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Transformada Z: definic ao e propriedades
Magno Teofilo Madeira da Silva
EPUSP, 22 de fevereiro de 2010
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 1/29
Conhecimentos previos
Sistemas e sinais de tempo discreto
Resposta em freqüência
Transf. de Fourier de Tempo Discreto (TFTD)
Série de Fourier Discreta (SFD)
Transformada de Fourier Discreta (TFD)
Conhecimento sobre transformada de Laplace
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 2/29
Referencias
A. V. Oppenheim, R. W. Shafer, J.R. BuckDiscrete-time signal processing. 2a. edição,Prentice Hall, 1999.
C. Itiki, V. H. Nascimento Processamento deSinais de Tempo Discreto: Parte II. EPUSP, 2007.
J. G. Proakis, D. G. Manolakis, Digital signalprocessing : principles, algorithms, andapplications, 4a. edição, Prentice Hall, 2006
S. K. Mitra, Digital Signal Processing - a computerbased approach, 3a edição, McGraw Hill, 2006
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 3/29
Topicos
1) Motivação
2) Definição da transformada z
3) Convergência
4) Região de Convergência de seqüência lateral adireita, lateral à esquerda e bilateral
5) Propriedades da região de convergência
6) Propriedades da transformada z
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 4/29
1. Transformada Z (TZ) - Motivacao
−5 0 5 100
2
4
6
8
−5 0 5 100
2
4
6
8
n n
x(n)=αnu(n) r −n = 1,5 −n
α=1,2>1
−5 0 5 100
0.5
1
1.5
2x(n) r −n
r>α
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 5/29
1. Transformada Z (TZ) - Motivacao
Mesmo papel que a transformada de Laplace
Permite manipulações algébricas simples
Pode existir para muitas seqüências em que aTFTD não existe
Função de transferência de sistemas de tempodiscreto
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 6/29
2. Transformada Z - Definicao
Define-se a TZ da seqüência x(n) como
X(z) =∞∑
n=−∞
x(n)z−n
sendo z ∈ C. Com z = rejω, pode-se escrever
X(rejω) =∞∑
n=−∞
x(n)r−ne−jωn
que pode ser interpretada como a TFTD daseqüência x(n)r−n. Em particular, se for possíveltomar r = 1, a TZ de x(n) se reduz à TFTD.
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 7/29
3. Convergencia
Para que a transformada z convirja é necessário
|X(z)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
n=−∞
x(n)z−n
∣∣∣∣∣< ∞.
Como |X(z)| ≤∑∞
n=−∞ |x(n)z−n|, então umacondição suficiente para a convergência é dada por
∞∑
n=−∞
|x(n)z−n| =∞∑
n=−∞
|x(n)r−n||e−jωn| =
∞∑
n=−∞
|x(n)r−n| < ∞. Reg. circulares
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 8/29
3. Importancia da regiao de Convergencia
Seja x1(n) = anu(n) uma seqüência causal ex2(n) = −anu(−n − 1) uma seqüência não-causal.Essas seqüências tem a mesma TZ, ou seja
X1(z) = X2(z) =1
1 − az−1,
com diferentes regiões de convergência, dadas porRx1
= {|z| > |a|}
eRx2
= {|z| < |a|}.
TZ bilateral: diferentes regiões de convergência (RC).
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 9/29
3. Caso particular: TZ do degrau unitario
Seja x1(n) = u(n) o degrau unitário. Usando oresultado anterior, chega-se a
X1(z) =1
1 − z−1, |z| > 1
Considerando agora a seqüência não-causalx2(n) = −u(−n − 1), obtém-se
X2(z) =1
1 − z−1, |z| < 1
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 10/29
4. Soma de exponenciais - seq. lateral a direita
Calcular a TZ da seqüência lateral à direita
x1(n) = (a1αn + a2β
n)u(n − N0)
com a1, a2, α e β ctes reais tal que |α| < |β| e N0
inteiro positivo ou negativo. Aplicando a definição
X1(z) =∞∑
n=−∞
a1αnu(n − N0)z
−n+∞∑
n=−∞
a2βnu(n − N0)z
−n
= a1
∞∑
n=N0
(αz−1)n
︸ ︷︷ ︸
converge para |z| > |α|
+ a2
∞∑
n=N0
(βz−1)n
︸ ︷︷ ︸
converge para |z| > |β|
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 11/29
4. Soma de exponenciais - seq. lateral a direita
X1(z) =a1(αz−1)N0
1 − αz−1+
a2(βz−1)N0
1 − βz−1
Rx1= {|z| > |α|} ∩ {|z| > |β|}
= |z| > |β|
Im( )z
Re( )z
|β |
| α |
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 12/29
4. Soma de exponenciais - seq. lateral a direita
Para N0 = 0; a1 = a2 = 1; α = 0,2; β = 0,6
x1(n) = (0,2n + 0,6n)u(n)↔X1(z)=2z(z−0,4)
(z−0,2)(z−0,6)
−1−0.5
00.5
1
−1−0.5
00.5
10
1
2
3
4
Im(z)
Re(z)
|X1(z)|
Im( )z
Re( )z0,2 0,6
0,4
1
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 13/29
4. Soma de exponenciais - seq. lateral a esquerda
Calcular a TZ da seqüência lateral à esquerda
x2(n) = (a1αn + a2β
n)u(−n − N0)
X2(z)=∞∑
n=−∞
a1αnu(−n−N0)z
−n+∞∑
n=−∞
a2βnu(−n−N0)z
−n
= a1
−N0∑
n=−∞
αnz−n + a2
−N0∑
n=−∞
βnz−n
= a1
∞∑
k=N0
(α−1z)k
︸ ︷︷ ︸
converge para |z| < |α|
+ a2
∞∑
k=N0
(β−1z)k
︸ ︷︷ ︸
converge para |z| < |β|
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 14/29
4. Soma de exponenciais - seq. lateral a esquerda
X2(z) =a1(α
−1z)N0
1 − α−1z+
a2(β−1z)N0
1 − β−1z
Rx2= {|z| < |α|} ∩ {|z| < |β|}
= |z| < |α|
Im( )z
Re( )z
|β |
| α |
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 15/29
4. Soma de exponenciais - seq. lateral a esquerda
Para N0 = 0; a1 = a2 = 1; α = 0,2; β = 0,6
x2(n) = (0,2n + 0,6n)u(−n)↔X2(z)=−0,8(z−0,3)
(z−0,2)(z−0,6)
−1
−0.5
0
0.5
1
−1−0.5
00.5
1
0
1
2
3
4
Im(z)Re(z)
|X2(z)|
Im( )z
Re( )z0,2 0,6
0,3
1
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 16/29
4. Soma de exponenciais - seq. bilateral
Calcular a TZ Considerando a seqüência bilateral
x3(n) = a1αnu(n − N0) + a2β
nu(−n − N0)
X3(z) =a1(αz−1)N0
1 − αz−1+
a2(β−1z)N0
1 − β−1z
Rx3= {|z| > |α|} ∩ {|z| < |β|}
= |α| < |z| < |β|
Im( )z
Re( )z
|β |
| α |
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 17/29
4. Soma de exponenciais - seq. bilateral
Para N0 = 0; a1 = a2 = 1; α = 0,2; β = 0,6
x3(n)=0,2nu(n)+0,6nu(−n)↔X3(z)=(z−1,09)(z−0,11)
(z−0,2)(z−0,6)
−1
−0.5
0
0.5
1
−1−0.5
00.5
1
0
1
2
3
4
5
6
7
Im(z)Re(z)
|X3(z)|
Im( )z
Re( )z0,2 0,6 1,09
0,11
1
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 18/29
4. Transformada z - sequencia finita a direita
Calcular a transformada z da seqüência
x(n) =
{
an, 0 ≤ n ≤ N − 1
0, caso contrario
X(z) =N−1∑
n=0
anz−n =N−1∑
n=0
(az−1)n
=1 − (az−1)N
1 − az−1
Se |a| < ∞, então a RC é todo o plano z comexceção da origem (z = 0)
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 19/29
4. Transformada z - sequencia finita a esquerda
Calcular a transformada z da seqüência
x(n) =
{
an, −N + 1 ≤ n ≤ 0
0, caso contrario
X(z) =0∑
n=−N+1
anz−n =N−1∑
k=0
(a−1z)k
=1 − (a−1z)N
1 − a−1z
Se |a| 6= 0, então a RC corresponde à |z| < ∞ ou(z 6= ∞)
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5. Regiao de Convergencia - Sequencias finitas
0 n
0 n
0 n
v(n)
v(n)
v(n)
| | 0z >
( 0)z ≠
Im( )j z
Re( )z
| |z < ∞
( )z ≠ ∞
Im( )j z
Re( )z
0 | |z< < ∞
( 0, )z z≠ ≠ ∞
Im( )j z
Re( )z
Sequência Região de convergência
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 21/29
5. Regiao de Convergencia - Sequencias infinitas
0 n
0 n
v(n)
0 n
v(n)
v(n)
min| |z r>
Im( )j z
Re( )z
Im( )j z
Re( )z
max| |z r<
Im( )j zmin max| |r z r< <
Re( )z
Sequência Região de convergência
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 22/29
6. Propriedades da Transformada Z
Deslocamento no tempo
x(n − n0)↔z−n0X(z), z ∈ Rx ± {z = 0} ± |z| = ∞
Prova:
Z{x(n − n0)} =∞∑
n=−∞
x(n − n0)z−n
= zn0−n0
∞∑
n=−∞
x(n−n0)z−n = z−n0
∞∑
n=−∞
x(n−n0)z−(n−n0)
= z−n0
∞∑
k=−∞
x(k)z−(k) = z−n0X(z)
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 23/29
6. Propriedades da Transformada Z
Linearidade
y(n) = αx1(n) + βx2(n)↔αX1(z) + βX2(z)
z ∈ Ry ⊇ (Rx1∩Rx2
)
Prova: Segue diretamente da definição da TZ.
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 24/29
6. Propriedades da Transformada Z
Convolução
y(n) = x1(n)∗x2(n)↔X1(z)X2(z), z ∈ Ry ⊆ (Rx1∩Rx2
)
Prova:
Y (z) =∞∑
n=−∞
[∞∑
k=−∞
x1(k)x2(n − k)
]
z−n
=∞∑
k=−∞
[
x1(k)z−k
∞∑
n=−∞
x2(n − k)z−(n−k)
]
=∞∑
k=−∞
x1(k)z−kX2(z) = X1(z)X2(z)
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 25/29
6. Propriedades da Transformada Z
Diferenciação no domínio z
y(n) = nx(n)↔−zdX(z)
dz, z ∈ Rx±{z = 0}±|z| = ∞
Prova:
− zdX(z)
dz= −z
∞∑
n=−∞
x(n)dz−n
dz
= −z
∞∑
n=−∞
x(n)[−nz−n−1
]
=∞∑
n=−∞
[nx(n)] z−n = Y (z)
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 26/29
6. Propriedades da Transformada Z
Mudança de escala no domínio z
y(n) = zn0 x(n)↔X
(z
z0
)
, z ∈ z0Rx
Prova:
Y (z) =∞∑
n=−∞
zn0 x(n)z−n
=∞∑
n=−∞
x(n)
[z
z0
]−n
= X
(z
z0
)
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 27/29
6. Propriedades da Transformada Z
Inversão do eixo do tempo
y(n) = x(−n)↔X
(1
z
)
, z ∈ R−1x
Prova:
Y (z) =∞∑
n=−∞
x(−n)z−n
=∞∑
k=−∞
x(k)(z−1
)−k= X
(1
z
)
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 28/29
6. Propriedades da Transformada Z
Conjugação
y(n) = x∗(n)↔X∗ (z∗) , z ∈ Rx
Prova:
Y (z) =∞∑
n=−∞
x∗(n)z−n
=∞∑
n=−∞
[x(n)(z∗)−n
]∗
=
[∞∑
n=−∞
x(n) (z∗)−n
]∗
= X∗(z∗)
Transformada Z: definic ao e propriedades p. 29/29