Machines asynchrones : éléments de correction (2)VI. Démarrage et variation de vitesse

1. Introduction Au démarrage, g = 1, le courant statorique sous tension nominale est important (voir le diagramme du

cercle) et le couple de démarrage peu élevé (voir l’évolution du couple électromagnétique en fonction duglissement ou de la vitesse).

Le couple électromagnétique en fonction du glissement est donné par la relation ci­contre :

Pour faire varier la vitesse (donc le glissement), il est possible d’agir sur :• la résistance rotorique ramenée au stator : R• la pulsation ou la fréquence des courants statoriques : w ou f• la valeur efficace des tensions statoriques : Vs

• le nombre de paires de pôles : p

Cem=3 pV s

2

2 f

Rg

Rg

2

L2

2. Action sur la valeur efficace des tensions statoriques Le stator de la machine est alimenté par des tensions statoriques de valeur efficace variable et de

fréquence fixe. Les graphes ci­contre représentent l’évolution du

couple et de l’intensité pour deux valeurs efficacesdifférentes des tensions statoriques. On note V1 etV2 ces deux valeurs, elles sont liéesrespectivement à Cem1, I1 et Cem2, I2. Laquelle destensions est la plus élevée ?V 1 est plus élevée que V 2 car le couple est

plus important pour une valeur de glissementdonnée.• Repérer sur les courbes l’intensité efficace des

courants statoriques au démarrage. Quelle est la

valeur de I 2D

I 1D

?

Ces courants sont lus pour n=0Lorsque la valeur efficace des tensions statoriquesest divisée par deux alors l'intensité efficace descourants statoriques est aussi divisée par deux :

I 2D

I 1D

=0,5

• Repérer sur les courbes les couples de démarrage

et maximaux. Calculer C em2D

C em1D

et Cem2max

Cem1max

.

Ce type de démarrage est­il bien adapté si lacharge mécanique oppose un couple résistantconstant ?

Lorsque la valeur efficace des tensions statoriquesest divisée par deux alors les couples de démarrageet maximaux sont divisés par quatre :

Courbes Cem = f(n) pour deux valeurs efficaces de latension statorique

Courbes I = f(n) pour deux valeurs efficaces de latension statorique

C em2D

C em1D

=0,25 et C em2max

C em1max

=0,25

Si le couple résistant opposé par la charge est constant, le couple électromagnétique peut être trop faible pourun démarrage dans de bonnes conditions.

P1P2

• Placer sur le graphe Cem = f(n) le couple résistant de la charge mécanique si il est égal à 75% du couple dedémarrage le plus faible.

Voir le trait horizontal en vert sur la caractéristique de couple.Faire apparaître les points de fonctionnement pour chacune des valeurs efficaces des tensions statoriques.Les points de fonctionnement sont aux intersections des caractéristiques de couple avec la courbe associée aucouple résistant (ils sont notés P1 et P2).

Avantages : l’intensité de démarrage est plus faible, elle est divisée par deux si la valeur efficace des tensionsstatoriques est divisée par deux.

Inconvénients : • Le couple de démarrage est plus faible, il est divisé par quatre si la valeur efficace des tensions statoriques est

divisée par deux.• La variation de vitesse dépend de la valeur efficace des tensions statoriques mais aussi de la charge. Réalisation : auto transformateur au stator, alimentation par gradateur, démarrage étoile triangle.

3. Action sur la résistance rotorique On fait varier la résistance des enroulements rotoriques. Les graphes ci­dessous représentent l’évolution du couple et de l’intensité pour deux valeurs de la résistance du

rotor. On note Rh1 et Rh2 ces deux valeurs, elles sont liées respectivement à Cem1, I1 et Cem2, I2. Laquelle desrésistances est la plus élevée ?

La résistance Rh2 est plus grande que Rh1.

Courbes Cem = f(n) pour deux valeurs de la résistancerotorique.

Courbes I = f(n) pour deux valeurs de la résistancerotorique.

• Repérer sur les courbes les couples de démarrage et maximaux. D’après les résultats du paragraphe IV.2,indiquer la courbe correspondant à la résistance rotorique la plus élevée.

Les couples de démarrage sont lus pour une vitesse nulle. Le couple de démarrage augmente avec la résistancerotorique, on retrouve que la résistance Rh2 est la plus grande.

• Repérer sur les courbes l’intensité efficace des courants statoriques au démarrage. Comment évolue­t­elle si larésistance rotorique augmente ?

Les intensités efficaces de démarrage sont lues pour une vitesse nulle. Si la résistance rotorique augmente alorsl'intensité efficace diminue.• Placer sur le graphe Cem = f(n) le couple résistant de la charge mécanique si il est égal à 75% du couple de

démarrage le plus faible. Faire apparaître les points de fonctionnement pour chacune des valeurs de résistancesrotoriques.

Voir le trait horizontal en vert sur la caractéristique de couple. Avantages : Comme prévu au paragraphe IV.2 la valeur maximale du couple ne dépend pas de la valeur de la

résistance.

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Inconvénients :• Les résistances génèrent des pertes par effet Joule ce qui pénalise le rendement.• La variation de vitesse, comme pour la variation de la valeur efficace des tensions statoriques, dépend de la

charge. À noter qu’elle n’est pas possible avec les rotors à cage.

Réalisation :• Pour un rotor bobiné, des résistances sont connectées à ses bornes.• Pour les rotors à cage, il est possible d’obtenir une variation de la résistance rotorique en utilisant des doubles

cages (l’une interne, l’autre externe) ou des cages à encoches profondes.

Lors du démarrage, la fréquence des courants rotoriquesest élevée. À cause de l’effet pelliculaire (ou effet depeau), ils circulent en périphérie de la cage : celle­ciprésente donc une résistance réelle élevée. Au fur et àmesure de l’accélération, la fréquence des courantsrotoriques diminue et ils pénètrent plus profondément :la résistance réelle de la cage diminue.

Effet pelliculaire : la densité d’un courant alternatif circulant dans un conducteur est plus importante à sapériphérie qu’en son centre (la transition n’est pas brutale). L’épaisseur dans laquelle circule le courant diminuelorsque la fréquence augmente. Pour le cuivre à 50 Hz, la zone utile a une épaisseur de 9 mm.

Amélioration : l’énergie perdue au rotor par effet Joule peut être récupérée et réinjectée sur le réseau en utilisantune cascade hyposynchrone. Cette technique n'est plus utilisée pour les fonctionnements en moteur mais revientdans les génératrices hypersynchrones utilisées pour les éoliennes (machines à double alimentation).

4. Fonctionnement à V/f constante Le stator de la machine est alimenté par des tensions statoriques de valeur efficace V et de fréquence f variables :

le rapport V/f est maintenu constant. Si les impédances statoriques sont négligées, la relation de Boucherot permet d’écrire V s=2,22 N s f m soit

m=V s

2,22 N s f. Si le rapport

V s

f est maintenu constant que peut­on dire du flux maximal ?

Le graphe ci­contre représente l’évolution du coupleélectromagnétique en fonction de la vitesse pour deuxvaleurs de la fréquence des tensions statoriques. Legraphe de la page suivante représente l'évolution ducourant en fonction de la vitesse pour ces deuxmêmes valeurs. On note V1, f1 et V2, f2 ces valeurs,elles sont liées respectivement à Cem1, I1 et Cem2, I2.

• Laquelle des tensions est la plus élevée ?C'est V1 car elle correspond à une vitesse desynchronisme, donc une fréquence, plus élevée.• Repérer les couples et les intensités statoriques au

démarrage. Leurs évolutions respectives sont ellesintéressantes ?

Les couples et intensités efficaces de démarrage sont luspour une vitesse nulle. Le couple augmente lorsquel'intensité efficace de démarrage diminue ce qui estfavorable.

Courbes Cem = f(n) pour deux valeurs efficaces destensions statoriques.

• Placer sur le graphe le couple résistant de la charge mécanique s’il est égal à 75% du couple de démarrage leplus faible. Faire apparaître les points de fonctionnement. La vitesse dépend­elle de la charge mécanique ?

Voir le trait horizontal en vert sur la caractéristique de couple. La vitesse dépend faiblement de la charge

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mécanique (beaucoup moins qu'avec les méthodes précédentes)

Mise en équation pour les faibles glissements. Lecouple électromagnétique peut s’écrire :

C em=3Vs

2

s

gr

• Rappeler l’expression de g en fonction de W et Ws.

Par définition g=Ωs−Ω

Ωs

• Montrer que l’expression du coupleélectromagnétique peut s’écrire Cem=K s−

en précisant la valeur littérale de K.En remplaçant g par son expression dans la relation

Cem=3V s

2

Ωs

gr

, on obtient C em=3V s

2

Ωs

1r

Ωs−Ω

Ωs

Courbes I = f(n) pour deux valeurs efficaces destensions statoriques.

La vitesse de synchronisme est reliée à la fréquence par Ωs=2π fp

, l'expression précédente devient

Cem=3 p2 V s

2

(2 π f )2

1r(Ωs−Ω)=

3 p2

(2 π)2r(V s

f)

2

(Ωs−Ω) . On obtient la relation proposée dans l'énoncé en posant

K=3 p2

(2π)2 r(V s

f)

2

Avantages : l’intensité du courant de démarrage est limitée. Dans la zone de fonctionnement utile, les courbesCem = f(n) sont proches de la verticale, la vitesse de rotation est quasiment indépendante de la charge.

Inconvénients et améliorations :• L’onduleur est « relativement » complexe.• Pour les faibles valeurs de fréquence (donc de

tension), les impédances statoriques ne sont plusnégligeables et les courbes Cem = f(n) se déforment.Sur le graphe ci­contre, la chute de tension auxbornes de la résistance statorique n’est pasnégligeable, les courbes de couple pour les faiblesfréquences (donc les faibles vitesses) sont différentesde celles pour les fréquences élevées.

• Il n’y a pas de couple de maintien lorsque la machineest à l’arrêt.

• Pour améliorer le fonctionnement, on utilise le « Boost » pour les faibles fréquences, la compensation deglissement et les commandes vectorielles.

5. Variation du nombre de pôlesEn modifiant les connexions entre les bobines statoriques, il est possible de modifier le nombre de pôles de la machine et donc sa vitesse de synchronisme pour une fréquence d’alimentation donnée.Exemple :

En modifiant les connexions entredeux bobines constitutives d’unephase de la machine, il est possiblede passer de quatre pôles à deuxpôles

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6. Changement du sens de rotationPour inverser le sens de rotation d’un moteur asynchrone, il suffit d’inverser l’ordre des phases du système triphaséde tension qui l’alimente. S’il est connecté sur un réseau, le changement de sens est obtenu en inversant deuxphases au stator (cette inversion peut être câblée définitivement ou commandée par des contacteurs). S’il est relié àun variateur de vitesse, c’est la séquence de commande des interrupteurs de l’onduleur de sortie qui doit êtremodifiée.

Exercice 11On réalise les essais suivants pour un moteur asynchrone dont la plaque signalétique indique 230 V/ 400 V.Essai à vide : valeur efficace d’une tension simple 230 V, intensité efficace en ligne 1,6 A ; puissance absorbée 240 W.Essai en court­circuit : valeur efficace d’une tension simple 48 V, intensité efficace en ligne 3,2 A ; puissanceabsorbée 156 W.

1. Déterminer les éléments du schéma équivalent d’une phase du moteur (prendre les notations du cours).Le schéma utilisé est celui du paragraphe II.4 (page 3).• On utilise l'essai à vide pour Rf et Lm :

Puissance active Ps0=3V s

2

R f

soit Rf=3V s

2

P s0

=32302

240=661Ω

Puissance réactive : Qs0=3V s

2

Lmω soit Lm=3

V s2

Qs0ω

Comme Qs0=√Ss02 −Ps0

2 et Ss0=3V s I s0=3×230×1,6=1104 VA alors

Qs0=√11042−2402

=1077 var

Finalement Lm=3V s

2

Qs0ω=3

2302

1077×2π×50=156 mH

• On utilise l'essai en court­circuit (et rotor bloqué) pour R et LLa puissance active est consommée par Rf et R et la puissance réactive est consommée par Lm et L .Pour déterminer ce que consomme R , il faut calculer ce que consomme Rf soit

Pfcc=3V scc

2

R f

=3482

661=10 W . Finalement PR=Pscc – P fcc=156 –10=146 W

Pour déterminer ce que consomme L , il faut calculer ce que consomme Lm soit

Qmcc=3V s

2

Lm ω=3

482

0,156×2π×50=141 var . La puissance réactive au stator pour cet essai est donnée par

Qscc=√(3V scc I scc)2−Pscc

2=√(3×48×3,2)2

−1562=434 var

Finalement QL=Qscc – Qmcc=434 – 141=293 var

La puissance apparente pour le « rotor ramené au stator » est S tcc=√PR2 +QL

2=√1462+2932=327 VA . Elle

peut aussi s'écrire S tcc=3V scc I stcc ce qui donne I stcc=S tcc

3V scc

=327

3×48=2,27 A (on peut aussi utiliser un

diagramme vectoriel ou les nombres coplexes pour déterminer cette intensité efficace).

Puisque PR=3 RI stcc2 alors R=

PR

3 I stcc2 =

1463×2,272 ≈9,4 Ω

Puisque QL=3 Lω I stcc2 alors L=

QL

3ω I stcc2 =

2933×2π×50×2,272 =60,3 mH

On souhaite démarrer ce moteur entraînant un ventilateur à l’aide d’un démarrage étoile triangle.

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2. Quelle est valeur efficace nominale de la tension auxbornes d'un enroulement du stator ?

D'après l'énoncé, la valeur efficace nominale de la tensionaux bornes d'un un enroulement statorique est de 230 V.

3. Donner les valeurs efficaces des tensions simples etcomposées du réseau qui permettent ce type de démarrage.

En couplage triangle (fin du démarrage), un enroulementsupporte une tension composée qui doit donc avoir unevaleur efficace de 230 V ce qui correspond à des tensions

simples de valeur efficace 230

√3=133 V .

4. La caractéristique mécanique du moteur est donnée ci­contre pour une alimentation sous tension nominale. Enadmettant que le couple utile est proportionnel au carré de la tension d'alimentation, tracer en superposition aveccette courbe, la caractéristique mécanique pour une tension 3 plus faible.

En divisant la valeur efficace des tensions statoriques par √3 , on divise par 3 le couple électromagnétique.Voir la courbe en bleu sur le graphe ci­dessous.

5. Le ventilateur oppose un couple résistant de moment Cr = 15.10­6.n2 (n en tr/min).

a. Tracer cette caractéristique sur le graphe ci­dessus.C'est la courbe verte.b. Où se situent les points de fonctionnement en couplageétoile, en couplage triangle ?

En étoile : sur l'intersection des courbes bleue et verteEn triangle: sur l'intersection des courbes bleue et rougec. Quel est l'intérêt de ce type de démarrage ? Pourquoiest­il bien adapté à ce type de charge ?

Ce type de démarrage permet de diminuer l'intensitéefficace des courants statoriques au démarrage. Cettediminution s'accompagne d'une diminution du couple dedémarrage, il est malgré tout bien adapté dans ce cas car lecouple résistant opposé par la charge au démarrage estfaible.

Exercice 12 (Extrait BTS 2009)Cet exercice porte sur la motorisation d'un système de pompage. Le moteur d'entraînement de la pompe est unemachine asynchrone triphasée de 7,5 kW. L'ensemble moteur­pompe est immergé au fond du puits.Les caractéristiques nominales de ce moteur sont les suivantes :• puissance utile : PuN=7,5 kW

• vitesse de rotation : nN=2870 tr.min−1

• fréquence : f N=50 Hz

• tension UN=400 V

• intensité IN=17 A

• facteur de puissance cosϕN=0,84La pompe est reliée mécaniquement au moteur par un accouplement direct, si bien que les deux ont même vitessede rotation.

I. Motorisation de la pompeOn a réalisé une série de mesures sur la pompe en place dans le puits pour un niveau d'eau moyen dans le forage,qu'on supposera constant. Ces mesures ont permis de tracer :

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• la caractéristique mécanique de le pompe, c'est à dire le couple d'entraînement en fonction de la vitesse derotation. Cette courbe est donnée sur le document­réponse ci­dessous.

• Le débit de la pompe en fonction de savitesse de rotation. Cette courbe estreprésentée sur la figure ci­contre.

1. Déterminer la vitesse de synchronismenominale nS et le nombre de paires depôles p de ce moteur.

Le glissement au fonctionnement nominalétant faible, la vitesse de synchronisme nS

est égale ici à 3000 tr/min. Comme

nS=60 fp

alors p=60 fnS

=60×503000

=1

2. En déduire la valeur du glissement nominal gN .

Le glissement est donné par gN=nS−nN

nS

=3000−2870

3000=1 %

3. Calculer son rendement nominal ηN .

La puissance absorbée PaN=√3U N IN cos ϕN=√3×400×17×0,84=9893 W . D'où le rendement

ηN=PuN

PaN

=75009893

=0,758

4. Calculer son couple utile nominal T uN .

Il est donné par T uN=PuN

Ω avec Ω=

2πnN

60 la vitesse exprimée en rad/s soit

T uN=30PuN

πnN

=30×7500π×2870

=24,9 N.m

5. Rajouter sur le document réponse (page précédente) la caractéristique mécanique du moteur dont seule la partieutile sera tracée (entre le fonctionnement à vide et le fonctionnement nominal), pour une fréquence d'alimentationde 50 Hz. Cette caractéristique sera clairement nommée « C0 ».

Cette portion de caractéristique est une droite passant par les points [nS ,0] et [nN , T uN] (courbe en rouge)

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C0

C1

6. En déduire la valeur QN du débit obtenu lorsque le moteur de pompe est alimenté sous tension et fréquencenominales. Montrer alors que le débit maximum attendu de 10 m3.h­1 est envisageable.

Sur la caractéristique de couple, la vitesse de rotation est proche de 2900 tr/min. Sur la caractéristique donnant ledébit en fonction de la vitesse de rotation, une vitesse de 2900 tr/min donne un débit légèrement supérieur à 11 m3.h­1

II. Entraînement à vitesse variableLe moteur de la pompe est piloté par un variateur de vitesse ATV61.Ce variateur fonctionne selon le principe représenté sur le schéma du document réponse ci­dessous (schéma donnépar le constructeur). Il est possible de connecter une résistance de freinage entre les bornes PA et PB, non utiliséesdans notre application. La résistance CR est court­circuitée en fonctionnement normal (elle ne sert que durant lamise sous tension du variateur).Le variateur ATV61 gère la vitesse du moteur asynchrone avec une commande dite à U/f constant.

1. Sur le document réponse ci­dessus, identifier clairement les trois parties fonctionnelles suivantes du variateur :redresseur ; filtrage de la tension ; onduleur.

Voir le schéma.

2. En analysant la réversibilité de l'application, expliquer pourquoi on n'a pas utilisé ici de résistance de freinage ?La pompe ne pouvant fonctionner en dispositif entraînant (ou très brièvement si l'eau descend dans la canalisation),il n'est pas nécessaire de prévoir un transfert d'énergie de la machine asynchrone vers le filtre.

3. Lors du raccordement du moteur de pompe au variateur, est­il important de respecter l'ordre des phases ?Pourquoi ?

L'ordre des phases influe sur le sens de rotation de la machine et donc de la pompe. Si le variateur ne comporte pasde fonction de changement de sens de rotation alors il est important de respecter l'ordre des phases.

4. Le variateur permet de modifier la fréquence des tensions d'alimentation du moteur. Comment évolue alors lapartie utile de la caractéristique mécanique du moteur sachant que la commande est du type U/f constant ?

Toutes les portions de caractéristiques utiles sont des droites parallèles à celle tracée précédemment.

5. Donner n, vitesse de rotation de la pompe permettant d'obtenir le débit moyen attendu Q=7 m3. h−1 .On utilise la caractéristique donnant le débit en fonction de la vitesse de rotation : la vitesse de rotation est alorsproche de 2000 tr/min (voir point de fonctionnement avec les droites en vert).

6. Tracer sur le document réponse de la page précédente la caractéristique mécanique du moteur correspondant àQ=7 m3. h−1 , qui devra être clairement nommée « C1 ».

Voir le document réponse : cette caractéristique est parallèle à celle tracée précédemment et croise lacaractéristique de la pompe pour 2000 tr/min.

7. En déduire le couple utile T u délivré par le moteur et la fréquence f des tensions de sortie du variateur pource fonctionnement.

Le couple utile est lu à l'intersection de C1 et de la caractéristique de la pompe soit environ 7 N.m. La vitesse

de synchronisme nS1=60 f 1

p=60 f 1 est lue pour le couple nul : nS1=2050 tr/min soit f 1=34,2 Hz

8. Quel est le débit Q' obtenu pour une fréquence f' = 26,3 Hz en sortie du variateur ?

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RedresseurFiltrage de la tension Onduleur

Pour cette fréquence, la vitesse de synchronisme est n 'S=60×26,3=1578 tr/min . La caractéristique esttracée en bleu. Le point de fonctionnement permet de déterminer une vitesse d'environ 1550 tr/min qui correspondà un débit de 4 m3.h­1.

9. La commande du moteur de pompe par le variateur répond­elle, en terme de débit, aux exigences de notreinstallation ? Justifier.

Impossible de répondre à cette question à partir de cet extrait du sujet.

Exercice 13Sur la plaque signalétique d’un moteur asynchrone triphasé on lit les indications suivantes : 230 V /400V ;50 Hz ; 3,2 kW ; 1455 tr/min ; cos j = 0,76 ; rendement h = 0,87.

I. Généralités

1. Déterminer le nombre de pôles du stator.Le glissement étant généralement faible, la vitesse de synchronisme la plus proche de 1455 tr/min pour 50 Hz est1500 tr/min, il y a donc quatre pôles au stator.

2. Calculer la puissance électrique nominale absorbée par le moteur.

La plaque signalétique indique la puissance utile et le rendement donc ua

3,23,68

0,87

PP = = =

η kW

3. Quelle doit être la tension entre phases du réseau triphasé d’alimentation permettant de coupler ce moteur enétoile puis en triangle ?

Un enroulement statorique supporte une tension nominale de valeur efficace 230V. Pour le couplage triangle latension entre phases du réseau doit être égale à 230 V ; pour le couplage étoile la tension entre phases du réseaudoit être égale à 400 V.

4. Calculer pour chaque couplage la valeur nominale de l’intensité du courant en ligne I.Couplage étoile : 3 cosP VI= ϕ avec I et V les valeurs efficaces des intensités et des tensions pour une phase.

36807,0

3 cos 3.230.0,76

PI

V= = =

ϕ A

Couplage triangle : 3 cosP UJ= ϕ avec J et U les valeurs efficaces des intensités et des tensions pour une phase.3680

7,03 cos 3.230.0,76

PJ

U= = =

ϕ A et pour la valeur efficace des courants en ligne 3 7. 3 12,1I J= = = A.

II. Étude du moteur couplé en étoileDans la suite du problème le stator est couplé en étoile.

1. La résistance entre deux bornes du stator couplé est mesurée à chaud par la méthode voltampèremétrique ; latension mesurée est égale à U1 = 11,2 V pour une intensité débitée par l’alimentation I1 = 7,0 A.

a. Donner le schéma de principe du montage en précisant lanature des appareils de mesure et la nature de l’alimentation quel’on suppose réglable.

Voir le schéma ci­contre.b. Calculer la résistance entre bornes du stator couplé.

La résistance mesurée correspond à deux fois la résistance d’unélément du stator (faire un schéma éventuellement).

2R s=U 1

I 1

=11,2

7=1,6Ω soit Rs=0,8Ω

2. On veut déterminer expérimentalement l’ensemble des pertes dans le fer du stator et des pertes mécaniques dumoteur.a. Donner le schéma de principe de ce montage avec les appareils de mesure nécessaires. Préciser les conditionsd’essai et donner une valeur approchée de la fréquence de rotation du moteur lors de cet essai.

Il faut réaliser un essai à vide (l’arbre n’est accouplé à aucune charge) sous tension nominale. Dans ce cas, lavitesse de rotation est très proche de la vitesse de synchronisme. La puissance active est mesurée au stator (un

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wattmètre correctement branché ou méthode des deux wattmètres). Elle correspond à la somme des pertesmécaniques et dans le fer et les pertes par effet Joule au stator.

b. Faire un bilan des puissances actives mises en jeu lors de cetessai en précisant les notations utilisées.

P0 : puissance au stator,Pfer+méca : pertes dans le fer et mécaniquesPjs : pertes par effet Joule dans le stator

0 méca+fer jsP P P= +

3. Déterminer pour le point de fonctionnement nominal :a. Le glissement.

s

s

1500 14553%

1500

n ng

n

− −= = =

b. Le moment du couple utile Tu.

T u=Pu

Ω=

Pu

2πn60

=30×3,2π×1455

=21 N.m

c. On admet que la partie utile de la caractéristique mécanique Tu (n) du moteur est une droite, n étant la fréquencede rotation du moteur ; tracer cette caractéristique sur le document­ réponse ci­contre.

La droite passe par les points (1500 tr/min, 0 N.m) et (1455 tr/min, 21 N.m) ; elle apparaît en rouge sur la figure ci­dessus.

III. Variation de vitesseCe moteur est utilisé pour entraîner une charge qui impose un couple résistant de moment Tr = 14 N.m constant

1. Il est alimenté par un réseau triphasé 400 V, 50 Hz ; déterminer la fréquence de rotation n1 du groupe.La droite horizontale correspondant à Tr = 14 N.m est tracée sur le graphe (en bleu), le point de fonctionnementcorrespond à l’intersection des deux droites. Graphiquement n1 = 1470 tr/min.

2. On veut faire varier la vitesse de ce moteur tout en gardant constant le rapport Uf

(U est la valeur efficace

d’une tension et f la fréquence de la tension d’alimentation).a. Avec quel dispositif peut­on réaliser cette variation de vitesse ?

Variateur de vitesse disposant d’un onduleur triphasé comme étage de sortie.b. On veut entraîner la machine à la fréquence de rotation n2 = 1 170 tr /min :

• Tracer la nouvelle caractéristique mécanique du moteur sachant que les parties utiles des caractéristiques pourdifférentes valeurs de f restent parallèles entre elles.

C’est une droite passant par le point (1170 tr/min, 14 N.m) et parallèle à la précédente (en vert sur le graphique).• Déterminer la nouvelle vitesse de synchronisme.Elle est lue sur l’axe des abscisses : ns2 = 1200 tr/min.• Déterminer la nouvelle fréquence f de la tension d’alimentation du moteur.

La vitesse de synchronisme et la pulsation et/ou la fréquence sont reliées par s

2 f

p p

ω πΩ = = et s

2

60

nπΩ = ce qui

donne f =p.ns

60=

2×120060

=40 Hz .

Exercice 14 (Extrait BTS 2012)Cet exercice porte sur le dimensionnement de la motorisation d'une centrifugeuse, utilisée dans le processus defabrication de sucre à partir de betteraves, en vue d'améliorer la productivité.

I. Contraintes dues au nouveau cycle de centrifugationLe document ci­dessous représente le cycle de centrifugation avant modification, le document réponse de la page24 représente dans sa partie haute le nouveau cycle de centrifugation. On se propose de construire dans cette partiele profil du moment du couple imposé par le nouveau cycle de fonctionnement.

Machines asynchrones Page 10 TS2 ET 2014­2015

1. Phases 2, 4et 6Rien n'étant modifié pour ces phases, reporter sur le document réponse de la page 24 la valeur du moment ducouple.On lit sur le graphe ci­dessus 340 N.m pour chacune de ces phases.Pour les questions suivantes, on rappelle le principe fondamental de la dynamique pour les systèmes en rotation :

Cmot=J .d Ω

dt+C res où Cmot et Cres sont respectivement le moment du couple moteur imposé par la

motorisation et le moment du couple résistant opposé par la charge, J le moment d'inertie de l'ensemble deséléments en rotation et W la vitesse angulaire de rotation (exprimée en rad.s­1).

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Document réponse

2. Déduire de la valeur du moment du couple pour les phases 2, 4 et 6 la valeur de Cres .La vitesse étant constante pendant ces phases, les couples résistant et moteur sont égaux, on en déduit queCres=340 N.m

3. Phase 1

Le moment d'inertie du tambour est donné par la relation J tam=M tam Rtam2 avec M tam la masse du tambour

et Rtam le rayon du tambour (données numériques du tambour : diamètre de 1,6 m (erreur de frappe dans ledocument initial) et masse de 1250 kg).a. Calculer J tam en donnant explicitement son unité légale.

Le moment d'inertie s'exprime en kg.m2 et est égal à J tam=1250×(1,62

)2

=800 kg.m2

b. Calculer dΩ

dt lors de la phase 1.

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La vitesse passe de 60 à 220 tr/min soit de 2π60

60=6,3 rad/s à

2 π22060

=23 rad/s en 5 secondes ce qui

donne dΩ

dt=

23−6,35

=3,34 rad/s2

c. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de 3020 N.m.

On utilise la relation Cmot=J .d Ω

dt+C res qui donne Cmot=800×3,34+340=3012 N.m qui est proche de

la valeur proposée.

4. Phase 3

Durant la phase 2, on a introduit 1750 kg de « masse cuite » de masse volumique ρmc=1450 kg.m−3 dans letambour. Compte tenu de la rotation, cette masse va se « coller » sur la périphérie du tambour modifiant le momentd'inertie de l'ensemble. Sa valeur devient J ' tam=1530 USI (unité du système international) en fin deremplissage).On fait l'hypothèse simplificatrice que la valeur du moment d'inertie (1530 USI) ne varie pas durant la phase 3 (enréalité, elle diminue car le jus commence à être éliminé lors de la montée en vitesse).

a. Calculer dΩ

dt lors de la phase 3.

La vitesse passe de 220 à 980 tr/min soit de 2 π220

60=23 rad/s à

2 π98060

=103 rad/s en 30 secondes ce

qui donne dΩ

dt=

103−2330

=2,67 rad/s2

b. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de 4400 N.m.

On utilise de nouveau la relation Cmot=J .d Ω

dt+C res qui donne Cmot=1530×2,67+340=4425 N.m qui

est proche de la valeur proposée.

5. Phase 5À la fin de la phase de centrifugation, le jus a été extrait et le moment d'inertie est donc modifié. Sa valeur devientJ ' 'tam=1270 USI .

a. Calculer dΩ

dt lors de la phase 5.

La vitesse passe de 980 à 60 tr/min soit de 103 rad/s à 6,3 rad/s en 30 secondes ce qui donnedΩ

dt=

6,3−10330

=−3,22 rad/s2

b. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de ­3740 N.m.

On utilise encore la relation Cmot=J .d Ω

dt+C res qui donne Cmot=1270×(−3,22)+340=−3749 N.m qui

est proche de la valeur proposée.

6. Détermination des modes de fonctionnement moteur ou générateura. Dessiner sur le document réponse de la page 24 le profil du moment du couple mécanique Cmot à fournir parla motorisation sur tout le cycle de centrifugation.

Les valeurs précédemment déterminées (ou proposées dans l'énoncé) sont reportées sur le graphique.b. Compléter le document réponse de la page 24 en hachurant les cases correspondant à un mode defonctionnement moteur (M) ou générateur (G) de la machine d'entraînement.

La machine fonctionne en moteur lorsque le couple et la vitesse de rotation sont de même signe et en génératricelorsqu'ils sont de signes contraires.

II. Choix d'un nouveau variateurLes caractéristiques du moteur sont les suivantes :PuN = 315 kW ; UN = 400 V ; IN = 580 A ; cos jN = 0,82 ; nN = 741 tr.min­1 ; hN = 0,96 ; fN = 50 HzLe variateur de vitesse et le moteur ont la particularité de pouvoir absorber une surcharge de 50 % pendant unedurée de 60 s. Il existe plusieurs versions de ce variateur : 1 quadrant, 2 quadrants et 4 quadrants.

Machines asynchrones Page 13 TS2 ET 2014­2015

1. Calculer le moment du couple nominal du nouveau moteur proposé.

Ce couple est donné par CuN=PuN

ΩN

avec ΩN=2 π741

60=77,6 rad/s soit CuN=

315.103

77,6=4060 N.m

2. Préciser la version du variateur que l'entreprise doit commander pour remplir le cahier des charges.Le sens de rotation ne change pas mais la machine peut fonctionner en moteur ou génératrice, le variateur doit êtreun deux quadrants.

3. Tenue en surcharge du moto­variateura. À partir du document réponse page 24, relever le moment du couple maximum nécessaire à l'entraînement de lacentrifugeuse.

Ce couple est lu sur le graphique et égal à 4400 N.m.b. Exprimer alors en % la surcharge en couple moteur.

Le rapport du couple maximal sur le couple nominal est de 44004060

=108 % , la surcharge en couple moteur est

donc de 8 %.c. Justifier le choix du couple moteur – variateur en termes de surcharge et de durée de la surcharge.

Le variateur supporte 50 % de surcharge pendant 60 s et la durée de la phase 3 est de 30 s à 8 % de surcharge, lechoix est donc valide.d. Sur quelles grandeurs physiques appliquées au moteur le variateur agit­il pour permettre la rotation à980 tr.min­1 ?

Pour atteindre cette vitesse, le variateur agit sur la fréquence des tensions statoriques et simultanément sur la valeurefficace de ces tensions statoriques pour maintenir le rapport V/f constant.

4. Réversibilité du moto­variateurOn propose ci­dessous une structure classique de moto­variateur.

a. Cette structure permet­elle la réversibilité mécanique nécessaire ? Justifier la réponse.Cela dépend de la capacité du condensateur assurant le filtrage et de l'énergie « fournie » par la MAS lorsqu'ellefonctionne en génératrice.Si l'énergie est trop grande par rapport à la capacité du condensateur, il y a risque de destruction de celui­ci.b. Si la réponse est négative, proposer une solution.

Pour assurer la réversibilité si l'énergie est trop importante pour le condensateur, il faut placer une résistance ensérie avec un interrupteur en parallèle avec le condensateur (voir le schéma page 15 de l'exercice 10).

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Exercice 15Un moteur asynchrone triphasé 220 V / 380 V, 50 Hz a un stator à 4 pôles couplé en étoile et un rotor à cage. Sousalimentation nominale, on a obtenu :• à vide, un courant de ligne d’intensité 6 A.• à charge nominale, un courant de ligne d’intensité 19,4 A, une puissance absorbée de 11 kW et une fréquence de

rotation de 1440 tr/min.Dans tout le problème, on néglige les résistances et inductances de fuite statoriques, les pertes fer et les pertesmécaniques.

I. Étude de la machine alimentée par un réseau fixeLa machine asynchrone est alimentée sous 220 V / 380 V, 50 Hz.

1. Déterminer pour le fonctionnement à charge nominale :• le glissement g.

Il est donné par g=ns– n

ns

et ns=60 fp

=60×50

2=1500 tr/min donc g=

1500 –14401500

=4 %

• la puissance réactive absorbée.Elle peut être calculée par Q=√ S2−P2 et S=√3V I=√3×380×19,4=12,8 kVA ce qui donne

Q=√12,82−112

=6,54 kvarDonner le schéma de branchement des deux wattmètres permettant de mesurer la puissance active P et la puissanceréactive Q absorbées.Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaiVide/machineAsynchrone

Calculer• le moment du couple nominal Cn.Avec les hypothèses (pertes négligées sauf par effet Joule au rotor), il est

donné par Cn=Pa

ΩS

et ΩS=2π ns

60 ce qui donne

Cn=30P a

πnS

=30×11000π×1500

=70 N.m l

• les pertes rotoriques par effet Joule.Elles sont calculées par P jr=g Ptr et Ptr=Pa avec les hypothèses (pertes négligées sauf par effet Joule aurotor) : P jr=0,04×11000=440 W

2. Montrer que les éléments du schéma équivalent par phase donné ci­contre ont pour valeurs :L = 117 mH ; l = 9,4 mH ; r = 0,5 WVoir la méthode dans les exercices 2, 3, 11, …

3. Montrer que le moment C du couple de la machine peut s’écrire : C=6V 2

rg

rg

2

l 2

La puissance transmise au rotor s'écrit Ptr=3rg

I t2 avec

I t=V

√(rg)

2

+(lω)2 la valeur efficace du courant

rotorique ramené au stator ce qui donne Ptr=3

rg

V 2

(rg)

2

+(lω)2 .

Le couple est donné par C=P tr

ΩS

et ΩS=ωp=ω

2 donc C=2 Ptrω

.

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En remplaçant Ptr par son expression trouvée précédemment : C=2×3

rg

V 2

(rg)

2

+(lω)2

1ω

En arrangeant cette dernière expression, on obtient : C=6V 2

ω

rg

(rg)

2

+(lω)2

Remarque : dans un sujet plus récent, les intermédiaires de calcul seraient demandés (démonstration « balisée »).

4. Pour quelle valeur de glissement gmax le moment du couple est­il maximal ? Donner la valeur de ce maximumCmax et la fréquence de rotation correspondante en tr/min.

En multipliant le numérateur et le dénominateur de l'expression précédente par g , elle devient

C=6V 2

ωr

r2

g+g (lω)

2 . Cette expression est maximale lorsque le dénominateur r2

g+g(lω)

2 est minimale

c'est à dire lorsque r2

g=g (lω)

2 qui donne gmax=rlω

=0,5

9,4 .10−3×2π×50

=0,169 .

La valeur du couple maximal Cmax=6V 2

ωr

r 2 lωr

+rlω

(lω)2=

6V 2

ω1

2 lω

Cmax=6×2202

2π×501

2×9,4 .10−3×2π×50

=156 N.m pour n=(1−g)ns=(1−0,169)1500=1246 tr/min

Remarque : dans un sujet plus récent, les intermédiaires de calcul seraient demandés (démonstration « balisée »).

5. Tracer l’allure du graphe donnant le moment du couple C en fonction de la fréquence de rotation de 0 à3000 tr/min. Préciser le type de fonctionnement suivant la fréquence de rotation.

Entre 0 et ns=1500 tr/min : la machine fonctionne en moteur ; entre ns et 2ns , la machine fonctionneen génératrice hypersynchrone.

II. Étude du moteur alimenté à fréquence variable et V/f = constante

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MoteurGénératrice

La tension simple V et sa fréquence f restent dans un rapport constant Vf=k=4,4 volts / Hertz jusqu’à

l’alimentation nominale de la machine. On suppose la machine non saturée : la valeur de L est indépendante de lafréquence.

1. Montrer que l’expression du moment du couple C peut alors s’écrire C=A

1r

g l

glr

. Donner la valeur

numérique de A.

On reprend l'expression C=6V 2

ω

rg

(rg)

2

+(lω)2

. En multipliant par gr

au numérateur et dénominateur, on

obtient C=6V 2

ω1

(rg)+

gr(lω)

2

En factorisant lω au dénominateur, on obtient : C=6V 2

ω1

lω[(r

g lω)+

g lωr

]

Et finalement : C=6V 2

lω2

1r

glω+

g lωr

=6V 2

l(2 π f )2

1r

g lω+

g lωr

Comme Vf

est une constante alors A=6V 2

l(2π f )2 est une constante.

A=6

9,4 .10−3(2π)

24,42

=313 SI

2. La valeur maximale du moment du couple dépend­elle de la fréquence d’alimentation ?

Le couple est maximal si r

g l ω+

g lωr

est minimal c'est à dire si r

g l ω=

glωr

qui donne de nouveau

g=r

lω. Le terme

rg l ω

+g lω

r devient alors

l ωr

rlω

+r

l ωlωr

=2 et le couple maximal a pour expression

C=2 A , elle ne dépend pas de la fréquence d'alimentation.

3. En régime permanent stable, pour un moment C du couple fixé, on montre que la quantité gw reste constantequand la fréquence f varie.

Si Ns est la fréquence de synchronisme, N la fréquence de rotation, exprimer N=N s−N . Quelle est lapropriété de N quand f varie à couple fixé ?

Le glissement est donné par la relation g=N s−N

N s

soit g=Δ NN s

. En remplaçant N s par son expression en

fonction de la fréquence f des tensions statoriques, soit N s=60 f

p, on obtient g=

p60 f

ΔN .

L'expression de N : Δ N=60 f g

p=

60 ω2 π

g

p=

602π p

gω qui est une constante car la quantité gw reste

constantePréciser les valeurs de N pour les couples Cn et Cmax.Pour le couple Cn : Δ N=1500−1440=60 tr/minPour le couple Cmax : Δ N=1500−1246=254 tr/min4. Dans un tableau, donner les valeurs numériques de la fréquence de rotation N en tr/min pour les trois valeurs10 Hz, 30 Hz et 50 Hz de la fréquence et correspondant à des fonctionnements :• à vide

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• à couple nominal Cn

• à couple maximal Cmax.

À vide les vitesses sont égales à celles de synchronisme calculées par N s=60 f

pPour le couple nominal, on retranche 60 tr/min à la vitesse de synchronisme. Pour le couple maximal, on retranche254 tr/min à la vitesse de synchronisme.

10 Hz 30 Hz 50 Hz

à vide 300 tr/min 900 tr/min 1500 tr/min

à couple nominal Cn 240 tr/min 840 tr/min 1440 tr/min

à couple maximal Cmax. 46 tr/min 646 tr/min 1246 tr/min

5. Tracer pour les trois fréquences précédentes l’allure du réseau de caractéristiques C(N) en le limitant au cas dufonctionnement stable en moteur. Dans la suite du problème on se limitera à ce cas.

Les trois caractéristiques sont des segments de droites parallèles passant par les points précédemment déterminés.

6. Déterminer la fréquence minimale pour obtenir un couple de démarrage au moins égal au couple nominal Cn.Pour déterminer cette fréquence, on trace la droite parallèle aux trois autres droites précédemment tracées et passantpar Cn pour n = 0 tr/min. La valeur de la vitesse pour le couple nul est égale à la vitesse de synchronisme c'est à dire60 tr/min. On en déduit que la fréquence doit être égale à 2 Hz.

7. Le moteur entraîne une charge mécanique qui lui oppose un couple résistant de moment constantCr = 40 N.m. Déterminer la fréquence de rotation du groupe en régime permanent pour une alimentation àfréquence 30 Hz (On pourra effectuer des approximations en les justifiant).

On peut déterminer cette vitesse en traçant la droite horizontale correspondant à 40 N.m et en prenant la vitesse aupoint d'intersection avec la caractéristique tracée à 30 Hz.

8. En faisant apparaître les impédances sur le schéma équivalent par phase, établir sans calcul une propriétéremarquable de la valeur efficace I du courant en ligne lorsque la fréquence d’alimentation du moteur asynchronevarie alors que le moment du couple résistant reste constant (On posera V = Kw et on utilisera la linéarité deséquations de l’électricité).

Sur le schéma proposé dans l'énoncé, on divise les impédancespar ω et on remplace V par K : on obtient le schémaéquivalent ci­contre.Tous les modules des grandeurs sont des constantes (K, l, L, r etgw sont des constantes), ile en est de même du module ducourant : la valeur efficace du courant en ligne est constantelorsque la fréquence d'alimentation varie à couple constant.

Question compliquée …

Exercice 161. Un moteur à deux pôles tourne à 2850 tr/min lorsqu’il est connecté à un réseau de fréquence 50 Hz. Calculer leglissement.

La vitesse de synchronisme est égale à 3000 tr/min ce qui donne g=3000 –2850

3000=5 %

2. Pour changer le sens de rotation, deux phases sont inversées alors que le moteur tourne. En supposant que lavitesse est inchangée pendant l’inversion, calculer le nouveau glissement.

La vitesse de synchronisme devient alors égale à ­3000 tr/min et le glissement g=−3000– 2850

−3000=195 %

Quel est alors le mode de fonctionnement de la machine ? Le couple est­il important ? L’intensité efficace descourants statoriques est­elle importante ?La machine fonctionne en génératrice frein. Le couple est résistant et relativement faible (freinage peu efficace)alors que l'intensité efficace des courants statoriques est élevée.

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