M4-TEORI transformasi

7/30/2019 M4-TEORI transformasi

1/8

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 160

TRANSFORMASI GEOMETRI

Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T :

(x,y) ( x' , y')

Jenis-jenis transformasi antara lain :

Transformasi Isometri yaitu transformasi yang tidak mengubah jarak

Translasi ( Pergeseran) , Rotasi ( Pemutaran ) , Refleksi ( Pencerminan ).

Dilatasi ( Perbesaran) , Stretch ( Regangan ) , Shear ( Gusuran / kecondongan )

1. TRANSLASI ( PERGESERAN)Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah

tertentu. Jarak dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi.

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks koloma

b

.

Suatu translasi T dengan vektor translasia

b

. Mentransformasikan titik P ke P' secara pemetaan

dapat dituliskan :

T =a

b

: P(x,y) P' (x + a , y + b)

Jika P'(x' ,y') , secara aljabar dapat dituliskan dengan hubungan :

x' = x + a

y' = y + b

Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T =a

b

.

Contoh :

Tentukan bayangan PQ R dengan P(1,1) , Q(2,4) dan R(-1,3) bila dilakukan translasi oleh2

3

.

P(1,1) P' ( 1+2 , 1+3) atau P' (3,4)

Q(2,4) Q' (2+2 , 4+3) atau Q' (4,7)

R(-1,3) R' (-1+2 , 3+3) atau R' (1,6)

2. REFLEKSIRefleksi atau pencerminan adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan

sifat bayangan oleh suatu cermin yaitu :

1) Garis yang menghubungkan setiap titik dengan bayangannya tegak lurus dengan cermin(sumbu pencerminan)

2) Jarak antara setiap titik dan cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin3) Bangun dan bayangannya adalah kongruen

Pencerminan dilambangkan dengana

M dengan a adalah cermin (sumbu simetri)

Beberapa pencerminan yang telah dipelajari antara lain :a. Pencerminan terhadap garis y = xb. Pencerminan terhadap garis y = - xc. Pencerminan terhadap sumbu Xd. Pencerminan terhadap sumbu Ye. Pencerminan terhadap garis yang sejajar sumbu

Pencerminan terhadap garis y = mx adalah suatu pemetaan2 2

:T R R

BAB 22

2 2R R

y=mx

A'(x',y')

0X

A(x,y)


2/8


(x,y)(x',y')

P

( , ) ( ', ')x y x y

dimana2

2 2

1 2'

1 1

m mx x y

m m

2

2 2

2 1'

1 1

m my x y

m m

Dari difinisi diatas dapat dilihat hal-hal khusus yaitu apabila m=0 ; m = -1 dan m =

.

a. Jika m = 0, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu X. akibatnyapersamaan pencerminan menjadi :

x' = x dan y' = -y

Jadi pencerminan terhadap sumbu X adalah pemetaan T : (x,y) ( x , -y )

Matriks Refleksinya1 0

0 1

b. Jika m , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu Y. yangmengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;

x' = -x dan y' = y

Pencerminan terhadap sumbu Y adalah pemetaan : ( , ) ( , )T x y x y


0 1

c. Jika m=1 , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = x yangmengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;

x' = y dan y' = x

Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan : ( , ) ( , )T x y y x


1 0

d. Jika m=-1, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = -x . yangmengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;

x' = - y dan y' = -x

Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan : ( , ) ( , )T x y y x


1 0

e. Pencerminan terhadap garis y = kx' = 2kx dan y' = y

f. Pencerminan terhadap garis y = kx' = x dan y' = 2k - y

g. Pencerminan terhadap titik (a,b)x' = 2ax dan y' = 2by

Contoh :

Tentukan bayangan lingkaran 2 2 4 6 10x y x y jika dicerminkan terhadap garis y x

Persamaan dari pencerminan terhadap garis y x adalah ' dan 'x y y x

Dari persamaan tersebut maka x = y' dan y = - x', kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran akan

didapat :2 2

( ') ( ') 4( ') 6( ') 10y x y x atau2 2

( ') ( ') 6 ' 4 ' 1 0x y x y

dengan membuang "aksen" diperoeh bentuk2 2

6 4 10x y x y yang merupakan bayangan

lingkaran.

3. ROTASISuatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara

memutar titik-titik sejauh dengan pusat titik P.Jika positip maka arah putaran berlawanan arah putaran jarum

jam dan jika negatip akan searah dengan arah putaran jarum

jam. disebut dengan sudut rotasi dan P disebut pusat rotasi dan

suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi ditulis R (P, )2 2

:T R R

( , ) ( ', ')x y x y

dimana ' cos sinx x y


3/8


' sin cosy x y

Jika R(P, ) : ( , ) ( ', ')x y x y dengan P(a,b)

Terdapat hubungan :

' ( ) cos ( ) sinx x a y b a

' ( ) sin ( ) cosy x a y b b

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi :

Rotasi Matriks

0

0

90(0 ,90 )R R

0

0

90( 0, 9 0 )R R

0

0

18 0(0,180 )R R

(0, )R

' 0 1

' 1 0

x x

y y

' 0 1

' 1 0

x x

y y

' 1 0

' 0 1

x x

y y

' cos sin

' sin cos

x x

y y

Contoh :Tentukan bayangan dari titik A(2,4) , B(-3, 5) dan C(0, -3) jika dirotasi dengan :

a.seperampat putaranb.setengah putarana. Rotasi seperempat putaran berarti 090 maka

0 0' cos 90 sin 90x x y atau x' = -y

0 0' sin 90 cos 90y x y y' = x

Jadi rotasi seperempat putaran adalah : ( , ) ( , )T x y y x

Maka A'(-4,2) , B'(5,-3) dan C'(3,0)

b. Rotasi setengah putaran berarti 0180 maka0 0

' cos180 sin 180x x y atau x' = - x0 0

' sin180 cos180y x y y' = - y

Jadi rotasi setengah putaran adalah : ( , ) ( , )T x y x y

Maka A'(-2,-4) , B'(3,-5) dan C'(0,3)

Contoh :Tentukan peta dari garis y = -x + 2 jika dirotasi seperempat putaran.

Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x

Maka dari persamaan didapat x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y'

= -x' +2 ataux' = -y' + 2 dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh

-x = -y + 2 atau y = x + 2 yang merupakan peta dari garis y = -x + 2

4. DILATASIAdalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu

dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk

bangun tersebut.Transformasi Dilatasi dengan faktor saa sebesar k adalah suatu

pemetaan yang didefinisikan sbb:2 2

:T R R

( , ) ( , )x y kx ky dimana k real.

Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis :

,P k X

O

B


4/8


Jika , : ( , ) '( ', ')P k A x y A x y dengan P(a,b) maka terdapat hubungan :

x' = a + k (xa )y' = b + k (yb )

Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan :

x' = kx

y' = ky dengan matriks yang sesuai0

0

k

k

Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya.

1) Jika 1k , maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan bangun semula2) Jika 0 1k , maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan bangun semula3) Jika 1 0k , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat dan bangun

semula

4) Jika 1k , maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap pusat danbangun semula

Contoh :Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan bayangan dari :a. titik A(3,2) dan B9-4,3)b. garis y-2x+5=0a.

' 3 0 3 2 4 2 2 2 5 16

' 0 3 2 1 3 1 1 1 4 7

x

y

Bayangan nya adalah :A' (5,4) dan B'(-16,7)

b.' 3 0 2 2

' 0 3 1 1

x x

y y

3 6 2 3 4

3 3 1 3 2

x x

y y

4' 3 4

3

xx x x

2' 3 2

3

yy y y

substitusi ke y2x+5=0 didapatkan :

' 2 42. 5 0

3 3

y x

' 2 2 ' 8 15 0y x

' 2 ' 9 0y x maka bayangannya adalah : y2x +9 = 0

5. TRANSFORMASI GUSURAN ( SHEAR)Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut arah sumbu X

atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu:

1. Transformasi gusuran arah sumbu XMatriks transformasi yang bersesuaian adalah

1

0 1

qdengan

1q

tg

=factor skala

Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x + qy

y' = y

2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu YMatriks transformasi yang bersesuaian adalah

1 0

1pdengan

1p

tg=factor skala

Titik A ( x, y ) ditarnsformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

B A

O

A B

X


5/8


x' = x

y' = y + p

Contoh :Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu oleh

a. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala3b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4

a.' 1 0 1 0 2 2

' 3 1 3 1 3 9

x x

y y

b.' 1 4 1 4 2 10

' 0 1 0 1 3 3

x x

y y

6. REGANGAN ( STRETCHING)Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke himpunan titik

lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis tertentu ( invariant ) .Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant

disebut factor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan.a. Regangan searah sumbu XArtinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan factorregangan k

Matriks tarnsformasi yang bersesuaian0

0 1

k


x' = kx

y' = y

b. Regangan searah sumbu YArtinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan factor regangan k

Matriks tarnsformasi yang bersesuaian1 0

0 k


x' = x

y' = ky

Contoh :

Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan2 0

0 1

2 0 '

0 1 '

x x

y y

1

2 0 2 0 1 0 '1

0 1 0 1 0 2 '2

x x

y y

1 0

0 1

1

2'0

'0 1

x x

y ymaka

1

2'

'

x x

y y

diperoleh :

3x + y = 91

23( ') ' 9x y

3 x'2 y' = - 18 diperoleh bayangannya adalah 3x2y = - 18

7.Transformasi Komposisi

Dua Transformasi berturutan , dengan dapat dinyatakan

dengan translasi tunggal

A A

B B


6/8


Dari diagram terlihat bahwa ada suatu transformasi lain yaitu yang dinamakan komposisi dari

1 2danT T

Jika1 2

adalah translasi oleh bentuk dana c

T Tb d

maka komposisi1

T dengan2

T adalah3 2 1

T T T

yang merupakan translasi oleh bentuka c

b d

a. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang sejajar.

Pertama oleh sumbu x=a , dan dilanjutkan oleh sumbu sumbu x = b , maka titik A(x,y) akanditranslasi ke A (2a-x,y) kemudian ke A ( 2b-2a+x , y)

Jadi A(x,y) ke A(x,y) dengan :

" 2( )

" 0

x x b a

y y

Titik bergeser :

1. sejauh 2 kali jarak sumbu pertama dan sumbu kedua2. arahnya dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

Jika cermin pertama y = c dan cermin kedua y=d maka titik A(x,y) akan pindah ke A(x , 2c

y) kemudian ke A ( x , 2d 2c + y)

" 0

" 2( )

x x

y y d c

Contoh :

Titik B(-2,3) dicerminkan berturut-turut terhadap sumbu Y=-4 kemudian terhadap Y = 2.Tentukan koordinat bayangannya.

" 2 0

" 3 2(2 ( 4)

x

y

" 2

" 15

x

y

b. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudutA(x,y) dicerminkan terhadap S1 kemudian S2 akan

menghasilkan bayangan A (x,y) dengan :

" cos 2 sin 2

" sin 2 cos 2

x x a a

y y b b

1T

2T

3T

x,y

x',y'

x",y"

X

X=b

A

S

S2


7/8


Jika S2 sebagai cermin pertama dan S1 sebagai cermin kedua maka :

" cos( 2 ) sin( 2 )

" sin( 2 ) cos( 2 )

x x a a

y y b b

Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudut sama dengan :

pemutaran terhadap titik potong kedua sumbu itu sebesar 2

arah dari sumbu pertama ke sumbu keduaContoh :

Ditentukan titik A(5,1) , garis k: y= 12

x +2 , garis l : = 3x3

Tentukan koordinat titik bayangan yang terjadi jika titik A dicermnkan berturut-turutterhadap a) garis kkemudian garis l

b) garis l kemudian garis k

a) garis kdan l berpotongan di P(2,3) 12k

m , 3l

m sudut antara kdan l =

tg1

2

1

2

31

1 .3maka

045

0 0

0 0

" 5 2 2 4cos 90 sin 90

" 1 3 3 6sin 90 cos 9 0

x

y

b.coba sendiri.

c. Rotasi berturut-turut terhadap pusat yang sama.

Titik A(x,y) diputar sebesar1

terhadap titik P(a,b) kemudian diputar lagi sebesar2

terhadap pusat yang sama , maka bayangannya adalah A(x,y) dengan :

1 2 1 2

1 2 1 2

cos( ) sin( )"

sin( ) cos( )"

x x a a

y y b b

c. Transformasi berturut-turut dengan matriks M1 dilanjutkan dengan M2, memindahkan titikA(x,y) ke titik A(x,y) dengan :

2 1

".

"

x xM M

y y

8.Perubahan Luas Bangun Karena Transformasi.Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu ditransformasikan dengan matriks

a b

c d, maka luas bangun bayangannya = L = ad bd xL .

Berikut ini adalah soalsoal transformasi geometri yang saya ambil dari soal Ujian Nasional

tahun 2000 s.d. 2007

1. Bayangan kurva y = x 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan dilatasi pusatO dan factor skala 2 adalah .a. y = x + 6 b.y = x 6 c.y = x 3 d.y = 6 x e. y = x + 6Soal Ujian Nasional tahun 2007

2. Bayangan garis 4x y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks3

1

02

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y adalah .a. 3x + 2y 30 = 0b. 6x + 12y 5 = 0c. 7x + 3y + 30 = 0d. 11x + 2y 30 = 0e. 11x 2y 30 = 0Soal Ujian Nasional tahun 2006

3. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut , dilanjutkan dilatasi [ 0,2 ] adalah x =2 + y - y. Persamaan kurva semula adalah .


8/8


a. y = x x + 4b. y = x + x 4c. y = x + x + 4d. y = 2x + x + 1e. y = 2x x 1Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 20044. Persamaan bayangan garis 2x + 3y + 1 = 0 karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi pusatO sebesar adalah .a. 2x 3y 1 = 0b. 2x + 3y 1 = 0c. 3x + 2y + 1 = 0d. 3x 2y 1 = 0e. 3x + 2y 1 = 0Soal Ujian Nasional tahun 2005

5. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah . a. y = x + 1 b.y = x 1 c.y = x 1 d.y = x + 1 e.y = ( x + 1 )Soal Ujian Nasional tahun 2004

6. Jika titik ( a,b ) dicerminkan terhadap sumbu y, kemudian dilanjutkan dengan transformasi sesuaimatriks

21

12

menghasilkan titik ( 1, 8 ), maka nilai a + b = .

a. 3 b. 2 c. 1 d.1 e.2Soal Ujian Nasional tahun 2003

7. Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pusat ( 0,0 ) dan factor skala 3 dilanjutkan dengan refleksiterhadap garis y = x adalah .

a.30

03b.

30

03c.

30

03d.

03

30

e.03

30

Soal Ujian Nasional tahun 20028. Bayangan ABC, dengan A ( 2,1 ). B ( 6,1 ), C ( 5,3 ) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkanrotasi ( 0,90 ) adalah .a. A ( 1,2 ), B( 1,6 ), C ( 3, 5 )b. A ( 1,2 ), B ( 1,6 ), C ( 3, 5 )c. A ( 1,2 ), B ( 1,6 ), C ( 3,5 )d. A ( 1,2 ), B ( 1,6 ), C ( 3, 5 )e. A ( 1,2 ), B ( 1,6 ), C ( 3, 5 )Soal Ujian Nasional tahun 2001

9. Persamaan peta garis x 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat ( 0,0 ) sejauh +90 dilanjutkandengan pencerminan terhadap garis y = x adalah .a. x + 2y + 4 = 0b. x + 2y 4 = 0c. 2x + y + 4 = 0d. 2x y 4 = 0e. 2x + y 4 = 0Soal Ujian Nasional tahun 2000

Documents

M4-TEORI transformasi