MA1101 MATEMATIKA 1A - … · Bab 0. Pendahuluan 0.1 Bilangan Real 0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak 0.3 Sistem Koordinat 0.4 Grafik Persamaan 0.5 Fungsi dan Grafiknya 0.6 Operasi

MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

27 Agustus 2019

Bab 0. Pendahuluan

0.1 Bilangan Real

0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak

0.3 Sistem Koordinat

0.4 Grafik Persamaan

0.5 Fungsi dan Grafiknya

0.6 Operasi pada Fungsi

0.7 Beberapa Fungsi Khusus

8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 2

KULIAH SEBELUMNYA

Latihan

1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2. (PR #2 utk Rabu 28/8)

2. Gambar grafik fungsi berikut dan tuliskanbeberapa karakteristiknya.

a. y = x3.

b. y = x4.

c. y = 1 – x4.

d. y = 𝑥 − 𝑥2.

8/28/2019 3(c) Hendra Gunawan

Bab 0. Pendahuluan

0.1 Bilangan Real

0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak

0.3 Sistem Koordinat

0.4 Grafik Persamaan

0.5 Fungsi dan Grafiknya




Sasaran Kuliah Hari Ini


Melakukan operasi pada fungsi danmenentukan daerah asal fungsi yang dihasilkan


Mengenal beberapa fungsi khusus, a.l. fungsitrigonometri, baik persamaan maupun sifat-sifatnya


0.6 OPERASI PADA FUNGSIMelakukan operasi pada fungsi danmenentukan daerah asal fungsi yang dihasilkan



Operasi Aljabar pada Fungsi

Seperti pada bilangan, kita dapat melakukanpenjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian pada fungsi secara titik demi titik. Jika f terdefinisi pada Df dan g terdefinisi padaDg, maka

(f + g)(x) := f(x) + g(x), x є Df Dg

(f – g)(x) := f(x) – g(x), x є Df Dg

(fg)(x) := f(x)g(x), x є Df Dg

(f/g)(x) := f(x)/g(x), x є Df Dg , g(x) ≠ 0. 8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 7

Contoh

Diketahui f(x) := x2, x є R, dan g(x) := √x, x ≥ 0.

Maka

a. (f + g)(x) = x2 + √x, x ≥ 0.

b. (f – g)(x) = x2 – √x, x ≥ 0.

c. (fg)(x) = x2√x, x ≥ 0.

d. (f/g)(x) = x2/√x = x√x, x > 0.

Catatan. Perhatikan bahwa daerah asal f/g tidakmencakup x = 0, sekalipun x√x terdefinisi di x=0.


Pangkat dan Akar

Kita juga dapat melakukan operasi pangkat danakar pada fungsi, selama memungkinkan.

Untuk n = 1, 2, 3, …,

(fn)(x) := [f(x)]n, x є Df .

(f–n)(x) := 1/[fn(x)], x є Df , f(x) ≠ 0.

(f1/n)(x) := [f(x)]1/n, x є Df , f(x) ≥ 0 utk n genap.

Catatan 1. f-1(x) = 1/f(x), namun lambang f-1 kelakakan dipakai untuk keperluan lain. Karena itu, untukf pangkat -1 kita akan menuliskannya sbg 1/f saja.

Catatan 2. f1/2(x) = √f(x) terdefinisi jika f(x) ≥ 0.8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 9

Menggambar Grafik Fungsi f + g

Diketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]


x

y

+

+

+

Menggambar Grafik Fungsi f + g

Diketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]


-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

g(x)

f(x)+g(x)

Fungsi Komposisi

Bila x dipetakan ke y = f(x) oleh f, dan kemudiany dipetakan ke z = g(y) oleh g, maka kita peroleh

z = g(f(x)). Dalam hal ini:

x y = f(x) z = g(f(x)).

Komposisi f dan g, yang dilambangkan dengang ◦ f, merupakan fungsi yang memetakan x ke z = g(f(x)), yakni

(g ◦ f)(x) := g(f(x)).


Daerah Asal Fungsi Komposisi

Daerah asal g ◦ f adalah himpunan semua x є Dfsedemikian sehingga f(x) є Dg , yakni

Dg ◦ f = { x є Df | f(x) є Dg }.

Contoh: Diketahui f(x) = √x dan g(x) = x2. Maka

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x)2 = x.

Daerah asalnya adalah

Dg ◦ f = { x є [0,∞) | √x є R } = [0,∞).

Perhatikan bahwa sekalipun g ◦ f memetakan x ke x, daerah asalnya hanya [0,∞).8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 13

Catatan

Komposisi dua fungsi tidak bersifat komutatif.

Untuk f dan g pada contoh sebelumnya, kitamempunyai

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = √(x2) = |x|.

Daerah asalnya adalah

Df ◦ g = { x є R | x2 є [0,∞) } = R.

Jadi, tampak bahwa f ◦ g ≠ g ◦ f.


Latihan

1. Diketahui f(x) := x2 + 3 dan g(x) := 1/x. Tentukan f + g, f – g, fg, f/g, f2, dan √g beserta daerah asalnya.

2. Diketahui f(x) := √x dan g(x) := 1/x. Tentukan g ◦ f dan f ◦ g, beserta daerahasalnya.


0.7 BEBERAPA FUNGSI KHUSUSMengenal beberapa fungsi khusus, a.l. fungsitrigonometri, baik persamaan maupun sifat-sifatnya



Fungsi Polinom

Fungi Konstan: f(x) = k (konstanta).

Fungsi Identitas f(x) = x.

Fungsi Linear: f(x) = mx + n.

Fungsi Kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c.

Keempat fungsi di atas termasuk keluarga besar

Fungsi Polinom: f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0,

dengan a0, a1, … , an konstanta, dan an ≠ 0.

Di sini, n є N merupakan derajat polinom tersebut.

Catatan: Daerah asal fungsi polinom adalah R.8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 17

Fungsi Rasional & Fungsi Aljabar

Fungsi f yang merupakan hasil bagi dua fungsipolinom, yakni

f(x) = p(x)/q(x), dengan p dan q polinom,

disebut fungsi rasional. Sebagai contoh,

𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2 + 1merupakan fungsi rasional.

Fungsi seperti g(x) = √x dan h(x) = x1/3 + x – 10 merupakan fungsi aljabar.


Catatan

Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |x| termasuk fungsi

aljabar, mengingat |x| = √𝑥2. Dalam hal ini, jikay = |x|, maka y memenuhi persamaan y2 = x2 (y≥0).

Secara umum, y = f(x) merupakan fungsi aljabarjika y memenuhi suatu persamaan aljabar sepertiy2 = x2 atau y3 = 3x2 + 5x dan sejenisnya.

Sebagai contoh, y = x1/3 + 10 adalah fungsi aljabar; ia memenuhi persamaan (y – 10)3 = x.


Fungsi Trigonometri

Tidak semua fungsi merupakan fungsi aljabar.

Salah satu kelompok fungsi yang tidak termasukfungsi aljabar adalah fungsi trigonometri.


Bayangkan titik P berputarpada lingkaran berjari-jari 1 ygberpusat di O(0,0), lalu catatabsis (a) dan ordinat (b) sbgfungsi dari sudut (t) antara OPdan sumbu-x positif.

tx

y

O a

bP

t dalam radian

Grafik Fungsi Cosinus dan Sinus


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

cos t

sin t

t dalam radian; 2π radian = 360o.

Ingat nilaicos dan sin

di sudut-sudut

istimewa.

Fungsi Tan, Cot, Sec, dan Csc

Dari cos t dan sin t, kita definisikan

tan t = sin t/cos t

cot t = cos t/sin t

sec t = 1/cos t

csc t = 1/sin t


Beberapa Sifat Fungsi Trigonometri

cos(-x) = cos x [yakni, y = cos x fungsi genap]

sin(-x) = -sin x [yakni, y = sin x fungsi ganjil]

cos2 x + sin2 x = 1

1 + tan2 x = sec2 x, 1 + cot2 x = csc2 x

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2 x

sin 2x = 2cos x sin x


… dan masihbanyak

kesamaantrigonometri

lainnya!

Latihan

1. Tentukan daerah asal fungsi rasional berikut:

a. 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2−1.

b. 𝑔(𝑥) =1

𝑥2+𝑥.

2. Sketsalah grafik fungsi berikut:

a. y = sin 2t, t є [-2π,2π].

b. y = 1 – cos t, t є [0,2π].

c. y = 2 tan t, t є [-2π,2π].


Documents

MA1101 MATEMATIKA 1A - … · Bab 0. Pendahuluan 0.1 Bilangan Real 0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak 0.3 Sistem Koordinat 0.4 Grafik Persamaan 0.5 Fungsi dan Grafiknya 0.6 Operasi