Vinklar

Rak vinkelHalvt varv360°/2 = 180°

v

Trubbig vinkel90° < v < 180°

Rät vinkelFjärdedels varv360°/4 = 90°

Spetsig vinkel0° < v < 90°

v

vu

x

y

l

m

Vinklarna u och v är sidovinklarDe är tillsammans 180°u + v = 180°

Vinklarna x och v är vertikalvinklar.De är lika stora.x = v

Vinklarna x och y är alternatvinklar.Vinklarna v och y är likbelägna vinklar.

Alternatvinklar och likbelägna vinklar är lika stora då linjerna l och m är parallella.

x°

y°bisektris

x = y

En bisektris är en linje som delar en vinkel mitt itu.

Vinkelsumman i en triangel är 180°.u + v + x = 180°

u

v

x

u x

A B

Lika stora vinklar (alternatvinklar) är markerade med samma färg.

L

Bevis av triangelns vinkelsumma alltid är 180°

Dra en linjen L som är parallell med AB. C

Triangelns vinklar u, v, x bildar en rak vinkel (180°).

Hur stor är vinkelsumman i en fyrhörning?

Dra en linje som delar upp fyrhörningen i två trianglar.

Varje triangel har vinkelsumman 180°.

Alltså har trianglarna tillsammans vinkelsumman 2•180° = 360°

Vinkelsumman i en fyrhörning är 360°.

Summan av två vinklar i en triangel är lika med yttervinkeln vid det tredje hörnet.

y = u + x

u

v

x

y

y + v = 180° (sidovinklar)

(u + x) + v = 180° (vinkelsumman)

Ekvationerna ger

y = u + x

Bevis av yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen:

Några speciella trianglar

Rätvinklig triangel, där en av vinklarna är 90°

Likbent triangel, där två av sidorna är lika långa.Då är även basvinklarna lika stora.

x° x°

Att sidorna är lika långa markeras med streck.

Några speciella trianglar

Liksidig triangel, där alla sidor är lika långa.

Då är även alla vinklar lika stora.

Varje vinkel är en tredjedel av 180° alltså 60°

60° 60°

60°

Bestäm de okända vinklarna i respektive triangel:

Rätvinklig triangelVinkelsumman = 180°x° + 90° + 55° = 180°x° = 180° - 90° - 55° = 35°

Svar: x = 35°

Likbent triangelx° + x° + 30° = 180°2x° = 180° – 30° = 150°x° = 75°

Svar: x = 75°

55°

x°

x° x°

30°

UPPGIFTER

15

9 6

x

Trianglarna nedan är likformiga. Bestäm x.

59° 59°

A B

C

D E

F

Likformiga trianglar:Förhållandet mellan motsvarande sidor är lika.

Metod 1:Triangeln DEF är en förminskning av triangeln ABC.

Förminskningen är 6/9 = 2/3.

Sidan x är 2/3 av 15 dvs 10.

Svar: x = 10 cm

(cm)

15

9 6

x

Trianglarna nedan är likformiga. Bestäm x.

59° 59°

A B

C

D E

F

Likformiga trianglar:Förhållandet mellan motsvarande sidor är lika.

Metod 2:Motsvarande sidor AB och DE förhåller sig på samma sätt som AC och DF.

(cm)

9

6

15

x

AB

DE

AC

DF

109

156

15

15

x

x

Svar: x = 10

3

2,3

x

2

Betrakta trianglarna nedan. Bestäm x.

52,5° 52,5°

Är trianglarna likformiga?Ja, eftersom två vinklar i båda trianglarna är lika. Då måste även den tredje vinkeln vara lika stor i båda trianglarna. Om alla vinklar är lika stora så är trianglarna likformiga.

Sidan x motsvarar sidan med längden 3. Sidan som är 2 dm motsvarar sidan som är 2,3 dm.

3,2

2

3

x

6,23,2

32

3

3

x

x

Svar: x = 2,6

(dm)