1

55.. EELLEEMMEENNTTEE DDEE IINNGGIINNEERRIIAA TTRRAAFFIICCUULLUUIIÎÎNN CCOOMMUUNNIICCAAŢŢIIII

5.1 CONCEPTE FUNDAMENTALE ÎN INGINERIA TRAFICULUI

Necesitatea utilizării ingineriei traficului în reţelele de comunicaţii este determinată de:

creşterea continuă a volumului de trafic; diversificarea tipurilor de servicii solicitate de clienţi şi oferite

de operatorii de comunicaţii; diversitatea tehnologică existentă în prezent şi viitor; asigurarea permanentă a condiţiilor de funcţionare fiabilă a

reţelelor de comunicaţii.

Definiţie: Intensitatea traficului – Valoarea instantanee a intensităţii traficului într-un sistem cu n resurse este reprezentată de numărul de resurse ocupate la un moment dat.

Observaţie: Prin grup de resurse se poate înţelege un grup de severe, canale dintr-o linie multiplexată, elemente de comutaţie etc.

Valoarea medie a intensităţii traficului poate fi calculată folosind relaţia:

0

1d

T

A T n t tT

, (5.1)

unde: tn reprezintă numărul de servere ocupate la momentul t .Trafic oferit. Notaţie uzuală: A . În modelele teoretice traficul oferit

reprezintă traficul generat de o sursă de trafic. Traficul oferit este o mărime teoretică ce nu poate fi măsurată, ci numai estimată folosind relaţia:

SA t , (5.2)

unde: - intensitatea traficului şi St - timpul mediu de servire.Observaţie: Traficul oferit poate fi asimilat cu acel trafic care ar fi putut

fi realizat de către sistem dacă capacitatea sa nu ar fi fost depăşită. Adică dacă nu ar exista nici un apel respins.

2

Trafic realizat. Notaţie uzuală: CA Y A . Este traficul realizat de un grup de servere în intervalul de timp T .

Fig. 5.1 Valoarea instantanee şi medie a traficului realizat

În Fig. 5.1 sunt reprezentate valorile medii pe intervalul de timp T şi valorile instantanee în unităţi elementare de tip server, ale valorii traficului purtat de un sistem de servere.

Observaţii: traficul realizat nu poate depăşi niciodată numărul serverelor din

sistem; un server poate prelua un trafic de 0 Erlang sau 1 Erlang la un moment

dat; traficul oferit este proporţional cu traficul realizat.

Trafic pierdut sau rejectat. Notaţie uzuală: rA . Reprezintă diferenţa dintre traficul oferit şi cel realizat. Este determinat folosind relaţia:

cr AAA . (5.3)

Exemplu 1.Dacă: 4 şi 2St min;atunci: 4 2 8SA t Erlang.

Utilizarea serverului. Notaţie uzuală: . Reprezintă intensitatea traficului raportată la numărul de servere N din sistem, după cum urmează:

StA

N N

(5.4)

3

Unitatea de măsură pentru intensitatea traficului este Erlang. Ea a fost denumită aşa în onoarea matematicianului danez Agner Krarup ERLANG (1878–1929). Pionier al studiului teoriei traficului în telecomunicaţii, a publicat în 1909 un prim articol intitulat „Teoria probabilităţii şi conversaţiile telefonice”, în care făcea o analiză a ratei de succes a apelurilor interurbane realizate de către o centrală urbană. Unitatea de măsură propusă de matematician a fost acceptată oficial în 1940.

Erlang-ul poate fi definit ca fiind utilizarea continuă a unei căi de comunicaţie. Mărimea poate avea valoarea instantanee 1 în cazul utilizării sau 0în cazul eliberării căii de comunicaţie.

Observaţie: Erlang-ul este o unitate de măsură naturală pentru intensitatea traficului, deoarece este independentă de unitatea de timp aleasă.

Se pot defini valori mediate pe anumite intervale de timp.Exemple:

Ex. 1: Utilizarea timp de 30 de minute în intervalul unei ore a unei căi de comunicaţie reprezintă un grad de utilizare mediu de0,5 Erlang ;

Ex. 2: Dacă un grup de abonaţi efectuează 30 de apeluri cu durata de 5 minute în intervalul unei ore, se obţine un trafic echivalent de 2,5 Erlang . Modul de calcul este următorul:

echivalenttraficminute60

mediedurataapelurinr.

, numeric: erlang5,260

630

.

Acest număr poate reprezenta numărul mediu de circuite utilizate dintr-un flux multiplexat sau numărul mediu de circuite interne comutate simultan în interiorul unei centrale în interval de o oră.

Pentru volumul traficului se utilizează Erlang oră (Eh) reprezentând utilizarea continuă a unei resurse timp de 1 oră.

Trafic potenţial. Utilizat în planificarea reţelelor. Reprezintă cel puţin valoarea traficului oferit. Este determinat astfel încât sistemul să poată prelua orice apel.

Unităţi de măsură tolerate. (Referinţă utilizată: Eh)

SM – speech-minutes. 1

1 sm Eh60

; unde cu sm este notat un

apel cu durata de 1 minut;

CCS – hundred call second. 1

1 ccs Eh36

; unde cu ccs este notat

un apel cu durata de 100 de secunde. Utilizată în USA;

4

EBHC – equated busy hour calls. 1

1 ebhc Eh30

; unde cu ebhc

este notat un apel cu durata de 120 de secunde.

5.1.1 Variaţia intensităţii traficului şi conceptul de oră de vârf

Elementele cu care se lucrează în analiza de trafic sunt mărimi aleatorii, determinate de natura probabilistă a momentului apariţiei şi a duratei unui apel în reţea.

Se fac observaţii ale activităţii unei surse de trafic în cursul unui interval orar, unei zile, unei săptămâni, anual, multianual etc. În urma acestor observaţii se pot obţine valori ale intensităţii traficului ca mărime instantanee sau mediată pe intervale de timp.

Fig. 5.2 Valoarea instantanee a traficului în intervalul orar 08 – 13

Fig. 5.3 Valoarea mediată pe intervale de 15 minute a traficului în cadrul unei zile

În Fig. 5.2 şi Fig. 5.3 se dau astfel de exemple. În intervalul unei zile (Fig. 5.3) primul vârf de trafic este generat de abonaţii de tip business în jurul orei 0930 la începerea programului de lucru. Urmează o pauză în jurul prânzului

5

dedicată servirii mesei şi se observă o oarecare scădere a intensităţii traficului, după care ultimul vârf este în jurul orei 1930 şi se datorează abonaţilor casnici.

Conceptul Oră de vârf (Time Consisted Busy Hour - TCBH). Este definită ca fiind perioada continuă de timp cu durata de 60 de minute în care se înregistrează valoarea cea mai mare a intensităţii traficului ca valoare medie calculată pe acest interval din cadrul unei zile. Observaţie: acest interval de timp nu apare de fiecare dată exact în aceeaşi poziţie în cadrul unei zile.

Factorul de concentrare. S-a observat că există o corelaţie între valoarea traficului în intervalul orei de vârf şi valoarea traficului din cadrul unei zile. Raportul de proporţionalitate este de 1/8 (Fig. 5.4).

Fig. 5.4 Determinarea factorului de concentrare a traficului

5.1.2 Blocarea traficului

Reţelele de telecomunicaţii sunt proiectate astfel încât cea mai mare parte a abonaţilor săi în majoritatea timpului să poată efectua comunicaţii în reţea. Există însă momente de timp, în zona orei de vârf, când pentru unii dintre abonaţi nu se pot oferi servicii.

Se estimează că doar 5 – 8 % dintre numărul total de abonaţi ai reţelei pot efectua convorbiri în intervalul orei de vârf în condiţiile în care valoarea individuală la nivel de abonat a intensităţii traficului nu este mai mare de0,15 Erlang.

6

Fiecare abonat prin mecanismul alocări dinamice a resurselor va trebui să aibă acces nerestricţionat la serviciile reţelei de telecomunicaţii chiar dacă ele sunt folosite în comun şi de ceilalţi abonaţi.

Din raţiuni economice numărul de echipamente pus la dispoziţiautilizatorilor unei reţele este mai mic decât numărul maxim de cereri pe carele-ar putea genera abonaţii reţelei dacă ar vorbi simultan. Astfel pentru unii dintre abonaţi nu vor exista resurse disponibile şi ei vor trebui fie să aştepte eliberarea unei resurse, fie vor trebui să renunţe temporar la solicitare.

Funcţie de natura lor sistemele pot fi catalogate ca fiind: cu pierderi. Ex: Canalele din cadrul unui flux multiplexat; cu aşteptare. Ex: Procesele din interiorul sistemelor de calcul; cu aşteptare şi pierderi. Ex: Sistemele de comutaţie.

Pentru sistemele cu pierderi pot fi definite următoarele metode de evaluare a performanţelor:

Blocarea apelului (Call congestion B). Reprezintă ponderea apelurilor la care nu s-au putut aloca resurse libere;

Blocarea în timp (Time congestion E). Reprezintă ponderea timpului în care nu există resurse libere;

Blocarea traficului (Traffic congestion C). Reprezintă ponderea traficului oferit sistemului ce nu poate fi realizat.

5.2 OBIECTIVE ALE INGINERIEI TRAFICULUI

Ingineria traficului îşi propune să realizeze: o distribuţie controlată a traficului asupra resurselor din

interiorul reţelei; controlul costurilor de operare a reţelei de comunicaţii; controlul calităţii serviciilor oferite; planificarea strategică reţelei pentru dezvoltare în condiţiile

estimării traficului.

5.2.1 Distribuţia controlată a traficului

Controlul distribuţiei traficului în interiorul reţelei de comunicaţii poate fi determinat de următoarele obiective:

distribuţia uniformă a traficului la nivelul resurselor reţelei pentru a putea pregăti reţeaua în vederea primirii de noi solicitări din partea clienţilor;

7

existenţa unor zone închiriate de la alţi operatori. În funcţie de modul de închiriere al resurselor de disting alte două situaţii. Situaţia 1 - Dacă preţul închirierii este dictat de volumul de trafic realizat, atunci proprietarul reţelei va dori să minimizeze traficul tranzitat prin acea zonă pentru a diminua costurile. Situaţia 2 - Dacă închirierea se face permanent şi este independentă de traficul realizat, atunci operatorul va dori să suprasolicite zona închiriată pentru a putea reduce sarcina de trafic pe zona adiacentă din reţeaua proprie (Fig. 5.5). Controlul distribuţiei se poate face utilizând algoritmi de rutare cu restricţii.

Fig. 5.5 Controlul distribuţiei traficului

Obiectivele ingineriei traficului sunt definite în E.490.1 şi prezentate grafic corelat în Fig. 5.6 şi se referă la:

caracterizarea traficului prin modelare, estimare şi prognoză; asigurarea gradului de servire (GoS) prin definirea cerinţelor, stabilirea

obiectivelor şi alocarea resurselor reţelei; controlul traficului şi dimensionarea optimă a reţelei în raport cu

cerinţele de trafic şi obiectivele de performanţă impuse prin GoS; monitorizarea permanentă a reţelei prin cuantificarea parametrilor de

performanţă.

8

Monitorizarea performantelor

Control şi dimensionare

Obiective GoSCaracterizarea traficului, cerinţe

Modelarea traficului

Obiective QoS

Cerinte QoSMăsurarea traficului

Alocarea resurselor

Controlul traficuluiDimensionarea

sistemului

Masurarea performantelor

Estimarea traficului

Fig. 5.6 Corelarea obiectivelor ingineriei traficului conform G.490.1

5.2.2 Principiul lui Moe de minimizare a costurilor

Vom considera un număr de k sisteme cu şiruri de aşteptare. Un client fiind deservit de toate cele k sisteme are un timp mediu total de aşteptare

ni niW , unde niW este timpul mediu de aşteptare al sistemului i care are in

servere şi oferă traficul iA . Fiecare resursă are un cost ic , la care se adaugă eventual o constantă de cost a , care este inclusă în constanta 0C . Astfel costul total de operare al resurselor se poate estima cu:

k

iiicnCC

10 (5.5)

Dacă timpul de aşteptare este de asemenea estimat ca un cost, costurile totale devin o funcţie de numărul de canale in în sistemul individual

knnnff ,...,, 21 . Dacă timpul mediu total de aşteptare este W , atunci alocarea canalelor sistemelor individuale este determinată de:

9

WWcnCnnnf

ii

iiik 021 min,...,,min (5.6)

unde reprezintă multiplicatorul lui Lagrange.

Deoarece in este integral, o condiţie necesară pentru obţinerea minimului, care în acest caz se poate arăta că este şi suficientă, este dată de setul (5.8), (5.9):

1 2 1 20 ( , ,..., 1,..., ) ( , ,..., ,..., )i k i kf n n n n f n n n n (5.7)

1 2 1 20 ( , ,..., ,..., ) ( , ,..., 1,..., )i k i kf n n n n f n n n n (5.8)

cu 1,2,3,in i (5.9)

ceea ce corespunde la:

i

ininc

AWAWii

)()(1 (5.10)

i

ininc

AWAWii

)()( 1 (5.11)

Exprimată cu ajutorul funcţiei de îmbunătăţire a lungimii cozii, )(, AF nL ,

soluţia optimă devine:

)()( ,1, AFc

AFii nL

inL

(5.12)

Optimizări asemănătoare pot fi realizate pentru alte funcţii deîmbunătăţire, prin analogie cu algoritmul prezentat anterior.

5.2.3 Planificarea strategică a reţelelor de comunicaţii

Planificarea reţelelor constă în proiectarea, optimizarea şi operareaeficientă a reţelelor de comunicaţii. În cele ce urmează vom considera acele aspecte din ingineria traficului privitoare la planificarea reţelelor.

În acest scop vom prezenta metoda matricelor de trafic şi metoda factorului dublu (metoda Kruithof) de actualizare a matricelor de trafic. Matricele de trafic conţin informaţiile de bază care pot conduce la alegerea topologiei şi determina metoda de rutare a traficului.

Se vor trata, de asemenea, metodele de calcul al probabilităţii de blocare punct-la-punct, metoda punctului fix a lui Erlang, respectiv algoritmul de convoluţie pentru reţele virtuale cu comutare de circuite în rutare directă.

10

Determinarea matricei de trafic

Pentru a specifica cererea de trafic într-o zonă cu K noduri, este necesară cunoaşterea unui număr 2K de valori ale traficului ),...,1,( KjiAij , aşa cum se

prezintă sugestiv în Tabelul 5.1, numit matrice de trafic.

Tabelul 5.1 Matricea de trafic

De la nodulCătre nodul1 ... i ... j ... N

K

iAiO1

)(

1.i.j.K

A11 ... A1i ... A1j ... A1N O1.

.

Oi.

.Oj.

.OK.

K

iAjT1

,)(

T(1) ... T(i) ...T(j) ... T(K)

K

j

K

i

jTiO11

)()(

ijA - reprezintă traficul de la i la j .

iiA - reprezintă traficul intern în nodul i . iO - reprezintă traficul de ieşire provenit din nodul i . iT - reprezintă traficul de intrare total către j .

În crearea matricelor de trafic se presupun cunoscute locaţiile nodurilor. Cunoscând aceste matrice de trafic, scopul este de a decide:

topologia reţelei, şi anume: ce noduri trebuie interconectate; modul de rutare a traficului şi cum se exploatează o anumită

topologie.Aceste două probleme sunt interdependente, nu se pot trata separat.

Metoda factorului dublu, metoda Kruithof

Presupunem cunoscută matricea de trafic şi o estimare a valorilor sumelor liniilor şi coloanelor iO , respectiv iT , adică presupunem că se cunoaşte traficul total de intrare şi de ieşire pentru fiecare nod. Această prognoză a traficului poate fi obţinută şi din estimările realizate pentru abonaţii fiecărui nod în parte.

Prin metoda Kruithof se pot estima valorile viitoare ijA pentru matricea

de trafic. Procedura constă în a ajusta valorile individuale ale ijA astfel încât să

corespundă noilor sume pe linie şi pe coloană conform relaţiei:

11

0

1

S

SAA ijij , (5.13)

unde 0S este suma actuală şi 1S este noua sumă a liniei/coloanei considerate. Dacă începem prin a ajusta ijA conform noii sume pe linie iS , atunci

sumele liniilor vor corespunde, însă sumele pe coloane nu vor corespunde valorilor dorite. Aşadar, următorul pas îl reprezintă ajustarea valorilor ijA

conform sumelor pe coloane, astfel încât acestea să corespundă, însă acest lucru conduce la incompatibilitatea sumelor pe linie. Prin ajustarea alternativă a sumelor pe linii şi pe coloane, valorile obţinute vor converge după un anumit număr de iteraţii, către valori unice.

Există şi alte metode pentru estimarea valorilor viitoare ale traficului individual ijA , dar metoda factorului dublu a lui Kruithof are câteva proprietăţi

importante:

Unicitatea – Pentru fiecare prognoză există o singură soluţie; Reversibilitare – Matricea iniţială poate fi obţinută din matricea finală

prin procedeul invers; Tranzitivitate – Matricea finală este independentă de numărul de

iteraţii prin care s-a obţinut, depinde doar de ultima prognoză; Invarianţa – Nu contează ordinea de numerotare a nodurilor,

rezultatele nu vor fi influenţate; Divizarea – Nodurile pot fi grupate sau se pot diviza fără ca rezultatele

să difere.

5.2.4 Estimarea capacităţii legăturilor punct-la-punct

Dacă presupunem că legăturile unei reţele sunt independente din punct de vedere statistic, cu ajutorul formulelor clasice, se poate calcula probabilitatea de blocare pentru fiecare conexiune punct-la-punct. Dacă notăm cu iEprobabilitatea de blocare pentru fiecare link j , atunci probabilitatea de blocare a unui apel pe ruta i se determină folosind relaţia:

Li

ij EE 11 , (5.14)

unde L este setul de link-uri posibile în interiorul reţelei.Pentru probabilităţi de blocare cu valori mici ale link-urilor, relaţia (5.14)

devine:

j ii L

E E

(5.15)

12

În realitate, întrucât o legătură este formată dintr-o succesiune de link-uri, traficul pe link-uri este corelat şi nu independent, ca în varianta iniţială. De aici rezultă că probabilităţile de blocare pe link-uri nu sunt independente din punct de vedere statistic.

Metoda punctelor fixe a lui Erlang ţine seama de acest aspect.Reţelele de comunicaţii cu comutaţii de circuite cu rutare directă au

acelaşi grad de complexitate cu reţelele cu mai multe şiruri de aşteptare. Este necesară luarea în consideraţie a numărului de canale ocupate pe fiecare conexiune. Aşadar, numărul maxim de stări devine:

K

iin

1

)1( (5.16)

Tabelul 5.2 Reţea cu comutaţie de circuite cu rutare directă

ConexiuneRuta

1 2 . . . . NNr. canale

12.

.. ..K

c1 1 c1 2 . . . . cN1

c2 1 c2 2 . . . . cN2

. . . .. . . . . . . . . . . .. . . .

cK1 cK2 . . . . cKN

n1

n2

.. . ..

nK

Într-o reţea de telecomunicaţii cu mai mulţi abonaţi ce accesează aceleaşi resurse este necesară specificarea cererilor de servicii de către utilizatorii ce semnalează că gradul de servire (GoS) este îndeplinit sub condiţiile normale de operare.

În majoritatea sistemelor se poate garanta prioritate abonaţilor speciali (poliţie, servicii medicale etc.) faţă de abonaţii obişnuiţi în efectuarea apelurilor.

În condiţii normale de lucru se poate asigura că toţi abonaţii vor avea aproximativ acelaşi nivel de servire pentru orice tip de apel (blocare 1%). În situaţii de revărsare a traficului, apelurile iniţiate de anumite grupuri de abonaţi nu trebuie să fie complet blocate, în timp ce celelalte grupuri experimentează un nivel mic de blocare.

Aceste situaţii au fost întâmpinate datorită structurii descentralizate şi a aplicaţiilor cu accesibilitate limitată, care din punct de vedere al protecţiei serviciului sunt totuşi aplicabile şi utile.

Sistemele şi reţelele digitale prezintă o complexitate ridicată şi, fără măsuri preventive, traficul total, văzut ca o funcţie de trafic oferit, va avea un curs similar sistemului din Fig. 5.7. Pentru a avea însă certitudinea că un sistem continuă să opereze la capacitate maximă şi în situaţiile revărsării traficului, se adoptă diferite strategii. Un exemplu este prezentat în Fig. 5.7.

13

În reţelele de telecomunicaţii ierarhizate cu rutare alternativă este necesară aplicarea unei măsuri de protecţie a traficului primar în cazul apariţiei mecanismului de revărsare a traficului. Dacă în Fig. 5.7 se consideră o parte a reţelei, atunci traficul direct AT va fi completat de traficul revărsat al rutei ABpentru canalele libere ale grupului de canale AT. Întrucât traficul AB are deja un traseu direct, se doreşte oferirea de prioritate traficului AT faţă de celelalte canale ale conexiunii. Acest lucru se poate realiza prin introducerea noţiunii de rezervare a canalelor (trunk reservation). Se va permite traficului AB să acceseze canalele AT doar dacă există un număr de canale libere mai mare de r pe conexiunea AT (unde r este parametru de rezervare). În acest fel, traficul AT va avea o prioritate mai mare între canalele AT.

Fig. 5.7 Exemplu de rutare alternativă a traficului

Dacă toate apelurile au aceeaşi durată medie 1 2 , trafic de tip PCT-I cu un singur canal ocupat la un moment dat, atunci putem realiza cu uşurinţă o diagramă a tranziţiilor stărilor. Se poate determina ulterior probabilitatea de blocare.

Dacă valorile de trafic individual au durate medii diferite sau dacă se consideră trafic de tip Binomial & Pascal, atunci este necesară realizarea unei diagrame de stări N-dimensionale, diagramă care nu va fi reversibilă.

Un dezavantaj al rezervării canalelor ce nu poate fi ignorat este acela că reprezintă o strategie locală ce ia în considerare doar un singur grup de canale, nu întreaga reţea. Mai mult, este un mecanism unidirecţional ce protejează un canal de trafic faţă de celelalte, dar nu şi reciproc.

Într-un sistem cu servicii integrate, este necesară protejarea reciprocă a serviciilor şi garantarea asigurării unui anumit grad de servire. Aceste lucruri pot fi obţinute prin:

o alocare de bandă minimă– asigură un minim de servicii;

14

o alocare de bandă maximă – oferă avantajele multiplexării statistice şi garantează că nu predomină un singur serviciu.

Această strategie are forma unui produs global de servicii şi este garantat un GoS nu doar la nivel de conexiune, ci punct-la-punct.

Principiul lui Moe pentru echilibrarea costurilor marginale

Principiul lui Moe - Alocarea de resurse optime poate fi obţinută prin echilibrarea simultană a câştigurilor şi costurilor marginale din cadrul tuturor sectoarelor reţelei.

Se va considera un sistem cu un anumit număr de sectoare ce solicită resurse pentru a realiza trafic. Problema poate fi împărţită în două părţi :

Fiind dat un număr limitat de resurse, cum ar trebui acestea distribuite între sectoare ?

Care este numărul total de resurse ce trebuie alocate?

Principiile sunt în general aplicabile pentru orice tip de trafic. În acest caz, resursele se constituie din canale şi echipamente de comutare, iar producţia constă în suportul traficului.

Un sector poate reprezenta o conexiune pentru un nod de reţea. Problema poate apărea în planificarea conexiunilor dintre un anumit nod şi nodurile învecinate lui, cu care are legături directe.

Problema aşadar este: Cât trafic poate fi suportat de fiecare conexiune în parte, când există o

cantitate totală fixă de trafic? Care este cantitatea totală de trafic ce poate fi suportată?

Echilibrarea costurilor marginale

Se consideră un nod de reţea ce se află în conexiune cu alte k noduri. Costul unei conexiuni către un nod i este considerat a fi o funcţie liniară de numărul de canale:

iiii nccC 0 , .,...2,1 ki (5.17)

Costul total devine:

k

iiik ncCnnnC

1021 ),...,( , (5.18)

unde 0C este constant.Traficul total suportat este o funcţie de numărul de canale:

),...,( 21 knnnfY . (5.19)

15

Ştiind că mereu avem de a face cu resurse limitate, vom avea:

0

fDn

fi

i

(5.20)

Într-un sistem cu pierderi, iD , f corespunde funcţiei de îmbunătăţire, care este întotdeauna pozitivă pentru un număr finit de canale, datorită convexităţii formulei Erlang B.

Se doreşte minimizarea lui C pentru un trafic total Y : Se aplică multiplicatorul lui Lagrange , unde se introduce:

fCG , (5.21)

ceea ce este echivalent cu:

YnnnfnnnCnnnG kkk ,...,,...,min,...,min 212121 (5.22)

O condiţie necesară pentru obţinerea minimului este:

0

fDcn

G

n

fc

n

Gii

iii

i

, ....3,2,1 ki (5.23)

sau

k

k

c

fD

c

fD

c

fD ...

1

2

2

1

1

(5.24)

O condiţie necesară pentru obţinerea soluţiei optime este aceea că creşterea marginală a traficului suportat odată cu creşterea numărului de canale (funcţia de îmbunătăţire) împărţită la costul unui canal trebuie să fie identică pentru toate canalele grupului.

Este posibil, cu ajutorul derivatelor de ordinul doi, să se stabilească un număr de condiţii necesare pentru stabilirea condiţiilor suficiente conform principiului lui Moe. Funcţiile de îmbunătăţire cu care se lucrează vor îndeplini întotdeauna aceste condiţii.

De asemenea, pentru câştiguri diferite ale canalelor individuale ale grupurilor trebuie inclus un factor adiţional, iar în rezultatul (5.24) se va înlocui

ic cu ii gc .

Determinarea traficului optim

Vom considera cazul în care traficul suportat, care este o funcţie de numărul de canale Y . Dacă se notează câştigul cu YR , iar costurile cu YC , profitul devine:

)()()( YCYRYP (5.25)

16

O condiţie necesară pentru un profit optim este:

d ( )0

d

P Y

Y

d d

d d

R C

Y Y , (5.26)

ceea ce înseamnă că venitul marginal trebuie să fie egal cu costul marginal.Folosind:

k

iiikk ncCnnnRnnnP

102121 ),...,,(),...,,( , (5.27)

soluţia optimă se obţine pentru:

d0,

d i ii

P RD f c

n Y

.,...,2,1 ki (5.28)

şi folosind (5.26) se obţine: d

d

R

Y (5.29)

Multiplicatorul dat de (5.29) reprezintă raportul dintre costul unui canal şi traficul adiţional ce poate fi suportat în cazul în care conexiunea este extinsă de unul din canale. Aşadar putem adăuga canale conexiunii până când câştigul marginal egalează costul marginal .

5.3 METODE DE ANALIZĂ A TRAFICULUI

Pentru analiza gradului de încărcare a resurselor sunt necesare metode de evaluare obiectivă a traficului în reţea. Dintre procedeele cunoscute se pot distinge două clase, evaluarea continuă orientată pe eveniment şi evaluarea discretă prin eşantionare.

Pentru evaluarea continuă orientată pe eveniment sunt utilizate instrumente de măsură specifice capabile să activeze un punct de măsură relevant la apariţia unui nou eveniment, cum ar fi: iniţierea unui apel, terminarea unui apel, apariţia unei erori în sistem etc. Aceste puncte de măsură specifice au costuri ridicate, iar rezultatul trebuie integrat pe o axă continuă a timpului,procedeu dificil de realizat cu instrumente de prelucrare numerică.

Pentru evaluarea discretă prin eşantionare cel mai important aspect este stabilirea corectă a frecvenţei de eşantionare a sistemului observat astfel încât să nu se piardă din evaluare niciun eveniment relevant pentru interpretarea măsurătorii efectuate.

În cazul evaluării continue numărul datelor colectate poate să fie extrem de mare fără ca acestea să fie şi relevante pentru interpretarea lor, astfel se preferă utilizarea metodei a doua, aceea care presupune eşantionarea sistemului evaluat. Prin măsuri de trafic înţelegem orice tip de colecţie de date din traficul

17

de încărcare al unui sistem. Metodele de măsurare se aleg în conformitate cu cerinţele proiectantului în aşa fel încât să se obţină datele de trafic solicitate.

Pentru a putea folosi oricare dintre metodele de analiză trebuie realizate modelele matematice ale resurselor analizate. Cel mai cunoscut model este cel al şirurilor de aşteptare (queueing systems).

5.3.1 Modelarea sistemelor de comutaţie cu aşteptare

Pentru simulare trebuie elaborate modele matematice care să se apropie cât mai mult de comportarea sistemelor reale în cele mai diferite condiţii.

Unul dintre modelele cel mai des utilizate pentru simularea sistemelor de comutaţie este utilizarea modelelor cu şiruri de aşteptare.

Modelul de analiză este permanent actualizat cu informaţii pentru a putea aproxima cât mai bine comportarea din sistemul real.

Şirul de aşteptare ca mijloc de modelare Resursa – componentă fizică sau logică necesară pentru realizarea unei

activităţi; Activitatea – procesul prin care o entitate denumită client este rutată în

interiorul unei reţele; Client – entitate care solicită o cerere din partea sistemului (reţelei) de

comutaţie; Cerere – solicitarea exprimată de un client.

Modelarea unei resurse este prezentată în Fig. 5.8.Clasificare în raport cu cererea exprimată de un client: resurse active – posedă capacităţi de prelucrare directă asupra cererii

exprimate de un client; resurse pasive – sunt apelate de resursele active pentru a participa

indirect la soluţionarea unei cereri.Clasificare în raport cu starea acestora: resurse libere – disponibilă pentru a se consuma la solicitarea unei

cereri; resurse ocupate – angajată în soluţionarea unei cereri.

Fig. 5.8 Procesul de utilizare a unei resurse

Resursă liberă Resursă ocupată

Timp de procesare

Cerere

18

În Fig. 5.9 este prezentat procesul de transformare a activităţilor reale ale unui sistem într-un proces de modelare cu şiruri de aşteptare.

Comportamentul sistemului se poate descompune în două etape independente (Fig. 5.10):

etapa 1 – aşteptarea şi acumularea de cereri în şir; etapa 2 – prelucrarea efectivă de către server a cererii.Procese de ordonare a şirurilor de aşteptare: FIFO – First In First Out; LIFO – Last In First Out.

Fig. 5.9 Procesul de formare a unui model cu şir

Fig. 5.10 Sistem de aşteptare cu resurse multiple

5.3.2 Variabile de interes într-un model cu aşteptare

În teoria şirurilor de aşteptare se lucrează întotdeauna cu variabile aleatoare ce pot fi descrise prin distribuţii de probabilitate.

Server 1

Şir de aşteptare

Cereri Cereri soluţionateServer j

Server n

Acumulare cereri

Server

Cerere „n”Prelucrare

Activitate

Server

Şir de aşteptare

CereriCerere soluţionată

19

Cele mai importante variabile de interes sunt precizate în Fig. 5.11, şi anume:

n = numărul de clienţi din sistem; u = numărul de clienţi din şir; v = numărul de clienţi serviţi (număr de servere ocupate); at = timpul de aşteptare sau timpul petrecut în şir de către un client;

st = timpul petrecut în serviciu de către un client;

T = timpul petrecut în sistem de către un client, adică timpul total de staţionare al clientului în sistem;

= intervalul de timp între două sosiri succesive de clienţi; = media ratei de sosire a clienţilor în sistem; = media ratei de serviciu pentru server.

Fig. 5.11 Variabile de interes într-un model cu aşteptare

În studiul sistemelor cu aşteptare intervin, de asemenea, şi următoarele mărimi, la fel de importante ca şi cele anterioare:

np = probabilitatea ca n clienţi să fie prezenţi în sistem în regimul staţionar;

A = intensitatea de trafic oferit sistemului A

;

= utilizarea serverului = probabilitatea ca un server

particular să fie ocupat A

N

.

Dacă se observă cu atenţie schema generală din Fig. 5.11, atunci se pot scrie relaţiile următoare ce se stabilesc între variabilele precizate:

- pentru Nn : 0u şi vn ;

server 1

server N

clienţi

τλ

n

u v

tsta

T

20

- pentru Nn : Nnu şi Nv ,ceea ce în general înseamnă de fapt: vu .

Având în vedere că se folosesc variabile aleatoare, este întotdeauna util în procesul de evaluare a performanţelor sistemelor să se cunoască valorile lor medii.

Acestea se pot calcula cu formule matematice simple, după cum urmează: numărul mediu de clienţi prezenţi în sistem:

KN

nnpnn

0

, (5.30)

unde K este numărul maxim de poziţii în şirul de aşteptare; lungimea medie a şirului de aşteptare:

KN

NnnpNnu

1

; (5.31)

numărul mediu de servere ocupate (acelaşi cu numărul mediu de clienţi serviţi):

KN

Nnn

N

nn pNpnunv

10

. (5.32)

Capacitatea şirului de aşteptare

Şirul de aşteptare poate avea: capacitate infinită – orice client care soseşte are permisiunea să

intre în sistemul de aşteptare, indiferent câţi alţii asemenea lui se află aici. Este cazul sistemelor teoretice (ideale) cu aşteptare şi menţinere, pentru care K . Orice client va petrece în sistem un timp de aşteptare (mai lung, chiar infinit, sau mai scurt, în funcţie de disciplina de servire a şirului), înainte de a avea acces la un server disponibil, şi un timp efectiv de servire, după accesarea serverului;

capacitate zero – clientul care soseşte atunci când întreaga capacitate de serviciu este ocupată nu este admis în sistem. Este cazul sistemelor teoretice cu pierderi pentru care 0K . În acest caz, nu poate fi vorba de aşteptare, pentru clienţii admişi în sistem există doar timpul de servire;

capacitate pozitivă – clienţii care sosesc aşteaptă doar în cazul în care mai este vreo poziţie liberă în şir, în rest ei sunt respinşi de sistem. Datorită capacităţii finite a şirului de aşteptare, K0 , avem de-a face în acest caz cu sisteme reale cu aşteptare şi pierderi. Limitările de acceptare a clienţilor decurg din posibilităţile fizice de realizare a sistemelor.

Clasificarea Kendall

Pentru definirea unui sistem cu aşteptare într-un mod clar şi concis, se foloseşte o codificare consacrată, constând într-o secvenţă de parametri

21

reprezentaţi prin simbolurile A, B, C, K, m, Z. Se acoperă prin această codificare toate posibilităţile cunoscute de structurare şi funcţionare a sistemelor. Semnificaţia este următoarea:

A = procesul de intrare. Simbolul specifică legea urmată de procesul de intrare a clienţilor, adică distribuţia timpilor inter-apeluri.

B = procesul de servire. Simbolul specifică legea de servire a clienţilor de către resursele sistemului.

C = numărul de servere. Cifra reprezentată prin acest simbol indică numărul de servere, altfel spus, numărul de linii de ieşire din şirul de aşteptare.

K = numărul total de poziţii disponibile în sistem. Cifra reprezentată prin acest simbol indică numărul total de disponibilităţi ale sistemului, cumulând numărul serverelor existente cu cel al poziţiilor de aşteptare permise.

m = populaţia de utilizatori ai sistemului. Cifra indică numărul de entităţi componente ale sursei, definind de fapt tipul ei (finită sau infinită).

Z = disciplina de servire a clienţilor din şirul de aşteptare.

Pentru procesele de intrare şi de servire, următoarele simboluri sunt adoptate pentru a preciza legea care le guvernează:

D = legea constantă;Ek = legea Erlang de ordin k;G = legea generală;GI = legea general independentă;Hk = legea hiper-exponenţială;M = legea exponenţială.

În practică, cele mai multe şiruri sunt reprezentate doar de primele trei simboluri ale notaţiei Kendall. În aceste cazuri, ultimele trei simboluri au valori implicite, şi anume: K = ∞, m = ∞, Z = FIFO.

Relaţia lui Little

Una din cele mai simple şi totuşi mai utile măsuri a performanţelor sistemelor cu aşteptare este ceea ce se numeşte relaţia lui Little. Ea se referă la următoarele cantităţi:

ta - timpul mediu de aşteptare; - rata medie de sosiri;

u - numărul mediu de clienţi aflaţi în şir; T – media timpului petrecut de un client în sistem;

22

n - numărul mediu de clienţi prezenţi în sistem.

Relaţia lui Little se exprimă în mod concis astfel:

n T (5.33)

sau

u ta (5.34)

şi exprimă matematic faptul că:- numărul mediu de clienţi aflaţi în sistem este egal cu rata medie de

sosiri înmulţită cu timpul mediu petrecut de un client în sistem;- numărul mediu de clienţi aflaţi în şirul de aşteptare este egal cu rata

medie de sosiri înmulţită cu timpul mediu de aşteptare.

Procese Markov de ordinul I

În cadrul proceselor aleatoare, un loc deosebit îl ocupă procesele Markov, care sunt caracterizate prin aceea că apariţia unei anumite stări este condiţionată doar de un număr determinat de stări anterioare. Dacă numărul acestor stări anterioare este r, atunci spunem că avem un proces Markov de ordinul r.

Procesele Markov de ordinul I ocupă la rândul lor un loc important în studiul proceselor de trafic ce caracterizează reţeaua de telecomunicaţii în ansamblul ei.

Dacă un sistem se află în momentele succesive de timp ,,,, 10 jttt în

stările: ,,,, 10 jtNtNtN şi dacă el se comportă ca un sistem Markov de

ordinul I, atunci probabilitatea ca la un moment următor 1jt starea lui să fie

1jtN este determinată doar de starea lui la momentul anterior, adică relaţia

(5.35) este adevărată:

1 0 0 1 1

1

prob ( ) / ( ) , ( ) ,..., ( )

prob ( ) / ( ) ( )

j j

j j k

N t k N t n N t n N t n

N t k N t n p t

(5.35)

Cu alte cuvinte, starea viitoare k depinde doar de starea prezentă n sau starea prezentă înglobează în ea întregul trecut.

Pentru orice sistem este caracteristic vectorul de stare tp . El este structurat ca un vector linie, având ca elemente probabilităţile absolute tpn ale tuturor stărilor n ale sistemului, adică:

),...(),...,(),(),()( 210 tptptptptp n (5.36)

cu 10 tpn (5.37)

23

şi

nn tp 1 (5.38)

În Fig. 5.12 este prezentată diagrama tranziţiilor între stări ale unui proces Markov de ordin k .

Fig. 5.12 Diagrama tranziţiilor unui sistem Markov de ordin superior

Momentele de timp avute în vedere: t şi tt .Probabilitatea de tranziţie dint-o stare în alta în intervalul de timp t :

, probn kp t N t t N t n (5.39)

Pentru ca sistemul să se afle la momentul tt în starea k este:

n

knnk tptpttp , . (5.40)

Procesul general de naştere şi moarte

Reţelele de comunicaţii funcţionează conform unor procese statistice unde apariţia unei cereri (apel) este considerată naştere, trăiesc pe durata timpului de servire ca apoi în final să moară odată cu consumarea serviciului oferit (încheierea unei convorbiri) Fig. 5.13.

Fig. 5.13 Lanţul Markov de ordin I

24

Lanţurile Markov, caz particular al proceselor Markov de ordinul I, în care nu are permisă tranziţia dintr-o stare în alta decât între stările adiacente (Fig. 5.13).

Pe durata intervalului de timp t nu poate avea loc decât cel mult o singură tranziţie, iar aceasta este permisă între stări adiacente, astfel:

Btptptptpttp nnnnnnn ,11,11 , (5.41)

unde:

tptptptptptpB nnnnnnnnn 1,1,, . (5.42)

Acest model poate fi caracterizat atât în timp discret, cât şi în timp continuu, având proprietăţi şi aplicabilităţi diferite pentru ambele cazuri.

Modelul Lanţului Markov Discret se caracterizează prin faptul că timpul ia doar valori discrete şi constă într-un set de stări jn , corespunzătoare

momentelor discrete de timp (spaţiu discret de stări şi parametru temporal discret). Pe durata fiecărui interval de timp starea sistemului se schimbă aleator, în concordanţă cu starea curentă in şi probabilitatea ijp a tranziţiei din starea in

în starea jn (Fig. 5.12).

Dacă )( jpjn este probabilitatea absolută a stării n , atunci spaţiul

probabilităţilor la momentul j este reprezentat printr-o matrice linie p j ale

cărei componente sunt ,,,, 10 jpjpjp n

De asemenea, probabilităţile de tranziţie knp , între stări se pot grupa

într-o matrice pătrată, matricea de tranziţii în care suma elementelor pe fiecare linie este egală cu unitatea.

5.3.3 Variabile aleatorii şi funcţii de distribuţie specifice

Definiţii. Concepte generale.Se numeşte variabilă aleatorie X o funcţie fixă şi deterministă care alocă

un număr real X fiecărei realizări din spaţiul de eşantionare S al unui experiment aleator.

Funcţia de distribuţie

Funcţia de distribuţie xFX a variabilei aleatoare X este probabilitatea apariţiei evenimentului xX , adică:

xXPxFX pentru x (5.43)

25

Proprietăţi ale funcţiei de distribuţie: 10 xFX

1lim

xFXx

0lim

xFXx

O variabilă aleatoare X este o variabilă aleatoare continuă dacă funcţia sa de distribuţie xFX este continuă pe tot intervalul de definiţie şi dacă poate fi scrisă ca o integrală dintr-o funcţie pozitivă xf , astfel:

dx

XF x f t t

(5.44)

O variabilă aleatoare X este o variabilă aleatoare discretă dacă funcţia sa de distribuţie xFX este de tip scară, continuă la dreapta pe intervalul de definiţie, având o mulţime măsurabilă de puncte de salt ),,( 10 xx , putând fi scrisă astfel:

k

kkXX xxuxpxF , (5.45)

unde: kX xp este probabilitatea elementară definită ca:

kkX xXPxp , (5.46)

unde: kxX este evenimentul elementar.O variabilă aleatorie X este mixtă dacă funcţia sa de distribuţie xFX

are, pe lângă o mulţime de salturi în punctele ,, 10 xx , cel puţin un interval în care evoluează continuu.

Funcţia densitate de probabilitate

O variabilă aleatorie X pentru care se defineşte funcţia de distribuţie xFX şi pentru care există derivată aceasta se notează cu xf X şi se numeşte

funcţia densitate de probabilitate definită ca:

d

dX

XF x

f xx

(5.47)

Mărimi aşteptate ale variabilelor aleatorii

Valoarea medie ( not

m E X ) a unei variabile aleatorii X este dată de

relaţia (5.48) pentru cazul continuu şi (5.49) pentru cazul discret.

26

dXm t f t t

(5.48)

k

kXk xpxm (5.49)

Pentru ca media să existe este necesar ca integrala (sau suma pentru cazul discret) să conveargă absolut, astfel:

dXt f t t

(5.50)

sau

kkXK xpx (5.51)

Deviaţia D , definită ca:

XEXD . (5.52)

Varianţa 2 , definită ca:

not 22 2 [ ]VAR X E D E X E X . (5.53)

Proprietăţi ale varianţei:

0][ CVAR ; (5.54)

][][ XVARCXVAR (5.55)

][][ 2 XVARCCXVAR (5.56)

22[ ]VAR X E X E X , (5.57)

unde C o constantă oarecare.

Deviaţia standard:

not

STD X VAR X (5.58)

Momentul de ordin n al variabilei aleatorii X este dat de (5.59) pentru cazul continuu şi (5.60) pentru cazul discret.

( )dn nXE X x f x x

(5.59)

27

k

kXn

k xpxXE )(][ (5.60)

Procese Poisson

Reprezintă cel mai bine procesele din domeniul sistemelor de comutaţie cu aşteptare.

Proprietăţi fundamentale: staţionaritatea; independenţa.

Definirea procesului: dacă numărul evenimentelor dintr-un interval de timp de lungime

fixă are distribuţie Poisson, atunci ansamblul de evenimente se numeşte proces Poisson;

fie variabila aleatoare iX distanţa în timp dintre două evenimente succesive. Dacă ea este conformă unei distribuţii Poisson, atunci ansamblul de evenimente este un proces Poisson.

Modelul de referinţă: Fie un număr de sosiri plasate aleator pe axa timpului (Fig. 5.14). Apariţia unei noi cereri este independentă de oricare altă solicitare.

Fig. 5.14 Procese de sosire a cererilor în sistem de tip Poisson

Rata medie de sosire a cererilor în sistem este .Apariţia unei noi cereri în sistem într-un anumit interval de timp it este

independentă de poziţia acelui interval pe axa timpului (Fig. 5.15).

Fig. 5.15 Proces de sosire a unei cereri într-un interval de timp de referinţă

Condiţii de apreciere a funcţionării modelului: variabila aleatorie X este numărul de apariţii ale unei realizări pe

parcursul unui interval de timp t ; momentele apariţiilor sunt distincte;

timp

Sosire aleatoareîn intervalul de timp considerat

ti

timp

sosiri aleatorii

Xi

28

orice interval finit conţine un număr finit de apariţii; orice interval infinit conţine un număr infinit de apariţii; evenimentele nu apar la momente predeterminate; numărul apariţiilor dintr-un interval este independent de numărul

apariţiilor dintr-un alt interval dacă acestea sunt disjuncte.

Fie XS spaţiul realizărilor cu:

,2,1,0XS (5.61)

Parametrul , numărul mediu de evenimente ce apar în intervalul de timp dat, cu: 0 .

Probabilităţile elementare:

e!

k

X kp xk

. (5.62)

Media:

[ ]E X . (5.63)

Varianţa:

[ ]VAR X . (5.64)

Formalizarea modelului

Fie ,p t , probabilitatea ca evenimente să apară într-un interval de

timp t .1. Independenţa procesului. Dacă 1t şi 2t sunt două intervale de timp

disjuncte şi se verifică următoarea relaţie:

2121 ,0,0,0 ttptptp , (5.65)

atunci spunem că procesul are caracter de independenţă.

2. Valoarea medie a intervalului dintre două sosiri succesive este 1

şi este

dată de relaţia:

0

10, dp t t

, cu valori în intervalul

10

, (5.66)

unde tp ,0 reprezintă probabilitatea ca nicio cerere să nu fi sosit în sistem în intervalul de timp considerat sau de la origine până la momentul de referinţă.

3. Eveniment sigur 1. Nu avem nicio sosire într-un interval de timp nul, conform:

10,0 p . (5.67)

29

4. Eveniment sigur 0. Sigur avem o sosire într-un interval de timp infinit, conform:

1,0 p . (5.68)

Distribuţia Exponenţială

Prin derivarea unui proces Poisson se poate obţine o distribuţie exponenţială, conform următorului scenariu.

Vom demonstra că tp ,01 este un distribuţie exponenţială.Logaritmând relaţia (5.65), obţinem:

2121 ,0ln,0ln,0ln ttptptp (5.69)

Făcând următoarea notaţie: not

ln 0,p t f t , relaţia (5.59) se poate

scrie:

2121 ttftftf . (5.70)

Derivând relaţia anterioară funcţie de 2t , obţinem:

2 1 2f t f t t (5.71)

Observând că: f t este o constantă, atunci ea trebuie să respecte

condiţia: btatf . (5.72)

Dacă înlocuim condiţia (5.72) în relaţia (5.70), vom observa că 0a .Astfel:

0, ebtp t . (5.73)

Pentru a determina valoarea lui b , vom utiliza relaţia (5.66)

0 0

1 10, d e dbtp t t t

b

, (5.74)

de unde rezultă că: b .Astfel putem scrie că:

0, e tp t , (5.75)

ceea ce reprezintă o distribuţie exponenţială de rată .Pentru funcţia de distribuţie exponenţială, definim:

1 0, 1 e tF t p t , cu 0 şi 0t (5.76)

e tF t f t , cu 0 şi 0t (5.77)

30

Valoarea medie:

11

m

. (5.78)

Varianţa:2

2

1

. (5.79)

Acest tip de distribuţie este foarte apropriat de comportamentul surselor de apel, convorbirile telefonice de exemplu.

5.3.4 Estimarea traficului prin tehnica eşantionării

Să considerăm că avem n observaţii independente şi identic distribuite nXXX ,,, 21 ale unei variabile cu o valoare medie finită necunoscută 1m şi o

dispersie 2 .Valoarea medie şi varianţa unui eşantion sunt definite astfel:

n

iiX

nX

1

1 (5.80)

2

1

22

1

1XnX

ns

n

ii (5.81)

X este un estimator central al valorii medii 1m definit ca:

1}{ mXE

(5.82)

Intervalele la care se foloseşte procedura de eşantionare sunt cele recomandate de E.490 şi prezentate în reprezentarea grafică Fig. 5.16.

În plus, ns2

este un estimator central de varianţă necunoscută a valorii

medii X a eşantionului:

ns

X2

2 (5.83)

Descriem precizia unui evaluator prin intermediul unui interval de încredere, care cu o anumită probabilitate specifică diferenţa dintre estimator şi valoarea teoretică a mărimii estimate.

31

Reţele de telecomunicaţii

Acţiuni de management al traficului de reţea

Reconfigurarea mentenanţei

Extensii de reţea

Măsurarea traficului

Analiza traficului şi a erorilor

Analiza traficului şi a erorilor

Prezicerea compilării analizei traficului

Minute, secunde

22-Apr-09

Săptămâni, zile, ore

Ani, luni

Fig. 5.16 Perioadele de eşantionare recomandate de E.490 în estimarea traficului

a. Reprezentare grafică a unui proces de estimare a traficuluicu metode continue.

32

b. Reprezentare grafică a unui proces de estimare a traficului cu metode discrete.

c. Evoluţia sistemului în spaţiul stărilor.

Fig. 5.17 Observarea procesului de trafic printr-o metodă continuă de măsurareşi prin metoda eşantionării cu intervale egale cu intervalul de încredere

Intervalul de încredere pentru valoare medie X în cazul nostru devine:

2

1,1 / 2ns

X tn

, (5.84)

unde 2/1,1 nt este limita procentuală a distribuţiei de tip Student cu 1n

grade de libertate. Probabilitatea ca intervalul de încredere să conţină valoarea medie teoretic necunoscută este egală cu 1 şi se numeşte nivel de încredere.

5.3.5 Estimări de trafic continue pe durate nelimitate

Măsurarea valorilor de trafic prin metode de măsurare continue fără trunchierea perioadei de măsurare se face utilizând teoria eşantionării. Putem utiliza metodele prezentate anterior pentru a determina volumul de trafic sau intensitatea traficului, condiţia este ca procesele evaluate să fie statistic independente. În practică acest lucru înseamnă că sistemul măsurat trebuie să nu se afle în stare de blocaj din punct de vedere al traficului.

33

Fig. 5.18 Estimare pe perioadă nelimitată

În analiza măsurătorilor de trafic se disting două cazuri: măsurători pe o perioadă nelimitată de timp în care toate apelurile

iniţiate pe perioada de măsurare contribuie la evaluările de trafic cu toată durata lor (Fig. 5.18);

măsurători pe o perioadă limitată de timp unde apelurile contribuie la evaluările de trafic cu acea parte care se află în interiorul perioadei de măsurare (Fig. 5.19).

Fig. 5.19 Estimare pe perioadă limitată

Dacă se consideră un interval de timp T pentru un proces de sosire de tip Poisson, vom avea:

Tm nn 2,1 (5.85)

şi se poate determina:

ts mTm ,1,1 (5.86)

2 2 21,s t tT m , (5.87)

deci:

ttts mTmT 2,1,2

2 , (5.88)

34

unde tm ,2 este momentul de ordinul doi al distribuţiei timpului de aşteptare şi tfactorul formei Palm a aceleaşi distribuţii:

2,1

2

2,1

,2 1t

t

t

t

mm

m . (5.89)

Pentru cele mai multe aplicaţii, cum ar fi dimensionarea reţelei, suntem interesaţi de media gradului de ocupare al resurselor. Intensitatea traficului Aatunci când alegem timpul mediu de aşteptare ca unitate de timp devine:

ti Am ,1 (5.90)

ti TA

2 . (5.91)

Aceste formule sunt valabile pentru distribuţii arbitrare ale timpului de aşteptare. Formulele se verifică pentru toate apelurile care sosesc în intervalul T , atunci când se fac măsurători pe durata totală a timpilor de aşteptare.

5.3.6 Estimări de trafic prin eşantionare cu ferestruire

Pentru eşantionare se va folosi o frecvenţă constantă pe toată durata procesului de observare, măsurare. Principiul eşantionării este de exemplu aplicat în măsurările de trafic ce folosesc metode numerice de estimare, cum ar fi simulările numerice. Prin metoda de scanare observăm o distribuţie discretă a timpului pentru timpul de aşteptare care în timp real este continuu.

În practică, alegem o distanţă constantă h între momentele de eşantionareşi observăm corelaţia din Tabelul 5.3 dintre intervalul de eşantionare şi intervalul real de timp:

Tabelul 5.3 Corelaţie dintre intervalul de eşantionare şi timp

Interval de eşantionare

Valoarea realăa intervalului eşantionat

0 h1 h2 h3 h......

0 h - 1 h0 h - 2 h1 h - 3 h2 h - 4 h

......

În Tabelul 5.3 observăm că există o suprapunere între intervalele de timp continue, aşa că distribuţia discretă nu se poate obţine printr-o simplă integrare a intervalului continuu de timp peste un interval fix de lungime h .

35

Numărul de scanări observat

Fig. 5.20 Interval de eşantionare corelaţi în timp real

Prin metoda de scanare un interval continuu de timp este transformatîntr-un interval de timp discret (Fig. 5.20). Această transformare nu este unică.Dacă timpul de aşteptare este definit de funcţia de distribuţie tF , atunci se poate observa prin eşantionarea procesului următoarea distribuţie discretă:

0

1(0) ( )d

h

p F t th

(5.92)

0

1(0) ( 1) d

h

p F t kh F t k h th

, (5.93)

unde: ...,2,1k

Observaţii: Timpul de sosire al apelurilor se presupune a fi independent de

procesul de eşantionare. Funcţia de densitate a intervalului de timp dintre primul moment de

eşantionare şi momentul sosirii apelului curent este uniform

distribuită egală cu h

1.

Probabilitatea de a avea zero eşantioane pe durata apelului este 0p şi este egală cu probabilitatea ca apelul să se termine până la

următorul moment de eşantionare.Prin integrarea parţială se poate arăta că pentru orice funcţie de distribuţie

tF vom obţine prin eşantionare aceeaşi valoare medie:

0 0

( ) d ( )k

h k p k t F t

. (5.94)

36

Folosind distribuţia exponenţială discretă pentru intervalele de menţinere,

1 e tF t vom obţine o nouă distribuţie discretă, distribuţia Westerberg:

1(0) 1 1 e hp

h

, (5.95)

2 ( 1)1( ) 1 e eh k hp k

h

, cu ...,2,1k (5.96)

Această distribuţie are următoarea valoare medie şi forma de undă:

11

mh

(5.97)

e 12

e 1

h

hh

(5.98)

factorul de undă este egal cu 1 plus radicalul preciziei relative de măsurare. Pentru o măsurare continuă este egal cu 2.

Dacă introducem factor de undă în expresia lui 2s (5.98), alegând

timpului mediu de aşteptare ca timp unitate 1,1

1tm

, se obţine următorul

evaluator al intensităţii traficului:

1,im A (5.99)

2 e 1

e 1

h

i h

Ah

T

. (5.100)

În cazul utilizării unor metode continue de estimare varianţa este dată de

TA2

, acelaşi lucru se poate obţine şi în cazul nostru dacă intervalul de

eşantionare tinde către 0, 0h , astfel:

2 2iA

T . (5.101)

În realitate în măsurătorile pe sisteme reale există variaţii ale traficuluide-a lungul unei zile, erori tehnice, erori de măsurare etc. Câteodată aceşti factori se compensează unii pe ceilalţi şi măsurătorile efectuate aproximează bine realitatea, aceste tehnici de măsură furnizând în majoritatea cazurilor valori precise foarte apropriate de cele reale.

37

5.4 METODE DE OPTIMIZARE A TRAFICULUI

Proiectarea şi operarea reţelelor mari de comunicaţii presupune asigurarea funcţionării acestora în condiţii de rentabilitate economică. Pentru a se realiza acest lucru este necesară o proiectare optimă a acestora. Unele dintre criteriile de optimizare ale reţelelor de comunicaţii se referă la optimizarea traficului.

Pentru a putea decide criteriile de proiectare optimală trebuie analizate aspectele care ţin de modul de percepţie asupra reţelei de comunicaţii, astfel poate fi luat în calcul punctul de vedere al clientului unei reţele de comunicaţii sau punctul de vedere al proprietarului, operatorului reţelei de comunicaţii.

În realitate trebuie îmbinate ambele puncte de vedere pentru a se obţine servicii de calitate la costuri rezonabile pentru client şi viteză de amortizare ridicată pentru proprietarul reţelei.

Pentru optimizarea traficului în reţelele de comunicaţii putem utiliza: metoda utilizării algoritmilor de rutare dinamici; controlul fluxurilor prin mecanismul de revărsare al traficului pe

legăturile adiacente; proiectarea strategică a reţelei pe baza prognozelor de trafic; metoda optimizării topologice; transformarea reţelei fizice în reţea logică.

5.4.1 Utilizarea algoritmilor de rutare dinamici

În condiţiile existenţei unei reţele de tip structură distribuită (Fig. 5.21), alegerea rutei între nodul sursă şi cel destinaţie se poate face prin mai multe moduri.

Fig. 5.21 Reţea de tip structură distribuită

Sursă

DestinaţieNod sursă

Nod destinaţie

Noduri intermediare

Rută internă

38

Prima modalitate se referă la utilizarea unui algoritm de rutare determinist în sensul că pentru fiecare pereche de noduri sursă – destinaţie există o rută prestabilită ce va fi urmată întotdeauna. Setul complet de astfel de rute se păstrează cu ajutorul unor tabele de rutare. Exemplu în Tabelul 5.4.

Tabelul 5.4 Tabelă de rutare cu alocare deterministă

Noduri sursăNoduri

destinaţie 1 2 3 4 5 6 ... n

1 - R21 R31 R41 R51 R61 Rn12 -3 -4 -.... -n R1n R2n R3n R5n R6n -

O rută cuprinsă într-un astfel de tabel este descrisă prin precizarea tuturor centrelor de comutaţie intermediară pe care le parcurge informaţia de la nodul sursă până la nodul destinaţie.

Avantajul acestei metode este simplitatea ei şi drept urmare un sistem de control simplificat. Dezavantajul major al acestei metode este slaba sa fiabilitate, în sensul că orice defecţiune intervenită în reţea şi care afectează cel puţin o rută conduce la imposibilitatea realizării conexiunilor între două sau mai multe noduri. De asemenea, şi existenţa unor zone de reţea cu congestie de trafic este foarte probabilă şi nu există soluţii pentru evitarea lor.

În cea de a doua variantă se poate opta pentru o soluţie îmbunătăţită în sensul asigurării unor rute de rezervă pentru fiecare conexiune. Rutele de rezervă vor fi activate în cazul unor defecţiuni sau congestii apărute pe ruta principală. Soluţia aceasta rezolvă parţial dezavantajele primei soluţii. Pentru a putea fi o soluţie fiabilă necesită o determinare riguroasă a rutelor principale şi de rezervă. Metodele de determinare sunt dependente de datele de trafic înregistrate în reţea şi care cu toate estimările statistice nu pot fi prevăzute cu exactitate pe o lungă perioadă de timp sau în situaţii de criză.

Metoda necesită o reactualizare periodică a rutelor pentru a se puteaadapta la noile condiţii de trafic. Un exemplu de tabel de rutare poate fi cel din Tabelul 5.5.

Metoda a treia este cea mai complexă şi presupune formarea rutelor conexiune de conexiune prin inundarea cu apel a reţelei. Metoda este foarte eficientă şi rezolvă problemele legate de defecţiunile în reţea şi congestii pe diverse rute prin redistribuirea automată a traficului pe rute ocolitoare. Dezavantajul metodei constă în necesitatea utilizării unor metode de control şi supervizare sofisticate.

39

Tabelul 5.5 Tabelă de rutare cu alocare semideterministă

Noduri sursăNoduri

destinaţie 1 2 3 4 5 6 ... n

1 - R21-aR21-bR21-c

R31-aR21-bR21-c

R41 R51 R61 Rn1

2 -3 -4 -.... -n R1n R2n R3n-a

R21-bR21-c

R5n-aR21-bR21-c

R6n -

Metoda se bazează pe generarea pe canalul de semnalizare al fiecărui flux a unor pachete exploratoare care au drept scop să încerce să determine o rută de la sursă până la destinaţie.

Un pachet explorator este format din mai multe câmpuri care sunt prezentate în Fig. 5.22.

Fig. 5.22 Structura pachetului explorator

C1 – adresa sursei;C2 – adresa destinaţiei;C3 – ora emiterii;C4 – generaţia din care face parte;C5 ... Cn – câmp de dimensiune variabilă ce conţine ruta pe care a ajuns

în nodul respectiv.

Maniera de utilizare a acestor pachete exploratoare (PE) se referă la generarea lor succesivă pornind din nodul sursă pe toate direcţiile active şi libere, prin direcţii libere înţelegând un flux multiplexat de pe care există cel puţin un canal temporal (Time slot – TS) liber ce ar putea fi utilizat în cazul în care constituirea rutei ar avea succes.

Astfel nodul sursă generează pachete exploratoare de generaţia întâi pe toate direcţiile libere ca în Fig. 5.23.

C2 C3 C4 ...

Pachet explorator

C1 CnC5

40

Fig. 5.23 Emiterea pachetelor exploratoare de generaţia I-a

În centralele (nodurile) unde acestea au ajuns se face verificarea dacă adresa destinaţiei corespunde cu cea a unui abonat local, dacă nu, se emit PE de generaţia a doua pe toate direcţiile libere cu excepţia acelora pe care nodul a fost interogat.

Fig. 5.24 Emiterea pachetelor exploratoare de generaţia a II-a

Observaţie: PE de generaţia a II-a nu sunt identice, ele diferă prin câmpul variabil C5…Cn din Fig. 5.24, unde este înscris drumul parcurs de fiecare PE.

Evoluţia firească a unei astfel de metode de generare conduce la apariţia unui număr foarte mare de astfel de PE, iar unele dintre acestea vor ajunge şi în nodurile din proximitatea nodului destinaţie.

Va fi validat acel PE indiferent de generaţia din care face parte, care a ajuns primul la nodul destinaţie. În mod uzual va ajunge la destinaţie un PE dintr-o generaţie cu un număr de ordine minim (distanţa minimă de la sursă la

Nod sursă

Nod destinaţie

PE1

PE1

PE1

Nod sursă

Nod destinaţie

PE1

PE2

41

destinaţie exprimată în număr de salturi sau centre intermediare tranzitate), însă acest lucru nu este obligatoriu.

Fig. 5.25 Validarea pachetelor exploratoare la destinaţie

Este reprezentată în Fig. 5.25 situaţia în care la destinaţie au ajuns pe direcţiile de incidenţă trei PE de generaţii diferite. Pentru validare nu este relevantă generaţia, ci ordinea de sosire.

Motivele pentru care este validat un PE care nu are indicele de generaţie minim dintre cele sosite la destinaţie sunt:

existenţa unei congestii pe cale minimă de legătură; timpi mai mari de întârziere în generare în interiorul diverselor noduri

intermediare datorat numărului mare de solicitări; existenţa unor zone de avarie în reţea pe cale de minimă legătură.Calculul timpului de stabilire a conexiunii se poate efectua pe baza

relaţiilor:

tot 2 PEnT T (5.102)

gjPEn tntnT )1( , (5.103)

unde: totT - timpul total de stabilire a conexiunii;

PEnT - timpul până la validarea PEn;

jt - timpul de parcurgere a unei joncţiuni;

gt - timpul necesar pentru generarea într-un nod intermediar,

valorile lui jt nu diferă mult de valoarea medie indiferent de lungimea

joncţiunii, însă valorile lui gt pot diferi mult de valoarea medie datorită

numărului mare de PE ce trebuie să fie generate de un nod la un moment dat.

Nod sursă

Nod destinaţie

PE1

PEn+2

PEn+3PEn

42

Valorile lui n şi a lui gt sunt cele care determină în mod esenţial valoarea lui

totT .Constituirea rutei se face parcurgând calea inversă înscrisă în câmpul

C5...Cn. Acest proces poate să se încheie cu un eşec datorită existenţei unor situaţii speciale:

prima situaţie specială se referă la apariţia unei avarii pe una din joncţiunile rutei, acesta este un eveniment destul de puţin probabil să se întâmple pe durata dintre parcurgerea în sens direct a PE şi constituirea rutei (Fig. 5.26);

a doua se referă la ocuparea tuturor canalelor libere de pe cel puţin o joncţiune din rută, eveniment mai probabil decât primul în acelaşi interval de timp. Această situaţie este motivată de faptul că unele canale libere sunt luate în calcul de mai multe PE pentru constituirea de rute diferite în cadrul unor solicitări diferite (Fig. 5.27).

Fig. 5.26 Avarierea unei joncţiuni intermediare

Ocuparea unei joncţiuni în totalitate este dată de dinamica angajăriieliberării de canale temporale din structura unui flux. Acest efect secundar este de dorit situaţiei în care toate PE ar rezerva câte un canal temporal, fapt care ar duce la ocuparea nejustificată a multora dintre ele.

Necesitatea existenţei câmpului C3 în structura PE este determinată de diverşi factori.

În situaţia în care datorită timpului mare de răspuns (constituire a rutei) din partea sistemului sursa renunţă la prima solicitare şi formează o a doua se generează în interiorul sistemului un nou val de PE cu aceleaşi caracteristici, atunci ora de emitere devine un parametru vital în analiza PE.

Nod sursă

Nod destinaţie

PE1

PEn

Avarierea unei joncţiuni

43

Fig. 5.27 Ocuparea unei joncţiuni intermediare

Mecanisme de anulare a pachetelor exploratoare din reţea

Gestionarea numărului mare de PE din sistem impune apariţia unui mecanism de anulare (stingere) a PE din reţea. Acesta are mai multe componente. Un PE poate fi anulat dacă:

a trecut un timp limită de la generarea şi PE nu a fost validat; PE a ajuns la o generaţie al cărui indice a depăşit o anumită valoare. Se

evită constituirea unor rute care parcurg un număr mare de centre intermediare;

PE tind să fie generate pe aceeaşi joncţiune din direcţii opuse; PE a ajuns la limita reţelei şi nu a fost validat.

Situaţiile menţionate anterior sunt prezentate în Fig. 5.28.

Fig. 5.28 Mecanisme de anulare a PE

Nod sursă

Nod destinaţie

Ajungerea la limita reţelei

PEn

Expirarea timpului de

existenţă

D2Generarea pe direcţii opuse

Depăşirea indicelui de generaţie

Nod sursă

Nod destinaţieS2

PEn

Ocuparea unei joncţiuni de

către altă rută

D2

44

Prezentarea mecanismelor de generare a rutelor a fost necesară pentru a demonstra că maniera automată de generare a rutelor conduce la existenţa unor rute între acelaşi nod sursă şi destinaţie complet diferite.

Pentru a putea efectua o transmisie de date pe rute multiple este necesar să putem deţine controlul timpilor de propagare de la sursă la destinaţie.

Sistemul de comutaţie de circuite pe care se realizează transmisia are două avantaje în acest sens:

ruta pe care o generează între sursă şi destinaţie prezintă timpi de întârziere ce variază în limite mici şi care sunt compensate de sistem prin intermediul bufferelor elastice.

diferenţa dintre timpii de întârziere de pe două rute independente ce pleacă din acelaşi nod sursă şi au drept destinaţie un nod comun poate fi determinată.

Calculul timpului de stabilire al conexiunii

Timpul de stabilire poate fi calculat folosind relaţia:

n

i

n

iPiRip ttt

1

1

1

, (5.104)

unde: pt - timpul total de propagare pe rută;

Rit - timpul rutare în nodul i ;

Pit - timpul de propagare pe joncţiunea dintre nodul de comutaţie i şi nodul de comutaţie 1i .

O reprezentare sugestivă este prezentată în Fig. 5.29.

1

Destinatie

I i

Nodul n-1

I i

Nodul n

I i

Nodul i

I i

Nodul 1

tRntRn-1tRitR1

TIMPUL TOTAL DE PROPAGARE tp

1

Sursatp1 tpn-1tpi

Fig. 5.29 Calculul timpului total de propagare pe o rută

Astfel timpul de propagare poate fi calculat folosind relaţiile:

n

i

n

iPiRipR ttt

1

1

11 (5.105)

45

unde: 1pRt - timpul total de propagare pe Ruta 1;

m

j

m

jPjRjpR ttt

1

1

12 , (5.106)

unde: 2pRt - timpul total de propagare pe Ruta 2.

Diferenţele dintre timpii de propagare de rutele conexe pot fi aproximate astfel:

pRj pRi Rj Ri pj pi Dij ijj i j i

t t t t t t N (5.107)

unde: DijN - este un interval de timp echivalent transmiterii unei număr întreg

de biţi şi ij - este un defazaj a cărei valoare se determină folosind relaţia:

BijpRipRjij Tmtt , (5.108)

unde: ijm - este numărul întreg de biţi ce pot fi transmişi în intervalul de timp

DijN şi BT - intervalul de timp necesar transmiterii unui bit de informaţie.

1

Destinatie

I i

Nodul n-1

I i

Nodul n

I i

Nodul m

I i

Nodul j

I i

Nodul i

I i

Nodul R2

I i

Nodul R1

TIMPUL TOTAL DE PROPAGARE tp pe RUTA 2

tRmtRitR1

tRntRn-1tRitR1

TIMPUL TOTAL DE PROPAGARE tp pe RUTA 1

1

Sursatp1 tpn-1tpi

tp1 tpm-1tpj

Fig. 5.30 Calculul timpului total de propagare pe 2 rute conexe

Defazajul ij dintre două rute conexe este eliminat cu ajutorul buffer-ului

elastic de la recepţie, el fiind relativ uşor eliminat prin această metodă ce presupune înscrierea informaţiei la intrare cu viteza de propagare pe ruta individuală şi extragerea acesteia cu o frecvenţă de tact unică dictată de sistemul de recepţie (Fig. 5.31).

46

1

Destinatie

COMPENSAREA DEFAZAJULUI

Clk RECEPTIE

V R1

Clk ReceptieD

BUFFER elastic Ruta 2

V R1

Clk ReceptieD

BUFFER elastic Ruta 1

2

SursaRuta j

1

SursaRuta i

V i

V j

VR

VR

Fig. 5.31 Compensarea defazajului ij

5.4.2 Mecanismul de revărsare al traficului

Se adresează sistemelor ce dispun de accesibilitate controlată a clienţilor în sistem, sisteme unde un abonat sau un flux are acces la un număr k de canale dintr-un număr total de n canale cu nk . Dacă toate cele n canale sunt ocupate, atunci un apel va fi blocat chiar dacă există canale liber printre cele

kn canale ale sistemului.Un exemplu este prezentat în Fig. 5.32, unde se consideră o reţea

ierarhizată, traficul purtându-se de la A la B şi de la A la C. De la A la B există o rută directă, primară, cu 1n canale. Dacă toate acestea sunt ocupate, apelul este direcţionat către B prin ruta alternativă (secundară), via T. În mod similar, traficul de la A la C dispune de o rută directă A-C şi o rută alternativă A-T-C.

Dacă rutele T-B şi T-C sunt considerate fără blocare, se obţine diagrama de disponibilitate prezentată în partea dreaptă Fig. 5.32.

Se observă că numărul total de canale este 1221 nnn şi că traficul de la A la B are acces doar la 121 nn dintre acestea. În acest caz, este necesară aplicarea unei echilibrări între rute, astfel încât un apel să fie direcţionat doar via grupul 12n , atunci când canalele primare 1n sunt ocupate.

Este caracteristic unei reţele ierarhizate să deţină anumite servicii de protecţie. În mod independent de volumul traficului de la A la C, există abonaţi care nu vor avea niciodată acces la cele 1n canale. Pe de altă parte, se pot bloca apeluri chiar dacă există canale libere, de aceea utilizarea va fi mai scăzută decât pentru sistemele cu accesibilitate completă. Utilizarea va fi totuşi mai mare decât pentru sisteme independent cu acelaşi număr de canale. Canalele comune permit echilibrarea între cele două grupuri.

47

Fig. 5.32 Reţea de telecomunicaţii cu o rutare alternativă

Teoria revărsării traficului

Modelele de trafic clasice presupun că traficul oferit unui sistem aparţine unuia dintre cele două tipuri: PCT-I sau PCT-II (Pure Chance Traffic). În reţelele de telecomunicaţii cu rutare alternativă a traficului, traficul pierdut de la grupul primar este oferit unui grup de revărsare şi are astfel proprietăţi diferite de traficul PCT. Aşadar modelele clasice nu pot fi folosite pentru evaluarea proprietăţilor de blocare a traficului revărsat.

În cele ce urmează vor fi descrise două clase de modele pentru revărsarea traficului. Procesele traficului se pot studia, în principiu, fie orizontal, fie vertical. Prin studiul vertical se înţelege calculul probabilităţilor de stare, iar prin studiu orizontal se analizează distanţa dintre apelurile sosite.

Probabilitatea de stare a sistemelor

Se consideră un grup complet accesibil cu echilibrare secvenţială. Grupul se împarte între un grup primar limitat cu n canale şi un grup de revărsare cu o capacitate infinită.

Se presupune ca traficul oferit A este de tipul PCT-I. Acesta se numeşte sistem Kosten. Starea sistemului este descrisă printr-un vector bidimensional:

),,( jip ,0 ni j0 (5.109)

care reprezintă probabilitatea ca la un anumit moment de timp i canale vor fi ocupate în grupul primar şi j canale în grupul de revărsare. Diagrama de tranziţie a stărilor este prezentată în Fig. 5.33.

Kosten a analizat acest model în 1937 şi a dedus probabilităţile de stare marginale:

0

),,(),(j

jipip ,0 ni (5.110)

48

0

),,(),(i

jipjp j0 (5.111)

Riordan a derivat în 1956 momentele distribuţiilor marginale. Valoarea medie şi valoarea de vârf (varianţa/medie) a distribuţiilor marginale, astfel că traficul celor două grupuri devine:

Grup primar:

)},(1{ AEAm n (5.112)

Fig. 5.33 Diagrama de tranziţie a stărilor pentru un sistem Kosten

)}()({1 1 AEAEAZm

vnn

(5.113)

11)(1 1 nn aAFZ . (5.114)

unde )(1 AFn este funcţia de îmbunătăţire a formulei Erlang -B.

Grup de revărsare:

)(AEAm n , (5.115)

.11

1

mAn

AmZ

m

v(5.116)

49

Experienţa arată că raportul valorii de vârf Z este o mărime utilă pentru calculul probabilităţii relative a blocării traficului cu o anumită valoare medie. În Fig. 5.34 se observă că valoarea de vârf a revărsării traficului are un maxim pentru un trafic fixat şi un număr mărit de canale. Valoarea de vârf are dimensiunea exprimată în număr de canale. Valoarea de vârf se aplică pentru calcule teoretice şi este dificil de estimat prin măsurători directe. Pentru traficulde tip PCT-I, valoarea de vârf este 1 şi probabilitatea blocare se calculează cu formula Erlang -B. Dacă Z este subunitar, traficul se numeşte uniform şi prezintă mai puţine blocări decât traficul PCT-I. Dar dacă Z este supraunitar, atunci traficul se numeşte revărsat şi prezintă blocări mai multe decât traficul de tip PCT-I.

Fig. 5.34 Valoarea de vârf Z a unei revărsări a traficului

5.4.3 Proiectarea strategică pe baza prognozelor de trafic

Avem două criterii de optimizare: Maximizarea gradului-de-servire (GoS – Grade of Service); Minimizarea costurilor.

50

Observaţii: Gradul-de-servire se referă la aspecte legate de dimensionarea

fizică a resurselor unei reţele şi are efecte directe asupra probabilităţii de blocare a sistemului.

Calitatea-serviciului se referă la aspecte mai largi, cum ar fi: calitatea transmisiei, întârzierile, pierderile, fiabilitatea etc.

Dimensionarea cu probabilitate de blocare fixă

În practică, un sistem cu pierderi trebuie dimensionat cu o probabilitate de blocare ( E ) mică, de aproximativ 1%.

În Tabelul 5.6 este dat un set de valori pentru n servere: valoarea intensităţii traficului ( A ), în prima situaţie pentru o

probabilitate de blocare impusă de 1% ( %1E ) şi a doua situaţie unde creştem intensitatea traficului cu 20% ( AA 2,11 ) fără a avea o limită pentru probabilitatea de blocare pe care de altfel o determinăm;

rata medie de utilizare a unui server ( a ); factorul de îmbunătăţire AF n,1 .

Tabelul 5.6 Valorile de referinţă

n 1 2 5 10 20 50 100

Caz

ul 1

A(E=1%)a

F1,n(A)

0,0100,0100,000

0,1530,0760,001

1,3610,2690,001

4,4610,4420,027

12,0310,5960,052

37,9010,7500,099

84,0640,8320,147

Caz

ul 2

A1=1,2AE[%]

aF1,n(A1)

0,0121,1980,0120,000

0,1831,3960,0900,002

1,6331,9030,3200,023

5,3532,5750,5220,072

14,4373,6400,6960,173

45,4825,8480,8560,405

100,8778,0770,9270,617

În urma urmăririi valorilor prezentate în Tabelul 5.6 constatăm următoarele:

în cazul 1 observăm o creştere a factorului de utilizare al serverului ( a ) odată cu creşterea numărului de servere ( n ), în aceleaşi condiţii de trafic, şi anume: păstrarea probabilităţii de blocare E la valoarea de 1%;

în cazul 2 observăm o afectare mult mai are a sistemelor cu număr mare de servere ( 100,50,20n ) la creşterea intensităţii traficului cu 20%;

de asemenea, observăm o creştere a factorului de utilizare al serverelor pentru 100n la valoarea 927,0a , valoare foarte apropriată de

51

valoarea maximă 1, echivalentă cu utilizarea permanentă a serverului. Sistemul se află foarte aproape de blocare.

Concluzie: Sistemele cu număr mare de servere sunt mai sensibile la apariţia unei suprasarcini de trafic. Acest lucru se explică prin faptul că în aceste sisteme gradul de utilizare al serverului este mai mare decât în cele cu număr mic de servere, în aceleaşi condiţii de trafic.

Principiul lui Moe pentru controlul factorului de îmbunătăţire

Factorul de îmbunătăţire reprezintă creşterea valorii traficului realizat de sistem ( nY ) prin mărirea numărului de servere al sistemului cu o unitate de la nla 1n .

Creşterea traficului realizat de sistem { )(AFn } se poate estima astfel:

nnn YYAF 1 (5.117)

111 1 nnnnnn aAEAEAEAEAAF

astfel:

10 AFn (5.118)

şi valorile limită vor fi:

A

AAF

10 , (5.119)

0 AF , (5.120)

00 nF , (5.121)

1nF , (5.122)

O reprezentare grafică a factorului este prezentată în Fig. 5.35.

52

Fig. 5.35 Factorul de îmbunătăţire al lui Moe.

Comentarii: pe axa orizontală avem numărul de servere al sistemului; pe axa verticală valoarea factorului de îmbunătăţire, cu valori cuprinse

în intervalul (0,1); în grafic sunt reprezentate 3 curbe corespunzătoare a trei situaţii de

trafic, valoarea traficului oferit ( A ) are valorile: 1, 2, 5 10, 20; se observă o atenuare a consistenţei acestui factor pentru valori mari

ale lui n .

Scop: Optimizarea dimensiunii sistemului având drept obiectiv o creştere a traficului realizat (Y ) în condiţiile reducerii costurilor (tradusă printr-un număr minim de servere).

53

Strategia clasică: Păstrarea unei probabilităţi de blocare a traficului la nivel constant (de obicei, E = 1%), determinându-se ulterior numărul de servere necesare. Pentru valori mici ale lui n se obţine o utilizare redusă a serverelor.

Strategia MOE: Are drept referinţă factorul de îmbunătăţire AF n,1 la o

valoare constantă, astfel că adăugarea unui nou server să aducă la nivelul sistemului la o creştere a traficului realizat constantă, indiferent de numărul de servere al sistemului.

În Tabelul 5.7 sunt prezentate valori în două situaţii distincte.

Tabelul 5.7 Valori referinţă studiu de cazn 1 2 5 10 20 50 100

Caz

ul 1

A(FB=0,05)a

E1,n(A)%

0,2710,21321,29

0,6070,27210,28

2,0090,3873,72

4,9910,4901,82

11,980,5930,97

35,800,7130,47

78,730,7850,29

Caz

ul 2

A1=1,2AE[%]

aF1,n(A1)

0,32524,510,2450,067

0,72813,300,3160,074

2,4116,320,4520,093

5,9894,280,5730,120

14,383,550,6930,169

42,963,730,8270,294

94,4764,640,9010,452

Comentarii: Având drept parametru de referinţă pentru dimensionare factorul de

îmbunătăţire, alegem punctul de funcţionare al sistemului pe curbelede trafic realizat astfel încât panta acestora în raport cu numărul de servere să fie constantă constant/ nA .

Observăm o creştere a utilizării serverelor pentru valori mai mari alelui n .

În Fig. 5.36 se prezintă o analiză de caz.

Din punct de vedere economic, o creştere a numărului serverelor în sistem conduce la o creştere a costurilor şi va trebui să vedem dacă ea este justificatăprin suplimentarea volumul de trafic realizat sau prin creşterea calităţii serviciilor oferite (în cazul nostru se evaluează doar probabilitatea de blocare a apelurilor).

Comentarii privind cazul prezentat în Fig. 5.36: Este prezentat un exemplu de calcul pentru dimensionarea unui grup

de legături monocanal. Costul total este dat de costul serverelor şi de cel al pierderilor prin

pierderea taxelor pentru apelurilor refuzate de sistem.

54

Odată cu creşterea numărului de servere cresc costurile, dar scade probabilitatea de blocare.

Când panta celor două curbe este aceeaşi, dar de semn opus se obţine optimul. În cazul nostru la valoarea 30 de servere.

Condiţiile de trafic au fost: o valoarea traficului oferit 25A Erlang;o valoarea factorului de îmbunătăţire relativ 0,35BF .

Fig. 5.36 Analiza eficienţei costurilor

Observaţie: Factorul de îmbunătăţire relativ BF se defineşte ca raportul dintre costul suplimentar introdus şi volumul suplimentar de trafic introdus de fiecare canal suplimentar :

limentartrafic_sup

mentarcost_supliBF

În Fig. 5.37 se prezintă o analiză a probabilităţilor de blocare.În Fig. 5.37 este prezentată o familie de trei curbe ce reprezintă variaţia

probabilităţii de blocare ( E ), exprimată în procente, pentru un volum de trafic oferit ( A ), variabil în limitele 0 – 100 Erlang.

Curba 1 are factorul de îmbunătăţire relativ cu valoarea 0,35 şi este specifică link-urilor principale cu suport back-up.

55

Curba 2 are factorul de îmbunătăţire relativ cu valoarea 0,20 şi este specifică link-urilor de suport back-up.

Curba 3 are factorul de îmbunătăţire relativ cu valoarea 0,05 şi este specifică link-urilor fără suport back-up.

Fig. 5.37 Probabilitatea de blocare

Comentariu privind Fig. 5.37: Pentru dimensionări ale sistemelor în condiţiile păstrării factorului de

îmbunătăţire relativă ( BF ) la o valoare constantă, vom constata creşteri considerabile ale probabilităţii de blocare ( E ) pentru valori mici ale numărului de servere.

Concluzie: Metoda Moe (factorului de îmbunătăţire relativă constant) dă rezultate

bune pentru sisteme cu număr mare de servere. Metoda clasică (probabilitate de blocare constantă) dă rezultate bune

pentru sisteme cu număr mic de servere.

56

5.4.4 Caracterizarea traficului în sistemele cu întârziere

Formula a II-a a lui Erlang (formula Erlang C)

Când un proces de sosire Poisson este independent de starea sistemului, probabilitatea ca un client ce soseşte arbitrar să fie pus în şirul de aşteptare este egală cu proporţia timpilor în care toate serverele sunt ocupate PASTA (Poisson Arrivals See Time Average).

Formula Erlang C – notaţie - AE n,2

Vom nota cu W variabila aleatoare „timp de aşteptare”, astfel pentru o cerere oarecare vom avea:

0,2 WpAE n ; (5.123)

An

nnpipAE

nin

,2 . (5.124)

Înlocuind np în (5.124), obţinem relaţia consacrată pentru formula Erlang C:

An

n

n

A

n

AAA

An

n

n

A

AEnn

n

n

!!1...

!21

!12,2 . (5.125)

Observaţii:

relaţia (5.125) depinde de A , adică de raportul

şi nu de parametrii

sau ca valori independente; probabilitatea ca o cerere să fie soluţionată imediat ( nS ) şi nu pusă în

coada de aşteptare este egală cu diferenţa dintre unitate şi probabilitatea de aşteptare (calculată cu formula Erlang C), astfel:

AES nn ,21 ; (5.126)

traficul oferit ( A ) este egal cu traficul realizat (Y ), dacă nici o cerere nu este rejectată:

Y A

(5.127)

57

Calculul lungimii şirului de aşteptare se poate determina analizând probabilitatea ca în sistem să fie mai multe cereri decât numărul de servere n al sistemului. Definim variabila aleatoare L , lungimea şirului, determinată de relaţia:

AEn

Anp

An

Anp

n

An

A

ipLp nni

,21 1

0

(5.128)

Se observă că este proporţională cu valoarea Erlang C, ponderată cu

raportul n

A, trafic oferit raportat la numărul de severe.

În Fig. 5.38 sunt prezentate câteva curbe caracteristice ale relaţiei Erlang C, pentru diverse valori ale numărului de servere n în aceleaşi condiţii de trafic oferit A .

Fig. 5.38 Curbe caracteristice ale funcţiei Erlang C

58

Comparaţie între relaţiile Erlang B şi Erlang C

Relaţia Erlang B este similară cu Erlang C, exceptând factorul An

n

.

Scriind relaţia Erlang C, în funcţie de Erlang B, vom obţine:

1,2,

1,1n

nn

n E aE A

n A E A

. (5.129)

Comentarii: Dacă nA , adică avem echilibru statistic, utilizare subunitară a

serverului, vom avea relaţia:

AEAE nn ,1,2 . (5.130)

Dacă nA , utilizare supraunitară a serverului, vom avea relaţia:

1,2 AE n (5.131)

toate noile solicitări vor fi întârziate.

Lungimea medie a cozii de aşteptare

Lungimea şirului de aşteptare L la un moment arbitrar de timp se mai numeşte şi lungimea cozii virtuale. Aceasta este lungimea cozii întâmpinată de un client oarecare, întrucât proprietatea PASTA este validă pentru procesele de sosire Poisson (timpul mediu = durata medie a apelurilor). Obţinem lungimea medie a cozii nL la un moment arbitrar de timp:

0 1

0 ( ) ( ) ( )n

ni i n

L p i i n p i

( )

1

( ) ( )i n

i n

Ai n p i

n

1

( )i

i

Ap n i

n

i

in

A

nAn

Anp

1)/(

)( . (5.132)

59

Întrucât 1/ cnA , seria este uniform convergentă şi operatorul de diferenţiere poate fi scos în afara sumei:

2)/(1

/)(

)/(1

/

)/()(

nA

nAnp

nA

nA

nAn

AnpLn

(5.133)

deci:

An

AAEL nn )(,2 (5.134)

Lungimea medie a cozii poate fi interpretată ca fiind traficul transportat de poziţiile din şirul de aşteptare şi este de aceea numit traficul timpului de aşteptare.

Lungimea medie a cozii, cu clienţi aflaţi în şirul de aşteptare

Timpul mediu în acest caz este egal cu durata medie a apelurilor. Lungimea condiţională a cozii devine:

21

1

/( ) ( ) ( )(1 / )

( )( )

i nnq

i n

A ni n p i p nnA n

LA n Ap np i n A

(5.135)

Înlocuind, se obţine :

0nqL

Lp L

, (5.136)

unde L reprezintă valoarea statistică pentru lungimea cozii.

Determinarea timpului mediu de aşteptare

Se defineşte: timpul mediu de aşteptare W pentru toţi clienţii şi timpul mediu de aşteptare w pentru clienţii cu un timp de aşteptare pozitiv. Primul reprezintă un indicator pentru nivelul de servicii al întregului sistem, pe când al doilea este de importanţă maximă pentru toţi clienţii, care sunt întârziaţi. Aceste medii vor fi egale cu mediile apelurilor, datorită proprietăţii PASTA.

Timpul mediu de aşteptare W pentru toţi clienţii

Teorema lui Little menţionează că lungimea medie a şirului de aşteptare este egală cu intensitatea sosirii înmulţită cu timpul mediu de aşteptare:

60

nn WL , (5.137)

unde )(ALL nn şi )(AWW nn . Considerând procesul de sosire, obţinem:

An

AAE

LW nn

)(1

,2. (5.138)

Cum A s , unde s reprezintă timpul mediu de servire, obţinem:

An

sAEW nn )(,2 . (5.139)

Timpul mediu de aşteptare wpentru clienţii aflaţi în aşteptare

Timpul total de aşteptare este constant şi poate fi mediat pentru toţi clienţii ( nW ) sau doar pentru clienţii cu timp de aşteptare pozitiv ( nw ):

)(,2 AEwW nn (5.140)

An

swn

(5.141)

Exemplu 1 : Sistem M/M/n cu un singur server

Acesta este sistemul cel mai des întâlnit în literatură. Probabilităţile de stare sunt date de seriile geometrice:

iAAip )1()( , cu ,...,2,1,0i (5.142)

ştiind că Ap 1)0( . Probabilitatea întârzierii devine:

AAE )(1,2 . (5.143)

Lungimea medie a cozii nL şi timpul mediu de aşteptare pentru toţi clienţii nW devine:

A

AL

1

2

1 ; (5.144)

A

AsW

11 . (5.145)

61

Din aceasta se observă că o creştere în rezultatele traficului oferit implică o creştere a nL la puterea a treia, independentă de faptul că această creştere se datorează numărului de clienţi sau creşterii timpului de servire ( s ). Timpul mediu de aşteptare nW creşte cu s la puterea a treia, doar prin la puterea a doua. Timpul mediu de aşteptare nw pentru clienţii întârziaţi creşte cu s la puterea a doua şi cu la puterea unu. O sarcină crescută datorită creşterii numărului de clienţi este de dorit, în favoarea unui timp de servire mai mare.

Este important ca timpul de servire a unui sistem supraîncărcat să nu se mărească.

5.4.5 Generarea traficului şi comportamentul abonatului

Pentru o convorbire telefonică între doi abonaţi (A către B) se pot definiurmătoarele situaţii:

convorbire încheiată cu succes; încercare de iniţializare a convorbirii nereuşită.

Cauze ale nereuşitei pot fi următoarele: probabilitatea de insucces la sursă ep ;

probabilitatea de insucces pe ruta intermediară sp ;

probabilitatea ca abonatul solicitat (B) să nu răspundă np ,

probabilitatea ca abonatul solicitat (B) să fie ocupat bp .

Presupunând că evenimentele anterior menţionate sunt statistic independente, se poate determina probabilitatea de insucces a convorbirii folosind relaţia:

nse pppp 111 . (5.146)

În mod analog, probabilitatea echivalentă ca abonatul solicitat să fie găsit ocupat este:

bse pppp 112 (5.147)

şi cea a unei convorbiri iniţiată cu succes este:

ase pppp 113 . (5.148)

În Fig. 5.39 este prezentată o schemă logică de corelaţie a evenimentelor.

62

A A-eroareBlocare si

erori tehnice

Fără răspuns

B-ocupat

B-răspuns

pn

pb

papspe

Fig. 5.39 Schema logică a probabilităţii de insucces la stabilireaunei conexiuni telefonice

5.5 CONCLUZII

Ingineria traficului este o ştiinţă în sine care s-a dezvoltat ca urmare a nevoii de a soluţiona cât mai eficient problemele crescânde la nivelul reţelelor de comunicaţii ca urmare a creşterii continue a volumului de trafic,diversificarea tipurilor de servicii solicitate de clienţi şi oferite de operatorii de comunicaţii în condiţiile existenţei diversităţii tehnologice şi nevoii de asigurarea a condiţiilor de funcţionare fiabilă a reţelelor de comunicaţii.

Obiectivele ingineriei traficului sunt legate de distribuţia controlată a traficului pe resursele din interiorul reţelei, controlul costurilor de operare a reţelei, controlul calităţii serviciilor oferite şi asigurarea planificării strategice areţelei pentru dezvoltare.

Pentru atingerea obiectivelor sunt necesare metode de analiză a traficului în reţea. Dintre aceste metode amintim: tehnici de culegere în timp continuu a datelor orientate pe eveniment şi tehnici de eşantionare a sistemului privind culegerea datelor de trafic.

Pe baza analizelor efectuate se pot utiliza metode de optimizare a traficului. Unele dintre aceste metode presupun definirea criteriilor de optimizare şi obţinerea distribuţiei controlate a traficului, optimizarea topologică a reţelei prin redistribuirea resurselor în cadrul ei, transformarea reţelei fizice în reţea logică, utilizarea algoritmilor de rutare dinamici, creşterea capacităţii generale a reţelei prin redimensionarea ei.

Metodele de optimizare conduc la soluţii de reorganizare a reţelei. Implementarea directă a acestora fără o minimă verificare poate să fie costisitoare. De aceea se utilizează metode de simulare în vederea validării soluţiilor identificate. Metodele presupun: modelarea surselor de trafic, comportamentul sursei, tipuri de abonaţi, a echipamentelor de comunicaţii,link-urilor şi a influenţei factorilor externi, protocoalelor de comunicaţii. De asemenea, sunt create scenarii de simulare în care se generează situaţii de

63

instabilitate în funcţionarea elementelor reţelei, avarii, congestii şi se facestimări, corecţii, prognoze pentru atingerea obiectivelor GoS cu menţinerea costurilor planificate.

Ingineria traficului este o metodă justificată a fi aplicată reţelelor mari de comunicaţii, operatorilor de comunicaţii care dispun de diversitate tehnologică şi doresc obţinerea convergenţei serviciilor oferite. Ea are dezavantaje legate decosturile mare de realizare, timpii mari de analiză şi implementare. Oferă în acelaşi timp avantaje, cum ar fi: reducerea costurilor de operare, prognoză eficientă pentru dezvoltarea reţelei, creşterea calităţii serviciilor furnizate clienţilor.

Un alt aspect care este important de luat în calcul este cel legat de diversitatea tehnologică din compunerea reţelelor de comunicaţii. Diversitatea tehnologică este condiţionată de o situaţie dată, niciun mare operator nu are un singur tip de tehnologie în structura reţelei, dar şi de o decizie strategică privind dezvoltarea reţelei. Astfel, nu există un singur tip de tehnologie care să răspundă eficient tuturor cerinţelor reţelei, se impune astfel achiziţionarea mai multor tipuri de tehnologii. Un alt aspect este cel legat de dependenţa de un furnizor sau mai mulţi furnizori, evitându-se astfel situaţia de monopol.

Convergenţa serviciilor este un obiectiv de urmărit pentru operatorii reţelelor de comunicaţii. Clientul unei astfel de reţele va dori să achiziţioneze un serviciu de comunicaţii de o cât mai bună calitate, asta se traduce în a accesa o reţea de comunicaţii performantă care să aibă un grad de încărcare redus pentru a putea oferi prompt serviciul solicitat.

Proprietarul reţelei de comunicaţii va dori să vândă cât mai bine reţeaua de comunicaţii pe care o deţine, pentru a-şi recupera costurile, încercând să obţină un grad mare de încărcare cu trafic al fiecărui element de reţea.

Dacă s-ar lua în calcul numai punctul de vedere al clientului, costul unui astfel de serviciu ar fi foarte ridicat, deoarece costurile de operare globale care sunt relativ constante şi oarecum independente de nivelul de încărcare al reţelei ar trebui să fie împărţite la puţini clienţi.

Dacă s-ar lua în calcul doar punctul de vedere al proprietarului reţelei,acesta ar dori să aibă un grad cât mai mare de încărcare al reţelei pentru a putea recupera costurile cu investiţiile în echipamente şi operarea lor. Acest lucru însă conduce la o furnizare de servicii relativ ieftine, dar de o calitate relativ redusă în termenii gradului de servire şi disponibilitate în reţea pentru solicitări noi.

5.6 BIBLIOGRAFIE

[5.1] ITU-D, Study Group 2 – Teletraffic Engineering, mai 2008[5.2] Robert B. Coopewr, Daniel P. Heyman – Teletraffic Theory and

Engineering, Encyclopedia of Telecommunications, pp. 453 – 483, 1998

64

[5.3] Abate, J. & Whitt, W. – Limits and Approximations for the M/G/1 LIFO Waiting-time Distribution. Operations Research Letters, Vol. 20 (1997): 5, 199-206, 1997

[5.4] Ash, G.R. (1998) – Dynamic Routing in Telecommunications Networks,McGraw-Hill, 1998, 746 pp.

[5.5] Baskett, F., Chandy, K.M., Muntz, R.R., Palacios, F.G. (1975) – Open, Closed and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers, Journal of the ACM, April 1975, pp. 248-260

[5.6] Niculescu, Grazziela, Ioan, Lucian – Elemente de ingineria traficului în telecomunicaţii – teorie şi aplicaţii, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2001

[5.7] Radu Grigore, Modele de Trafic pentru Reţele de Date, 23 iunie 2003[5.8] Recomandările ITU-T de la E.490 la E.700