MAGNETICKÉ POLE

1. Základní charakteristiky

Magnetické pole se tvoří kolem každé částice s nábojem Q, která je v pohybu. Tzn., že magnetismus látek je dán strukturou atomů (elektrony jsou v atomu v pohybu). Magnetické pole najdeme kolem permanentního magnetu (i kolem Země) a zároveň kolem každého vodiče, kterým prochází elektrický proud.

Magnetické pole znázorňujeme pomocí magnetických siločar. Na rozdíl od elektrických siločar (začínají na kladném a končí na záporném náboji) jsou to magnetické siločáry uzavřené. Uvnitř magnetu procházejí od jižního magnetického pólu k severnímu magnetickému pólu.

Poznámka: zeměpisné a magnetické póly Země jsou opačné- na severním pólu je jižní magnetický pó.l Takzvaný magnetický smysl – tedy schopnost zvířat vnímat magnetické pole Země – se prokázal u ptáků, psů i ryb. Zvířatům to pomáhá vyznat se v terénu, stejně jako když člověk hledá cestu, a natočí si mapu tak, aby měl sever nahoře.

Orientace siločar pole kolem vodiče s proudem a tím i vektorů magnetické indukce a intenzity se určí pomocí Ampérova pravidla pravé ruky.

V každém bodě popisuje magnetické pole vektor magnetické intenzity �⃗⃗� (jednotka A.m-1) a vektor

magnetické indukce �⃗� (jednotka T – tesla). Jsou to lineárně závislé vektory (mají stejný směr) a jsou tečnou k magnetické siločáře. Platí

�⃗� = 𝜇0𝜇𝑟�⃗⃗�

kde r 0 je permeabilita a charakterizuje magnetické vlastnosti prostředí

,...10.4 227

0 vakuatapermeabilijeAsmkg

tapermeabiliíjerelativnr

Poznámka:

Podobně permitivita r 0 charakterizuje elektrické vlastnosti prostředí a elektrická indukce je

násobkem elektrické intenzity. Velikost magnetické indukce (magnetické intenzity) magnetického pole vodiče libovolného tvaru

protékaného proudem I se určí pomocí Biott-Savartova-Laplaceova zákona d�⃗� =𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋

d𝑙 ×𝑟

𝑟3 .

1. Ve vzdálenosti r od přímého vodiče je magnetická

indukce r

IB r

2

0

r

IH

2

2. Ve středu kruhové smyčky poloměru r je magnetická indukce

r

IB r

2

0 ,

r

IH

2

3. Ve středu dlouhé válcové cívky délky l o N závitech magnetická indukce

l

INB r0 .

l

INH

Velikost magnetické indukce cívky je závislá na permeabilitě prostředí, kterým je tvořeno její jádro. Proto je magnetická indukce cívky navinuté na uzavřeném ocelovém jádře větší než magnetická indukce téže cívky bez jádra. Hodnota relativní permeability je určena vlastnostmi atomů, z nichž je látka složena.

2. Druhy magnetických látek

Zjednodušený model vypadá takto:

Elektrony při svém oběhu kolem jádra atomu vytvářejí proudové smyčky. Kolem vznikají elementární magnetická pole, která se skládají a vytvářejí výsledné magnetické pole atomu. Podle uspořádání elektronů v atomu dělíme magnetické látky do tří skupin:

Diamagnetické látky se skládají z diamagnetických atomů (mají nulový magnetický moment). Jejich relativní permeabilita nepatrně menší než 1 (μr <1). To znamená, že tyto látky mírně zeslabují magnetické pole (patří sem inertní plyny, voda, zlato, měď, rtuť, …).

Paramagnetické látky jsou složeny z paramagnetických atomů (mají nenulový magnetický moment). Jejích relativní permeabilita je nepatrně větší než 1 (μr >1).

Paramagnetická látka se k magnetu přitahuje a bude sama přitahovat drobné kovové předměty (kancelářské svorky, …) pouze v případě, že bude v blízkosti magnetu. Paramagnetickou látku není možné zmagnetovat trvale.

Tyto látky mírně zesilují magnetické pole (draslík, sodík, hliník, modrá skalice, …).

Vnějším magnetickým polem by tedy bylo možné je uspořádat tak, aby došlo k souhlasné orientaci magnetických polí jednotlivých atomů, a tím i ke značnému zesílení magnetického pole v látce. Ve skutečnosti tento stav nenastává - brání mu tepelný pohyb. Magnetické pole v paramagnetické látce není možné zesílit ani vnějším polem o velké magnetické indukci.

Feromagnetické látky jsou složeny také z paramagnetických atomů, ale ty jsou v takovém uspořádání, že výrazně zesilují magnetické pole. Jejich relativní permeabilita je mnohem větší než 1 (μr » 1). Již slabým magnetickým polem lze u nich vyvolat takové uspořádání atomů, že se magnetické pole zesílí a dojde k magnetování látky. Magnetické pole ve feromagnetické látce zůstává, i když vnější pole zanikne.

Příčinou magnetizace látky je působení tzv. výměnných sil mezi sousedními atomy. Jejich vlivem nastává i bez vnějšího magnetického pole souhlasné uspořádání magnetických polí v malé oblasti látky (o objemu 10-3 mm3-10 mm3) zvané magnetické domény, které jsou orientovány nahodile.

Působením vnějšího magnetického pole se tyto domény orientují souhlasně a látka získává vlastnosti magnetu. Při tomto ději se objem domén postupně zvětšuje, až při jejich souhlasném uspořádání doménová struktura mizí - látka je magneticky nasycena.

Feromagnetickou látku lze zmagnetovat trvale: např. přejedeme-li magnetem nůž nebo šroubovák, začne přitahovat drobné kovové předměty (kancelářské svorky, šroubky, …).

Feromagnetická látka je tvořena týmž druhem atomů jako látka paramagnetická, liší se ale v jiném uspořádání atomů a tedy i v jiném vzájemném silovém působení.

Počet feromagnetických látek není velký, přesto mají značný praktický význam: vyrábějí se z nich jádra cívek v elektromagnetech, transformátorech, elektrických strojích, …

3. Hysterezní smyčka Hysterezní křivka (smyčka) magnetického materiálu je uzavřená křivka magnetování.

Postupně zvyšujeme proud, který prochází cívkou. Tím se zvyšuje magnetická intenzita �⃗⃗� pole kolem cívky.

Do cívky vložíme jádro a sledujeme, jak se mění magnetická indukce �⃗� pole při opětovném zvyšování intenzity pole cívky. Matematicky lze zmíněný vztah mezi dvěma veličinami vyjádřit:

B = fce (H).

Při snižování intenzity magnetického pole cívky �⃗⃗� klesá

indukce �⃗� . Na nulovou hodnotu ovšem klesne až při opačném směru proudu v cívce a tudíž při opačném

směru magnetické intenzity �⃗⃗� cívky.

Jinými slovy jde o graf podávající informaci o tom, jaký vliv má působení vnějšího magnetického pole na magnetické schopnosti materiálu, který se v tomto poli nachází.

Z grafu hysterezní smyčky odečítáme určité charakteristické hodnoty, které podávají klíčové informace o možnostech zkoumaného materiálu. Jsou to maximální hodnoty a hodnoty, kde smyčka protíná osu x a y:

Hs - intenzita nasycení. Pokud zvýšíme intenzitu magnetického pole nad tuto hodnotu, magnetická indukce se již nezvýší, dochází k magnetickému nasycení materiálu a graf by od této chvíle pokračoval jako přímka rovnoběžná s osou x.

Bs - maximální magnetická indukce při nasycení Br - remanentní (zbytková) indukce, která v materiálu zůstává i po snížení intenzity

magnetického pole na nulu (po tom, co materiál přestaneme magnetovat) Hc - koercitivní síla (koercivita). Je to magnetická intenzita pole potřebná k odmagnetování

materiálu (zrušení Br). Čím je koercitivita větší, tím je materiál tzv. magneticky tvrdší. (Hraniční hodnotou mezi magneticky měkkým a tvrdým materiálem je 1 kA/m.)

Na tvar hysterezní smyčky má vliv především chemické složení a stav krystalové mřížky, související se způsoby technologického zpracování, jako např. válcováním za studena nebo za tepla, žíháním nebo kalením.

Hysterezní smyčka se získá provedením jednoho tzv. cyklu magnetování, je pro každý materiál odlišná.

Používá se mimo jiné také k určení hysterezních ztrát v magnetickém obvodu. Integrací lze vypočítat plochu uzavřenou ve smyčce, která je těmto ztrátám úměrná. Hysterezní ztráty vznikají při přemagnetování materiálu střídavým magnetickým polem.

Základní vlastnosti magnetických látek

1. Feromagnetismus se projevuje jen tehdy, je-li látka v krystalickém stavu - v kapalném nebo plynném stavu se chovají jako látky paramagnetické. Feromagnetismus je tedy vlastností struktury, ne jednotlivých atomů.

2. Pro každou feromagnetickou látku existuje určitá teplota (tzv. Curieova teplota), při jejímž překročení látka ztrácí feromagnetické vlastnosti a stává se látkou paramagnetickou.

3. Po překročení Curieovy teploty (řádově stovky stupňů Celsia) je tepelný pohyb tak intenzivní, že se vzniklé magnetické domény rozpadají zpět na jednotlivé atomy.

4. Chcete-li tedy někomu zničit jeho magnet, vhoďte jej do ohně. Necháte-li jej chladnout bez přítomnosti magnetického pole, získáte kus nemagnetického materiálu. Zahřejete-li jej ovšem znovu na Curieovu teplotu a necháte-li jej poté chladnout v magnetickém poli, získáte opět magnet.

5. Vzniku domén totiž brání vnitřní tepelný pohyb částic. Proto se tyto domény snáze vytvoří v přítomnosti vnějšího magnetického pole. Před opětovným vytvořením magnetických domén je nutný ohřev na Curieovu teplotu proto, aby se intenzivním tepelným pohybem rozpadly zbytky magnetických domén, které mohly ve struktuře látky zůstat z předchozího magnetování. Bez ohřevu na Curieovu teplotu by bylo nutné použít velmi silné vnější magnetické pole.

6. Mezi látky feromagnetické patří také ferimagnetické látky (ferity) – sloučeniny Fe2O3 s oxidy jiných kovů (Mn, Ba, …). Mají mnohem větší elektrický odpor než kovové feromagnetické látky, a proto nalezly široké uplatnění v praxi (slaboproudá elektrotechnika, permanentní magnety, …).

4. Magnetický indukční tok Magnetický indukční tok B (jednotka je Wb – weber) je tok vektoru magnetické indukce plochou S.

Plocha je určená normálovým vektorem n

.

Magnetický indukční tok B (jednotka je Wb – weber) je tok vektoru magnetické indukce plochou S.

Plocha je určená normálovým vektorem �⃗� .

a) Jestliže je plocha postavena kolmo k vektoru magnetické indukce, tj. normálový vektor

plochy �⃗⃗� 𝒋𝒆 𝒓𝒐𝒗𝒏𝒐𝒃ěž𝒏ý 𝒔 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓𝒆𝒎 𝒎𝒂𝒈𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒌é 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌𝒄𝒆 �⃗⃗� je úhel 𝜶 = 𝟎° a pak je magnetický indukční tok největší (skalární součin).

b) Jestliže je plocha postavena rovnoběžně s vektorem magnetické indukce, tj. normálový

vektor plochy �⃗⃗� 𝒋𝒆 𝒌𝒐𝒍𝒎ý 𝒏𝒂 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒈𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒌é 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌𝒄𝒆 �⃗⃗� je úhel 𝜶 = 𝟗𝟎° a pak je magnetický indukční tok nejmenší = nulovýí (skalární součin).

Tyto závěry vyhovují funkci cosinus a použití skalárního součinu - tudíž obecně:

Φ𝐵 = 𝐵𝑆 𝑐𝑜𝑠𝛼 Φ𝐵 = �⃗� ∙ 𝑆

Výše uvedený vztah platí v případě, když je pole homogenní, tj. �⃗� = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. V případě nehomogenního pole je

dΦ𝐵 = 𝐵 d𝑆 𝑐𝑜𝑠𝛼 Φ𝐵 = ∫ �⃗� ∙ d𝑆

Souvislost magnetického indukčního toku a magnetického intenzitního toku platí

HrB dd 0

PŘÍKLADY

1. Vypočtěte intenzitu magnetického pole uvnitř solenoidu délky l = 0,3 m, majícího N = 2 000 závitů, protéká-li jím proud I = 0,1 A. Předpokládáme, že délka solenoidu je mnohem větší než jeho průměr.

[𝐻 = 666 A.m−1] Řešení 1

𝑙 = 0,3 m, 𝐼 = 0,1 A, 𝑁 = 2000 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝐻 =?

Magnetická indukce uvnitř cívky je

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁

𝑙

Protože

𝐵 = 𝜇0𝜇𝑟𝐻 Pak

𝐻 =𝐵

𝜇0𝜇𝑟=

𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁𝑙

𝜇0𝜇𝑟=

𝐼𝑁

𝑙=

0,1.2000

0,3= 666 A.m−1

2. Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s

poloměrem 5 cm protékaného proudem 5 A.

[6,28. 10−5 T, 50 A.m−1] Řešení 2

𝑟 = 5 cm, 𝐼 = 5 A, 𝐵 =? , 𝐻 =? Je možné použít vztah

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼

2𝑟=

4𝜋. 10−7. 1.5

2.0,05= 6,25. 10−7 T

𝐻 =𝐵

𝜇0𝜇𝑟=

𝐼

2𝑟=

5

2.0,05= 50 A.m−1

Pro jejich odvození vztahu použijeme Biotův-Savartův-Laplaceův zákon. Slouží k určení

magnetické indukce magnetického pole, které se tvoří kolem každého vodiče, kterým prochází

elektrický proud.

Každý kousek vodiče délky dl je zdrojem magnetického

pole o indukci dB:

𝑑�⃗� =𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋.𝑑𝑙 × 𝑟

𝑟3

Kde 𝑟 𝑗𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑜ℎ𝑜𝑣ý 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢 𝑣𝑜𝑑𝑖č𝑒 𝑑𝑙 , V čitateli je vektorový součin, pak

𝑑𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋.𝑑𝑙. 𝑟. 𝑠𝑖𝑛 ∝

𝑟3

Kruhový vodič má délku (obvod) - 2𝜋𝑟

𝐵 = ∫𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋.𝑑𝑙. 𝑟. 𝑠𝑖𝑛 ∝

𝑟3

2𝜋𝑟

0

= ∫𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋.𝑑𝑙. 𝑠𝑖𝑛 ∝

𝑟2

2𝜋𝑟

0

Poloměr kružnice r=konst.

Úhel ∝= 90° → 𝑠𝑖𝑛 90° = 1

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋.1

𝑟2∫ 𝑑𝑙

2𝜋𝑟

0

=𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋.1

𝑟2. [𝑙]0

2𝜋𝑟 =𝜇0𝜇𝑟𝐼

4𝜋.1

𝑟2. 2𝜋𝑟

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼

2𝑟

3. Dvěma dlouhými přímými vodiči, které jsou spolu rovnoběžné a mají vzdálenost 10 cm,

procházejí stejným směrem proudy 5 A a 15 A. Ve kterém místě na spojnici bude magnetická indukce nulová? [7,5 cm od vodiče s proudem 15 A]

Řešení 3

𝑑 = 10 cm, 𝐼1 = 5 A, 𝐼2 = 15 𝐴, 𝐵 =?

Magnetickou indukce přímého vodiče ve vzdálenosti r od

vodiče určíme podle vztahu

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼

2𝜋𝑟

Kolem každého z vodičů se tvoří magnetické pole. Určíme

magnetickou indukci pole každého vodiče podle nákresu.

Nákres vytvoříme pro větší názornost tak, že proud ve

vodičích bude směřovat do nákresu.

Vektor magnetické indukce bude tečnou k magnetické

siločáře. Orientaci vektoru určíme podle Ampérova pravidla

pravé ruky.

𝐵1 =𝜇0𝜇𝑟𝐼12𝜋𝑥

𝐵2 =𝜇0𝜇𝑟𝐼2

2𝜋(𝑑 − 𝑥)

𝐵1 = 𝐵2

𝜇0𝜇𝑟𝐼12𝜋𝑥

=𝜇0𝜇𝑟𝐼2

2𝜋(𝑑 − 𝑥)

𝐼1𝑥

=𝐼2

𝑑 − 𝑥

𝑥 = 2,5 𝑐𝑚 𝑜𝑑 𝑣𝑜𝑑𝑖č𝑒 𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑢𝑑𝑒𝑚 5 A

4. Uvnitř cívky se vzduchovým jádrem je magnetická indukce B = 5.024.10-3 T. Cívkou protéká

proud I = 0.1 A. Vypočtěte hustotu závitů cívky (tj. poměr počtu závitů k délce cívky).

[𝑁/𝑙 = 4. 104m−1]

5. Cívkou o 2100 závitech protéká proud 5 A. Jak velkého počtu závitů je třeba při proudu 7 A, aby se magnetická indukce při stejné délce cívky nezměnila? Relativní permeabilita je rovna 1. [𝑁 = 1500 𝑧á𝑣𝑖𝑡ů]

6. Jaký poloměr musí mít dlouhá cívka vinutá drátem o průměru 1,2 mm závit vedle závitu v jedné vrstvě, aby při průtoku proudu 2 A byl magnetický indukční tok touto cívkou 3.10-6 Wb? Pole uvnitř cívky pokládejte za homogenní.

[2,13 cm] Řešení 6

𝑑𝑑𝑟 = 1,2 mm, 𝐼 = 2 A,Φ = 3. 10−6Wb, 𝑟𝑐 =?

Magnetický indukční tok je tok vektoru magnetické indukce �⃗⃗� plochou �⃗⃗� .

Φ = �⃗� . 𝑆 = 𝐵. 𝑆. 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1

Φ = 𝐵. 𝑆 Magnetická indukce uvnitř cívky je

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁

𝑙

Délku cívky lze vyjádřit podle počtu závitů a průměru drátu 𝑙 = 𝑁. 𝑑𝑑𝑟

Pak

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁

𝑙=

𝜇0𝜇𝑟𝐼

𝑑𝑑𝑟

Φ =𝜇0𝜇𝑟𝐼

𝑑𝑑𝑟. 𝑆

Φ =𝜇0𝜇𝑟𝐼

𝑑𝑑𝑟. 𝜋𝑟𝑐

2

𝑟𝑐 = √Φ𝑑𝑑𝑟

𝜇0𝜇𝑟𝐼𝜋= 2,13 cm

7. Vypočtěte magnetický tok uprostřed cívky o průřezu 24 m10.9 S , délce l = 0,4 m, na níž je

navinuto N=1 000 závitů a kterou protéká proud I = 0,1 A.

[Φ = 28,26. 10−8 Wb]

8. Odstraněním vzduchové mezery v magnetickém obvodu o průřezu 24 m10.5,6 S se

ušetřilo 850 ampérzávitů, aniž se porušil magnetický tok Wb10.5 4 . Jak široká byla

vzduchová mezera?

[𝑙 = 1,39. 10−3 m]

Řešení 8

𝑆 = 6,5. 10−4m2, Φ = 5. 10−4Wb, 𝑠𝑜𝑢č𝑖𝑛 𝐼𝑁 = 850 𝑎𝑚𝑝é𝑟𝑧á𝑣𝑖𝑡ů, 𝑙 =?

𝐵 =𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁

𝑙

Φ = 𝐵. 𝑆 =𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁

𝑙. 𝑆

Φ =𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁

𝑙. 𝑆

𝑙 =𝜇0𝜇𝑟𝐼𝑁

Φ. 𝑆 =

4𝜋. 10−7. 850

5. 10−4. 6,5. 10−4 = 1,39. 10−3 m

9. Vedením v elektrárně může při zkratu procházet proud A104I . Jakou silou působí v tomto

případě na sebe dvě rovnoběžná vedení dlouhá l = 3 m a vzdálená od sebe a = 0,5 m?

[𝐹 = 120 N]