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M a t e m a t i k a 1

A n i t a M a t k o v i

c

F P M O Z , S v e u c i l i t e u M o s t a r u 2 0 1 3 / 2 0 1 4 .

M a t e m a t i k a 1 2

1 . O s n o v e m a t e m a t i

c k e l o g i k e .

2 . S k u p o v i . R e l a c i j e . F u n k c i j e .

3 . S k u p o v i b r o j e v a .

4 . V e k t o r i .

5 . A n a l i t i

c k a g e o m e t r i j a .

6 . M a t r i c e . D e t e r m i n a n t e .

7 . S u s t a v i l i n e a r n i h j e d n a d b i .

L i t e r a t u r a :

I . S l a p n i

c a r , M a t e m a t i k a 1 , h t t p : / / w w w . f e s b . h r / m a t 1

E l e z o v i

c , N . : L i n e a r n a a l g e b r a , E l e m e n t , Z a g r e b , 2 0 0 1 .

E l e z o v i

c , N . ; A g l i

c , A . : L i n e a r n a a l g e b r a z b i r k a z a d a t a k a , E l e m e n t , Z a g r e b .

B . P . D e m i d o v i

c , Z a d a c i i r i j e e n i p r i m j e r i i z v i e m a t e m a t i k e s p r i m j e n o m n a t e h n i

c k e

n a u k e , T e h n i

c k a k n j i g a , Z a g r e b , 1 9 9 5 .


1 . O S N O V E M A T E M A T I

C K E L O G I K E

1 . 1 . L o g i k a s u d o v a

S u d j e s v a k a s m i s l e n a i z j a v n a r e

c e n i c a k o j a m o e b i t i s a m o i s t i n i t a i l i l a n a .

P r i m j e r i :

1 . R e

c e n i c a D v a p l u s d v a j e j e d n a k o

c e t i r i . j e s t s u d , i t o i s t i n i t .

2 . R e

c e n i c a D v a p l u s d v a j e j e d n a k o p e t . j e s t s u d , i t o l a a n .

3 . R e

c e n i c a x p l u s d v a j e j e d n a k o o s a m . n i j e s u d j e r z a n j u n e m o e m o r e

c i j e l i

i s t i n i t a i l i l a n a d o k n e z n a m o k o l i k o j e x .

4 . R e

c e n i c a K o l i k o j e s a t i ? n i j e s u d j e r n i j e i z j a v n a r e

c e n i c a .

5 . R e

c e n i c a B r o j 0 . 0 0 0 1 j e m a l i b r o j . n i j e s u d j e r n i j e p r e c i z i r a n o t o j e m a l i b r o j , p a

z a n j u n e m o e m o r e

c i j e l i i s t i n i t a i l i l a n a .

O z n a k e : S u d o v e o z n a

c a v a m o v e l i k i m s l o v i m a A , B , C , . . . . S v a k o m s u d u A p r i d r u u -

j e m o i s t i n i t o s n u v r i j e d n o s t > ( " i s t i n a " ) a k o j e i s t i n i t , a i s t i n i t o s n u v r i j e d n o s t ? ( " l a " ) a k o

j e l a a n .

P o n e k a d s e u m j e s t o > i ? k o r i s t i 1 ( " i s t i n a " ) i 0 ( " l a " ) .


S u d o v i i z p r v o g i d r u g o g p r i m j e r a s u j e d n o s t a v n i . P o m o

c u l o g i

c k i h v e z n i k a i z j e d n o s -

t a v n i h s u d o v a g r a d i m o s l o e n i j e . N a p r i m j e r , r e

c e n i c a A k o p a d a k i a , o n d a n o s i m

k i o b r a n . j e p r i m j e r s l o e n o g s u d a . L o g i

c k i v e z n i c i s u r e d o m : n e g a c i j a ( e ) , k o n j u k -

c i j a ( ^ ) , d i s j u n k c i j a ( _ ) , k o n d i c i o n a l ( ! ) i b i k o n d i c i o n a l ( $ ) . I s t i n i t o s t s l o e n i j i h s u d o v a

o d r e

d u j e m o p o m o

c u t a b l i c a i s t i n i t o s t i .

S u d e A ( " n o n A " , " n e A " ) j e i s t i n i t a k o j e A l a a n , a l a a n a k o j e A i s t i n i t . P r i p a d n a

t a b l i c a i s t i n i t o s t i j e

A e A

> ?

? >

:


S u d A ^ B ( " A i B " ) j e i s t i n i t s a m o k a d a j e i s t i n i t s u d A i i s t i n i t s u d B . P r i p a d n a t a b l i c a

i s t i n i t o s t i j e

A B A ^ B

> > >

> ? ?

? > ?

? ? ?

:

S u d A _ B ( " A i l i B " ) j e l a a n s a m o k a d a j e l a a n s u d A i l a a n s u d B . P r i p a d n a

t a b l i c a i s t i n i t o s t i j e

A B A _ B

> > >

> ? >

? > >

? ? ?

:


S u d A ! B ( " a k o j e A o n d a j e B " ) j e l a a n s a m o k a d a j e i s t i n i t s u d A i l a a n s u d B .

P r i p a d n a t a b l i c a i s t i n i t o s t i j e

A B A ! B

> > >

> ? ?

? > >

? ? >

:

S u d A $ B ( " A j e a k o i s a m o a k o j e B " ) j e i s t i n i t s a m o k a d a s u i s t i n i t o s n e v r i j e d n o s t i

s u d o v a A i B j e d n a k e : P r i p a d n a t a b l i c a i s t i n i t o s t i j e

A B A $ B

> > >

> ? ?

? > ?

? ? >

:


P r i m j e r : I s p i t a j m o i s t i n i t o s t s u d a ( ( e A ) _ B ) ! ( e C ) .

O b z i r o m d a z a t r i s u d a i m a m o 2

3

= 8 k o m b i n a c i j a n j i h o v i h i s t i n i t o s n i h v r i j e d n o s t i , t a b l i c a

i s t i n i t o s t i i m a o s a m r e d a k a .

A B C e A ( e A ) _ B e C ( ( e A ) _ B ) ! ( e C )

> > > ? > ? ?

> > ? ? > > >

> ? > ? ? ? >

> ? ? ? ? > >

? > > > > ? ?

? > ? > > > >

? ? > > > ? ?

? ? ? > > > >

:


Z a s l o e n i s u d A k a e m o d a j e i s p u n j i v ( o b o r i v ) a k o i m a b a r e m j e d n u i s t i n i t o s n u v r i -

j e d n o s t > ( ? ) . Z a s l o e n i s u d A k a e m o d a j e t a u t o l o g i j a ( a n t i t a u t o l o g i j a ) a k o s u m u

s v e m o g u

c e i s t i n i t o s n e v r i j e d n o s t i > ( ? ) . O

c i g l e d n o j e A j e a n t i t a u t o l o g i j a o n d a i s a m o

o n d a k a d a j e e A t a u t o l o g i j a . N e k e v a n e t a u t o l o g i j e s u :

1 . A _ e A p r i n c i p i s k l j u

c e n j a t r e

c e g ,

2 . e ( A ^ e A ) p r i n c i p n e p r o t u r j e

c n o s t i ,

3 . e e A $ A p r i n c i p d v o s t r u k e n e g a c i j e ,

4 . ( A ! B ) $ ( e B ! e A ) p r i n c i p k o n t r a p o z i c i j e ,

5 . ( A ! B ) ^ ( B ! C ) ! ( A ! C ) p r i n c i p s i l o g i z m a ,

6 . A _ ( A ^ B ) $ A i A ^ ( A _ B ) $ A p r i n c i p i a p s o r p c i j e .


1 . 2 . L o g i

c k a i m p l i k a c i j a i e k v i v a l e n c i j a

K a e m o d a s u d A l o g i

c k i i m p l i c i r a s u d B i l i d a s u d B l o g i

c k i s l i j e d i i z s u d a A i p i e m o

A ) B a k o j e s u d B i s t i n i t k a d g o d j e s u d A i s t i n i t . V r i j e d i d a A ) B o n d a i s a m o

o n d a k a d a j e s u d A ! B t a u t o l o g i j a . K a e m o d a s u s u d o v i A i B l o g i

c k i e k v i v a l e n t n i i

p i e m o A , B a k o A ) B i B ) A . V r i j e d i d a j e A , B o n d a i s a m o o n d a k a d a j e

s u d A $ B t a u t o l o g i j a . L a k o j e p r o v j e r i t i d a v r i j e d i :

1 . S v a k i s u d i m p l i c i r a s a m o g s e b e .

2 . A n t i t a u t o l o g i j a i m p l i c i r a s v a k i s u d , a l o g i

c k i s l i j e d i s a m o i z a n t i t a u t o l o g i j e .

3 . T a u t o l o g i j a l o g i

c k i s l i j e d i i z s v a k o g s u d a , a i m p l i c i r a s a m o t a u t o l o g i j e .

4 . S v a k i s u d j e l o g i

c k i e k v i v a l e n t a n s a m o m s e b i .

5 . A k o j e A , B , o n d a j e B , A .

6 . A k o j e A , B i B , C o n d a j e A , C .

7 . T a u t o l o g i j e s u s v e m e

d u s o b n o l o g i

c k i e k v i v a l e n t n e .

8 . A n t i t a u t o l o g i j e s u s v e m e

d u s o b n o l o g i

c k i e k v i v a l e n t n e .

M a t e m a t i k a 1 1 0

N a d a l j e , v r i j e d i :

1 . i d e m p o t e n t n o s t

A _ A , A ; A ^ A , A ;

2 . a s o c i j a t i v n o s t

( A _ B ) _ C , A _ ( B _ C ) ; ( A ^ B ) ^ C , A ^ ( B ^ C ) ;

3 . k o m u t a t i v n o s t

A _ B , B _ A ; A ^ B , B ^ A ;

4 . d i s t r i b u t i v n o s t

A ^ ( B _ C ) , ( A ^ B ) _ ( A ^ C ) ; A _ ( B ^ C ) , ( A _ B ) ^ ( A _ C ) ;

5 . D e M o r g a n o v i p r i n c i p i

e ( A _ B ) , e A ^ e B ; e ( A ^ B ) , e A _ e B ;

6 . A _ ? , A ; A ^ > , A ;

7 . A _ > , > ; A ^ ? , ? ;


Z b o g a s o c i j a t i v n o s t i j e o p r a v d a n o u m j e s t o ( A _ B ) _ C p i s a t i A _ B _ C : P o r e d t o g a , d a

b i s m o i z b j e g l i p i s a n j e v e l i k o g b r o j a z a g r a d a u v o d i m o p r i o r i t e t l o g i

c k i h v e z n i k a : n a j v e

c i

p r i o r i t e t i m a n e g a c i j a , z a t i m k o n j u k c i j a i d i s j u n k c i j a , a n a j m a n j i p r i o r i t e t i m a j u k o n d i -

c i o n a l i b i k o n d i c i o n a l . N a p r i m j e r , u m j e s t o ( ( e A ) _ B ) ! ( e C ) p i e m o ( e A _ B ) ! e C

i l i j e d n o s t a v n o e A _ B ! e C .

N a p o m e n a : V i d j e l i s m o d a j e l o g i

c k a i m p l i k a c i j a u s k o v e z a n a u z k o n d i c i o n a l . T o

j e d o v e l o d o t e n d e n c i j e d a s e i m p l i c i r a k o r i s t i z a

c i t a n j e z n a k a ! z a k o n d i c i o n a l ,

t o n i k a k o n i j e i s p r a v n o ! N a i m e , k a d a k a e m o d a j e d a n s u d i m p l i c i r a d r u g i i z r i

c e m o

o d r e

d e n u t v r d n j u o t i m s u d o v i m a , a k a d a i z m e

d u n j i h s t a v l j a m o z n a k ! g r a d i m o

s l o e n i j i s u d . S l i

c n o v r i j e d i i z a l o g i

c k u e k v i v a l e n c i j u i z n a k z a b i k o n d i c i o n a l .


1 . 3 . L o g i

c k o z a k l j u

c i v a n j e

U m a t e m a t i

c k o j l o g i c i p r o u

c a v a m o i l o g i

c k a z a k l j u

c i v a n j a , t e o d r e

d u j e m o k o j a s u k o -

r e k t n a , a k o j a n i s u . N p r . , z a k l j u

c i v a n j e :

A k o p a d a k i a , o n d a n o s i m k i o b r a n .

P a d a k i a .

N o s i m k i o b r a n .

j e p r i m j e r k o r e k t n o g z a k l j u

c i v a n j a . F o r m a l n o z a p i s a n o , o n o j e o b l i k a

A ! B

A

B

i n a z i v a m o g a m o d u s p o n e n s . N o , z a k l j u

c i v a n j e :

N e d j e l j o m i d e m u k i n o .

D a n a s n i j e n e d j e l j a .

D a n a s n e i d e m u k i n o .

n i j e k o r e k t n o . F o r m a l n o g a z a p i s u j e m o k a o


A ! B

e A

e B

V e o m a j e v a n o r a z l u

c i t i k o j e j e z a k l j u

c i v a n j e k o r e k t n o , o d n o s n o t o j e l o g i

c k a p o s l j e -

d i c a . K a e m o d a j e s u d Q l o g i

c k a p o s l j e d i c a s u d o v a P

1

; P

2

; : : : ; P

n

a k o j e s u d Q i s t i n i t

k a d g o d s u s v i s u d o v i P

1

; P

2

; : : : ; P

n

i s t i n i t i , i t o f o r m a l n o z a p i s u j e m o k a o

P

1

P

2

.

.

.

P

n

Q

S u d o v i P

1

; P

2

; : : : ; P

n

s e n a z i v a j u p r e t p o s t a v k e ( p r e m i s e ) , a s u d B z a k l j u

c a k ( k o n z e k v e n c a ) .

L a k o s e p o k a e d a j e s u d Q l o g i

c k a p o s l j e d i c a s u d o v a P

1

; P

2

; : : : ; P

n

o n d a i s a m o o n d a

k a d a P

1

^ P

2

^ : : : ^ P

n

) Q , t j . , k a d a j e s u d ( P

1

^ P

2

^ : : : ^ P

n

) ! Q t a u t o l o g i j a .


P r i m j e r : Z a k l j u

c i v a n j e

P

1

: A k o s e A n a k a n d i d i r a n a i z b o r i m a ( A ) , o n a

c e b i t i i z a b r a n a ( B ) .

P

2

: A k o A n a d o

d e n a s a s t a n a k ( C ) , o n a

c e s e k a n d i d i r a t i n a i z b o r i m a ( A ) .

P

3

: A n a

c e d o

c i n a s a s t a n a k ( C ) i l i

c e i

c i u I t a l i j u ( D ) .

P

4

: A n a n e

c e i

c i u I t a l i j u ( e D ) .

Q : A n a

c e b i t i i z a b r a n a ( B ) .

j e k o r e k t n o , j e r ( ( A ! B ) ^ ( C ! A ) ^ ( C _ D ) ^ e D ) ) B , t o s e l a k o m o e p r o v j e r i t i

p o m o

c u t a b l i c e i s t i n i t o s t i .


1 . 4 L o g i k a p r e d i k a t a

M n o g a s e l o g i

c k a z a k l j u

c i v a n j a n e m o g u f o r m a l n o i z r a z i t i u l o g i c i s u d o v a . T a k v o j e n p r .

z a k l j u

c i v a n j e

S v e r i b e d i u n a k r g e .

P a s t r v e s u r i b e .

P a s t r v e d i u n a k r g e .

k o j e j e o

c i g l e d n o k o r e k t n o . D a b i s m o g a f o r m a l n o z a p i s a l i t r e b a j u n a m r e

c e n i c e :

R ( x ) : " x j e r i b a . " , S ( x ) : " x d i e n a k r g e . " , P ( x ) : " x j e p a s t r v a . " T a k v e r e

c e n i c e n i s u

s u d o v i , a l i p o s t a j u s u d o v i k a d v a r i j a b l a x p o p r i m i k o n k r e t n u v r i j e d n o s t . S l i

c n o , d a b i s m o

f o r m a l n o z a p i s a l i k o r e k t n o z a k l j u

c i v a n j e

S v e e l i p s e s u k r i v u l j e .

S v a t k o t k o c r t a e l i p s u c r t a k r i v u l j u .

t r e b a j u n a m r e

c e n i c e : E ( x ) : " x j e e l i p s a . " , K ( x ) : " x j e k r i v u l j a . " , C ( x ; y ) : " y c r t a x . "


I z j a v n u r e

c e n i c u k o j a s a d r i j e d n u i l i v i e v a r i j a b l a , i k o j a z a k o n k r e t n e v r i j e d n o s t i t i h

v a r i j a b l a p o s t a j e s u d , n a z i v a m o p r e d i k a t o m . Z a s v a k u v a r i j a b l u d a n o g p r e d i k a t a p r e t -

p o s t a v l j a m o d a n a m j e p o z n a t s k u p i z k o j e g o n a p o p r i m a s v o j e v r i j e d n o s t i . T a j s k u p

n a z i v a m o d o m e n o m .

S l i

c n o k a o i u l o g i c i s u d o v a , k o r i s t e

c i l o g i

c k e v e z n i k e , i z j e d n o s t a v n i j i h p r e d i k a t a , m o e m o

g r a d i t i s l o e n e p r e d i k a t e . P o r e d v e z n i k a e , ^ , _ , ! i $ k o r i s t i m o j o d v a n o v a v e z n i k a

8 i 9 . V e z n i k 8 n a z i v a m o u n i v e r z a l n i m k v a n t i k a t o r o m i

c i t a m o g a z a s v a k i , d o k v e z n i k

9 n a z i v a m o e g z i s t e n c i j a l n i m k v a n t i k a t o r o m i

c i t a m o g a p o s t o j i ( n e k i ) . T a d v a v e z n i k a

i m a j u n a j v e

c i p r i o r i t e t .

N e k a j e P ( x ) p r e d i k a t i D d o m e n a z a x . T a d a j e 8 x P ( x ) s u d k o j i j e i s t i n i t o n d a i s a m o

o n d a k a d a j e s u d P ( a ) i s t i n i t z a s v e e l e m e n t e a i z s k u p a D , a 9 x P ( x ) j e s u d k o j i j e

i s t i n i t o n d a i s a m o o n d a k a d a p o s t o j i b a r e m j e d a n e l e m e n t a i z s k u p a D t a k a v d a j e

s u d P ( a ) i s t i n i t .

K a e m o d a j e v a r i j a b l a x v e z a n a a k o u z n j u d o l a z i k v a n t i k a t o r . I n a

c e , k a e m o d a j e x

s l o b o d n a v a r i j a b l a .


I s t i n i t o s n a v r i j e d n o s t s u d a 8 x P ( x ) ( i l i 9 x P ( x ) ) o v i s i o p r e d i k a t u P ( x ) , d a k l e i o d o m e n i

v a r i j a b l e x , p a u s l u

c a j u k a d t r e b a i s t a k n u t i d o m e n u p i e m o : ( 8 x 2 D ) P ( x ) ( i l i

( 9 x 2 D ) P ( x ) ) .

P r i m j e r i : N e k a j e D s k u p p r i r o d n i h b r o j e v a . T a d a j e s u d

( 8 x 2 D ) x j e p a r a n l a a n ;

( 9 x 2 D ) 2 < x < 7 i s t i n i t ;

( 8 x 2 D ) ( 9 y 2 D ) y > x i s t i n i t .

S a d a m o e m o f o r m a l n o z a p i s a t i p r e t h o d n a d v a p r i m j e r a z a k l u

c i v a n j a . P r v i k a o :

8 x ( R ( x ) ! S ( x ) )

8 x ( P ( x ) ! R ( x ) )

8 x ( P ( x ) ! S ( x ) )

a d r u g i k a o :

8 x ( E ( x ) ! K ( x ) )

8 y ( C ( x ; y ) ^ E ( x ) ! C ( x ; y ) ^ K ( x ) )


U l o g i c i p r e d i k a t a j e

c e s t o v a n o i s p i t a t i k a d a

c e d v a p r e d i k a t a b i t i e k v i v a l e n t n a n a d

s v a k o m d o m e n o m D i l i k a d a

c e j e d a n i m a t i d r u g i z a l o g i

c k u p o s l j e d i c u n a d s v a k o m

d o m e n o m D . P o s e b n u p a n j u t r e b a p o s v e t i t i n e g a c i j i i z a m j e n i m j e s t a k v a n t i k a t o r a .

V r i j e d i :

1 . e 8 x P ( x ) , 9 x e P ( x ) ;

2 . e 9 x P ( x ) , 8 x e P ( x ) ;

3 . 8 x 8 y R ( x ; y ) , 8 y 8 x R ( x ; y ) ;

4 . 9 x 9 y R ( x ; y ) , 9 y 9 x R ( x ; y ) ;

5 . 9 x 8 y R ( x ; y ) ) 8 x 9 y R ( x ; y ) ;

6 . 8 x 9 y R ( x ; y ) ) 9 x 9 y R ( x ; y ) :

P o m o

c u p r e d i k a t a z a d a j e m o s k u p o v e . A k o j e z a d a n p r e d i k a t P ( x ) s d o m e n o m D ,

o n d a o n d e n i r a s k u p A k a o s k u p s v i h e l e m e n a t a i z D z a k o j i j e P ( x ) i s t i n i t , n a s l j e d e

c i

n a

c i n : A = f x 2 D : P ( x ) g :


1 . 5 D o k a z i u m a t e m a t i c i

U i z g r a d n j i m a t e m a t i

c k e t e o r i j e p o l a z i m o o d o d r e

d e n o g b r o j a p o j m o v a k o j i s e n e d e n i -

r a j u , a n a z i v a m o i h o s n o v n i m p o j m o v i m a .

T a k v i p o j m o v i s u n p r . t o

c k a , p r a v a c , s k u p , . . . .

Z a t i m s e p o p i u o s n o v n e t v r d n j e o t i m o s n o v n i m p o j m o v i m a k o j e s e s m a t r a j u i s t i n i t i m a .

T e t v r d n j e ,

c i j u i s t i n i t o s t n e d o k a z u j e m o , n a z i v a m o a k s i o m i m a .

N a p r i m j e r , j e d a n o d a k s i o m a g e o m e t r i j e g l a s i : " T o

c k o m i z v a n d a n o g p r a v c a m o e s e

p o v u

c i j e d i n s t v e n i p r a v a c p a r a l e l a n s d a n i m p r a v c e m . "

S v a k i n o v i p o j a m u v o d i m o d e n i c i j o m p o m o

c u o s n o v n i h i l i v e

c d e n i r a n i h p o j m o v a .

S v a k u n o v u t v r d n j u d o k a z u j e m o l o g i

c k i m z a k l j u

c i v a n j e m n a o s n o v u d e n i c i j a , a k s i o m a

i t v r d n j i k o j e s m o v e

c d o k a z a l i . T e t v r d n j e n a z i v a m o t e o r e m i m a , a n a j

c e

c e s u o b l i k a

l o g i

c k e i m p l i k a c i j e P ) Q i l i l o g i

c k e e k v i v a l e n c i j e P , Q . D o k a z t v r d n j e o b l i k a P , Q

s e s a s t o j i i z d v a d i j e l a : d o k a z a P ) Q ( n u n o s t ) i d o k a z a Q ) P ( d o v o l j n o s t ) .


N e k e v r s t e d o k a z a s u :

D i r e k t n i d o k a z s a s t o j i s e u t o m e d a , p o l a z e

c i o d p r e t p o s t a v k e P , p r i m j e n o m a k -

s i o m a , d e n i c i j a i r a n i j e d o k a z a n i h t e o r e m a , n i z o m i s p r a v n i h l o g i

c k i h z a k l j u

c i v a n j a

d o

d e m o d o t v r d n j e Q . D o k a z m o e i m a t i i k o n a

c n o m n o g o m e

d u k o r a k a u k o j i m a s e

i z v o d e p o m o

c n e t v r d n j e , n p r . , n a j p r i j e d o k a e m o

P ) Q

1

p a i z t o g a

P ^ Q

1

) Q

2

i n a k o n k o n a

c n o m n o g o k o r a k a

P ^ Q

1

^ : : : ^ Q

k

) Q :

D o k a z p o k o n t r a p o z i c i j i t e o r e m a o b l i k a P ) Q j e d i r e k t n i d o k a z t e o r e m a e Q ) e P

k o j i m u j e e k v i v a l e n t a n ( p o p r i n c i p u k o n t r a p o z i c i j e ) , a k o r i s t i s e k a d a j e j e d n o s t a v n i j e

d o k a z a t i e Q ) e P , n e g o P ) Q .


D o k a z k o n t r a d i k c i j o m j e d i r e k t n i d o k a z u k o j e m s e k r e

c e o d p r e t p o s t a v k e P i n e -

g a c i j e t v r d n j e Q , i n i z o m l o g i

c k i h z a k l j u

c a k a d o

d e d o n e k e o

c i g l e d n e n e i s t i n e . I z t o g a

s l i j e d i d a n e t o u o n o m o d

c e g a s e k r e n u l o n i j e t o

c n o , a k a k o P m o r a b i t i i s t i n i t a ( j e r

j e P p r e t p o s t a v k a t e o r e m a ) , s l i j e d i d a j e n e g a c i j a t v r d n j e Q n e i s t i n i t a , o d n o s n o d a j e

t v r d n j a Q i s t i n i t a .

D o k a z p o s t o j a n j a ( e g z i s t e n c i j e ) s e k o r i s t i z a t v r d n j e o b l i k a : " P o s t o j i x k o j i i m a s v o -

j s t v o P ( x ) . " , a s a s t o j i s e u k o n s t r u i r a n j u o b j e k t a x k o j i i m a t r a e n o s v o j s t v o .

D o k a z j e d i n s t v e n o s t i s e k o r i s t i z a t v r d n j e o b l i k a : " A k o o b j e k t x s a s v o j s t v o m P ( x )

p o s t o j i , o n d a j e o n j e d i n s t v e n . " , a s a s t o j i s e u t o m e d a p r e t p o s t a v i m o d a p o s t o j e d v a

o b j e k t a s a s v o j s t v o m P ( x ) i o n d a p o k a e m o d a s u o n i n u n o j e d n a k i .

D o k a z k o n t r a p r i m j e r o m s e p r o v o d i k a d a e l i m o d o k a z a t i d a t v r d n j a o b l i k a : " Z a

s v a k i x v r i j e d i P ( x ) : " n i j e i s t i n i t a , a s a s t o j i s e u t o m e d a n a

d e m o x

0

z a k o j i d a n o

s v o j s t v o n e v r i j e d i .

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M1slides01 po 2.pdf