdf · Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 5 Hình 2.2: Sô ñoàlieân keát ngoaøi cuûa