M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODKM - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK 1 ±Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1. Výsledek: 1303 2. Výsledek:

M - Příprava na 1. čtvrtletku -třída 3ODK

Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo z října až prosince 2007.

Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

VARIACE

1

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK 1

Exponenciální funkce±

Exponenciální funkce

Definice:Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a

x, kde a > 0 a zároveň a ¹ 1

Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a.Je-li a > 1, pak je průběh následující:

Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující:

Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10x

Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = e

x.

Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28...

Vlastnosti exponenciální funkce:

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)30.12.2007 15:16:56 1 z 37


Exponenciální funkce - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1303

2.

Výsledek:

1300

3.

Výsledek:

1289



4.

Výsledek:

1294

5.

Výsledek:

1287

6.

Výsledek:

1293



7.

Výsledek:

1302

8. Je dána funkce f: y = 0,5x-3.Narýsujte graf funkce |f(x)|Výsledek:

1297

9. Narýsujte graf funkcey = 0,5x+3

Výsledek:

1296



10.

Výsledek:

1304

11. Narýsujte graf funkcey = 0,5x-3

Výsledek:

1295

12.

Výsledek:

1301



13.

Výsledek:

1288

14. Je dána funkce f: y = 0,5x-3.Narýsujte graf funkce f(|x|).Výsledek:

1298

15.

Výsledek:

1286

16.

a > 1Výsledek:

1291



17.

Výsledek:

1292

18.

Výsledek:

1285

19.

a > 2Výsledek:

1290

20. Je dána funkce f: y = 0,5x-3.Narýsujte graf funkce |f(|x|)|Výsledek:

1299



Logaritmická funkce±

Logaritmická funkce

Definice:Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax.

Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu.

Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu.

Pozn.: Zápis y = logax vyjadřuje totéž jako zápis x = ay

Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma).

Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a:

Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy.

Vlastnosti logaritmické funkce:



Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu.

Logaritmická funkce - procvičovací příklady±

1. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf.f: y = |log4x|Výsledek:

1326

2.

Výsledek:

1313

3.

Výsledek:

1314



4.

Výsledek:

1315

5.

Výsledek:

1329

6.

Výsledek:

1334

7. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf.f: y = log4|x|Výsledek:

1327

8.

Výsledek:

1305



9.

Výsledek:

1311

10. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce |f(x)|.Výsledek:

1320

11.

Výsledek:

1306

12.

Výsledek:

1309

13.

Výsledek:

1337



14. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf.f: y = log4(-x)Výsledek:

1325

15.

Výsledek:

1333

16. Narýsuj graf funkce y = log1/3(x + 2)Výsledek:

1319



17.

Výsledek:

1330

18.

Výsledek:

1331

19. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf.f: y = |log4|x||Výsledek:

1328



20.

Výsledek:

1312

21.

Výsledek:

1336

22.

Výsledek:

1317

23.

Výsledek:

1307



24.

Výsledek:

1316

25. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf.f: y = -log4xVýsledek:

1324

26.

Výsledek:

1318



27.

Výsledek:

1332

28. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce |f(|x|)|.Výsledek:

1322

29.

Výsledek:

1310

30.

Výsledek:

1308

31.

Výsledek:

1335



32. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf.f: y = log4xVýsledek:

1323

33. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f(|x|).Výsledek:

1321

Logaritmy±

Logaritmy a jejich vlastnosti

Definice logaritmu daného čísla:

Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x.

Zapisujeme: loga x = y Û x = ay

[Čteme logaritmus z čísla x při základu a]

Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování.

Vlastnosti logaritmů:• Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ 1 je roven nule.• Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné.• Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný.• Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický.• Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený.



Příklad 1:

Vypočtěte log5 25

Řešení:

Podle definice převedeme na výpočet 25 = 5y

Odtud snadno zjistíme, že y = 2

Příklad 2:

Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí logz 216 = 3

Řešení

Podle definice převedeme na výpočet z3 = 216

Protože platí 216 = 63, pak z

3 = 6

3 a odtud z = 6

Příklad 3:

Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1

Řešení:

Podle definice převedeme výpočet log0,1 x = -1 na tvar 0,1-1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10.

Logaritmy - procvičovací příklady±



1.

Výsledek:

1387

2.

6Výsledek:

1388

3.

0,375Výsledek:

1376

4.

0,5Výsledek:

1377

5.

3 3Výsledek:

1386

6.

6Výsledek:

1383

7.

4Výsledek:

1385

8.

0,25Výsledek:

1375

9.

0,2Výsledek:

1390

10.

0,125Výsledek:

1373



11.

0,25Výsledek:

1372

12.

3

4

3Výsledek:

1389

13.

2Výsledek:

1380

14.

16Výsledek:

1382

15.

1/3Výsledek:

1384

16.

1Výsledek:

1393

17.

0,5Výsledek:

1374

18. Stanovte číslo x, platí-li log10 x = -1

0,1Výsledek:

1392

19.

6Výsledek:

1379

20. Stanovte číslo x, platí-li log1/10 x = -1

10Výsledek:

1395

21.

2Výsledek:

1378



22. Určete log4 (log4 4)

0Výsledek:

1381

23.

0,5Výsledek:

1371

24.

2Výsledek:

1394

25.

2/3Výsledek:

1391

Věty o logaritmech±

Věty o logaritmech

Podle definice logaritmů platí:loga x = y

xaax log= (1)

Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (loga x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x.

xaax log=yaay log=

xyaaxy log=

1. Nelze logaritmovat součet

logz (a + b) ¹ logz a + logz b

2. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů

Důkaz:

azza log=bzzb log=abzzab log=

vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1



babaab zzzzz zzzzab logloglogloglog . +===

Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto:

logz ab = logz a + logz b

Např.:

3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele

Důkaz:

azza log=bzzb log=

b

az

zb

a log

=

vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1

ba

b

a

b

a

zz

z

zz

zz

zz

b

a loglog

log

loglog

-===

bab

azzz logloglog -=

Např.:

4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny

Důkaz:

azza log=

( ) annaan zzn

z zzza log.loglog ===

logz an = n . logz a



Např.:

Věty o logaritmech - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1406

2. Určete logzx, je-li

a

ax =

Výsledek:

1404

3. Určete logz x, je-li

33

2

.

.

cb

tgax

a=

Výsledek:

1396

4.

Výsledek:

1418



5.

4

6

5

.

z

ababx =

Výsledek:

1414

6.

x = a3b(n+3)

/z3Výsledek:

1410

7.

x = a + 2Výsledek:

1415

8.

Výsledek:

1402

9.

Výsledek:

1420


42

3 3 1.

bax -=

Výsledek:

1401

11.

Výsledek:

1419



12. Určete logz x, je-li x = a1/2 b2/3

Výsledek:

1400

13.

Výsledek:

1399

14.

Výsledek:

1405

15.

Výsledek:

1412

16.

Výsledek:

1398

17.

x = ab/cVýsledek:

1408

18.

x = abcVýsledek:

1407


3 ..7

3aax =

Výsledek:

1403

20.

c

bax

6 54 3 .=

Výsledek:

1413



21.

Výsledek:

1417

22.

Výsledek:

1411

23.

babax .).( 3 2-=Výsledek:

1416

24.

x = a3.b

2.zVýsledek:

1409

25. Určete logz x, je-li x = a-2 . b-3

Výsledek:

1397

Exponenciální rovnice±

Exponenciální rovnice

Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má neznámou v exponentu.

Exponenciální rovnici můžeme řešit zpravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí):

1. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném základu- v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné základy, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit.

Příklad 1:

Řešte rovnici:



256

81

4

3=÷

ø

öçè

æx

Řešení:

4

4

4

3

4

3=÷

ø

öçè

æx

4

4

3

4

3÷ø

öçè

æ=÷

ø

öçè

æx

Závěr: x = 4

Příklad 2:

Řešte rovnici:

7 33 32 5,02 xx -- =

Řešení:

7 33 32 22 -- = xx

7

3

3

32

22--

=xx

7

3

3

32 -=

- xx

14x - 21 = 3x - 911x = 12

Závěr: x = 12/11

Příklad 3:

Řešte rovnici:

448222 321 =++ --- xxx

448)222.(2 321 =++ ---x

4488

1

4

1

2

1.2 =÷

ø

öçè

æ++x

62.78

7.2 =x

62.82 =x

922 =x

Závěr: x = 9

2. SubstitucíSubstituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární.



Příklad 4:

Řešte rovnici v oboru reálných čísel:

033.29 =-+ xx

Řešení:

( ) 033.232

=-+ xx

Zavedeme substituci y = 3x

Dostaneme rovnici:y

2 + 2y - 3 = 0

(y - 1) . (y + 3) = 0

y1 = 1 y2 = -3

Vrátíme se zpět k zavedené substituci:a) 3

x = 1

3x = 3

0

x1 = 0b) 3

x = -3

V tomto případě není řešení, protože 3x je vždy větší než 0.

Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = 0.

3. LogaritmovánímTento postup používáme tehdy, pokud ani jedním z předchozích dvou postupů nelze řešení dosáhnout. Výsledek většinou pak obsahuje logaritmus.

Příklad 5:

Řešte rovnici:3

5x = 5

3x

Řešení:

Vzhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný základ, použijeme postup, kdy celou rovnici zlogaritmujeme:log 3

5x = log 5

3x

5x . log 3 = 3x . log 5x . (5log 3 - 3log 5) = 0Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden z činitelů je roven nule, proto x = 0 (závorka být rovna nule nemůže).

Poznámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování.

Exponenciální rovnice - procvičovací příklady±



1.

3Výsledek:

1423

2.

Výsledek:

1455

3. Řešte v oboru reálných čísel rovnici:

5

3

23

2

4

9

9

51

--

÷ø

öçè

æ=÷

ø

öçè

æ-

xx

-0,25Výsledek:

1459

4.

3Výsledek:

1433

5.

Výsledek:

1456

6. Řešte rovnici:xx 2735 210 -- =

Výsledek:

1438

7. Řešte rovnici:

2

5

8

125.

25

4143

=÷ø

öçè

æ÷ø

öçè

æ-+ xx

1Výsledek:

1445

8.

6Výsledek:

1425

9.

1Výsledek:

1427

10.

3Výsledek:

1432

11.

3Výsledek:

1453



12.

Výsledek:

1452

13.

Výsledek:

1435

14.

-4Výsledek:

1426

15.

1Výsledek:

1449

16.

Výsledek:

1434

17. V oboru reálných čísel řešte rovnici:233 3434 +++ -=+ xxxx

Výsledek:

1447

18.

x1 = 2 x2 = 2log 3 / log 5Výsledek:

1444

19.

Výsledek:

1442

20.

1Výsledek:

1457



21. Řešte rovnici v oboru reálných čísel:13 43.2 -= xxx

Výsledek:

1448

22. Řešte rovnici:3

3

5

5

3÷ø

öçè

æ=÷

ø

öçè

æx

-3Výsledek:

1424

23.

Výsledek:

1440

24. Řešte rovnici:

273.3 33 =-+ x mxx mx

Nemá řešeníVýsledek:

1430

25. V oboru reálných čísel řešte rovnici:

3

9

8.6

3.2 2

17

23 -

--

++

=x

xx

xx

-1Výsledek:

1451

26. V oboru reálných čísel řešte rovnici:

3log

27log

3

325

6

=-

-

x

x

4Výsledek:

1446

27.

Výsledek:

1436

28. Řešte rovnici:2153213 2.22.2 ++++ = xxxx

1Výsledek:

1428


3

2

2

25625,0

+

- =x

x

3Výsledek:

1431



30.

1Výsledek:

1437

31.

3Výsledek:

1454

32. Řešte rovnici v oboru reálných čísel:

1022.3 3 =+ -xx

Výsledek:

1450

33. Řešte rovnici:12333 84.2 +- = xxx

3Výsledek:

1429

34. Řešte rovnici:234 3434 +++ -=+ xxxx

Výsledek:

1441

35.

2Výsledek:

1458

36.

Výsledek:

1439

37.

3,5Výsledek:

1443

Logaritmické rovnice±

Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel.



Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu

a > 0, a ¹ 1

Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru

Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar

kde a > 0, a ¹ 1, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí:

a dále řešíme rovnici bez logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice).

Příklad 1:

Řešte logaritmickou rovnici log x3 - log x

4 + log x

5 = 8

Řešení:

log x3 - log x

4 + log x

5 = 8

3log x - 4 log x + 5 log x = 84 log x = 8log x = 2x = 100

Příklad 2:

064log7log2

1log 423 =+++ xxx



Řešení:

064log7log2

1log 423 =+++ xxx

3log x + 0,5 . 2 . log x + 7 . 4 . log x + 64 = 03 log x + log x + 28 log x + 64 = 032 log x = -64log x = -2x = 0,01

Příklad 3:

5logloglog3 34 =-+ xxx

Řešení:

5logloglog3 34 =-+ xxx

3log x + 4log x - (1/3)log x = 5(20/3)log x = 5log x = 0,75

4 1000=x

Logaritmické rovnice - procvičovací příklady±

1. 1488

2. 1487

3. 1501

4. 1491



5. 1490

6. 1485

7. 1505

8. 1484

9. 1502

10. 1486

11. 1498

12. 1504

13. 1495


111

log2

5log

5

3 3 4 =-x

x

1482



15. 1496

16. 1493

17.

xx

log

10log1 3 =+

1497

18. Řešte rovnici: 1483

19. 1503

20. 1489

21.

2

1logloglog 234 =x

1500

22. 1506

23. 1499

24. 1494



25. 1492


Obsah


Exponenciální funkce 1

Exponenciální funkce - procvičovací příklady 2

Logaritmická funkce 8

Logaritmická funkce - procvičovací příklady 9

Logaritmy 17

Logaritmy - procvičovací příklady 18

Věty o logaritmech 21

Věty o logaritmech - procvičovací příklady 23

Exponenciální rovnice 26

Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 28

Logaritmické rovnice 32

Logaritmické rovnice - procvičovací příklady 34

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)30.12.2007 15:16:56

Documents

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODKM - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK 1 ±Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1. Výsledek: 1303 2. Výsledek: