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MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 23: Solucao em serie (caso regular)
Solucoes em series para EDOs
Sejam P,Q,R funcoes boas (neste caso, polinomios1) e considere
a EDO
P(x)y ′′(x) + Q(x)y ′(x) + R(x)y(x) = 0. (1)
Se x0 e tal que P(x0) 6= 0, diremos que x0 e um ponto regular;
caso contrario, sera chamado ponto singular.
Inicialmente vamos considerar pontos regulares, por exemplo PVIs
com y(x0) = y0.
Neste caso, se x0 nao for regular, como P(x0) = 0, a equacao vai
ser degenerada, o que nao desejamos.
Solucoes em series para EDOs
Se x0 e ponto regular, entao existe um intervalo ao redor de x0
onde P(x) 6= 0.
Dividindo a EDO (1) por P(x), obteremos
y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0, (2)
onde p = Q/P e q = R/P. Pelo Teorema de Existencia e
Unicidade, a EDO (2) tem solucao.
Iremos procurar tal solucao como uma serie de potencias.
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Exemplo
Encontre uma solucao em series para y ′′ + y = 0.
Note que todo ponto e um ponto regular, ja que P(x) = 1 e
constante. Seja
y(x) =∞∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x
2 + . . .
uma solucao da equacao no enunciado, e vamos assumir que esta
serie converge em algum intervalo |x | < ρ. Temos que
y ′(x) =∞∑n=1
nanxn−1 = a1 + 2a2x + 3a3x
2 + . . .
y ′′(x) =∞∑n=2
n(n − 1)anxn−2 = 2a2 + 6a3x + . . . .
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Exemplo
Encontre uma solucao em series para y ′′ + y = 0.
Note que todo ponto e um ponto regular, ja que P(x) = 1 e
constante. Seja
y(x) =∞∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x
2 + . . .
uma solucao da equacao no enunciado, e vamos assumir que esta
serie converge em algum intervalo |x | < ρ. Temos que
y ′(x) =∞∑n=1
nanxn−1 = a1 + 2a2x + 3a3x
2 + . . .
y ′′(x) =∞∑n=2
n(n − 1)anxn−2 = 2a2 + 6a3x + . . . .
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Substituindo na EDO, temos
∞∑n=2
n(n − 1)anxn−2 +
∞∑n=0
anxn = 0.
Reescrevendo os somatorios do lado esquerdo para que tenham a
mesma potencia de x no termo geral (isto e importante!) temos
∞∑n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn +
∞∑n=0
anxn = 0,
e colocando num so somatorio obtemos
∞∑n=0
((n + 2)(n + 1)an+2 + an
)xn = 0.
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
∞∑n=0
((n + 2)(n + 1)an+2 + an
)xn = 0.
A igualdade acima e uma igualdade de series. Comparando os
coeficientes, devemos ter
(n + 2)(n + 1)an+2 + an = 0,
para todo n ≥ 0. E agora?
n = 0 : 2a2 + a0 = 0⇒ a2 = −a02
= −a02!
n = 1 : 6a3 + a1 = 0⇒ a3 = −a16
= −a13!
n = 2 : 12a4 + a2 = 0⇒ a4 = − a212
=a024
=a04!
n = 3 : 20a5 + a3 = 0⇒ a5 = − a320
=a1
120=
a15!
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Todos os coeficientes ak com k ≥ 2 vao ficar em termos de a0 e a1.
Isto faz bastante sentido, ja que precisamos de dois coeficientes
livres para aplicar as condicoes iniciais.
Portanto, se k ≥ 1, temos
a2k =(1)k
(2k)!a0,
a2k+1 =(−1)k
(2k + 1)!a1.
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Colocando de volta na expressao de y(x) teremos que a solucao e
y(x) = a0
∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n + a1
∞∑n=0
(−1)n
(2n + 1)!x2n+1,
com a0, a1 ∈ R. Reconhece estas series? Claro!
y(x) = a0 cos(x) + a1 sen(x).
(Em particular, isto pode ser usado como definicao destas funcoes.)
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Que tal agora fazer alguns exemplos cujas solucoes nao
conhecemos a priori?
A EDO nao e homogenea, mas voces verao que nao faz muita
diferenca.
Exemplo
Resolva o PVI
y ′′(x) + x2y ′(x) + xy(x) = ex , y(0) = 1, y ′(0) = 0.
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Seja
y(x) =∞∑n=0
anxn.
Primeiro calculamos as series que vamos precisar.
y ′(x) =∞∑n=1
nanxn−1
y ′′(x) =∞∑n=2
n(n − 1)anxn−2
ex =∞∑n=0
1
n!xn
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Substituindo tudo na EDO, temos:
∞∑n=2
n(n − 1)anxn−2 + x2
∞∑n=1
nanxn−1 + x
∞∑n=0
anxn =
∞∑n=0
1
n!xn
que e equivalente a
∞∑n=2
n(n − 1)anxn−2 +
∞∑n=1
nanxn+1 +
∞∑n=0
anxn+1 =
∞∑n=0
1
n!xn
Precisamos arrumar as potencias dentro dos somatorios, e tambem
os ındices iniciais. Isto nao e difıcil, mas exige atencao. Um erro
aqui e fatal. Vamos levar tudo para potencia n. Para uniformizar
assim, podera ser necessario tirarmos alguns termos de dentro do
somatorio.
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
faca n′ = n − 2 :∞∑n=2
n(n − 1)anxn−2 =
∞∑n=0
(n + 2)(n + 1)an+2xn
faca n′ = n − 1 :∞∑n=1
nanxn+1 =
∞∑n=2
(n − 1)an−1xn
faca n′ = n − 1 :∞∑n=0
anxn+1 =
∞∑n=1
an−1xn
Assim a EDO fica
∞∑n=0
(n+2)(n+1)an+2xn+
∞∑n=2
(n−1)an−1xn+
∞∑n=1
an−1xn =
∞∑n=0
1
n!xn
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Vamos comecar todos os somatorios em 2.(2a2 + 6a3x +
∞∑n=2
(n + 2)(n + 1)an+2xn
)+
∞∑n=2
(n − 1)an−1xn +
(a0x +
∞∑n=2
an−1xn
)=
1 + x +∞∑n=2
1
n!xn
Reagrupando:
2a2 − 1 + (a0 + 6a3 − 1)x+
∞∑n=2
((n + 2)(n + 1)an+2 + (n − 1)an−1 + an−1 −
1
n!
)xn = 0
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Igualando todos os coeficientes a zero:
2a2 − 1 = 0,
a0 + 6a3 − 1 = 0,
(n + 2)(n + 1)an+2 + nan−1 −1
n!= 0, ∀n ≥ 2.
Simplificando e calculando alguns termos
a2 = 1/2,
a3 = (1− a0)/6,
a4 =1
12
(1
2!− 2a1
),
a5 =1
20
(1
3!− 3a2
)an+2 =
1
(n + 2)(n + 1)
(1
n!− nan−1
),
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Das condicoes iniciais y(0) = 1 e y ′(0) = 0 tiramos que a0 = 1 ea1 = 0. Logo
a0 = 1
a1 = 0
a2 = 1/2,
a3 = 0,
a4 =1
12
(1
2!
)=
1
24,
a5 =1
20
(1
3!− 3
2
)= − 1
15
an+2 =1
(n + 2)(n + 1)
(1
n!− nan−1
).
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Calculando mais alguns termos, obtemos os primeiros termos da
“solucao”:
y(x) = 1+x2
2+x4
24+x5
15+
x6
720− x7
210+
289x8
40320− x9
7560+
1537x10
3628800+. . .
Esta serie converge? Qual o raio de convergencia? Qual o termo
geral?
O que fizemos foi supor que existia uma solucao em serie e
encontrar o termo geral. Nem sequer provamos que de fato a serie
encontrada e convergente. Precisamos de um teorema!
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Grafico de y(x) com serie aproximada ate ordem 10.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Como obter solucao em series no Mathematica:
AsymptoticDSolveValue[{EDO, CI}, y[x], {x, ponto, grau}]
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
A definicao de ponto regular e ponto singular que demos
anteriormente e muito boa no caso em que P,Q,R sao polinomios.
Vamos aperfeicoar esta definicao para casos mais gerais.
Dada uma EDO
P(x)y ′′ + Q(x)y ′ + R(x)y = 0,
diremos que x0 e um ponto regular se as funcoes p = Q/P e
q = R/P forem analıticas em x0. Se existir um termo
nao-homogeneo S(x), suporemos tambem que f = S/P e analıtica
em x0.
Caso contrario, diremos que x0 e um ponto singular.
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Teorema (Fuchs, 1866)
Seja x0 e um ponto regular de
P(x)y ′′ + Q(x)y ′ + R(x)y = 0,
ou seja, p(x) = Q(x)/P(x) e q(x) = R(x)/P(x) sao analıticas
em x0. Entao existe uma solucao em serie da forma
y(x) =∞∑n=0
an(x − x0)n = a0y1(x) + a1y2(x),
onde a0, a1 sao constantes e y1, y2 sao series de potencias
analıticas em x0. As solucoes y1, y2 formam um conjunto fun-
damental, e o raio de convergencia de y e pelo menos igual ao
menor dos raios de convergencia das series de p e q.
Pontos regulares: y ′′(x) + p(x)y ′(x) + q(x)y(x) = 0
Agora sim, temos um teorema que garante a existencia de solucoes
em series, ao menos no caso analıtico.
ExercıcioDetermine o raio de convergencia da solucao em serie de
cos(x)y ′′ + y ′ + R(x)y = 0
em torno de x = 0, onde R(x) e um polinomio.
ExercıcioMostre que a equacao de Chebyshev
(1− x2)y ′′ − xy ′ + α2y = 0, α ∈ R,
tem solucoes polinomiais nos casos em que α = 0, 1, 2, 3.