Upload
truongminh
View
243
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
7 Februari 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
8 1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/08.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0
Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopitalmenggunakan Aturan l Hopital
8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya
Menghitung bentuk tak tentu tipe∞/∞, 0.∞, ∞ ‐ ∞, 00, ∞0, dan 1∞
2/7/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
8 3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga
Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan batas tak terhinggadengan batas tak terhingga
8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak Terbatas
Mengenali dan menghitung integral tak wajardengan integran tak terbatas
2/7/2014 3(c) Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.3 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANBATAS TAK TERHINGGABATAS TAK TERHINGGAMengenali dan menghitung integral takwajar dengan batas tak terhingga
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 4
wajar dengan batas tak terhingga
Integral Tak WajarIntegral Tak WajarDalam definisi integral tentu terdapat
b
dxxf )(dua asumsi: (i) selang pengintegralannya, yaitu [a,b],
a
merupakan selang terhingga;(ii) fungsi integrannya (yang diintegralkan)
merupakan fungsi terbatas.Namun, dalam aplikasinya, ada kalanya salahsatu atau kedua asumsi ini tidak dipenuhi. Dalam hal demikian kita berhadapan denganintegral tak ajarintegral tak wajar.2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Integral Tak Wajar dengank hBatas Tak Terhingga
Pada s b bab ini kita akan membahas terlebihPada sub‐bab ini kita akan membahas terlebihdahulu integral tak wajar dengan batas takterhingga misalnya integral berikut initerhingga, misalnya integral berikut ini:
211 2
dxdd x 0
32 .1
,,1
dxx
dxxedxx
x
Kita akan mulai dengan bentuk yang pertamaterlebih dahuluterlebih dahulu.
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Bagaimana Menghitung
dxxf )(Bagaimana Menghitung
Untuk setiap b > a, kita dapat meng‐
a
dxxf )(
)(b
df
Untuk setiap b > a, kita dapat menghitung integral tentu
.)(a
dxxf
Integral tak wajarIntegral tak wajar
dxxf )( a b
dapat didefinisikan sebagai limit darii t l t t di t t k b
a
f )(
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 7
integral tentu di atas, untuk b∞.
Definisi Integral Tak Wajar
dxxf )(Definisi Integral Tak Wajar a
dxxf )(
b
dfdf )(li)(
a b
ab
a
dxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.
Contoh/LatihanContoh/Latihan
1. Hitung bila konvergen.
2 ,1
1 dxJawab:
Untuk setiap b > 0 kita hitung
021 x
Untuk setiap b > 0, kita hitung
tan0tantantan1 1111 bbxdx bb
Jadi
.tan0tantantan1 0
02 bbxdx
x
.2
tanlim1
1lim1
1 122
bdxx
dxx
b
bb
2/7/2014 9(c) Hendra Gunawan
211 00 xx bb
2. Hitung
.dxe xg
Jawab:0
2/7/2014 10(c) Hendra Gunawan
Definisi Integral Tak Wajar c
dxxf )(Definisi Integral Tak Wajar
dxxf )(
cc
dfdf )(li)(
a c
a
adxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen.
3. Hitung
1
2
dxxe xg
Jawab:
2/7/2014 12(c) Hendra Gunawan
Definisi Integral Tak Wajar
dxxf )(Definisi Integral Tak Wajar
dxxf )(
0
)()()( dfdfdf
0
,)()(:)( dxxfdxxfdxxf
bila kedua integral di ruas kanan konvergenbila kedua integral di ruas kanan konvergen.
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 13
4. Hitung bila konvergen.
,12 dxg g
Jawab:
,1 2x
2/7/2014 14(c) Hendra Gunawan
5. Hitung bila konvergen.
,2 dxxg g
Jawab:
,1 2x
2/7/2014 15(c) Hendra Gunawan
Meluncurkan Roket ke AngkasaMeluncurkan Roket ke Angkasa
Menurut Hukum Newton gaya gravitasi yangMenurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarakkuadrat yakni ‐k/x2, dengan x = jarak dari pusatkuadrat, yakni k/x dengan x = jarak dari pusatBumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utkmengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2mengangkat roket tsb adalah F(x) k/x . Berapakah kerja yang diperlukan untukmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarmeluncurkan roket dgn berat 500 N ke luarangkasa?
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Bahan DiskusiBahan Diskusi
Untuk nilai p berapakah integral tak wajar iniUntuk nilai p berapakah integral tak wajar ini
1 dx
konvergen?1 x p
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 17
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.4 INTEGRAL TAK WAJAR DENGANINTEGRAN TAK TERBATASINTEGRAN TAK TERBATASMengenali dan menghitung integral takwajar dengan integran tak terbatas
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 18
wajar dengan integran tak terbatas
Integral Tak Wajar dengank bIntegran Tak Terbatas
Sekarang kita akan membahas integral tak ajarSekarang kita akan membahas integral tak wajardengan integran tak terbatas, misalnya integral berikut iniberikut ini:
21 2/ 1tan1 dxdxxdx
Pada integral pertama, integran tak terbatas di
03/2
0 0
.)1(
,.tan, dxx
dxxdxx
g p , gujung kiri; sedangkan pada integral kedua, integran tak terbatas di ujung kanan. Apa yang g j g p y gmembuat integral ketiga tak wajar?2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Definisi Integral Tak Wajar c
dxxf )(g jdengan f tak terbatas di a
a
f )(
a b c
c
ab
c
dxxfdxxf ,)(lim:)( bila limit ini ada.
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 20
b
aba
Contoh/LatihanContoh/Latihan
1. Hitung bila konvergen.1
,1 dxJawab:
Untuk setiap b > 0 dengan b < 1 kita hitung
0 x
Untuk setiap b > 0, dengan b < 1, kita hitung
1 1
2221 bxdx
Jadi .222b
bbxdx
x1 1 11
1
00
1
0.2)22(lim1lim1 bdx
xdx
x bb
b
2/7/2014 21(c) Hendra Gunawan
2. Hitung bila konvergen. 3
3/1 ,)1(
dxg g
Jawab: 1
3/1 ,)1(x
2/7/2014 22(c) Hendra Gunawan
3. Hitung bila konvergen. 1
,ldx
g g
Jawab:21 ln xx
2/7/2014 23(c) Hendra Gunawan
Definisi Integral Tak Wajar dgnb
dxxf )(g j gf tak terbatas di c є (a,b)
a
f )(
bcb
dfdfdf )()()(
a bc
caa
dxxfdxxfdxxf ,)()(:)(
2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 24
bila kedua integral di ruas kanan konvergen.
Contoh/LatihanContoh/Latihan
4. Hitung bila konvergen.2
3/2 ,)1(
dx
Jawab:
Integran tak terbatas di x = 1 Kita hitung dahulu:
03/2)1(x
Integran tak terbatas di x = 1. Kita hitung dahulu:
1
0
3/1
13/213/2 .3)1(3lim)1(
lim)1(
cc
xdxdx 0 0
013/213/2 )1()1( cc xx
2 2
23/1 3)1(3limlim xdxdx
Jadi:
113/213/2 .3)1(3lim
)1(lim
)1( cccc
xxx
6332
dx
Jadi:
2/7/2014 25(c) Hendra Gunawan
.633)1(0
3/2 x
5. Hitung 3
2 .1 dxg
Jawab:2
2 .dxx
2/7/2014 26(c) Hendra Gunawan
Bahan DiskusiBahan Diskusi
Untuk nilai p berapakah integral tak wajar inip p g j
1 1 dxp
konvergen?
A k h d bil b t i t l
0 x p
Apakah ada bilangan p yang membuat integral
1 dx
konvergen? [Oops.. Integral tak wajar jenis apa
0
dxx p
konvergen? [Oops.. Integral tak wajar jenis apapula ini?]2/7/2014 (c) Hendra Gunawan 27