Budapesti Műszaki EgyetemHidak és Szerkezetek Tanszéke

Varga Gézaegyetemi tanársegéd

Jegyzeta

Magasépítési acélszerkezetekc. tárgy gyakorlataihoz

„v2”

Az első változat a TEMPUS S_JEP 12116-97 projekt támogatásával készült.Projektvezető: dr. Iványi Miklós egyetemi tanár

Budapest, 2002.

Tartalom

Előszó a „v2” kiadáshozBevezetés

1. Alapfogalmak és alapelvek1.1 A parciális biztonsági tényezős méretezési eljárás1.2 A biztonsági tényezők tartalma1.3 Határállapotok1.4 Az egyes mennyiségek reprezentatív értékei1.5 Tervezési állapotok1.6 Teheresetek és teherkombinációk. A teheroldal szorzótényezőinek számértéke1.7 Az ellenállásoldallal kapcsolatos általános tudnivalók

2. Keresztmetszetek ellenállása2.1 Húzott keresztmetszetek2.2 Nyírt keresztmetszetek2.3 A keresztmetszetek osztályozása2.4 A 4. keresztmetszeti osztály hatékony (effektív, dolgozó) keresztmetszeti jellemzői2.5 A Winter-képlet elméleti háttere2.6 A nyomott keresztmetszetek ellenállása2.7 A hajlított keresztmetszetek ellenállása2.8 Hajlítás és nyírás2.9 Hajlítás és normálerő2.10 Hajlítás, nyírás és normálerő2.11 Keresztirányú erők hatása

3. Stabilitási vizsgálatok3.1 Alapfogalmak3.2 Nyomott rudak kihajlási ellenállása3.3 Hajlított gerendák kifordulási ellenállása3.4 A kihajlás és a hajlítás/kifordulás kölcsönhatása3.5 Gerinclemezek nyírási horpadási ellenállása3.6 Közvetlenül terhelt gerinclemezek stabilitási vizsgálatai

4. Statikusan terhelt kapcsolatok méretezése4A Hegesztési varratok méretezése

4A.1 Varratgeometria4A.2 Első méretezési módszer (az EC3 6. fejezete szerint)4A.3 Második méretezési módszer (az EC3 M melléklete szerint, sarokvarratokra)

4B Egyszerű csavarozott kötések méretezése4B.1 A csavarozott kötések osztályai4B.2 Geometria4B.3 Nem feszített csavarok ellenállása4B.4 Súrlódásos feszített csavarok ellenállása

5. Magasépítési acél keretszerkezetek számításának elvei5.1. Keretek osztályozása: kilengő és nem kilengő keretek5.2. Keretek osztályozása: merevített és merevítetlen keretek5.3. Keretek osztályozása: egyszerű, folytatólagos és részlegesen folytatólagos keretek5.4. Keretek számítása: az igénybevétel-számítás módja5.5. Imperfekciók5.6. Keretek nyomatékbíró kapcsolatai: mechanikai jellemzők és osztályozás

6. A képlékenységtan alkalmazása magasépítési acél keretszerkezetekre6.1. Ismétlés: a képlékeny lemezelmélet6.2. Elméleti alapok6.3. Keretek ellenőrzése képlékeny alapon6.4. A képlékeny elvek alkalmazási feltételei acélszerkezeteknél

v2:B-1

Előszó a „v2” kiadáshoz

A jegyzet újabb változatának elkészítése során figyelembe vettem az EC3 alapkötetéhez készült magyar nemzetialkalmazási dokumentum tartalmát, így a dokumentum állásfoglalását egyes értelmezési kérdésekben, továbbá abiztonsági tényezők elfogadott szorzótényezőinek értékét.

Az Olvasó bizonyára tisztában van azzal, hogy talán a legfontosabb változás a magyar nemzeti alkalmazásidokumentumban a γM0 tényező értékének 1,0-ban való rögzítése, amely – megfelelve az európai trendnek –előrelépésként értékelhető a szabvány eredeti szövegében található 1,1-es ajánlott értékhez képest.

Meg kell itt még említeni azt a körülményt is, hogy a jegyzet 1999-es első változatának megírása óta mind azEurocode-program, mind az Eurocode szabványok magyarországi bevezetése jócskán előrehaladt.

Magyarországon mind az EC3, mind az EC1 ENV változatának valamennyi részét bevezették; más kérdés, hogya CEN-csatlakozás jegyében meglehetős sietséggel, a kevésbé fontosnak ítélt részeket fordítás nélkül, úgy, hogyaz angol eredeti számít idehaza is hivatalos szövegnek. A módszer a mérnöktársadalom jelentős részében –véleményem szerint indokoltan – averziót váltott ki. Bár nyilvánvaló, hogy az angol nyelven való bevezetésegyes, kevésbé elterjedten használatos esetekben indokolt lehet, nehéz elhinni, hogy például az EC3 valamennyikötete (az 1.1. rész kivételével) ebbe a kategóriába esne.1 Ehhez képest szerencsésnek is tekinthető, hogy azEC1-ben viszont csak két kötetnek, a rendkívüli hatásokkal foglalkozó 2.7. résznek és a daruk és gépiberendezések okozta hatásokat tárgyaló 5. résznek jutott ez a sors.

Európai szinten megindult az úgynevezett „konverziós folyamat”, amelynek során az Eurocode szabványsorozatvalamennyi részét átdolgozzák, és kiadják a most már véglegesnek tekinthető EN-változatot. Ennek jelentőségetöbbek között az, hogy az EN-változattal egyidejűleg más nemzeti szabványok hasonló tárgykörben nemlehetnek hatályban, ami azt jelenti, hogy az EN-változat egyes országokban való bevezetésekor az azonostárgykört szabályozó szabványokat, illetőleg előírásokat hatályon kívül kell helyezni.

Az Eurocode 3 esetében ez az átdolgozás átstrukturálást is jelent, amelynek legfőbb célpontja az e jegyzet általtárgyalt 1.1. kötet. Az átstrukturálás során egyrészt szétválasztják az általános szabályokat és az épületekrevonatkozó különös szabályokat, és ez utóbbiakat egy külön részbe (a 3. részbe) helyezik. Továbbá egyesáltalános szabályokat is kiemelnek, így különösen a kapcsolatokkal foglalkozó fejezetek és mellékletek, afáradást tárgyaló fejezet és anyagkiválasztást ismertető melléklet külön részbe kerül. Az átstrukturáláseredményeképpen a következő új felállás alakul ki:

EN 1993-1-1 Általános szabályokEN 1993-1-2 Tervezés tűzhatásraEN 1993-1-3 Hidegen alakított vékonyfalú szelvények és profillemezekEN 1993-1-4 Rozsdamentes acélEN 1993-1-5 Keresztirányban nem terhelt lemezes szerkezetekEN 1993-1-6 Héjak teherbírása és stabilitásaEN 1993-1-7 Keresztirányban terhelt lemezes szerkezetekEN 1993-1-8 KapcsolatokEN 1993-1-9 FáradásEN 1993-1-10 AnyagkiválasztásEN 1993-1-11 Nagy szilárdságú kábelekEN 1993-2 AcélhidakEN 1993-3 ÉpületekEN 1993-4-1 SilókEN 1993-4-2 TartályokEN 1993-4-3 CsővezetékekEN 1993-5 CölöpökEN 1993-6 Darut alátámasztó szerkezetekEN 1993-7-1 Tornyok és távközlési tornyokEN 1993-7-2 Kémények

1 Jó hír azonban, hogy az 1.1. rész mindkét módosítása megjelent magyar nyelven is.

v2:B-2

Talán ennél is fontosabb azonban, hogy az átdolgozás során tartalmi jellegű változtatásokra is sor kerül. Eváltoztatások alapját az ENV-időszak (tulajdonképpen kísérleti időszak) során felmerülő észrevételek, ahasználat során felmerült és a nemzeti szabványügyi testületeken keresztül az illetékes európai bizottságokhozeljuttatott javaslatok, megjegyzések képezik. Az EC3 1.1. részében is több ilyen módosítás várható: többekközött átstrukturálják az ellenállás-oldali biztonsági tényezők rendszerét, a 4. osztályú keresztmetszetekellenállásának meghatározásában és a stabilitásvizsgálatokban figyelembe veszik az elmúlt időszak kutatásieredményeit.

E változtatásokat ez a jegyzet nem tárgyalja, abból kiindulva, hogy egyetemi jegyzetet írni a hatályos szövegértelmezése alapján célszerű. A fent említett módosítások egy része túl van már ugyan a szakmai egyeztetésen,azonban a formális szavazás, a háromnyelvű EN-szabvány kiadása, legvégül pedig a magyarországi honosításmég igényel némi időt (legalább egy-két évet), amely idő alatt továbbra is az ENV-változat tekintendőhatályosnak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a tárgy oktatása során a jövőben – részletesebben vagy kevésbérészletesen – ne tárgyalnánk az újabb eredményeket is.

* * *

A jegyzet előző változatába óhatatlanul néhány sajtóhiba is becsúszott, mint ahogy biztos vagyok benne, hogy eza változat sem tökéletes. A sajtóhibák felderítéséért ezúton mondok köszönetet a tárgy oktatásában – korábbanvagy jelenleg is – részt vevő valamennyi kollégámnak. Bízom benne, hogy a téma iránt érdeklődők haszonnalfogják forgatni ezt a változatot is.

A szerző

Budapest, 2002. szeptember 17.

v2:B-3

Bevezetés

Ez a jegyzet a Magasépítési acélszerkezetek című tárgy gyakorlataihoz kíván segítséget nyújtani azáltal, hogyismerteti az Eurocode 3 szabvány egyes előírásait, és gyakorlati példákat is mutat a leglényegesebbalkalmazásokra.

A Magasépítési acélszerkezetek tárgyat felvevő hallgatók elvileg már megtanulták annak alapjait, hogyan kellacélszerkezeteket méretezni; ennek megfelelően ez a jegyzet már épít az Acélszerkezetek I. és II. tárgyakbólmegtanultakra. Bizonyos helyeken rámutatunk a két méretezési szabvány közötti különbségre is, más helyekenelvárjuk, hogy az összehasonlítást az olvasó tegye meg.

A magyar mérnöki gyakorlat ma az acélszerkezetek méretezésére az MSZ 15024 jelű magyar szabványtalkalmazza, amelynek legfrissebb változata az 1980-as évek közepén készült, tehát mintegy tizenöt éves. Aszabványok a készítésük után bizonyos idő elteltével elavulttá válnak, és kisebb-nagyobb továbbfejlesztésükválik szükségessé. Az MSZ 15020-as sorozat (Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése stb.)esetében ez az időszak mintegy tíz-tizenöt év (a jelenlegit megelőző változat a hetvenes évek első felében kerültkiadásra). Ez azt jelenti, hogy a szabvány megújítása e sorok írásakor már időszerű volna; ilyen irányú munkaazonban nem folyik. Mielőtt rámutatnánk arra, miért nem, talán érdemes sorra venni, mi is az oka annak, hogy améretezési szabványok egy idő után elavulttá válnak:

1. a méretezéselmélettel és egyes konkrét méretezési problémákkal kapcsolatos tudásunk fejlődése-gyarapodása;

2. a gazdasági környezet változása (aminek következtében változik a gazdaságos szerkezetről alkotott képünk);3. az építési technológiák fejlődése (amely új feladatokat határoz meg, és esetleg régieket elavulttá tesz);4. a számítási technológiák fejlődése (amely meglévő feladatok újszerű megfogalmazását teszi lehetővé).

Ezek a tényezők természetesen, sok más hatással együtt (például a környezetvédelmi, esztétikai stb. jellegűigények változása) komplex rendszert alkotnak, amelyben az egyes elemek egymással is kölcsönhatásban vannak(a gazdasági környezet változása hat az építési technológiák fejlődésére, a számítási technológiák fejlődése hat atudásbázisunkra stb.).

Ami pedig a magyar méretezési szabványok továbbfejlesztése elakadásának legfőbb okait illeti, azok sem aszűkebben vett építőmérnöki szakmán belül keresendők, hanem azon kívül: az egységes (vagy legalábbis annakelképzelt) európai szabályozás gondolatával, konkrétabban pedig az egységes európai mérnöki méretezésielőírások, az ún. tartószerkezeti Eurocode szabványok (angolul Structural Eurocodes) megjelenésével függnekössze. Az elképzelések szerint ezek a szabványok Európa valamennyi csatlakozó államában (egészen pontosanaz Európai Szabványügyi Bizottság, a CEN teljes jogú tagállamaiban) teljes mértékben fel fogják váltani anemzeti szabványokat. (Mivel pedig Magyarország, mely jelenleg társult tag a CEN-ben, előbb-utóbb teljes jogútaggá válik, a magyar szabványoknak is várhatóan ez lesz a sorsuk.)

Ez a szabványsorozat (az Eurocode-ok, röviden EC-k) jelenleg nagyobb részt kísérleti stádiumban (ún. európaielőszabványként), kisebb részt kidolgozás alatt van; magyarországi bevezetése folyamatosan, bár meglehetősenvontatottan halad.

Az Eurocode sorozat a következő kilenc szabványt jelenti, amelyek mindegyike több-kevesebb részből tevődikössze:

ENV 1991 Eurocode 1: A tervezés alapjai és a tartószerkezeteket érő hatásokENV 1992 Eurocode 2: Betonszerkezetek (értsd: vasbeton szerkezetek) tervezéseENV 1993 Eurocode 3: Acélszerkezetek tervezéseENV 1994 Eurocode 4: Betonnal együttdolgozó acélszerkezetek (értsd: öszvérszerkezetek) tervezéseENV 1995 Eurocode 5: Faszerkezetek tervezéseENV 1996 Eurocode 6: Falazott szerkezetek tervezéseENV 1997 Eurocode 7: Geotechnikai tervezésENV 1998 Eurocode 8: Tartószerkezetek tervezése földrengésreENV 1999 Eurocode 9: Alumíniumszerkezetek tervezése

Az egyes szabványrészek legkevesebb (de a gyakorlatban inkább több, mint) három év próbaidő eltelte, majd aközben felmerült módosítási javaslatok mérlegelése és átvezetése után európai szabvánnyá válnak (amit anevükben szereplő ENV jelzésből az ideiglenes jellegre utaló „V” betű elhagyása jelez); ezek az egyes

v2:B-4

tagállamokban már csak úgy vezethetők be, ha az ütköző nemzeti szabványokat egyúttal megfelelőenmódosítják, illetőleg hatályon kívül helyezik.

Magasépítési acélszerkezetek ügyében az EC1 és EC3 szabványok érdekesek, az előbbi a teherszabvány, azutóbbi pedig a tulajdonképpeni méretezési szabvány.

Az EC1 a következő részekből áll:

ENV 1991-1 A tervezés alapjai* (MSZ ENV 1991-1:1998)ENV 1991-2-1 Sűrűségek, önsúly és hasznos terhek**ENV 1991-2-2 Tűzteher**ENV 1991-2-3 Hóteher**ENV 1991-2-4 Szélhatások**ENV 1991-2-5 Hőmérsékleti terhekENV 1991-2-6 Kivitelezési terhek és alakváltozásokENV 1991-2-7 Rendkívüli hatásokENV 1991-3 Hidak forgalmi terhei**ENV 1991-4 Silók és tartályok terhei**ENV 1991-5 Daruk és gépi berendezések okozta terhek

Az EC3 részei a következők:

ENV 1993-1-1 Általános és az épületekre vonatkozó szabályok* (MSZ ENV 1993-1-1:1995)ENV 1993-1-2 Tervezés tűzhatásraENV 1993-1-3 Hidegen alakított vékonyfalú szelvények és profillemezekENV 1993-1-4 Rozsdamentes acélENV 1993-1-5 Keresztirányban nem terhelt lemezes szerkezetekENV 1993-1-6 Héjak teherbírása és stabilitásaENV 1993-1-7 Keresztirányban terhelt lemezes szerkezetekENV 1993-2 AcélhidakENV 1993-3-1 Tornyok és távközlési tornyokENV 1993-3-2 KéményekENV 1993-4-1 SilókENV 1993-4-2 TartályokENV 1993-4-3 CsővezetékekENV 1993-5 CölöpökENV 1993-6 Darut alátámasztó szerkezetek

A fenti felsorolásban *-gal jelölt részeknek már megjelent a magyar megfelelője; a **-gal jelölt részekhonosítása e sorok írásakor már folyik. Megjegyzendő, hogy az ENV 1993-1-1 szabványnak megjelent két,A1-gyel és A2-vel jelölt módosítása, amelyek közül az A1 jelű honosítása jelenleg folyik. Ezek tartalma:

A1 módosítás:D melléklet: S420 és S460 anyagminőségekK melléklet: Zárt szelvényű rácsos tartók kapcsolatai (újabb változat)

A2 módosítás:G melléklet: CsavarásH melléklet: Épületek tartószerkezeteinek modellezéseJ melléklet: Magasépítési keretszerkezetek kapcsolatai (újabb változat)N melléklet: Kivágott gerinclemezekZ melléklet: A tervezési ellenállás meghatározása kísérleti úton

Budapest, 1999. szeptember

v2:1-1

1. Alapfogalmak és alapelvek

1.1 A parciális biztonsági tényezős méretezési eljárás

Az Eurocode szabványsorozat valamennyi része, így az acélszerkezetekkel foglalkozó Eurocode 3 is, a parciálisbiztonsági tényezős méretezési eljáráson alapul. A parciális tényezős méretezési eljárás formailag megegyezik azMSZ 15024-ben is alkalmazott osztott biztonsági tényezős méretezési eljárással, tehát egy ún. félvalószínűségimódszer (ezt a fogalmat korábbi tanulmányainkból már ismerjük, ld. pl. a Halász–Platthy-könyv 220. oldalán).

Hogy mégis más neve van, az elsősorban annak köszönhető, hogy az Eurocode 3 szabvány magyar nyelvűváltozatának elkészítéséért felelős bizottság úgy gondolta, hogy célszerű új fogalmat bevezetni annakkihangsúlyozására, hogy a módszer csak formailag egyezik az MSZ osztott biztonsági tényezős módszerével,tartalmilag nem. Az MSZ elnevezése a maga méretezési eljárására egyébként rendkívül találó: az osztottbiztonsági tényezős eljárás tudniillik lényegében úgy jött létre, hogy a korábbi, egységes biztonsági tényezősméretezési eljárás egységes biztonsági tényezőjét mintegy „felosztották”, azt a szempontot tartva elsősorbanszem előtt, hogy mindazok a szerkezetek, amelyeket a régi (egységes biztonsági tényezős) eljárással terveztek,az új (osztott biztonsági tényezős) eljárással is megfeleljenek.

A parciális eljárást, illetőleg az eljárás lényegét alkotó szabályokat és szorzótényezőket ezzel szemben –minthogy gyakorlatilag előzmény nélküli, vagy ha tetszik, sokelőzményes szabványról van szó – ténylegesen„félvalószínűségi” alapon határozták meg, a rendelkezésre álló adatok alapos statisztikai értékelésével.

A parciális biztonsági tényezős eljárás jellegzetességei (ezek majd mindegyike igaz az MSZ osztott biztonságitényezős eljárására is) a következők:• az egyes ellenőrzések alkalmával mind a bal oldalon (azaz a „teheroldalon”), mind a jobb oldalon (azaz az

„ellenállásoldalon”) találunk biztonsági tényezőket• ezek a biztonsági tényezők aszerint, hogy milyen terhekről, illetőleg ellenállásról van szó, különböző

értékeket vehetnek fel és egymással is kombinálódhatnak• az ellenőrzések mindig ún. határállapotokban vannak értelmezve (aszerint, hogy mit tekintünk a szerkezet

működőképessége határának), amelyeket különböző tervezési állapotokban (a szerkezet élettartamánakkülönböző szakaszaiban) tekintünk

• a számításokban szereplő egyes mennyiségek valószínűségi változókként vannak definiálva, amelyeketeloszlásfüggvényük jellegzetes pontjai szerint különböző ún. reprezentatív értékek írnak le (másmennyiségek – általában, de nem mindig, a geometriai jellemzők – ezzel szemben névleges, vagyis a tervbenelőírt értékükkel szerepelnek)

A továbbiakban ebben a fejezetben részint avval foglalkozunk, hogy az előzőekben már részben említettfogalmakat pontosítsuk és szerepüket megmagyarázzuk, részben pedig avval, hogy a biztonsági koncepcióhozközvetlenül kapcsolódó számítási-technikai kérdésekben (elsősorban a terhekkel kapcsolatos „manipulációkról”)tájékoztatást adjunk.

1.2 A biztonsági tényezők tartalma

Az erőtani tervezés során általában a valamilyen módon megtervezett tartón különböző ellenőrzéseket hajtunkvégre. Az ellenőrzés mindig olyan jellegű, hogy egy mennyiségről ki kell mutatni, hogy nem halad meg egymásik mennyiséget. Az egyenlőtlenséget mindig így írjuk fel:

bal oldal ≤ jobb oldal

vagy másképpen, tekintettel arra, hogy a bal oldal elsősorban (de persze nem kizárólag) a szerkezetre működőterhektől, míg a jobb oldal elsősorban (de megint csak nem kizárólag) a szerkezet sajátosságaitól függ:

teheroldal ≤ ellenállásoldal

A Magyar Szabvány szerinti ellenőrzések során megszokhattuk, hogy a teheroldalon az esetek többségébenáltalában valamilyen mértékadó feszültséget számolunk ki, és ezt valamilyen határfeszültséghez hasonlítjukhozzá. Tehát mind az egyenlet jobb oldalán, mind pedig a bal oldalán feszültség jellegű mennyiség van.

v2:1-2

Az Eurocode-ban ezzel szemben általában a bal oldalon valamiféle igénybevétel (normálerő, hajlítónyomatékstb.), a jobb oldalon pedig ezzel az igénybevétellel szembeni ellenállás szerepel (melynek dimenziójatermészetesen megegyezik a bal oldalon álló mennyiség dimenziójával).

A különbség látszólag csupán formai. Arról van szó, hogy azt a műveletet, amelynek során az igénybevételekbőlfeszültségeket számolunk, az MSZ szerint a bal oldalon kell elvégezni, az Eurocode szerint pedig a jobb oldalon,mintegy „visszafelé”.

A látszólag formai különbség azonban rögtön tartalmivá válik, ha meggondoljuk, hogy minden művelet, amelyetaz erőtani számítás során végzünk, így természetesen a feszültségek számítása is, bizonytalanságokat rejtmagában. Éppen ezeket a bizonytalanságokat tartalmazzák a biztonsági tényezők – ezek közül is elsősorban akövetkező ötöt:1. a tehermodell bizonytalanságait, tehát azt a bizonytalanságot, amely abban rejlik, hogy hogyan vesszük fel a

szerkezetre működő terheket2. a globális analízis (más szóval a számítási modell) bizonytalanságait, tehát annak a modellnek a

bizonytalanságait, amelynek alapján a terhekből igénybevételeket számítunk (megtámasztások modellezése,anyagmodell stb.)

3. a keresztmetszeti modell bizonytalanságai – annak bizonytalanságai, hogyan számolunk azigénybevételekből mértékadó feszültségeket

4. a törési modell bizonytalanságai, tehát annak a módszernek a bizonytalanságai, ahogyan az ismertnekfeltételezett anyagjellemzőkből (elsősorban az anyag szilárdági jellemzőiből) meghatározzuk egykeresztmetszet ellenállását

5. az anyagjellemzőknek, elsősorban az anyag szilárdsági jellemzőinek (folyáshatár, szakítószilárdság)bizonytalanságai

Biztonsági tényezőt azonban alapvetően csak kétfélét alkalmazunk: egyiket a teheroldalon, a másikat pedig azellenállásoldalon. Ebből logikusan következik, hogy a fent felsorolt ötféle bizonytalanságot e két tényezőbe kellsűríteni, ami azt jelenti, hogy várhatóan mindkettő többféle bizonytalanság eredőjét fogja tartalmazni.

A Magyar Szabványban, ahol tehát a bal oldalon mértékadó feszültségek, a jobb oldalon pedig határfeszültségekszerepelnek, a teheroldal biztonsági tényezője az 1., 2. és 3., az ellenállásoldalé pedig az 5. bizonytalanságottartalmazza; ezzel szemben az Eurocode-ban, ahol a bal oldalon igénybevételek, a jobb oldalon pedig ezekkelazonos dimenziójú ellenállások szerepelnek, a teheroldal az 1. és 2., az ellenállásoldal pedig a 4. és 5.bizonytalanságokat foglalja magában. (Megjegyzendő, hogy a 3. és a 4. bizonytalanságot egyszerre nyilván nemkell figyelembe venni, hiszen lényegében ugyanarról van szó.)

Az előzőekből világos, hogy annak, hogy a teher- és ellenállásoldalon a két szabványban más-más jellegűmennyiség található, az a következménye, hogy az egyes biztonsági tényezők tartalma a két szabványban más ésmás. Egyéb más okok mellett ezért sem lehet azt mondani, hogy két, egyébként azonos szerepű biztonságitényező (pl. az állandó teher biztonsági tényezője) közötti különbség a két szabvány által nyújtott nagyobb vagykisebb biztonságra utalna.

1.3 Határállapotok

A parciális biztonsági tényezős méretezési eljárás egyik fontos eleme, hogy a méretezéskor mindig különbözőhatárállapotokat kell vizsgálni, és ezek mindegyikében ki kell mutatni a szerkezet megfelelőségét.Határállapotnak nevezünk minden olyan állapotot, amelyen túl a szerkezet nem alkalmas azoknak a terheknek aviselésére, amelyek az adott határállapothoz tartoznak.

A határállapot fogalmával és fajtáival korábbi tanulmányainkban már foglalkoztunk (részletesebben lásd aHalász–Platthy-könyv 234–252. oldalán). Csupán ismétlésképpen érdemes sorra venni az egyes határállapot-fajtákat és ezek egymáshoz való viszonyát:

v2:1-3

Teherbírási határállapotok (thá)Szilárdsági határállapotok

Első folyásKorlátozatlan folyásKorlátozott maradó alakváltozásBeállás (halmozódó maradó alakváltozás)Képlékeny törés

Stabilitási határállapotokKihajlásKifordulásLemezhorpadás

Fáradási határállapotHelyzeti állékonysági határállapotok

Felborulás, elcsúszás, felúszásRideg törési határállapot stb.

Használhatósági határállapotok (hhá)Kapcsolódó nem tartószerkezeti elemek tönkremeneteleLehajlásokRezgések(Beton repedésével kapcsolatos határállapotok)

Mint az előzőekből látható, a határállapotoknak alapvetően két típusa létezik: teherbírási és használhatóságihatárállapotok. A kettő között az a lényeges különbség, hogy az első a tartószerkezetnek valamiféletönkremenetelével, a második pedig annak használatra való alkalmasságával (esztétikai, üzemi, emberikomfortérzettel kapcsolatos stb.) függ össze.

A kétféle határállapot-típusban elvégzett vizsgálatok általában különböző teherszintek mellett történnek, errőlrészletesen az 1.6. szakaszban lesz szó. Annyit azért előrebocsátunk, hogy az EC szerinti méretezésnél is igaz aza tétel, amit az MSZ kapcsán már megtanultunk, hogy a használhatósági határállapotokat egy alacsonyabb (tehátgyakrabban előforduló) teherszint mellett kell vizsgálni (a Magyar Szabványban ezt a két teherszintet a terhekalapértékével, illetőleg szélső értékével képzett kombinációk képezték).

Megjegyezzük, hogy ezen a felosztáson kívül a határállapotok másféle felosztása is elképzelhető. Aföldrengéssel foglalkozó korszerű szabványok (így az Eurocode 8 is) a két típus helyett hármat definiálnak: ateherbírási és a használhatósági határállapot mellett bevezetnek egy ún. károsodási határállapotot is, amelynekvizsgálatához olyan teherszintet kell felvenni, amely a használhatósági és a teherbírási határállapothoz tartozóteherszint között van. Földrengés esetén ez azt jelenti, hogy a gyakoribb, kis erősségű földrengésekre ahasználhatósági, a kevésbé gyakori, közepes erősségű földrengésekre a károsodási, a nagy erősségű, ritkábbföldrengésekre a teherbírási határállapot túl nem lépését kell igazolni. Ebben a károsodási határállapotbanmegengedett a tartószerkezeti elemek oly mértékű károsodása, amely még nem okozza a tartószerkezet teljesegészének tönkremenetelét, illetőleg amely kevéssé veszélyes az épületben tartózkodók testi épségeszempontjából.

1.4 Az egyes mennyiségek reprezentatív értékei

Mint már az előzőekben láttuk, a számításainkban szereplő egyes mennyiségek legnagyobb része valószínűségiváltozó, ami azt jelenti, hogy nem egy meghatározott értékkel rendelkeznek, hanem viselkedésük valószínűségisűrűségfüggvényekkel írható le. Különböző mennyiségek esetén ennek más-más oka van, például• az anyagjellemzők értéke bizonytalan, és esetleg helyről helyre változhat azonos névleges érték mellett is

(például az S235 anyagú, de különböző helyről származó elemek tényleges anyagjellemzői várhatóankülönbözők lesznek)

• a terhek értéke a szerkezet élettartama során változik, és előre nem ismert, de még a lehetségeslegkedvezőtlenebb értéküket sem lehet előre megmondani (különösen meteorológiai jellegű, az emberitevékenységtől független terhek esetén).

Terhek esetén az is gondot okoz, hogy a különböző jellegű terhek legkedvezőtlenebb esetei elvileg ugyanegybeeshetnek, ennek azonban kisebb a valószínűsége, mint az egyes teherféleségek maximumának külön-külön.

v2:1-4

A félvalószínűségi méretezési eljárásoknak az a közös jellemzőjük – és ez természetesen az Eurocode parciálisbiztonsági tényezős eljárására is igaz –, hogy egyrészt tudomásul veszik azokat a tényeket, amelyeket azelőzőekben az egyes mennyiségek valószínűségi változókként való működéséről elmondtunk, ugyanakkorazonban, az egyszerűség kedvéért, nem veszik igénybe a valószínűség-elmélet teljes eszköztárát, hanem aproblémát megkísérlik visszavezetni a determinisztikus megközelítésmódra.

Ennek eszköze, hogy kiragadják a sűrűségfüggvény egyes jellemző értékeit, és ezeket a továbbiakbangyakorlatilag determinisztikus értékként kezelik. Ezek a kiragadott értékek az ún. reprezentatív (az idegen szókb. jellemzőt jelent) értékek.

A legfontosabb reprezentatív érték az úgynevezett karakterisztikus érték, amelyre az összes többi reprezentatívértéket visszavezetjük. A karakterisztikus érték szerepét tekintve megegyezik az MSZ szerinti alapértékkel, ésjele az indexbe tett k betű. A karakterisztikus értéket a sűrűségfüggvény adott kvantilisével definiáljuk. (Lásd az1-1a ábrát. A kvantilis szó valószínűség-elméleti fogalom. Például agy valószínűségi változó 5%-os – vagy0,05-ös – kvantilise az az érték, amelyhez az eloszlásfüggvény 5% (0,05) értéke tartozik – ami asűrűségfüggvényben a kvantilistól balra eső ábrarész területét jelenti.)

A karakterisztikus érték elvileg lehet felső vagy alsó, attól függően, hogy az előírt kvantilis 0-hoz vagy 1-hez(100%-hoz) van-e közelebb. Terhek esetén nyilván általában (de nem mindig) a felső, ellenállások eseténáltalában az alsó karakterisztikus értékkel számolunk (1-1b ábra).

A karakterisztikus értékből származtatjuk a következő leglényegesebb reprezentatív értéket, az ún. tervezésiértéket. A tervezési érték a karakterisztikus értékből alsó karakterisztikus érték esetén biztonsági tényezővel valóosztás, felső karakterisztikus érték esetén biztonsági tényezővel való szorzás révén számítható (a biztonságitényező mindig 1-nél nagyobb szám). A tervezési érték definíció szerint ugyancsak a valószínűségi változóvalamely, a karakterisztikus értékhez képest szigorúbb kvantiliseként van definiálva. A tervezési értéket ateherbírási határállapotok vizsgálatánál alkalmazzuk.

Az esetleges terheknek a karakterisztikus érték és a tervezési érték mellett további reprezentatív értékei vannak,amelyeket az 1-1. táblázat foglal össze. A táblázat jelöléseit és az ott előforduló alapfogalmakat részletesebbenaz 1.6. szakaszban fogjuk megmagyarázni.

Reprezentatív érték Számítás FelhasználásKombinációs érték a teherbírásihatárállapothoz kQ Q⋅γ⋅ψ0 Teherbírási határállapot, nem kiemelt esetleges teher

Kombinációs érték ahasználhatósági határállapothoz kQ⋅ψ0

Használhatósági határállapot, ritka kombináció, nemkiemelt esetleges teher

Gyakori érték kQ⋅ψ1Használhatósági határállapot, gyakori kombináció,kiemelt esetleges teher

Kvázitartós érték kQ⋅ψ2

Használhatósági határállapot, gyakori kombináció, nemkiemelt esetleges teher;használhatósági határállapot, kváziállandó kombináció,valamennyi esetleges teher

1-1. táblázat: Esetleges terhek további reprezentatív értékei (a karakterisztikus érték és a tervezésiérték mellett). Jelölések:

kQ – az esetleges teher karakterisztikus értéke

Qγ – az esetleges teher biztonsági tényezője (ajánlott értéke 1,50)

0ψ – kombinációs tényező (értéke teherféleségenként eltérő, ld. az 1.6. szakaszt)

1ψ , 2ψ – név nélküli tényezők (értékük teherféleségenként eltérő, ld. az 1.6. szakaszt)Megjegyezzük, hogy egyes terheknek (például hidak forgalmi terhei) egy ún. növelt gyakori értékét

is szokás definiálni, amely egy 1ψ′ értékkel való szorzással nyerhető.

v2:1-5

1-1. ábra: A karakterisztikus érték mint a valószínűségi változó kvantilisa:(a) az n%-os kvantilis értelmezése; (b) a felső és az alsó karakterisztikus érték.

1.5 Tervezési állapotok

Az egyes határállapotokban az Eurocode felfogása szerint a szerkezet élettartama alatt bekövetkező különbözőhelyzeteket, az úgynevezett tervezési állapotokat kell vizsgálni. A szabvány a tervezési állapotok háromcsoportját különbözteti meg:• tartós állapotok;• ideiglenes állapotok;• rendkívüli állapotok.

A tartós állapotok a szerkezet üzemszerű körülményeit jelentik, vagyis azt az állapotot, amelyre a szerkezetettulajdonképpen készítjük. Ezek képezik a szerkezet élettartamának jelentős részét.

Az ideiglenes állapotok a szerkezet olyan állapotai, amelyek a szerkezet élettartamának csak egy rövidszakaszában érvényesülnek – ugyanakkor ezek az állapotok „rendes”, „tervezett” állapotok, amelyek a szerkezetüzemszerű működése szempontjából nélkülözhetetlenek. Ilyenek például a különböző építés és karbantartásközbeni állapotok.

A rendkívüli állapotok valamilyen rendkívüli helyzetet jelentenek, amely nem kapcsolódik a szerkezet „rendes”üzeméhez, de elkerülhetetlen – ide tartoznak a természeti csapások következtében előálló helyzetek (pl. orkánerejű szél, árvíz), közlekedési balesetek (pl. járműütközés, vonat kisiklása) stb.

1.6 Teheresetek és teherkombinációk. A teheroldal szorzótényezőinek számértéke

Az egyes tervezési állapotokban az egyes határállapotok vizsgálatát általában más-más terhekre és a terhek más-más reprezentatív értékének figyelembevételével kell elvégezni. Ezzel kapcsolatban két alapvető fogalmat kellelőször megismernünk: a tehereset és a teherkombináció fogalmát.

Teheresetnek azon terhek összességét nevezzük, amelyeket egy adott vizsgálat során együttesen működőnek kellfeltételeznünk. A tehereset tehát egy felsorolás, amely különböző fajtájú terheket tartalmaz.

Teherkombinációnak nevezzük az egy adott teheresetben szereplő terhek együttes figyelembevételének leírását.A teherkombináció tehát egyrészt tartalmazza a teheresetet (azaz a terhek felsorolását), másrészt pedig azokat aszabályokat, amelyek megmondják, hogyan kell az egyes terhek következményeit együttesen figyelembe venni.(Teher következménye alatt igénybevételeket, alakváltozásokat, elmozdulásokat, feszültségeket, reakcióerőketstb. értünk.)

v2:1-6

A teherkombinációk megadásakor az egyes terheken két műveletet értelmezünk: az összeadást és a számmalvaló szorzást. Az összeadás azt jelenti, hogy „vedd a két teher együttesének következményét” (amely csak éskizárólag elsőrendű rugalmas, tehát lineáris számítás esetén egyezik meg a két teher következményénekösszegével); a számmal való szorzás pedig azt, hogy „vedd az adott teher adott számszorosánakkövetkezményeit”. Az ily módon definiált összeadást a továbbiakban felső idézőjelek közé tett összeadásjellel(”+”) jelöljük.

Az Eurocode, amikor terhekről beszél, általában nem „terheket”, hanem „hatásokat” mond – a két fogalomazonban gyakorlatilag ugyanazt jelenti. A hatásokat különböző jelzőkkel szokás illetni:

• a hatások lehetnek állandó, esetleges és rendkívüli hatások; ezek nem új fogalmak – állandó hatás (jelölése:G) például az önsúly, esetleges hatás (jelölése: Q) a hasznos teher vagy a meteorológiai teher, rendkívülihatás (jelölése: A) pedig például egy vonat kisiklásából származó erő;

• a hatások lehetnek rögzített és nem rögzített hatások annak megfelelően, hogy irányuk és nagyságuk aszerkezet élettartalma alatt változik-e vagy sem; rögzített hatás például az önsúlyteher, nem rögzített hatáspedig például a darupályatartóra ható daruteher;

• a hatások lehetnek statikusak, kvázistatikusak és dinamikusak – a kvázistatikus hatás olyan dinamikus hatástjelent, amely a számításokban statikus hatásként vehető figyelembe (például egy dinamikus növelő tényezőbevezetésével);

• a hatások lehetnek közvetlenek (erő formájában megjelenő hatások), és lehetnek közvetettek (támaszsüllyedés,hőmérséklet-változás stb. – ezek tipikusan kényszerelmozdulások vagy kényszer-alakváltozások formájábanjelennek meg).

A következőkben áttekintjük a legfontosabb szabályokat, amelyek a teherkombinációk képzésére vonatkoznak,kezdve a legfontosabb és legáltalánosabb esettel, a teherbírási határállapot és a tartós és ideiglenes tervezésiállapotok esetével. Ezután az egyes tényezők számértékét vesszük sorra.

(a) Teherbírási határállapot, tartós és ideiglenes tervezési állapot

Ebben az esetben a figyelembe veendő teherkombináció a következő képlettel írható le:

kjQjj

jkQi

kiGi QQG γψ+γ+γ ∑∑≠1

,011 """" .

Az első látásra szokatlannak tűnő képlet gyakorlatilag a Magyar Szabványban is megszokott megközelítésmódottartalmazza: vegyük az állandó terhek karakterisztikus értékének ( kiG ) biztonsági tényezővel ( Giγ ) szorzottértékét, ezeket adjuk össze; vegyünk egy „kiemelt” esetleges terhet ( 1kQ ) és szorozzuk be a biztonságitényezővel ( 1Qγ ); vegyük az összes többi esetleges terhet ( kjQ ), szorozzuk be a biztonsági tényezővel ( Qiγ ) és

az ún. kombinációs (a magyar szabvány szerinti egyidejűségi) tényezővel ( j,0ψ ), és ezeket adjuk össze; majd ehárom tagnak is vegyük az összegét (együttes hatását).

Az 1.4. pontban a terhek reprezentatív értékeiről tanultak alapján azt is mondhattuk volna, hogy ateherkombináció a következő reprezentatív értékek együtteséből áll:• az állandó terhek tervezési értéke;• egy kiemelt esetleges teher tervezési értéke;• a többi esetleges tehernek a teherbírási határállapothoz tartozó kombinációs értéke.

Az egyes γ biztonsági tényezők ajánlott értékét az 1-2. táblázat foglalja össze a vizsgálat jellegénekfüggvényében. A j,0ψ értékei teherféleségenként eltérőek (1-nél kisebb számok) – erről a (d) pontban lesz szó.

Megjegyzendő, hogy ezek az értékek ún. keretes értékek, ami azt jelenti, hogy az Eurocode szabványok európai(angol, francia és német nyelvű) szövegei ezeket tartalmazzák; nemzeti szinten a nemzeti kiadás megjelenésekora tagállamok (a nemzeti alkalmazási dokumentumban) megerősíthetik vagy módosíthatják ezeket az értékeket.Ugyanakkor ezeket az értékeket az EC3 magyar nemzeti alkalmazási dokumentuma kivétel nélkül átvette, tehátezek az értékek a Magyarországon épülő valamennyi tartószerkezetre érvényesek.

v2:1-7

Szokványos magasépítési szerkezetek acélszerkezeteinek vizsgálata esetén az előző módszerrel szembenkövethetünk egy könnyebben átlátható eljárást is, amelynek során a figyelembe veendő teherkombináció:

11"" kQi

kiGi QG γ+γ∑ vagy kjQjji

kiGi QG γ+γ ∑∑≥1

9,0""

Az első esetben csak egyetlen kiemelt terhet veszünk; a második esetben pedig nincs kitüntetett, kiemelt teher,hanem minden terhet egyformán csökkentünk egy 0,9-es tényezővel (ez a 0ψ érték helyett van, amelynek értékeáltalában jóval kisebb 0,9-nél). A két lehetőség közül azt kell tekinteni, amely kedvezőtlenebb következménytszolgáltat.

Ez utóbbi eljárás előnye, hogy nem kell ismerni a kombinációs tényezők értékét; ez annyiban jelent könnyítést,hogy (az 1-6B. példához hasonlóan) minden különösebb gondolkodás nélkül megállapítható, mely teherféleségetkell kiemelt teherként kezelni. Hátránya viszont, hogy általában nagyobb (kedvezőtlenebb) eredményt szolgáltat.

1-6A. példa. Egy acél keretszerkezet gerendájában, egy adott keresztmetszetben ébredőhajlítónyomatéki igénybevételt ellenőrizzük. Az egyes teherféleségekből a következő nyomatékokébrednek:önsúly: kNm 33, =kGMhasznos teher („A” kategóriájú födém): kNm 133, =kQiM

hóteher: kNm 43, =kQsM

szélteher: kNm 73, ±=kQwM .Az általános eljárás szerint a következő teherkombinációkat kell vizsgálni:

kiemelt teher a hasznos teher: kNm 45,348735,16,0435,16,01335,13335,1 =⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅kiemelt teher a szélteher: kNm 4,311435,16,01135,17,0735,13335,1 =⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅

tehát mértékadó a 348,45 kNm.

1-6B. példa: Vizsgáljuk meg az előző példát a magasépítési szerkezetekre adott egyszerűsítetteljárás szerint. Ekkor:

csak egy teher (nyilván a legnagyobbat vesszük): kNm 05,2441335,13335,1 =⋅+⋅valamennyi teher: kNm 7,380)734313333(35,1 =+++⋅ (vegyük észre, hogy 35,15,19,0 =⋅ !)

Tehát a mértékadó igénybevétel: 380,7 kNm.

Megjegyzés mindkét előző példához: Mint az 5. fejezetben látni fogjuk, minden magasépítésikeretszerkezet esetén figyelembe kell venni egy képzelt erőt, az ún. imperfekciós erőt. Ezt itt mimost ebben a két példában elhagytuk.

Vizsgálat

Hatás Általánosállékonyság

(pl. felborulás)

Az acél tartó-szerkezet

vizsgálatai

Altalajvizsgálatai

Állandó hatás, ha kedvezőtlenÁllandó hatás, ha kedvezőEsetleges hatás, ha kedvezőtlenEsetleges hatás, ha kedvező

1,100,901,50

0

1,351,001,50

0

1,001,001,30

0

1-2. táblázat: A biztonsági tényezők értéke a teherbírási határállapotok vizsgálatához.A kedvező hatás azt jelenti, hogy a vizsgált határállapot kialakulását akadályozza – ilyen például egy gerenda

középső keresztmetszetének szilárdsági vizsgálata esetén a felfelé ható megoszló erő (például a tetőszerkezetbena szélszívásból). A táblázatból látható, hogy a kiemelt esetleges teher biztonsági tényezője ( 1Qγ ) megegyezik a

nem kiemelt esetleges terhek biztonsági tényezőivel. Megjegyzendő, hogy bizonyos speciális terhek esetén az acéltartószerkezet vizsgálatához a kedvezőtlen esetleges teher biztonsági tényezője 1,50 helyett 1,35 lehet (például

darupályatartón a daruteherből, acélhídon a forgalmi terhekből származó erők esetén).

v2:1-8

(b) Teherbírási határállapot, rendkívüli tervezési állapot

A rendkívüli tervezési állapot ellenőrzése általában két vizsgálat valamelyikét jelenti:• vagy van egy rendkívüli teher, amelynek megjelenése jelenti a rendkívüli állapotot (pl. vasúti hídon a vonat

kisiklásából keletkező erők)• vagy a szerkezet kerül olyan rendkívüli állapotba, amelyben kisebb terheket képes csak felvenni (például tűz

esetén a felmelegedő acél mechanikai jellemzői csökkennek, illetőleg a tűz nyomán olyan alakváltozásokkeletkeznek, hogy az így nyert új tartóalak lehűlés után sem tesz lehetővé megfelelő szintű teherviselést).

Most csak az első esettel foglalkozunk, azzal sem túl részletesen. Ilyenkor, ha a rendkívüli teher tervezési értékétdA jelöli, akkor a vizsgálandó teherkombináció:

∑∑≠

ψ+ψ++γ1

,211,1 """"""j

kjjkdi

kiGAi QQAG

ahol GAiγ az i-edik állandó teher biztonsági tényezője a rendkívüli tervezési állapotban – e tényező ajánlottértéke 1,00. A képletből látható, hogy a kiemelt esetleges teher a gyakori, a többi esetleges teher pedigkváziállandó értékével szerepel (mivel pedig például a meteorológiai terhek kváziállandó értéke általában zérus,ez azt is jelenti, hogy a meteorológiai terheket a rendkívüli tervezési állapotban általában figyelmen kívülhagyhatjuk).

(c) Használhatósági határállapot

A használhatósági határállapotok vizsgálatához az Eurocode három teherkombinációt ad meg (hidakra van mégegy negyedik, az ún. növelt gyakori kombináció is, de ezt mi most nem tárgyaljuk). A három kombinációt az 1-3. táblázat foglalja össze.

Arról, hogy a három teherkombináció közül az egyes vizsgálatok során melyiket kell használni, az egyesEurocode szabványok különbözőképpen rendelkeznek. Az acélszerkezetek kapcsán leggyakrabban előfordulóesetek a következők:• merevségi vizsgálatok (lehajlás stb.) épületekben – ritka kombináció• rezgésvizsgálatok épületekben – gyakori kombináció• öszvérszerkezetekben a beton berepedése – kváziállandó kombináció

Alkalmazandó reprezentatív értékKombináció Állandó hatás Kiemelt esetleges hatás Többi esetleges hatásRitkaGyakoriKváziállandó

karakterisztikus értékkarakterisztikus értékkarakterisztikus érték

karakterisztikus értékgyakori érték

kvázitartós érték

kombinációs érték (hhá)kvázitartós értékkvázitartós érték

Képletekkel:Ritka kombináció: ∑∑

≠

ψ++1

,01 """"j

kjjki

ki QQG

Gyakori kombináció: ∑∑≠

ψ+ψ+1

,211,1 """"j

kjjki

ki QQG

Kváziállandó kombináció: ∑∑≥

ψ+1

,2""j

kjji

ki QG

1-3. táblázat: A használhatósági határállapotok teherkombinációi

v2:1-9

(d) A ψ tényezők értéke

Néhány jellemző teher ψ tényezőinek értékét az 1-4. táblázat foglalja össze.

TényezőHatás

0ψ 1ψ 2ψFödém- és tetőteher

A kategória (lakás)B kategória (iroda)C kategória (egyéb középület)D kategória (áruház)E kategória (raktár)F kategória (könnyű járművel járt födém)G kategória (közepesen nehéz járművel járt födém)H kategória (közönséges tető)

Hóteher

Szélteher

Hőmérsékleti hatások (de nem tűz)

0,70,70,70,71,00,70,70

0,6

0,6

0,6

0,50,50,70,70,90,70,50

0,2

0,5

0,5

0,30,30,60,60,80,60,30

0

0

0

1-4. táblázat: Néhány jellemző hatás ψ tényezőinek számértéke – e tényezők segítségével számíthatóa hatások kombinációs, gyakori és kvázitartós értéke.

A megadott értékek „keretes” értékek, tehát országonként elvileg eltérhetnek.

1.7 Az ellenállásoldallal kapcsolatos általános tudnivalók

Az ellenállásoldalon szereplő mennyiségekkel, azok kiszámítási módjával és egyes módszerek elméletihátterével a következő fejezetek foglalkoznak.• A 2. fejezet témája a keresztmetszetek vizsgálata – az Eurocode megközelítésmódjában a keresztmetszet

vizsgálatai közé tartozik a hosszirányú normálfeszültségek okozta lemezhorpadás figyelembevétele is.• A 3. fejezet a stabilitásvizsgálatokkal foglalkozik: kihajlás, kifordulás, nyírófeszültségek okozta horpadás,

keresztirányú normálfeszültségek okozta instabilitási jelenségek• A 4. fejezet a csavarozott (normál és feszített csavaros), valamint a hegesztett kötések kialakítását és

ellenállásának számítását tárgyalja• Az 5. fejezet a magasépítési keretszerkezetek analízisével kapcsolatos általános fogalmakat veszi sorra

(imperfekciók, keretek osztályozása, keretek kapcsolatainak osztályozása több szempont szerint)• A 6. fejezet a képlékenységtani elvekkel, illetve ezek magasépítési acélszerkezetekre történő alkalmazásával

foglalkozik.

Ebben a részben két fontos táblázatot közlünk, amely valamennyi vizsgálatnál hasznos lehet. Az első azacélanyag jellemzőinek karakterisztikus értékét, a második az ellenállásoldalon figyelembe veendő biztonságitényezőket adja meg.

(a) Az acélanyag jellemzői

Az acélanyag szilárdsági jellemzőinek az Eurocode szerinti számítások során figyelembe veendő karakterisztikusértékeit az 1-5. táblázat tartalmazza. További lényeges anyagjellemzők:• rugalmassági modulus: E = 210000 MPa• Poisson-tényező: ν = 0,3• nyírási modulus: G = 80769 MPa• sűrűség: ρ = 8750 kg/m3

• lineáris hőtágulási együttható: α = 12⋅10–6 1/°C

v2:1-10

A csavarok anyagminőségéről a 4. fejezetben lesz szó. A jelölések megegyeznek a magyar gyakorlatban márbevett jelölésrendszerrel; például az 5.6.-os csavar jelentése: a szakítószilárdság 500 MPa, a folyáshatár pedigennek 60%-a, tehát 300 MPa. Ezek az értékek az Eurocode szerint karakterisztikus értéknek tekintendők.

Anyagjellemzők a t lemezvastagság függvényébent ≤ 40 mm 40 mm < t ≤ 100 mm*Szabvány Acélminőség

yf uf yf ufS 235 235 360 215 340S 275 275 430 255 410EN 10025S 355 355 510 335 490S 275 275 390 355 370S 355 355 490 335 470

S 420 N 420 520 390 520S 420 M 420 500 390 500S 460 N 460 550 430 550

EN 10113

S 460 M 460 530 430 530EN 10137** S 460 Q 460 550 440 550

1-5. táblázat: Anyagok szilárdsági jellemzői (MPa, karakterisztikus értékek). Megjegyzések: *az EN 10113szerinti M szállítási feltétel esetén ez a határ 63 mm; **az EN 10137 szerinti S 460 Q minőség 100 mm és

150 mm lemezvastagság között is alkalmazható; ekkor a folyáshatár 400 MPa, a szakítószilárdság 500 MPa.

(b) Az ellenállásoldal biztonsági tényezői

Az ellenállásoldal biztonsági tényezőit az 1-6. táblázat foglalja össze. Ezek jelentését részletesen az egyesvizsgálatok kapcsán, e jegyzet következő fejezeteiben tárgyaljuk.

A tényező használata Jelölés Számérték

Szilárdsági vizsgálatok (1., 2. és 3. keresztmetszeti osztály) 0Mγ 1,10*Stabilitási vizsgálatok (4. keresztmetszeti osztály, kihajlás, kifordulás) 1Mγ 1,10Képlékeny törés vizsgálata (csavarlyukkal gyengített keresztmetszet) 2Mγ 1,25Csavarok Mbγ 1,25Szegecsek Mrγ 1,25

Csapok Mpγ 1,25

Hegesztési varratok Mwγ 1,25Megcsúszásnak ellenálló kapcsolatok, thá ultMs,γ 1,25Megcsúszásnak ellenálló kapcsolatok, hhá serMs,γ 1,10Megcsúszásnak ellenálló kapcsolatok, thá, hasíték és túlméretes furat ultMs,γ 1,40

Betonacél sγ 1,15Beton, alapvető kombináció Cγ 1,50

1-6. táblázat: Az ellenállásoldal biztonsági tényezői acélszerkezetekre.A megadott értékek „keretes” értékek, tehát országonként eltérhetnek. A *-gal jelölt biztonsági tényező

a magyarországi NAD szerint 1,00; a többi értéket a magyar NAD változtatás nélkül átvette

v2:1-11

1.8 Fontosabb jelölések

E rugalmassági modulus ν Poisson-tényező

yf folyáshatár

uf szakítószilárdság

ε anyagjellemző; yf

2N/mm 235=ε

0Mγ a szilárdsági jellegű tönkremenetelhez kapcsolódó biztonsági tényező

1Mγ a stabilitási jellegű tönkremenetelhez kapcsolódó biztonsági tényező

2Mγ a képlékeny törés jellegű tönkremenetelhez kapcsolódó biztonsági tényezőh szelvény magasságab szelvény övlemezének szélessége (vagy egyéb lemez szélessége)

wt szelvény gerinclemezének vastagsága

ft szelvény övlemezének vastagsága

d I szelvény gerinclemezének sík magasságad csavar átmérője (d0: csavar furatának átmérője)r hengerelt I szelvény lekerekítési sugara az öv és a gerinc találkozásánále, p a csavarkép geometriáját leíró mennyiségek csavarozott kötések esetén (l. a 4. fejezetet)a hegesztési varrat hasznos méreteS a nyomatékkal terhelt kapcsolat elfordulási merevségeϕ a nyomatékkal terhelt kapcsolat elfordulásaϕud a nyomatékkal terhelt kapcsolat elfordulási képességeSd (indexben) – igénybevétel tervezési értéke (a terhek tervezési értékéből számítva)Rd (indexben) – ellenállás tervezési értékepl (indexben) – képlékenyel (indexben) – rugalmascr (indexben) – kritikus (részletesebben l. a 3. fejezetben)j (indexben) – kapcsolatini (indexben) – kezdeti

A keresztmetszeti méretek és tengelyek jelölését különböző keresztmetszettípusokra az 1-2. ábra mutatja.

v2:1-12

1-2. ábra: Acél keresztmetszetek különböző geometriai méreteinek és tengelyeinek szokásosjelölése az Eurocode-hoz kapcsolódó szakirodalomban (így jelen műben is). Az egyes jelölések a

megfelelő angol szavak kezdőbetűiből (height = magasság, breadth = szélesség, depth =magasság, thickness = vastagság, radius = sugár, web = gerinclemez, flange = övlemez) állnak.

Forrás: MSZ ENV 1993-1-1:1995, 30. oldal

v2:2-1

2. Keresztmetszetek ellenállása

2.1 Húzott keresztmetszetek

A húzott keresztmetszetek ellenállását általános esetben a korlátozatlan folyás határállapota határozza meg. Akorlátozatlan folyással szembeni ellenállást a következő képlet adja:

0.

M

yRdpl

fAN

γ

⋅=

ahol A a teljes keresztmetszeti területet jelöli. Amennyiben a vizsgált keresztmetszetet csavarlyukak gyengítik,meg kell vizsgálni a képlékeny törés határállapotához tartozó

2.

9,0

M

unetRdu

fAN

γ⋅

=

ellenállást is (itt netA a gyengített keresztmetszet, azaz a teljes keresztmetszetnek a csavarlyukak okozta gyengí-tés területével csökkentett értéke), és a kettő közül a kisebbik fogja adni a keresztmetszet húzási ellenállását.

2-1. példa. Az S235 anyagminőségű, 240-12 méretű laposacél elem húzási teherbírása:2cm 8,282,124 =⋅=A ;

kN 8,6760,1/5,238,28. =⋅=RdplN .Ha ezt az elemet 2 darab M16-os csavar elhelyezésére szolgáló furatok (lyukátmérő: 18 mm)gyengítik, akkor

2cm 48,242,18,128,28 =⋅⋅−=netA ;kN 5,63425,1/3648,249,0. =⋅⋅=RduN ,

tehát a gyengített keresztmetszet tönkremenetele a mértékadó, azaz a teherbírás 634,5 kN-racsökken.

Egyik szárukon kapcsolt szögacélok esetén az RduN , ellenállás attól is függ, az erőátadás irányában nézve hánycsavarsort helyezünk el. Egyetlen csavar alkalmazása esetén (ezt a kialakítást általában célszerű kerülni):

2

02.

)5,0(2

M

uRdu

ftdeN

γ⋅⋅−⋅

= ,

ahol t a szögacél kapcsolt szárának vastagsága; két vagy több csavar esetén pedig

2.

M

unetRdu

fANγ

⋅⋅β= ,

ahol két csavar esetén:

0

112,01,0dp

+=β , de 7,04,0 ≤β≤ ;

három vagy több csavar esetén pedig:

0

108,03,0dp

+=β , de 7,05,0 ≤β≤ ( 0d mm-ben).

Abban az esetben, ha egy egyenlőtlen szárú szögacélt a rövidebbik szárán kapcsolunk, netA nem vehetőnagyobbra, mint a kisebbik oldal hosszúságával megegyező szárméretű, képzelt egyenlő szárú szögacélgyengített keresztmetszeti területe. Az előző képletekben 0d a csavarlyuk átmérője (részletesebben lásd a 4.fejezetben), 2e pedig a csavar tengelyének a szögacél szélétől mért távolsága.

Abban az esetben, ha a csavarlyukak eltolt kiosztásúak (2-1. ábra), az előző képletekben szereplő netAgyengített keresztmetszeti területet az Eurocode 3 az ún. Cochrane-képlet segítségével javasolja meghatározni,amely a következőképpen használható. A 2-1. ábrán jelzetteknek megfelelően egyenes (II. típusú), illetőlegegyenes és ferde szakaszokból álló (III. típusú) szakadási vonalakat kell tekinteni. Az netA a következőképletből számítható:

AAAnet ∆−= ,ahol A a teljes keresztmetszeti terület, A∆ pedig:

v2:2-2

),max( IIIII AAA ∆∆=∆ .Ez utóbbi képletben IIA∆ a II. típusú szakadási vonalakra vonatkozó tdn ⋅⋅ 0 értékek maximuma (teháttulajdonképpen a hagyományos módon számított gyengítés – a csavarszám, a furatátmérő és a lemezvastagság

szorzata), míg IIIA∆ a III. típusú szakadási vonalakra számított ∑=

−⋅⋅k

i i

iptstdn

1

2

0 4 értékek közül a legnagyobb,

ahol k a szakadási vonalat alkotó egyenes szakaszok száma, is és ip pedig rendre az ilyen szakaszok hosszánakaz erőátadás irányában, illetve arra merőlegesen mért vetületével egyezik meg (t itt is a lemezvastagság).

2-1. ábra: A gyengített keresztmetszeti terület meghatározása eltolt kiosztású furatok esetén

2.2 Nyírt keresztmetszetek

A keresztmetszet nyírási ellenállását a következő képlet adja:

0.

3 M

yvRdpl

fAV

γ⋅

⋅= ,

ahol vA az ún. nyírt keresztmetszeti terület. Függőlegesen terhelt, hengerelt I szelvény esetén az vA felvehető agerinclemez területére, vagy pontosabban felvehető a 2-2a ábrán jelzett területre. Vízszintesen terhelt I szelvényesetén vA a 2-2b ábrán jelzett területtel egyezik meg. Hegesztett keresztmetszetek esetén a nyírt keresztmetszetiterületet a gerinclemez, illetve az övlemez(ek) területére kell felvenni, a hengerelt eset logikájának megfelelően.

2-2. ábra: A nyírt keresztmetszeti terület gerinclemezével párhuzamosan terhelt ésövlemezével párhuzamosan terhelt hengerelt I szelvényre. Ha azonban a nyíróerő olyan vízszintesteherből származik, amely közvetlenül terheli valamelyik (pl. a felső) övlemezt, akkor csak a felső

övlemeznek a jobb oldali ábrán jelölt területe dolgozik (ilyen esettel van dolgunk például adarupályatartó felső övére a daruról átadódó vízszintes teher, az ún. oldallökő erő esetén)

2.3 A keresztmetszetek osztályozása

Amennyiben egy keresztmetszetben nyomott lemezek is vannak, a keresztmetszet viselkedését a folyásmegjelenése mellett a lemezek stabilitásvesztése, azaz horpadása is befolyásolja. A keresztmetszeteket eszerintannak alapján fogjuk osztályozni, hogy e két jelenség (folyás és lemezhorpadás) egymáshoz képest mikorjelentkezik.

Tiszta hajlítás esetén négy eset lehetséges. Első lehetőség, hogy a lemezhorpadás a szélső szál megfolyása előttkövetkezik be; az ilyen keresztmetszeteket 4. osztályúnak nevezzük. Ha a lemezhorpadás a szélső szálmegfolyása után, de a keresztmetszet teljes képlékenyedése előtt következik be, a keresztmetszet 3. osztályú. Haa lemezhorpadás a teljes képlékenyedés után, de viszonylag kis alakváltozások lejátszódása előtt következik be,a keresztmetszetet 2. osztályúnak nevezzük. Ha pedig a lemezhorpadás bekövetkezte előtt viszonylag nagyalakváltozások játszódnak le, a keresztmetszet 1. osztályú (2-3. ábra).

Tiszta nyomás esetén két eset van: vagy a keresztmetszet teljes megfolyása következik be előbb (ekkor akeresztmetszet 1. osztályú), vagy pedig a lemezhorpadás (ekkor a keresztmetszet 4. osztályú). 2. és 3.keresztmetszeti osztályról tiszta nyomás esetén nincs értelme beszélni, hiszen ilyenkor az első folyás és akorlátozatlan folyás határállapota egybeesik (azaz az első folyás megjelenésével elméletileg egy időben a teljeskeresztmetszet megfolyik), és a folyást mindig nagy alakváltozások kísérik (azaz a korlátozatlan folyásbekövetkezte után elméletileg már nem alakulhat ki lemezhorpadás).

Nyomott-hajlított keresztmetszeteknél, továbbá olyan húzott-hajlított keresztmetszetek esetén, amelyek nyomottlemezekkel is rendelkeznek („nagy külpontosságú húzás” esete) a tiszta hajlításhoz hasonlóan ugyancsak négykeresztmetszeti osztályt különböztetünk meg, ugyanazon kritériumok alapján.

Vegyük észre, hogy a keresztmetszet osztálya a geometriai arányok és az anyagminőség mellett attól is függ,milyen igénybevétel hat rá. Szélső esetben olyan keresztmetszet is kialakítható, amely bizonyosigénybevételekre 1. osztályúként, másokra 4. osztályúként viselkedik.

A keresztmetszet osztályának eldöntése a 2-1. táblázat alapján történik. A keresztmetszetet alkotó nyomottlemezek mindegyikét meg kell vizsgálni, és meg kell határozni az egyes alkotó lemezek osztályát. Akeresztmetszet osztályát ezek után a legkedvezőtlenebb (tehát legnagyobb jelzőszámú) alkotó lemez osztályaadja.

2-3. ábra: KeresztmMy pedig a szélső szá

tartószakaszon mért efelkeményedés miat

etszetek osztályozása. Mpl a keresztmetszet teljes megfolyásához tartozó,l folyását okozó nyomaték. Az alakváltozást a keresztmetszet körüli rövidlfordulással, tehát tulajdonképpen a tartó görbületével írjuk le. A görbe at emelkedhet Mpl fölé; méretezéskor természetesen ezt a tartalékot nem

vesszük figyelembe.

v2:2-3

v2:2-4

2-1. táblázat: Keresztmetszetek alkotó lemezeinek méretaránykorlátai az egyes keresztmetszetiosztályokhoz. kσ értékét később, a 2.4. fejezetben tárgyaljuk. Az ábrán a pozitív előjel nyomást,

a negatív húzást jelöl.

v2:2-5

2-3A példa. Határozzuk meg az S275 anyagú IPE 200 A szelvény keresztmetszeti osztályát tisztahajlítás esetén.(a) Övlemez vizsgálata: c = 50 mm; mm 7=ft ; 92,0=ε

2,9101,77/50/ =ε≤==ftc , tehát az övlemez 1. osztályú

(b) Gerinclemez vizsgálata: d = 159 mm; mm 5,4=wt2,66723,355,4/159/ =ε≤==wtd , tehát a gerinclemez is 1. osztályú.

Összességében: a szelvény 1. osztályú.

2-3B példa. Határozzuk meg annak az aszimmetrikus I szelvénynek a keresztmetszeti osztályát,amelynek gerinclemeze 800-8, felső övlemeze 300-16, alsó övlemeze pedig 400-10. Akeresztmetszet anyaga S355, terhelése pedig tiszta hajlítás úgy, hogy a felső öv nyomott.Nyakvarratként tompavarratot feltételezünk.(a) Övlemez vizsgálata: c = 146 mm; 3,1181,014141,916/146/ =⋅=ε≤==ftc , tehát azövlemez 3. osztályú.(b) A gerinclemez vizsgálatához ismerni kell a gerincben kialakuló feszültségeloszlást. Mivel azövlemez 3. osztályú, a teljes keresztmetszet sem lehet ennél kedvezőbb, tehát a gerincben lineárisfeszültségeloszlást tételezhetünk fel. Első lépésben meg kell határozni a semleges tengelyhelyzetét. A semleges tengely távolsága a gerinclemez felső élétől:

cm 77,37152

6,57410,1408,0806,130

5,800,140408,0808,06,130==

⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−

=fy ;

tehát a gerinclemez nyomott és húzott szélső szálában lévő feszültség aránya:

112,177,37

77,3780−=

−−=ψ ;

ezért a korlát:8,111112,1112,281,062)1(62 =⋅⋅⋅=ψ−⋅ψ−⋅ε ;

a gerinclemez wtd / aránya pedig:8,1111008/800/ ≤==wtd , tehát a gerinc legalább 3. osztályú. (Saroknyakvarrat esetén d

értéke 800 mm-nél kisebb, ez figyelembe vehető ennél a vizsgálatnál.)Összességében: a szelvény 3. osztályú.

2.4 A 4. keresztmetszeti osztály hatékony (effektív, dolgozó) keresztmetszeti jellemzői

Ha egy keresztmetszet a vizsgált igénybevétel szempontjából 4. osztályúnak minősül, akkor a vizsgáltigénybevétellel szembeni ellenállását úgy kell kiszámítani, mintha a keresztmetszet 3. osztályú lenne, de atényleges keresztmetszeti jellemzőket (terület, keresztmetszeti modulus stb.) egy csökkentett, ún. hatékonyértékkel vesszük figyelembe. Ezek a hatékony keresztmetszeti jellemzők egy ún. hatékony keresztmetszetenszámíthatók, amelyet úgy veszünk fel, hogy az eredeti keresztmetszet nyomott alkotólemezei közül mindazokat,amelyek az előző szakasz szerint 4. osztályúak, a horpadásnak megfelelően csökkentjük. A hatékonykeresztmetszetre mutat példát a 2-4. ábra.

A horpadó (4. osztályú) lemezek effb szélességét az eredeti b szélességnek egy ρ tényezővel való

csökkentésével határozzuk meg ( bbeff ⋅ρ= ), ahol ρ -t a következőképpen számítjuk (Winter képlete):

0,122,0

2>/

λ

−λ=ρ

p

p ,

ahol pλ a nyomott lemez viszonyított karcsúsága. Ezt a mennyiséget a következőképpen számíthatjuk:

σ⋅ε=λ

ktb

p4,28

/ ,

ahol b a vizsgált lemez jellemző szélességi mérete a 2-2. táblázat szerint, t a lemez vastagsága, σk pedig az ún.horpadási tényező. (Figyelem! Ha a lemez egy része húzott, például hajlított I tartó gerinclemezében, a

bbeff ⋅ρ= képletben szereplő b csak a nyomott lemezrtáblázatban szereplő jelölések a teljes lemezre vonatkoz

A σk horpadási tényező a nyomott lemezek horpadása nem szereplő körülményeket tartalmazza. Ezek a követk• a nyomott lemez megtámasztási viszonyai;• a nyomott lemez hossza (illetőleg az bl / arány);• a nyomófeszültségek eloszlása.A 4. osztályú keresztmetszetek vizsgálata során mindigσk értékkel számolunk, hiszen a vizsgált lemezeink na

mint a végtelen hosszú lemezcsík σk -ja, az elhanyagol

Megtámasztás szempontjából a 4. osztályú keresztmetsznyomott lemezek (pl. I szelvény gerince, zárt szelvény vlemezek (pl. I szelvény övlemeze). A nyomófeszültségefeszültségének nymax,min /σσ hányadosát ψ -vel jelölj

valamely szélén – ébredő legnagyobb nyomófeszültség,Ekkor σk értéke a 2-3. táblázat szerint alakul.

Ha meghatároztuk, mekkora darab lesz hatékony az eremeghatározása, hogy a lemeznek mely részét kell elhagközpontosan nyomott elemek esetében nincs szükség, hbe, és ezért az eredetileg központos nyomás a horpadás

Belső nyomott lemezek esetén, ha a feszültségeloszlás ehelyezkedik el; más esetekben a 2-5. ábra szerint hagyjesetben

effe bb ⋅ψ−

=5

21

a 2-5b ábra szerinti esetben pedigeffe bb ⋅= 4,01 é

ahol 12 /σσ=ψ .

2-4. ábra: 4. osztályú C szelvény teljes és hA keresztmetszet súlypontja Ne értékkel elto

eredetileg központos normálerő hajlí

atékony keresztmetszete tiszta nyomás esetén.lódik, aminek hatására a keresztmetszetben az

tónyomatékot is fog okozni – de l. 2.9.(c)

v2:2-6

ész szélességét jelenti, ugyanakkor b és a 2-2.nak!)

során figyelembe veendő, a pλ karcsúság képletébenezők:

az ∞=bl / esethez (végtelen hosszú lemezcsík) tartozógyon hosszúak (az ∞<bl / esethez tartozó σk nagyobb,ás tehát a biztonság javára történik).

etek alkotó lemezei két csoportra oszthatók: (a) belsőalamennyi alkotó lemeze) és (b) szabad szélű nyomottk eloszlását lineárisnak tételezzük fel, és a szélső szálakük (itt nymax,σ a lemezben – értelemszerűen a lemez

minσ pedig a lemez ellentétes szélén ébredő feszültség).

deti alkotó lemezből, a következő feladat annakyni. (Erre egyedül kétszeresen szimmetrikus,iszen ott a lemezhorpadás is szimmetrikusan következikmegindulása után is központos marad.)

gyenletes, a horpadó lemezrész a vizsgált lemez közepénuk el a kihorpadó lemezrészeket. A 2-4a ábra szerinti

és 12 eeffe bbb −= ;

s effe bb ⋅= 6,02 ,

Eset Jellemző b szélességi méret

Gerinclemez d

Zárt szelvény belső övlemeze általában b

Derékszögű (hengerelt vagy hidegen hajlított) zártszelvény belső övlemeze tb 3−

Szabad szélű övlemez c (ld. 2.1. táblázat)

Egyenlő szárú szögacél2

hb +

Egyenlőtlen szárú szögacél h vagy 2

hb +

2-2. táblázat: A jellemző szélességi méret felvétele a lemezhorpadás vizsgálatához.A jelölések magyarázatát lásd az 1. fejezetben

Szabad szélű nyomott elemek esetén a nem hatékony réhúzott, akkor a nyomott résznek a megtámasztástól távo

A hatékony keresztmetszetet a továbbiakban 3. osztályúteherbírását. Megjegyzendő, hogy az eredetileg szimmekeresztmetszete aszimmetrikussá válik, és a súlypontja jellemzőket ennek megfelelően kell számítani. Nyomotteredetileg központos nyomóerő külpontossá válik, tehát(ez a változás elvileg visszahat a hatékony szelvény mefigyelembe) – l. még a 2.9.(c) szakaszban.

2-5. ábra: Honnan kell elhagyni a horpadólemezeiben: (a) belső nyomott lemezben, am

amely egyik szélén húzott; (c) bal oldalán

részeket IV. osztályú keresztmetszetek alkotóely végig nyomott; (b) belső nyomott lemezben,megtámasztott, jobb oldalán szabad lemezben

v2:2-7

sz mindig a nyomott lemez szélére esik; ha a lemez szélelabbi szélére (2-5c ábra).

keresztmetszetnek tekintjük, és eszerint számítjuk atrikus, hajlított, 4. osztályú szelvények hatékonyeltolódik a húzott zóna irányába; a keresztmetszeti-hajlított keresztmetszet esetén ez azt is jelenti, hogy az változik (mégpedig növekszik) a hajlítónyomaték értékeghatározására, de ezt a hatást már nem vesszük

v2:2-8

2-4. példa. Határozzuk meg annak az S355 anyagú, tompavarratos hegesztett I szelvénynek ahatékony keresztmetszetét tiszta hajlítás esetére, amelynek övlemezei 400-16, gerinclemezei pedig1000-8 méretűek.(a) Az övlemez vizsgálata. mm 196=c ; 3,1181,0141425,1216/196/ =⋅=ε>==ftc , tehát azövlemez 4. osztályú.

43,0=σk (2-3. táblázat)

mm 196== cb (2-2. táblázat)

812,043,081,04,28

25,124,28

/=

⋅⋅=

⋅ε=λ

σk

tb fp ;

898,0812,0

22,0812,022,022

=−

=λ

−λ=ρ

p

p ,

Eset ψ értéke σk képlete

1=ψ 4,0

10 <ψ<ψ+05,1

2,8

0=ψ 7,81

01 <ψ<− 278,929,681,7 ψ+ψ−

1−=ψ 23,9

BELSŐ NYOMOTTELEMEK

12 −<ψ<− 2)1(98,5 ψ−⋅

1=ψ 0,43

0=ψ 0,57

1−=ψ 0,85

SZABAD SZÉLŰNYOMOTT ELEMEK,

nymax,σ

A SZABADSZÉLEN VAN

11 <ψ<− fenti értékek között lineáris interpoláció

1=ψ 0,43

10 <ψ<34,0

578,0+ψ

0=ψ 1,70

01 <ψ<− 21,17570,1 ψ+ψ−

SZABAD SZÉLŰNYOMOTT ELEMEK,

nymax,σ

A MEGTÁMASZTOTTSZÉLEN VAN

1−=ψ 23,8

2-3. táblázat: σk értékei nymax,min /σσ=ψ függvényében. Az elméleti értékek a csuklósmegtámasztáshoz tartoznak; a szabvány ezen értékek használatát javasolja, a biztonság javára

való közelítésként

v2:2-9

tehát az övlemez hatékony szélessége: mm 3608196898,022 =+⋅⋅=⋅ρ⋅= cbeff .A szelvény így aszimmetrikussá vált, hiszen csak a nyomott övet kell csökkenteni, a húzottat nem.(b) A gerinclemez vizsgálata. Első lépésben meg kell határozni a gerinclemez két szélén ébredőfeszültség arányát, hasonlóan a 2-3B példához. A semleges tengely távolsága a gerinclemez felsőélétől:

cm 61,516,201

405 106,1408,01006,10,36

8,1006,140508,01008,06,10,36==

⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−

=fy ;

tehát a gerinclemez nyomott és húzott szélső szálában lévő feszültség aránya:

938,061,51

61,51100−=

−−=ψ ;

ezért a korlát:

4,94938,033,067,0

81,04233,067,0

42=

⋅−⋅

=ψ+

ε ;

a gerinclemez wtd / aránya pedig:4,941258/1000/ >==wtd , tehát a gerinc is 4. osztályú.

31,22938,078,9938,029,681,778,929,681,7 22 =⋅+⋅+=ψ+ψ−=σk (2-3. táblázat);

mm 1000== db (2-2. táblázat)

157,131,2281,04,28

1254,28

/=

⋅⋅=

⋅ε=λ

σk

tb fp ;

700,0157,1

22,0157,122,022

=−

=λ

−λ=ρ

p

p ;

a nyomott szakasz magassága:

mm 5161000938,01

11

1=⋅

+=⋅

ψ−= db ;

mm 144516700,04,04,01 =⋅⋅=⋅ρ⋅= bbe (2-5b ábra);mm 217516700,06,06,02 =⋅⋅=⋅ρ⋅= bbe ,

a nem dolgozó szakasz magassága pedig:mm 155217144516 =−−=noneffb .

2.5 A Winter-képlet elméleti háttere

Mielőtt továbbhaladnánk, és áttekintenénk, hogyan határozható meg a nyomott lemezekkel is rendelkezőkeresztmetszetek hajlítási, nyomási és összetett igénybevételhez tartozó ellenállása, teszünk egy kis kitérőt, ésmegvilágítjuk az előző szakaszban bevezetett Winter-féle képlet elméleti alapját.

A nyomott (illetőleg részben nyomott) lemezek vizsgálatát tökéletes (másszóval ideális, tehát tökéletesen tervszerinti geometriájú és terhelésű, tökéletesen sík, sajátfeszültségektől mentes, lineárisan rugalmas anyagú)lemezre Kármán végezte el, és ő vezette be a hatékony szélesség fogalmát is. Elsőként tekintsük a legegyszerűbbesetet, a két hosszabbik oldalán (csuklósan) megtámasztott, másik két oldalán egyenletes nyomófeszültséggelterhelt, végtelen hosszú lemezcsíkot. (Előrebocsátjuk, hogy minden más eset hasonlóan kezelhető, azzal azeltéréssel, hogy a 2.4. szakaszban bevezetett σk tényezőt az adott terhelési és megtámasztási viszonyoknakmegfelelő értékkel kell figyelembe venni, a 2-3. táblázat szerint.)

Kármán gondolatmenete szerint (2-6. ábra) a terhet egy bizonyos crσ értékig növelve a lemezben egyenleteslesz a hosszirányú normálfeszültségek eloszlása. Ennél a crσ kritikus feszültségnél bekövetkezik (helyesebbenmegindul) a horpadás folyamata. A crσ elérése azonban nem jelenti a teherbíró képesség kimerülését, hanem alemez ún. posztkritikus (horpadás utáni) teherbírási tartalékkal rendelkezik. Ennek az az oka, hogy a horpadássaljáró deformáció csak a lemez középvonala mentén jelentkezik teljes nagyságában, attól kifele haladva adeformációk egyre csökkennek, a megtámasztásnál pedig értelemszerűen zérussal egyenlőek. Ezzel összhangban

v2:2-10

a feszültségek a középvonalon ugyan nem növekedhetnek tovább (sőt csökkennek), de attól kifelé haladva igen,egészen addig, amíg a szélső szálban, tehát a megtámasztás fölött el nem érik a folyáshatár értékét.

A lemezben tehát a teherbírás kimerülésekor nem lesz egyenletes a feszültségeloszlás: középen a feszültségnagysága egy crσ -nél kisebb értékkel, a széleken pedig a folyáshatárral ( yf ) egyenlő. Hogy e két érték közöttaz eloszlás milyen, azt egyelőre nem tudjuk (nyilván folytonos). Ha a teherbírás kimerülésekor kialakulófeszültségi ábrát integráljuk a lemez szélessége mentén, majd megszorozzuk a lemez t vastagságával, akkormegkapjuk a lemez teherbírását.

A hatékony szélesség ezután az a szélesség lesz, amellyel rendelkező, az eredetivel minden másban megegyezőlemez szilárdsági tönkremenetele ugyanakkora eredő erőnél következik be, mint az eredeti lemez teherbírásánakkimerülése, azaz képlettel:

∫σ=⋅)(

)(b

yeff dyyfb .

Ha ismernénk a )(yσ feszültségeloszlást, akkor meg tudnánk határozni a hatékony szélességet. Mivel azonbannem ismerjük, valamilyen hipotézissel kell élnünk. (Megjegyzendő, hogy egyensúlyi megfontolások alapjánlevezethető lenne a feszültségeloszlás alakja.)

Kármán azt a hipotézist vezette be, hogy a helyettesítő lemezre nézve a folyáshatár egyben kritikus feszültség is,azaz

effcryf )(σ= .A kritikus feszültség a rugalmas stabilitástan módszereivel határozható meg, és a következő képlettel fejezhetőki:

2

2

2

)1(12

⋅

ν−⋅

⋅π⋅=σ σ b

tEkcr ,

ahol ν a Poisson-tényező (acélra 3,0=ν ), σk pedig a 2.4. szakasz szerinti horpadási tényező (esetünkben0,4=σk ). A effb szélességű lemezre nyilván

2

2

2

)1(12)(

⋅

ν−⋅

⋅π⋅=σ σ

effeffcr b

tEk ,

azaz a Kármán-hipotézisből222

2

22

2

2

)1(12)1(12

⋅σ=

⋅

⋅

ν−⋅

⋅π⋅=

⋅

ν−⋅

⋅π⋅= σσ

effcr

effeffy b

bb

bbtEk

btEkf .

Ha most a kihajlásvizsgálat (ld. 3. fejezet) analógiájára bevezetjük a viszonyított lemezkarcsúság fogalmát akövetkezők szerint:

2-6. ábra: A hatékony (effektív, dolgozó) szélesség fogalma egyenletesen nyomott lemezre. Ahorpadás következtében egyenlőtlen feszültségeloszlás alakul ki, amely egy keskenyebb lemezen

működő, egyenletes megoszlású feszültségi ábrával helyettesíthető.

v2:2-11

cr

yp

fσ

=λ ,

továbbá bevezetjük az előző fejezetben is használt bbeff /=ρ jelölést, akkor azt kapjuk, hogy

pλ=ρ

1 .

Ez a Kármán-féle hiperbola, amely a kihajlásvizsgálatból ismert Euler-hiperbola analógiájára megadja, milyentényezővel kell csökkenteni az ideális lemez szilárdsági határállapothoz tartozó teherbírását, hogy megkapjuk ahorpadáshoz tartozó teljes teherbírását.

A viszonyított lemezkarcsúságot a gyakorlatban a kritikus feszültség kiszámítása nélkül, közvetlenül határozzukmeg. Az előző képleteket átrendezhetjük, ha figyelembe vesszük, hogy acélra

ε=

π

⋅ν−⋅

4,281)1(12

2

2

E

f y ;

ekkor ugyanis

σσσ

⋅ε=⋅

π

⋅ν−⋅⋅=

⋅

ν−⋅

⋅π⋅

=σ

=λk

tbkE

ftb

btEk

ff yy

cr

yp

4,28/1)1(12

)1(12

2

2

2

2

2;

ez a forma már ismerős a 2.4. fejezetből.

Az idáig elmondottak tökéletes (ideális) lemezekre vonatkoztak; a lemezek azonban általában nem ilyenek. Úgymondjuk, hogy a lemez tökéletlen (idegen szóval imperfekt): alakja nem tökéletesen sík, a teher sohasempontosan a középvonalban hat, a lemezben mindig vannak gyártási sajátfeszültségek, és természetesen a lemezanyaga sem lineárisan rugalmas. Ezek hatása – hasonlóan a kihajlás és a kifordulás esetéhez – abban jelentkezik,hogy a valóságos (tökéletlen) lemez teherbírása kisebb lesz, mint az ideálisé. Ez a hatás kísérletekből mutathatóki.

Winter saját kísérleti eredményei alapján javasolta az Eurocode által is átvett

0,122,0

2>/

λ

−λ=ρ

p

p

2-7. ábra: Különböző javaslatok a nyomott lemez teherbírásának meghatározására. A függőlegestengelyen jelölt mennyiség a lemez tönkremenetelekor érvényes átlagfeszültség és a folyáshatár

hányadosa. Értelemszerűen bbf effyu // =ρ=σ . Az Eurocode a Winter-féle görbét alkalmazza.

v2:2-12

formulát. (Más szerzők más formulákat is javasoltak, ld. Iványi Stabilitástan c. jegyzetében, a 309. oldalon,kicsit más jelölésekkel, illetőleg az onnan átvett 2-7. ábrán).

Az így definiált ρ tényező tehát analóg a kihajlásvizsgálatból ismert χ (az MSZ-ben: ϕ ) kihajlási csökkentőtényezővel, amennyiben megadja, hogy milyen tényezővel kell csökkenteni a valóságos lemez szilárdságihatárállapothoz tartozó teherbírását, hogy megkapjuk a horpadáshoz tartozó teljes teherbírását. A ρ tényezőtezután – a jobb általánosíthatóság kedvéért – természetesen nem a teherbírás, hanem a szélességi méretcsökkentésére használjuk, hiszen a célunk nem a horpadási teherbírás meghatározása, hanem a lemezhorpadásfigyelembevétele a keresztmetszet ellenállásában.

Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a feltételezettől eltérő megtámasztási és terhelési viszonyokat a σk tényezőmegfelelő megválasztásával vesszük figyelembe.

2.6 A nyomott keresztmetszetek ellenállása

A keresztmetszet nyomási ellenállását 1. keresztmetszeti osztály esetén az0. / MyRdc fAN γ⋅= ,

4. keresztmetszeti osztály esetén pedig az 1. / MyeffRdc fAN γ⋅=

képlettel számítjuk. Mint látható, a nyomott keresztmetszet ellenállásában nem vesszük figyelembe az esetlegescsavarlyukak okozta gyengítés hatását.

Ha a keresztmetszet 4. osztályú, és a hatékony keresztmetszet súlypontja nem esik egybe a ténylegeskeresztmetszet súlypontjával, akkor ebből a külpontosságból hajlítónyomaték származik. Ekkor akeresztmetszetet nyomott-hajlított keresztmetszetként kell vizsgálni.

Ne feledjük: a nyomott keresztmetszetek általában nyomott rudakban helyezkednek el; a nyomott rudakellenállása szempontjából pedig általában nem a keresztmetszet ellenállása, hanem a rúd kihajlási ellenállása amértékadó.

2.7 A hajlított keresztmetszetek ellenállása

A továbbiakban feltételezzük, hogy a hajlítás síkja egybeesik a keresztmetszet valamely szimmetriasíkjával,tehát egyenes („egytengelyű”) hajlításról van szó.

Ha a vizsgált keresztmetszetet nem gyengítik csavarlyukak, akkor a hajlítási ellenállás 1. és 2. keresztmetszetiosztály esetén:

0. / MyplRdc fWM γ⋅= ;3. keresztmetszeti osztály esetén:

0. / MyelRdc fWM γ⋅= ;4. keresztmetszeti osztály esetén pedig

1. / MyeffRdc fWM γ⋅= ,

ahol elW a keresztmetszet rugalmas, plW pedig a képlékeny keresztmetszeti modulusa (emlékeztetőül: arugalmas keresztmetszeti modulus az inercia és a szélsőszál-távolság hányadosaként, a képlékenykeresztmetszeti modulus pedig a fél keresztmetszetnek a súlyponti tengelyre vett statikai nyomatékakétszereseként számítható).

Ha a keresztmetszet húzott zónáját csavarlyukak gyengítik, akkor e gyengítés hatása figyelmen kívül hagyható,ha teljesül a következő feltétel:

0

29,0M

M

u

ynetff

AA

γγ⋅≥⋅ ,

azaz a húzott zónát mint húzott keresztmetszetet vizsgálva a húzási ellenállás szempontjából a korlátozatlanfolyás határállapota a mértékadó a képlékeny töréssel szemben. Ha ez a feltétel nem teljesül, a húzott zóna A

v2:2-13

területét (célszerűen az övlemez szélességének csökkentésével) képzeletben úgy csökkentjük, hogy a feltételteljesüljön. A nyomott zónában lévő csavarlyukak nem befolyásolják a hajlítási ellenállás nagyságát.

2-7A példa: Határozzuk meg az S275 anyagú IPE 200 A szelvény keresztmetszetének hajlításiellenállását.A 2-3A példában megállapítottuk, hogy a keresztmetszet tiszta hajlításra 1. osztályú. Ezért

kNm 0,500,1/5,277,181/ 0. =⋅=γ⋅= MyplRdc fWM .

2-7B példa: Határozzuk meg a 2-3B példában szereplő szelvény hajlítási ellenállását.A szelvény 3. osztályú. A keresztmetszet inerciája a súlyponti tengelyre:

42

32

32

3

cm 905 178730343714071031834133)5,077,3780(0,14012

0,140)8,077,37(6,13012

6,130)77,3740(808,012

808,0

=+++++=+−⋅⋅+

+⋅

++⋅⋅+⋅

+−⋅⋅+⋅

=yI

A rugalmas keresztmetszeti modulus:3

maxcm 4138

177,3780178905

=+−

==y

IWel ,

a keresztmetszet ellenállása pedig:kNm 14690,1/5,354138/ 0. =⋅=γ⋅= MyelRdc fWM .

2-7C példa. Határozzuk meg a 2-4. példában szereplő szelvény hajlítási ellenállását.Mint láttuk, a keresztmetszet 4. osztályú, és mind az övlemez, mind a gerinclemez horpad.Az effektív keresztmetszet súlypontjának távolsága a gerinclemez felső élétől:

cm 55,532,189

131 106,1408,05,158,01006,10,36

8,1006,1402,228,05,15508,01008,06,10,36==

⋅+⋅−⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−

=fy .

A keresztmetszet inerciája a súlyponti tengelyre (az övlemezek saját tengelyükre vett inerciáját azelőző példa tanulsága alapján elhanyagoljuk:

4

22

23

23

cm 36827014288417014612187248100866667

)8,055,53100(6,140)8,055,53(6,10,36

)2,2255,53(5,158,012

5,158,055,31008,0121008,0

=++−−+=

=+−⋅⋅++⋅⋅+

+−⋅⋅−⋅

−⋅⋅+⋅

=effI

A rugalmas keresztmetszeti modulus:

3

maxcm 6678

6,155,53368270

=+

==yI

W effeff

a keresztmetszet ellenállása pedig:kNm 21551,1/5,356678/ 1. =⋅=γ⋅= MyeffRdc fWM .

Megjegyezzük, hogy ennek a keresztmetszetnek a rugalmas keresztmetszeti modulusa 3cm 7694=elW ,

tehát a horpadás következtében a keresztmetszet teherbírása a rugalmas teherbírás 87%-áracsökken.

2.8 Hajlítás és nyírás

A hajlítás és nyírás kölcsönhatását akkor kell figyelembe venni, ha a működő nyíróerő meghaladja akeresztmetszet nyírási ellenállásának (ld. 2.2. fejezet) felét, azaz ha RdplSd VV .5,0≥ (egyébként feltételezhető,hogy a felkeményedés ellensúlyozza a hatást).

Ha a kölcsönhatást figyelembe kell venni, akkor kétszeresen szimmetrikus I és zárt szelvényekre a nyíróerőhatására a nyomatéki teherbírás a következő értékre csökken:

RdcM

y

w

vplRdV M

ftA

WM .0

2

. 4>/

γ⋅

⋅ρ−= ,

v2:2-14

ahol a jelölések az 1., 2.2. és 2.7. fejezet szerintiek, és2

.1

2

−=ρ

Rdpl

SdV

V.

Más keresztmetszetek esetén a nyíróerő hatására lecsökkent nyomatéki ellenállást úgy kell kiszámítani, hogy akeresztmetszet nyírt területén egy yf⋅ρ− )1( csökkentett folyáshatárral számolunk.

2.9 Hajlítás és normálerő

A következőkben csak azzal az esettel foglalkozunk, ha a 2.8. szakasznak megfelelően a nyírás és anormálfeszültségeket okozó igénybevételek kölcsönhatását figyelmen kívül lehet hagyni. A hajlítás és anormálerő hatását a keresztmetszeti osztálynak megfelelően kell vizsgálni.

A szabvány nem rendelkezik arról, hogy a keresztmetszeti osztályt mely igénybevétel alapján kell meghatározni.A szabvány logikája azt diktálná, hogy a keresztmetszeti osztály megállapításához valamelyik igénybevételikomponenst (tehát vagy a hajlítónyomatékot, vagy a normálerőt) használjuk fel, ez azonban néha tévútra visz(például ha a figyelembe vett igénybevétel jóval kisebb a másiknál). A valósághoz való igazodás követelményeugyanakkor az összetett eset (tehát a ténylegesen működő hajlítónyomaték és normálerő együttese)figyelembevételét támasztja alá; ez azonban néha nem kivitelezhető, különösen például akkor, amikor adottnormálerőhöz keressük a nyomatéki teherbírást vagy fordítva. Ezért általános tanács nem is adható; a magyarnemzeti alkalmazási dokumentum is csak annyi utalást tartalmaz a problémára, hogy minden esetre engedi (denem teszi kötelezővé) az összetett eset figyelembevételét.

(a) 1. és 2. keresztmetszeti osztály

Vezessük be a következő jelölést:

Rdpl

SdN

Nn

.= .

Ekkor csavarlyukakkal nem gyengített hegesztett és hengerelt I és H szelvényekre az y és z irányú hajlításiellenállás a következő értékre csökken:

RdyplRdyplRdNy Ma

nMM ..... 5,011

>/−−

⋅= ;

>−

−−⋅

≤

=an

aanM

anMM

Rdzpl

Rdzpl

RdNz ha)1(

)(1

ha

2

2

..

..

.

ahol

5,02

>/⋅−

=A

tbAa f .

Csavarlyukakkal nem gyengített, szabványos hengerelt I és H szelvényekre az y és z irányú hajlítási ellenállás akövetkező, egyszerűbb képletekkel is számítható (hegesztett szelvények esetén nem!):

RdyplRdyplRdNy MnMM ..... )1(1,1 >/−⋅⋅= ;

RdzplRdzplRdNz MnnMM ..... )6,0()1(56,1 >/+⋅−⋅⋅= .

Csavarlyukakkal nem gyengített zárt szelvényű idomacélok, valamint kétszeresen szimmetrikus keresztmetszetűhegesztett zárt szelvények keresztmetszeteire:

Rdyplw

RdyplRdNy Ma

nMM ..... 5,011

>/−−

⋅= ;

Rdzplf

RdzplRdNz ManMM ..... 5,01

1>/

−−

⋅= ,

ahol hegesztett zárt keresztmetszetre

5,02

>/⋅−

=A

tbAa f

w ; 5,02

>/⋅−

=A

thAa w

f ,

v2:2-15

zárt idomacél-keresztmetszetekre pedig ugyanezek az összefüggések alkalmazhatók, de ft és wt helyére aszelvény egységes falvastagságát kell írni.

Amennyiben mind y, mind z irányban van hajlítás, az ellenőrzést I és H szelvényre a

1.

.2

.

. ≤

+

β

SdNz

Sdz

SdNy

Sdy

MM

MM

képlettel végezhetjük el, ahol 0,15 </=β n .

(b) 3. keresztmetszeti osztály

A 3. osztályú keresztmetszetek ellenőrzése során meg kell határozni a hajlítás és normálerő együttes hatásábólszármazó legnagyobb normálfeszültséget, és ki kell mutatni, hogy

0. / MyEdx f γ≤σ .A feltétel másképpen a következő alakban írható:

1/// 0.

.

0.

.

0≤

γ⋅+

γ⋅+

γ⋅ Myzel

Sdz

Myyel

Sdy

My

SdfW

MfW

MfAN

.

(c) 4. keresztmetszeti osztály

A 4. osztályú keresztmetszetek ellenőrzése során meg kell határozni a hajlítás és normálerő együttes hatásából ahatékony keresztmetszeten fellépő legnagyobb normálfeszültséget (a súlypont helyzetének módosulásábólszármazó esetleges külpontosság-változás figyelembevételével), és ki kell mutatni, hogy

1. / MyEdx f γ≤σ .A feltétel másképpen a következő alakban írható:

1/// 1.

.

1.

.

1≤

γ⋅

⋅++

γ⋅

⋅++

γ⋅ Myzeff

NySdSdz

Myyeff

NzSdSdy

Myeff

SdfW

eNMfW

eNMfA

N,

ahol Nye és Nze a normálerő y és z irányú külpontossága a hatékony keresztmetszet súlypontjához képest.

Ez utóbbi képlet kétféleképpen értelmezhető.• Amennyiben az összefüggés a 1. / MyEdx f γ≤σ feszültségre vonatkozó ellenőrzést jelenti, akkor effA és a

két effW a normálerő és a két nyomaték együttesével terhelt keresztmetszet hatékony keresztmetszeti

jellemzői, az Ne értékek pedig e hatékony keresztmetszet súlypontjának y és z irányú távolsága az eredetisúlyponttól.

• A képlet felfogható három jelenség (nyomás, egyik és másik irányú hajlítás) interakciójaként is; ekkor azeffA a tisztán nyomott keresztmetszet hatékony területe, yeffW , az y tengely körül tisztán hajlított

keresztmetszet hatékony keresztmetszeti modulusa, zeffW , pedig a z tengely körül tisztán hajlított

keresztmetszet hatékony keresztmetszeti modulusa. Ilyenkor az Ne külpontosságok a tisztán nyomotthatékony keresztmetszet és az eredeti keresztmetszet távolságának vetületeit jelentik (ez azt jelenti, hogy azeredetileg kétszeresen szimmetrikus keresztmetszet esetén terheléstől függetlenül ezek a külpontosságokzérussal egyenlőek).

Az Eurocode mindkét meggondolás alkalmazását lehetővé teszi. A két eset nyilván különböző eredménytszolgáltat; adott esetben a kettő közül azt lehet választani, amelyik szimpatikusabb, illetve amelyiktől számunkrakedvezőbb eredményt várunk.

2.10 Hajlítás, nyírás és normálerő

Amennyiben a nyíróerő meghaladja a 2.8. szakaszban megadott feltételt, a nyírás hatását is figyelembe kellvenni, mégpedig oly módon, hogy a 2.9. szakasz képleteibe a 2.8. szakaszban leírtak szerint csökkentettnyomatéki ellenállást kell beírni.

v2:2-16

2.11 Keresztirányú erők hatása

Amennyiben a nyíróerő hatása nem jelentős ( RdplSd VV .5,0≤ ), közvetlenül terhelt gerinclemezekben (támaszfölött, darupályatartókon a kerékteher alatt, illetve általában mindenütt, ahol a gerinclemezt keresztirányú, azaz agerinc síkjában működő erő terheli) a közvetlen terhelés hatására függőleges normálfeszültségek lépnek fel,aminek következtében a gerincben síkbeli feszültségállapot alakul ki. Ennek ellenőrzése a következő feltételsegítségével történik:

0,,

2,

2,

M

yEdzEdxEdzEdx

fγ

≤σ⋅σ−σ+σ ,

ahol Edx,σ és Edz,σ a legnagyobb x, illetve z irányú (hossz- és keresztirányú) normálfeszültség (a hosszirányúnormálfeszültség a nyomatékból és a normálerőből, a keresztirányú normálfeszültség a közvetlen teherbőlszármazik).

v2:3-1

3. Stabilitási vizsgálatok

3.1 Alapfogalmak

Korábbi tanulmányainkból már tudjuk, hogy az acélszerkezetek elemei stabilitásukat (az ún. alakiállékonyságukat) háromféleképpen veszíthetik el: kihajlás, kifordulás vagy lemezhorpadás útján. Ebben afejezetben ezt a három jelenséget vizsgáljuk, és áttekintjük, hogy az egyes tönkremeneteli formákra hogyan kellelvégezni az érintett szerkezeti elemek méretezését az Eurocode 3 1.1. része alapján.

A 2. fejezetben láttuk, hogy a lemezhorpadás vizsgálatát az Eurocode 3 részben a keresztmetszetekosztályozásának bevezetésével a keresztmetszet szintjén kívánja kezelni. A keresztmetszetek osztályozása soránazonban csak a hosszirányú normálfeszültségek (más szóval „hajlítási feszültségek”) okozta lemezhorpadásfigyelembevételére van mód; horpadást viszont ezek mellett az ún. keresztirányú normálfeszültségek (ezekpéldául támasz felett, darupályatartókon a darukerék alatt a gerinclemezben, általában közvetlenül terheltgerinclemezek esetében lépnek fel), illetőleg nyírófeszültségek is okozhatnak (ez utóbbiak például a támaszkörnyezetében). A keresztmetszeti osztályozás bevezetésével tehát – a Magyar Szabvánnyal ellentétben – nemkell külön elvégezni a hosszirányú normálfeszültségek okozta horpadás vizsgálatát, azonban a másik kétfeszültségfajta vizsgálatát (vagy annak belátását, hogy ezek nem lehetnek mértékadóak) sohasem szabadelhagyni.

A stabilitási vizsgálatok során tisztában kell lenni a következő alapfogalmakkal.

• Ideálisnak nevezzük azt a képzelt szerkezeti elemet (kihajlás esetén nyomott rudat, kifordulás esetén hajlítottgerendát, horpadás esetén nyomott vagy nyírt lemezt), amely rendelkezik a következő jellegzetességekkel:

geometriáját tekintve tökéletesen terv szerinti (a rúd vagy gerenda tökéletesen egyenes, a lemeztökéletesen sík; a keresztmetszet tökéletesen terv szerinti geometriájú);

anyaga lineárisan rugalmas (korlátlanul rugalmas), más szóval követi a Hooke-törvényt; anyaga sajátfeszültségektől mentes; a teher pontosan ott működik, ahol azt elképzeljük (a központosan nyomott rúdra ható erő tökéletesen

központosan működik stb.)

Nyilvánvaló, hogy ideális szerkezeti elem a valóságban nincs; a valóságos szerkezeti elemek általában egyikfent felsorolt kritériumnak sem tesznek eleget. Az ideális elem tehát absztrakció eredménye, és bevezetéséreazért kerül sor, mert ez az az eset, amelyet elméletileg viszonylag könnyű vizsgálni.

• Kritikus erőnek (feszültségnek) nevezzük az ideális szerkezeti elem, teherbírásnak pedig a valóságosszerkezeti elem teherbíró képességét jellemző mennyiséget. A kritikus erő általában az egyensúly-elágazáshatárállapotához rendelhető, meghatározásával a rugalmas stabilitástan tudományága foglalkozik; ateherbírás elméleti alapon nehezen határozható meg. A két mennyiség nyilván nem azonos: a legtöbb (denem minden) esetben a teherbírás kisebb a kritikus erőnél.

Megjegyezzük, hogy szokás képlékeny kritikus erőről is beszélni, amely annak a szerkezeti elemnek ateherbíró képességét jellemzi, amelynek anyaga rugalmas-képlékeny, minden más tekintetben azonbanmegfelel az ideális elem kritériumainak.

• A rugalmas extrapoláció az az eljárás, amikor egy (valóságos) szerkezeti elem teherbírását azzal amegfontolással határozzuk meg, hogy két elem teherbírása megegyezik, ha kritikus erejük egyenlő. Ez akijelentés általában nem igaz, azonban speciális esetekben jó eredményt szolgáltat, ezért alkalmazzuk. Azeljárás során tehát keresni kell egy olyan másik szerkezeti elemet, amelynek kritikus ereje megegyezik azáltalunk vizsgált elemével, és amelynek ismerjük a teherbírását – ekkor a rugalmas extrapoláció elve alapjánazt mondjuk, hogy az általunk vizsgált elem teherbírása éppen ez az ismert teherbírás lesz. Mivel több ilyenhelyettesítő szerkezeti elem is létezik, nyilván azt célszerű kiválasztani, amelyről azt gondoljuk, hogyhasználata a legkisebb hibát eredményezi. A rugalmas extrapoláció elvét az Eurocode 3 szerinti vizsgálatoksorán a karcsúság, illetőleg a viszonyított karcsúság bevezetése révén alkalmazzuk.

• Alapmodellnek nevezzük azt a szerkezeti elemet, amelynek teherbírását kísérleti alapon határozzuk meg, ésamelyre a nem alapmodell szerinti szerkezeti elemek teherbírásának meghatározásakor a rugalmasextrapoláció segítségével támaszkodunk. Az alapmodell általában speciális terhelési és megtámasztási

v2:3-2

viszonyokkal rendelkezik. Nyomott rúd kihajlásának vizsgálatakor az alapmodell a két végén csuklós,prizmatikus (= hossza mentén állandó keresztmetszetű) és állandó normálerőábrával jellemezhető (azaz kétvégén koncentrált nyomóerővel terhelt) rúd; hajlított gerenda kifordulásának vizsgálatakor pedig azalapmodell hasonlóképpen, a két végén csuklós/villás megtámasztású, prizmatikus és állandó nyomatékiábrával jellemezhető (azaz két végén koncentrált nyomatékkal terhelt) gerenda.

A továbbiakban áttekintjük, hogyan kell az egyes stabilitási vizsgálatokat elvégezni az Eurocode 3 szerint, akövetkező sorrendben:• nyomott rudak kihajlási ellenállása;• hajlított gerendák kifordulási ellenállása;• nyomott-hajlított elemek ellenállása;• nyírási horpadási ellenállás;• közvetlenül terhelt gerinclemezek ellenállása.

3.2 Nyomott rudak kihajlási ellenállása

A nyomott rudak kihajlásvizsgálata az Eurocode szerint ugyanazokon az elméleti alapokon nyugszik, mint azMSZ 15024 szerinti kihajlásvizsgálat, és gyakorlati végrehajtása is hasonló. Van azonban néhány lényegeseltérés, ami miatt érdemes részletesen áttekinteni, mi a teendő.

(a) A viszonyított karcsúság meghatározása

A nyomott rúd vizsgálata során először a nyomott rúd viszonyított karcsúságát kell meghatározni, amelyet alegáltalánosabb esetben a következő képlet ad (megjegyzendő, hogy e képletet a szabvány nem tartalmazza,csupán az alábbiakban ismertetendő, az erőkkel felírt karcsúság általánosításának tekinthető):

cr

uµµ

=λ

ahol uµ a legjobban igénybe vett keresztmetszet szilárdsági tönkremeneteléhez, crµ pedig az ideálisnak képzeltrúd egyensúly-elágazási határállapotához tartozó teherparaméter (vagyis uµ -val kell megszorozni a rúdra hatóterheket, hogy elérjük a legjobban igénybe vett keresztmetszet szilárdsági tönkremenetelét, és crµ -rel, hogy azideálisnak képzelt rúd egyensúly-elágazási határállapotát). Ez az általános képlet nem nagyon kényelmes, deváltozó keresztmetszetű és a hossz mentén változó normálerővel terhelt rudakra, tetszőleges megtámasztásifeltételek mellett alkalmazható. Megjegyzendő, hogy uµ és crµ meghatározásakor tiszta nyomásra 4. osztályúkeresztmetszet esetén csak a 2.4. fejezet szerinti hatékony keresztmetszeti területet szabad figyelembe venni.

Ha a rúdra ható N normálerő állandó (tehát a rudat két végén koncentrált N normálerő terheli), akkor a fentiképlet

cr

uNN

=λ

formában írható; itt uN a legjobban igénybe vett keresztmetszet szilárdsági tönkremenetelét (ill. 4. osztályúkeresztmetszet esetén valamely alkotó lemezének horpadását) okozó N teherszint, crN pedig a kritikus erő.

Ha pedig a rúd keresztmetszete is állandó a tartó hossza mentén, a viszonyított karcsúság:

cr

y

NfA ⋅

=λ ,

ahol általában AA = , de tiszta nyomásra 4. osztályú keresztmetszet esetén effAA = . Figyelembe véve, hogy akritikus erőt általában a

2

2

)( LEINcr

⋅ν

⋅π=

képletből tudjuk kiszámítani, a λ viszonyított karcsúság kiszámítható a karcsúság szokásos képletéből is:

iL⋅ν

=λ ,

v2:3-3

ahol L⋅ν a kihajlási hossz, AIi /= pedig az inerciasugár (4. osztályú keresztmetszetek esetén természetesena hatékony keresztmetszeti jellemzőkből számítva). A λ karcsúságból a λ viszonyított karcsúság pedig a

1λλ

=λ

képletből adódik. Itt 1λ (az MSZ szerinti Eλ ) annak a képzeletbeli rúdnak a karcsúsága, amelynek kihajlása éskeresztmetszetének megfolyása egyszerre következik be, tehát amelyre

yfAEA⋅=

λ

⋅π21

2;

tehát 1λ anyagjellemző, hisz csak a rugalmassági modulustól és a folyáshatártól függ:

yfE

⋅π=λ1 .

Ennek megfelelően:• S235 anyagra: 9,931 =λ ;• S275 anyagra: 8,861 =λ ;• S355 anyagra: 4,761 =λ .

Megjegyezzük, hogy a kritikus erőt, kritikus teherparamétert, illetőleg a ν befogási tényezőket a rugalmasstabilitástan eszközeivel lehet meghatározni (lásd az Acélszerkezetek stabilitása c. tárgyat). Ez azt jelenti, hogyakár az MSZ 15024-ben, akár más szabályzati előírásokban vagy szakkönyvekben található képletekalkalmazhatók. Egyszintes keretekre jól használható összefüggéseket tartalmaz a Halász–Platty-tankönyv (310-316. o.), többszintes keretek oszlopainak számítására pedig az EC3 E melléklete ad iránymutatást.

(b) A teherbírás számítása

A teherbírás számítása ezek után a viszonyított karcsúság függvényében megadott χ csökkentő tényezősegítségével történik, a következő összefüggésből:

1. / MyRdb fAN γ⋅⋅χ= ,

ahol általában AA = , de tiszta nyomásra 4. osztályú keresztmetszetekre effAA = . A χ kihajlási csökkentőtényező a viszonyított karcsúság mellett függ a keresztmetszet alakjától is, és a Magyar Szabványhoz hasonlómódon az ún. európai kihajlási görbékből (a, b, c és d) határozható meg.

A χ csökkentő tényezőt a viszonyított karcsúságtól és a keresztmetszet besorolásától függően a következő képletszolgáltatja:

0,1122>/

λ−φ+φ=χ ,

ahol

2)2,0(1 2λ+−λ⋅α+

=φ .

Ez utóbbi képletben α az ún. alakhiba-tényező, amely a keresztmetszet besorolásától függ, a 3-1. táblázatszerint; az egyes keresztmetszetek besorolását pedig a 3-2. táblázat szerint kell elvégezni.

A gyakorlatban (kézi számítás esetén) a fenti összefüggések helyett általában táblázatokat használunk a χcsökkentő tényező meghatározására, lásd 3-3. táblázat.

Változó keresztmetszetű nyomott rúd esetén általában több keresztmetszet vizsgálatával határozható meg akihajlási teherbírás (lásd a 3-2C. példát).

v2:3-4

keresztmetszetcsoportja α alakhiba-tényező

abcd

0,210,340,490,76

3-1. táblázat: Az α alakhiba-tényező értékei. A tényező az „alakhibák”,vagyis az imperfekciók nagyságát fejezi ki.

Keresztmetszet típusa Eset Kihajlás tengelye Csoport

mm 40≤ft yz

ab

2,1/ >bh

mm 100mm 40 ≤< ft yz

bc

mm 100≤ft yz

bc

Hengerelt I szelvény

2,1/ ≤bh

ft<mm 100 yz

dd

mm 40≤ft yz

bc

Hegesztett I szelvénymm 100mm 40 ≤< ft y

zcd

melegen hengerelt bármely a

ybf alapján bármely bZárt szelvényű idomacélhidegen alakított

yaf alapján bármely c

általában bármely b

Hegesztett zárt szelvény erős varratok, továbbá30/ <ftb és 30/ <wth bármely c

U, L, T és tömör szelvény minden esetben bármely c

3-2. táblázat: Rudak besorolása a kihajlásvizsgálathoz. Az „a” görbe jelenti a legkisebb,a „d” a legnagyobb csökkentést. A rudak besorolása imperfekcióiktól, elsősorban gyártási

sajátfeszültségeiktől függ. Hidegen alakított zárt szelvények esetén lehetőség van az alapanyagybf folyáshatára, illetőleg a hidegen hajlított szelvény keresztmetszetének yaf átlagos

folyáshatára alapján számítani a teherbírást (ez utóbbi a hidegalakítás környezetében bekövetkezőfelkeményedés miatt magasabb az előbbinél).

v2:3-5

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,20 1,0000 0,9978 0,9956 0,9934 0,9912 0,9889 0,9867 0,9844 0,9821 0,9798 0,200,30 0,9775 0,9751 0,9728 0,9704 0,9680 0,9655 0,9630 0,9605 0,9580 0,9554 0,300,40 0,9528 0,9501 0,9474 0,9447 0,9419 0,9391 0,9363 0,9333 0,9304 0,9273 0,400,50 0,9243 0,9211 0,9179 0,9147 0,9114 0,9080 0,9045 0,9010 0,8974 0,8937 0,500,60 0,8900 0,8862 0,8823 0,8783 0,8742 0,8700 0,8657 0,8614 0,8569 0,8524 0,600,70 0,8477 0,8430 0,8382 0,8332 0,8282 0,8230 0,8178 0,8124 0,8069 0,8014 0,700,80 0,7957 0,7899 0,7841 0,7781 0,7721 0,7659 0,7597 0,7534 0,7470 0,7405 0,800,90 0,7339 0,7273 0,7206 0,7139 0,7071 0,7003 0,6934 0,6865 0,6796 0,6726 0,901,00 0,6656 0,6586 0,6516 0,6446 0,6376 0,6306 0,6236 0,6167 0,6098 0,6029 1,001,10 0,5960 0,5892 0,5824 0,5757 0,5690 0,5623 0,5557 0,5492 0,5427 0,5363 1,101,20 0,5300 0,5237 0,5175 0,5114 0,5053 0,4993 0,4934 0,4875 0,4817 0,4760 1,201,30 0,4703 0,4648 0,4593 0,4538 0,4485 0,4432 0,4380 0,4329 0,4278 0,4228 1,301,40 0,4179 0,4130 0,4083 0,4036 0,3989 0,3943 0,3898 0,3854 0,3810 0,3767 1,401,50 0,3724 0,3682 0,3641 0,3601 0,3561 0,3521 0,3482 0,3444 0,3406 0,3369 1,501,60 0,3332 0,3296 0,3261 0,3226 0,3191 0,3157 0,3124 0,3091 0,3058 0,3026 1,601,70 0,2994 0,2963 0,2933 0,2902 0,2872 0,2843 0,2814 0,2786 0,2757 0,2730 1,701,80 0,2702 0,2675 0,2649 0,2623 0,2597 0,2571 0,2546 0,2522 0,2497 0,2473 1,801,90 0,2449 0,2426 0,2403 0,2380 0,2358 0,2335 0,2314 0,2292 0,2271 0,2250 1,902,00 0,2229 0,2209 0,2188 0,2168 0,2149 0,2129 0,2110 0,2091 0,2073 0,2054 2,002,10 0,2036 0,2018 0,2001 0,1983 0,1966 0,1949 0,1932 0,1915 0,1899 0,1883 2,102,20 0,1867 0,1851 0,1836 0,1820 0,1805 0,1790 0,1775 0,1760 0,1746 0,1732 2,202,30 0,1717 0,1704 0,1690 0,1676 0,1663 0,1649 0,1636 0,1623 0,1610 0,1598 2,302,40 0,1585 0,1573 0,1560 0,1548 0,1536 0,1524 0,1513 0,1501 0,1490 0,1478 2,402,50 0,1467 0,1456 0,1445 0,1434 0,1424 0,1413 0,1403 0,1392 0,1382 0,1372 2,502,60 0,1362 0,1352 0,1342 0,1332 0,1323 0,1313 0,1304 0,1295 0,1285 0,1276 2,602,70 0,1267 0,1258 0,1250 0,1241 0,1232 0,1224 0,1215 0,1207 0,1198 0,1190 2,702,80 0,1182 0,1174 0,1166 0,1158 0,1150 0,1143 0,1135 0,1128 0,1120 0,1113 2,802,90 0,1105 0,1098 0,1091 0,1084 0,1077 0,1070 0,1063 0,1056 0,1049 0,1042 2,903,00 0,1036 0,1029 0,1022 0,1016 0,1010 0,1003 0,0997 0,0991 0,0985 0,0978 3,003,10 0,0972 0,0966 0,0960 0,0954 0,0949 0,0943 0,0937 0,0931 0,0926 0,0920 3,103,20 0,0915 0,0909 0,0904 0,0898 0,0893 0,0888 0,0882 0,0877 0,0872 0,0867 3,203,30 0,0862 0,0857 0,0852 0,0847 0,0842 0,0837 0,0832 0,0828 0,0823 0,0818 3,303,40 0,0814 0,0809 0,0804 0,0800 0,0795 0,0791 0,0786 0,0782 0,0778 0,0773 3,403,50 0,0769 0,0765 0,0761 0,0757 0,0752 0,0748 0,0744 0,0740 0,0736 0,0732 3,503,60 0,0728 0,0724 0,0721 0,0717 0,0713 0,0709 0,0705 0,0702 0,0698 0,0694 3,603,70 0,0691 0,0687 0,0683 0,0680 0,0676 0,0673 0,0669 0,0666 0,0663 0,0659 3,703,80 0,0656 0,0652 0,0649 0,0646 0,0643 0,0639 0,0636 0,0633 0,0630 0,0627 3,803,90 0,0623 0,0620 0,0617 0,0614 0,0611 0,0608 0,0605 0,0602 0,0599 0,0596 3,904,00 0,0594 0,0591 0,0588 0,0585 0,0582 0,0579 0,0577 0,0574 0,0571 0,0568 4,004,10 0,0566 0,0563 0,0560 0,0558 0,0555 0,0552 0,0550 0,0547 0,0545 0,0542 4,104,20 0,0540 0,0537 0,0535 0,0532 0,0530 0,0527 0,0525 0,0523 0,0520 0,0518 4,204,30 0,0516 0,0513 0,0511 0,0509 0,0506 0,0504 0,0502 0,0500 0,0497 0,0495 4,304,40 0,0493 0,0491 0,0489 0,0486 0,0484 0,0482 0,0480 0,0478 0,0476 0,0474 4,404,50 0,0472 0,0470 0,0468 0,0466 0,0464 0,0462 0,0460 0,0458 0,0456 0,0454 4,504,60 0,0452 0,0450 0,0448 0,0446 0,0444 0,0442 0,0441 0,0439 0,0437 0,0435 4,604,70 0,0433 0,0432 0,0430 0,0428 0,0426 0,0424 0,0423 0,0421 0,0419 0,0418 4,704,80 0,0416 0,0414 0,0412 0,0411 0,0409 0,0407 0,0406 0,0404 0,0403 0,0401 4,804,90 0,0399 0,0398 0,0396 0,0395 0,0393 0,0392 0,0390 0,0388 0,0387 0,0385 4,905,00 0,0384 0,0382 0,0381 0,0379 0,0378 0,0376 0,0375 0,0374 0,0372 0,0371 5,00

3.3. táblázat: Az „a” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-6

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,20 1,0000 0,9965 0,9929 0,9894 0,9858 0,9822 0,9786 0,9750 0,9714 0,9678 0,200,30 0,9641 0,9604 0,9567 0,9530 0,9492 0,9455 0,9417 0,9378 0,9339 0,9300 0,300,40 0,9261 0,9221 0,9181 0,9140 0,9099 0,9057 0,9015 0,8973 0,8930 0,8886 0,400,50 0,8842 0,8798 0,8752 0,8707 0,8661 0,8614 0,8566 0,8518 0,8470 0,8420 0,500,60 0,8371 0,8320 0,8269 0,8217 0,8165 0,8112 0,8058 0,8004 0,7949 0,7893 0,600,70 0,7837 0,7780 0,7723 0,7665 0,7606 0,7547 0,7488 0,7428 0,7367 0,7306 0,700,80 0,7245 0,7183 0,7120 0,7058 0,6995 0,6931 0,6868 0,6804 0,6740 0,6676 0,800,90 0,6612 0,6547 0,6483 0,6419 0,6354 0,6290 0,6226 0,6162 0,6098 0,6034 0,901,00 0,5970 0,5907 0,5844 0,5781 0,5719 0,5657 0,5595 0,5534 0,5473 0,5412 1,001,10 0,5352 0,5293 0,5234 0,5175 0,5117 0,5060 0,5003 0,4947 0,4891 0,4836 1,101,20 0,4781 0,4727 0,4674 0,4621 0,4569 0,4517 0,4466 0,4416 0,4366 0,4317 1,201,30 0,4269 0,4221 0,4174 0,4127 0,4081 0,4035 0,3991 0,3946 0,3903 0,3860 1,301,40 0,3817 0,3775 0,3734 0,3693 0,3653 0,3613 0,3574 0,3535 0,3497 0,3459 1,401,50 0,3422 0,3386 0,3350 0,3314 0,3279 0,3245 0,3211 0,3177 0,3144 0,3111 1,501,60 0,3079 0,3047 0,3016 0,2985 0,2955 0,2925 0,2895 0,2866 0,2837 0,2809 1,601,70 0,2781 0,2753 0,2726 0,2699 0,2672 0,2646 0,2620 0,2595 0,2570 0,2545 1,701,80 0,2521 0,2496 0,2473 0,2449 0,2426 0,2403 0,2381 0,2359 0,2337 0,2315 1,801,90 0,2294 0,2272 0,2252 0,2231 0,2211 0,2191 0,2171 0,2152 0,2132 0,2113 1,902,00 0,2095 0,2076 0,2058 0,2040 0,2022 0,2004 0,1987 0,1970 0,1953 0,1936 2,002,10 0,1920 0,1903 0,1887 0,1871 0,1855 0,1840 0,1825 0,1809 0,1794 0,1780 2,102,20 0,1765 0,1751 0,1736 0,1722 0,1708 0,1694 0,1681 0,1667 0,1654 0,1641 2,202,30 0,1628 0,1615 0,1602 0,1590 0,1577 0,1565 0,1553 0,1541 0,1529 0,1517 2,302,40 0,1506 0,1494 0,1483 0,1472 0,1461 0,1450 0,1439 0,1428 0,1418 0,1407 2,402,50 0,1397 0,1387 0,1376 0,1366 0,1356 0,1347 0,1337 0,1327 0,1318 0,1308 2,502,60 0,1299 0,1290 0,1281 0,1272 0,1263 0,1254 0,1245 0,1237 0,1228 0,1219 2,602,70 0,1211 0,1203 0,1195 0,1186 0,1178 0,1170 0,1162 0,1155 0,1147 0,1139 2,702,80 0,1132 0,1124 0,1117 0,1109 0,1102 0,1095 0,1088 0,1081 0,1074 0,1067 2,802,90 0,1060 0,1053 0,1046 0,1039 0,1033 0,1026 0,1020 0,1013 0,1007 0,1001 2,903,00 0,0994 0,0988 0,0982 0,0976 0,0970 0,0964 0,0958 0,0952 0,0946 0,0940 3,003,10 0,0935 0,0929 0,0924 0,0918 0,0912 0,0907 0,0902 0,0896 0,0891 0,0886 3,103,20 0,0880 0,0875 0,0870 0,0865 0,0860 0,0855 0,0850 0,0845 0,0840 0,0835 3,203,30 0,0831 0,0826 0,0821 0,0816 0,0812 0,0807 0,0803 0,0798 0,0794 0,0789 3,303,40 0,0785 0,0781 0,0776 0,0772 0,0768 0,0763 0,0759 0,0755 0,0751 0,0747 3,403,50 0,0743 0,0739 0,0735 0,0731 0,0727 0,0723 0,0719 0,0715 0,0712 0,0708 3,503,60 0,0704 0,0700 0,0697 0,0693 0,0689 0,0686 0,0682 0,0679 0,0675 0,0672 3,603,70 0,0668 0,0665 0,0661 0,0658 0,0655 0,0651 0,0648 0,0645 0,0641 0,0638 3,703,80 0,0635 0,0632 0,0629 0,0626 0,0622 0,0619 0,0616 0,0613 0,0610 0,0607 3,803,90 0,0604 0,0601 0,0598 0,0595 0,0593 0,0590 0,0587 0,0584 0,0581 0,0578 3,904,00 0,0576 0,0573 0,0570 0,0567 0,0565 0,0562 0,0559 0,0557 0,0554 0,0552 4,004,10 0,0549 0,0546 0,0544 0,0541 0,0539 0,0536 0,0534 0,0532 0,0529 0,0527 4,104,20 0,0524 0,0522 0,0519 0,0517 0,0515 0,0512 0,0510 0,0508 0,0506 0,0503 4,204,30 0,0501 0,0499 0,0497 0,0494 0,0492 0,0490 0,0488 0,0486 0,0484 0,0481 4,304,40 0,0479 0,0477 0,0475 0,0473 0,0471 0,0469 0,0467 0,0465 0,0463 0,0461 4,404,50 0,0459 0,0457 0,0455 0,0453 0,0451 0,0449 0,0448 0,0446 0,0444 0,0442 4,504,60 0,0440 0,0438 0,0436 0,0435 0,0433 0,0431 0,0429 0,0427 0,0426 0,0424 4,604,70 0,0422 0,0420 0,0419 0,0417 0,0415 0,0414 0,0412 0,0410 0,0409 0,0407 4,704,80 0,0405 0,0404 0,0402 0,0401 0,0399 0,0397 0,0396 0,0394 0,0393 0,0391 4,804,90 0,0390 0,0388 0,0386 0,0385 0,0383 0,0382 0,0380 0,0379 0,0378 0,0376 4,905,00 0,0375 0,0373 0,0372 0,0370 0,0369 0,0367 0,0366 0,0365 0,0363 0,0362 5,00

3.3. táblázat (folyt.): A „b” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-7

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,20 1,0000 0,9949 0,9898 0,9847 0,9797 0,9746 0,9695 0,9644 0,9593 0,9542 0,200,30 0,9491 0,9440 0,9389 0,9338 0,9286 0,9235 0,9183 0,9131 0,9078 0,9026 0,300,40 0,8973 0,8920 0,8867 0,8813 0,8760 0,8705 0,8651 0,8596 0,8541 0,8486 0,400,50 0,8430 0,8374 0,8317 0,8261 0,8204 0,8146 0,8088 0,8030 0,7972 0,7913 0,500,60 0,7854 0,7794 0,7735 0,7675 0,7614 0,7554 0,7493 0,7432 0,7370 0,7309 0,600,70 0,7247 0,7185 0,7123 0,7060 0,6998 0,6935 0,6873 0,6810 0,6747 0,6684 0,700,80 0,6622 0,6559 0,6496 0,6433 0,6371 0,6308 0,6246 0,6184 0,6122 0,6060 0,800,90 0,5998 0,5937 0,5876 0,5815 0,5755 0,5695 0,5635 0,5575 0,5516 0,5458 0,901,00 0,5399 0,5342 0,5284 0,5227 0,5171 0,5115 0,5059 0,5004 0,4950 0,4896 1,001,10 0,4842 0,4790 0,4737 0,4685 0,4634 0,4583 0,4533 0,4483 0,4434 0,4386 1,101,20 0,4338 0,4290 0,4243 0,4197 0,4151 0,4106 0,4061 0,4017 0,3974 0,3931 1,201,30 0,3888 0,3846 0,3805 0,3764 0,3724 0,3684 0,3644 0,3606 0,3567 0,3529 1,301,40 0,3492 0,3455 0,3419 0,3383 0,3348 0,3313 0,3279 0,3245 0,3211 0,3178 1,401,50 0,3145 0,3113 0,3081 0,3050 0,3019 0,2989 0,2959 0,2929 0,2900 0,2871 1,501,60 0,2842 0,2814 0,2786 0,2759 0,2732 0,2705 0,2679 0,2653 0,2627 0,2602 1,601,70 0,2577 0,2553 0,2528 0,2504 0,2481 0,2457 0,2434 0,2412 0,2389 0,2367 1,701,80 0,2345 0,2324 0,2302 0,2281 0,2260 0,2240 0,2220 0,2200 0,2180 0,2161 1,801,90 0,2141 0,2122 0,2104 0,2085 0,2067 0,2049 0,2031 0,2013 0,1996 0,1979 1,902,00 0,1962 0,1945 0,1929 0,1912 0,1896 0,1880 0,1864 0,1849 0,1833 0,1818 2,002,10 0,1803 0,1788 0,1774 0,1759 0,1745 0,1731 0,1717 0,1703 0,1689 0,1676 2,102,20 0,1662 0,1649 0,1636 0,1623 0,1611 0,1598 0,1585 0,1573 0,1561 0,1549 2,202,30 0,1537 0,1525 0,1514 0,1502 0,1491 0,1480 0,1468 0,1457 0,1446 0,1436 2,302,40 0,1425 0,1415 0,1404 0,1394 0,1384 0,1374 0,1364 0,1354 0,1344 0,1334 2,402,50 0,1325 0,1315 0,1306 0,1297 0,1287 0,1278 0,1269 0,1260 0,1252 0,1243 2,502,60 0,1234 0,1226 0,1217 0,1209 0,1201 0,1193 0,1184 0,1176 0,1168 0,1161 2,602,70 0,1153 0,1145 0,1137 0,1130 0,1122 0,1115 0,1108 0,1100 0,1093 0,1086 2,702,80 0,1079 0,1072 0,1065 0,1058 0,1051 0,1045 0,1038 0,1031 0,1025 0,1018 2,802,90 0,1012 0,1006 0,0999 0,0993 0,0987 0,0981 0,0975 0,0969 0,0963 0,0957 2,903,00 0,0951 0,0945 0,0939 0,0934 0,0928 0,0922 0,0917 0,0911 0,0906 0,0901 3,003,10 0,0895 0,0890 0,0885 0,0879 0,0874 0,0869 0,0864 0,0859 0,0854 0,0849 3,103,20 0,0844 0,0839 0,0835 0,0830 0,0825 0,0820 0,0816 0,0811 0,0806 0,0802 3,203,30 0,0797 0,0793 0,0789 0,0784 0,0780 0,0775 0,0771 0,0767 0,0763 0,0759 3,303,40 0,0754 0,0750 0,0746 0,0742 0,0738 0,0734 0,0730 0,0726 0,0722 0,0719 3,403,50 0,0715 0,0711 0,0707 0,0703 0,0700 0,0696 0,0692 0,0689 0,0685 0,0682 3,503,60 0,0678 0,0675 0,0671 0,0668 0,0664 0,0661 0,0657 0,0654 0,0651 0,0647 3,603,70 0,0644 0,0641 0,0638 0,0635 0,0631 0,0628 0,0625 0,0622 0,0619 0,0616 3,703,80 0,0613 0,0610 0,0607 0,0604 0,0601 0,0598 0,0595 0,0592 0,0589 0,0586 3,803,90 0,0584 0,0581 0,0578 0,0575 0,0572 0,0570 0,0567 0,0564 0,0562 0,0559 3,904,00 0,0556 0,0554 0,0551 0,0549 0,0546 0,0544 0,0541 0,0539 0,0536 0,0534 4,004,10 0,0531 0,0529 0,0526 0,0524 0,0521 0,0519 0,0517 0,0514 0,0512 0,0510 4,104,20 0,0507 0,0505 0,0503 0,0501 0,0498 0,0496 0,0494 0,0492 0,0490 0,0488 4,204,30 0,0485 0,0483 0,0481 0,0479 0,0477 0,0475 0,0473 0,0471 0,0469 0,0467 4,304,40 0,0465 0,0463 0,0461 0,0459 0,0457 0,0455 0,0453 0,0451 0,0449 0,0447 4,404,50 0,0445 0,0443 0,0442 0,0440 0,0438 0,0436 0,0434 0,0432 0,0431 0,0429 4,504,60 0,0427 0,0425 0,0424 0,0422 0,0420 0,0418 0,0417 0,0415 0,0413 0,0412 4,604,70 0,0410 0,0408 0,0407 0,0405 0,0403 0,0402 0,0400 0,0399 0,0397 0,0395 4,704,80 0,0394 0,0392 0,0391 0,0389 0,0388 0,0386 0,0385 0,0383 0,0382 0,0380 4,804,90 0,0379 0,0377 0,0376 0,0374 0,0373 0,0371 0,0370 0,0369 0,0367 0,0366 4,905,00 0,0364 0,0363 0,0362 0,0360 0,0359 0,0358 0,0356 0,0355 0,0354 0,0352 5,00

3.3. táblázat (folyt.): A „c” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-8

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,20 1,0000 0,9921 0,9843 0,9765 0,9688 0,9611 0,9535 0,9459 0,9384 0,9309 0,200,30 0,9235 0,9160 0,9086 0,9013 0,8939 0,8866 0,8793 0,8721 0,8648 0,8576 0,300,40 0,8504 0,8432 0,8360 0,8289 0,8218 0,8146 0,8075 0,8005 0,7934 0,7864 0,400,50 0,7793 0,7723 0,7653 0,7583 0,7514 0,7444 0,7375 0,7306 0,7237 0,7169 0,500,60 0,7100 0,7032 0,6964 0,6897 0,6829 0,6762 0,6695 0,6629 0,6563 0,6497 0,600,70 0,6431 0,6366 0,6301 0,6237 0,6173 0,6109 0,6046 0,5983 0,5921 0,5859 0,700,80 0,5797 0,5736 0,5675 0,5615 0,5556 0,5496 0,5438 0,5379 0,5322 0,5265 0,800,90 0,5208 0,5152 0,5096 0,5041 0,4987 0,4933 0,4879 0,4826 0,4774 0,4722 0,901,00 0,4671 0,4620 0,4570 0,4521 0,4472 0,4423 0,4375 0,4328 0,4281 0,4235 1,001,10 0,4189 0,4144 0,4099 0,4055 0,4012 0,3969 0,3926 0,3884 0,3843 0,3802 1,101,20 0,3762 0,3722 0,3683 0,3644 0,3605 0,3568 0,3530 0,3493 0,3457 0,3421 1,201,30 0,3385 0,3350 0,3316 0,3282 0,3248 0,3215 0,3182 0,3150 0,3118 0,3086 1,301,40 0,3055 0,3024 0,2994 0,2964 0,2935 0,2906 0,2877 0,2849 0,2821 0,2793 1,401,50 0,2766 0,2739 0,2712 0,2686 0,2660 0,2635 0,2609 0,2585 0,2560 0,2536 1,501,60 0,2512 0,2488 0,2465 0,2442 0,2419 0,2397 0,2375 0,2353 0,2331 0,2310 1,601,70 0,2289 0,2268 0,2248 0,2228 0,2208 0,2188 0,2168 0,2149 0,2130 0,2112 1,701,80 0,2093 0,2075 0,2057 0,2039 0,2021 0,2004 0,1987 0,1970 0,1953 0,1936 1,801,90 0,1920 0,1904 0,1888 0,1872 0,1856 0,1841 0,1826 0,1810 0,1796 0,1781 1,902,00 0,1766 0,1752 0,1738 0,1724 0,1710 0,1696 0,1683 0,1669 0,1656 0,1643 2,002,10 0,1630 0,1617 0,1604 0,1592 0,1580 0,1567 0,1555 0,1543 0,1532 0,1520 2,102,20 0,1508 0,1497 0,1486 0,1474 0,1463 0,1452 0,1442 0,1431 0,1420 0,1410 2,202,30 0,1399 0,1389 0,1379 0,1369 0,1359 0,1349 0,1340 0,1330 0,1320 0,1311 2,302,40 0,1302 0,1292 0,1283 0,1274 0,1265 0,1257 0,1248 0,1239 0,1231 0,1222 2,402,50 0,1214 0,1205 0,1197 0,1189 0,1181 0,1173 0,1165 0,1157 0,1149 0,1142 2,502,60 0,1134 0,1127 0,1119 0,1112 0,1104 0,1097 0,1090 0,1083 0,1076 0,1069 2,602,70 0,1062 0,1055 0,1048 0,1042 0,1035 0,1029 0,1022 0,1016 0,1009 0,1003 2,702,80 0,0997 0,0990 0,0984 0,0978 0,0972 0,0966 0,0960 0,0954 0,0948 0,0943 2,802,90 0,0937 0,0931 0,0926 0,0920 0,0914 0,0909 0,0904 0,0898 0,0893 0,0888 2,903,00 0,0882 0,0877 0,0872 0,0867 0,0862 0,0857 0,0852 0,0847 0,0842 0,0837 3,003,10 0,0832 0,0828 0,0823 0,0818 0,0814 0,0809 0,0804 0,0800 0,0795 0,0791 3,103,20 0,0786 0,0782 0,0778 0,0773 0,0769 0,0765 0,0761 0,0757 0,0752 0,0748 3,203,30 0,0744 0,0740 0,0736 0,0732 0,0728 0,0724 0,0721 0,0717 0,0713 0,0709 3,303,40 0,0705 0,0702 0,0698 0,0694 0,0691 0,0687 0,0683 0,0680 0,0676 0,0673 3,403,50 0,0669 0,0666 0,0663 0,0659 0,0656 0,0652 0,0649 0,0646 0,0643 0,0639 3,503,60 0,0636 0,0633 0,0630 0,0627 0,0624 0,0620 0,0617 0,0614 0,0611 0,0608 3,603,70 0,0605 0,0602 0,0599 0,0596 0,0594 0,0591 0,0588 0,0585 0,0582 0,0579 3,703,80 0,0577 0,0574 0,0571 0,0568 0,0566 0,0563 0,0560 0,0558 0,0555 0,0552 3,803,90 0,0550 0,0547 0,0545 0,0542 0,0540 0,0537 0,0535 0,0532 0,0530 0,0527 3,904,00 0,0525 0,0523 0,0520 0,0518 0,0516 0,0513 0,0511 0,0509 0,0506 0,0504 4,004,10 0,0502 0,0500 0,0497 0,0495 0,0493 0,0491 0,0489 0,0486 0,0484 0,0482 4,104,20 0,0480 0,0478 0,0476 0,0474 0,0472 0,0470 0,0468 0,0466 0,0464 0,0462 4,204,30 0,0460 0,0458 0,0456 0,0454 0,0452 0,0450 0,0448 0,0446 0,0444 0,0442 4,304,40 0,0441 0,0439 0,0437 0,0435 0,0433 0,0431 0,0430 0,0428 0,0426 0,0424 4,404,50 0,0423 0,0421 0,0419 0,0417 0,0416 0,0414 0,0412 0,0411 0,0409 0,0407 4,504,60 0,0406 0,0404 0,0403 0,0401 0,0399 0,0398 0,0396 0,0395 0,0393 0,0391 4,604,70 0,0390 0,0388 0,0387 0,0385 0,0384 0,0382 0,0381 0,0379 0,0378 0,0376 4,704,80 0,0375 0,0373 0,0372 0,0371 0,0369 0,0368 0,0366 0,0365 0,0364 0,0362 4,804,90 0,0361 0,0359 0,0358 0,0357 0,0355 0,0354 0,0353 0,0351 0,0350 0,0349 4,905,00 0,0347 0,0346 0,0345 0,0344 0,0342 0,0341 0,0340 0,0339 0,0337 0,0336 5,00

3.3. táblázat (folyt.): A „d” kihajlási görbe táblázata: χ értékei λ függvényében

v2:3-9

3-2A. példa. Határozzuk meg a 400 mm külső átmérőjű, 16 mm falvastagságú, S235 anyagúcsőszelvényből készült, 16 m hosszú, két végén csuklós megtámasztású rúd kihajlási ellenállását!(A csőszelvények osztályozása nem szerepelt a 2. fejezetben. A példában szereplő szelvény 1.osztályú.)Keresztmetszeti terület:

222

cm 0,19348,36

440

=π

−π

=A

Inercia:

444

cm 35639648,36

6440

=π

−π

=I

Inerciasugár:cm 59,130,193/35639/ === AIi

Viszonyított karcsúság (kihajlási hossz = hálózati hossz):

254,19,9359,13

1600

1=

⋅=

λ⋅=λ

iL

(A viszonyított karcsúságot számíthattuk volna a kritikus erőből is:

kN 28851600

35639210002

2

2

2=

⋅⋅π=

⋅⋅π=

LIENcr

254,12885

5,23193=

⋅=

⋅=λ

cr

y

NfA

)

Kihajlási csökkentő tényező („a” görbe): 4969,0=χA kihajlási ellenállás:

kN 20491,1/5,231934969,0/ 1. =⋅⋅=γ⋅⋅χ= MyRdb fAN .

3-2B. példa. Határozzuk meg annak a 7 m hosszú, S355 anyagú, HEB 400 szelvényűkeretoszlopnak a kihajlási ellenállását, amely • a keret síkjában alul befogott, felül pedig befogott, de el tud tolódni (befogott, kilengő keret)• a keret síkjára merőlegesen alul befogott, felül csuklós, és eltolódás ellen meg van támasztva.Feltételezzük, hogy a szelvény legalább 3. osztályú.Feltételezzük továbbá, hogy a keret síkjába a keresztmetszet gyenge tengelye esik. Ekkor nemegyértelmű, melyik irányú kihajlás a mértékadó (a keret síkjában kedvezőtlenebbek a befogásiviszonyok, de kedvezőbb a szelvény merevsége).Keresztmetszeti adatok (szelvénytáblázatból): 2cm 8,197=A ; cm 08,17=yi ; cm 40,7=zi .

(a) Kihajlás a keret síkjában ( 2,133,1300/400/ >==bh ⇒ „a” görbe):

536,04,7608,17

700

1=

⋅=

λ⋅=λ

yiL

9127,0=χ(b) Kihajlás a keret síkjára merőlegesen ( 2,133,1300/400/ >==bh ⇒ „b” görbe):

867,04,7640,7

7007,07,0

1=

⋅⋅

=λ⋅

=λzi

L

6823,0=χA kihajlási ellenállás:

kN 43551,1/5,358,1976823,0/ 1min. =⋅⋅=γ⋅⋅χ= MyRdb fAN .(A gyakorlatban inkább az a szokás, hogy a keret síkjára merőlegesen az alsó vég is csuklós.Nézzük meg, mennyire befolyásolja ez az eredményt!Ekkor: 238,1=λ ; 4589,0=χ ; kN 2929. =RdbN , tehát az előző érték 67%-a.)

v2:3-10

3-2C. példa (J. Lindner nyomán). Határozzuk meg egy változó keresztmetszetű rúd kihajlásiellenállását! A változó keresztmetszetet úgy kapjuk, hogy egy IPE 300 (S235) szelvénygerinclemezét ferdén felvágjuk, majd átfordítva a vágási felületeket összehegesztjük.A rúd 8 m hosszú, két végén csuklós megtámasztású. Kihajlás csak az erős tengely körülkövetkezhet be (másik irányban a kihajlást folytonos megtámasztás gátolja).Keresztmetszeti adatok:felül (szelvénymagasság: 380 mm) – 2cm 5,59=A ; 4cm 14315=yI

középen (szelvénymagasság: 300 mm) – 2cm 8,53=A ; 4cm 8388=yI

alul (szelvénymagasság: 220 mm) – 2cm 1,48=A ; 4cm 4181=yIKét végén csuklós, változó keresztmetszetű rúd esetén a kihajlási kritikus erő a következő közelítőösszefüggésből számítható:

2max

2

L

EINcr

π⋅µ= , ahol

3/2

max

min8,02,0

⋅+=µ

II

Esetünkben:

552,01431541818,02,0

3/2=

⋅+=µ ;

kN 2559800

1431521000552,02

2=

⋅⋅π⋅=crN .

A felső keresztmetszetben:

739,02559

5,235,59=

⋅=

⋅=λ

cr

y

NfA

761,0=χ („b” görbe – a hegesztés miatt a kedvezőtlenebb esettel, hegesztettkeresztmetszettel dolgozva)

kN 3,9671,1/5,235,59761,0/ 1. =⋅⋅=γ⋅⋅χ= MyRdb fANA középső keresztmetszetben:

703,02559

5,238,53=

⋅=

⋅=λ

cr

y

NfA

782,0=χ („b” görbe)kN 898,81,1/5,238,53782,0/ 1. =⋅⋅=γ⋅⋅χ= MyRdb fAN

Az alsó keresztmetszetben:

665,02559

5,231,48=

⋅=

⋅=λ

cr

y

NfA

803,0=χ („b” görbe)kN 825,21,1/5,231,48803,0/ 1. =⋅⋅=γ⋅⋅χ= MyRdb fAN

A rúd teherbírása e három érték közül a legkisebb, tehát 825,2 kN.

v2:3-11

(c) Rácsos tartók nyomott rúdjainak méretezése

Az elméletileg levezetett értékek alapján számolt teherbírás néha nem egyezik jól a kísérleti vizsgálatokeredményeivel, más esetekben pedig a rúdvégek megtámasztása tér el a tökéletes csuklótól vagy befogástól, ésezért nem tudjuk kellő pontossággal meghatározni a teherbírást. Az ilyen eseteket a szabványok, így azEurocode 3 is, kivételként kezelik, és empirikus alapon származtatott módosító tényezők bevezetésével írják előteherbírásuk meghatározását.

Az MSZ-hez hasonlóan ilyen megfontolások alapján vonatkoznak külön előírások az Eurocode 3-ban is a rácsostartók nyomott rúdjainak méretezésére. Ezek a szabályok azonban részben eltérnek az MSZ-ben foglaltszabályoktól, ezért most sorra vesszük őket.

• Övrudak esetén, továbbá rácsrudak tartósíkra merőleges irányú kihajlásakor a kihajlási hossz a szerkezetihosszal azonosnak vehető fel ( 0,1=ν ).

• Rácsrudak tartósíkban történő kihajlásának vizsgálatakor a kihajlási hossz a rácsrúd hálózati hosszának 0,9-szeresére vehető ( 9,0=ν ).

• Szögacélból készült rácsrudak esetén a kihajlásvizsgálat során a következő, módosított viszonyítottkarcsúságot kell figyelembe venni (a tengelyek jelölését lásd az 1. fejezetben (1-2. ábra) – az xz sík a tartósíkja):

a v tengely körüli kihajlásra: vveff λ+=λ 7,035,0, ;

az y tengely körüli kihajlásra: yyeff λ+=λ 7,050,0, ;

a z tengely körüli kihajlásra: zzeff λ+=λ 7,050,0, .

A rácsrudakra vonatkozó fenti megállapítások csakis akkor alkalmazhatók, ha az övrúd a rácsrudat kellőképpenmegtámasztja, tehát például csavarozott bekötés esetén a rácsrudat legalább két csavarral kötjük az övrúdhoz.

3.3 Hajlított gerendák kifordulási ellenállása

A kifordulásvizsgálatot az Eurocode 3 szerint a nyomott rúddal analóg módon kell elvégezni. A vizsgálat két főlépésben történik: először meg kell határozni az ún. kifordulási viszonyított karcsúságot, majd ennek alapján agerenda kifordulási ellenállását.

A következőkben ismertetendő képletek feltételezik, hogy a gerenda hajlítása a keresztmetszet erős (y) tengelyekörül történik, és a keresztmetszet legalább egyszeresen, a gyenge (z) tengelyre nézve szimmetrikus.

(a) A kifordulási viszonyított karcsúság

A kifordulási viszonyított karcsúságot a kihajláshoz tartozó viszonyított karcsúság képletével analóg módon, akövetkezőképpen számítjuk:

cr

uLT µ

µ=λ

(a betűk ugyanazt jelentik, mint a kihajlásvizsgálat kapcsán felírt, azonos alakú összefüggésben), amely állandókeresztmetszet esetén

cr

yLT M

fW ⋅=λ ,

ahol W a gerendaszelvény keresztmetszeti modulusa (1. és 2. osztályú szelvény esetén plW , 3. osztályú szelvény

esetén elW , 4. osztályú szelvény esetén pedig effW ), crM pedig a kifordulási kritikus nyomaték (azaz anyomatéki maximum értéke a kritikus állapotban).

v2:3-12

Nehézséget általában a kifordulási kritikus nyomaték meghatározása jelent – ez korántsem olyan egyszerű, mintnyomás esetén a kritikus erő meghatározása volt. Általánosságban, a kritikus nyomaték a rugalmas stabilitástanmódszereivel határozható meg (emlékeztetünk rá, hogy a kritikus szó arra utal, hogy ideális, tehát tökéletesgeometriájú, sajátfeszültségektől mentes és lineárisan rugalmas anyagú gerenda teherbíró képességéről van szó).

A gyenge tengelyére szimmetrikus, erős tengelye körül hajlított keresztmetszetű gerenda kritikus nyomatékánakáltalános képlete:

⋅−⋅−⋅−⋅+

⋅π

⋅⋅+⋅

⋅

⋅

⋅π⋅= )()(

)(

)(32

2322

22

2

2

1 jgjgz

t

z

w

w

zcr zCzCzCzC

EI

GILkII

kk

LkEI

CM

ahol:• L a tartó támaszköze• zI a gyenge tengely körüli inercia

• tI az ún. egyszerű csavarási inercia, amelynek értéke nyitott vékonyfalú szelvények esetén ∑= 331

iit tbI

(itt ib és it a szelvényt alkotó lemezek szélességi mérete és vastagsága), hengerelt szelvények eseténáltalában szelvénytáblázatból vehető;

• wI az ún. gátolt csavarási inercia – mértékegysége 6cm ; közelítő képlete kétszeresen szimmetrikusI szelvényekre

4)( 2

fzw

thII

−⋅= ,

értéke általában ugyancsak megtalálható szelvénytáblázatokban (pl. a Csellár–Szépe-táblázatokban ωJ -valjelölt és torzulási modulusnak nevezett mennyiség; ugyanitt, a 37–39. oldalon több szelvénytípusra találunkközelítő képletet);

• gz közvetlenül terhelt gerendák esetén a teher támadáspontja és a keresztmetszet csavarási középpontjaközötti függőleges távolság; akkor pozitív, ha a támadáspont a csavarási középpont felett van; ha nincsközvetlen teher (a gerendát csak a két végén ható hajlítónyomatékok terhelik), akkor értéke zérus;

• jz kétszeresen szimmetrikus keresztmetszet esetén zérus, egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetekrepedig

∫ ⋅+⋅−= AzzyI

zzy

sj d)(2

1 22

(itt sz a csavarási középpont koordinátája, y és z pedig a súlyponton átmenő derékszögűkoordinátarendszerben értelmezett koordináták); aszimmetrikus I szelvényre közelítően

)12( −β⋅⋅β= fsjj hz , ahol sh az övlemezek nyírási középpontjának távolsága, ftfc

fcf II

I+

=β (itt fcI és

ftI a szelvény nyomott, illetve húzott övének inercianyomatéka a szelvény gyenge tengelye körül), továbbá

4,0=β j ha 50,β f > és 5,0=β j ha 50,β f ≤ ;

• k a vizsgált tartószakasz végkeresztmetszeteinek elfordulás elleni megfogását jellemző szám: mindkét végteljes értékű megfogása esetén 5,0=k , két szabad rúdvég esetén 0,1=k ;

• wk a vizsgált tartószakasz végkeresztmetszeteinek vetemedés (öblösödés) elleni megfogását jellemző szám:mindkét vég teljes értékű megfogása esetén 5,0=wk , két szabad rúdvég esetén 0,1=wk ;

• 1C , 2C és 3C pedig a nyomatéki ábra alakjától, valamint k értékétől függő tényező, a 3-4. és 3-5. táblázatszerint.

A kifordulásvizsgálat alapmodellje a kéttámaszú, két végén csuklós/villás megtámasztású, két végén egyenlőnyomatékkal terhelt, kétszeresen szimmetrikus keresztmetszetű gerenda; ennek kritikus nyomatéka:

z

t

z

wzcr

EI

GILII

LEI

M⋅π

⋅+⋅

⋅π=

2

2

2

2.

v2:3-13

(b) A kifordulási ellenállás számítása

A hajlított gerenda kifordulási ellenállását a következő képlet szolgáltatja:1. / MyLTRdb fWM γ⋅⋅χ= ,

ahol LTχ a kifordulási csökkentő tényező (lásd lejjebb), W pedig az előzőekhez hasonlóan a gerendaszelvénykeresztmetszeti modulusa (1. és 2. osztályú szelvény esetén plW , 3. osztályú szelvény esetén elW , 4. osztályú

szelvény esetén pedig effW ).

A LTχ kifordulási csökkentő tényező a χ kihajlási csökkentő tényezőre a 3.2. szakaszban adott képleteksegítségével számítható:• hengerelt szelvényekre 21,0=α („a” kihajlási görbe);• hegesztett szelvényekre 49,0=α („c” kihajlási görbe)feltételezésével. A gyakorlatban a képletek helyett a 3-3. táblázatot használjuk.

Statikai váz ψ k C1 C2 C3

11,00,70,5

1,0001,0001,000

–1,0001,1131,144

0,751,00,70,5

1,1411,2701,305

–0,9981,5652,283

0,51,00,70,5

1,3231,4731,514

–0,9921,5562,271

0,251,00,70,5

1,5631,7391,788

–0,9771,5312,235

01,00,70,5

1,8792,0922,150

–0,9391,4732,150

–0,251,00,70,5

2,2812,5382,609

–0,8551,3401,957

–0,51,00,70,5

2,7043,0093,093

–0,6761,0591,546

–0,751,00,70,5

2,9273,0093,093

–0,3660,5750,837

–11,00,70,5

2,7523,0633,149

–0,0000,0000,000

3-4. táblázat: A kifordulásvizsgálathoz szükséges C tényezők közvetlenül nem terhelt gerendákra

v2:3-14

Statikai váz ψ k C1 C2 C3

– 1,00,5

1,1320,972

0,4590,304

0,5250,980

– 1,00,5

1,2850,712

1,5620,652

0,7531,070

– 1,00,5

1,3651,070

0,5530,432

1,7303,050

– 1,00,5

1,5650,938

1,2670,715

2,6404,800

– 1,00,5

1,0461,010

0,4300,410

1,1201,890

3-5. táblázat: A kifordulásvizsgálathoz szükséges C tényezők közvetlenül terhelt gerendákra

3-3A. példa. Határozzuk meg a középen koncentrált erővel terhelt, kéttámaszú, 8 m hosszúságúgerenda teherbírását, ha a gerenda oldalirányban csak a támaszoknál van megtámasztva!Szelvény: IPE360, anyag: S235. A teher a felső övön hat.Keresztmetszeti adatok:

4cm 1043=zI ; 4cm 32,37=tI ; 63 cm 106,313 ⋅=wI ; mm 180=gz ; 0,1== wkk ;

365,11 =C ; 553,02 =C ; 730,13 =C (3-5. táblázat)3

, cm 1,1019=yplWA kritikus nyomaték:

=

⋅−⋅+

⋅⋅π

⋅⋅⋅+⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅π⋅=

)18553,0()18553,0(104321000

32,378077)8001(1043

31360011

)8001(104321000365,1

22

22

2

2

crM

( ) kNm 8,119954,908,9941,89267,30078,337365,1 =−++⋅⋅=

v2:3-15

A viszonyított karcsúság:

414,111980

5,231,1019, =⋅

=⋅

=λcr

yyplLT M

fW

A kifordulási csökkentő tényező (hengerelt szelvény: „a” görbe):4109,0=χLT

A nyomatéki ellenállás:kNm 46,891,1/5,231,10194109,0/ 1,. =⋅⋅=γ⋅⋅χ= MyyplLTRdb fWM .

Innen a gerenda teherbírása:

kN 73,448

46,8944 . =⋅

==L

MP Rdb

Rd .

3-3B. példa. Határozzuk meg a kéttámaszú, felső övén egyenletesen megoszló teherrel terhelt,m 16=L fesztávolságú gerenda teherbírását, ha oldalirányban csak a támaszoknál van

megtámasztva. Szelvény: S355 anyagú, tompavarratos hegesztett I szelvény, 400-16/1000-12A 2-4. példából világos, hogy a keresztmetszet 4. osztályú, éspedig csak az övlemez horpad. Afelső öv hatékony szélessége a 2-4. példa szerint 360 mm.(a) Keresztmetszeti jellemzők meghatározása.Keresztmetszeti terület:

2cm 6,2416,1402,11006,10,36 =⋅+⋅+⋅=AA súlypont távolsága a felső öv alsó élétől:

cm 35,516,241

124056,241

8,1006,140502,11008,06,10,36==

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=fy

Inercia az erős tengely körül:

4

23

22

cm 4133682191000001556499156650

35,11002,1121002,145,496,14015,526,10,36

=+++=

=⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅⋅=yI

Hatékony keresztmetszeti modulus:3

, cm 780795,52/413368 ==yeffWInercia a gyenge tengely körül:

4333

cm 14768146221853312

1002,112

0,366,112

406,1=++=

⋅+

⋅+

⋅=zI

Csavarási inercia:

433

cm 4,1613

2,11006,1)0,3640(=

⋅+⋅+=tI

Gátolt csavarási inercia (Csellár–Szépe-táblázatok 39. o. alapján)632 cm 10371056,101

1476862218533

⋅=⋅⋅

=wI

A teher támadáspontjának függőleges távolsága a csavarási középponttól (Csellár–Szépe-táblázatok 39. o. alapján):

cm 6,598,428,02,103147683

0,186,1016,128,02,1032

3=−−=

⋅⋅⋅⋅

+−=−−= ωyt

hz fg

A jz távolság:

422,085336221

6221=

+=β f

cm 92,7)1422,02(6,1015,0 −=−⋅⋅⋅=jzTovábbi paraméterek:

0,1== wkk ; 132,11 =C ; 459,02 =C ; 525,03 =C (3-5. táblázat)(b) A kritikus nyomaték számítása:

kN 6,1195)16001(1476821000

)( 2

2

2

2=

⋅

⋅⋅π=

⋅

⋅π

Lk

EI z

v2:3-16

222

cm 5,251214768

3710500011

=⋅

=⋅

z

w

w II

kk

22

2

2

2cm 3,1090

14768210004,1618077)16001()(=

⋅⋅π

⋅⋅⋅=

⋅π

⋅⋅

z

t

EI

GILk

cm 48,2892,7525,00,53459,032 =⋅+⋅=⋅−⋅ jg zCzC

kNm 7,51348,2848,283,10905,25126,1195132,1 2 =

−++⋅⋅=crM

(c) A teherbírás számítása:

323,251370

5,357807=

⋅=λLT – innen: 1506,0=χLT („c” görbe)

kNm 4,3791,1/5,3578071506,0. =⋅⋅=RdbM

kN/m 86,1116

4,3798822

. =⋅

==L

Mp Rdb

Rd

3.4 A kihajlás és a hajlítás/kifordulás kölcsönhatása

A 3.3. szakaszhoz hasonlóan a következőkben ismertetendő képletek feltételezik, hogy a gerenda hajlítása akeresztmetszet erős (y) tengelye körül történik, és a keresztmetszet legalább egyszeresen, a gyenge (z) tengelyrenézve szimmetrikus. A keresztmetszetek vizsgálataihoz hasonlóan az ellenőrzési képlet ebben az esetben is attólfügg, hogy az adott szerkezeti elemet milyen keresztmetszeti osztály alkotja. A 2.9. szakasz bevezető részébenjelzett, a keresztmetszeti osztály megállapításával kapcsolatos probléma ebben az esetben is fennáll.

1. és 2. osztály esetén a hajlított és nyomott rudak keresztmetszeteinek az Eurocode 3 előírásai szerint akövetkező feltételt kell kielégíteniük:

1/// 1,

,

1,

,

1min≤

γ⋅

⋅+

γ⋅

⋅+

γ⋅⋅χ Myzpl

Sdzz

Myypl

Sdyy

My

SdfW

MkfW

MkfA

N, (1)

ahol

5,11 >/⋅⋅χ

⋅µ−=

yy

Sdyy fA

Nk ; (2)

90,01)42(,

, >/−+−β⋅λ=µyel

yplMyyy W

W; (3)

5,11 >/⋅⋅χ

⋅µ−=

yz

Sdzz fA

Nk ; (4)

90,01)42(,

, >/−+−β⋅λ=µzel

zplMzzz W

W, (5)

továbbá );min(min zy χχ=χ , ahol yχ és zχ az y és z tengely irányú kihajlási csökkentő tényező, Myβ és Mzβ

pedig a 3-6. táblázat szerint meghatározott, hajlítási állandó nyomatéki tényező (lásd még lejjebb).

Azon 1. és 2. osztályú keresztmetszettel rendelkező rudaknak, amelyeknél a kifordulás lehetséges tönkremenetelimód (tehát a rúd nincs folyamatosan vagy igen sűrűn oldalirányban megtámasztva, továbbá pl. nem zártszelvényű), ki kell elégíteniük a következő feltételt is:

1/// 1,

,

1,

,

1≤

γ⋅

⋅+

γ⋅⋅χ

⋅+

γ⋅⋅χ Myzpl

Sdzz

MyyplLT

SdyLT

Myz

SdfW

MkfW

MkfA

N, (6)

ahol

0,11 >/⋅⋅χ

⋅µ−=

yz

SdLTLT fA

Nk ; (7)

90,015,015,0 , >/−β⋅λ=µ LTMzLT , (8)

v2:3-17

és LTM ,β a 3-6. táblázat szerint meghatározott, kiforduláshoz tartozó állandó nyomatéki tényező (lásd méglejjebb).

A 3. osztályú keresztmetszetekkel rendelkező, hajlított és normálerővel terhelt rudaknak a következő feltételtkell kielégíteniük:

1/// 1,

,

1,

,

1min≤

γ⋅

⋅+

γ⋅

⋅+

γ⋅⋅χ Myzel

Sdzz

Myyel

Sdyy

My

SdfW

MkfW

MkfA

N, (9)

ahol yk , zk és minχ az (1) egyenlet kapcsán tárgyalt mennyiségek, de

90,0)42( >/−β⋅λ=µ Myyy ; (10)

90,0)42( >/−β⋅λ=µ Mzzz . (11)

Azon 3. osztályú keresztmetszettel rendelkező rudaknak, amelyeknél a kifordulás lehetséges tönkremeneteli mód(tehát a rúd nincs folyamatosan vagy igen sűrűn oldalirányban megtámasztva, továbbá pl. nem zárt szelvényű),ki kell elégíteniük a következő feltételt is:

1/// 1,

,

1,

,

1≤

γ⋅

⋅+

γ⋅⋅χ

⋅+

γ⋅⋅χ Myzel

Sdzz

MyyelLT

SdyLT

Myz

SdfW

MkfW

MkfA

N. (12)

Nyomatéki ábra Mβ meghatározásaA nyomatéki ábra csak a végnyomatékokból származik

ψ−=β 7,08,1M

A nyomatéki ábra csak a közvetlen teherből származik– koncentrált erő

4,1=βM

– egyenletesen megoszló erő

3,1=βM

A nyomatéki ábra mind végnyomatékokból, mindközvetlen teherből származik )( ψψ β−β

∆+β=β MMQ

QMM M

M

ahol:ψβM a végnyomatékok alapján számolt Mβ

MQβ a közvetlen teherből számolt Mβ

QM a közvetlen teherből származó legnagyobbnyomaték

M∆ végig azonos előjelű nyomatéki ábra esetén alegnagyobb nyomaték, előjelváltásos nyomatékiábra esetén a legnagyobb és legkisebb nyomatékabszolút értékének összege

3-6. táblázat: A Mβ egyenértékű nyomatéki tényező meghatározása

v2:3-18

A 4. osztályú keresztmetszetekkel rendelkező, hajlított és normálerővel terhelt rudaknak a következő feltételtkell kielégíteniük:

1/

)(/

)(/ 1,

,

1,

,

1min≤

γ⋅

⋅+⋅+

γ⋅

⋅+⋅+

γ⋅⋅χ Myzeff

NySdSdzz

Myyeff

NzSdSdyy

Myeff

SdfW

eNMkfW

eNMkfA

N, (13)

ahol yk , zk és minχ a (9) egyenlet kapcsán tárgyalt mennyiség, (10) és (11) figyelembevételével; effA a

tisztán nyomott keresztmetszet hatékony keresztmetszeti területe, yeffW , és zeffW , az y, illetve z tengely körül

tisztán hajlított keresztmetszet hatékony keresztmetszeti modulusa, Nye és Nze pedig a tiszta nyomáshoztartozó hatékony keresztmetszet súlypontja és a nyomóerő támadáspontja között y, illetve z irányban mérttávolság,

Azon 4. osztályú keresztmetszettel rendelkező rudaknak, amelyeknél a kifordulás lehetséges tönkremeneteli mód(tehát a rúd nincs folyamatosan vagy igen sűrűn oldalirányban megtámasztva, továbbá pl. nem zárt szelvényű),ki kell elégíteniük a következő feltételt is:

1/

)(// 1,

,

1,

,

1≤

γ⋅

⋅+⋅+

γ⋅⋅χ

⋅+⋅+

γ⋅⋅χ Myzeff

NySdSdzz

MyyeffLT

NzSdSdyLT

Myeffz

SdfW

eNMkfW

eNMkfA

N. (14)

A β tényezők a következő állandó nyomatéki tényezőket jelentik:• Myβ az y tengely körüli hajlításhoz tartozó egyenértékű tényező, amelynek meghatározása során a z irányú

megtámasztásokat kell figyelembe venni;• Mzβ a z tengely körüli hajlításhoz tartozó egyenértékű tényező, amelynek meghatározása során az y irányú

megtámasztásokat kell figyelembe venni;• LTM ,β a kiforduláshoz tartozó egyenértékű tényező, amelynek meghatározása során az y tengely körüli

hajlításra vonatkozó nyomatéki ábrát és az y irányú megtámasztásokat kell figyelembe venni.

3-4. példa (Ádány S. nyomán). Ellenőrizzük az ábrán vázolt gerendát! Szelvény: HEM 260;anyag: S275

Igénybevételek:• A gerendára végig kN 1000=N nagyságú nyomóerő hat.• Az y irányú (tehát az erős tengely körüli hajlítást okozó) nyomatékok szempontjából a gerenda

kéttámaszú (z irányú megtámasztások); a jobb oldalon ható koncentrált, 300 kNm nagyságúnyomatékból az ábrán látható nyomatéki ábra keletkezik.

v2:3-19

• A z irányú (tehát a gyenge tengely körüli hajlítást okozó) nyomatékok szempontjából a gerendahattámaszú (y irányú megtámasztások); a jobb oldalon ható koncentrált, 50 kNm nagyságúnyomatékból az ábrán látható nyomatéki ábra keletkezik.

A számítás során feltételezzük, hogy a keresztmetszet 1. osztályú.Keresztmetszeti jellemzők (táblázatból):

2cm 6,219=A ; cm 94,11=yi ; cm 90,6=zi3

, cm 1,2159=yelW ; 3, cm 6,2523=yplW ; 3

, cm 4,779=zelW ; 3, cm 5,1192=zplW

4cm 4,10443=zI ; 4cm 02,719=tI ; 63 cm 1035,1728 ⋅=wI

(a) Kihajlás az y tengely körülKihajlási hossz: 5 mViszonyított karcsúság:

482,08,8694,11

500

1=

⋅=

λ⋅=λ

y

yy i

l

Kihajlási csökkentő tényező („b” görbe):8919,0=χ y

(b) Kihajlás a z tengely körülKihajlási hossz: 1 mViszonyított karcsúság:

167,08,8690,6

100

1=

⋅=

λ⋅=λ

z

zz i

l

Kihajlási csökkentő tényező („c” görbe):1=χ z

(c) Kifordulás„Kifordulási hossz”: 1 mKritikus nyomaték (kétszeresen szimmetrikus keresztmetszet):

8,0=ψ ; 1== wkk ; 113,11 =C (3-5. táblázat)

kN 216452100

4,10443210002

2

2

2=

⋅⋅π=

⋅π

LEI z

kNm 33410

21645202,7198077

4,104431035,1728216452113,1

3

2

2

2

2

1

=

=⋅

+⋅

⋅⋅=⋅π

⋅+⋅

⋅π⋅=

z

t

z

wzcr

EI

GILII

LEI

CM

Kifordulási viszonyított karcsúság:

133,03341000

5,236,2523, =⋅

=⋅

=λcr

yyplLT M

fW

Kifordulási csökkentő tényező:1=χLT

(d) Kihajlás és hajlítás kölcsönhatása8919,0),min(min =χχ=χ zy

8,17,08,1 =ψ−=βMy (3-6. táblázat, a z irányú megtámasztások távolsága alapján)

0240,011,21596,2523)48,12(482,01)42(

,

, −=−+−⋅⋅=−+−β⋅λ=µyel

yplMyyy W

W – (3) szerint

004,15,276,2198919,0

10000240,011 =⋅⋅

⋅−−=

⋅⋅χ

⋅µ−=

yy

Sdyy fA

Nk – (2) szerint

v2:3-20

987,150

39,137,08,17,08,1 =−⋅−=ψ−=βMz (3-6. táblázat, az y irányú megtámasztások

távolsága alapján)

526,014,7795,1192)4987,12(167,01)42(

,

, =−+−⋅⋅=−+−β⋅λ=µzel

zplMzzz W

W – (5) szerint

913,05,276,2191

1000526,011 =⋅⋅⋅

−=⋅⋅χ

⋅µ−=

yz

Sdzz fA

Nk – (4) szerint

Ellenőrzés – (1) képlet:

1834,0153,0477,0204,01,1/5,275,1192

5000913,01,1/5,276,2523

30000004,1

1,1/5,276,2198919,01000

/// 1,

,

1,

,

1min

≤=++=⋅⋅

+⋅⋅

+

+⋅⋅

=γ⋅

⋅+

γ⋅

⋅+

γ⋅⋅χ Myzpl

Sdzz

Myypl

Sdyy

My

SdfW

MkfW

MkfA

N

tehát megfelel!

(e) Kihajlás és kifordulás kölcsönhatása24,18,07,08,17,08,1, =⋅−=ψ−=β LTM (3-6. táblázat, az y irányú megtámasztások

távolsága alapján, az y irányú nyomatékokból)119,015,024,1167,015,015,015,0 , −=−⋅⋅=−β⋅λ=µ LTMzLT – (8) szerint

0,1020,1)0,1(5,276,2191

1000119,01 =→=>/⋅⋅⋅−

−= LTLT kk – (7) szerint

Ellenőrzés – (6) képlet:

1811,0153,0476,0182,01,1/5,275,1192

5000913,01,1/5,276,25231

300001

1,1/5,276,21911000

/// 1,

,

1,

,

1

≤=++=⋅⋅

+⋅⋅

⋅+

+⋅⋅

=γ⋅

⋅+

γ⋅⋅χ

⋅+

γ⋅⋅χ Myzpl

Sdzz

MyyplLT

SdyLT

Myz

SdfW

MkfW

MkfA

N

tehát megfelel!

3.5 Gerinclemezek nyírási horpadási ellenállása

A gerinclemezek nyírási horpadási vizsgálata vékony gerincű tartók esetén lehet mértékadó azokon aszakaszokon, ahol nagy a nyíróerő. Bizonyos esetekben a viszonylag nagy nyíróerőt viszonylag nagyobbhajlítónyomaték is kísérheti, ezért a nyírási horpadás és a hajlítás kölcsönhatásának vizsgálata is szükségesséválhat.

(a) Alapelvek

A nyírási horpadást az Eurocode 3 előírásai szerint nem kell vizsgálni, amennyiben a gerinclemez d tisztamagasságának és wt vastagságának arányára fennáll • merevítetlen gerinclemezek esetén a ε≤ 69/ wtd ,

• legalább a támaszok felett merevítő bordákkal merevített gerinclemezek esetén a τε≤ ktd w 30/összefüggés, ahol ε a szokásos, az anyagminőséget figyelembe vevő tényező, τk pedig később, a (b)szakaszban részletezendő ún. nyírási horpadási tényező.

A merevítetlen gerinclemezre előírt ε≤ 69/ wtd feltétel hengerelt szelvényből készült gerendák esetén aleggyakrabban teljesül, ezért melegen hengerelt gerendákat, legalábbis a nyírási horpadás miatt, nem kellrészletesen vizsgálni. Abban az esetben, ha ez a feltétel nem teljesül, akkor az Eurocode 3 előírásai szerintmindenképpen merevítő bordákat kell elhelyezni a támasz fölött, és ezek után a gerinclemezt mint merevítettgerinclemezt kell vizsgálni.

v2:3-21

Amennyiben a merevített gerinclemezre nem teljesül a fenti τε≤ ktd w 30/ feltétel, a gerinclemezt részletesenkell vizsgálni. Erre az Eurocode 3 1.1. része két módszert tartalmaz (az acélhidakkal foglalkozó 2. rész mégtovábbi eljárásokat is ismertet): a hosszirányú normálfeszültségek hatására bekövetkező horpadás vizsgálatávalanalóg ún. egyszerű posztkritikus módszert, valamint a szabványban kissé szerencsétlen módon „húzott mezőmódszerének” nevezett eljárást.

Ez utóbbit terjedelmessége miatt nem tárgyaljuk részletesen, de megemlítjük, hogy a módszer tulajdonképpen ahúzott sávok elvén alapszik, és a nyírt, négy oldalán merevítő bordákkal, illetve övlemezekkel megtámasztottgerinclemezt mint folyási alakzatot vizsgálja. A módszert az 1970-es években a walesi Cardiff egyeteméndolgozták ki, ezért ismert cardiffi módszer néven is. (Húzott mező módszerének azért nem szerencsés nevezni,mert a nyírt gerinclemezek vizsgálatának történetileg két modelltípusa alakult ki: az eredetileg Wagner ötleténalapuló ún. húzott mező (angolul tension field approach), valamint a Basler későbbi elméletére támaszkodó ún.húzott sávok (angolul tension band approach) módszere; a cardiffi módszer ez utóbbi csoportba tartozik.)

Az Eurocode 3 szerinti húzott mező módszerét csak akkor szabad alkalmazni, ha a vizsgálandó gerinclemezmezőméreteire jellemző da /=α paraméterre 0,1≥α ; alkalmazása általában nem ajánlatos (mert túlzott biztonságottartalmaz), ha 0,3≥α . Itt a a gerincpanel szélességi méretét (tehát a két határoló merevítő borda közöttitávolságot), d pedig az előbbiekhez hasonlóan a gerinclemez tiszta magasságát jelöli.

(b) Az egyszerű posztkritikus módszer

A módszer alkalmazási feltétele, hogy a gerinclemezt legalább a támaszoknál függőleges merevítő bordákkalmerevíteni kell.

A módszer a kritikus feszültségnek a nyomott lemezek esetén (2.5. szakasz) már látott2

2

2

)1(12

⋅

ν−⋅

⋅π⋅=σ σ b

tEkcr

képletéből indul ki, amely nyírt gerinclemez esetén a következőképpen írható:2

2

2

)1(12

⋅

ν−⋅

⋅π⋅=τ τ d

tEk wcr .

Itt a τk tényező a σk -hoz hasonlóan a vizsgált lemez megtámasztási és terhelési viszonyainak, továbbá hossz-szélesség arányának hatását tartalmazza. Nyírt gerinclemezek esetén mind a megtámasztási viszonyok (négyoldalán megtámasztott lemez), mind a terhelési viszonyok (négy oldalán nyírt lemez) egységesek, ezért τk csakaz da /=α hossz-szélesség aránynak lesz függvénye, a következők szerint:

≥αα

+

≤αα

+=τ

1,0ha434,5

1,0ha34,54

2

2k

Abban az esetben, ha a gerinclemezt csak a támaszok fölött elhelyezett bordák merevítik, az ∞=α -hez tartozó34,5=τk értéket használjuk.

A kritikus nyírófeszültségből a 3.2. szakaszban részletezett

cr

uµµ

=λ

képlet szellemében, a Huber–Mises–Hencky-féle folyási feltétel figyelembevételével származtatható egy wλviszonyított lemezkarcsúság (itt w a gerinclemezre utal):

cr

yw

fτ

=λ3/

,

amelyből a 2.5. szakasz levezetése értelmében

ττ ⋅ε⋅=

⋅ε⋅⋅=λ

ktd

ktd

w4,37

14,28

13

14

adódik.

v2:3-22

A viszonyított karcsúság függvényében a gerinclemez teherbírását a

1.

M

bawRdba

tdV

γτ⋅⋅

= ,

képlet adja, ahol

[ ]

λ≤⋅λ

<λ<⋅−λ−

≤λ

=τ

wy

w

wy

w

wy

ba

f

f

f

2,1ha3

9,0

2,18,0ha3

)8,0(625,01

8,0ha3

3-5A példa: Ellenőrizzük az S355 anyagú, szimmetrikus I keresztmetszetű gerenda támasz mellettimezőjének nyírási teherbírását, ha a merevítő bordák távolsága 2500 mm, a szelvény pedig300-20/1200-10 (nyakvarrat: kétoldali mm 5=a sarokvarrat). A nyíróerő tervezési értéke(megegyezik a támaszreakcióval): kN 1100=SdV .

6,11810/118610/)2521200(/ ==⋅⋅−=wtd108,21186/2500/ ===α da

1>α ⇒ 24,6108,2/434,5/434,5 22 =+=α+=τk

6,118/7,6024,681,03030 =<=⋅⋅=⋅ε τ wtdk , tehát szükséges a nyírási horpadásvizsgálata.Az egyszerű posztkritikus módszer szerint:

567,124,681,04,37

6,1184,37

/=

⋅⋅=

⋅ε=λ

τktd w

w

2N/mm 7,117567,13

3559,03

9,0=

⋅

⋅=

λ⋅=τ

w

yba

f

kN 1100kN 12691,1/7,117106,118/ 1. =≥=⋅⋅=γτ⋅⋅= SdMbawRdba VtdV – megfelel.

(c) A merevítő bordák méretezése

Ahhoz, hogy a merevítő bordák el tudják látni feladatukat, tehát kellő megtámasztást tudjanak biztosítani agerinclemeznek, részint megfelelő merevséggel, részint pedig megfelelő teherbírással kell rendelkezniük.

Merevség tekintetében a borda akkor megfelelő, ha a borda sI inerciájára fennáll a következő feltétel:

2ha75,0

2ha5,1

32

33

≥α⋅≥

<α≥

ws

ws

tdIa

tdI

ahol az sI inercia egyoldali merevítő borda esetén a borda talpvonalára, kétoldali, szimmetrikusan elhelyezettmerevítő borda esetén pedig a gerinclemez középvonalára számítandó.

A borda teherbírása kihajlási vizsgálat segítségével ellenőrizhető (egyoldali borda esetén külpontos nyomás,kétoldali, szimmetrikusan elhelyezett borda esetén központos nyomás az igénybevétel – mi csak ez utóbbi esettelfoglalkozunk). Ennek során a bordát a 3-1. ábrán jelzett keresztmetszettel kell figyelembe venni, és ki kellmutatni, hogy a bordának saját síkjára merőleges irányú, a megtámasztásnak megfelelően legalább 0,75dkihajlási hossz és a „c” kihajlási görbe feltételezésével számított kihajlási ellenállása meghaladja az

01

</γ

τ⋅⋅−=

M

bbwSdSd

tdVN

v2:3-23

tervezési normálerőt, ahol bbτ az ún. kezdeti nyírási horpadási szilárdság:

[ ]

λ≤⋅λ

<λ<⋅−λ−

≤λ

=τ

wy

w

wy

w

wy

bb

f

f

f

25,1ha3

1

25,18,0ha3

)8,0(8,01

8,0ha3

2

3-5B. példa: Ellenőrizzük a 3-5A példában szereplő tartón elhelyezett kétoldali 140-8 méretű,S355 anyagú merevítő bordákat.(a) Merevség ellenőrzése. A bordák inerciája ( mm 101402 +× magas téglalap keresztmetszet):

43 cm 162612/8,00,29 =⋅=I

A szükséges inercia ( 2>α ):443 cm 1626cm 8916,11875,0 =<=⋅⋅= II szüks - megfelel.

(b) Teherbírás ellenőrzése.

222

N/mm 5,83567,13

3553

=⋅

=λ⋅

=τw

ybb

f

A bordában működő normálerő:kN 7,1991,1/35,816,1181100/ 1 =⋅⋅−=γτ⋅⋅−= MbbwSdSd tdVN

Ellenőrzés – kihajlásvizsgálat a borda síkjára merőlegesen.mm 5,1211081,01515 =⋅⋅=⋅ε wt (feltételezzük, hogy mindkét oldalon a gerinclemez

legalább ekkora méretű)433 cm 131912/148,0212/1)8,015,122( =⋅⋅+⋅+⋅=eqI

2cm 5,47148,021)8,015,122( =⋅⋅+⋅+⋅=eqA

cm 27,55,47/1319 ==eqi

cm 0,896,11875,075,0 =⋅== dl

221,04,7627,5

89

1=

⋅=

λ⋅=λ

eqil – a „c” kihajlási görbéből: 9888,0=χ

kN 7,199kN 15161,1/5,355,479888,0/ 1. =≥=⋅⋅=γ⋅⋅χ= SdMyeqRdb NfAN –megfelel.

3-1. ábra: A merevítő borda teherbírási vizsgálatánál figyelembe veendő együttdolgozógerinclemez-szélesség

(d) A nyírási horpadás kölcsönhatása a hosszirányú normálfeszültségekkel

A nyírási horpadás és a hosszirányú normálfeszültségek kölcsönhatására vonatkozó összefüggések aszerintalakulnak, hogy a nyírási horpadási ellenállást az egyszerű posztkritikus módszerrel vagy a húzott mezőmódszerével határozzuk-e meg. Mivel a nyírási horpadási ellenállást csak az egyszerű posztkritikus módszerszerint tárgyaltuk, a kölcsönhatás esetén is csak evvel foglalkozunk.

A nyírási horpadás csak a gerinclemezben következik be, ezért a keresztmetszet a hajlítónyomaték (és esetleg anormálerő), valamint a nyírás kölcsönhatása szempontjából megfelel, ha a hajlítónyomatékot (és normálerőt)csak az övlemezek egymagukban képesek felvenni.

Először foglalkozzunk azzal az esettel, ha nincs normálerő. Ekkor definiálható egy RdfM . nyomaték, amely acsak övlemezekből álló képzelt keresztmetszet nyomatéki ellenállását jelenti. A vizsgált tartószakasz tehátmegfelel, ha

RdfSd MM .≤ és RdbaSd VV .≤ .

Másrészt, nem kell vizsgálni a hajlítónyomaték és a nyírási horpadás kölcsönhatását, ha a nyíróerő nem éri el anyírási ellenállás felét, tehát a vizsgált tartószakasz akkor is megfelel, ha

RdcSd MM .≤ és RdbaSd VV .5,0≤ ,ahol RdcM . most a teljes keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállása.

Ha RdfSd MM .> és RdbaSd VV .5,0> , akkor a nyírási horpadás és a hajlítónyomaték kölcsönhatásba kerülegymással, és a vizsgált tartószakasz akkor felel meg, ha az igénybevételek kielégítik a következő feltételt:

−−⋅−+≤

2

.... 1

21)(

Rdba

SdRdfRdcRdfSd V

VMMMM .

A kölcsönhatási feltételt a 3-2. ábra szemlélteti.

Amennyiben normálerő is működik a tartószakaszon, akkor a fenti képletek érvényesek, de RdfM . és RdcM .

számításakor figyelembe kell venni a normálerő hatását is, a 2.9. szakasz szerint.

3-2. ábra: A nyírási horpadás és a hajlításhorpadást az egyszerű posztkritikus módszerr

nyomatéki ellenállások értékét megf

kölcsönhatása abban az esetben, ha a nyírásiel határozzuk meg. Normálerő jelenléte esetén aelelően csökkenteni kell (2.9. szakasz)

v2:3-24

v2:3-25

3.6 Közvetlenül terhelt gerinclemezek stabilitási vizsgálatai

A közvetlenül terhelt gerinclemez (I szelvényben, zárt szelvényben) a gyakorlatban részben alátámasztásokfelett, részben „valódi” közvetlen teher, például darupályatartó kerékterhei alatt fordulnak elő. A közvetlenülterhelt gerinclemezeknek erőjáték szempontjából két alaptípusa van (3-3. ábra):• a 3-3a ábrán látható esetben a gerinclemezben a közvetlen terhet a másik oldalon ébredő reakcióerő, míg• a 3-3b ábrán látható esetben a közvetlen terhet a gerinclemezben ébredő függőleges nyíróerőkellensúlyozzák.

A közvetlenül terhelt gerinclemezek stabilitásukat háromféleképpen veszíthetik el:• beroppanás formájában, amikor is a gerinclemez képlékeny alakváltozások kíséretében, a lemezre

merőlegesen nem túlzottan nagy deformációk közben veszíti el teherbíró képességét;• klasszikus horpadás formájában (3-3a ábra), amelynek során a gerinclemez adott metszete a nyomott rúd

kihajlásához hasonló alakban horpad;• gyűrődés formájában, amelynek során a gerinclemez felső részében következik be a horpadási jelenség.

Általánosságban elmondható, hogy• a 3-3a ábra szerinti esetben a beroppanás vagy a klasszikus horpadás,• a 3-3b ábra szerinti esetben a beroppanás vagy a gyűrődéslehet mértékadó. Abban az esetben, ha egy konkrét szerkezetben nem egyértelmű, hogy a 3-3a vagy b ábraszerinti esetről van-e szó, célszerű mindhárom tönkremeneteli formát megvizsgálni.

A következőkben ismertetendő összefüggések I, H és U szelvényekre vonatkoznak.

(a) A beroppanás vizsgálata

A gerinclemez beroppanásra megfelel, ha a közvetlen teher SdF tervezési értékére

RdySd RF .≤ ,

ahol az RdyR . beroppanási ellenállást a következő képlet határozza meg:

1. /)( MywysRdy ftssR γ⋅⋅+= ,

ahol ss az úgynevezett merev alátámasztás hossza, vagyis az a hossz, amelyen a közvetlen teher eredetilegmegoszlik (a közvetlen teher sohasem tökéletesen koncentrált erő formájában jelentkezik – akkor 0=ss lenne–, hanem valamekkora hosszon megoszlik; e mennyiség meghatározásakor egymáshoz mereven rögzítettacéllemezekben feltételezhető a feszültségek 45°-os szétoszlása, ugyanakkor egymáshoz nem, vagy nemmereven rögzített acéllemezekben nem tételezhető fel feszültségszétoszlás); ys pedig általában:

3-3. ábra: A közvetlenül terhelt gerinclemez két alapesete: (a) kétoldali közvetlen terhelés;(b) egyoldali közvetlen terhelés. A két alapesetben más-más stabilitásvesztési formák

alakulhatnak ki.

v2:3-26

2.012

σ⋅γ−⋅⋅⋅=

y

EdfM

w

ffy ft

bts ,

darupályatartók esetén azonban:2

.03 1

σ⋅γ−⋅

+⋅=

y

EdfM

w

RfRy ft

IIks ,

ahol Edf .σ az övlemezben a hajlításból (és az esetleges nyomásból) ébredő hosszirányú normálfeszültség, fI

és RI a felső öv, illetve a darusín inerciája önmaga vízszintes súlyponti tengelyére, Rk pedig a darusínlerögzítésének megfelelő módosító tényező, melynek értéke 3,25 (közvetlenül az övlemezhez erősített darusín)vagy 4,0 (legalább 5 mm vastagságú rugalmas alátétre ültetett darusín) lehet.

Darupályatartók esetén a darusín általában nincs mereven rögzítve a felső övlemezhez, ezért 0=ss ; ha azonbana darusínt folytonos sarokvarrattal kapcsoljuk a felső övhöz, akkor a várható kopás miatt csökkentettsínmagasságnak megfelelő ss vehető fel.

(b) A klasszikus horpadás vizsgálata

A klasszikus horpadás vizsgálata során a gerinclemezt mint nyomott rudat vizsgáljuk, amely saját síkjáramerőleges irányban ki tud hajlani, a következő paraméterekkel:

• keresztmetszet: wt vastagságú, 22seff shb += szélességű téglalap keresztmetszet, amely minden esetben

1. osztályúnak tekintendő;• kihajlási hossz: a szerkezeti kialakítástól függő, reális érték (általában a teher bevezetésének a helyén, ha

lehet, célszerű az övet oldalirányban megtámasztani; ekkor a kihajlási hossz felvehető 0,75d-re);• kihajlási görbe: „c”.

(c) A gyűrődés vizsgálata

A közvetlenül terhelt gerinclemez RdaR . gyűrődési ellenállását a következő képlet szolgáltatja:

1

2

.

32

M

f

sw

w

fy

w

Rda

dtst

tt

fEt

Rγ

⋅⋅

+⋅⋅⋅

= ,

ahol a jelölések az (a) pont, illetve az 1. fejezet szerint értendők.

Közvetlen teherrel terhelt gerinclemezű gerendák gyűrődés szempontjából megfelelnek, ha teljesülnek akövetkező feltételek:• gyűrődési feltétel a közvetlen teherre:

RdaRd RF .≤ ;• szilárdsági feltétel a hajlítónyomatékokra (ld. 2. fejezet):

RdcSd MM .≤ ;• a gyűrődés és a hajlítás kölcsönhatása:

5,1..

≤+Rdc

Sd

Rda

SdMM

RF

.

v2:4-1

4. Statikusan terhelt kapcsolatok méretezése

Ebben a fejezetben áttekintjük, hogy hogyan kell az egyszerű kialakítású, hegesztett és csavarozott kapcsolatokataz Eurocode 3 előírásai alapján méretezni. Külön kiemelést érdemel, hogy az itt megadott képletek csak statikusterhelés esetén érvényesek (tehát a dinamikus terheket és a fárasztóterhelést kizárjuk).

A kapcsolatok méretezésében az Eurocode újfajta szemléletmódot kíván bevezetni, amely azonban nemfeltétlenül jelenti, hogy a tradicionális szemléletmódot el kell vetni. Mielőtt az egyszerű kötések méretezésénekrészletkérdéseit áttekintenénk, talán érdemes pár szóban összefoglalni a kétféle megközelítésmód közöttikülönbséget.

A tradicionális megközelítésmód különválasztja a teljes szerkezet (azaz a tartószerkezeti elemek: oszlopok,gerendák stb.), illetőleg a kapcsolatok méretezését, olyannyira, hogy egyes országokban a két tervezési lépésfizikailag is különválik, amennyiben a kapcsolatokat a kivitelező vállalat tervezi meg. Tehát először meg kelltervezni az adott tartószerkezetet, majd pedig annak kapcsolatait – vagy „mértékadó igénybevételekre”,magyarán azokra a belső erőkre és nyomatékokra, amelyek a tartószerkezet statikai számításából kiadódnak,vagy pedig „határ-igénybevételre”, azaz akkora belső erőkre és nyomatékokra, amekkorát a kapcsolt szerkezetielemek képesek felvenni.

Ebben a megközelítésmódban a kapcsolatok tervezése során tulajdonképpen kétféle kérdést kell megválaszolni:• hogyan lehet a tervezési (mértékadó vagy határ) igénybevételből kiszámolni az egyes kötőelemekre, illetőleg

a kapcsolat egyes alkotóelemeire (pl. alkotó lemezekre) jutó erőket;• hogyan kell ezek után ezeket a kötőelemeket és alkotóelemeket ellenőrizni a meghatározott igénybevételekre.

Az újabb megközelítésmód az előzővel szemben nem választja külön a kétféle kérdést, hanem azokat egységesenkezeli. Másik jellegzetessége, hogy az idealizált (folytonosságot biztosító vagy teljes folytonossági hiánytelőidéző) viselkedésű kapcsolatok mellett lehetőség nyílik a közbenső viselkedésű kapcsolatok alkalmazására,aminek elsősorban az az előnye, hogy a „széles választékból” kiválasztható a gazdaságos megoldás.

Sematikusan és leegyszerűsítve a tervezési folyamat ekkor a következő lépésekből áll:

1. Első lépésben valamilyen szempont alapján el kell dönteni, milyen kapcsolattípust választunk. A döntésalapja általában nem elsősorban statikai, hanem gazdaságossági és elkészíthetőségi (gyárthatósági,szerelhetőségi stb.) szempontok együttese lehet.

2. A kiválasztott kapcsolattípus alapján valamilyen előtervezést kell végezni a szerkezetre, amelynekeredménye egy közelítés a szerkezetben szereplő szelvényekre és valamiféle közelítés a kapcsolatokúgynevezett mechanikai jellemzőire: merevségére és szilárdságára.

3. A kapcsolat közelítő mechanikai jellemzői (merevsége és szilárdsága) alapján pontosíthatók a szerkezetielemek, majd a pontosított szerkezeti elemekkel a kapcsolatok részletesebb vizsgálata végezhető el:megtervezhető a végleges, részletes kialakítás, és pontosíthatók a mechanikai jellemzők.

4. Ez a részletes vizsgálat az esetek legtöbbjében igazolja a közelítő mechanikai jellemzők használatánakjogosságát, de ha mégsem, akkor vissza kell térni a 3. lépésre.

A tervezési folyamat fő jellegzetessége tehát, hogy a tartószerkezet tervezése és a kapcsolatok tervezésepárhuzamosan folyik, és mindkettő kihat a másikra. A kapcsolatok vonatkozásában a következő kérdéseket kellmegválaszolni:• ki kell tudni választani azt a kapcsolati kialakítást, amely gazdaságos és szerelhető;• ennek meg kell tudni határozni közelítő mechanikai jellemzőit;• majd a részlettervezés során meg kell tudni állapítani a kapcsolat mechanikai jellemzőit, most már

megbízhatóan korrekt értékkel.

Mint a tervezési folyamatból látszik, ez utóbbi megközelítésmód alapvetően bonyolultabb, a teljes szerkezetviselkedésével jelentős kölcsönhatásban lévő kapcsolatok, elsősorban nyomaték átadására tervezett kapcsolatokesetén releváns. Más kapcsolatok esetén, de sokszor e kiemelt jelentőségű kapcsolatoknál is, a „tradicionális”megközelítésmód szerint célszerű eljárni. Ebből következik, hogy az „újabb” megközelítésmód nem fogja – nemis ez a célja – kiszorítani a régi módszert, csupán a kapcsolatok egy meghatározott körében kínál bizonyosszempontból potenciálisan előnyösebb alternatívát.

Ebben a fejezetben elsősorban a tradicionális megközelítésmód kapcsán feltett második kérdésre adjuk meg aválaszt. Mielőtt ebbe belefognánk, pár szóban vázoljuk fel az első kérdésre adandó választ – bár az ezzel

v2:4-2

kapcsolatban elmondható alapelvek korábbi tanulmányainkból ismerősek lesznek, ha nem is ilyen formában.Megjegyezzük, hogy az „újszerű” megközelítésmód részleteit a tárgy előadásain tárgyaljuk; némi támpontot ajegyzet 5. fejezetében, az 5.6. alfejezetben találunk.

Ami tehát azt a kérdést illeti, hogy hogyan kell a tervezési igénybevételekből meghatározni az egyes kapcsolatialkotóelemekre jutó erőket (vagy másképpen, hogyan kell szétosztani a külső erőket a kapcsolati alkotóelemekközött), általánosságban elmondható, hogy négyféle feltételt kell szem előtt tartani:• az egyensúlyi feltételt: a külső igénybevételek és a kötőelemekben feltételezett belső erők legyenek

egyensúlyban;• a kompatibilitási feltételt: a belső erőkhöz tartozó alakváltozások legyenek önmagukban következetesek és

valamilyen anyagtörvény révén tartozzanak valamilyen globális elmozdulásmezőhöz;• a szilárdsági feltételt: a kötőelemekben feltételezett belső erők ne haladják meg a kötőelem teherbírását;• a duktilitási feltételt: a kötőelemekben feltételezett alakváltozások ne haladják meg a kötőelem alakváltozási

képességét.

Az előzőekben felsorolt négy feltétel közül háromnak: az egyensúlyi, a szilárdsági és a duktilitási feltételnekmindig kötelező a betartása. Annak alapján, hogy a maradék kompatibilitási feltételt betartjuk-e, és ha igen,miképpen, meg szokás különböztetni a következő méretezési eljárásokat:• rugalmas eljárás, amelynek során betartjuk a kompatibilitási feltételt, és a kötőelemekben az alakváltozások

és a belső erők között lineáris (rugalmas) összefüggést tételezünk fel;• „reális” képlékeny eljárás, amelynek során ugyancsak betartjuk a kompatibilitási feltételt, de a

kötőelemekben az alakváltozások és a belső erők között nemlineáris (például rugalmas–képlékeny)összefüggést tételezünk fel;

• „egyszerűsített” képlékeny eljárás, amelynek során nem tartjuk be a kompatibilitási feltételt.

Ez utóbbi eset gyakran fordul elő, különösen hegesztési varratok méretezésekor, és igen gyakran szolgáltat olyaneredményeket, amelyek alapján az adott kapcsolat megbízhatóan méretezhető. Ne feledjük azonban, hogy aduktilitási feltételt (tehát a szükséges alakváltozások elérhető voltát) ekkor is be kell tartani!

Nem szabad azonban a rugalmas erőeloszlás elvétől eltérni akkor,• ha úgynevezett C típusú (teherbírási határállapotban megcsúszásnak ellenálló, lásd a 4B.1. fejezetet)

csavarokat tervezünk;• ha normál csavarok esetén (A vagy B típus) a csavar nyírási ellenállása nem haladja meg palástnyomási

ellenállását ( RdbRdv FF .. ≤ ).

Tekintettel az előzőekben összefoglalt elvekre, hegesztési varratok és csavarok között általában nem szabadugyanazt az erőt megosztani (kivétel a hegesztési varrat és a megcsúszásnak ellenálló csavarkötés együttese). Eztermészetesen nem jelenti azt, hogy egy kapcsolatban vagy csak hegesztési varrat, vagy csak csavar szerepelhet –más-más erő továbbítására, illetve ugyanazon erő más-más alkotóelemek közötti továbbítására alkalmazhatóvarrat, illetve csavar. Klasszikus példa a helyes alkalmazásra a homloklemezes csavarozott oszlop–gerendakapcsolat, amelyben a gerendáról a homloklemezre a hegesztési varrat, a homloklemezről az oszlopra a csavarokközvetítik mind a nyíróerőt, mind pedig a hajlítónyomatékot.

4A Hegesztési varratok méretezése

4A.1 Varratgeometria

Hegesztési varratok tervezésekor általában be kell tartani bizonyos szabályokat, amelyek többnyire kapcsolatbanvannak az alkalmazott számítási modell érvényességi feltételeivel. Ezek a feltételek részint arra vonatkoznak,hogy milyen esetben milyen varratot szabad alkalmazni, részint pedig arra, hogy az alkalmazott varratot hogyanlehet, illetőleg kell a számítások során figyelembe venni.

Az Eurocode 3 ilyen jellegű előírásokat nemigen tartalmaz, ezért általánosságban ajánlható, hogy a MagyarSzabvány szerinti megkötéseket tartsuk be. Ezekről részletes összefoglaló található az Agyúban1, ezért itt ezeket

1 Farkas–Iványi–Platthy–Szabó–Verőci: Acélszerkezetek gyakorlati útmutató, Egyetemi jegyzet (901217),Tankönyvkiadó, Budapest, a 3.2. fejezetben

v2:4-3

részletesen nem tárgyaljuk. Ugyanitt a varrat hasznos keresztmetszetének megállapítására megfogalmazottszabályok is jól használhatók.

Különbség azonban, hogy az Eurocode szerinti méretezés során nem különböztetünk meg I., II. és III. osztályúvarratot, ezért nem kell csökkentett méretű varratokat figyelembe venni a III. osztály esetén. Ugyancsak nemszokás a végkráterek miatt a számításokban csökkenteni a varrat hosszát.

4A.2 Első méretezési módszer (az EC3 6. fejezete szerint)

A hegesztési varratok méretezésére az Eurocode 3 két módszert ad meg, amelyek egymással egyenrangúak. Azelső módszert a továbbiakban a 6. fejezet szerinti módszernek, a másodikat pedig az M melléklet szerintimódszernek fogjuk nevezni annak alapján, hogy az Eurocode 3 1.1. részében mely szövegrész tartalmazza avonatkozó előírásokat. Az M melléklet szerinti módszer csak sarokvarratok esetén alkalmazható.

A 6. fejezet szerinti módszer az egyszerűbb, de hátránya, hogy az ily módon méretezett varratok kicsitnagyobbak lesznek, mint az M melléklet szerinti módszer alapján tervezettek. A módszer használata során aztkell kimutatni, hogy a varrat egységnyi hosszára eső Fw.Sd [kN/m] fajlagos erő (igénybevétel) nem haladja meg avarrat Fw.Rd fajlagos ellenállását.

A varrat egységnyi hosszára eső Fw.Sd fajlagos erőt a szokásos módon kell kiszámítani. A magyar gyakorlatban avarratfeszültségek számítása terjedt el; a varratra ható fajlagos erő a varratfeszültségek eredőjének és a varratgyökméretének szorzata.

A varrat Fw.Rd fajlagos ellenállását a következő képlet adja:afF dvwRdw ⋅= .. ,

ahol a a varrat gyökmérete, míg fvw.d a varrat nyírószilárdsága, amely a következőképpen számítható:

Mww

udvw

ff

γ⋅β⋅=

3. .

Ez utóbbi összefüggésben fu az alapanyag szakítószilárdsága (értékét lásd az 1-5. táblázatban), γMw a hegesztésivarrat ellenállásához tartozó biztonsági tényező (keretes értéke 1,25), βw pedig az anyagminőségtől függőkorrekciós tényező, amelynek értékét a 4-1. táblázat adja meg.

Az előző képletekből levonható az a lényeges következtetés, hogy a varrat ellenállása nem függ attól, hogy a ráműködő erő milyen irányú.

Anyagminőség Szabvány wβ értékeS235S275S275S355S355S420S460S460

EN 10025EN 10025EN 10113EN 10025EN 10113EN 10113EN 10113EN 10137

0,800,850,800,900,901,001,001,00

4-1. táblázat: A wβ korrekciós tényező értékehegesztett kötések vizsgálatához

4A-2A. példa. Határozzuk meg az S235 anyagú lemezeket kapcsoló, 200/6 méretűoldalsarokvarrat, illetve az ugyanekkora homloksarokvarrat ellenállását.

Mivel a varratok teherbírása nem függ a varratra ható erő irányától, mindkét esetben ugyanakkoralesz az ellenállás.A varrat nyírószilárdsága:

2. N/mm 8,207

25,18,03360

3=

⋅⋅=

γ⋅β⋅=

Mww

udvw

ff .

v2:4-4

A varrat egységnyi hosszának fajlagos ellenállása: kN/m 1247N/mm 124768,207:. ==⋅=⋅= afF dvwRdw

A varrat ellenállása:kN 4,2492,01247. =⋅=⋅= lFF RdwRd .

4A-2B. példa. Ellenőrizzük az ábrán vázolt két esetben a rácsos tartó csomólemezét bekötőkétoldali sarokvarratokat (anyag: S235). A kapcsolat például a merevítő rendszer és a főtartókapcsolata lehet egy csarnokban. A példa megegyezik az Agyú 3.13. példájával (110–112. oldal),azonban mi itt most természetesen az EC3 6. fejezete szerinti módszert alkalmazzuk.

Az ábrákon vázolt esetek között az a különbség, hogy az első esetben a bekötés központos, amásodik esetben pedig külpontos, emiatt az egyensúlyi feltételből következően a két esetben eltérőlesz a feszültségeloszlás.

A varrat fajlagos ellenállása:

kN/m 4,83125,18,03

3604. =⋅⋅

⋅=RdwF

a) A varratra ható igénybevételek:

– normálerő: kN 9,1862

143288 =−=aN

– nyíróerő: kN 1,1012

143==aV

– nyomaték: 0=aM

A varratra működő legnagyobb fajlagos erő:

kN/m 4,831kN/m 0,33232,02

1,1019,1862 .

2222

. =≤=⋅+

=+

= Sdwaa

Sdw Fl

VNF , tehát a varrat

megfelel.

b) A varratra ható igénybevételek:– normálerő: kN 9,186== ab NN– nyíróerő: kN 1,101== ab VV– nyomaték: kNm 345,905,09,186 =⋅=⋅= eNM bb

A varratra működő legnagyobb fajlagos erő:

kN/m 4,831kN/m 5,5870,158)8,2730,292(

32,021,101

32,02345,96

32,029,186

226

2

.22

22

2

22

2.

=≤=++=

=

⋅

+

⋅

⋅+

⋅=

+

+=

Rdw

bbbSdw

F

lV

lM

lN

F

tehát a varrat megfelel.

v2:4-5

4A.3 Második méretezési módszer (az EC3 M melléklete szerint, sarokvarratokra)

Az M melléklet szerinti, csak sarokvarratok esetén használható alternatív módszer az előzőnél kevésbé egyszerű,azonban közelebb áll a magyar szabvány szerinti tervezés során megszokotthoz.

E módszer során a varrat egyes pontjaiban kialakuló eredő feszültséget a magyar szabványból már ismert módonσz, τz és τy komponensekre kell bontani, majd a következő két feltétel teljesülését kell kimutatni:

Mww

ufγ⋅β

≤τ+τ+σ )(3 222yzz ;

Mw

ufγ

≤σz .

Az összefüggések tüzetesebb vizsgálata alapján megállapítható, hogy 0=σz esetén a 6. fejezet szerint módszerés az M melléklet szerinti módszer ugyanarra az ellenőrzési képletre vezet, míg 0≠σz esetén a 6. fejezetszerinti módszer többletbiztonságot tartalmaz az M melléklet szerinti módszerhez képest. A második ellenőrzésiképlet az esetek túlnyomó többségében nem mértékadó.

4A-3A. példa. Határozzuk meg a 4A-2A. példában szereplő sarokvarratok ellenállását az Mmelléklet szerinti módszerrel.

a) Oldalsarokvarrat: A varratban az RdF külső erőből csak al

FRd⋅

=τy varratfeszültség keletkezik,

amelyet az ellenőrzési képletbe írva a következőt kapjuk:

Mww

uRd fal

Fγ⋅β

≤⋅

3 , amelyből átrendezve:

kN 4,249620025,18,03

3603

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅γ⋅β⋅

= alf

FMww

uRd ,

amely megegyezik a 4-1. példa eredményével.

b) Homloksarokvarrat: A varratban az RdF külső erőből al

FRd

⋅⋅=τ=σ

2zz varratfeszültségek

keletkeznek, amelyeket az ellenőrzési képletbe írva a következőt kapjuk:

Mww

uRd fal

Fγ⋅β

≤⋅⋅

+2

31 , amelyből átrendezve:

kN 5,305620025,18,02

3602

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅γ⋅β⋅

= alf

FMww

uRd

adódik. A kiegészítő vizsgálat:22 N/mm 288

25,1360N/mm 180

620025,305

2==

γ≤=

⋅⋅=

⋅⋅=σ

Mw

uRd fal

Fz , tehát teljesül.

4A-3B. példa. Ellenőrizzük a 4A-2B. példában vizsgált hegesztési varratot az M melléklet szerintieljárással.

Az ellenőrzési képlet jobb oldala:2N/mm 360

25,18,0360

=⋅

=γβ Mww

uf

a) A varratra ható igénybevételek (megegyeznek a 4A-2B. példával) és a varratfeszültségek:

– normálerő: kN 9,1862

143288 =−=aN ⇒ 2N/mm 62,5132,0004,022

9,186=

⋅⋅⋅=τ=σ zz

– nyíróerő: kN 1,1012

143==aV ⇒ 2N/mm 49,39

32,0004,021,101

=⋅⋅

=τy

v2:4-6

Az ellenőrzési képlet bal oldala:22222222 N/mm 360N/mm 8,123)49,3962,51(362,51)(3 ≤=++=τ+τ+σ yzz ,

tehát a varrat megfelel.

A kiegészítő vizsgálat: 22 N/mm 28825,1

360N/mm 62,51 ==γ

≤=σMw

ufz , ez is teljesül.

b) A varratban a 2N/mm 62,51=τ=σ zz és 2N/mm 49,39=τy feszültségeken túl még akülpontosság miatti nyomatékból is keletkezik feszültség:

222 N/mm 86,59

32,0004,02345,69

21

2

62

1=

⋅⋅⋅=⋅=τ′=σ′

alM b

zz

Most az ellenőrzési képlet bal oldala:

[ ]22

222222

N/mm 360N/mm 3,233

)49,395,111(35,111)(3)(

≤=

=++=τ+τ′+τ+σ′+σ yzzzz

tehát a varrat megfelel.

A kiegészítő vizsgálat: 22 N/mm 28825,1

360N/mm 5,111 ==γ

≤=σΣMw

ufz , ez is teljesül.

4B Egyszerű csavarozott kötések méretezése

4B.1 A csavarozott kötések osztályai

A csavarozott kötéseket a bennük szereplő csavarok erőjátékának megfelelően az Eurocode 3 öt osztálybasorolja (A-tól E-ig). Az acélszerkezetek csavarozott kapcsolataiban a csavarokat vagy nyíróerő, vagy húzóerő,vagy e kettő kombinációja terheli; emellett a csavarok erőjátékára hatással van, hogy a csavar feszített-e vagysem.

A nyírt csavaroknak három osztályát különböztetjük meg:• az A osztályú csavar nem feszített, ennek megfelelően az erőátadás nyírás és palástnyomás révén valósul

meg;• a B osztályú csavar feszített, ezért az erőátadás az összeszorított felületek közötti súrlódás révén valósul

meg, de csak a használhatósági határállapotban, míg a teherbírási határállapotban a csavar nem feszítettkéntviselkedik, és az erőket nyírás és palástnyomás révén adja át.

• a C osztályú csavar feszített, és az erőátadás mind a használhatósági, mind pedig a teherbírásihatárállapotban az összeszorított felületek közötti súrlódás révén valósul meg.

Megjegyzendő, hogy az Eurocode a B osztályú csavarokat „használhatósági határállapotban megcsúszásnakellenállónak”, a C osztályú csavarokat pedig „teherbírási határállapotban megcsúszásnak ellenállónak” nevezi. Asúrlódás révén történő erőátadás nyilván feltételezi, hogy az összeszorított felületek ne csússzanak el egymáson(míg a nem feszített csavar működéséhez a megcsúszás elengedhetetlen). A B és a C osztályú csavar eseténgondoskodni kell a súrlódó felületek alkalmas előkészítéséről.

A húzott csavaroknak a következő két osztályát különbözteti meg a szabvány:• a D osztályú csavarok nem feszítettek;• az E osztályú csavarok feszítettek.

Az erőátadás mindkét esetben egyaránt a csavar húzása révén valósul meg. Feszített csavarokat húzott csavaresetén nagyobb merevség biztosítása, illetőleg rezgésekkel vagy fárasztóterheléssel szembeni kedvezőbbviselkedés miatt alkalmazunk.

Ha egy csavar egyszerre húzott és nyírt (ez egyébként gyakran fordul elő, például homloklemezeskapcsolatokban), akkor két osztálya van. A lehetséges párosítások: AD, BE, CE.

v2:4-7

4B.2 Geometria

(a) Csavarok és csavarlyukak

Az Eurocode négyféle csavarlyuktípust különböztet meg: normál csavarlyukakat, túlméretes csavarlyukakat,rövid hasíték lyukakat és hosszú hasíték lyukakat. Mi a továbbiakban mindig feltételezzük, hogy normálcsavarlyukakat alkalmazunk.

Normál csavarlyukak esetén a lyukhézag (azaz a lyukátmérő és a lyukba kerülő csavar szárátmérője közöttikülönbség) a csavar átmérőjétől függ, és a következők szerint van szabályozva:• M12 és M14 csavar esetén 1 mm;• M16, (M18), M20, M22, M24 csavar esetén 2 mm• M27 és annál nagyobb csavar esetén 3 mm.

Az előző felsorolás egyben tájékoztatást ad a járatos csavarméretekről is (a jelölések a magyar gyakorlatbanmegszokottal egyeznek, tehát „M20” a 20 mm szárátmérőjű csavart jelöli). A csavarok szabványos geometriaiadatait a 4-2. táblázat foglalja össze.

A csavarok anyagának jelölése ugyancsak megegyezik a magyar gyakorlattal. A következő csavarminőségeketszokás alkalmazni (a kevéssé gyakoriak zárójelek között szerepelnek):

(4.6), (4.8), 5.6, (5.8), (6.6), (6.8), 8.8, 10.9, (12.9)

A jelölésben az első szám a csavar szakítószilárdságának karakterisztikus értékére ( ubf ) utal (5.6 csavar eseténMPa 500=ubf stb.), míg a második szám a csavar folyáshatárának karakterisztikus értékét ( ybf ) adja meg a

szakítószilárdsághoz viszonyítva (5.6 csavar esetén MPa 3006,0 =⋅= ubyb ff stb.).

csavar átmérőd, mm

furatátmérőd0, mm

keresztmetszetiterületA mm2

húzásifeszültség-

keresztmetszetAs, mm2

átmérő akigombolódásszámításához

ds, mmM12M14M16M18M20M22M24M27M30

121416182022242730

131518202224263033

113154201254314380452573707

84,3115157192245303353459561

20,523,724,629,132,434,538,844,249,6

4-2. táblázat: Csavarok legfontosabb geometriai jellemzői

(b) Csavarkép

Csavarozott kötésekben a csavarok kiosztását tekintve minimális és maximális távolsági méretekhez kelligazodni, amelyeket a 4-3. táblázat foglal össze. A minimális határok betartása a csavar teherbírását leíróképletek érvényességéhez szükséges, a maximális határok pedig elsősorban a kapcsolt lemezek egymástól valóelválásának, illetve az ebből eredő korróziós veszélynek a megelőzésére szükségesek.

A csavarok elrendezésének leírása során az Eurocode-hoz kapcsolódó szakirodalom a következő jelölésekethasználja (4-1. ábra):• d a csavarszár átmérője• d0 a csavarlyuk átmérője;• e1 a szélső csavarlyuk tengelyének távolsága az elem végétől, az erőátadás irányában (röviden: végtávolság)

v2:4-8

• e2 a szélső csavarlyuk tengelyének távolsága az elem szélétől, az erőátadás irányára merőlegesen (röviden:széltávolság)

• p1 a csavarlyukak tengelyének egymástól mért távolsága az erőátadás irányában (osztásköz)• p2 a csavarlyukak tengelyének egymástól mért távolsága az erőátadás irányára merőlegesen (osztásköz).

Maximális távolságMéret Minimális távolság

fokozott korrózióveszély nincs fokozott korrózióveszély

1e 02,1 d

2e 05,1 d *40 mm + 4t max(12t, 150 mm)

1p 02,2 d

2p 00,3 d *min(14t, 200 mm)**

4-3. táblázat: A vég-, szél- és osztástávolságok csavarozott kapcsolatokban. A már magyarázott jelöléseken túlt a vékonyabbik kapcsolt lemez vastagsága. A *-gal jelölt értékek csökkenthetők, ha a palástnyomási ellenállást

megfelelően korrigáljuk (lásd később, a palástnyomási ellenállás kapcsán). A csavarlyuksorok az erőátadásirányában szimmetrikusan eltolhatók; ekkor a **-gal jelölt határ az eredeti távolságokra vonatkozik.

4-1. ábra: A csavarkép leírására használt jelölések (a) és szimmetrikusan eltolt csavarsorok (b).A (b) szerinti esetben a nem szélső csavarsorokban az erőátadás irányában a csavarok osztástávolságának

maximális mérete kétszeresére növelhető a 4-3. táblázatban megadott értéknek.

4B.3 Nem feszített csavarok ellenállása

(a) Nyírt csavarok ellenállása

A nyírt csavarok tönkremenetele feltételezéseink szerint vagy a csavarszár elnyíródásával, vagy a csavarszárkörül az alapanyag (ritkábban a csavarszár) palástnyomási ellenállásának kimerülésével következhet be. Ennekmegfelelően nyírt csavarok esetén a következő két ellenőrzést kell elvégezni:

RdvSdv FF .. ≤ ;

RdbSdv FF .. ≤ ,ahol• SdvF . a csavarra ható nyíróerő tervezési értéke;• RdvF . a csavar nyírási ellenállásának tervezési értéke;• RdbF . a csavar palástnyomási ellenállásának tervezési értéke.

v2:4-9

A csavarok RdvF . nyírási ellenállásának meghatározásához tudni kell, hogy a csavarszár mely (a menetes vagy amenet nélküli) részében működik a nyírás, illetve azt, hogy hány nyírt sík van. n-szer nyírt csavar esetén, havalamennyi nyírt sík a menet nélküli részben van, akkor a csavar nyírási ellenállása:

Mb

ubRdv

AfnF

γ⋅=

6,0. ,

ahol• ubf a csavar anyagának szakítószilárdsága;• A a csavarszár keresztmetszete (ez a mennyiség számítható a csavarátmérőből);• Mbγ a csavarozott kapcsolatok ellenállásához tartozó biztonsági tényező, amelynek „keretes” értéke 1,25

(1-6. táblázat).

n-szer nyírt csavar esetén, ha valamennyi nyírt sík a csavar menetes részén halad át (az ilyen kialakítást célszerűkerülni), akkor a nyírási ellenállás:

Mb

subvRdv

AfnF

γα⋅=. ,

ahol az előzőekben már megmagyarázott jelöléseken túl:• vα a csavar anyagától függő módosító tényező: 4.6, 5.6 vagy 8.8 anyagú csavar esetén 6,0=αv , 4.8, 5.8,

10.9 anyagú csavar esetén pedig 5,0=αv ;• sA a csavar feszültség-keresztmetszete, értékét a 4-2. táblázat adja meg.

Ha a nyírt síkok vegyesen a menetes és a menet nélküli részben vannak, akkor az előző két képlet értelemszerűkombinálásával lehet a csavar nyírási ellenállását meghatározni.

Az RdbF . palástnyomási ellenállást a következő képlet adja:

Mb

uRdb

tdfFγ

⋅⋅⋅α=

5,2. ,

ahol az előzőekben már tárgyaltakon túl:• uf az alapanyag szakítószilárdsága;• d a csavarszár átmérője;• t az egy irányba elmozdulni akaró lemezek összvastagsága közül a kisebbik;• α a csavarkép geometriájától függő csökkentő tényező, amely egyben szükség esetén a csavar

szakítószilárdságának hatását is figyelembe veszi (jelöléseket lásd a 4B.2. szakaszban):

−=α 0,1 ; ;25,0

3 ;

3min

0

1

0

1

u

ubff

dp

de

.

A képletből látható, hogy a varratgeometria változásával (a végtávolság és az osztástávolság növelésével)bizonyos határok között növelhető a palástnyomási ellenállás. Ezért, ha a palástnyomás a mértékadó, akkor acsavarképet lehetőség szerint úgy célszerű kialakítani, hogy az α értéke 1,0 legyen.

A palástnyomási ellenállás megfelelő csökkentésével a 4-3. táblázatban *-gal jelölt határok 0min,2 2,1 de = -ra,illetőleg 0min,2 4,2 dp = értékig csökkenthetők. Ezen csökkentett érték esetén a palástnyomási ellenállás értékét2/3-ára kell csökkenteni; kisebb csökkentés esetén lineáris interpoláció alkalmazható.

Abban az esetben, ha a kapcsolat ún. hosszú kapcsolat, azaz az egyazon erő átvitelére tervezett kötőelemek közülaz első és az utolsó távolsága (a kapcsolat jL hossza) az erőátadás irányában meghaladja a 15d értéket, a

csavarok RdvF . nyírási ellenállását a következő csökkentő tényezővel kell módosítani (annakfigyelembevételére, hogy ezekben a kötésekben az erők eloszlása már nem tekinthető egyenletesnek):

75,0200

151 </

−−=β

ddL j

Lf .

v2:4-10

Béléslemezek alkalmazása esetén, ha a béléslemezek pt teljes vastagsága meghaladja a kötőelemek d

szárátmérőjének 1/3-át, akkor az RdvF . nyírási ellenállást a következő tényezővel kell csökkenteni:

0,138

9>/

+=β

pp td

d .

(b) Húzott csavarok ellenállása

A húzott csavarok tönkremenetele vagy a csavar elszakadásával (húzási ellenállása kimerülésével), vagy azúgynevezett kigombolódási nyírási ellenállás kimerülésével következhet be. A kigombolódási ellenálláskimerülésekor a csavarfej vagy a csavaranya alatt a kapcsolt lemez vastagsága mentén körhöz hasonló alakbanelnyíródik, hasonlóan a vasbeton lemezek átszúródásához. A helyesen kialakított kötésekben a csavar húzásitönkremenetele a mértékadó.

A húzott csavar ellenőrzésekor a következő feltétel teljesülését kell kimutatni:RdtSdt BF .. ≤

ahol SdtF . a csavarban ébredő húzóerő, RdtB . pedig a csavar–lemez együttes húzási ellenállása, amely definíciószerint:

) ;min( ... RdpRdtRdt BFB = , ahol viszont• RdtF . a csavar húzási ellenállása;• RdpB . a csavar–lemez együttes kigombolódási ellenállása.

A csavar húzási ellenállását ( RdtF . ) a következő képlet adja:

Mb

subRdt

AfF

γ=

9,0. ;

a képletben szereplő jelölések már ismerősek az (a) szakaszból.

A csavar–lemez együttes kigombolódási ellenállását elvileg külön-külön ki kell számítani a csavarfej és az anyaalatt; a legtöbb esetben azonban szemléletből megállapítható, melyik a mértékadó (általában az, amely alattvékonyabb lemez van). Értéke a következő képletből számítható:

Mb

upmRdp

ftdB

γ

⋅⋅⋅π=

6,0. ,

ahol:• md a csavarfej vagy a csavaranya laptávolságának (beírt kör átmérője) és csúcstávolságának (köré írt kör

átmérője) számtani közepe, l. a 4-2. táblázatot.• pt a csavarfej vagy az anya alatti lemez vastagsága;

• uf e lemez anyagának szakítószilárdsága.

(c) Összetett igénybevétellel terhelt (húzott és nyírt) csavarok ellenállása

Ha egy csavart egyszerre terheli húzó- és nyíróerő ( SdtF . és SdvF . ), akkor a csavart egyrészt ellenőrizni kellkülön nyírásra és külön húzásra, továbbá (mivel a nyírt síkokban nyíró- és húzófeszültségek egyszerrekeletkeznek) ki kell mutatni egy további feltétel teljesülését (a jelölések az előzőek szerintiek):

0,14,1 .

.

.

. ≤+Rdt

Sdt

Rdv

SdvF

FFF

.

A képlet felépítéséből következik, hogy a következő kiegészítő feltételeknek is teljesülniük kell:RdbSdv FF .. ≤

RdtSdt FF .. ≤

RdpSdt BF .. ≤

v2:4-11

4B-3A. példa. Határozzuk meg egy, a 4-1a ábrán vázolthoz hasonló kialakítású átlapolt kapcsolatteherbírását központos húzóerő esetére, a következő adatokkal:

Kapcsolt lemezek: 160-12; 200-10Csavarok: M20, 5.6. ( mm 220 =d )Alapanyag: S235Geometria: e1 = 40 mm; p1 = 60 mm; e2 = 40 mm; p2 = 80 mmA nyírás síkja a csavarok menet nélküli részére esik.

Először meghatározzuk a kapcsolt elemek ellenállását.kN 4700,1/5,23120,. =⋅⋅=balRdplN

kN 2,4510,1/5,232,116,. =⋅⋅=jobbRdplN

kN 4,40425,1/361)2,2220(9,0,. =⋅⋅⋅−⋅=balRduNkN 8,36025,1/362,1)2,2216(9,0,. =⋅⋅⋅−⋅=jobbRduN

Egy csavar nyírási ellenállása:

kN 40,7525,1

40,2506,0

16,0

2

. =

π⋅⋅

⋅=γ

⋅=Mb

ubRdv

AfnF

Egy csavar palástnyomási ellenállása:

606,00,1 ;360500 ;25,0

22360 ;

22340min0,1 ; ;25,0

3 ;

3min

0

1

0

1 =

−

⋅⋅=

−=α

u

ubff

dp

de

kN 3,8725,1

1236606,05,25,2. =

⋅⋅⋅⋅=

γ⋅⋅⋅α

=Mb

uRdb

tdfF

Tehát a csavarkép ellenállása:kN 4,45240,756, =⋅=csRdF

A kapcsolat tehát teljes szilárdságú (azaz a kapcsolat erősebb, mint a kapcsolt elemek), és ellenállása 452,2 kN. A kialakítás ellenállását az alapanyag ellenállása határozza meg, amely360,8 kN.

4B-3B. példa. Két IPE 160 szelvényű, központosan húzott rudat oly módon kapcsolunk össze,hogy végükre homloklemezt hegesztünk, és abban négy M24, 10.9 csavart helyezünk elszimmetrikusan. Mekkora húzóerőt képes átadni a kapcsolat? (A homloklemez és az IPE szelvényközötti hegesztett kapcsolatról feltételezzük, hogy képes a szükséges erők átvezetésére.) Adatok:

Alapanyag (IPE szelvény és homloklemez): S235Homloklemez vastagsága: 25 mm

Az IPE szelvények húzási ellenállása:kN 4,4720,1/5,231,20/ 0. =⋅=γ⋅= MyRdpl fAN

Egy csavar kigombolódási ellenállása:csavarfej/csavaranya átlagos átmérője: mm 5,34=md (l. 4-2. táblázat)

kN 2,46825,1

365,245,36,06,0. =

⋅⋅⋅π=

γ

⋅⋅⋅π=

Mb

upmRdp

ftdB

v2:4-12

Egy csavar húzási ellenállása:

kN 2,21825,1

03,31009,09,0. =

⋅⋅=

γ=

Mb

subRdt

AfF

A csavarkép húzási ellenállása tehát kN 6,8722,2184 =⋅ , ami azt jelenti, hogy a kapcsolat teljesszilárdságú (ellenállása nagyobb, mint a kapcsolt elemeké).

4B-3C. példa. Mekkora nyíróerőt tud felvenni az előző példában szereplő csavarozott kapcsolat,ha az IPE szelvények húzásra 90%-ban vannak kihasználva? A nyírás síkja a csavarok menetnélküli részére esik.

Az egyes csavarokban ébredő húzóerő:

kN 96,62kN 4,4299,041

. =⋅⋅=SdtF

A csavarok nyírási ellenállása:

kN 5,18225,1

42,21006,0

16,0

2

. =

π⋅⋅

⋅=γ

⋅=Mb

ubRdv

AfnF

A húzással és nyírással egyaránt igénybevett csavar ellenőrzésére a következő képlet vonatkozik:

0,14,1 .

.

.

. ≤+Rdt

Sdt

Rdv

SdvF

FFF

,

amelyet átrendezve a mi esetünkben felvehető nyíróerő csavaronként:

kN 8,1242,2184,1

62,9615,1824,1

1.

... =

⋅

−⋅=

−⋅=

Rdt

SdtRdvSdv F

FFF ,

amelynek természetesen határt szabhat a csavar palástnyomási ellenállása. 1=α feltételezésével:

kN 39625,1

5,22,23615,25,2. =

⋅⋅⋅⋅=

γ⋅⋅⋅α

=Mb

uRdb

tdfF ,

tehát a palástnyomás valószínűleg nem lesz mértékadó (a pontos csavarkép ismeretében αtényleges értéke meghatározható, és ellenőrizhető a palástnyomás.)

A csavarkép nyírási ellenállása tehát a feladatban megfogalmazott feltételek esetén: kN 2,4998,1244 =⋅ .

4B.4 Súrlódásos feszített csavarok ellenállása

(a) Nyírt csavarok ellenállása

Nyíróerővel terhelt csavarok esetén (amelyeket nyírt csavaroknak is hívhatunk, bár a csavarokban nem lép felnyírófeszültség), ha a csavarok feszítettek, az erőátadás oly módon valósul meg, hogy a feszített csavarokösszeszorítják az érintkező felületeket, amelyek ezek után súrlódás révén közvetlenül adják át az erőt. A súrlódásrévén történő erőátadás feltétele, hogy az egy-egy csavarra számítható igénybevétel (Fv.Sd) ne haladja meg acsavar megcsúszási ellenállását (Fs.Rd), azaz azt az erőt, amelynél a felületek közötti tapadási súrlódásmegszűnik. Az Eurocode 3 szerint követelmény továbbá, hogy az Fv.Sd csavarerő a csavar Fb.Rd palástnyomásiellenállását se haladja meg (a palástnyomási ellenállást a nem feszített csavarok esetében tanult módon kellmeghatározni).

Az előzőekben (4B.2. szakasz) megkülönböztettünk B és C kategóriájú kapcsolatokat – a B kategóriában asúrlódásos erőátadásnak csak a használhatósági határállapothoz tartozó terhekre, a C kategóriában pedig ateherbírási határállapothoz tartozó terhekre is működnie kell. Ennek megfelelően az egyes kategóriákra akövetkező ellenőrzések szükségesek (valamennyi jelölt mennyiség egyetlen csavarra vonatkozik):

v2:4-13

• B kategória:serRdsserSdv FF .... ≤ – a használhatósági határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar

használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállását;RdvSdv FF .. ≤ – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar

nyírási ellenállását (a nem feszített csavarokkal azonos módon);RdbSdv FF .. ≤ – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar

palástnyomási ellenállását (a nem feszített csavarokkal azonos módon);

• C kategória:RdsSdv FF .. ≤ – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar

teherbírási határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállását;RdbSdv FF .. ≤ – a teherbírási határállapothoz tartozó nyíróerő nem haladja meg a csavar

palástnyomási ellenállását (a nem feszített csavarokkal azonos módon).

Mind a teherbírási, mind a használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállás arányos a csavarfeszítőerejével, amelyet a számításokban a következő értékkel kell feltételezni (és a kivitelezési szabvány2

szerint kivitelezéskor ekkora erőre kell meghúzni a csavarokat):subCdp AfF 7,0. =

ahol az előző szakaszhoz hasonlóan ubf a csavar anyagának szakítószilárdsága, sA pedig a csavar feszültség-keresztmetszete.

A teherbírási és a használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállás értékét (amely egy csavarravonatkozik) egyaránt a következő összefüggés szolgáltatja:

CdpMs

sRds F

nkF .. ⋅

γµ⋅⋅

=

ahol• sk a lyuktényező, amelynek értéke normál csavarlyukakra 1,0; túlméretes és rövid hasíték lyukakra 0,85;

hosszú hasíték lyukakra pedig 0,7;• n a súrlódó felületek száma,• µ a súrlódási tényező, amely a felület-előkészítési osztály függvényében van megadva (lásd később);• Msγ pedig a biztonsági tényező, amelynek értéke a használhatósági határállapothoz tartozó megcsúszási

ellenállás számításához 10,1, =γ serMs , a teherbírási határállapothoz tartozó megcsúszási ellenállásszámításához pedig 25,1, =γ ultMs .

A súrlódási tényező szempontjából négy felület-előkészítési osztályt (A, B, C és D) különböztetünk meg; azezekhez tartozó súrlódási tényező rendre 0,5; 0,4; 0,3 és 0,2.

A felület-előkészítési osztályok:• az A osztályba tartoznak a sörétezett vagy szemcsefútt, de festetlen felületek;• a B osztályba tartoznak a sörétezett vagy szemcsefútt, majd festett felületek;• a C osztályba tartoznak a drótkefézéssel vagy lángszórással tisztított felületek;• a D osztályba pedig a kezeletlen felületek tartoznak.

(b) Összetett igénybevétellel terhelt (húzott és nyírt) csavarok ellenállása

Húzóerő jelenléte esetén egyrészt ellenőrizni kell a csavarokat mint nem feszített csavarokat húzásra (húzási éskigombolódási ellenállás), továbbá vizsgálni kell nyírásra az előző (a) pontban tárgyalt módon, de a következő,módosított megcsúszási ellenállásokkal:• B kategória esetén:

)8,0( ,..,

,. serSdtCdpserMs

sserRds FF

nkF −⋅

γµ⋅⋅

= ;

2 l. MSZ ENV 1090-1:1999, 8.7.1. szakasz (4) bekezdés

v2:4-14

• C kategória esetén:

)8,0( ..,

. SdtCdpultMs

sRds FF

nkF −⋅

γµ⋅⋅

= ,

ahol serSdtF ,. és SdtF . a húzóerő tervezési értéke a használhatósági határállapotban, illetőleg a teherbírásihatárállapotban.

4B-4A. példa. Határozzuk meg a 4B-3A példában szereplő kapcsolat ellenállását, 5.6. minőségűfeszítetlen csavarok helyett 8.8. minőségű feszített csavarok feltételezésével, C kategóriájúcsavarozott kötést és C felület-előkészítési osztályt feltételezve! (Feszített csavaros kapcsolat csak8.8. és afölötti anyagminőségű csavarral készíthető.)

Egy csavar feszítőereje:kN 2,13745,2807,07,0. =⋅⋅== subCdp AfF ;

egy csavar megcsúszási ellenállása:

kN 9,322,13725,1

3,011.

,. =⋅

⋅⋅=⋅

γµ⋅⋅

= CdpultMs

sRds F

nkF

– ez kisebb, mint a palástnyomási ellenállás (87,3 kN), tehát ez a mértékadó.A csavarozott kötés ellenállása tehát: kN 6,1319,324 =⋅ .

4B-4B. példa. Határozzuk meg a 4B-3C példában szereplő kapcsolat nyírási ellenállását az ottmegadott terhelési esetben, feszítetlen csavarok helyett feszített csavarok feltételezésével, C/Ekategóriájú csavarozott kötést és A felület-előkészítési osztályt feltételezve!

Egy csavar feszítőereje:kN 1,21203,31007,07,0. =⋅⋅== subCdp AfF ;

egy csavar megcsúszási ellenállása:

kN 9,53)62,968,01,212(25,1

5,011)8,0( ..,

. =⋅−⋅⋅⋅

=−⋅γ

µ⋅⋅= SdtCdp

ultMs

sRds FF

nkF ,

amelyről ismét feltételezzük, hogy nem haladja meg a csavarok palástnyomási ellenállását.A csavarkép nyírási ellenállása tehát a feladatban megfogalmazott feltételek esetén:

kN 6,2159,534 =⋅ .

v2:5-1

5. Magasépítési acél keretszerkezetek számításának elvei

Az előző három fejezetben áttekintettük, hogyan kell az acélszerkezetek elemeit, illetőleg egyszerű kapcsolataitaz Eurocode 3 előírásai szerint ellenőrizni, illetőleg tervezni. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogya nyomott rudak, hajlított gerendák, kapcsolatok stb. mindig valamilyen szerkezet részét képezik, és ahhoz, hogye szerkezeteket korrekt módon tudjuk számítani, szükséges ismerni e szerkezetrészek egymáshoz való viszonyát,vagy ha tetszik, kölcsönhatásait.

Ebben a szellemben ez a fejezet legfőképpen arra keresi a választ, hogyan kell a szerkezet igénybevételeitmeghatározni oly módon, hogy a számítás egyrészt gazdaságosan elvégezhető, másrészt viszont kellőenvalósághű legyen. A jelen fejezetben ismertetésre kerülő elvek a szerkezetek egy jól meghatározott csoportjára, amagasépítési acél keretszerkezetekre vonatkoznak. Mindig feltételezzük, hogy a keretek síkbeliek, és a keretsíkjára merőlegesen valamilyen alkalmas merevítő rendszer segítségével meg vannak támasztva.

E kereteknek számítás szempontjából két csoportját szokás megkülönböztetni: az egyik csoportot az egyszinteskeretek, a másik csoportot a többszintes keretek alkotják. Tekintettel az európai építési hagyományokra és atárgyból kiadott tervezési házi feladat jellegére, a fogalmakat az esetek többségében az egyszintes keretekenmagyarázzuk meg, de a legtöbb helyen rámutatunk azokra a leglényegesebb sajátosságokra, amelyek atöbbszintes épületek acélvázainak számításakor felmerülnek.

Értelemszerűen nem foglalkozunk azokkal az alapfogalmakkal, amelyek más tárgyakból már ismerősek(elsőrendű és másodrendű számítás, rugalmas és képlékeny számítás stb.) – inkább csak azt tekintjük át, emódszereknek milyen alkalmazási feltételei és sajátosságai vannak a magasépítési acél keretszerkezetek esetén.A 6. fejezet azonban bevezetést nyújt a hajlított rúdszerkezetek elsőrendű képlékenységtanába, és ennekacélszerkezeti alkalmazásába.

5.1. Keretek osztályozása: kilengő és nem kilengő keretek

A most következő három alfejezetben áttekintünk három szempontot, amelyek alapján a kereteket az Eurocode 3előírásai szerint osztályozzuk. Ezek közül az első a keret stabilitásával függ össze.

Tételezzük fel, hogy egy keretszerkezetet az 5-1a ábrán látható módon függőleges egyparaméteres teherrendszerterhel. Az egyparaméteres teherrendszer alatt olyan teherrendszert értünk, amely ha növekszik, akkor aztarányosan teszi, és ezt a növekedést egy µv paraméter (szorzó) írja le. (Lásd még a 6. fejezetet.) Jelölje ennek aµv paraméternek a keret tényleges terheihez tartozó értékét µv,Sd.

Ha a keretet ideálisnak képzeljük (a 3. fejezet meghatározása szerint, korlátlanul rugalmas anyagmodelltfeltételezve), akkor a keret teherbíró képességét akkor veszíti el, ha a terhet növelve elérjük a rugalmas kritikusterhet, vagyis µv = µv,cr lesz. Ekkor a keret kihajlik. A keret kihajlása két alapvető módon következhet be: vagyszimmetrikusan, az úgynevezett „nem kilengő” mód szerint (5-1b ábra), vagy pedig aszimmetrikusan,oldalirányban, az úgynevezett „kilengő” mód szerint (5-1c ábra). A két mód közül esetenként egyik vagy másiklehet mértékadó (azaz alacsonyabb µv,cr tartozik hozzá), ám szokásos méretek mellett általában a kilengő módhoztartozik a kisebb kritikus teher. Bármelyik is a mértékadó azonban, minket a kilengő módhoz tartozó kritikusteherparaméter érdekel; a továbbiakban ezt µv,cr,k jelöli.

5-1. ábra: A keretstabilitás alapfogalmai: (a) egyparaméteres teherrendszer;(b) nem kilengő kihajlási mód; (c) kilengő kihajlási mód

v2:5-2

Ezek után vezessük be a rugalmas kritikus teherarány (RKTA) fogalmát a következőképpen:

RKTA = µv,Sd / µv,cr,k.

Ekkor a keretet kilengőnek nevezzük, ha RKTA > 0,1, és nem kilengőnek, ha RKTA ≤ 0,1.

Ezt a fogalmat az 5.4. szakaszban annak eldöntésére fogjuk felhasználni, hogy a kereten az elsőrendű számításalkalmazható-e vagy sem: általános megfigyelés ugyanis, hogy az RKTA ≤ 0,1 esetben szolgáltat az elsőrendűszámítás mérnöki szempontból kielégítő pontosságot.

Figyeljük meg, hogy a keret kilengő vagy nem kilengő volta a keret geometriai jellemzői és anyaga mellettterheinek is függvénye (de csak függőleges terheinek). Ezért egy adott számításban elvileg előfordulhat, hogyegyik teheresetre (lásd az 1.6. szakaszt) a keret kilengő, egy másikra viszont nem. (A következő szakaszokbanismertetendő osztályozási rendszerek nem függnek a keret terheitől.)

A rugalmas kritikus teherarány, illetve a meghatározásában szereplő µv,cr,k rugalmas kritikus teherparaméterértékét elvileg a rugalmas stabilitástan módszereivel (például a stabilitásfüggvények alkalmazásával) lehetmeghatározni. Léteznek azonban olyan közelítő képletek, amelyek bizonyos szerkezetosztályokra viszonylag jólközelítik a pontos értéket. A következőkben két ilyen képletet mutatunk be.

(a) Vízszintes gerendájú „szabályos” szerkezetek. Egyik ilyen közelítő képlet akkor alkalmazható, ha a szerkezetfüggőleges oszlopokból és vízszintes gerendákból álló (tipikusan ilyenek a többszintes acélvázas épületek),„szabályos” keretszerkezet (5-2. ábra), és a gerendákban a normálerő nem számottevő. Ekkor szintenként ki kellszámítani a következő mennyiséget:

HV

hi ⋅δ

=ρ ,

ahol h a szint magassága, δ a szintet alkotó oszlopok felső végének eltolódása alsó végükhöz viszonyítva, V és Hpedig a külső erőkből az adott szint (azaz az oszlopszakaszok) alján ébredő összes vízszintes, illetőlegfüggőleges reakcióerő. Ezeket a mennyiségeket (az eltolódást és a reakcióerőket) elsőrendű rugalmas számítássalkell számítani a ténylegesen működő függőleges és vízszintes erőkből, beleértve az imperfekciós erőt (lásd az5.5. szakaszban) is. Ezek után a rugalmas kritikus teherarány értékét az egyes szintekre meghatározott iρértékek közül a legnagyobbik szolgáltatja.

5-2. ábra: Példák szabályos és nem szabályos keretekre a rugalmas kritikus teherarány számításához:(a) szabályos; (b) nem szabályos keretek. A szabályos keretekben minden oszlop minden szintre,

minden gerenda minden oszlopközre kiterjed.

v2:5-3

(b) Szimmetrikus nyeregtetős portálkeretek. E szerkezeteknél az előző képlet nem alkalmazható, mert a ferdegerendákban fellépő normálerők jelentős mértékben csökkentik a keret rugalmas kritikus terhét. Akövetkezőkben megadott képletek arra az esetre érvényesek, ha a keret terhe – legalább jó közelítéssel –egyenletesen megoszló erő (5-3. ábra). Ekkor kétcsuklós keret esetén a rugalmas kritikus teherarányt akövetkező képlet adja:

RKTA = ( )

g

go

EIsPhPs

33,0 ⋅+⋅⋅

,

ahol s és h geometriai méretek (5-3. ábra), gEI a gerenda keresztmetszetének hajlítási merevsége, oP és gPpedig a külső terhekből az oszlopban, illetőleg a gerendában ébredő normálerő. Ez utóbbiakat célszerűenelsőrendű rugalmas számítással lehet meghatározni. Azon ritka esetben, ha ezt az ember kézzel akarja elvégezni,jó szolgálatot tehetnek Kleinlogel alábbi képletei:

hIsI

Rg

o= ; ;1h

hm g+=

+++= 2112 mm

RN ;

;2

wLPo = ( )α+α

+= sin

4cos

16532 wL

NhmwLPg .

Az előzőekben w az egyenletesen megoszló teher intenzitását jelöli.

Befogott keretek esetén a rugalmas kritikus teherarány közelítő képlete:

RKTA = )10(5

25 22

REI

hRPI

sP

o

o

g

g

+

+

,

ahol R a keret viszonyított merevsége:

hIsIR

g

o= .

oP és gP kézi számítására megint csak Kleinlogel képletei használhatók:

hhg=φ ; φ+= 1m ;

Rk 1= ; 23 += kB ; mC 21+= ; kCR −⋅φ=′ ;

( )21 12 mmkk +++= ; ( )2

2 2 φ+= kk ; 2211 RkkN ′−= ; BkN += 32 ;

( ) ( )[ ]φ−φ+φ+= 615816 1

2k

NwLM A ; ( )[ ]2

1

21516

16φ+φ+= k

NwLM B ;

hMMH BA +

= ; 2

wLPo = ; α+α= sin4

cos wLHPg .

5-3. ábra: Jelölések a rugalmas kritikus teherarány számításáhozszimmetrikus nyeregtetős keretekre

v2:5-4

5.2. Keretek osztályozása: merevített és merevítetlen keretek

Néha a kereteket úgy készítjük, hogy a keret oldalirányú (vízszintes terhekkel szembeni) merevségét részbenkülön a keret síkjában elhelyezkedő merevítő rendszerrel (például rácsozással) biztosítjuk. Merevítettnek akkortekintjük az ilyen keretet, ha ez a merevítés kellő mértékben csökkenti a keret oldalirányú eltolódásait. AzEurocode 3 meghatározása szerint a merevítő rendszerrel ellátott keret merevített, ha a merevítő rendszerbehelyezésével az oldalirányú eltolódások az eredeti keret eltolódásaihoz képest legalább 80%-kal csökkennek.

A gyakorlatban ez a feltétel úgy vizsgálható (5-4. ábra), hogy meghatározzuk a merevítő rendszer nélküli keretoszlopai felső végének vízszintes eltolódását az ugyanott alkalmazott egységnyi vízszintes erő hatására(értelemszerűen elsőrendű elmélettel; az így kapott mennyiséget δub-val jelöljük), majd pedig ugyanezen helyenmegvizsgáljuk ugyanezt az eltolódást a merevítő rendszerrel ellátott kereten (ezt pedig δbb-val jelöljük). Ekkor akeret akkor lesz merevített, ha

2,0≤δδ

ub

bb .

5-4. ábra: Merevített és merevítetlen keretek. A (b) ábrán látható keretet csak akkor nevezzükmerevítettnek, ha az egységerőből számolt eltolódása kellően kicsi

5.3. Keretek osztályozása: egyszerű, folytatólagos és részlegesen folytatólagos keretek

A keretek e harmadik osztályozási módja azon alapszik, milyen oszlop–gerenda kapcsolatok vannak a keretben.• Egy keretet folytatólagosnak nevezünk, ha a keret valamennyi oszlop–gerenda kapcsolata sarokmerev és

egyenteherbírású (az 5.6. alfejezetben ehelyett, az Eurocde 3 szóhasználatával azt fogjuk mondani, hogymerev és teljes szilárdságú);

• Egy keretet egyszerűnek nevezünk, ha benne az oszlop–gerenda kapcsolatok csuklósak (általában oly módon,hogy az oszlopok a kapcsolatokon folytonosan végighaladnak, és a gerendák végén alakítunk ki csuklóskapcsolatot). Megjegyzendő, hogy az egyszerű keret lehet olyan kialakítású is, hogy csak a síkjába esőmerevítő rendszerével együtt állékony.

• Egy keretet részlegesen folytatólagosnak nevezünk, ha sem folytatólagosnak, sem egyszerűnek nemtekinthető, mert benne olyan oszlop–gerenda kapcsolatok is vannak, amelyek teherbírását vagy merevségét aszámításokban számértékével kell figyelembe venni (az 5.6. alfejezetben ezeket majd félmerev, illetverészleges szilárdságú kapcsolatnak fogjuk nevezni).

A nyomatékbíró kapcsolatok viselkedésével kapcsolatos alapfogalmakat az 5.6. alfejezetben fogjukösszefoglalni.

v2:5-5

5.4. Keretek számítása: az igénybevétel-számítás módja

(a) Rugalmas számítás és képlékeny számítás

Mint a 6. fejezetben látni fogjuk, a keretek teherbírásának számítása során definiálható a rugalmas teherbírás,illetőleg a képlékeny többletteherbírás fogalma. A rugalmas teherbírás definíció szerint az első folyáshatárállapotához tartozik, a képlékeny többletteherbírás pedig (ha van) a korlátozatlan folyás és az első folyáshatárállapotához tartozó teherbírás különbsége, tehát az a többlet, amennyivel nagyobb a korlátozatlan folyáshatárállapotához tartozó teherbírás az első folyás határállapotához tartozó teherbírásnál.

Azt is látni fogjuk, hogy a képlékeny többletteherbírás két részből tevődik össze:• egyrészt a szerkezetet alkotó keresztmetszet szintjén jelentkező többletteherbírásból, amely a rugalmas és a

képlékeny keresztmetszeti modulus különbözőségéből adódik;• másrészt a szerkezet szintjén jelentkező többletteherbírásából, amely abból adódik, hogy az első

keresztmetszet megfolyása után az igénybevételek átrendeződése révén tovább növelhető a teher.

Rugalmas méretezés (számítás) esetén a szerkezet esetleges képlékeny többletteherbírását figyelmen kívülhagyjuk, és az első folyás határállapotára tervezünk. Rugalmas számítás azonban az is, ha a keresztmetszetszintű képlékeny többletteherbírást figyelembe vesszük, de a szerkezet szintűt nem, ugyanis az igénybevételekszámítására jó közelítéssel még ekkor is alkalmazhatók a rugalmasságtan elvei.

Képlékeny méretezés (számítás) esetén általában a korlátozatlan folyás határállapotát vizsgáljuk. Ennekalapjaival foglalkozik a 6. fejezet. Képlékeny méretezés azonban az ún. korlátozott folyás határállapotára valóméretezés is, amikor a szerkezet szintű képlékeny többletteherbírás csak egy meghatározott részét szabadfigyelembe venni.

Rugalmas méretezés elvileg minden szerkezeten végrehajtható; a képlékeny méretezés azonban csak bizonyosfeltételek teljesülése esetén. Ezek a feltételek avval függnek össze, hogy a korlátozatlan folyás határállapotánakalapfeltételezései valóban fennálljanak. Részletesebben ezekkel a feltételekkel is a 6. fejezet foglalkozik.

Akár rugalmas, akár képlékeny számításról van szó, a mérnöki gyakorlatban kétféle feladat kerülhet szóba:• vagy ki kell számítani egy szerkezet teherbírását;• vagy ki kell mutatni, hogy a terhek egy adott elrendezésére a szerkezet megfelel.

Rugalmas számítás esetén mindkét feladatot úgy oldjuk meg, hogy megszerkesztjük a rugalmas igénybevételiábrákat. Képlékeny méretezés esetén, mint látni fogjuk, a teherbírás-számítás esetén a képlékenységtan statikaiés kinematikai tételét alkalmazzuk, az ellenőrzés esetén pedig képlékeny igénybevételi ábrát szerkesztünk.

Mind a rugalmas, mind a képlékeny számítás lehet elsőrendű, illetőleg másodrendű aszerint, hogy azigénybevételeket az eredeti vagy az elmozdult tartóalakon számítjuk-e. A rugalmas számítás esetével akövetkező, (b) pontban foglalkozunk; mivel képlékeny másodrendű számítást a mérnöki gyakorlatban nemigenszokás végezni, a 6. fejezetben elsősorban csak az elsőrendű képlékenységtant tárgyaljuk. (b) Elsőrendű és másodrendű rugalmas számítás

Másodrendű számítással elvileg bármely magasépítési acélszerkezet számítható (ennél pontosabb számításranincs szükség); azonban néha előnyös lehet az elsőrendű elmélet alkalmazása. Az elsőrendű rugalmas (tehátlineáris) számítás előnye minden más számítási módszerrel szemben nem elsősorban egyszerűsége és olcsósága,hanem az a körülmény, hogy csakis ekkor érvényes a szuperpozíció elve, amiből következik, hogy az egyesteherféleségekre külön-külön elvégezve az igénybevételek (vagy akár a feszültségek, lehajlások stb.) számítását,az 1. fejezetben tárgyalt kombinációs szabályok az igénybevételekre alkalmazhatók. Akkor azonban, ha ateherkombinációk képzését a számítással együtt vagy azzal elkülönítve automatizáljuk, ez az előny semlényeges.

A következőkben azt fogjuk áttekinteni, melyek azok az esetek, amikor az elsőrendű számítás is alkalmazható.

1. A nem kilengő keretek minden esetben számíthatók elsőrendű módszerrel. Ennek során a nyomott elemek anem kilengő módhoz tartozó kihajlási hosszal vizsgálhatók.

v2:5-6

2. Ha a keret kilengő, akkor vagy másodrendű, vagy módosított elsőrendű vizsgálatot kell végezni. Amódosított elsőrendű vizsgálatnak két fajtája alkalmazható:

(a) A módosított nyomatékok módszere szerinti számítás akkor alkalmazható, ha a rugalmas kritikusteherarány: RKTA ≤ 0,25. Ekkor külön kell választani az ún. kilengési és nem kilengési nyomatékokat

(lásd lejjebb), majd a kilengési nyomatékokat egy alkalmas, RKTA11

− nagyságú növelő tényezővel

szorozva kell figyelembe venni. Ezek után a nyomott elemeket a nem kilengő kihajlási módhoztartozó kihajlási hosszal ellenőrizhetjük.

(b) A kilengő kihajlási hossz alapján történő ellenőrzés bármely nem kilengő keretre alkalmazható; ekkoregyrészt a kilengési nyomatékokat a gerendákban és az oszlop–gerenda kapcsolatokban 1,2-velmegszorozzuk, másrészt pedig a nyomott elemeket a kilengő kihajlási hosszok alapján ellenőrizzük.

Az előzőekben két fogalompár szerepelt, amelyek külön magyarázatot igényelnek.

Kilengési nyomaték alatt a nyomatéki igénybevételek azon részét értjük, amelyek a keretoszlop felső végének azalsó véghez viszonyított eltolódásából származnak. Szimmetrikus keret és szimmetrikus teherrendszer eseténnincsenek kilengési nyomatékok; ha azonban akár a keret aszimmetrikus, akár a működő terhek, akkor anyomatékok egy része kilengési nyomatéknak tekinthető.

A kilengési igénybevételek meghatározása úgy történik, hogy elsőként elsőrendű analízissel meghatározzuk afüggőleges erőkből származó „nem kilengési” igénybevételeket, azzal a feltételezéssel, hogy a keret kilengésellen az egyes födémek szintjén meg van támasztva. A kilengési igénybevételeket ezek után úgy kapjuk, hogy avízszintes erőkre (beleértve az előző analízisben az oldalirányú megtámasztások felszabadítása révén kapottvízszintes erőket is) végrehajtott analízis alapján kapott igénybevételeket alkalmas értékkel megnöveljük.

A kilengő és nem kilengő kihajlási módhoz tartozó kihajlási hosszok (röviden: kilengő és nem kilengő kihajlásihosszok) a keret stabilitásával függnek össze, és egy adott oszlop vizsgálatához a következőképpen számíthatók(részletesebben ezzel a kérdéssel a tárgy keretei között nem foglalkozunk):• meghatározzuk a kilengő, illetve a nem kilengő kihajlási alakhoz tartozó kritikus teherparamétert (például az

5.1. szakaszban tárgyalt módszerekkel vagy stabilitásfüggvények segítségével) – ezt jelölje µcr;• meghatározzuk a ténylegesen működő terhekből származó normálerőt a vizsgált oszlopban – ezt jelölje Po;• meghatározzuk a vizsgált oszlop mint két végén csuklós rúd PE Euler-féle kritikus erejét, a következő

képletből:

2

2

LEIPE

π=

• a kilengő, illetve nem kilengő kihajlási hossz a következő képletből számítható:

ocr

EP

PLl⋅µ

⋅=

ahol L a vizsgált oszlop hálózati hossza.

5.5. Imperfekciók

Mint a 3. fejezetben már láttuk, a keretszerkezetek egyes alkotórészei általában nem felelnek meg azoknak azidealizált feltételezéseknek, amelyeken a számításaink alapulnak. Mivel azonban ezek a tökéletlenségekbefolyásolják a szerkezetek erőjátékát (általában oly módon, hogy csökkentik a teherbírást), valamilyen –általában közvetett – módon mégis figyelembe kell őket venni.

Az idealizált feltételezésektől való eltérést tökéletlenségeknek, illetőleg az acélszerkezetek esetén gyakrabbanhasznált idegen szóval imperfekcióknak nevezzük. Ezek a tökéletlenségek sokfélék lehetnek, például• alakhibák;• gyártási sajátfeszültségek;• az anyagmodell eltérései a feltételezésektől;• véletlen külpontosságok stb.

v2:5-7

A számítások során általában a sokféle imperfekcióból először meghatározunk egy ún. eredő imperfekciót, amelyáltalában alakhiba jellegű imperfekció. Ez az eredő imperfekció ugyanolyan módon és mértékben változtatjameg az erőjátékot, mint a tényleges imperfekciók.

Mivel azonban a számítási modellben a geometriailag “hibás” szerkezetet (pl. görbe rudat) nehéz figyelembevenni, második lépésben általában az eredő alakhiba jellegű (vagy geometriai) imperfekcióból egyenértékű teherjellegű imperfekciót képezünk, megint csak azon az alapon, hogy az alakhiba és az egyenértékű teher azonoskövetkezménnyel járjon.

Az Eurocode 3 háromféle alakhiba bevezetését írja elő, ezekkel fogunk a továbbiakban részletesebbenfoglalkozni.

(a) A rudak imperfekciói

A rudak esetén az eredő alakhiba jellegű imperfekció a rúd görbeségét jelenti, az egyenértékű teher pedig a rúdtengelyére merőleges, egyenletesen megoszló terhet (5-5a ábra). Ennek az imperfekciónak csak nyomott rudak(illetőleg nyomott-hajlított rudak) esetén van jelentősége.

A rúd imperfekcióját a 3. fejezetben tárgyalt kihajlási görbék már tartalmazzák, ezért ha azokat használjuk,akkor az imperfekciók figyelembevételére általában külön nincs szükség. Lehetőség van azonban arra, hogy azimperfekciókat a szerkezet globális vizsgálatában, másodrendű számítás keretei között figyelembe vegyük –ekkor a másodrendű szilárdsági vizsgálat helyettesíti a kihajlási görbék segítségével végzettstabilitásvizsgálatokat.

A felveendő imperfekció nagysága függ a rúd szelvényének típusától, valamint az alkalmazott számításimódszertől (rugalmas, képlékeny, elsőrendű, másodrendű), felvételének részleteit itt nem tárgyaljuk.

5-5. ábra: A rúd (a) és a keret (b) imperfekciói: az eredő alakhiba jellegű imperfekció és azegyenértékű teher jellegű imperfekció

(b) A keretek imperfekciói

Keretek esetén az oszlop ferdeségével leírható, eredő alakhiba jellegű imperfekciót kell figyelembe venni,amelyhez az oszlopok két végén működő, az oszlop tengelyére merőleges koncentrált egyenértékű teher tartozik(5-5b ábra). Ezt az imperfekciót (vagy ferdeség, vagy teher formájában) mindig figyelembe kell venni.

A ferdeséget a φ szög jelzi (5-5b ábra), amelynek nagysága:0φ⋅⋅=φ sc kk ,

ahol φ0 = 1/200; kc az oszlopok, ks pedig a szintek számától (nc és ns) függő csökkentő tényező:

0,1121

>/+=c

c nk ; 0,11

51

>/+=s

s nk .

Egyszintes-egyhajós keretek esetén nc = 2 és ns = 1, tehát kc = ks = 1, ezért φ = 1/200 alakhibát kell figyelembevenni.

v2:5-8

A teher jellegű egyenértékű imperfekció felvételét az 5-5b ábra magyarázza. A ferde rúdban N függőlegesnormálerő hat, amelyet a rúd tengelyével párhuzamos és arra merőleges összetevőre bontunk. A párhuzamosösszetevő a kis elmozdulások feltételezése miatt N-nel egyenlő, míg a vízszintes összetevő φ⋅N nagyságú. Hatehát a rúd függőleges, akkor a ferde rúdra ható függőleges erővel egy függőleges N és egy vízszintes φ⋅N erőegyenértékű. Ez utóbbi erő az imperfekciós erő.

Az imperfekciós erőt a gyakorlatban a normálerő helyett közelítésképpen a függőleges terhekből származtatjuk.Többszintes épületben például az egyes szinteken, az oszlopok felső végén (a bennük várhatóan ébredőnormálerő arányában) működtetünk vízszintes erőket, amelyek összege az adott szintre (pontosabban a szintfeletti födémre) ható függőleges erők eredőjével arányos.

(c) A merevítő rendszer méretezéséhez szükséges imperfekciók

Mint más irányú tanulmányainkból tudjuk, az acél keretszerkezetek általában síkbeli keretekből és azokramerőleges irányban elhelyezkedő merevítő rendszerből (klasszikusan merevítő rácsozásokból: szélrácsból éshosszkötésből) állnak. E merevítő rendszerek három funkciót töltenek be:• felveszik és az alapokra továbbítják a keretekre merőleges terheket;• biztosítják a szerkezet állékonyságát a keret síkjára merőleges értelemben;• megtámasztják a keretek hajlított elemeinek nyomott öveit (kifordulás ellen) és ritkábban a keretek nyomott

elemeit (kihajlás ellen).

E funkciók betöltésére a merevítő rendszert kétféle teherre: a keret síkjára merőleges vízszintes terhekre,valamint az ún. imperfekciós erőkre méretezzük – ez utóbbi tulajdonképpen a merevítő rendszer általmegtámasztott nyomott övekről (és esetleg rudakról) átadódó erőt fejezik ki, és a megtámasztott nyomott övekimperfekcióit jelenti.

Ez az imperfekció kezdeti görbeség formájában megjelenő eredő alakhiba jellegű imperfekciót jelent (a merevítőrácsozás övei görbék), amely egyenértékű egyenletesen megoszló teherrel helyettesíthető (ez az erő a merevítőrendszer síkjában, az övrudakra merőlegesen működik – 5-6. ábra).

A kezdeti görbeség nyílmagassága:

5000Lke r ⋅= ,

5-6. ábra: A merevítő rendszer számításához szükséges, a megtámasztott elemek tökéletlenségét leíróimperfekció felvétele: (a) az eredő alakhiba jellegű imperfekció és (b) az egyenértékű teher jellegű

imperfekció. Ez utóbbi a merevítő rendszer számításában mint külső teher jelenik meg

v2:5-9

ahol L a merevítő rendszer fesztávolsága, kr pedig a megtámasztott elemek nr számától függő csökkentő tényező:

0,1151

>/+=r

r nk

Az egyenértékű imperfekciós erő intenzitása egyetlen megtámasztott elemre (5-6. ábra):

>δα+

≤δ=

2500/ha60

)1(

2500/ha50

q

q

LL

N

LL

N

q

ahol 2,0500 </δ

=αLq , és qδ a merevítő rendszer „lehajlása” a saját síkjában a külső terhek és q együtteséből.

Ha egynél több megtámasztott elem van, akkor

>δα+Σ

≤δ+Σ

=2500/ha

60)(

2500/ha60

)2,0(

q

q

LL

kN

LL

kN

qr

r

Az előző képletekben N a megtámasztott elemben működő normálerő, hajlított gerenda nyomott övénekmegtámasztása esetén az M nyomatékból számolt hMN /= överő (h a szelvény magassága); a másodikképletben ΣN ezen erők (överők) összege valamennyi megtámasztott rúdban (nyomott övben).

5.6. Keretek nyomatékbíró kapcsolatai: mechanikai jellemzők és osztályozás

Nyomatékbíró kapcsolatnak a következőkben azokat a kapcsolatokat nevezzük, amelyek hajlított elemeketkapcsolnak össze (ide tartozik tehát keretszerkezetek esetén az oszlopok és a gerendák valamennyi kapcsolata,hiszen mind az oszlopban, mind a gerendában ébrednek hajlítónyomatékok – tehát az oszlop–gerendakapcsolatok, az oszlop–alaptest kapcsolatok, az oszlopok illesztései és a gerendák illesztései egyaránt).Nyomatékbíró tehát ezek szerint a csuklósra tervezett (azaz nyomaték átadására nemigen alkalmas) kapcsolat is.

E kapcsolatok viselkedését jelleggörbéjük írja le (5-7. ábra), amely a kapcsolatban ébredő nyomatékot és akapcsolatban a nyomaték hatására bekövetkező koncentrált elfordulást állítja egymással szembe. Az elfordulásalatt a két csatlakozó elem tengelyének egymáshoz képest való elfordulását értjük (tehát nem valamely elemtengelyének abszolút elfordulását!). A nyomaték oszlop–gerenda kapcsolatok esetén a gerenda végén működőnyomatékot, más esetekben az értelemszerűen működő nyomatékot jelenti.

A nyomaték–elfordulás jelleggörbe tipikusan nemlineáris összefüggés, amely áll egy kezdeti emelkedőszakaszból, egy tetőpontból és egy leszálló ágból, és egy adott elfordulási értéknél vége van. A jelleggörbét aszámítások során közelíteni szokás vagy egy ún. trilineáris (három – két ferde és egy vízszintes – egyenesszakaszból álló), vagy egy ún. bilineáris (két – egy ferde és egy vízszintes – egyenes szakaszból álló) görbével(5-7. ábra).

A jelleggörbéről leolvasható a kapcsolat három legfontosabb mechanikai jellemzője: merevsége, ellenállása(szilárdsága) és elfordulási képessége (5-8. ábra).

5-7. ábra: A kapcsolatok nyomaték–elfordulás jelleggörbéje (a), valamint ennek lehetségesközelítése bilineáris (b) vagy trilineáris (c) összefüggéssel

v2:5-10

5-8. ábra: A kapcsolat három mechanikai jellemzője és az ezekhez kapcsolódó alapfogalmak:(a) elfordulási merevség; (b) ellenállás vagy teherbírás; (c) elfordulási képesség

A kapcsolat Sj,ini kezdeti merevsége a görbe érintőjének meredeksége a görbe kezdőpontjában (mértékegysége:kNm, vagy ami ugyanaz: kNm/rad – a merevség tehát megmondja, hogy egységnyi (egy radiánnyi) elfordulástmekkora nyomaték okoz). A kapcsolat jelleggörbéjének minden pontjához (φ minden értékéhez) kétmerevségértéket lehet rendelni: a húrmerevséget és az érintőmerevséget. A húrmerevség az adott pontot azorigóval összekötő egyenes meredeksége (tehát azt mondja meg, hogy az adott φ értékig átlagosan mekkoranyomaték okozott egységnyi elfordulást), míg az érintőmerevség az adott pontban a görbéhez húzott érintőmeredeksége (tehát azt mondja meg, hogy éppen az adott φ értéknél egységnyi elfordulást mekkora nyomatékokoz, megfelelően kis egységet választva).

A kapcsolat ellenállásának végértéke (MRd) alatt a görbe tetőpontjához tartozó nyomatékértéket értjük, tehát azt alegnagyobb nyomatékot, amelyet a kapcsolat képes felvenni. A kapcsolat ellenállásának tényleges értéke alattegy ennél kisebb értéket is érthetünk az adott feladatnak megfelelően (attól függően, hogy hova választjuk a bi-vagy trilineáris közelítés vízszintes szakaszát).

A kapcsolat elfordulási képességének végértéke (φu) alatt a görbe végpontjához tartozó φ értéket értjük, tehát azta legnagyobb elfordulást, amely a kapcsolatban bekövetkezhet. Az elfordulási képesség tényleges értéke a felvetttényleges nyomatéki ellenállás által kijelölt vízszintes egyenes és a jelleggörbe nagyobbik φ-vel jellemzettmetszéspontjához tartozó φ érték. A tényleges ellenállás és elfordulási képesség tehát mindig valamilyen bi-vagy trilineáris összefüggésben figyelembe vett értéket jelent, amely kisebb a végértéknél.

A kapcsolatok viselkedése alapján a kapcsolatokat háromféle szempont, nevezetesen a háromféle mechanikaijellemző alapján osztályozni szoktuk.

Merevség alapján három osztályt szokás megkülönböztetni: merev, félmerev és névlegesen csuklóskapcsolatokat. Merev kapcsolatnak azt a kapcsolatot tekintjük, amelynek merevsége kellően nagy ahhoz, hogy azadott keretben a kapcsolatot sarokmerevként (tehát végtelen merevségűként) modellezve ne kövessünk eljelentős hibát. Névlegesen csuklós kapcsolat az a kapcsolat, amelynek merevsége kellően kicsi ahhoz, hogy azadott keretben a kapcsolatot csuklósként (tehát zérus merevségűként) modellezve ne kövessünk el jelentős hibát.Minden más kapcsolatot félmerevnek tekintünk.

A definíciókból a következő megállapítások vonhatók le:• rugalmas számítás esetén a merev kapcsolat sarokmerevként, a névlegesen csuklós kapcsolat csuklósként

modellezhető, míg a félmerev kapcsolatot csavarrugóval kell modellezni;• egy adott kialakítású kapcsolat merevség szempontjából csak akkor sorolható valamely osztályba, ha tudjuk,

milyen keretbe fogjuk beépíteni.

Az Eurocode 3 szerint az oszlop–gerenda kapcsolatot névlegesen csuklósnak tekinthetjük, ha

b

bLEI

S 5,0≤ ,

ahol S a kapcsolat merevsége (általában a kezdeti merevség), bEI a gerendaszelvény hajlítási merevsége, bLpedig a gerenda hossza.Merevnek tekinthetjük az oszlop–gerenda kapcsolatot, ha merevített keret esetén (lásd az 5.2. szakaszt):

v2:5-11

b

bLEI

S 8≥ ,

merevítetlen keret esetén pedig:

b

bLEIS 25≥ .

Megjegyzendő, hogy ezeket a képleteket abból a feltételből származtatták, hogy a gerenda tényleges merevségehelyett egy idealizált (végtelen vagy zérus értékű) merevség felvétele ne vezessen 5%-nál nagyobb számításihibához. A merevítetlen keretekre adott feltétel csak akkor érvényes, ha az oszlopok LI / értékei nemtúlságosan nagyok a gerendáéhoz képest.

Szilárdság alapján ugyancsak három osztályt különböztetünk meg. A kapcsolatot teljes szilárdságúnak nevezzük,ha a kapcsolat ellenállása nagyobb, mint a kapcsolatban részt vevő keresztmetszetek ellenállása; névlegesencsuklósnak, ha a kapcsolat ellenállása legfeljebb 25%-a a kapcsolt elemek keresztmetszete ellenállásának;részleges szilárdságúnak pedig minden más esetben. Többszintes acélvázas épületek közbenső szintjeinelhelyezkedő, szokásos kialakítású oszlop–gerenda kapcsolatok esetén az előzőekben “kapcsolt elemekként”megjelölt szerkezeti elem a gerenda.

A meghatározásból következik, hogy képlékeny vizsgálat esetén a teljes szilárdságú kapcsolatnál folytonosszerkezetet feltételezhetünk, a névlegesen csuklós kapcsolatnál csuklós kapcsolatot (vagyis zérus ellenállásúkeresztmetszetet), a részleges szilárdságú kapcsolat esetén pedig a kapcsolat tényleges ellenállását kell aszámításokban figyelembe venni.

Elfordulási képesség alapján megkülönböztetünk olyan kapcsolatokat, amelyek megfelelő elfordulásiképességgel rendelkeznek a képlékeny vizsgálatokhoz (vagyis ahhoz, hogy bennük képlékeny csuklóttételezhessünk fel – lásd a 6. fejezetet), és olyanokat, amelyek nem rendelkeznek megfelelő elfordulásiképességgel. A képlékeny csuklók helyén szükséges elfordulási képesség a tapasztalatok szerint általában kb.0,2 radián.

Meg kell jegyezni, hogy az elfordulási képesség számítására jelenleg még nem áll rendelkezésre megbízhatómódszer; csupán a kapcsolat ellenállása szempontjából mértékadó tönkremeneteli módból tudunk következtetniaz elfordulási képesség mértékére (vagyis arra, hogy kellően nagy-e vagy sem).

A 6. fejezetben látni fogjuk, hogy például egy keretsarok esetén a keretsarok környékén feltételezett képlékenycsukló a kapcsolt keresztmetszetek és a kapcsolat ellenállásának egymáshoz való viszonya függvényébenkialakulhat:• a gerenda végén, ha a kapcsolat teljes szilárdságú és a gerenda keresztmetszete gyengébb, mint az oszlopé;• az oszlop végén, ha a kapcsolat teljes szilárdságú és az oszlop keresztmetszete gyengébb, mint a gerendáé;• magában a kapcsolatban, ha a kapcsolat részleges szilárdságú.

Ebből következik, hogy képlékeny méretezés esetén is csak akkor kell vizsgálni a kapcsolatok elfordulásiképességét, ha a kapcsolatok részleges szilárdságúak; az Eurocode 3 szerint akkor, ha a kapcsolatok ellenállásalegfeljebb 1,2-szerese a kapcsolt elemekének (gerendákénak). Ez utóbbi óvintézkedés azért szükséges, mertelőfordulhat, hogy a kapcsolat alkotóelemeiben (homloklemezes kapcsolatban jellemzően a homloklemezben) atényleges szilárdsági jellemzők és a tervezés során figyelembe vett szilárdsági jellemzők között kisebb akülönbség, mint a gerenda (vagy oszlop) alapanyagában, és ezért bár a számítások szerint a kapcsolat teljesszilárdságú, a valóságban mégsem az. Ez egyben felveti annak szükségességét, hogy ilyen esetekben azalapanyag szilárdsági jellemzőinek ne csak az alsó, hanem a felső karakterisztikus értékét is ismerjük.

Az egyes mechanikai jellemzők meghatározására az Eurocode 3 J melléklete ad szabályokat a kapcsolatok egyszűk (de viszonylag gyakran előforduló) osztálya, a hegesztett, csavarozott homloklemezes és csavarozottövbekötő szögacélos oszlop–gerenda kapcsolatok esetére (ez a melléklet a szabvány A2 jelű módosításábantalálható). E számítási módszer, illetve a mögötte álló modell részleteit a tárgy előadásai tárgyalják, e helyüttnem foglalkozunk velük. Jelenleg is kiterjedt kutatások folynak annak érdekében, hogy a modell kiterjeszthetőlegyen másféle kapcsolatok (pl. oszloptalpak) esetére is. A közelmúltban kidolgozott módszerek megtalálhatóklesznek a rövidesen megjelenő EN 1993-1-8 európai szabványban.

6. A képlékenységtan alkalmazása magasépítési acélkeretszerkezetekre

6.1. Ismétlés: a képlékeny lemezelmélet

A 6. félévben Vasbetonszerkezetek tárgyból megtanultuk, hogyan lehet egy lemez teherbírását képlékeny alaponmeghatározni. A módszert a törésvonal-elmélet névvel illettük, és azt mondtuk, hogy a vizsgálat célja a lemeztörőterhének meghatározása. Itt most törésvonal-elmélet helyett képlékeny lemezelméletet, törőteher helyettpedig képlékeny alapon meghatározott teherbírást, vagy röviden képlékeny teherbírást mondunk. A képlékenylemezelmélet, mint látni fogjuk, valójában tágabb fogalom a törésvonal-elméletnél. A képlékeny lemezelméletmagában foglalja a képlékeny teherbírás meghatározására szolgáló valamennyi módszert, köztük az általunktörésvonal-elmélet néven ismertet is, melyet, a rúdszerkezetekre való általánosíthatóság céljából, a képlékenylemezelmélet kinematikai módszerének fogunk hívni.

A módszer alkalmazásakor feltettük, hogy ismerjük a vizsgálandó szerkezet geometriáját (ami itt most a méreteités a megtámasztási viszonyait jelenti), továbbá a rá működő terhek eloszlását. Feltételeztük, hogy ugyancsakismert a lemez anyagának a törőnyomatéka, melyet ezentúl a keresztmetszet képlékeny nyomatékiteherbírásának hívunk, és hogy ez az érték a lemezben állandó nagyságú (de esetleg az egymásra merőleges kétfőirányban más és más). A lemez anyagmodellje ideálisan rugalmas–tökéletesen képlékeny volt. Továbbá azt isfeltettük, hogy az ismert eloszlású terhelés ún. egyparaméteres teher, ami azt jelenti, hogy a teher eloszlásarögzített, és nagyságát egyetlen skalár paraméter segítségével tudjuk leírni. (Vagyis, ha például két adottintenzitású koncentrált erő működik a tartón, P és Q, akkor bármekkora legyen is P, Q mindig P valamely λ-szorosa, a feladat pedig az, hogy ha P-t és λ-t rögzítjük, akkor meghatározzuk azt a legnagyobb µ számot,mellyel P-t és Q-t megszorozva a szerkezet még nem ment tönkre – ebben az állapotban tehát a szerkezetet µPés µQ = µλP nagyságú erők terhelik).

A továbbiakban az emlékeket három példa segítségével fogjuk felidézni.

(a) 1. példa

Például emlékezzünk arra a klasszikus feladatra, amikor a négy oldalán csuklósan megtámasztott téglalap alakúlemezt vizsgáltuk. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a lemez képlékeny nyomatéki teherbírása a kétirányban egyenlő (ez acéllemezeknél mindig így van, vasbetonnál általában nem). Tegyük fel, hogy a lemezreegységnyi totális megoszló teher hat, melynek a törőintenzitását (a továbbiakban ehelyett a képlékenyhatárintenzitás fogalmat használjuk) kívánjuk meghatározni. Ekkor úgy jártunk el, hogy megvizsgáltuk,milyenek lehetnek a tartó alakváltozásai a határállapotban, vagyis akkor, amikor tönkremegy. Feltételeztük,hogy ezek az alakváltozások a lemez bizonyos részein azt jelentik, hogy ott koncentrált, de határozatlannagyságú elfordulások jelentkeznek – ezeket a helyeket törésvonalaknak neveztük (mi a továbbiakban ehelyett aképlékeny vonal fogalmat használjuk); másutt pedig a lemez tökéletesen sík marad. Ekkor a feladatleegyszerűsödött annak a képlékenyvonal-rendszernek (más szóval képlékeny mechanizmusnak) amegkeresésére, mely a tartó tönkremenetelekor ténylegesen bekövetkezik. Hogyan lehet ezt meghatározni?

Először is meg kellett keresni az összes olyan képlékeny mechanizmust, mely kinematikailag lehetséges, vagyisgeometriailag kompatibilis, megint más szóval olyan, amely egyáltalán kialakulhat (vagyis kielégíti afolytonossági követelményeket). Ezután pedig ki kellett választani mindezek közül azt az egyetlenegyet,melyhez tartozó teherintenzitás statikailag elérhető, mely ezek után szolgáltatja a teher képlékenyhatárintenzitását. A kiválasztást a képlékenységtan kinematikai tétele segítségével tettük meg, mely azt mondja(szabatosabban lásd a következő pontot), hogy ha mindegyik képlékeny mechanizmushoz meghatározzuk ahozzá tartozó teherintenzitást, akkor az a teherintenzitás lesz statikailag elérhető, mely ezek közül a legkisebb.

Feladatunkban az összes képlékeny mechanizmus olyan alakú, mint amit a 6-1. ábra mutat, egymástól csakabban különböznek, hogy η értéke különbözik. (η értéke 0-nál nagyobb és legfeljebb 0,5.) Tehát ha η-t tudnánk,ismernénk a „mértékadó” képlékeny mechanizmust, és meg tudnánk határozni a teher törőintenzitását is.Mekkora lenne ez az intenzitás? Ezt a külső és belső munkák egyenlőségéből lehet meghatározni. A belsőmunka nagysága

η

+⋅=lb

blmL plb

24 , (1)

v2:6-2

a külső munkáé pedig( )

η−

+η

⋅=221

32 lblbpLk , (2)

ahol mpl a lemez képlékeny nyomatéki teherbírása, p pedig a teherintenzitás. Az bk LL = egyenletből ekkor kitudjuk fejezni p-t η függvényében:

( )( )lblb

blmp pl η−⋅

η+η

⋅=23622 22

. (3)

Ha a szélső érték nem az értelmezési tartomány határán van, akkor ott a p(η) függvény első deriváltja zérus:( ) ( )( )

( ) 4422

222222222

23432122324

dd

blblblblbllmp

plη−η

η−+η−η−η⋅=

η, (4)

azaz η értékét az0344 22 =−η+ηα (5)

másodfokú egyenlet megoldása szolgáltatja, ahol bl /=α , majd p a (3) egyenletből számítható.

(b) 2. példa

Ha most azt a feladatot tekintjük, hogy a lemez közepén a hosszabbik oldallal párhuzamos, szimmetrikusanelhelyezett q intenzitású élteher működik βl hosszon, akkor a belső munka ugyanaz lesz, mint amit az előző

feladat kapcsán az (1) egyenletben felírtunk, a külső munka pedig 2

10 β−≤η< feltétellel

lqLk β⋅= . (6) A két mennyiség egyenlőségéből

( )blblmq pl 2

2222ηβ

+η⋅= , (7)

222

dd

lbmq

plβη

⋅−=η

, (8)

azaz a 2

10 β−≤η< intervallum belsejében a függvénynek nincs szélsőértéke. Ha most az

21

21

≤η≤β−

tartományt vizsgáljuk, a külső munka

( ) ( )( )( )

β−

−η+βη+β−+η−⋅=

12122121qlLk , (9)

vagy egyszerűbben( )( )β−

β−+β−η−η⋅=

121144 22

qlLk . (9a)

Az (1) és a (9a) egyenlet összevetéséből és bl /=α jelöléssel

6-1. ábra

v2:6-3

( ) ( )( ) 22

2

114412122

β−+β−η−η

β−⋅

η+ηα

⋅=b

mq pl . (10)

A feladat ezek után az, hogy meghatározzuk q szélsőérték-helyét, mely a fentiek alapján bizonyosan ebbe atartományba fog esni.

(c) 3. példa

Harmadikként foglalkozzunk azzal az esettel, amikor a lemezt egyetlen Q koncentrált erő terheli a lemezközepén. Ekkor a belső munka továbbra is (1) szerinti, a külső munka pedig

L Qk = , (11) ahonnan

( )lb

blmlb

blmQ plpl η

+η⋅=

η

+⋅=222224 , (12)

( )( ) l

bmlb

bllbblmQplpl 22

223 2224dd

η⋅−=

η

+η−η⋅=

η, (13)

mely azt mutatja, hogy a )(xQ függvény a vizsgált intervallumon végig csökkenő, minimumhelye tehát atartomány jobb szélén, 5,0=η helyen, vagyis a koncentrált erő alatt van.

(d) Tanulság

A fentiekből azt, a rúdszerkezetekre is érvényes, általános érvényű megállapítást tehetjük, hogy a képlékenymechanizmus (= törésvonalrendszer) szinguláris pontjai (melyet a fenti példákban az η szám jelölt) mindig vagykoncentrált erő alatt vannak, vagy – megoszló erő jelenléte esetén – valahol a megoszló erő alatt, vagy pedig ott,ahol magának a tartónak geometriai szinguláris pontjai vannak (pl. pontszerű megtámasztás).

Rúdszerkezetek esetén (rúdszerkezetek alatt a továbbiakban olyan rudakból álló szerkezeteket értünk, ahol adomináns igénybevétel a hajlítónyomaték) a törésvonalaknak az ún. képlékeny csuklók fognak megfelelni. Haegy tartót fokozatosan növekvő egyparaméteres teherrel terhelünk, akkor egy bizonyos teherszintnél előáll az ahelyzet, hogy ott a nyomatéki ábra értéke a keresztmetszet határnyomatékával (vagy törőnyomatékával, vagyképlékeny nyomatéki teherbírásával – Mpl,Rd) egyezik meg. Ha még tovább terheljük a tartót, akkor a továbbfelvitt terhekre a tartó úgy viselkedik, mintha az előbbi helyen csukló volna, egészen addig, amíg valahol másholki nem alakul egy újabb képlékeny csukló. Mikor lesz vége ennek a folyamatnak? Akkor, amikor már annyi acsukló a szerkezetben, hogy az – vagy annak egy része – labilis rúdlánccá alakul, ilyenformán nem lesz képestovábbi többletterhek felvételére.

Mindebből az is következik, hogy a statikailag határozott tartót csak az első „képlékeny csukló” megjelenéséiglehet terhelni, tovább nem.

Mely helyeken lehet arra számítani, hogy a képlékeny csuklók kialakulnak? – Erre a kérdésre vagy alemezanalógia alapján adhatunk választ, vagy abból a megfontolásból, hogy ilyesmire ott lehet gyanakodni, aholszélsőértéke lehet a nyomatéki ábrának. A kétféle gondolatmenet nyilván ugyanazt az eredményt szolgáltatja.Képlékeny csukló kialakulhat• keret sarkaiban,• befogásnál,• alátámasztás felett,• koncentrált erő alatt,• megoszló erő alatt valahol.

Az első négy hely jól definiálható, az ötödikkel azonban sok bajunk lehet, hiszen egy megoszló erő alattvégtelen sok keresztmetszet található. Az sem könnyíti a helyzetet, ha arra gondolunk, hogy pl. egy csarnokfőtartójára a terhek (szél, tető stb.) úgyis „átvitellel” (szelemenek, falvázgerendák), koncentrált erőként adódnakát – ekkor ugyanis jócskán megnő az egyébként meghatározott helyzetű, az első négy kategóriába tartozó„gyanús” keresztmetszetek száma. Szerencsére azonban a megoszló teher alatt elhelyezkedő képlékeny csuklóhelyzetében való nem túl nagy tévedés általában a végeredményt tekintve sem ad túlzottan nagy hibát, ígygyakorlati probléma megoldásánál „jó érzékkel” meg lehet előre saccolni, hol lesz az a képlékeny csukló.

v2:6-4

6.2. Elméleti alapok

(a) A képlékenységtan alapfeltevései

A továbbiakban csak a rúdszerkezetek képlékenységtanával foglalkozunk, azzal is csak olyan mélységben,amennyire tárgyunk, a Magasépítési acélszerkezetek tanulásához szükségünk lesz rá. Azok számára, akik jobbanszeretnének elmélyülni a témában, ajánljuk a Mechanika tanszék hasonló tárgyú választható tárgyát, illetve akövetkező könyveket:• Kaliszky Sándor: Képlékenységtan. Elmélet és mérnöki alkalmazások. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975;• Chen, W.F. – Han, D.J. Plasticity for Structural Engineers. Springer-Verlag, New York, 1989 (ehhez

viszonylag nehéz hozzáférni, ráadásul angolul van).

Amiről ezután szó lesz, azt pontosabban úgy lehet körülírni, hogy rúdszerkezetek képlékenységtani vizsgálata azelsőrendű elmélet alapján. Milyen feltételezéseket jelent mindez?

1. A tartó anyagmodellje vizsgálatainkban rugalmas–képlékeny vagy merev–képlékeny. Mint a későbbiekbenlátni fogjuk, a kezdeti szakasz minőségének (hogy az merev vagy rugalmas) a többi feltevés mellett nincsjelentősége.

2. A tartót egyparaméteres, statikus jellegű teher terheli.

3. A tartó tönkremenetelét a képlékeny zónák olyan mértékű elterjedése okozza, hogy az többé nem fog elég„határozottsággal” rendelkezni ahhoz, hogy további terheket viseljen.

4. Az előző pontban leírt feltevést az fogja biztosítani, hogy a tartó igénybevételeit az elsőrendű elméletalapján, tehát a tartó alakváltozásainak figyelmen kívül hagyásával számítjuk. Ebből következik, hogy atartónk – feltevéseink szerint – stabilitásvesztés útján nem tud tönkremenni. (Megjegyezzük, hogy ennek afeltételnek az elhagyásával a rúdszerkezetek képlékenységtani vizsgálata magasabbrendű elmélet alapjáncímű témakörhöz jutunk, melyre a következőkben megfogalmazott tételek nem érvényesek. Ekkor a tartóugyanis képlékeny instabilitás útján is tönkremehet.)

5. Nem foglalkozunk azzal, hogy a képlékeny zónák a tartó hossza mentén véges hosszúságban jelennek meg,hanem feltételezzük, hogy koncentráltan, képlékeny csuklók formájában jelentkeznek. Ez ekvivalens alemezeknél elképzelt törésvonalakkal.

(Hogy is van ez? – Tudjuk, hogy egy keresztmetszetnek van egy rugalmas alapon, vagyis lineárisfeszültségeloszlás segítségével számítható Mel teherbírása, meg egy ennél nagyobb, képlékeny alaponszámítható Mpl teherbírása. Ott, ahol mi képlékeny csuklót képzelünk el, a nyomatéki ábra értéke nyilván Mplnagyságú; mivel azonban a nyomatéki ábrában ugrás nem lehet, a képlékeny csukló környezetében van egyvéges hosszúságú szakasz, ahol M > Mel. Erre az a jellemző, hogy a keresztmetszet egy része (a széle) képlékenyállapotban van, azaz „folyik”, másik része (a közepe) pedig még rugalmas. A feszültésgeloszlást a 6-2. ábra

6-2. ábra

v2:6-5

mutatja. Ezzel szemben a tartó alakváltozásait mi úgy képzeljük el az 5. feltevés alapján, hogy koncentrált„képlékeny” elfordulások csak a képlékeny csukló keresztmetszetében jelentkeznek, másutt a viselkedésrugalmas.)

6. A tartót síkbelinek képzeljük, azaz csak a tartó síkjában következhet be tönkremenetel. Ezt a valóságbanúgy lehet elérni, hogy a tartót olyan szelvényből készítjük, mely szimmetrikus a tartó síkjára, és a terheketebben a síkban működtetjük. Ezenkívül olyan kialakítást kell választani, mely megakadályozza a síkramerőleges irányú stabilitásvesztési formákat (kifordulás, kihajlás), például megfelelő oldalirányúmegtámasztások biztosításával. Különösen fontosak az oldalirányú megtámasztások azokon a helyeken,ahol képlékeny csukló kialakulását feltételezzük, mivel ezek a tartószakaszok kifordulásra különösenérzékenyek.

(b) A képlékenységtan alaptételei

1. Állandó feszültségek tétele.A tétel szerint képlékeny határállapotban az alakváltozások és elmozdulások folyamatos növekedéseközben a feszültségek nem változnak meg, tehát növekményük a test valamennyi pontjában zérussalegyenlő.

A tétel fenti formájában nem alkalmazható közvetlenül, viszont három fontos következménye az alapja atovábbi tételeknek. Ezek a következmények a következők:

• A képlékeny határállapot és a képlékeny teherbírás vizsgálatakor a szerkezetet merev–tökéletesenképlékeny anyagúnak lehet feltételezni.

• A képlékeny határállapotra a megelőző állapotok nincsenek befolyással, így a szerkezet képlékenyteherbírása a képlékeny határállapot vizsgálatával egyértelműen meghatározható.

• Képlékeny határállapotban a szerkezet változatlan eloszlású, arányosan növekvő (stacionárius)alakváltozásokat és eltolódásokat végez.

Ezek alapján a következmények alapján fogalmazható meg az a két tétel, melyet közvetlen teherbírás-számításratudunk alkalmazni.

2. Statikai tétel.A tétel szerint a meghatározni kívánt teherparaméter legalább akkora, mint bármelyik statikailagelérhető teherintenzitáshoz tartozó paraméter.

A tételben emlegetett „teherparaméter” a bevezetőben, az egyparaméteres teher kapcsán emlegetett µ szám.Statikailag elérhetőnek nevezzük azt a teherintenzitást, amelyhez egyrészt statikailag lehetséges (azaz azegyensúlyi egyenleteket kielégítő) igénybevétel-eloszlás tartozik, másrészt amelyhez tartozó igénybevétel-eloszlás szilárdságilag elérhető, magyarul bármely keresztmetszetben az igénybevétel értéke kisebb akeresztmetszet képlékeny teherbírásánál.

3. Kinematikai tétel.A tétel szerint a meghatározni kívánt teherparaméter legfeljebb akkora, mint bármelyik kinematikailagelégséges teherintenzitáshoz tartozó paraméter.

Kinematikailag elégségesnek nevezzük azt a teherintenzitást, amelyhez olyan elmozdulási, illetőlegalakváltozási mező (más néven képlékeny mechanizmus) tartozik, amely kinematikailag lehetséges, azazkielégíti a kinematikai feltételeket. Ezt a teherintenzitást az jellemzi, hogy a hozzá tartozó elmozdulási mezőközben végzett munkája eléri vagy meghaladja a szerkezetnek az alakváltozási mező közben kifejtett munkáját,vagyis a teher elegendően nagy ahhoz, hogy a szerkezetet folyamatos mozgásban tartsa.

4. A statikai és a kinematikai tétel legfontosabb következményei. A statikai tétel alapján tehát alsó korlátokattudunk adni a szerkezet képlékeny teherbírására, míg a kinematikai tétel alapján felső korlátokat. Ha tehát astatikai és a kinematikai tétel segítségével ki tudjuk hozni ugyanazt a korlátot, az bizonyosan a keresettképlékeny teherbírás lesz; ha nem, akkor jobb-rosszabb alsó és felső becslést kapunk a keresett értékrevonatkozóan. Ebből következik a képlékenységtan egyértelműségi tétele, mely szerint adott szerkezetegyparaméteres terhelésének egy és csakis egy képlékeny határintenzitása van. (Megjegyzendő, hogy ez nemfeltétlenül jelenti a határállapot egyértelműségét, lásd pl. szimmetrikus tartók aszimmetrikus határállapotai.)

v2:6-6

(c) A képlékeny teherbírás számításának módszerei

Egy tartó képlékeny teherbírását alapvetően három módszer segítségével határozhatjuk meg. E három módszertegy egyszerű példán keresztül fogjuk ismertetni. Tekintsünk egy folytatólagos háromtámaszú tartót két egyenlő,l hosszúságú nyílással, melynek egyik nyílását egy P nagyságú erő terheli a nyílás középpontjában (6-3. ábra).A tartó végig azonos szelvényből készült, melynek képlékeny nyomatéki teherbírása Mpl. Keressük a P erő azonértékét, mely a képlékeny határállapothoz tartozik (azaz a P erő Ppl értékét).

1. módszer: a képlékeny teherbírás számítása rugalmas számítások sorozatával („lépésről lépésre” elv).Elsőként határozzuk meg a P erő azon P1 értékét, amely ahhoz kell, hogy a szerkezetben kialakuljon az elsőképlékeny csukló. Ennek érdekében felrajzoljuk a rugalmas alapon számított nyomatéki ábrát P függvényében(6-3a. ábra). Azt látjuk, hogy a maximális ordináta az erő alatt van, és 64/13Pl nagyságú, míg a támasz fölöttellentétes értelemben 32/3Pl a nyomatéki ábra ordinátája. Mivel rugalmas állapotban érvényes a szuperpozícióelve, kiszámíthatjuk P1 értékét az 64/13 1lPM pl = egyenlőségből, és azt kapjuk, hogy

lM

P pl⋅=1364

1 .

Ebből kiszámíthatjuk a P1 erő hatására a támasz fölött kialakuló nyomaték értékét, mely plMPl136

323

1 =

nagyságú.

Ezek után határozzuk meg azt a ∆P többleterőt, amely ahhoz kell, hogy egy másik képlékeny csukló is kialakul-jon. Ez a másik képlékeny csukló a középső támasz fölött fog kialakulni, és megállapíthatjuk, hogy ez egyben aképlékeny határállapotot is fogja jelenteni a tartó számára, hiszen az első nyílásban „labilis rúdlánc” alakul ki.(Ezt a fajta labilis rúdláncot egyébként gerendamechanizmusnak nevezzük, és a keretek egyik jellemző képlé-keny mechanizmusa lesz.) A ∆P erőre a tartó megintcsak rugalmas elven számítható, de megváltozott statikaivázzal: az első képlékeny csukló helyére valódi csuklót képzelünk. Ekkor egy Gerber-tartót kapunk, melynekstatikai határozatlansági foka 0 (azaz statikailag határozott), tehát eggyel kevesebb, mint az eredeti szerkezeté.A Gerber-tartó nyomatéki ábráját a 6-3b. ábrán láthatjuk. Az ábra ordinátájának az értéke a közbenső támaszfelett 2/Pl∆ . Mivel itt is érvényes a szuperpozíció elve, a második csukló kialakulásának az a feltétele, hogyez a nyomaték annyival legyen kisebb plM -nél, amekkora nyomaték ugyanitt a P1 erőből keletkezett, azaz

2136 PlMM plpl

∆=− ,

ahonnan

lM

P pl⋅=∆1314 ,

és a meghatározni kívánt képlékeny teherbírás

lM

PPP plpl

61 =∆+= .

2. módszer: vizsgálat a statikai tétel alapján. Az előző megoldási módszerről megállapíthatjuk, hogy mindigmegoldható, nincs szükség próbálkozásokra, ellenben nagyobb szerkezeteknél rengeteg számítási munkával jár.Ha a vizsgált tartó n-szeresen határozatlan, akkor a módszer során 1+n különböző statikai vázú tartót kellmegoldani, melyek az utolsó kivételével statikailag határozatlanok. S bár a módszer könnyen programozható,kézi számításra alkalmatlannak kell minősítenünk.

A statikai és a kinematikai tételnek éppen az ad különös jelentőséget, hogy alkalmazásuk kézzel könnyenelvégezhető számításokat igényel. Ennek azonban az az ára, hogy többszöri próbálkozásra (vagy jó érzékre) vanszükség, ha jó becslést kívánunk kapni a képlékeny teherbírás értékére. Mint az előző szakaszban már láttuk, astatikai tétellel a teherbírásra alsó korlátot tudunk adni (azaz ha tévedünk, a biztonság javára tévedünk, de hanagyot tévedünk, gazdaságtalan lesz a szerkezetünk), míg a kinematikai tétellel felső korlátot nyerhetünk (azaz aszerkezetünk ugyan biztosan nem lesz gazdaságtalan, de lehet, hogy nem is fog megfelelni).

Az előző példához visszatérve a statikai tétel alkalmazása azt jelenti, hogy keresni kell egy olyan igénybevétel-eloszlást, mely statikailag elérhető. Szeretnénk megjegyezni, hogy bármely, rugalmas alapon számítottnyomatéki ábra is ilyen, ha plM -en végig belül van, így ez is plP alsó korlátját szolgáltatja, de nyilván nem a

legjobbat. Jobb becslést kapunk például akkor, ha olyan nyomatéki ábrát rajzolunk, melyben mind a koncentrált

v2:6-7

erő alatt, mind a támasz fölött a nyomaték értéke plM (6-3c. ábra). Ezen pontok között pedig nyilván egyenes

szakaszok képezik a nyomatéki ábrát, hiszen csak így lehet biztosítani, hogy az igénybevétel-eloszlás statikailaglehetséges legyen.

Mivel a gerendára függőleges erőrendszer hat, így két egyensúlyi egyenletet tudunk felírni. Másik kétteljesítendő feltételt ad a két Mpl nagyságú nyomatéki ordináta előírása. Ezzel szemben négy ismeretlenünk van(a három függőleges támaszreakció és a teher értéke a határállapotban). Ez tehát megoldható feladat.

Például a bal oldali támasz A reakciója meghatározható az plMAl =2/ feltételből:

lM

A pl2= ,

majd a középső támasz fölötti nyomatékra felírt lAlPM plpl ⋅−⋅= 2/ feltételi egyenletből a keresett mennyiség

ismét l

MP pl

pl6

= -re adódik, mely egyben alsó korlátot jelent a teherbírásra nézve (most persze ismerjük a

helyes megoldást, így tudjuk, hogy ez a keresett mennyiség „pontos” értéke).

A módszer tehát úgy működik, hogy feltételezünk egy szilárdságialg elérhető igénybevétel-eloszlást, majdkiszámítjuk a hozzá tartozó ismeretlen statikai mennyiségeket. Ha a vizsgált szerkezet n-szer határozatlan, akiinduló nyomatéki ábra megrajzolásánál általában 1+n szabadságfokunk van.

3. módszer: a kinematikai tétel alkalmazása. Ha felső korlátot kívánunk kapni a tartó teherbírására (példáulazért, hogy képet kapjunk róla, hogy a statikai módszerrel megtervezett szerkezet mennyire gazdaságos vagymennyire nem az), akkor alkalmazhatjuk a kinematikai tételt. Ennek során ugyanúgy kell eljárnunk, mint a 6.1.fejezetben ismertetett lemezfeladatoknál.

A felveendő képlékeny mechanizmust a 6-3d. ábra szemlélteti. A képlékeny mechanizmus, mint tudjuk, egyszabad paraméter segítségével írható le. Legyen ez az erő alatti keresztmetszet függőleges eltolódása, melyetvegyünk föl egységnyinek. Ekkor a külső munka

plplk PPL =⋅= 1 ,

a belső munka pedig

lM

llML pl

plb642

=

+⋅= ,

ahonnan az bk LL = feltételből

6-3. ábra

v2:6-8

lM

P plpl

6= .

Gyakran igaz (bár nem mindig), hogy a kinematikai tétel alapján könnyebben jutunk el a végeredményhez,azonban nem szabad elfelejtenünk, hogy a módszer csak felső korlátot szolgáltat a helyes végeredményre, így astatikai tétel szerinti ellenőrzés elengedhetetlen.

6.3. Keretek ellenőrzése képlékeny alapon

A gyakorlatban gyakran van szükség arra, hogy egy tartót ellenőrizzünk adott terhekre. A feladat azt jelenti,hogy valamilyen módon előzetesen már felvettük a szelvényeket, melyek a tartót alkotják, így ismert azok plMképlékeny nyomatéki teherbírása. Gyakran szeretnénk az ellenőrzést képlékeny alapon elvégezni, vagy azért,mert kíváncsiak vagyunk a szerkezet törőteherrel (képlékeny teherbírással) szembeni biztonságára, vagy azért,mert bár a rugalmasságtan szerint a tartónk nem felel meg, abban bízunk, hogy képlékeny alapon majd meg fog.

Az alábbiakban egy egyszerű példán mutatjuk be a különböző lehetőségeket. A példa a 6-4. ábrán vázolt tartó,mely egy egyik szélén (A támasz) befogott, másik szélén (E támasz) csuklós megtámasztású, vízszintesgerendájú portálkeret. A tartót két koncentrált erő terheli, egy P nagyságú függőleges a gerenda közepén, és egyQ nagyságú vizszintes a gerenda síkjában. Legyen kN 20=Q és kN 402 == QP , és tekintsük Q értékétteherparaméternek.

(a) Első módszer (durva közelítés)

Feladat. Ellenőrizzük a tartót, ha a gerenda szelvénye IPE A 330, az oszlopé pedig HE 200 B. Tételezzünk felS235-ös anyagminőséget.

Megoldás. Az oszlopszelvény képlékeny nyomatéki teherbírása kNm 0,151, =RdplM , a gerendáé pedig

kNm 9,164, =RdplM .

Durva közelítésként fel lehet tételezni, hogy a vízszintes terhet a befogott végű oszlop viseli konzolként, afüggőleges terhet pedig a gerenda kéttámaszú gerendaként. Ekkor az oszlop befogási keresztmetszetében

kNm 150625 =⋅=⋅= hQM , a gerenda közepén pedig kNm 1504/122524/2 =⋅⋅=⋅= lQM nyomatékébred, tehát mindkét szelvény megfelel (a nyomatéki ábrát a 6-5. ábra mutatja).

Látszik, hogy a feladat kiagyalója a szelvényeket ezekre a durván közelítő igénybevételekre tervezte. Akövetkezőkben látni fogjuk, hogy ennél jóval kisebb szelvények is elegendőek, ha a valóságot jobban közelítőigénybevétel-eloszlást tételezünk fel. Ha azonban valamely más okból (pl. kellő merevség biztosítása érdekében,vagy egy másik, „erősebb” tehercsoportosítás viselése érdekében) mégis ezeket a szelvényeket alkalmazzuk,akkor nem szükséges bonyolult számításokat végezni a teherbírás igazolására.

6-4. ábra 6-5. ábra

v2:6-9

(b) Második módszer (a statikai tétel alkalmazása)

Feladat. Ellenőrizzük a tartót, ha a gerenda szelvénye IPE A 270 (16% anyagmegtakarítás az előző példáhozképest), az oszlopé pedig HE 200 A (31% megtakarítás). Tételezzünk fel S235-ös anyagminőséget.

Megoldás. Az oszlopszelvény képlékeny nyomatéki teherbírása kNm 9,100, =RdplM , a gerendáé pedig

kNm 9,96, =RdplM .

A feladat akkor tekinthető megoldottnak, ha sikerül találni egy olyan igénybevételi ábrát, mely statikailagelérhető (lásd a statikai tételről szóló részt), és a hozzá tartozó Q erő legalább 25 kN nagyságú.

Első próbálkozás (oszlopmechanizmus). Tekintsük a 6-6. ábra szerinti nyomatéki ábrát. Ezt a következőlépésekben állítottuk elő.

1. Feltételeztük, hogy az A, B és D helyeken képlékeny csukló van. Ekkor ott a nyomatéki ábra ordinátája aszelvény határnyomatéka, vagyis kNm 9,100=AM és kNm 9,96== DB MM .

2. Az kNm 9,96=DM feltételből számítható az E reakció vízszintes komponense: kN 15,16/ == hMH DE .3. Az kNm 9,100=AM és kNm 9,96=BM feltételből számítható az A reakció vízszintes komponense:

kN 97,32/)( =+= hMMH BAA .4. Ekkor kN 12,49=+= EA HHQ , amely 25 kN-nál nagyobb, tehát megfelelni látszik a tartó.5. Még ellenőrizni kell, hogy a C pontban a nyomatéki ábra ordinátája szilárdságilag elérhető-e. Itt a

nyomaték: kNm 7,2944/2 =⋅⋅= lQM C , mely jóval nagyobb a gerendaszelvény nyomatéki teherbírásánál(96,9 kNm), tehát a feltételezett igénybevétel-eloszlás szilárdságilag nem elérhető.

Második próbálkozás (gerendamechanizmus). Tekintsük a 6-7. ábra szerinti nyomatéki ábrát. Ezt akövetkező lépésekben állítottuk elő.

1. Feltételeztük, hogy a B, C és D helyeken képlékeny csukló van. Ekkor ott a nyomatéki ábra ordinátája aszelvény határnyomatéka, vagyis kNm 9,96=== DCB MMM .

2. Az kNm 9,96=DM feltételből számítható az E reakció vízszintes komponense: kN 15,16/ == hMH DE .3. Az kNm 9,96=== DCB MMM feltételből Q értéke közvetlenül számítható:

( ) kN 3,32212/4)( =⋅⋅+= CB MMQ , tehát a szelvények megfelelni látszanak.4. Ezután megvizsgáljuk az MA nyomatékot, vajon elérhető-e szilárdságilag. Ehhez előbb meghatározzuk az A

támaszreakció vízszintes összetevőjét, mely nyilván kN 15,16=−= EA HQH nagyságú. EbbőlkNm 8,1939,962 =⋅=AM , tehát az igénybevétel-eloszlás szilárdságilag nem elérhető, tehát kN 3,32=Q

a tartó teherbírásának nem alsó korlátja.

Harmadik próbálkozás (összetett mechanizmus). Tekintsük a 6-8. ábra szerinti nyomatéki ábrát. Ezt akövetkező lépésekben állítottuk elő.

1. Feltételeztük, hogy az A, C és D helyeken képlékeny csukló van. Ekkor ott a nyomatéki ábra ordinátája aszelvény határnyomatéka, vagyis kNm 9,100=AM és kNm 9,96== DC MM .

2. Az kNm 9,96=DM feltételből számítható az E reakció vízszintes komponense: kN 15,16/ == hMH DE .

6-6. ábra 6-7. ábra

v2:6-10

3. Az kNm 9,96=CM feltételből számítható az E reakció függőleges komponense:kN 30,32/)(2 =⋅+⋅= lhHMV ECE .

4. Az E pontra felírt nyomatéki egyenletből számítható Q értéke: kNm 14,27=Q . (A nyomatéki egyenlet:

AE MlVhQlQ +⋅=⋅+⋅ ). Mivel Q nagyobb, mint az igénybevétel értéke, a tartó megfelelni látszik. 5. Ki kell még mutatni, hogy a megadott igénybevétel-eloszlás szilárdságilag elérhető, azaz kNm 9,96≤BM .

Ezt az értéket az ( ) 4/22/ QlMMM CDB =++ egyenlet szolgáltatja, és kNm 98,34=BM adódik (kívülhúzás).

Végeredményként megállapítható, hogy a tartó teherbírásának kN 14,27=Q alsó korlátja, azaz kN 25=Q -ra atartó biztosan megfelel.

(c) Harmadik módszer (a teherbírás meghatározása)

Feladat: Azonos a második módszernél adottal.

Megoldás: Itt úgy járunk el, hogy kiszámítjuk a tartó teherbírását. Ehhez meg kell találni azt a teherszintet, melystatikailag is és kinematikailag is lehetséges.

Az előző módszer végeredményéből azt gyanítjuk, hogy kN 14,27=Q lesz ez az érték (erről már tudjuk, hogystatikailag elérhető). Az ehhez tartozó képlékeny mechanizmus pedig várhatóan az ott feltételezett összetettmechanizmus lesz (6-9. ábra). Egységnyinek a keretgerenda vízszintes eltolódását tekintjük. A továbbiakbanjelölje Mo az oszlop, Mg a gerenda keresztmetszetének képlékeny nyomatéki teherbírását.

A külső erők munkája:

QhlQQLk 3

22 =⋅+= ,

a belső erőké pedig

kN 42,8141=⋅+⋅= gob M

hM

hL .

Az bk LL = feltételből adódik a várt eredmény, hogy kN 14,27=Q , ami egyben a tartó képlékeny teherbírása.

(d) Negyedik módszer (képlékeny igénybevételi ábra alapján)

A módszer lényege, hogy rajzolunk egy képlékeny nyomatéki ábrát. Egy ilyent készítettünk már az első módszer(durva közelítés) kapcsán (6-5. ábra). A második módszer kapcsán rajzolt nyomatéki ábrákat nem soroljuk aképlékeny nyomatéki ábrák közé, mert nem a ténylegesen ható terhekhez, hanem a határállapothoz (ill. aképlékeny határteherbíráshoz mint teherszinthez) tartoznak.

A képlékeny nyomatéki ábra alatt tehát olyan igénybevételi ábrát értünk, mely statikailag lehetséges (vagyiskielégíti az egyensúlyi egyenleteket, tehát egyensúlyban van a külső erők tervezési értékével, illetveszilárdságilag elérhető, tehát az ordináták a keresztmetszetek képlékeny nyomatéki teherbírása alatt vannak).

Az ellenőrzés akkor tekinthető sikeresnek, ha sikerül ilyen ábrát rajzolni.

A képlékeny igénybevételi ábrát a következő módszerekkel lehet elkészíteni:

6-8. ábra 6-9. ábra

v2:6-11

I. Durva közelítő módszerrel (ld. a fenti első módszert). Ez általában nem eredményes, ha aszelvényméretezés alapját a szilárdsági vizsgálat adja, azaz ha a szelvények kihasználtsága szilárdságiszempontból jó.

II. Képlékeny mechanizmusok alapján. Ez azt jelenti, hogy ugyanúgy járunk el, mint a fenti második módszerkapcsán, de eggyel kevesebb helyen írjuk elő a szelvény képlékeny nyomatéki teherbírásával megegyezőnagyságú igénybevételt, és a külső terhet adottnak tekintjük a tervezési érték szintjén. (Azaz a fentipéldában a 3. próbálkozásnál az egyik feltételt elhagyjuk, és kN 25=Q -t tételezünk fel.) Ez a módszer nemműködik akkor, ha az igénybevételeknek ezután valami egyéb feltételnek is meg kell felelnie (pl.hajlítónyomaték és normálerő interakciója).

III. Valamely közelítő ábrából kiindulva, sajátnyomatéki ábrák hozzáadásával. Például kiindulhatunk egy olyanábrából, melyet az I. módszer szerinti durva közelítéssel határozunk meg (általában kiindulásnak nem rossza határozartlan tartó megoldásához a statikai módszer elvei alapján készített törzstartó, mely statikailaghatározott, illetve az ezen számolt nyomatéki ábra), majd ehhez sajátnyomatéki ábrákat szuperponálunkúgy, hogy végül szilárdságilag elérhető ábrát nyerjünk. Sajátnyomatéki ábra alatt önmagában egyensúlybanlévő erőrendszerből származó nyomatéki ábrát értünk, miközben nincs külső teher (pl. zérus külső tehermellett a háromtámaszú tartó függőleges reakcióerői úgy is lehetnek egyensúlyban, hogy nem nullák; azezekhez tartozó nyomatéki ábra a háromtámaszú tartó sajátnyomatéki ábrája). Eközben általában célszerűarra törekedni, hogy a végső ábrán a kritikus helyeken a kihasználtság közel egyenletes legyen.

IV. Arányosan csökkentett határnyomatéki ábra. Az előző pont végén megfogalmazott célt tökéletesen meglehet valósítani, ha a képlékeny nyomatéki ábrát úgy állítjuk elő, hogy a fenti második módszerrelmeghatározunk a tartó teherbírására egy alsó korlátot, illetve egy ahhoz tartozó nyomatéki ábrát, majd ezt(ennek minden ordinátáját) arányosan csökkentjük úgy, hogy végül a teher tervezési szintjével legyenegyensúlyban. A csökkentés mértéke nyilván a tervezési teher és a teherbírás aránya.

Megjegyzés. Ezekkel a módszerekkel csak azt lehet igazolni, hogy a tartó megfelel. Ha a tartó nem felel meg, amódszerek természetesen nem tudnak jó eredményt szolgáltatni, viszont azt sem képesek bizonyítani, hogy atartó nem felel meg. Ilyenkor a kinematikai tétel közvetlen alkalmazásával lehet könnyedén kimutatni, hogy nemjó a tartónk, hisz az felső korlátot ad a teherbírásra.

(e) Példa képlékeny nyomatéki ábrára

Feladat: Rajzoljunk képlékeny nyomatéki ábrát a 6-4. ábrán vázolt tartóra (a) az erősebb szelvények, (b) agyengébb szelvények feltételezésével.

Megoldás:(a) Az erősebb szelvényekre jó képlékeny nyomatéki ábra a 6-5. ábra szerinti durván közelítő igénybevétel-eloszlás.

(b) A gyengébb szelvények esetén a fenti II., III. és IV. módszer szerint is fogunk képlékeny nyomatéki ábrátelőállítani.

Megoldás a II. módszer szerint (nem teljes képlékeny mechanizmus). Az előzőekben láttuk, hogy képlékenyhatárállapotban a tartón az A, C és D keresztmetszetekben (összetett mechanizmus) alakult ki képlékeny csukló.A tervezési teherértékekhez tartozó igénybevételi ábrán ezek közül kettőben tudunk „teljes kihasználtságot”feltételezni, azaz azt, hogy ott az igénybevétel értéke a szelvény nyomatéki teherbírása. Legyen ez a két hely azA és a C. Tehát kNm 9,100=AM és kNm 9,96=CM (itt most csak az igénybevétel-értékek abszolút értékévelfoglalkozunk). Az igénybevételi ábra előállításához meg kell határozni az BM és DM nyomatékértékeket.Ehhez először felírjuk, hogy az E és A reakcióerő vízszintes komponense 6// DDE MhMH == , illetve

6/25 DEA MHQH −=−= . Ezek után az BM nyomaték ( )DAAB MhHMM −⋅−=⋅−= 6259,100 ,

v2:6-12

továbbá az CM nyomaték az ismeretlen értékekkel kifejezve1504/22/)( =⋅=++ lQMMM CBD .

A fenti egyenletekből a keresett két nyomatékértékre kNm 55,28=BM és kNm 65,77=DM adódik, amialapján az igénybevételi ábra felrajzolható (6-10. ábra). A tartó az adott terhekre tehát megfelel, mert ahajlítónyomatékok értékei mindenütt kisebbek a szelvény nyomatéki teherbírásánál.

Megjegyzés. Természetesen másik két nyomatékot is előírhattunk volna.

Megoldás a III. módszer szerint (sajátnyomatéki ábrák). A megoldás menetét a 6-11. ábra illusztrálja. Ahatározatlan tartók megoldásának statikai módszere szerint felvett törzstartót a 6-11a. ábrán láthatjuk; ezen a Bkeresztmetszetben olyan kényszert képzelünk, mely csak függőleges erők átadására képes. A törzstartófelvételtaz indokolja, hogy az ezen rajzolt nyomatéki ábra éppen megegyezik a 6-5. ábra durván közelítő ábrájával(6-11a. ábra). Továbbra is a statikai módszer szerint gondolkodva felrajzoljuk az eltávolított X1 és X2 egységnyiértékéhez tartozó nyomatéki ábrákat (6-11b–c. ábra). A nyilak a csomópontra ható erők értelmét mutatják.Ezután az MA, MB, MC, MD nyomatékok értékeit rendre felírhatjuk X1 és X2 függvényében:

6-10. ábra

6-11. ábra

v2:6-13

.6,35,0150,,6150

2

21

1

21

D

C

B

A

MXMXXMXMXX

=−=−−=−=+−−

Most két nyomatékértéket tetszőlegesen felvehetünk, hiszen a fenti egyenletekben két fölös ismeretlenmennyiség szerepel. Vegyük fel most is MA és MC értékét, de most úgy, hogy a szelvények 95%-ban legyenekkihasználva! Azaz kNm 9,95−=AM és kNm 1,92=CM . Ekkor a fenti egyenletrendszer első és harmadikegyenletéből meghatározzuk a kapcsolati erők nagyságát: kNm 85,301 =X , illetve kN 16,142 =X . A maradékkét hajlítónyomaték értéke pedig kNm 85,30−=BM és kNm 95,84−=DM . A kapott nyomatéki ábrát a 6-12.ábrán láthatjuk. A tartó ismét csak megfelel, hiszen minkét nyomatékérték abszolút értéke alatta marad aszelvény nyomatéki teherbírásának.

Megjegyzés. Természetesen itt is megtehetjük, hogy nem ugyanezeken a helyeken írjuk elő ahajlítónyomatékokat, illetve azt is, hogy a kihasználtságot 95%-tól különböző értékre vesszük fel. Ha példáulugyanezeken a helyeken 100% kihasználtságot tételezünk fel, várakozás szerint visszakapjuk a II. módszerszerinti ábrát. Természetesen azonban nem minden felvétel vezet jó eredményre. Ha például ugyanezeken ahelyeken csak 85% kihasználtságot írunk elő, az MD nyomaték –99,75 kNm-re adódik, ami nagyobb a szelvényhatárnyomatékánál – ez azonban nem azt jelenti, hogy a tartó nem felel meg, csak azt, hogy nem jólpróbálkoztunk.

Megoldás a IV. módszer szerint (arányosan csökkentett határnyomatéki ábra). Korábban mármeghatároztuk, hogy a tartó teherbírása kN 14,27=Q , azaz a kihasználtság %11,9214,27/25 ==α (tehát nemvéletlen, hogy az iménti 95%-os próbálkozás olyan jó eredményt adott...). A képlékeny nyomatéki ábrát mostúgy kapjuk, hogy a 6-8. ábra ordinátáit ezzel az α értékkel megszorozzuk (6-13. ábra).

Megjegyzés. Bár ehhez a módszerhez írtuk a legrövidebb szöveget, ez a leghosszadalmasabb, mivel ehhez megkell határozni a teherbírást. Ellenben kellemes fekvésű igénybevételi ábrát szolgáltat (ami azt jelenti, hogy akihasználtság a kritikus keresztmetszetekben egyenletes), és a teherbírás számítása során az is kiderül, megfelel-e a tartó.

6.4. A képlékeny elvek alkalmazási feltételei acélszerkezeteknél

Ahhoz, hogy a fenti elveket acélszerkezetek esetén alkalmazni lehessen, a szerkezettől bizonyos feltételeket kellmegkövetelni. Ezek a feltételek azzal függnek össze, hogy azt képzeljük, hogy az igénybevételek a rugalmaserőeloszláshoz képest átrendeződnek. Ez a valóságban természetesen nagyjából olyan rend szerint megy(menne) végbe, mint amit a 6.2. részben annak kapcsán leírtunk, hogy hogyan lehet egy tartó képlékenyteherbírását rugalmas számítások sorozatával megállapítani. Láttuk, hogy az átrendeződés során bizonyoshelyeken képlékeny csuklók alakulnak ki, melyek bizonyos teherszint felett olyan alakváltozásokat végeznek,mintha igazi csuklók lennének, azaz bennük koncentrált elfordulások lépnek fel. Ez azt jelenti, hogy azanyagtól, illetve a szerkezettől valamiféle alakváltozási képességet, idegen szóval duktilitást kell megkövetelni.

Ezeken kívül a terhekkel szemben is vannak megkötések, mivel a szerkezet alakváltozási képességére általábancsak akkor lehet számítani, ha a terhek statikus jellegűek.

6-12. ábra 6-13. ábra

v2:6-14

(a) Követelmények az anyaggal szemben

Az anyagtól azt kell elvárnunk, hogy kellően szívós legyen, azaz a tönkremenetel nagy alakváltozások árán(kíséretében) menjen végbe. A méretezési szabványok általában (ha egyáltalán foglalkoznak a kérdéssel)konkrét előírásokat adnak meg e követelményre.

Az Eurocode 3:1.1 például a következő 3 kritériumot adja meg:1. az anyagból készített húzó próbapálcán végzett húzó kísérlet során az 065,5 A bázishosszon mért szakadó

nyúlás legyen legalább 15% (ahol A0 a próbapálca eredeti keresztmetszeti területe);2. az anyag szakítószilárdsága a folyáshatárnál legalább 20%-kal nagyobb;3. az anyag szakadó nyúlása legalább 20-szorosa a folyáshatárhoz tartozó nyúlásnak.

Általában el lehet mondani, hogy a szokásos anyagminőségek (37-es, 45-ös, 52-es szilárdsági csoport) tudják afenti feltételeket, az ennél magasabb osztályok azonban nem mindig.

Az MSZ 15024/1-ben a következő 3 feltételt találjuk:1. az anyagból készített húzó próbapálcán végzett húzó kísérlet során az MSZ 105/1–85 szerinti A5 szakadó

nyúlás (mely ugyanaz, mint az Eurocode szerinti) legyen legalább 15%;2. az anyag szakítószilárdsága a folyáshatárnál legalább 25%-kal nagyobb;3. az anyag feszültség–alakváltozási diagramja tartalmazzon kifejezett folyási szakaszt, melynek hossza

legalább Ef y /6 .

(b) Követelmények a szerkezettel szemben

A szerkezettől azt kell elvárnunk, hogy tönkremeneteli módja hasonló legyen ahhoz, amelyet feltételeztünk.

Az Eurocode 3:1.1 megkülönböztet merev–képlékeny és rugalmas–képlékeny vizsgálatot. Az elsőrendű, merev–képlékeny vizsgálat (amellyel ez idáig foglalkoztunk) alkalmazási körét a következőkben állapítja meg (itt csaka lényeges előírásokat emeljük ki):

1. oldalirányú megtámasztásokat kell alkalmazni minden olyan keresztmetszetben, ahol képlékeny csuklóttételezünk fel;

2. ha a keret nem kilengő, vagy kilengő, de az RKTA arány (lásd az 5.4. szakasz (b) részében) 0,2-nél kisebb

(ez utóbbi esetben az igénybevételeket növelni kell az RKTA11

− szorzótényezővel);

3. a keresztmetszetek az 1. keresztmetszeti osztályba tartozzanak mindenütt, ahol képlékeny csuklótfeltételezünk; az utolsóként kialakuló képlékeny csuklóban 2. keresztmetszeti osztály is megengedhető;

4. amennyiben oszlopban (nyomott elemben) tételezünk fel képlékeny csuklót, ott az oszlop viszonyítottkarcsúságának egy adott határértéknél kisebbnek kell lennie;

5. a kapcsolatoknak általában merev–képlékeny analízis esetén mereveknek kell lenniük, és megfelelőelfordulási képességgel kell rendelkezniük.

Megjegyezzük, hogy félmerev kapcsolatokat tartalmazó keretszerkezeteket képlékeny alapon csak másodrendű,rugalmas–képlékeny elven szabad ellenőrizni.

Az MSZ 15024/1–86 előírásai is kellőképpen szövevényesek, és általában a fentihez hasonló jellegű kikötésekettartalmaznak. Ezekkel itt nem foglalkozunk.

(c) Követelmények a terhekkel szemben

A fenti eljárás a terhekről azt feltételezi, hogy statikusak és egyparaméteresek. Ha a terhek nemegyparaméteresek, ún. beállásvizsgálatot kell végezni, mellyel itt most nem foglalkozunk.

Általában statikus tehernek tekinthetők a meteorológiai terhek (a széllökés kivételével). Nem kell tekintettellenni a támaszmozgás és a hőmérsékletváltozás hatására. Darupályát alátámasztó szerkezetekre (de nem magáraa darupályatartóra!) bizonyos daruk terhei is tekinthetők statikus jellegűnek (pl. kézi mozgatású vagy könnyűfutódaru). Fárasztó jellegű teherrel terhelt szerkezeteket sohasem szabad képlékeny alapon méretezni, de azEurocode szerint keresztmetszetük ellenállásában figyelembe szabad venni a képlékeny többletteherbírást.