MA3231 Analisis Real · PDF fileMA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* * Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA

MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com

Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 1 / 27

BAB 8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL

1 8.1 Kekontinuan pada Interval

2 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval

3 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval

4 8.4 Kekontinuan Seragam




















8.1 Kekontinuan pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada suatu interval buka I jika danhanya jika f kontinu di setiap titik pada I.

Secara geometris, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknyatidak terputus pada interval tersebut.

Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka



Selanjutnya, fungsi f dikatakan kontinu pada interval tutup I = [a, b]jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c ∈ (a, b), kontinu kanandi a, dan kontinu kiri di b.

Secara intuitif, f kontinu pada interval [a, b] apabila kita dapatmenggambar grafiknya dari titik (a, f(a)) ke titik (b, f(b)) tanpaharus mengangkat pena dari kertas. (Lihat Gambar 8.2.)

Walau demikian ada kasus di mana intuisi di atas tidak berlaku.



Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup



Contoh 1. Misalkan f : R→ R didefinisikan sebagai

f(x) =

{x, x ≤ 1;32, x > 1

Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1.

Namun f kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f kontinu padainterval [0, 1].

Karena f tidak kontinu kanan di c = 1, maka f tidak kontinu padainterval [1, 2].



Proposisi 2. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I. Maka, fkontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ I dan setiapε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f(x)− f(y)| < ε

untuk y ∈ I dengan |x− y| < δ.

Contoh 3. (i) Fungsi f(x) = px+ q kontinu pada sebarang intervalI.

(ii) Fungsi g(x) = |x| kontinu pada sebarang interval I.

(iii) Fungsi h(x) =√x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0,∞).



SOAL

Misalkan f : [0, 5]→ R didefinisikan sebagai

f(x) =

{2x, 0 ≤ x < 1;1, 1 ≤ x ≤ 5.

Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5].

Selidiki kekontinuan f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5].

Sketsalah grafiknya.


8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval

Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 10 yang telah dibahaspada Bab 7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawahini. Dengan kedua proposisi ini, perbendaharaan fungsi kontinumenjadi lebih banyak.

Proposisi 4. Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I danλ, µ ∈ R. Maka λf + µg dan fg kontinu pada I. Lebih jauh, jikag 6= 0, maka f

gkontinu pada I.



Contoh 5. (i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval.

(ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalamdaerah asalnya.

Sebagai contoh, f(x) = 1x

kontinu pada (0,∞).

(iii) Fungsi f(x) = x+√x kontinu pada sebarang interval

I ⊆ [0,∞), karena f1(x) = x dan f2(x) =√x kontinu pada

sebarang interval I ⊆ [0,∞).



Proposisi 6. Misalkan g : I → J kontinu pada interval I danf : J → R kontinu pada interval J . Maka f ◦ g kontinu pada I.

Contoh 7. (i) Fungsi h(x) = |1 + x| kontinu pada sebarang interval,karena f(x) = |x| dan g(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval.

(ii) Fungsi h(x) = 1−√x

1+√x

kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0,∞).



Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada suatu interval.

Jika kita mengetahui nilainya pada bilangan rasional, maka denganmenggunakan Sifat Kepadatan Bilangan Rasional, kita dapat pulamengetahui nilai f pada bilangan irasional.

SOAL

Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilanganrasional r ∈ I berlaku f(r) = r2. Buktikan bahwa f(x) = x2 untuksetiap x ∈ I.


8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval

Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yangtertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R.

Sekarang kita akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki olehfungsi kontinu pada interval kompak [a, b].

Teorema 8. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f([a, b])juga merupakan suatu interval kompak.

Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.



Teorema 9. Misalkan f kontinu pada suatu interval I. Maka daerahnilainya, yaitu f(I), juga merupakan suatu interval.

Teorema 10 (Teorema Nilai Antara). Misalkan f kontinu padasuatu interval I yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f(a)dan f(b), maka terdapat c di antara a dan b sedemikian sehinggaf(c) = u.

Catatan. Teorema 10 setara dengan Teorema 9. Oleh karena itu kitacukup membuktikan salah satu di antara mereka.



Bukti Teorema 10. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < bdan f(a) < u < f(b). Tinjau himpunan

H := {x ∈ [a, b] : f(x) < u}.

Jelas bahwa H 6= ∅ karena a ∈ H. Karena H juga terbatas, maka Hmempunyai supremum, sebutlah c = supH. Di sini a < c < b.Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f(c) = u, denganmenunjukkan bahwa tidak mungkin f(c) < u ataupun f(c) > u.

Andaikan f(c) < u. Karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0sedemikian sehingga f

(c+ δ

2

)< u (?). Jadi c+ δ

2∈ H. Ini

bertentangan dengan fakta bahwa c = supH. Sekarang andaikanf(c) > u. Sekali lagi, karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0sedemikian sehingga f(x) > u untuk c− δ < x ≤ c (?). Jadi tidakada satu pun anggota H pada interval (c− δ, c]. Ini jugabertentangan dengan fakta bahwa c = supH.



Teorema 11. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka fterbatas pada [a, b].

Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatubarisan 〈xn〉 di [a, b] sedemikian sehingga

|f(xn)| → +∞ untuk n→∞. (1)

Karena 〈xn〉 terbatas, maka menurut Teorema Bolzano–Weierstrassterdapat suatu sub-barisan 〈xnk

〉 yang konvergen ke suatu titikc ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehingga f(xnk

)→ f(c) untukk →∞. Ini bertentangan dengan (1).

Jadi mestilah f terbatas pada [a, b].



Teorema 12. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka fmencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b].

Bukti. Dari Teorema 11 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b].Misalkan v := sup f([a, b]). Konstruksi barisan 〈xn〉 di [a, b] denganf(xn)→ v untuk n→∞. Karena 〈xn〉 terbatas, terdapatsub-barisan 〈xnk

〉 yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b].

Namun kekontinuan di c mengakibatkan f(xnk)→ f(c) untuk

k →∞. Jadi mestilah v = f(c), dan ini berarti bahwa v merupakannilai maksimum. Serupa dengan itu, f juga mencapai nilaiminimumnya.



Contoh 13. Persamaan 10x7 − 13x5 − 1 = 0 mempunyai sebuahakar c ∈ (−1, 0).

Untuk menunjukkannya, misalkan f(x) = 10x7 − 13x5 − 1. Maka,f(−1) = 2 dan f(0) = −1.

Karena f kontinu pada [−1, 0] dan 0 terletak di antara f(−1) danf(0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ∈ (−1, 0)sedemikian sehingga f(c) = 0.

Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.



Contoh 14. Misalkan f : [a, b]→ [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka,terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga f(c) = c. [Bilangan cdemikian disebut sebagai titik tetap f .]

Perhatikan bahwa peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari[a, b], sehingga f(a) ≥ a dan f(b) ≤ b.

Sekarang tinjau g(x) = f(x)− x, x ∈ [a, b]. Karena f kontinu pada[a, b], maka g juga kontinu pada [a, b].

Namun g(a) = f(a)− a ≥ 0 dan g(b) = f(b)− b ≤ 0. MenurutTeorema Nilai Antara, mestilah terdapat c ∈ [a, b] sedemikiansehingga g(c) = 0. Akibatnya f(c) = c.



SOAL

Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I. Misalkan untuksetiap x ∈ I terdapat y ∈ I sedemikian sehingga

|f(y)| ≤ 1

2|f(x)|.

Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I sedemikian sehingga f(c) = 0.


8.4 Kekontinuan Seragam

Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f kontinu pada sebuahinterval I jika dan hanya jika untuk setiap x ∈ I dan setiap ε > 0terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f(x)− f(y)| < ε

untuk y ∈ I dengan |x− y| < δ.

Contoh pada halaman berikut memperlihatkan bahwa secara umumnilai δ bergantung pada ε dan x.



Contoh 16. Kita telah mengetahui bahwa f(x) = 1x

kontinu pada(0, 1].

Diberikan x ∈ (0, 1] dan ε > 0 sebarang, kita dapat memilihδ = min

{x2, εx

2

2

}sedemikian sehingga untuk y ∈ (0, 1] dengan

|x− y| < δ berlaku∣∣∣1x− 1

y

∣∣∣ = ∣∣∣x− yxy

∣∣∣ = 1

x· 1y· |x− y| < 1

x· 2x· εx

2

2= ε.

Perhatikan bahwa jika x menuju 0, maka δ akan menuju 0.



Dalam kasus tertentu, nilai δ hanya bergantung pada ε, tidak pada x.Hal ini terjadi pada, misalnya, f(x) = px+ q, x ∈ R, dengan p 6= 0.

Diberikan ε > 0, kita dapat memilih δ = ε|p| sedemikian sehingga

|f(x)− f(y)| = |p| · |x− y| < ε

untuk x, y ∈ R dengan |x− y| < δ.

Kekontinuan f(x) = px+ q dalam hal ini merupakan kekontinuan‘seragam’ pada R.



Fungsi f : I → R dikatakan kontinu seragam pada I apabila untuksetiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f(x)− f(y)| < ε

untuk x, y ∈ I dengan |x− y| < δ.

Perhatikan bahwa dalam definisi di atas x dan y muncul setelah δ,yang mengindikasikan bahwa δ tidak bergantung pada x (dan y).



Teorema 17. Fungsi f : I → R tidak kontinu seragam pada I jikadan hanya jika terdapat ε0 > 0 dan dua barisan 〈xn〉 dan 〈yn〉 di Isedemikian sehingga |xn − yn| < 1

ndan |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 untuk

setiap n ∈ N.

Bukti. Latihan.

Teorema pada halaman berikut menyatakan bahwa kekontinuan padainterval kompak merupakan kekontinuan seragam.



Teorema 18. Jika f kontinu pada [a, b], maka f kontinu seragampada [a, b].

Bukti. Andaikan f tidak kontinu seragam pada [a, b]. Maka, menurutTeorema 17, terdapat ε0 > 0 dan dua barisan 〈xn〉 dan 〈yn〉 di [a, b]sedemikian sehingga |xn − yn| < 1

ndan |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 untuk

setiap n ∈ N. Karena 〈xn〉 terbatas di [a, b], maka menurut TeoremaBolzano-Weierstrass terdapat sub-barisan 〈xnk

〉 yang konvergen,sebutlah ke c ∈ [a, b]. Karena |xn − yn| < 1

nuntuk setiap n ∈ N,

maka sub-barisan 〈ynk〉 akan konvergen ke c juga.

Selanjutnya, karena f kontinu di c, maka 〈f(xnk)〉 dan 〈f(ynk

)〉konvergen ke f(c). Akibatnya, |f(xnk

)− f(ynk)| → 0 untuk k →∞.

Ini mustahil karena |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 untuk setiap n ∈ N.



SOAL

Contoh 16 memperlihatkan bahwa fungsi f(x) = 1xtampaknya tidak

kontinu seragam pada (0, 1].

Buktikan bahwa ia memang tidak kontinu seragam pada (0, 1]dengan menggunakan Teorema 17.


Documents

MA3231 Analisis Real · PDF fileMA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* * Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA