M1slides07.Po Dva

7/18/2019 M1slides07.Po Dva

http://slidepdf.com/reader/full/m1slides07po-dva 1/15

1

7. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADBI

7.1. Matri cni zapis sustava od m linearnih jednadbi sa n nepoznanica

Sustavu

2x1 3x2 x3 = 1 (S1)

x1 + 2x2 + 4x3 = 0

moemo pridruiti tri matrice:

A =

2 3 11 2 4

matrica koecijenata sustava, ili krace, matrica sustava

x =24 x

1x2

x3

35 (stup cana) matrica nepoznanica

b =

10

(stup cana) matrica slobodnih koecijenata.

2

Sada je

Ax=

2x1 3x2 x3

x1 + 2x2 + 4x3

;

pa iz (S1) slijedi jednakost matrica

Ax = b :

Sustavu pridruujemo i proširenu matricu sustava

A p = [A jb ] =

2 3 11 2 4

10

:

Opcenito, matricni zapis sustava od m linearnih jednadbi sa n nepoznanica

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

... ... ... ...

am1x1 + am2x21 + + amnxn = bm

(S)



3

je

Ax = b ;

gdje je

A =

2664

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n... ... ...

am2 am2 amn

3775 matrica sustava

x =

2664

x1

x2...

xn

3775 matrica nepoznanica

b =

2664

b1b2...

bm

3775 matrica slobodnih koecijenata.

4

Sustavu (S) pridruujemo i proširenu matricu sustava

A p = [A jb ] :

Rješenje sustava (S) je svaka uredena ntorka (x1; x2;:::;xn) koja sve jednadbe sus-

tava zadovoljava identi cki.

Za dva sustava kaemo da su ekvivalentna ukoliko imaju isti skup rješenja. Rješenje

sustava se ne mijenja, tj. dobivamo ekvivalentan sustav, ako izvršimo bilo koju od

sljedecih radnji:

i) neku jednadbu pomnoimo brojem razlicitim od 0;

ii) zamijenimo dvije jednadbe,

iii) jednu jednadbu (pomnoenu s nekim brojem) pribrojimo drugoj.

Ove radnje odgovaraju elementarnim transformacijama nad retcima proširene matrice

sustava A p.



5

Primjeri:1. Sustav

x1 + 2x2 = 1

2x1 + 3x2 = 2

je ekvivalentan sustavima

x1 + 2x2 = 12x1 + 3x2 = 2

2I +II s

x1 + 2x2 = 1x2 = 4

1II s

x1 + 2x2 = 1x2 = 4

2II +I s

x1 = 7x2 = 4

i ima rješenje (x1; x2) = (7; 4) :

Odgovarajuce proširene matrice tih sustava su

A p = 1 2

2 3 1

2 2I +II

s 1 2

0 1 1

4 1II

s 1 2

0 1 1

4 2II +I

s 1 0

0 1 7

4 :

Ovaj sustav (zamjenom: x1 7! x i x2 7! y) moemo geometrijski interpretirati kao dva

6

pravca u ravnini

p1 : : : x + 2y = 1

p2 : : : 2x + 3y = 2

koji se sijeku u tocki s koordinatama (x; y) = (7; 4) :

2. Sustav

x1 + 2x2 = 22x1 4x2 = 1

je ekvivalentan sustavu

x1 + 2x2 = 12x1 4x2 = 1

2I +II s

x1 + 2x2 = 10 = 3

;

pa nema rješenja.


A p =

1 22 4

11

2I +II s

1 20 0

13

:



7


paralelna pravca u ravnini

p1 : : : x + 2y = 1 =) y = 1

2x +

1

2

p2 : : : 2x 4y = 1 =) y = 12

x 14

(ne sijeku se).

3. Sustav

x1 + 3x2 = 5

2x1 6x2 = 10

je ekvivalentan sustavu

x1 + 3x2 = 52x1 6x2 = 10

2I +II s

x1 + 3x2 = 50 = 0

;

pa ima beskonacno mnogo rješenja danih sa x2 = t; x1 = 3x2 + 5 = 3t + 5; t 2 R;

tj. (x1; x2) = (3t + 5; t) ; t 2 R:

8


A p =

1 32 6

510

2I +II s

1 30 0

50

:


pravca u ravnini koji se podudaraju

p1 : : : x + 3y = 5 =) y = 1

3x + 5

3

p2 : : : 2x 6y = 10 =) y = 1

3x +

5

3

(pravci se sijeku u svim to ckama - jednadbe predstavljaju isti pravac).



9

7.2. Kronecker-Capellijev stavak

Ako je zadan sustav (S) postavljaju se sljedeca pitanja.

Kad sustav ima rješenje?

Ako rješenje postoji, je li jedinstveno ili ne?

Ako rješenje postoji kako ga naci?

Na prva dva pitanja daje odgovor sljedeci teorem.

Teorem (Kronecker-Capellijev stavak)i) Sustav (S) ima rješenje ako i samo ako je rang ([A jb ]) = rang (A) = r:

ii) Ako je rang ([A jb ]) = rang (A) = r onda je sustav ekvivalentan sustavu koji se

dobije uzimanjem r linearno nezavisnih jednadbi, tj. redaka matrice [A jb ] :

iii) Neka je rang ([A jb ]) = rang (A) = r i n broj nepoznanica. Sustav ima jedinstveno

rješenje ako je r = n: Ako je r < n sustav ima beskona cno mnogo rješenja izraenih

pomocu n r parametara.

10

Primjeri:1.

x1 + 2x2 = 1

2x1 + 3x2 = 2

Odgovarajuca proširena matrica sustava je

A p =

1 22 3

12

2I +II s

1 20 1

14

1II s

1 20 1

14

2II +I s

1 00 1

74

=

ARj b 0

:

Dakle, ovdje je m = n = 2; te r = 2; pa dani sustav ima jedinstveno rješenje:

(x1; x2) = (7; 4) :

2.

x1 + 2x2 = 2

2x1 4x2 = 1



11


A p =

1 22 4

11

2I +II s

1 20 0

13

=

ARj b 0

:

Dakle, ovdje je m = n = 2; te rang (A) = 1 < 2 = rang (A p

) ; pa dani sustav nema

rješenja.

3.

x1 + 3x2 = 5

2x1 6x2 = 10


A p =

1 32 6

510

2I +II s

1 30 0

50

= ARj b 0 :

Dakle, ovdje je m = n = 2; te rang (A) = rang (A p) = r = 1 < 2 = n i n r = 1; pa

dani sustav ima jednoparametarsko rješenje dano sa

(x1; x2) = (3t + 5; t) ; t 2 R:

12

Ako je u sustavu (S) b1 = b2 = = bm = 0, tj. ako je (S) oblika

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0

... ... ... ...

am1x1 + am2x21 + + amnxn = 0

(S-h)

ili u matricnom zapisu

Ax = 0;

onda taj sustav nazivamo homogenim sustavom od m linearnih jednadbi s n nepo-

znanica. Homogeni sustav uvijek ima trivijalno rješenje (x1; x2;:::;xn) = (0; 0; :::; 0) ili

matricno x = 0. Nadalje, Iz Kronecker-Capellijevog stavka slijedi:

sustav (S-h) ima (samo) trivijalno rješenje ako i samo ako je rang (A) = n;

sustav (S-h) ima parametarsko rješenje (netrivijalno) ako i samo ako je rang (A) < n:



13

Primjeri:1.

x1 + 2x2 = 0

2x1 4x2 = 0


A p =

1 22 4

00

2I +II s

1 20 0

00

=

ARj b 0

:

Dakle, ovdje je m = n = 2; te rang (A) = r = 1; pa dani sustav ima parametarsko

rješenje: (x1; x2) = (2t; t) ; t 2 R:

14

2.

x1 + 2x2 = 0

2x1 + 3x2 = 0


A p = 1 2

2 3 0

0 2I +II

s 1 2

0 1 0

0 1II

s

2II +I 1 0

0 1 0

0 = ARj b 0 :

Dakle, ovdje je m = n = 2; te rang (A) = r = 2; pa dani sustav ima jedinstveno

rješenje: (x1; x2) = (0; 0) :



15

7.3. Gaussova metoda eliminacije

Sustavu (S) pridruimo matricu A p = [A jb ]. Nizom elementarnih transformacija nad

retcima te matrice cilj je doci do ekvivalentne matrice oblika

A p = [A jb ] s s

266666666664

a011 a0

12 a01r a0

1r+1 a01n

0 a022 a0

2r a02r+1 a0

2n

0 0 . . . ... ... ...... ... . . . ... ... ...

0 0 0 a0rr a0

rr+1 a0rn

0 0 0 0 0 0... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 0 0

b01

b02......

b0r

b0r+1...

b0m

377777777775

gdje su elementi a011; a

022;:::;a

0rr svi razliciti od 0:

Sada je rang (A) = r: Ako je:

barem jedan od b0r+1;:::;b0

m razlicit od 0; onda je rang (A) < rang (A p) ; pa sustav

nema rješenje.

b0r+1 = = b0

m = 0; onda je rang (A) = rang (A p) = r; pa sustav ima rješenje i to:

16

– ako je r = n; jedinstveno rješenje,

– ako je r < n, (n r) parametarsko rješenje, a nepoznanice kojima pripadaju

stupci r + 1;:::;n su parametri.

Primjeri:1.

x1 + 2x2 + x3 = 2

2x1 + 4x2 + 3x3 = 3

x1 + x2 + x3 = 4


A p =

24

1 2 12 4 31 1 1

234

35 2I r:+II r:

s

1I r:+III r:

24

1 2 10 0 10 1 0

216

35 II r: III r:

s

24

1 2 10 1 00 0 1

261

35 :

Dakle, ovdje je m = n = 3; te rang (A) = rang (A p) = r = 3; pa dani sustav ima





19

7.4. Gauss-Jordanova metoda eliminacije

Sustavu (S) pridruimo matricu A p = [A jb ]. Nizom elementarnih transformacija nad

retcima te matrice cilj je doci do ekvivalentne matrice oblika

A p = [A jb ]s

s

A

0

p =

ARb

0gdje je AR reducirani oblik matrice sustava A.

Vrijedi:

Ako matrica AR ima manje ne-nul redaka nego

AR

b 0 ; onda je

rang (A) < rang ([A jb ]) ; pa sustav nema rješenje.

Ako matrice AR i

AR

b 0 imaju isti broj ne-nul redaka r, onda je

rang (A) = rang ([A jb ]) = r; pa sustav ima rješenje i to:

– ako je r = n; jedinstveno rješenje (AR = I ):

– ako je r < n, (n r) parametarsko rješenje (nepoznanice ciji pripadni stupci ne

sadre stoere su parametri),

gdje je n broj nepoznanica.

20

Primjeri:1.

x1 + 2x2 + x3 = 2

2x1 + 4x2 + 3x3 = 3

x1 + x2 + x3 = 4


A p =

24 1 2 1

2 4 31 1 1

234

35 2I r:+II r:

s1I r:+III r:

24 1 2 1

0 0 10 1 0

216

35 II r: III r:

s

24 1 2 1

0 1 00 0 1

261

35

2II r+Ir:s

1II r

24 1 0 1

0 1 00 0 1

1061

35 1III r:+I r

s

24 1 0 0

0 1 00 0 1

9

61

35 =

ARj b 0

:

Dakle, ovdje je m = n = 3; te rang (A) = rang (A p) = r = 3; pa dani sustav ima

jedinstveno rješenje (x1; x2; x3) = (9; 6; 1) :



21

2.

x1 + 2x2 + x3 = 2

2x1 + 4x2 + 3x3 = 3

2x1 + 4x2 + x3 = 0


A p = [Aj b] =

24 1 2 1

2 4 32 4 1

230

35 2I r:+II r:

s2I r:+III r:

24 1 2 1

0 0 10 0 1

214

35

II r:+III r:s

2

4

1 2 10 0 10 0 0

215

3

51II r:+I r

s

2

4

1 2 00 0 10 0 0

315

3

5 =

ARj b 0

:

Dakle, ovdje je m = n = 3; te rang (A) = 2; rang (A p) = 3; pa dani sustav nema

rješenja.

22

3.

x1 + 2x2 + x3 = 2

2x1 + 4x2 + 3x3 = 3

2x1 + 4x2 + x3 = 5


A p = [Aj b] =

24 1 2 1

2 4 32 4 1

235

35 2I r:+II r:

s2I r:+III r:

24 1 2 1

0 0 10 0 1

21

1

35

II r:+III r:s

24 1 2 1

0 0 10 0 0

210

35 1II r:+I r

s

24 1 2 0

0 0 10 0 0

310

35 =

ARj b 0

:

Dakle, ovdje je m = n = 3; te rang (A) = rang (A p) = 2; pa dani sustav ima



23

jednoparametarsko rješenje

x1 + 2x2 = 3x3 = 1x2 = t

9=

;)

x3 = 1x2 = t

x1 = 3 2x2 = 3 2t

9=

;) (x1; x2; x3) = (3 2t; t; 1) ; t 2 R:

7.5. Cramerov sustav

Sustav od n linearnih jednadbi sa n nepoznanica

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

... ... ... ...

an1x1 + an2x21 + + annxn = bn

(S)

ili matricno

Ax = b :

gdje je matrica A kvadratna matrica reda n, nazivamo Cramerov sustav .

24

Razlikujemo dva osnovna slu caja:

1) Matrica A je regularna, tj. det A 6= 0:

U ovom slucaju sustav ima jedinstveno rješenje (jer je r = n) koje moemo dobiti

mnoenjem matricne jednadbe s A1 (slijeva), pa je

x = A1b;

ili pomocu Teorema (Cramer): Neka je matrica A regularna i neka je Di determi-

nanta matrice koja se dobije zamjenom itog stupca matrice A stupcem b . Tada su

komponente rješenja x sustava Ax = b dane sa

xi = Di

det A:

2) Matrica A je sigularna, tj. det A = 0:

Ako je barem jedna od determinanti Di razlicita od 0; onda sustav nema rješenja.

Ako je D

1 = D

2 = = D

n = 0, onda sustav ima parametarsko rješenje (koje se

mora traiti Gaussovom eliminacijom).



25

Primjeri: Zadan je Cramerov sustav.

1.

x1 + 2x2 = 1

2x1 + 3x2 = 2

Determinanta matrice sustava je

det A =

1 22 3

= 1 ) A je regularna ) sustav ima jedinstveno rješenje.

I. nacin

A1 =

3 22 1

; x = A1b =

3 22 1

12

=

74

26

II. nacin

D = det A =

1 22 3

= 1 6= 0

D1 =

1 22 3

= 7; D2 =

1 12 2

= 4

x1 = D1det A

= 71 = 7; x2 = D2det A

= 41 = 4

2.

x1 + 2x2 = 2

2x1 4x2 = 1


det A =

1 22 4

= 0 ) A je singularna



27

D1 =

2 21 4

= 10 6= 0 ) sustav nema rješenja.

3.

x1 + 3x2 = 52x1 6x2 = 10


det A =

1 32 6

= 0 ) A je singularna

D1 =

5 310 6

= 0; D2 =

1 52 10

= 0 ) sustav ima parametarsko rješenje.


A p =

1 32 6

510

2I +II

s

1 30 0

50

=

ARj b 0

pa imamo jednoparametarsko rješenje dano sa (x1; x2) = (3t + 5; t) ; t 2 R:

28

7.6. Matri cne jednadbe

Promatrajmo matricnu jednadbu oblika

AX = B

gdje su A = [aij]m;n i B = [bij]m;k poznate matrice. Rješenje te matricne jednadbe je

matrica X tipa n k koja matricnu jednadbu zadovoljava identi cki. Rješavanje ovakve

jednadbe se opcenito svodi na rješavanje k sustava od kojih svaki ima m linearnih

jednadbi i n nepoznanica.

Ako je

B =hb (1) b (2) b (k)

i i X =

hx(1) x(2) x(k)

i

gdje su b (1); : : : ; b (k) stupci matrice B; a x(1); : : : ;x(k) stupci matrice X , onda dana

matricna jednadba ima oblikhAx(1) Ax(2) Ax(k)

i =

hb (1) b (2) b (k)

i;



29

pa dobivamo k sustava koji imaju matricni zapis

Ax(1) = b (1)

Ax(2) = b (2)

.

..

Ax(k) = b (k):

Svih ovih k sustava ima istu matricu sustava, a to je upravo matrica A. Rješavamo ih

istovremeno Gaussov-Jordanovom metodom eliminacije (ili Gaussovom eliminacijom).

Formiramo matricu

[A j B ] =h

A

b (1) b (2) ... b (k)i

;

pa elementarnim transformacijama nad njenim retcima dobivamo

[A j B ] s s [AR j B 0 ] =h

AR

b 0(1) b 0(2) b 0(k)i

gdje je AR reducirani oblik matrice A. Sada, ovisno o obliku matrice AR i stupaca

b (1); : : : ;b (k); za svaki sustav posebno odre dujemo rješivost, odnosno traimo rješenje.

30

Vrijedi:

matricna jednadba AX = B ima rješenje ako i samo ako svaki od gornjih sustava

ima rješenje,

ako je rang(A) = n onda matri cna jednadba ima jedinstveno rješenje.

Posebno, ako je A kvadratna matrica, onda matri cna jednadba AX = B ima jedin-

stveno rješenje ako i samo ako je A regularna, a rješenje je onda dano sa

X = A1B:

Documents

M1slides07.Po Dva