M2 3 Integral

8/8/2019 M2 3 Integral

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INTEGRAL INDEFINIDA. PRIMITIVA DE UNA FUNCION

Diremos ue F(x) esuna uncinprirnitivade (x) si severificaque F'(x) = (x).Si F(x) es una funcin prirnitivade f(x) esobvio que ambin o ser 0 (x) : F(x) + k, V k e !i .Si f(x) tiene una funcin primitiva F(x), tendr nfinitas,diferentes as unas de las otras an slo en elvalor de una constante .Al conjuntode todas as funcionesprimitivasde una fncin f(x) le llarnamos ntegral ndefinidacle(x), quesimbolizarnos omo [f1r)O* y queexpresarnosomo una f. p. de f(x) msunaconstarlte orJdeterminar, . As:

Jrr"lo*F(x)+k

Las propiedadesfundamentalesde las funciones primitivas se correspondencon propiedadesfundamentales e la derivacinde firnciones.

f* d l f ( x ) d x : d [ F ( x ) + k ] : t ( . r ) d xJf l+ ldF (x ) l f ( x )dx =F (x )+k IJ J

Si F(x) y G(x) son uncionesprimitivasde f(x) y g(x) respectivamente,ernosque:* [F (x )+G(x) ] ' :F ' (x )+G' (x )= f (x )+g(x ) f t t f . l+g(x ) )dx F(x )+G(x)+k 3

f , I f+ l ( i ( * )+ g (x ) )dx l f ( x + lg (x ) xJ " J J '

PRIMITIVAS INMEDIAT{S : Son las que se obtienendirectamente e las reglas dederivacin e as unciones lementales:

* [kF(x ) ] ' :k f (x ) = J f . f1* , l x : F (x )+C:k [F(x )+C ' ] tJ r { r lA*

rlJrox:Jo*:x*kz l [ *^ dx= "" ' ' * J n + lt , I idx=Llxl+kol f" dr=3 'nt lJ" dx=e*+k

Jr'o*= u*kf u ' ' u " 6 * =

t ' n t a , pa ra # -1

J* " ' dx= Llul+kf u ' 'u"r i 3 ' a

fu ' ' " 'dx=eu+k


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f6 )Jcosx dx : se r rx+kf7)Jser t . r

x : - cosx*k8) [--L- dx = tsx+ kJ cos- Xe) [-+ dx= - crs.K+kJ sen-xl0) [+ dx = arcsen+k' { 1 - x 'r r ; [ - -1 - dx = a rc tgx+kJ l+x '

frecuencia eaparicin,es convenrente aber:a ll 0 ' ) -+ dx = arcsen l+kJ . / u 2 - * : a

Ju' "o,

Ju'' '""udx

dx' d x

: senu*k= - cosu*k= tgu+k

= -c tgu+ k

d x : a r c s e n u * k

= a r c t g u + kinmediatas, or su inters

u' dx : * . r .n l * ka

Aunque no respondenexactrrmente la definicin de integrales

")lc#.r, , x - ad K = a r c t g - + l (METODOS DE INTEGRACION: Son maniobrasque nos permitenconvertir una integral no

inmediata u otra o variasques lo son.En as clases rcticasestudiaremc,sos mtodosmshabituales, omo:

* descomposicin* sustitucin cambioclevariable* mtodosde integracin e funciones acionales Fracciones imples* integracinpor partes* integracinde funciones rigonomtricas* integracinde funciones rracionales


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IN TEGRAL DEF-INIDA.C0NCEPTO. INTERPRETACION GEOMETRICA

Sea x) acotada n un intervalocen'ado a, b] , y consideremos l readel recinto onnadopor y : f(x),x = 2 , y : 0 , x : b .E fec tuamosnapar t i c in d iv is in e a,b ] , P = { u= X6, , x2 , . . . .x^ = b} .L l a m a r e m o s d i r n e t r o d e l a p a r t i c in P , d ( P ) , a l m x i m o v a l o r d e i = X - x i - r , V i : 1 , 2 , . . , n(d(P) es a rnximadistanciaentre lospuntosconsecutivos e la particin).Diremosque la particin P' es posteriora la particin P si contiene odos os puntosde P y algunoms.Definidaun aparticinP. consideremosos siguientes lementos:

n ( P ) = m n d e f ( x ) " r t [ * , - , . * , ] , i = 1 , 2 , . . . , nM ( P ) : m i x d e ( x ) e n[ * , - , , * , ] , i : 1 , 2 , . . . , nm(P)y M (?) so nel mnimoy el mximovalor de (x) en el subintervalo de a pafticin.

Llamaremos uma nferior,correspondiente P, de f(x) en [a. bl , a la aproximacinpor defecto:ll llS(P) : I . th i : I * ( x i - x i , r ); - t i - l

a i r:,(o x',t

Fig l )Llamaremos umasuperior, orrespondiente P, de f(x) en [a, b], a la aproximacinpor exceso:S ( P ) : I M i h i : I M ( x i - * i r ) Fig 2)

t.r.t"

F ig 1)

Si lamamos al rea el ecinto emos ue:

Fig 2)

r ) s(P)< A < s(P)2) S i P 'espos te r ib raP, (P) < S(P ' ) < S(P ' ) < S(P)Es decir, las aproximaciones on tanto ms cercanasa A, a medidaque las particionessonposterioresa las que sirven de base a dichas aproximaciones.La justificacin grfica esinmediata.S u p o n g a m o s f ( x ) e n e l s u b i n t e r v a l o, [ * , - , , r i ] , e n e l q u e a a d i m o s L r n n u e v o p u n t o x o :


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xi- , \ "( l )

* Sepuededemostrar ue si f(x) escontinuaen [a,b] ,

Propiedades lernentales e la integaldefinida:

l) Respecto el integrando:

En estecasose dice que (x) es ntegrableen [a, b], y el lmite comn de ambassucesionesecibeelnombrede integaldefinidaentre a y b de la funcin f(x) y se escribe [or*; A* ,Ja

?{ , , Xi. xi

(2)Es evidentequ e el sumando orrespondiente [*,-,, "], en la suma nferiorqu e correspondeP (1) esmenorqu eel qu ecoresponde esemismosubintervalo n a particitt 9' (2).La suma nferior S (P') serpuesmayor(a lo sumo gual)queS (P):

s(P')> s(P)Sepodra omprobar,e ormatotalmentenloga,ue S1P') = S(p) , si P ' esunaparticinposterior P.De estarnanera, parauna srrcesin e particiones P}, cada una posterior a la anterior,obtendremosuna sucesinmontona creciente {S (P)} de sumasnferiores una sucesinmontona ecrecienteS tpl} desurnas uperiores,n asque V F, S(p) > S (plSi ambas ucesionesienen l mismo mitecuando d(tr) -+ 0, asignaremosdicho mitecomnelvalorA, quemideel rea el ecinto.

Sea l im S(P) = l inr S1P; = d(P)-+0 d(P) '+0

Jn*,o*es ntegrable n dicho intervalo.

b ba) | k f ( x )dx : k I l ' ( x )dxJa Jb , h but J, r1xg(x)) ^= Ju(x)dx* J"ut*) *


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)

J )

Respecto el intervalo:ba) | ( x ) dxJabb) | r1x xJz

Propiedades e acotacin-f'n'..I noo"* or(x) x

a) Si f(x) . >. 0( 0( g(x)(


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TEOREMAFUNDAMENTALD}]L CALCULOTNTEGRAL.TEOREMADE LA DERIVADA )E LA INTEGRALRESPECTO E SULMITE SUPERIOR.REGLADE BARROW.

Sea f(x), integrableen [a, b] y supongamos uererbcalcular I f(x) dx .JaDefinimos F(x) ( funcin integral o fincinsuma

de t(x) ) . comoF(x) : [*f1*A*, que depender,Jaobviamente e x.

Propiedadese F(x):l ) l i rn AF : l im [F(x+h)-F(x) ] : l imh + 0 h - + 0 l i - + Opor o qu e F(x) escontinua n x.2) Si f(x) es continuaen x J lim r = f(x).h +0

x+hJ, f(x)dx = l im p 'h = 0 ,h -+0

3) F , (x ) : t i * F ( " *h . ) -F(x ) : , ,n . , - . *n t t * )o*= r n , : l im p: f (x )por ro tan to ,h-+o h h -+o h -+o h h - .>0 '@, F()esunafulrcinpri .

REGLA DE BARROW : Hetnosvisto que si (x) es continuaen [a, b] -+ F(x) es una funcinprirnitivade f(x).Si 0 (x) es una uncinprimitiva cualquiera e f(x), se cumplirque F(x) : $ (x) + k.pero : s i x= a -+ F(a) : [ t f ( " )dx : 0 : Q(a)+k =+ t= - 0(a)Ja

s i x :b -+ F(b) : [n(* )dx :01u)+k:01u)-0(a) : OC. l ] lJa

" Si f(x) es continua n [a,'b]valor de unaprimitivade (x ) e

en [a, b] seobtiene estando lIo,n b e l

, la integraldefinida de (x)lor de esaprimitiva er a "

dx

t|,arr

Aplicacin: CLCULODEREASDE RECINTOS LANOS CLASES RCTICAS


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EJERCICIOS11. Hallar aprimitiva e f (x ) x ' +3x ' + 2x

2. Qu sel mtodo e ntegracirror partes?.l l ^ rl x sen3xdx l xe - ' * dx , I L ( * '+ l )dx ,JJJ I#;

4. f . p. de f(r ) : x2senx quevalga 4 cuandot r f t r ! f ( x )=^ z * ' r t t 2 "

rr rt ,, q*; --*I11- . , I x 2 + 3 x + 2u*2*bx+c5. Explica l mtodouru bt"n". J dx y aplcaloara alcularI

valeceroen x: l .3 n *2 ) Lx dx , fro.* clx (sinefectuar lculos)J3 c o s l * 2 ; d *

I - ' d^.J x ' - xx = 7 [x :1x :0

qu e

f'F

x2 -4x+5 d x .( x - l ) ( x - 2 ) ( x - l ) ( x -2 )idem ara |.i11| d" J x (x+ l )

. ' l . )6. l I - :50* , con A>oJ x '+A-7. a) f (x)= x ' - 1 en l_ 3 21 , P: { -3 ,-2 ,- l ,1 ,2} Surnauper ior ,urnanfer ior?

b ) f ( x ) : I * -Z l I : [0 , 16 ] , P : {0 ,4 ,8 ,12 ,14 ,16 }Sumasupe r i o r , suma in fe r i o r?c ) f ( x ) : 16 -x2 en [ * 1 ,4 ] , P= { - 1 ,0 ,2 ,4 } Sumasupe r i o r , suma in fe r i o r?d) f(x) : 4 -2x2 l=- [ - 2 ,3 f , P = {-2,-1 , 2,3\ Sumasuper ior ,umainfer ior?

l.)8. a ) S inca lcu la r- | 1 t r .n r1x2+ l ) ) *2dr Esc ie f toque8 < I < 100?JlFb) S i I f f * l dx > I Esc ie r toque xe I l ,2 ] que (x)> 0? porqu?J Ic) Sincalculara ntegral,entrc)u alores star fU,t * cos3 ) dx ?.Comprubaloalculandoa

Jointegral.9 ./ Calculaa suma uperior inferiorpara (x) en [, 4]/ correspondienteP ={0,1,2,4 .

_'4- 4


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[ " '10 . ( x ) : { 2xI'o-r*( .J '1t-tF(x) ?:

Representa g(x) y obtn

y adems f ( x ) d x : 3l . P ( x ) : x ' + A x + B

12.- h (t) :corresponde

seanula n x: Is i e Io , l ]s i e (1 ,2 f

I a l= l x - / ll lx= _ - . v : xI

) L

A y B? .

Cul e as resgrficas

x < 00 < x < 22 < x < 4 ,lrt,.,a*fe('lo*, osr*la"

3cos(2n) o"

J;Sea F(x) J-n r)or.2 g lf(*' Ic#t5 J'"o'2*a*

I t-} - 3cosrznxr)xf*

1 Al + .15 .

rtS i I n = l ' c o s 4 x d x , h r l l a : I t + 2 I 2 + 3 1 + . . . + 1 0 0 I r 0 0 .JoArea de os recintosdefinidospor las funcionessiguientes:a . y : 7 + s e n ' x ' c o s x e y : 2 - x e n [ 0 , n ])b . y : - , Y ' = 3 x + 2 , X : 0 , x : lx " + 3 x + 2c. y = x1 , la tangenten (1 . ) y e le je OYd . y : 4 - x 2 y l a s t a n g e n t e s e n l o s p u n t o s x = - l y x : 1e. y: Kz y las angentcs esde P (2 . 3)f. Sean Cn = y: r '* 411vt 4n2 y R el recinto ormado or Cn , y: x2 y el eje

OX. rea de R ?y:2-x2, v : l * lto'h .i .

)Y - : X 'Iv : ^ ,x Y - x 3 , Y

I.v : - ,x ' + 4

* 2v :J - ve l e i eoY" l t i

vv

J .kl . r r :y -8x :0 , rz=y-x :0 ; y : :bm . y = x 3 , y= 1 6 - 2 x 2 y e l e j e o Y


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n. y=2x ' d iv ide l cuadradoe vr t i cesVr (0 ,0) , Vz (1 ,0) , V (1 , l ) , V 0, l ) en dosrecintos,culde ellos iene rnayorrea?

p. reaqueenel primercrradranteefinen:y = l6x, y = 9x, y: IX')X -q ' y : . . , x = 0 , x : 2x ' + 4r . V a l o r d e m p a r a q u e e l r e ay = x 3 , y = m x } s e a d e8 u 2 ?

s. y : x3 , tangentea lacurvan x :2 y OXt . H a l l a r a p a f a q u e e l r e a e n t r e: x 2 , y : a s a d e3 6 u 2 .


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.- Calcular l reade ossiguientesecintos:1) Limitador f (x) =; , elejeox, x = -2 , X =22) Lacurvay = X2 -Zx +1 , y la recta uepasapor ospuntos (1,0) B(3,a)3) y=l* l ,y=x2- t ,x = ' -1 X=t .4: )/ =4-x2 y lastangentesaellaenospuntos = -L ' x =t

X 25) y= ; * ,X=0 .X=26) Hallarapar=queelreac-mprendidaentre= X2, Y =a sede36u23.-Calcularassiguientesntegrales:,,i'f lr- ;z)1, + -, r) t;+ -3cos(Zrx)dxa)lxtn(zx)dx' ! o r ' +L ' - ' t , ' *5x +6 ' j ' x +15) fxe"dx at | -J4* -!x ;z [xsen(3x)dx:' J Jx *+6x '+8x''? dx ', dx 1,+ - 3cos(znx)dx[xtn(zx)dx lxer,dx) ;t t J*, *s* * ' j\x *r evr\- 'v" - '

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