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Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Angulos notaveis. Funcoes trigonometricas de qualquer angulo
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Setembro de 2018
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 Angulos notaveis.
2 Angulos de referencia.
3 Funcoes trigonometricas de quaisquer angulos.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Descobrindo seno e cosseno de 30◦, 45◦ e 60◦
Dividindo ao meio um trianguloequilatero de lado 1, obtemos
sen(60◦) = cos(30◦) =
√3
2
cos(60◦) = sen(30◦) =1
2
Do triangulo retangulo isosceles dehipotenusa 1, obtemos
sen(45◦) = cos(45◦) =
√2
2
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Descobrindo a tangente de 30◦, 45◦ e 60◦
No triangulo retangulo,
tan(θ) =cat. oposto
cat. adjacente=
sen(θ)
cos(θ)
Logo,
tan(30◦) =sen(30◦)
cos(30◦)=
1/2√3/2
=
√3
3
tan(60◦) =sen(60◦)
cos(60◦)=
√3/2
1/2=√
3
tan(45◦) =sen(45◦)
cos(45◦)=
√2/2√2/2
= 1
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Seno, cosseno e tangente de angulos notaveis
θ 0 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
0 π/6 π/4 π/3 π/2
sen(θ) 0 1/2√
2/2√
3/2 1
cos(θ) 1√
3/2√
2/2 1/2 0
tan(θ) 0√
3/3 1√
3 –
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Seno e cosseno de angulos maiores que 90◦
Seja P = (x , y) o pontoda circunferencia unitariaassociado ao angulo θ.
Nesse caso, definimos
sen(θ) = y e cos(θ) = x
Por exemplo, para θ = 120◦, temos
P(θ) = (cos(θ), sen(θ)) =
(−1
2,
√3
2
).
Observe que sen(θ) e cos(θ) podem ser negativos.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Alguns valores do seno e do cosseno
Cada ponto Pi dacircunferencia unitaria temcoordenadas xi e yi dadaspor
Pi = (cos(θ), sen(θ)),
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Sinal das funcoes trigonometricas
O sinal das funcoestrigonometricas varia de acordocom o quadrante.
A figura ao lado mostra os sinaisdas funcoes em cada quadrante.
Assim,
sen(θ) > 0 em I e II;
cos(θ) > 0 em I e IV;
tan(θ) > 0 em I e III.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Angulo de referencia
Para todo angulo θ definimos umangulo de referencia, que e o anguloentre o eixo-x e o lado terminal de θ.
No 1o quadrante (0 < θ < 90◦), oangulo de referencia e
θ = θ.
Para calcular sen(θ) e cos(θ):
1 Obtemos o angulo de referencia θ.
2 Calculamos sen(θ) ou cos(θ).
3 Definimos o sinal, de acordo com a transparencia anterior.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Seno e cosseno no segundo quadrante
Se θ esta no 2o quadrante (90◦<θ<180◦),definimos o angulo de referencia
θ = 180◦ − θ.
Nesse caso,
sen(θ) = sen(θ)
cos(θ) = −cos(θ)
Exemplos:
sen(150◦) = sen(180◦ − 150◦)
= sen(30◦) = 1/2.
cos(135◦) = −cos(180◦ − 135◦)
= −cos(45◦) = −√
2/2.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Seno e cosseno no terceiro quadrante
Para θ no 3o quadrante (180◦<θ<270◦),definimos o angulo de referencia
θ = θ − 180◦.
Nesse caso,
sen(θ) = −sen(θ)
cos(θ) = −cos(θ)
Exemplos:
sen(210◦) = −sen(210◦ − 180◦)
= −sen(30◦) = −1/2.
cos(225◦) = −cos(225◦ − 180◦)
= −cos(45◦) = −√
2/2.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Seno e cosseno no quarto quadrante
Para θ no 4o quadrante (270◦<θ<360◦),definimos o angulo de referencia
θ = 360◦ − θ.
Nesse caso,
sen(θ) = −sen(θ)
cos(θ) = cos(θ)
Exemplos:
sen(330◦) = −sen(360◦ − 330◦)
= −sen(30◦) = −1/2.
cos(315◦) = cos(360◦ − 315◦)
= cos(45◦) =√
2/2.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Relembrando os triangulos retangulos
Em um triangulo retangulo, temos
tan(θ) = cateto opostocateto adjacente = 1
tan(θ)
cot(θ) = cateto adjacentecateto oposto = 1
tan(θ)
sec(θ) = hipotenusacateto adjacente = 1
cos(θ)
csc(θ) = hipotenusacateto oposto = 1
sen(θ)
Observe que tan(θ) = sen(θ)cos(θ) e cot(θ) = cos(θ)
sen(θ) .
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Coordenadas e funcoes trigonometricas
Se (x , y) sao as coordenadas de um ponto P da circunferenciaunitaria, entao
sen(θ) = y cos(θ) = x tan(θ) = yx
csc(θ) = 1y sec(θ) = 1
x cot(θ) = xy
Observe que:
tan(θ) e sec(θ) nao estao definidas quando x = 0.
cot(θ) e csc(θ) nao estao definidas quando y = 0.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Angulos notaveis no segundo quadrante
θ 90◦ 60◦ 45◦ 30◦ 0
sen(θ) 1√
3/2√
2/2 1/2 0
cos(θ) 0 1/2√
2/2√
3/2 1
tan(θ) –√
3 1√
3/3 0
θ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦
sen(θ) 1√
3/2√
2/2 1/2 0
cos(θ) 0 −1/2 −√
2/2 −√
3/2 −1
tan(θ) – −√
3 −1 −√
3/3 0
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Outros angulos notaveis
θ 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦
sen(θ) 0 1 0 −1 0
cos(θ) 1 0 −1 0 1
tan(θ) 0 – 0 – 0
csc(θ) – 1 – −1 –
sec(θ) 1 – −1 – 1
cot(θ) – 0 – 0 –
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Angulos coterminais
Funcoes trigonometricas
Funcoes trigonometricas tem o mesmovalor para angulos coterminais.
sen(765◦) = sen(45◦) = sen(−315◦) =√
2/2.
cos(765◦) = cos(45◦) = cos(−315◦) =√
2/2.
tan(765◦) = tan(45◦) = tan(−315◦) = 1.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Calculando o seno e o cosseno de angulos quaisquer
Aproximacoes por series
Supondo que x seja dado em radianos, temos
sen(x) = x − x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ · · ·
cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ · · ·
Para x = π/9 = 20◦, somando os 4 termos acima obtemos
sen(π9 ) ≈ 0, 3420201431 (melhor aproximacao: 0,3420201433)
cos(π9 ) ≈ 0, 9396926153 (melhor aproximacao: 0,9396926208)
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 1
Problema
Indique o quadrante associado aos angulos abaixo e de o sinal doseno de cada um deles.
150◦, 210◦ e 330◦.
A) +, +, −B) +, −, −C) +, −, +
D) −, −, +
E) −, +, +
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 2
Problema
Determine o angulo de referencia associado a cada angulo abaixo.
100◦, 345◦ e 250◦
80◦, 15◦, 70◦.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 3
Problema
Sabendo que sen(60◦) =√
3/2, calcule
sen(120◦), sen(240◦) e sen(300◦).
Dica: marque arcos na circunferencia unitaria.
√3/2, −
√3/2, −
√3/2.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 4
Problema
Indique o quadrante associado aos angulos abaixo e de o sinal docosseno de cada um deles.
120◦, 240◦ e 300◦.
A) +, +, −B) +, −, −C) +, −, +
D) −, −, +
E) −, +, +
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 5
Problema
Sabendo que cos(60◦) = 1/2, calcule
cos(240◦) e cos(300◦).
Dica: marque arcos na circunferencia unitaria.
−1/2, 1/2.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 6
Problema
Seja 0 ≤ x ≤ 180◦. Se sen(x) = 3/5, calcule
cos(x) e cos(x + 180◦).
4/5, −4/5.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 7
Problema
Sabendo que sen(45◦) = cos(45◦) =√
2/2, calcule
tan(45◦), tan(135◦) e tan(225◦).
Dica: marque arcos na circunferencia unitaria.
1, −1, 1.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 8
Problema
Sem usar calculadora, determine
sen(780◦).
Dica: ache um angulo coterminal a 780◦ no intervalo [0, 360◦].
sen(780◦) = sen(60◦) =√
3/2.
Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios
Exercıcio 9
Problema
Sabendo que sen(30◦) = 1/2 ecos(30◦) =
√3/2, determine
sec(150◦), csc(150◦) e cot(150◦).