Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Maja Bandalo

Kompleksni brojevi

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Maja Bandalo

Kompleksni brojevi

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2011.

Sadrzaj

1. Uvod 4

2. Razvoj kompleksnih brojeva 6

3. Kompleksni brojevi 10

3.1. Pojam i osnovne operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. Imaginarna jedinica i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3. Geometrijski prikaz kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Algebarska svojstva skupa kompleksnih brojeva 15

4.1. Konjugacija C→ C, z 7→ z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. Polje automorfizama od C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3. Skalarni produkt Re(wz) i euklidska udaljenost |z| . . . . . . . . . . . . 17

4.4. Produktno pravilo i Teorem o dva kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5. Kvadratni korijeni i kvadratne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.6. Kvadratni i n-ti korijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Geometrijska svojstva skupa kompleksnih brojeva 23

5.1. Identitet 〈w, z〉2 + 〈iw, z〉2 = |w|2|z|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2. Kosinusov teorem i nejednakost trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3. Brojevi na pravcima i kruznicama. Djelisni omjer . . . . . . . . . . . . 25

5.4. Ptolomejev teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.5. Wallaceovi pravci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6. Fundamentalni teorem algebre 30

6.1. Povijesni razvoj fundamentalnog teorema algebre . . . . . . . . . . . . 30

6.2. Dokaz fundamentalnog teorema prema Argandu . . . . . . . . . . . . . 35

6.2.1. Cauchyev teorem minimuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2.2. Dokaz fundamentalnog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2.3. Dokaz Argandove nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2.4. Drugaciji dokaz teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3. Primjene fundamentalnog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3.1. Lema o rastavljanju na proste faktore . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3.2. Faktorizacija kompleksnih polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.3. Faktorizacija realnih polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.4. Jedinstvenost skupa C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Literatura 42

1. Uvod

Uobicajeno je misljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka

kvadratna jednadzba imala rjesenje, kao sto npr. jednadzba x2 + 1 = 0 nema realnih

rjesenja, a nakon uvodenja kompleksnih brojeva ima dva rjesenja: i i −i. To se kasnije

podupire jos jacim argumentom da svaka algebarska jednadzba stupnja n ima tocno n

rjesenja brojeci njihovu kratnost. Npr. jednadzba

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x+ 1 = 0

ima tocno cetiri rjesenja: rjesenje 1 kratnosti 2 te rjesenja i,−i oba kratnosti 1. To se

obrazlaze rastavom na faktore:

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2(x2 + 1)

za svaki realan (odnosno kompleksan) broj x, odnosno rastavom

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2(x− i)(x+ i).

Ponekad se uvodenje kompleksnih brojeva obrazlaze Bezoutovim pouckom:

”Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u tocno mn tocaka (racunajuci

kratnost i tocke beskonacnosti)”.

Takav poucak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao

koniku u tocno dvjema tockama i opcenito krivulju reda n u n tocaka. Isto tako, pravac

s jednadzbom y = x+2 ne sijece kruznicu s jednadzbom x2 +y2 = 1 ako se razmatraju

samo realne tocke, medutim, sijece je u tockama:

(−1−√

2

2i, 1−

√2

2i), (−1 +

√2

2i, 1 +

√2

2i).

Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematicarima su dobar povod za uvodenje korijena

negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Medutim, ni u jednom od njih kom-

pleksni brojevi nisu bili nuzni. U vrijeme uvodenja kompleksnih brojeva u matematiku

(u 16. stoljecu) kvadratna je jednadzba bila poznata vise od 3000 godina. Stari su je

matematicari rjesavali i znali su da moze imati dva, jedno ili nijedno rjesenje i to im je

bilo dovoljno. Takoder se naslucivalo da algebarska jednadzba stupnja n ima najvise

n rjesenja (tu se misli samo na jednadzbu s realnim koeficijentima i samo na realna

rjesenja jer za druge nisu ni znali). Razlogom za uvodenje kompleksnih brojeva mogao

je biti samo matematicki problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobici,

a takav problem pojavio se pri rjesavanju kubne jednadzbe. Svaka kubna jednadzba

ekvivalentna je jednadzbi oblika:

x3 + ax2 + bx+ c = 0

gdje su a, b, c ∈ R (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja).

S takvim su jednadzbama matematicari imali poteskoca vise od 3000 godina dok ih u

prvom dijelu 16. stoljeca nisu uspjeli ”ukrotiti”.

Prvo poglavlje govori o nastanku i razvoju kompleksnih brojeva od 1539., od vre-

mena Cardana, pa sve do 1835., do vremena Hamiltona. Ovo poglavlje opisuje koliko

su zapravo poteskoca i problema tadasnji matematicari, medu kojima su i Bombelli,

Descartes, Euler, Wessel, Argand, Gauss, imali dok nisu pronasli pravi nacin za rjesavanje

problema u kojima su se pojavljivali kompleksni brojevi.

Drugo poglavlje govori opcenito o kompleksnim brojevima. Uvodimo definiciju kom-

pleksnih brojeva, osnovne operacije s kompleksnim brojevima, definiramo imaginarnu

jedinicu, te prikazujemo kompleksne brojeve na geometrijski nacin i na kraju iznosimo

trigonometrijski zapis kompleksnog broja. Ovo poglavlje mozemo nazvati poznatim

poglavljem jer ovdje iznosimo veliku vecinu poznatih cinjenica vezanih za kompleksne

brojeve koje ce nam biti potrebne u daljnjem dijelu ovog diplomskog rada.

Trece poglavlje govori nam o algebarskim svojstvima kompleksnih brojeva. Ovdje

se upoznajemo s nekoliko najbitnijih i najcesce koristenim svojstvima kao sto su kon-

jugacija, skalarni produkt, euklidska udaljenost, kvadratni i n-ti korijen, produktno

pravilo,. . . . Pokusat cemo na sto jednostavniji nacin predstaviti ta vrlo bitna svo-

jstva i potkrijepiti ih primjerima kako bi ona bila sto jasnija svakom citatelju ovog

diplomskog rada.

Cetvrto poglavlje govori nam o geometrijskim svojstvima kompleksnih brojeva. U

ovom poglavlju baviti cemo se s nekoliko vrlo bitnih svojstava kao sto su: identitet

〈w, z〉2 + 〈iw, z〉2 = |w|2|z|2, nejednakost trokuta, te brojevi na pravcu i kruznici i

djelisni omjer. Takoder, u ovom poglavlju cemo iznijeti i dva bitna teorema koja su

blisko povezani s geometrijskim svojstvima kompleksnih brojeva: Ptolomejev teorem i

Wallaceovi pravci.

Peto poglavlje, ujedno i posljednje, ali ne i manje bitno, govori nam o fundamental-

nom teoremu algebre. Fundamentalni teorem algebre ima izniman znacaj u povijesti

teorije kompleksnih brojeva, jer se pokazalo kako ga je moguce dokazati tek u domeni

kompleksnih brojeva, cime se istice njegova vaznost. Upravo iz tog razloga, ovaj teorem

utire put opcem priznavanju kompleksnih brojeva. Nastajanje fundamentalnog teorema

u potpunosti ce biti objasnjeno u prvom potpoglavlju, u drugom potpoglavlju iznijet

cemo najjednostavnije dokaze koji su potekli od Arganda, dok u trecem potpoglavlju

donosimo nekoliko primjena.

2. Razvoj kompleksnih brojeva

Gotovo je nemoguce u danasnje vrijeme, za one koji su u skoli culi da je i rjesenje od

x2 + 1 = 0 , shvatiti koliko su poteskoca kompleksni brojevi zadavali matematicarima

i fizicarima u proslosti.

Prva pojava imaginarnih jedinica bila je tijekom renesanse. 1539. Girilamo Cardano,

matematicar i afirmirani fizicar u Milanu, naucio je od Tartaglie proces rjesavanja kub-

nih jednadzbi. 1545. prekrsio je obecanje da ga nikada nikome nece otkriti.

U svojoj knjizi pod nazivom Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (Jedna

od velikih knjiga umjetnosti ili pravila algebre) pokusava raditi s imaginarnim kori-

jenom u rjesavanju kvadratne jednadzbe: u poglavlju 37 on hrabro pripisuje rjesenja

5 +√−15 i 5−

√−15

jednadzbi x · (10 − x) = 40, govoreci: ”manifestum est, quod casus seu quaestio est

impossibilis, sic taman operabimus...” (jasno je, da je slucaj ili pitanje nemoguce, ali

cak i tada oni rade...).

Kao zapisani simbol cinio se besmislen, on naziva√−15 ”quantitas sophistica” sto

moze biti prevedeno kao ”formalni broj”.

Nije jasno je li Cardano dosao do kompleksnih brojeva kroz kubne ili kvadratne jed-

nadzbe. Dok kvadratna jednadzba x2 + b = ax, gdje je rjesenje dano formulom

x = 12a±√

14a2 − b nema realne korijene kada je a2 < 4b, kubna jednadzba x3 = px+ q

ima realne korijene koji su dani kao suma imaginarnih kubnih korijena.

Cardano u poglavlju 12 istice da njegova formula

x = 3

√q

2+√d+ 3

√q

2−√d

sa

d :=

(q

2

)2

−(p

3

)3

ne prolazi u slucaju (p3)3 > ( q

2)2.

Cardanova teorija je dodatno razvijena od Rafaela Bombellia, cija je ”L’algebra” ob-

javljena u Bolognia 1572., vjerojatno nastala izmedu 1557. i 1560. Bombelli bez previse

razmisljanja o prirodi kompleksnih brojeva, utvrduje osam temeljnih zakona racunanja.

Zadnje (u modernoj notaciji) je (−i)(−i) = 1.

Bombelli obavlja tocno nekoliko izracuna i na primjer zna da je

(2± i)3 = 2± 11i,

i da je3

√2±√−121 = 2±

√−1.

Primjenjuje to na jednadzbu x3 = 15x+ 4, gdje Cardanova formula donosi rjesenje

x =3

√2 +√

121 +3

√2−√−121.

Ocito rjesenje 4 dano je s (2 +√−1) + (2 −

√−1) , tako da on dolazi do stvarnog

rjesenja uz pomoc kompleksnih brojeva.

Rene Descartes u svojoj knjizi ”La geometrie” donosi suprotnosti izmedu realnog i

imaginarnog. Kaze da se u biti moze zamisliti, za svaku jednadzbu, koliko korijena je

oznaceno stupnjem jednadzbe, ali ti imaginarni korijeni ne odgovaraju uvijek stvarnoj

kolicini. Slucajno, Descartes iskreno priznaje da je nemoguce sasvim vizualizirati imag-

inarnu velicinu.

Euler se nije ustrucavao koristiti kompleksne brojeve u svojim izracunima, ali intuin-

tivno ih je koristio tocno i na maestralan nacin. Bio je svjestan od 1728. o vezi

ilogi = −1

2π

ili, analogno tome

ii = e−12π,

ali nije pokusao dati strogi dokaz.

Euler je imao velikih poteskoca u objasnjavanju i definiranju onog sto su imaginarni

brojevi, s kojima se nosio majstorski duze od 40 godina. On istice da kvadratni korijen

negativnog broja ne moze biti ni veci, ni manji, ni jednak nuli.

U svojoj knjizi o algebri povremeno je radio greske, npr. tvrdio je da je√−1√−4 =√

4 = 2 zato jer je√a√b =√ab.

Prvi prikaz tocaka ravnine kompleksnih brojeva koji je shvacen ozbiljno iznio je norvezanin

Casper Wessel. Wessel, koji je bio samouk, napisao je rad: ”Analiticki prikaz smjera:

Pokusaj” koji je objavljen 1798. na Danskoj kraljevskoj akademiji znanosti. Njegov

primarni cilj bio je doci u mogucnost raditi s usmjerenim duzinama i tako je dosao na

ideju da ih predstavlja kao kompleksne brojeve - ne obrnuto. Uvodi imaginarnu os,

okomitu na os realnih brojeva (pisao je ε za√−1) i tumaci vektore u ravnini kao kom-

pleksne brojeve. Definirao je uobicajne operacije za vektore, a time i geometrijski za

kompleksne brojeve na savrseno zadovoljavajuci nacin. Unatoc znacajnoj sposobnosti

njegov rad je ostao nezapazen sve dok se nije pojavio francuski prijevod 1897.

Nesto drugaciji geometrijski prikaz kompleksnih brojeva dao je svicarski racunovoda

Jean Robert Argand u svojoj ”Essai sur une maniere de representer les quantites imag-

inaires dans les constructions geometriques”. Argand, koji je volio Wessela i takoder

bio amater, interpretira√−1 kao rotaciju kroz pravi kut u ravnini i opravdava to

na temelju cinjenice da dvije takve rotacije, to jest, umnozak√−1√−1 = −1, su

ekvivalentne rotaciji kroz dva prava kuta ili drugim rijecima, refleksiji.

Postoje dobri temelji za uvjerenje da je, vec 1749. Euler vizualizirao kompleksne bro-

jeve kao tocke ravnine. U njegovom radu iz 1751.: ”De la controverse entre Mrs.

Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires”, kaze: ”U

svakom drugom slucaju broj x je imaginaran: za pronaci ga potrebno je samo uzeti

arcg jedinice kruga i odrediti njegov sinus i kosinus. Trazeni broj tada je

x = cos g +√−1 sin g.”

Pogledi na kompleksne brojeve poceli su se mjenjati pod utjecajem Carl Fridrich

Gaussa. Bio je svjestan tumacenja kompleksnih brojeva kao tocaka kompleksne ravnine

jos od 1796. i iskoristio ga je 1799. u svojoj disertaciji, gdje dokazuje fundamentalni

teorem algebre, iako u pomno prikrivenom obliku. 1811. pisao je Besselu: ”Bas kao sto

netko moze misliti na cijelu domenu pravih velicina prikazanu kao beskonacni pravac,

tako kompletne domene svih velicina, realnih i imaginarnih brojeva jednako, mogu

se gledati kao beskonacna ravnina, u kojoj tocka definirana ordinatom a i apscisom

b, takoder predstavlja velicinu a + bi.” Ovo je prikaz pomocu parova realnih brojeva

izrazen u geometrijskom jeziku.

Najkasnije od 1815. Gauss je posjedovao kompletnu geometrijsku teoriju, ali do istini-

tog sirenja ideje o ravnini kompleksnih brojeva nije doslo do 1831. s objavom Gaussove

”Theoria Residuorum Biquadraticorum. Commentatio Secunda”.

U sadasnjem klasicnom uvodnom pogledu kojim je pisao sazetak druge biljeske postavlja

jasno svoje stavove na nacin koji nadilazi sve logicne primjedbe. Smislio je izraz ”kom-

pleksni broj”.

Sto se tice tajnovitosti koja jos uvijek prijanja uz kompleksne brojeve, napisao je: ”Ako

se ovaj predmet dosada nije razmatrao s pogresnog gledista i tako obavijen misterijom

i okruzen tamom, to je u velikoj mjeri neprikladna terminologija koju treba okriviti.

+1, −1 i√−1 su, umjesto da se zovu pozitivna, negativna i imaginarna (ili jos gore

nemoguca) cjelina, dana imena, recimo, ili izravna, inverzna i lateralna cjelina.” Kas-

nije je gledajuci unatrag rekao: ”U svemu tome moglo bi se reci da sve dok su se

imaginarne velicine temeljile na izmisljanju, nisu bile, tako reci, potpuno prihvacene u

matematici ali su smatrane kao nesto sto se moze tolerirati; ostale su daleko od toga

da imaju isti status kao realne velicine. Vise nema opravdanja za takvu diskriminaciju

sada kada je metafizici imaginarnih brojeva dano pravo svijetlo i kada je pokazano da

imaju jednako dobru svrhu kao i negativni brojevi.”

Gaussov uspjeh lezi u tome sto je prvi uspio ukloniti tajnovitost s kompleksnih brojeva.

Njegova jednostavna interpretacija kompleksnih brojeva kao tocaka ravnine oslobada

te fiktivne velicine svih tajnovitosti i daje im ista prava u matematici kao sto ih uzivaju

realni brojevi. ”Ucinili ste mogucim nemoguce” je izraz koristen u cestitki napravljenoj

za Gaussa 1849. od Collegium Carolinum iz Brunswicka u povodu 50-te godisnjice

njegovog doktorata.

Francuski matematicar Augustin-Louise Cauchy nije mislio da je geometrijska inter-

pretacija kompleksnih brojeva zadnje o toj temi. 1821. je u svojoj ”Cours d’Analyse de

l’Ecole Royale Polytechnique” napisao: ”Zovemo imaginarni izraz, bilo koji simbolicki

izraz u obliku a+b√−1, gdje a i b oznacavaju dvije realne velicine... Svaka imaginarna

jednadzba je samo simbolicki prikaz izmedu dvije jednadzbe realnih velicina.” Takva

zamisao imaginarnih izraza kao simbolicki prikaz dva realna broja je, u suprotnosti s

Gaussovim geometrijskim prikazom, cisto algebarska.

Cauchy je jos uvijek, 1847., i jos dugo nakon Hamiltona bio nezadovoljan interpretaci-

jom simbola i. Koristeci koncept jednakosti on tumaci racunanja koja ukljucuju kom-

pleksne brojeve kao racunanja s realnim polinomima modulo polinomom X2 + 1. U

modernoj terminologiji to je ekvivalentno tumacenja polja C kao polja cijepanja poli-

noma X2 +1 nad poljem realnih brojeva. Cauchy time pokazuje poseban slucaj poznat

kao Kroneckerov teorem.

Kako god geometrijski prikaz kompleksnih brojeva kao tocaka, ili vektora u ravnini

moze biti od pomoci, geometrijska osnova za racunanje s takvim brojevima nije u pot-

punosti zadovoljavajuca. Vazan korak prema formalnoj definiciji kao uredenih parova

realnih brojeva jos treba napraviti. To se prvi put dogodilo 1835. preko Sir William

Rowan Hamiltona. U njegovom radu, jakog naziva ”Teorija konjugiranih funkcija,

ili algebarskih parova, sa idejnim i osnovnim esejom o algebri kao znanosti cistog vre-

mena”, nalazi se po prvi put definicija kompleksnih brojeva kao uredenih parova realnih

brojeva. Hamilton definira zbrajanje i mnozenje na nacin da poznati zakoni aritmetike

ostaju valjani:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) i (a, b)(c, d) = (ac− bd, bc+ ad).

3. Kompleksni brojevi

3.1. Pojam i osnovne operacije

Definicija 3.1 Poljem kompleksnih brojeva nazivamo Kartezijev produkt

R×R = {(x, y)|x, y ∈ R} zajedno s operacijama zbrajanja i mnozenja, kao i oduzimanja

i dijeljenja, definiranima na sljedeci nacin:

(i) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2);

(ii) (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2);

(iii) (x1, y1)− (x2, y2) = (x1 − x2, y1 − y2);

(iv) (x1, y1) : (x2, y2) = (x1x2+y1y2x22+y

22, −x1y2+y1x2

x22+y22

), (x2, y2) 6= (0, 0)

Operacije na desnim stranama definicijskih jednakosti jesu one na R. Polje komplek-

snih brojeva oznacavamo slovom C, a njegove elemente nazivamo kompleksnim bro-

jevima i obicno oznacavamo slovom z.

Pri mnozenju (x1, y1) · (x2, y2) ≡ z1 · z2 u C najcesce ispustamo oznaku ”·” i pisemo

z1z2, a za dijeljenje (x1, y1) : (x2, y2) ≡ z1 : z2 u C cesto rabimo razlomacku oznaku z1z2

.

Prvu koordinatu x kompleksnog broja z = (x, y) nazivamo realnim dijelom, a drugu

y imaginarnim dijelom kompleksnog broja z; pisemo: x = Re(z), y = Im(z).

Poistovjetimo li R sa R × 0 = {(x, 0)|x ∈ R} ⊂ C, polje kompleksnih brojeva postaje

prirodnim prosirenjem polja realnih brojeva (u skupovnom i strukturnom smislu). Lako

se provjeri da su tada operacije ”+”, ”·”, ”-” i ”÷” u C prosirenja odgovarajucih

operacija u R, te da zbrajanje i mnozenje nasljeduju sva dobra svojstva: asocijativnost,

komutativnost, distributivnost. Napokon, valja primijetiti da se u C ne moze uvesti

uredaj koji bi bio uskladen s operacijama.

3.2. Imaginarna jedinica i

U praksi se cesto koristi zapis kompleksnog broja drugaciji od navedenog u Definiciji 3.1.

Da bismo ga upoznali, promotrimo jednadzbu x2 + 1 = 0 u skupu R. Ocito je da

ona nema rjesenje. Uvedimo u razmatranje novi objekt (izvan R) kojemu dopustamo

”mnozenje” sa samim sobom rezultat kojega neka bude broj −1. Nazovimo taj objekt

imaginarnom jedinicom i oznacimo slovom i. Po definiciji je i2 = −1, odnosno

i ≡√−1. Nazovimo skup Ri = {yi|y ∈ R} svih formalnih ”umnozaka” yi, y ∈ R,

skupom imaginarnih brojeva, a njegove elemente yi imaginarnim brojevima.

Neka je C ≡ R + Ri = {x + yi|x, y ∈ R} skup svih formalnih ”zbrojeva” x + yi, x ∈R, yi ∈ Ri.Definiramo zbrajanje i mnozenje, te oduzimanje i dijeljenje, u C kao pripadne operacije

s binomima a + b u R, vodeci racuna o tome da su ovdje a i b ”nezbrojivi” i da je

i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, ..., tj. i4n+k = ik za svaki n ∈ N, te ik = i,−1,−i, 1cim je k = 1, 2, 3, 4 redom. Dodatno definiramo i i0 = 1. Sada se C ≡ R + Ri smije

poistovjetiti s C = R×R, x+ yi ≡ z = (x, y), jer se operacije (i)− (iv) u Definiciji 3.1

na C podudaraju s odgovarajucim (i)′ − (iv)′. na C:

(i)’ z1 + z2 ≡ (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i

(ii)’ z1z2 ≡ (x1 + y1i)÷ (x2 + y2i) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i

(iii)’ z1 − z2 ≡ (x1 + y1i)− (x2 + y2i) = (x1 − x2) + (y1 − y2)i

(iv)’ z1z2≡ x1+y1i

x2+y2i= (x1x2+y1y2

x22+y22

+ −x1y2+y1x2x22+y

22

i), z2 ≡ x2 + y2i 6= 0 + 0i

3.3. Geometrijski prikaz kompleksnog broja

Kompleksni brojevi mogu se prikazati kao tocke u ravnini, koristeci preslikavanje x +

yi↔ (x, y). Takav prikaz je poznat kao kompleksna ravnina. Realni dio kompleksnog

broja lezi na x-osi, koja se zbog toga naziva realna os, dok imaginarni dio kompleksnog

broja lezi na y-osi, koja se naziva imaginarna os. Kompleksni broj kojemu je imaginarni

dio pozitivan lezi u gornjoj polovici ravnine (Vidjeti Sliku 1.), dok onaj kojemu je

imaginarni dio negativan, lezi u donjoj polovici ravnine.

Slika 1. Prikaz kompleksnog broja z = x+ yi

Zbog jednadzbe

(x1 + y1i) + (x2 + y2i) ≡ (x1 + x2) + (y1 + y2)i,

kompleksni brojevi se zbrajaju vektorski, koristeci pravilo paralelograma (Vidjeti Sliku

2.).

Slika 2. Prikaz zbrajanja dva kompleksnog broja z1 i z2

Slicno, kompleksni broj z1 − z2 moze biti prikazan vektorom iz (x2, y2) u (x1, y1), gdje

su z1 ≡ x1 + y1i i z2 ≡ x2 + y2i.

3.4. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja

Radi lakseg operiranja kompleksnim brojevima, korisno je usvojiti jos jedan nacin

njihova zapisivanja.

Neka je dan z = x + yi ∈ C, z 6= 0. Argumentom kompleksnog broja z nazivamo

kutnu mjeru ϕ ∈ R kuta izmedu pozitivne (”desne”) zrake brojevnog pravca i zrake

OT,O = (0, 0) i T = (x, y), i pisemo arg z = ϕ; pritom smatramo da je ϕ < 0 cim ga

mjerimo gibajuci se kao kazaljka na satu, a u suprotnom da je ϕ > 0. Po dogovoru

stavljamo arg 0 = 0. Primijetimo da je ϕ = arg z ⇔ ϕ + k · 2π = arg z, k ∈ Z.

Jednostavnosti radi, ovdje cemo modul

|z| =√x2 + y2 ∈ R+ ∪ {0}

kompleksnog broja z oznacavati slovom r.

Argument arg z = ϕ ∈ [0, 2π〉 (koji se u praksi najcesce istice) od z = x + yi se moze

lako izracunati iz jednadzbe tanϕ = yx, x 6= 0, vodeci racuna o predznacima koordinata

x i y; ako je x = 0, tj. z = yi 6= 0, onda je ϕ = π2

cim je y > 0 i ϕ = 3π2

cim je y < 0.

Primijetimo da je sada x = r cosϕ i y = r sinϕ, pa dobivamo prikaz

z = r(cosϕ+ i sinϕ),

sto nazivamo trigonometrijskim zapisom kompleksnog broja z.

Buduci da su z1 = x1 +y1i i z2 = x2 +y2i jednaki tocno onda kada je x1 = x2 i y1 = y2,

to je z1 = z2 onda i samo onda kada je r1 = r2 i ϕ1 = ϕ2 + k · 2π, k ∈ Z.

Prakticnost trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja pokazuju sljedeci teoremi.

Teorem 3.1 Za svaki par z1, z2 ∈ C je

(i) z1 · z2 = r1r2(cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2));

(ii) z1z2

= r1r2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)).

Dokaz. z1·z2 = r1(cosϕ1+i sinϕ1)·r2(cosϕ2+i sinϕ2) =(po(ii)′)= r1r2(cosϕ1 cosϕ2−sinϕ1 sinϕ2 + i(sinϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sinϕ2)) =(adicijski teorem)= r1r2(cos (ϕ1 + ϕ2) +

i sin (ϕ1 + ϕ2)), cime je tvrdnja (i) dokazana. Sasvim slicno dokazuje se tvrdnja (ii).

2

Korolar 3.1 Neka su dani n ∈ N i z1, . . . , zn ∈ C. Tada je

n∏k=1

zk =n∏k=1

rk(cosn∑k=1

ϕk + sinn∑k=1

ϕk) i |n∏k=1

zk| =n∏k=1

|zk|.

Posebice, za z1 = · · · = zn ≡ z dobivamo tzv. Moivreovu formulu

zn = rn(cosnϕ+ i sinnϕ) i |zn| = |z|n.

Trigonometrijski zapis kompleksnog broja je posebno pogodan za potenciranje racional-

nim eksponentom q = mn

. Jasno, temeljni zakon jest izracunati potenciju z1n , n ∈ N,

koju cemo oznaciti s n√z i nazvati n-tim korijenom kompleksnog broja z. Dakle,

w = n√z tocno onda kad je wn = z.

Sljedeci teorem pokazuje kako se za dani z = a + bi odreduje njegov n-ti korijen

w = x+ yi.

Teorem 3.2 Neka su dani z = a+ bi = ρ(cosψ + i sinψ) ∈ C i n ∈ N. Tada w = n√z

ima n razlicitih vrijednosti w1, . . . , wn, koje odredujemo po formuli

wk+1 = n√ρ(cos

ψ + k · 2πn

+ i sinψ + k · 2π

n), k = 0, 1, . . . , n− 1,

gdje je n√ρ n-ti korijen u R+ ∪ {0}.

Dokaz. Treba odrediti kompleksni broj w = x + yi = r(cosϕ + i sinϕ) takav da je

wn = z, tj. rn(cosnϕ+i sinnϕ) = ρ(cosψ+i sinψ) (vidi Korolar 3.1). Mora, dakle, biti

rn = ρ (u R) i nϕ = ψ+k ·2π, k ∈ Z, tj. r = n√ρ ≥ 0 i ϕ = ψ+k·2π

n, k ∈ Z. Periodicnost

trigonometrijskih funkcija cos i sin povlaci da samo za n uzastopnih vrijednosti od k,

primjerice, za k ∈ {0, 1, . . . , n− 1}, dobivamo razlicite vrijednosti za w. 2

Teorem 3.2 pokazuje da jednadzba wn − z = 0 u C ima tocno n razlicitih rjesenja -

korijena. Nadalje, iz navedene formule se vidi da su ti korijeni vrhovi pravilnog n -

terokuta upisanog sredisnjoj kruznici s polumjerom n√ρ.

4. Algebarska svojstva skupa kompleksnih brojeva

Polje C posjeduje netrivijalni automorfizam dan konjugiranjem C→ C, z 7→ z, koje je

osnovno u mnogim kontekstima. Skalarni produkt 〈w, z〉 u C, i povezana aposolutna

vrijednost funkcije |z| moze se uvesti kao

〈w, z〉 := Re(wz) = ux+ vy, |z| :=√zz =

√x2 + y2,

gdje su w = u+ vi, z = x+ yi.

Mozemo pokazati da je uz pomoc funkcije |z|, za osnovne argumente, svaka kvadratna

jednadzba z2 + az + b = 0, a, b ∈ C rjesiva u C. Ova izjava je prvi znak da je polje

C ”potpunije” od polja R. Teorem o rjesivosti svih kvadratnih jednadzbi u C bio

je poznat mnogo prije Eulera; to je poseban slucaj fundamentalnog teorema algebre

u kojem se navodi da svaki nekonstantan polinom s kompleksnim koeficijentima ima

barem jednu nultocku u C. O tom teoremu cemo govoriti u Poglavlju 6..

4.1. Konjugacija C→ C, z 7→ z

Kao sto je poznato, polje R nema automorfizma osim identitete. U suprotnosti s tim

polje C ima beskonacno automorfizama. Medu njima je jedan koji se od svih razlikuje

po tome sto preslikava R na sebe sama, i salje i u drugu nultocku −i (koji, u principu,

ima tocno isti status) polinoma X2 + 1. Za svaki kompleksni broj z = x+ yi, x, y ∈ R,

kompleksan broj

z := x− iy = 2Rez − z

je poznat kao kompleksno konjugirani broj od z. U Gaussovoj ravnini z je prikazan

kao refleksija od z s obzirom na realnu os. Imamo:

Rez =1

2(z+z), Imz =

1

2i(z−z), zz = x2+y2 ∈ R, zz > 0 za z 6= 0.

Posebno, z je realan ako i samo ako je z = z, i cisto imaginaran ako i samo je z = −z.

Iducim teoremom su dana osnovna svojstva konjugiranja.

Teorem 4.1 Konjugacijsko preslikavanje C→ C, z 7→ z, je automorfizam polja C, za

koje vrijedi, 1 = 1 i

w + z = w + z, wz = wz za sve w, z ∈ C.

Skup fiksnih tocaka skupa {z ∈ C : z = z} je polje R.

Dokaz. Sve ovo moze se dokazati iz definicije kompleksnog broja; provjerit cemo

samo pravilo vezano uz mnozenje. Neka je w = u + iv, z = x + iy. Tada je wz =

ux− vy + i(vx+ uy) dok

wz = ux− vy − i(vx+ uy) = (u− iv)(x− iy) = wz.

2

Dokaz sljedeceg kriterija linearne nezavisnosti je jednostavan: Dva broja w, z ∈ R su

linearno zavisni na R, ako i samo ako je wz ∈ R.

Transformacije konjugacije mogu se pogodno koristiti u opisivanju svih R-linearnih

transformacija T : C→ C.

R-linearnost znaci da, za z = x+ yi imamo T (z) = xT (1) + yT (i). To nam automatski

daje:

Primjedba 4.1 Sljedece tvrdnje o transformacijama T : C→ C su ekvivalentne:

(i) T je R-linearan.

(ii) T (z) = az + bz, gdje su a, b konstante koje su elementi iz C.

R-linearna transformacija T : C→ C je C-linearna ako i samo ako T (i) = iT (1); ovo

vrijedi ako i samo ako T (z) = az.

4.2. Polje automorfizama od C

Preslikavanje z → z moze se lako okarakterizirati.

Teorem 4.2 Konjugiranje je jedini netrivijalni automorfizam polja C, tj. automor-

fizam razlicit od identitete, koji preslikava R u sama sebe.

Dokaz. Ako je f : C→ C automorfizam sa f(R) ⊂ R, tada prije svega vrijedi f(x) = x

za sve x ∈ R, onda slijedi da za sve z = x+ yi, x, y ∈ R vrijedi

f(z) = f(x+ yi) = f(x) + f(i)f(y) = x+ f(i)y.

Kako je i2 = −1, imamo f(i)2 = f(i2) = f(−1) = −1, stoga f(i) = ±i. Slucaj f(i) = i

daje f = id, a slucaj f(i) = −i daje konjugaciju. 2

Na pocetku proslog stoljeca (1901.), ne manje poznat autoritet napisao je Dedekind:

Brojevi iz polja realnih brojeva cine mi se tako neraskidivo povezani jedni s drugima,

da bi ja nagadao da to polje nema drugi automorfizam osim identitete; i to bi slijedilo

iz toga da polje svih brojeva (polje C) posjeduje samo dva gore navedena automorfizma.

Nakon nekoliko ne uspjelih pokusaja da utvrdim ovu propoziciju na strogim osnovama,

napustio sam ovu istragu; stoga bih bio vise odusevljen ako bi mi neki drugi matematicar

dao ubjedljiv odgovor na ovo pitanje.

Sada je poznato da postoji, zapravo, beskonacno mnogo drugih automorfizama od C(koji nuzno ne preslikavaju R u sebe). Takva preslikavanja su izgradena pozivajuci se

na aksiom izbora1.

4.3. Skalarni produkt Re(wz) i euklidska udaljenost |z|

Euklidski skalarni produkt na realnom vektorskom prostoru C = R2 dan je s

〈w, z〉 := Re(wz) = ux+ vy, gdje su w = u+ iv, z = x+ iy.

Kako zz = x2 + y2 nikada nije negativno, nenegativni realni korijen

|z| := +√〈z, z〉 = +

√zz =

√x2 + y2

uvijek postoji; mjeri euklidsku udaljenost tocke z od ishodista Gaussove ravnine, ili

drugim rijecima duzinu vektora z. Broj |z| je poznat kao apsolutna vrijednost od

z. Kada je z realan, |z| se poklapa s apsolutnom vrijednosti definiranom na uobicajen

nacin za realne brojeve. Jasno

|z| = |z| za sve z ∈ C.1Aksiom izbora:Neka je {Ai : i ∈ I } familija nepraznih skupova koji su u parovima disjunktni.

Tada postoji skup B tako da je za svaki i ∈ I presjek B ∩Ai jednoclan skup.

Kako je zz = |z|2 imamo sljedeci elegantan prikaz inverza

z−1 =z

|z|2za sve z ∈ Cx.

Preslikavanje C × C → R, (w, z) → 〈w, z〉 je R-bilinearno, simetricno i pozitivno

definitno, takvo da, za sve w,w′z ∈ C imamo

〈w + w′, z〉 = 〈w, z〉+ 〈w′, z〉; 〈aw, z〉 = a〈w, z〉, a ∈ R;

〈w, z〉 = 〈z, w〉; 〈z, z〉 > 0 uvijek za z 6= 0;

ta pravila proizlaze direktno iz definicije za skalarni produkt2.

Vektori w, z se nazivaju ortogonalni (okomiti jedan na drugoga) kada je 〈w, z〉 = 0.

Vektori iz i z uvijek u okomiti jedan na drugoga zbog Re(izz) = |z|2R(i) = 0. Opcenito,

buduci da je zz ∈ R imamo rezultat:

vektori z, cz ∈ C× su ortogonalni ako i samo ako je c cisto imaginaran. (Vidjeti Sliku

3.)

Slika 3. Ortogonalni vektori

2Skalarni produkt:Za vektore x, y ∈ R standardni skalarni produkt definiran je formulom

〈x, y〉 =

n∑j=1

zjwj

4.4. Produktno pravilo i Teorem o dva kvadrata

Za racunanje s apsolutnom vrijednosti imamo produktno pravilo:

|wz| = |w||z| za sve w, z ∈ C.

Kao dokaz toga pisemo:

|wz|2 = wz(wz) = wwzz = |w|2|z|2.

Poznati teorem, koji je vec bio poznat Diophantu od Aleksandrije3, sadrzi produktno

pravilo.

Teorem 4.3 (Teorem o dva kvadrata) Za sve u, v, x, y ∈ R imamo

(u2 + v2)(x2 + y2) = (ux− vy)2 + (uy + vx)2.

Dokaz. Primjenom produktnog pravila na w := u+ iv, z := x+ iy. 2

Ovdje kompleksni brojevi sluze samo za otkrivanje teorema o dva kvadrata. Kada se

jednom pronade lako se moze provjeriti, pomocu mnozenja, da identitet vrijedi za bilo

koji komutativni prsten, i posebno za prsten Z cijelih brojeva. Ta cinjenica je vrlo

bitna u elementarnoj teoriji brojeva. Tako se na primjer, moze pokazati da je prirodan

broj n > 1 zbroj dva kvadrata prirodnih brojeva ako svaki od njegovih prostih faktora

ima to svojstvo. U elementarnoj teoriji brojeva je pokazano da prosti brojevi oblika

l2 +m2, sa l,m ∈ N, daju samo neparan prost broj oblika 4k + 1 i prost broj 2.

Produktno pravilo povlaci i pravilo dijeljenja

|w/z| = |w|/|z| za sve w ∈ C, z ∈ C×.

Produktno pravilo takoder povlaci i neposredni korolar:

Korolar 4.1 Skup S1 := {z ∈ C : |z| = 1} svih kompleksnih brojeva norme 1 je

podskup grupe (C∗, ·) sukladno pravilima mnozenja u C

S1 u Gaussovoj ravnini predstavlja jedinicnu kruznicu sa sredistem u ishodistu. Postoji

vazna veza izmedu tri multiplikativne grupe C×,S1 i Rx+ := {x ∈ R, x > 0}:

Primjedba 4.2 Preslikavanje C× → R×+ × S1, z 7→ (|z|, z/|z|) je (topoloski) izomor-

fizam (topoloske) grupe C× na produkt (topoloskih) grupa R×+ i S1.

3Grcki matematicar iz druge polovice treceg stoljeca prije Krista

4.5. Kvadratni korijeni i kvadratne jednadzbe

Za svaki realan broj r ≥ 0, postoji upravo jedan realan broj s ≥ 0 takav da je s2 = r;

s se naziva nenegativni kvadratni korijen od r, i pisemo ga kao√r. Nije moguce

izracunati realni kvadratni korijen od negativnog realnog broja. S kompleksnim broje-

vima situacija je bolja.

Teorem 4.4 (Egzistencija kvadratnih korijena) Neka je c = a+ ib gdje su a, b ∈R, bilo koji kompleksni broj. Neka je ξ definiran kao

ξ :=

√1

2(|c|+ a) + iη

√1

2(|c| − a (1)

gdje je η := ±1 s predznakom odabranim tako da je b = η|b|. Tada je ξ2 = c.

Do (1) dolazimo automatski pocevsi od jednadzbe (x+iy)2 = a+ib koja je ekvivalentna

dvijema jednadzbama x2−y2 = a, 2xy = b. Slijedi, kako x2+y2 = |c| daje 2x2 = |c|+ai 2y2 = |c| − a time potvrdujemo (1). U stvarnom slucaju, broj ξ nazivamo kvadratni

korijen od c i oznacavamo ga s√c. Nezavisno od ξ , jedini drugi korijen od c je −ξ.

Simbol√c stoga ima dvije vrijednosti.

Sve kvadratne jednadzbe, u standardnom obliku

z2 + 2cz + d = 0, c, d ∈ C,

se sada mogu rijesiti odmah. Koristeci stari trik Babilonaca, dopunjavanje do potpunog

kvadrata, jednadzba postaje

(z + c)2 + d− c2 = 0

cija su rjesenja z1 i z2 dana s

z1 := −c+√c2 − d, z2 := −c−

√c2 − d,

gdje√c2 − d u oba slucaja oznacava isti kvadratni korijen. Time dobivamo iducu

faktorizaciju

z2 + 2cz + d = (z − z1)(z − z2)

i posebno dobro nauceno Vieteovo pravilo:

z1 + z2 = −2c, z1z2 = d.

Propozicija 4.1 Za svaki broj c = a+ ib ∈ S1 s a ≥ 0 postoji ξ ∈ S1 takav da je

ξ2 = c |Imξ| ≤ 1√2|b|. (2)

Dokaz. Izabiremo ξ takav da zadovoljava (1). Kako je |ξ|2 = |c| = 1, ξ ∈ S1 i kako je

1 = a2 + b2 i a ≥ a2 kao i 0 ≤ a ≤ 1, prema (1) slijedi da je

2|Imξ|2 = 1− a ≤ 1− a2 = b2,

sto je ekvivalentno (2). 2

Teorem egzistencija kvadratnih korijena ima neke neosporne posljedice. Dajemo prvi

primjer u iducem podnaslovu.

4.6. Kvadratni i n-ti korijen

Neka je n ≥ 1 prirodan broj, i neka je c ∈ C. Svaki kompleksni broj ξ za koje vrijedi

ξn = c se naziva n-ti korijen od c. Teorem egzistencija kvadratnih korijena je toliko

jak da se postojanje n-tih korijena moze izvesti iz njega.

Teorem 4.5 Za svaki kompleksni broj c postoji njegov n-ti korijen gdje je 1 ≤ n <∞.

Dokaz. Koristimo indukciju po n i propoziciju:

Propozicija 4.2 Svaki realni polinom neparnog stupnja ima realni korijen, to jest,

iscezava za neke realne vrijednosti varijable i posebice svaki broj r ∈ R ima (2m+ 1)-ti

korijen u R, za m = 1, 2, . . . .

Po Teoremu 4.4 Propozicija 4.2 je istinita za n = 2 (za n = 1 trivijalno). Pretpostavimo

da je n > 2. U slucaju n = 2m, na prvom mjestu se nalazi η ∈ C takav da je η2 = c.

Kako je m < n, postoji, prema induktivnoj pretpostavci, ξ ∈ C takav da je ξm = η. Iz

toga slijedi da je ξ2 = c.

Sada pretpostavimo da je n neparan. Zbog Propozicije 4.2 mozemo pretpostaviti da

je c /∈ R i |c| = 1. Izaberemo d ∈ C takav da je d2 = c. Tada je dd = 1. Razmotrimo

polinom

p(X) := i[d(X + i)n − d(X − i)n] = i(d− d)Xn + clanovi nizeg stupnja.

Kako je p(x) = p(x) za sve x ∈ R, p je polinom s realnim koeficijentima. Posto d /∈ R, p

ima neparan stupanj n. Prema Propoziciji 4.2 postoji dakle λ ∈ R takav da je p(λ) = 0.

Mozemo zakljuciti

d(λ+ i)n = d(λ− i)n, stoga

(λ+ i

λ− i

)n=d

d= d2 = c.

2

Teorem 4.5 moze se formulirati i na sljedeci nacin:

Svaki polinom u C(z) oblika zn − c stupnja n ≥ 1 ima kompleksnu nultocku.

Povijesna biljeska: Postojanje n-tih korijena je obicno prikazano uz pomoc komplek-

sne eksponencijalne funkcije, jer je ta metoda osobito jednostavna.

Cinjenicu da n-ti korijeni mogu biti konstruirani na osnovni nacin bez znanja o ek-

sponencijalnim funkcijama je vec istaknuo Dedekind u pismu iz 1878. napisanom Lip-

schitzu. Hurwitz 1911. lijepo prikazuje snagu procesa vadenja kvadratnog korijena u

njegovoj metodi uvodenja logaritamske funkcije.

5. Geometrijska svojstva skupa kompleksnih bro-

jeva

U ovom poglavlju cemo izmedu ostalog dokazati poznati Ptolomeyov teorem i teorem

o Wallacovim pravcima. Naglasimo da su te odredene geometrijske primjene ovdje

odabrane radi njihove povijesne vaznosti. Lako se mogu pronaci i mnoge druge prim-

jene, jednako upecatljive, no i manje vaznosti.

5.1. Identitet 〈w, z〉2 + 〈iw, z〉2 = |w|2|z|2

Buduci da je Re(iz) = −Imz, iz toga slijedi 〈iw, z〉 = −Im(wz). Iz toga mozemo

izvesti, uz pomoc produktnog pravila, sljedeci koristan identitet

〈w, z〉2 + 〈iw, z〉2 = |w|2|z|2, w, z ∈ C (3)

Dokaz.

〈w, z〉2 + 〈iw, z〉2 = (Rewz)2 + (−Imwz)2 = |wz|2 = |w|2|z|2.

Kao posljedicu tog dobivamo :

Teorem 5.1 (Cauchy-Schwarzova nejednakost) |〈w, z〉| ≤ |w||z| za sve w, z ∈ Cgdje znak jednakosti vrijedi ako i samo ako su w, z linearno zavisni.

Dokaz. Nejednakost u identitetu (3) se podrazumjeva, sto takoder povlaci da postoji

jednakost kada je 〈iw, z〉 = −Im(wz) = 0, to jest, kada su wz ∈ R. 2

Dajemo i drugi dokaz u kojem koristimo produktno pravilo i nejednakosti |Rez| ≤ |z|,|Imz| ≤ |z|, z ∈ C sto jasno slijedi iz odgovarajucih definicija.

Imamo |〈w, z〉| = |Re(wz)| ≤ |wz| = |w||z| = |w||z| iz cega mozemo zakljuciti da je

|Re(wz)| = |wz| ako i smo ako je wz ∈ R.

5.2. Kosinusov teorem i nejednakost trokuta

Kao i za svaki skalarni produkt, imamo

|w + z|2 = |w|2 + |z|2 + 2Re(wz)

Dokaz. Zahvaljujuci aditivnosti i simetricnosti od 〈w, z〉 imamo

|w + z|2 = 〈w + z, w + z〉 = 〈w,w〉+ 〈w, z〉+ 〈z, w〉+ 〈z, z〉 = |w|2 + 2Re(wz) + |z|2.

2

Uz pomoc Cauchy-Schwarzove nejednakosti mozemo dokazati nejednakost trokuta.

Teorem 5.2 (Nejednakost trokuta) Za sve w, z ∈ C, imamo |w + z| ≤ |w| + |z|.U prethodnoj relaciji vrijedi znak jednakosti ako i samo ako wz ≥ 0.

Dokaz.

|w + z|2 = |w|2 + 2〈w, z〉+ |z|2 ≤ |w|2 + 2|w||z|+ |z|2 = (|w|+ |z|)2.

Prema Cauchy-Schwarzovoj nejednakosti

|〈w, z〉| = |w||z| ⇔ wz ∈ R.

Sukladno tome, slucaj 〈w, z〉 = |w||z| vrijedi ako i samo ako je wz ≥ 0. 2

Preslikavanje | | : K → R polja K u R naziva se valuacija polja K , kada, za sve

w, z ∈ K , vrijede sljedece relacije:

1. |z| ≥ 0, |z| = 0⇔ z = 0

2. |wz| = |w||z| (produktno pravilo)

3. |w + z| ≤ |w|+ |z| (nejednakost trokuta)

Uredeni par polje i valuacije nazivamo polje s valuacijom. Na primjer, polja Q i R su

polja s valuacijom. Vidjeli smo da i na polju kompleksnih brojeva postoji valuacija,

pomocu funkcije apsolutne vrijednosti | | : C → R, z → |z|, i da je ta valuacija stan-

dardno prosirenje valuacije na R.

Suptilna interakcija izmedu funkcije apsolutne vrijednosti i operacija na polju otkriva

se u sljedecem teoremu:

Teorem 5.3 (Teorem o tri stranke) Neka su z1, z2, z3 tri razlicita kompleksna broja

takva da je |z1| = |z2| = |z3|. Tada su sljedece tvrdnje ekvivalentne:

(i) z1, z2, z3 su vrhovi jednakostranicnog trokuta.

(ii) z1 + z2 + z3 = 0.

(iii) z1, z2, z3 su korijeni jednadzbe Z3 = c, gdje je c ∈ C.

Promatramo li z1, z2, z3 kao politicke stranke, smatrajuci jednaku duljinu jednakom

snagom, tada implikacija (i)⇒ (ii) daje motivaciju za naziv teorema.

Definiramo li centroid trokuta s vrhovima z1, z2, z3 kao tocku 13(z1 + z2 + z3), ekviva-

lencija uvjeta (i) i (ii) istice da je centroid trokuta centar njemu opisane kruznice ako

i samo ako je trokut jednakostranican.

Analogno prethodnom , ako je z1, z2, z3, z4 ∈ C i |z1| = · · · = |z4| sljedeca tri uvjeta su

ekvivalentna:

(i) z1, z2, z3, z4 su vrhovi pravokutnika.

(ii) z1 + z2 + z3 + z4 = 0.

(iii) z1, . . . , z4 su korijeni jednadzbe (Z2 − a2)(Z2 − b2) sa |a| = |b| 6= 0.

5.3. Brojevi na pravcima i kruznicama. Djelisni omjer

Dva broja a, b ∈ C leze na pravcu koji prolazi kroz ishodiste, ako i samo ako je ab ∈ R.

Opcenito:

Primjedba 5.1 Tri broja a, b, c ∈ C, a 6= b, su kolinearni ako i samo ako je

c− ab− a

∈ R odnosno, ako i samo ako vrijedi cb− ca− ab ∈ R. (4)

Dokaz je trivijalan jer pravac kroz a, b ima parametarski prikaz a+ (b− a)s, s ∈ R.

Ako je a, b, c, d ∈ R s a 6= d, b 6= c, onda je djelisni omjer ili neharmonijski omjer,

oznacen s CR(a, b, c, d) definiran s

CR(a, b, c, d) :=a− ba− d

:c− bc− d

=(a− b)(c− d)

(a− d)(c− b)=

(a− b)(c− d)(a− d)(c)− b|a− d|2|c− b|2

∈ C.

(5)

Taj broj ovisi o redoslijedu cetiriju tocka a, b, c, d. Reciprocnu vrijednost dobivamo u

slucaju ciklickog permutiranja tocaka:

CR(b, c, d, a) = CR(a, b, c, d)−1.

Teorem 5.4 Cetiri broja a, b, c, d ∈ C, a 6= d, b 6= c, koja ne leze na istom pravcu, leze

na kruznici ako i samo ako je njihov djelisni omjer realan broj.

Dokaz. Pretpostavimo da a, b, c nisu kolinearni. Buduci da su to svojstvo i djelisni om-

jer oboje invarijantni obzirom na translaciju, mozemo pretpostaviti da srediste kruznice

opisane trokutu s vrhovima a, b, c lezi u ishodistu. Tada je

|a| = |b| = |c|

i

(a− b)(c− d)(a− d)(c− b) + i(|c|2 − |d|2)Im(cb− ca− ab) ∈ R.

Kako a, b, c nisu kolinearni, Im(cb− ca− ab) 6= 0 prema (4). Iz toga slijedi da je

(a− b)(c− d)(a− d)(c− b) ∈ R⇔ |c| = |d|

i prema (5) dobivamo tvrdnju teorema. 2

U teoriji linearnih frakcionih transformacija, tj. preslikavanja oblika z 7→ az+bcz+d

djelisni

omjer igra sredisnju ulogu. Argumentu z je dopusteno da preuzme vrijednost ∞.

Djelisni omjer ostaje nepromjenjen obzirom na sve linearne frakcione transformacije.

5.4. Ptolomejev teorem

Egipatski matematicar Claudius Ptolomej je u svojoj knjizi Almagest, Book 1 dokazao

sljedeci teorem o kojem se jos uvijek povremeno raspravlja u skolskoj geometriji.

Teorem 5.5 U bilo kojem tetivnom cetverokutu abcd, suma umnoska nasuprotnih strana

je jednaka umnosku dijagonala

|a− b| · |c− d|+ |a− d| · |c− b| = |a− c| · |b− d|.

Dokaz. Ptolomej je napravio ovaj teorem da bi sluzio astronomiji i da bi ga koristio

kao alat u racunanju njegove poznate tablice tetiva. Ptolomej je dokazao svoj teorem

elegantnim trikom iz elementarne geometrije. Konstruira tocku e na pravcu ac tako

da je ∠abe = ∠cbd (Vidjeti Sliku 4.). Trokuti abe i bcd su tada slicni, i jednostavan

argument tada vodi do zeljenog zakljucka. 2

Slika 4. Tetivni cetverokut abcd

Za dokazivanje Ptolomejeva teorema i vise, uz pomoc kompleksnih brojeva, pripisujemo

svakom cetverokutu abcd u C ”Ptolomejev broj”

P (abcd) := |(a− b)(c− d)|+ |(a− d)(c− b)| − |(a− c)(b− d)|.

Kako (a− b)(c− d)− (a− d)(c− b) = (a− c)(b− d) vrijedi u svakom komutativnom

prstenu, i kako je CR(a, b, c, d) = (a − b)(c − d)(a − d)−1(c − b)−1, izravna provjera

pokazuje da je

P (abcd) = |(a− d)(c− b)||CR(a, b, c, d)|+ 1− |CR(a, b, c, d)− 1|.

Buduci da je, prema nejednakosti trokuta |w− 1| = |w|+ 1 ako i samo ako je w realan

broj koji nije pozitivan, imamo sljedeci teorem.

Teorem 5.6 Sljedece dvije tvrdnje o cetverokutu abcd u C su ekvivalentne:

i) Tvrdnja u Ptolomejevom teoremu vrijedi za abcd: P (abcd) = 0.

ii) Cetverokut abcd je tetivan.

5.5. Wallaceovi pravci

Pretpostavimo da su a, b, u ∈ C, a 6= b. Nadalje, neka je v noziste okomice iz u na

pravac

L := {z = a+ s(b− a) : s ∈ R}

kroz a i b je, kako je i(b − a) ortogonalno na (b − a), tocka presjeka L da pravcem

L′ := {z = u+it(b−a)} (Vidjeti Sliku 5.). Ovo za s, t daje uvjet s−ti = (u−a)(b−a−1),a time i 2s = (u− a)(b− a)−1 + (u− a)(b− a)−1 i stoga

v =1

2

[a+ u+ (u− a)

b− ab− a

].

Slika 5. Wallaceovi pravci

U slucaju |a| = |b| imamo (b− a)(b− a)−1 = −b(a)−1 i zbog toga je

v =1

2

(a+ b+ u− u ab

|a|2

), ako je |a| = |b|. (6)

Iskoristiti cemo (6) za dokazivanje manje poznate tvrdnje o tri ”istaknute” tocke

trokuta.

Teorem 5.7 Neka su a, b, c ∈ C vrhovi trokuta, i v1, v2, v3 nozista okomica iz proizvoljne

tocke u ∈ C na pravce koje prolaze parovima tocaka a, b; b, c; c, a. Tada su sljedece

tvrdnje ekvivalentne (Vidjeti Sliku 6.):

(i) Tocke v1, v2, v3 su kolinearne.

(ii) Tocka u lezi na kruznici opisanoj trokutu s vrhovima a, b, c.

Slika 6.

Dokaz. Mozemo pretpostaviti da vrhovi trokuta a, b, c odreduju jedinicnu kruznicu

S1 s centrom u ishodistu. Tada iz (6) i pretpostavke da je |a| = |b| = |c| = 1 slijedi,

uzmemo li v2 6= v3, u 6= 0,

v1 − v3v2 − v3

=b− c− uab+ uac

b− a− ubc+ uac=

(c− b)(ua− 1)

(a− b)(uc− 1)=

c− bc− u−1

:a− ba− u−1

= CR(c, b, a, u−1).

Ekvivalencija tvrdnji (i)⇔ (ii) slijedi iz Poglavlja 4.4., tada je u−1 ∈ S1 ekvivalentno

s u ∈ S1. Slucaj v2 = v3 je, na temelju a 6= b, moguc samo ako je uc = 1, odnosno, ako

u ∈ S1. U slucaju u = 0, imamo

(v1 − v3) : (v2 − v3) = (c− b) : (a− b),

tako da v1, v2, v3 nisu kolinearne zato sto nisu niti a, b, c. 2

U slucaju kada u lezi na kruznici, pravac kroz v1, v2, v3 se naziva Wallaceov pravac,

prema samoukom skotskom matematicaru William Wallaceu koji, nakon sto je bio

ucitelj u Perthu, postaje profesor matematike na edinburskom sveucilistu od 1819. Taj

pravac je takoder ponekad poznat kao Simsonov pravac, prema skotskom matematicaru

Robert Simsonu koji je uspjesno nastojao ozivjeti istrazivanja drevne grcke geometrije

u Engleskoj. Kasnije je Mackay pokazao, u dvama clancima objavljenim u Proceedings

of Edinburgh Mathematical Society 9, 1891. i 23, 1905., kako u Simsonovim radovima

nema rezultata poput onih danim prethodnim teoremom, dok se implikacija (ii) ⇒(i) vjerojatno po prvi put pojavljuje u Wallaceovu clanku izdanom u Mathematical

Repository 2, 1799-1800.

6. Fundamentalni teorem algebre

Vidjeli smo u Poglavlju 4.5. da svaki kvadratni polinom iscezava u dvijema tockama,

koje se obicno nazivaju nultocke polinoma. Ta tvrdnja je poseban slucaj mnogo

opcenitijeg teorema, kojeg je Gauss 1849. nazvao fundamentalni teorem teorije al-

gebarskih jednadzbi, i koji je danas opce poznat u literaturi kao tzv. fundamentalni

teorem algebre.

Teorem 6.1 Svaki nekonstantni kompleksni polinom ima barem jednu nultocku u polju

C.

Polje K nazivamo algebarski zatvorenim ako svaki nekonstantan polinom f ∈ K [X]

ima nultocku u K . Vise o algebarski zatvorenim poljima moze se naci u [2] i [3].

Fundamentalni teorem stoga moze takoder biti naveden u obliku:

Polje kompleksnih brojeva C je algebarski zatvoreno.

Imenovanje ove izjave kao fundamentalni teorem algebre, datira iz vremena kada je rijec

algebra jos uvijek bila shvacena kao potpuni sinonim s teorijom polinoma s realnim ili

kompleksnim koeficijentima. Postojanje ovog teorema, koji je zapravo netrivijalan cak

i za polinome oblika Zn− a, bit ce detaljno objasnjeno u ovom poglavlju, i dokazan na

osnovni nacin.

6.1. Povijesni razvoj fundamentalnog teorema algebre

U ovom odlomku f = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ R[X ] uvijek oznacava realni polinom

n-tog stupnja (i stoga aν ∈ R, an 6= 0). Uzimamo u obzir samo nekonstantne polinome,

ili drugim rijecima pretpostavljamo da je n ≥ 1. Za nultocku ili korijen od f podrazu-

mijevamo bilo koji element c bilo kojeg polja K koje je prosirenje polja R, tako da je

f(c) = 0. Za element c se takoder kaze da je rjesenje polinomialne jednadzbe f(x) = 0.

Kada kazemo jednadzba uvijek mislimo polinomijalna jednadzba.

Za jednadzbe cetvrtog stupnja postoje formule za odredivanje rjesenja u radikalima,

koristenjem takozvanih ugnjezdenih izraza te se moze direktno provjeriti da su tako

konstruirana rjesenja kompleksni brojevi.

Situacija je sasvim drugacija s jednadzbama petog i viseg stupnja. Nije pronaden nacin

za rjesavanje takvih jednadzbi uz pomoc radikala. Sve do Gaussa svi matematicari su

mastovito pokusali pokazati da su ta rjesenja zapravo kompleksni brojevi.

U nastavku smo sazeli glavne datume, pocevsi od prve misticne pojave fundamentalnog

teorema sve do njegova danasnjeg prihvacanja kao ocigledne istine.

Albert Girard je prvi tvrdio da jednadzba n-tog stupnja uvijek ima n rjesenja. Nije

dao nikakav dokaz, vec samo objasnjava svoju tvrdnju pomocu primjera, ukljucujuci i

jednadzbu x4− 4x+ 3 = 0 cija su rjesenja 1, 1,−1 + i√

2,−1− i√

2. Girard nije tvrdio

da rjesenja moraju uvijek imati oblik a+ b√−1, a, b ∈ R, osim ”stvarnih rjesenja” ona

koja su > 0 i ona koja su < 0 postoje i ”drugi umotani brojevi”, kao sto su√−1, kao

i√−3, ili drugi slicni brojevi. Time ostavlja otvorenu mogucnost za rjesenja koja nisu

kompleksna. U modernom jeziku istice sljedecu propoziciju:

Propozicija 6.1 (Girardova teza) Za svaki polinom f ∈ R[X ] n-tog stupnja postoji

polje K , prosirenje polja R, takvo da f ima tocno n nultocaka (ne nuzno razlicitih) u

K . Polje K moze mozda biti pravi nadskup od C.

Kroz svoje napore da rastavi racionalne funkcije na parcijalne razlomke, Leibniz je

dosao do pitanja da li svaki realni polinom moze biti izrazen kao umnozak faktora

prvog i drugog stupnja. 1702. u radu objavljenom u Acta Eruditorum iznio je stav da

to nije tako, i podrzao ovu tvrdnju isticuci da dekompozicijom

X4 + a4 = (X2 − a2i)(X2 + a2i) = (X + a√i)(X − a

√i)(X + a

√−i)(X − a

√−i)

umnozak bilo koja dva linearna faktora na desnoj strani nije nikada realni kvadratni

polinom. Cini se da Leibniz nije znao da√i moze biti oblika a+ bi; jer ako je vidio da

√i =

1

2

√2(1 + i) i

√−i =

1

2

√2(1− i)

primjetio bi da su produkti prvog i treceg, i drugog i cetvrtog faktora oba realni, i

umjesto njegovih krivih tvrdnji dobio bi

X4 + a4 = (X2 + a√

2X + a2)(X2 − a√

2X + a2).

Znacajno je da nije dosao do ove faktorizacije jednostavnim zapisom

X4 + a4 = (X2 + a2)2 − 2a2X2.

U pismu Bernoulliu iz 1742. Euler izrice teorem faktorizacije za realne polinome upravo

u obliku koji Leibniz smatra krivim. Pretpostavlja se da se kontraprimjer predlozen

od Bernoullia, polinom X4 − 4X3 + 2X2 + 4X + 4 s nultockama

x1,2 = 1±√

2 + i√

3, x3,4 = 1±√

2− i√

3

pokazao los, dokazujuci da su (X − x1)(X − x3) i (X − x2)(X − x4) realni polinomi, to

jest

X2 − (2 + a)X + 1 +√

7 + a i X2 − (2− a)X + 1 +√

7− a

s a :=√

4 + 2√

7.

Ubrzo nakon toga, u pismu svom vjernom dopisniku Goldbachu, Euler ponavlja svoju

tvrdnju ali dodaje da ju nije u mogucnosti cijelu dokazati, samo ugrubo kao i neke Fer-

matove teoreme. U tom pismu takoder usput spominje, nesto sto se nama u danasnje

vrijeme cini potpuno jasno i sto nema veze s problemom postojanja kompleksih kori-

jena, da se imaginarni korijeni realnih polinoma mogu uvijek grupirati u parove kako

bi se proizveli realni polinomi drugog stupnja nakon umnozavanja odgovarajucih fak-

tora. Goldbach ostaje skeptican i prema ovoj jednostavnoj tvrdnji i kao kontraprimjer

navodi polinom Z4 + 72Z2 − 20, koji Euler odmah faktorizira.

Eulerov teorem faktorizacije nadilazi Girardovu tezu koje je Euler morao biti svjestan.

Kako kvadratna jednadzba uvijek ima kompleksna rjesenja, njegova tvrdnja nije nista

drugo nego:

Fundamentalni teorem algebre za realne polinome. Svaki polinom n-tog stupnja

f ∈ R[x] ima tocno n nultocaka u polju C.

Euler je bio u mogucnosti ovaj teorem dokazati za sve polinome stupnja ≤ 6. 1749.

napao je opci slucaj. Njegova ideja bila je rastaviti svaki polinom P stupnja 2n ≥4 na umnozak dva polinoma P1P2 stupnja m := 2n−1. Ako bi to moglo biti tako,

tada bi njegov teorem bio dokazan zato sto proizvoljni nenul polinom uvijek moze biti

pretvoren u takav polinom mnozenjem s aXd i ponavljanje postupka dekompozicije

daje dekompoziciju polinoma P u realni kvadratni polinom.

Euler cini pocetnu pretpostavku da je P oblika

P (X) = X2m +BX2m−2 + CX2m−3 + · · · ,

sto je dopusteno jer koeficijent A od X2m−1 uvijek moze isceznuti translacijom X 7→X − 1

2mA. Polinomi P1, P2 sada su oblika:

Xm + uXm−1 + αXm−2 + βXm−3 + · · · ,

Xm − uXm−1 + λXm−2 + µXm−3 + · · ·

i zbog koeficijenta od Xm−1 razlikuju se samo u predznaku, s obzirom na iscezavanje

koeficijenta od X2m−1 u P (X). Mnozenjem i usporedivanjem koeficijenata, dobiva jed-

nadzbe koje ukljucuju B,C, . . . i u, α, β, . . . , λ, µ, . . .. Euler tvrdi da su α, β, . . . , λ, µ, . . .

racionalne funkcije za B,C, . . . i u, i da se eliminacijom α, β, . . . , λ, µ, . . . dobiva re-

alni polinom u stupnja(2mm

)ciji je konstantni clan negativan. Sada taj polinom

ima nultocku u, prema Teoremu srednje vrijednosti4(koji se nekad naziva i Bolzano-

Cauchyjev teorem) sto je Euler jasno vidio.

4Teorem srednje vrijednosti: Ako je f neprekidna funkcija na intervalu 〈a, b〉 i u je broj izmeduf(a) i f(b), onda je c ∈ 〈a, b〉 takav da je f(c) = u. (to je trivijalno ako je f konstantna funkcija)

Bitni novi element u Gaussovom dokazu iz 1799. jest da on ne odreduje kako izracunati

korijen, nego pokusava dokazati njegovo postojanje. Gauss u svom doktorskom radu

ne tvrdi da je on prvi otkrio tocan korijen fundamentalnog teorema, sto je vec jasno po

rijeci ”Nova” u naslovu, kao svoje primjedbe na D’Alembertov pokusaj dokazivanja,

Gauss daje, sveukupno, cetiri dokaza fundamentalnog teorema algebre. Cetvrti dokaz

je objavljen 1849., u godini zlatnog jubileja njegova doktorata.

Prvi dokaz, iz 1799., je topoloski, ali ima neke znacajne nedostatke s obzirom na

danasnje shvacanje. Poblize promotrimo problem: kompleksne nultocke realnog poli-

noma f n-tog stupnja su tocke presjecanja dvaju realnih algebarskih krivulja (Ref)(z) =

0 i (Imf)(z) = 0. Ako je R dovoljno velik, tada tocno 2n tocaka svake krivulje lezi

na svakoj kruznici |z| = r gdje je r > R. Izvan kruga {z ∈ C : |z| ≤ R} te tocke

mogu biti povezane s 2n kontinuiranih grana Aν i Bν , 1 ≤ ν ≤ 2n, rastegnutih u

beskonacnost, i zapravo te grane su postavljene tako da izmedu dvije uzastopne grane

krivulje (Ref)(z) = 0, lezi grana krivulje (Imf)(z) = 0 i obrnuto.

Gauss kaze: ”Sada ove izmjene u polozaju tocaka ulaza na granama ulaznog kruznog

isjecka omogucuju nam crtanje zakljucka tako da grana prve krivulje mora imati presjek

s granom druge krivulje u istoj tocki u unutrasnjosti kruznog isjecka. Ovaj zakljucak

se moze nacrtati na toliko razlicitih nacina da sam jedva znam kojoj metodi treba dati

prednost.”

U naknadnim geometrijskim argumentima na kojima je baziran njegov dokaz, koristi

rezultate iz vise geometrije, a posebice teorem koji kaze: ”...ako grana algebarske

krivulje ulazi u omeden prostor, nuzno mora i izaci iz tog prostora”. Ovaj teorem,

cija se istinitost podrazumjevala vise od stotinu godina, sama je srz dokaza.

Argand koji je skicirao bit svoga dokaza fundamentalnog teorema algebre u eseju o

zastupljenosti kompleksnih brojeva, zapanjujuce pojednostavljuje D’Alembertovu os-

novnu ideju. Koristi opci teorem o postojanju minimuma funkcije i tako dolazi do

potpuno nove vrste dokaza. Kako Argand ne kaze nista kako bi opravdao postojanje

minimuma, njegov osnovni dokaz u pocetku nije prihvacen. Cak i Cauchyeva tvrdnja da

|f(z)| negdje mora postici svoj minimum nije pravilno utvrdena; ta tvrdnja je postala

moguca tek nakon sto je uveden opci pojam za donju granicu. Cauchy posvecuje cijelo

poglavlje svoje knjige Cours d’analyse fundamentalnom teoremu, ali bez spominjanja

Arganda. U 19. stoljecu Argandova metoda dokaza je usvojena u raznim udzbenicima.

U daljnjem dijelu ovog diplomskog rada poblize cemo se pozabaviti Argandovim doka-

zom fundamentalnog teorema algebre.

Fundamentalni teorem algebre: nekad i sad

Danas se samo moze nagadati kako su matematicari prije pocetka 19. stoljeca vizual-

izirali rjesenja jednadzbi iz svoje perspektive. Tesko nam je razumjeti zasto su, do

Gaussova vremena, imali cvrsto vjerovanje u postojanje takve vrste ”izvanzemaljskih”

rjesenja, a potom su nastojali pokazati da su ta rjesenja kompleksni brojevi.

U danasnje vrijeme fundamentalni teorem algebre je jedna od osnovnih tvrdnji algebre

i teorije holomofnih funkcija. Svi dokazi, u konacnoj analizi, zahtjevaju pomoc nealge-

barskih metoda i koncepata. Jedni, poput D’Alemberta, Arganda i Cauchyja uspjesno

smanjuju apsolutnu vrijednost polinoma prikladnim izborom njegovih argumenata, te

u tom slucaju mora rjesavati binomne jednadzbe i imati na raspolaganju odredene teo-

reme o egzistenciji minimuma; dok drugi, poput Eulera, Lagrangea i Laplacea rastavl-

jaju polinome na faktore, pri cemu analiticki doprinos ostaje vise u pozadini. Trazimo

”samo” postojanje kvadratnog korijena kompleksnih brojeva i teorem da realni poli-

nomi neparnog stupnja imaju realnu nultocku. Posebno su omiljeni dokazi koji se

mogu osloniti na rezultate Cauchyeve teorije funkcija: na primjer nacelo maksimalnih

modula ili teorem otvorenog preslikavanja, ili Liouvilleov teorem u smislu da bilo koja

funkcija koja je holomorfna i ogranicena na cijelom C nuzno mora biti konstantna.

Mnogi matematicari vjeruju da ne postoji cisto algebarski dokaz, zato jer je polje R,

a time i njegovo prosirenje polje C, ipak analiticki objekt, tj. konstruirano je na nacin

koji pripada analizi.

6.2. Dokaz fundamentalnog teorema prema Argandu

Argandov dokaz koristi iduce tri pomocne tvrdnje:

(0) Svaki kompleksni polinom je neprekidna funkcija u C.

(1) Svaka neprekidna funkcija f : K → R gdje je K kompaktan podskup od R2

postize minimum na K . (ako je f konstantna, tvrdnja trivijalno vrijedi)

(2) Svaki kompleksni broj ima kvadratne korijene.

Vise o kompaktnim skupovima i svojstvima neprekidnih funkcija definiranih na takvim

skupovima se moze naci u [4]. Takoder, o brojnim svojstvima kompleksnih funkcija,

od kojih cemo neka koristiti nadalje u radu, se moze vidjeti u skripti [5].

Tvrdnja (2) je dokazana u Poglavlju 4.5., i iz toga smo u Poglavlju 4.6. dosli do Teo-

rema 4.5.

Teorem dokazujemo u tri koraka. Najprije povecanjem kompleksnog argumenta z

pokazujemo kako apsolutna vrijednost |f(z)| bilo kojeg kompleksnog polinoma f(z)

uvijek poprima minimalnu vrijednost u C, tj. tzv. Cauchjev teorem minimuma.

D’Alembert-Gaussov teorem tada povlaci kako je za nekonstantni polinom taj min-

imum uvijek jednak nuli. Dokaz ovog teorema je dan u [1], Poglavlje 2.3, pomocu

Argandove nejednakosti koja osigurava postojanje granicne vrijednosti kompleksnog

polinoma. Ta nejednakost, koja je srz Argandova dokaza, izvedena u poglavlju 6.2.3,

te ovisi o jednostavnoj nejednakosti polinoma tipa 1 + bZk + Zkg(Z) gdje je g(0) = 0.

6.2.1. Cauchyev teorem minimuma

Teorem 6.2 Za svaki polinom f(Z) = a0 + a1Z + · · · + anZn ∈ C[Z] postoji c ∈ C

takav da je |f(c)| = inf |f(c)|.

Dokaz. Mozemo pretpostaviti da je an 6= 0 za n ≥ 1. Potrebna nam je tvrdnja o

rastu:

(∗) Postoji r ∈ R takav da je |f(z)| > |f(0)| za sve z ∈ C, |z| > r.

Za z 6= 0 imamo |f(z)| = |z|n|an+h(z−1)| gdje je h(W ) := an−1W+· · ·+a0W n ∈ C[W ].

Kako je h neprekidna u nuli, postoji δ > 0 takav da je |h(w)| ≤ 12|an|, kada je |w| < δ.

Iz toga slijedi da je |f(z)| ≥ |z|n(|an−|h(z−1)|) ≥ 12|an||z|n, kada je |z| > δ−1. Dovoljno

je odabrati r > δ−1 kako bi osigurali da je |an|rn > 2|a0|. Nakon ovog pripremnog dijela

dokaz teorema mozemo brzo zakljuciti. Kako je f(z) neprekidna u C, isto tako je i

|f(z)| i stoga |f(z)| postize minimum u kompaktnom krugu K := {z ∈ C : |z| ≤ r}zbog tvrdnje (1) iz uvoda. Stoga, postoji c ∈ K za |f(c)| = inf |f(K)|. Kako je

|f(c)| ≤ |f(0)| ≤ inf |f(C\K )| zbog (∗), slijedi da je |f(c)| = inf |f(C)|. 2

Cauchy je isto tako iskoristio postojanje minimuma u svojoj Cours d’analyse iz 1821. za

dokaz D’Alembert-Gaussovog teorema. Postojanje minimuma u kompaktnim skupovima,

koji nismo dokazivali, jos uvijek nije bilo dokazano u Cauchyevo vrijeme.

Neke tvrdnje o rastu polinoma, poput one zastupljene ovdje s (∗), su takoder potrebne

u vecini teorijskih dokaza svojstava funkcija.

6.2.2. Dokaz fundamentalnog teorema

Uz Cauchyjev teorem minimuma za dokaz fundamentalnog teorema trebamo jos i:

Argandova nejednakost: Neka je f(Z) nekonstantni polinom. Tada za svaku tocku

c ∈ C takvu da je f(c) 6= 0 postoji druga druga tocka c′ ∈ C takva da je

|f(c′)| < |f(c)|.

Ovu nejednakost cemo dokazati u iducem dijelu, vadenjem k-tog korijena. Odmah

iz nejednakosti slijedi da svaki nekonstantni kompleksni polinom f(Z) ∈ C[Z] mora

imati nultocku c u C, jer po Cauchyjevu teoremu minimuma postoji c ∈ C takvo

da je |f(c)| ≤ |f(z)| za sve z ∈ C. Ako je f(c) razlicit od nule, prema Argandovoj

nejednakosti, postoji c′ ∈ C takvo da je |f(c′)| < |f(c)|, sto je besmisleno.

6.2.3. Dokaz Argandove nejednakosti

Kljucnu ulogu u dokazu ima slijedeca lema:

Lema 6.1 Neka je k prirodan broj, razlicit od nule, i neka je

h := 1 + bZk + Zkg gdje je b ∈ C×, g ∈ C[Z], g(0) = 0.

Tada postoji u ∈ C takav da je |h(u)| < 1.

Dokaz. Biramo k-ti korijen d ∈ C, od −1/b, tako da je bdk = −1. Za svaki realni t

takav da je 0 < t ≤ 1, imamo

|h(dt)| ≤ |1− tk|+ |dktkg(dt)| = 1− tk + tk|dkg(dt)|.

Kako je g polinom, neprekidan u 0, i kako je g(0) = 0, postoji δ, 0 < δ < 1, takav da je

|dkg(dt)| < 12

za sve t koji zadovoljavaju nejednakost 0 < t < δ. Za svaki takav t tada

slijedi da je |h(dt)| ≤ 1− tk + 12tk < 1. 2

Mozemo primijetiti da, nezavisno od g(0) = 0, jedino svojstvo funkcije g : C → Ckoje je koristeno je upravo neprekidnost u ishodistu. Lema stoga vrijedi za sve takve

funkcije. Dokaz pokazuje da h poprima vrijednost manju od 1 u proizvoljno maloj

okolini ishodista.

Argandova nejednakost ce sada direktno slijediti: ako je f(Z) nekonstantna funkcija,

tada niti f(Z) := f(c+ Z)/f(c) ∈ C[Z] nije konstanta. Sada

f(Z) = 1 + bkZk + bk+1Z

k+1 + · · ·+ bnZn gdje je bk 6= 0, 1 ≤ k ≤ n.

Pisemo g(Z) := bk+1Z + · · ·+ bnZn−k, te imamo f = 1 + bkZ

k + Zkg gdje je g(0) = 0.

Prema Lema 6.1 postoji u ∈ C, takav da je |h(u)| < 1. Za c′ := c+ u, imamo

|f(c′)| = |h(u)||f(c)| < |f(c)|.

2

Argandova nejednakost je poseban slucaj opceg ”teorema o otvorenom preslikavanju”

koji istice kako nekonstantne holomorfne funkcije uvijek preslikavaju otvorene skupove

u otvorene skupove.

6.2.4. Drugaciji dokaz teorema

Ovdje opisujemo drugaciji dokaz fundamentalnog teorema gdje se postojanje k-tih ko-

rijena, za k > 2, pretpostavlja samo za pozitivne realne brojeve, a njihovo postojanje

za proizvoljan kompleksni broj je dokazano kao posljedica. Koristimo indukciju po

stupnju polinoma f , prvi korak indukcije je jasan. Buduci da je polinom f , definiran

u prethodnom dijelu, istog stupnja kao i f i kako istinitost Leme 6.1 za sve polinome h

stupnja < n slijedi iz istinitosti fundamentalnog teorema za sve polinome stupnja < n,

dovoljno je pokazati:

Ako fundamentalni teorem vrijedi za sve polinome stupnja < n, n ≥ 2, tada Lema 6.1

vrijedi za sve polinome h n-tog stupnja.

Neka je h bilo koji polinom n-tog stupnja u iskazu Leme 6.1. Promotrimo tri slucaja:

(1) k < n. Tada prema pretpostavci fundamentalni teorem vrijedi za sve polinome

zk − a, a ∈ C; svi a ∈ C stoga imaju k-ti korijen i Lema 6.1 moze biti dokazana

kao u prethodnom dijelu.

(2) k = n, n paran. Tada je h = 1 + bzn za b 6= 0. Izabiremo kvadratni korijen η

od −1/b i neka je u k/2-ti korijen od η (sto je dozvoljeno jer je k/2 < n); tada

slijedi da je h(u) = 0 < 1.

(3) k = n, n neparan. Ponovno je h = 1 + bzn za b 6= 0. Tada se moze pronaci u ∈ Ckoji zadovoljava |1 + bun| < 1 na sljedeci zanimljiv nacin: za c := −|b|/b ∈ S1

postoji w ∈ {1,−1, i,−1} takav da je |c − w| < 1. Kako je n neparan, skup

{1,−1, i,−i} se preslikava na sama sebe transformacijom x 7→ xn, i stoga postoji

v ∈ C takav da je vn = w. Za u := v/ n√|b| ∈ C imamo |b| · un = w i otuda

bun = −w/c. Kako je |c| = 1, slijedi da je

|1 + bun| = |1− w/c| = |c− w| < 1.

6.3. Primjene fundamentalnog teorema

Postojanje najmanje jedne nultocke za svaki nekonstantni kompleksni polinom po-

drazumjeva da se kompleksni polinomi mogu rastaviti na linearne faktore i da se re-

alni polinomi rastavljaju na linearne i kvadratne faktore. Ove posljedice fundamen-

talnog teorema su posve elementarne i rezultat su jednostavne cinjenice da polinom s

nultockom c uvijek ima faktor z − c.

6.3.1. Lema o rastavljanju na proste faktore

Lema 6.2 Ako je c ∈ C nultocka polinoma f ∈ C[Z] n-tog stupnja, tada postoji

jedinstven polinom g ∈ C[Z] stupnja (n− 1), takav da je f(Z) = (Z − c)g(Z).

Dokaz. Neka je f = a0 + a1Z + · · · + anZn, an 6= 0. Kako je Zν − cν = (Z − c)qν(Z)

za qν(Z) := Zν−1 + Zν−2c+ · · ·+ cν−1 iz toga slijedi da je

f(Z) = f(Z)− f(c) =n∑1

aν(Zν − cν) = (Z − c)g(Z),

gdje je

g(Z) :=n∑1

aνqν(Z).

Jasno je da je polinom g stupnja (n − 1): kako je g(z) = (z − c)−1f(z), z 6= c, g je

jedinstveno odreden s f i c. 2

Lema 6.2 vrijedi u svim komutativnim prstenovima, pod uvjetom da vrijedi jedin-

stvenost od g. Indukcijom po n istovremeno dobivamo:

Korolar 6.1 Polinom f ∈ C[Z] n-tog stupnja ima najvise n nultocaka.

6.3.2. Faktorizacija kompleksnih polinoma

Teorem 6.3 Svaki kompleksni polinom f ∈ C[Z] stupnja n ≥ 1, se moze zapisati na

nacin jedinstven do na poredak faktora u obliku

f(Z) = a(Z − c1)n1(Z − c2)n2 · · · (Z − cr)nr , (7)

gdje je a ∈ C×; r ∈ N, c1, . . . , cr ∈ C medusobno razliciti, i n1, . . . , nr ∈ N\{0} s

n1 + n2 + · · ·+ nr = n.

Dokaz. Koristimo indukciju po n, slucaj kada je n = 1 je trivijalan. Pretpostavimo da

je n > 1. Prema fundamentalnom teoremu algebre postoji c1 ∈ C za koji f iscezava.

Prema Lema 6.2, f(Z) = (Z − c1)g(Z), gdje je g(Z) ∈ C[Z] (n − 1) stupnja. Prema

pretpostavci indukcije postoji jedinstvena faktorizacija

g(Z) = a(Z − c1)n1−1(Z − c2)n2 · · · (Z − cr)nr

za n1 ≥ 1, . . . , nr ≥ 1, n1 − 1 + n2 + · · · + nr = n − 1; c1, . . . , cr ∈ C razliciti jedni od

drugih, i a ∈ C×. Stoga (7) vrijedi. 2

Upravo dokazani teorem cesto se navodi ovako:

Svaki kompleksni polinom n-tog stupnja ima tocno n nultocaka, gdje se svaka od nultocaka

cj racuna onoliko puta kolika je njena kratnost nj.

6.3.3. Faktorizacija realnih polinoma

Svaki realni polinom f =∑aνX

ν je kompleksni polinom koji zadovoljava dodatni

uvjet

f(z) = f(z) za sve z ∈ C

buduci da je aν = aν iz toga slijedi∑aνzν =

∑aν z

ν . Posebno c je nultocka od f [X],

uvijek. Lako zakljucujemo iz toga:

Teorem 6.4 Svaki realni polinom f ∈ R[X] stupnja n ≥ 1 se moze, na nacin jedin-

stven do na poredak faktora, zapisati u obliku:

f(X) = a(X − c1)m1 · · · (X − cs)msq1(X)n1 · · · qt(X)nt , (8)

gdje vrijede sljedeci uvjeti:

(a) a ∈ R, a 6= 0; s, t ∈ N; c1, . . . , cs ∈ R medusobno razlicite; m1, . . . ,ms, n1, . . . , nt ∈N\{0} uz m1 + · · ·+ms + 2n1 + · · ·+ 2nt = n.

(b) qj(X) = X2 − bjX − aj uz b2j + 4aj < 0 za j = 1, . . . , t; q1, . . . , qt medusobno

razlicite.

Dokaz. Promatramo f kao kompleksni polinom i faktoriziramo ga u skladu s Teo-

rem 6.4. S c1, . . . , cs oznacimo realne nultocke. Ostale stvarne kompleksne nultocke se

uzimaju u konjugiranim parovima kako bi se dobio pravi kvadratni polinom

q(x) = (x− c)(x− c) = x2 − (c+ c)x+ cc ∈ R[x].

Pisemo b := c+ c, a := −cc i imamo b2 + 4a < 0, inace bi q(x) = (x− 12b)2− 1

4(b2 + 4a)

imao realne nultocke.

Tvrdnja teorema slijedi odmah iz toga. 2

Kompleksni brojevi se ne pojavljuju u navedenom iskazu prethodnog teorema. U

dokazu ipak igraju bitnu ulogu kao deus ex machina5. Gauss je, slucajno, u svom

doktorskom radu formulirao fundamentalni teorem algebre kao teorem faktorizacije

realnih polinoma.

6.3.4. Jedinstvenost skupa C

Izbor polja C kompleksnih brojeva niti je proizvoljan niti slucajan. Vec smo u Poglavlju

3.3. postali svjesni jednog i jedinstvenog rezultata za C. Sada cemo to, uz pomoc

fundamentalnog teorema algebre, utvrditi jos opcenitije. Elemente a i b iz prstena K

nazivamo djeliteljima nule ukoliko je a · b = 0 u K , te a 6= 0 i b 6= 0. Vise o tome se

moze naci u [2].

Teorem 6.5 (Teorem jedinstvenosti za skup C) Neka je K komutativno prosirenje

polja R bez djelitelja nule i s jedinicnim elementom, tako da je svaki element iz K alge-

barski nad R, to jest, nultocka realnog polinoma razlicitog od nule. Tada je K izomorfno

R ili C.

Za dokaz ovog teorema koristimo sljedecu jednostavnu tvrdnju, zasnovanu na funda-

mentalnom teoremu.

Lema 6.3 Prema pretpostavci teorema jedinstvenosti svaki element v ∈ K\R zadovol-

java jednadzbu v2 = a+ bv gdje su a, b ∈ R.

Dokaz. Prema pretpostavci postoji polinom f razlicit od nule takav da je f(v) = 0.

Kako K nema djelitelja nultocaka, postoji i polinom p prvog ili drugog stupnja koji

iscezava za argument v. Kako p ne moze biti linearan zbog v /∈ R, p(X) mora biti

oblika p(X) = X2 − b− a, to jest, v2 = a+ bv.

Tek sada dolazimo do stvarnog dokaza teorema jedinstvenosti. Pretpostavimo da K 6=R. Izaberimo element v ∈ K\R i promotrimo 2-dimenzionalni realni vektorski prostor

5Bog iz stroja

V = R + Rv. Kako v, prema Lema 6.3, zadovoljava jednadzbu v2 = a + bv gdje su

a, b ∈ R, slijedi da za bilo koje proizvoljne elemente x1 + y1v, x2 + y2v ∈ V vrijedi:

(x1 + y1v)(x2 + y2v) = (x1x2 + y1y2a) + (x1y2 + y1x2 + y1y2b)v ∈ V .

Stoga je prsten V komutativno, 2-dimenzionalno prosirenje od R bez djelitelja nule i

s jedinicnim elementom, te je stoga, prema sljedecem navedenom teoremu izomorfan s

C.

Teorem 6.6 Svaki prsten K koji je 2-dimenzionalno prosirenje od R, bez djelitelja

nule i s jedinicnim elementom, je izomorfan polju C.

Ostaje jos pokazati da je K = V . Neka je u bilo koji element iz K\R. Postoji realni

polinom f 6= 0 za f(u) = 0. Nad C ' V ⊂ K , f se cijepa na linearne faktore

oblika X − c, c ∈ V . Kako K nema djelitelja nule, jedan od tih linearnih faktora mora

iscezavati u u, to jest, u = c ∈ V . Stoga mozemo potvrditi da je K = V ' C. 2

Pretpostavka Teorema jedinstvenosti za skup C, da je svaki element w ∈ K algebarski

nad R, je uvijek zadovoljena kada je K konacno dimenzionalan vektorski prostor nad

R, jer su tada elementi 1, w, w2, . . . , wn, . . . linearno zavisni, to jest, postoji jednadzba

a0 + a1w + · · ·+ anwn = 0, u kojoj koeficijenti av svi ne iscezavaju.

Literatura

[1] H. D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J.

Neukirch, A. Prestel, R. Remmert, Numbers, Springer Verlag, New York, 1991.

[2] T. W. Hungerford, Algebra, Springer Verlag, 1974.

[3] H. Kraljevic, Algebra, skripta, Odjel za matematiku, Sveuciliste u Osijeku, 2003.

[4] S. Ungar, Matematicka Analiza 3, PMF, Matematicki odjel, Zagreb, 1994.

[5] S. Ungar, Matematicka Analiza 4, PMF, Matematicki odjel, Zagreb, 1994.

Sazetak

Mogobrojni su razlozi zbog kojih su uvedeni kompleksni brojevi. Matematicari su

imali velikih problema s rjesavanjem kubnih jednadzbi, cak vise od 3000 godina, pa to

mozemo navesti kao glavni razlog uvedenja kompleksnih brojeva. Imaginarna jedinica

prvi puta se pojavljuje 1539., a tu godinu navodimo kao pocetak razvoja i nastajanja

kompleksnih brojeva. Godinu 1835. navodimo kao zavrsetak istrazivanja kompleksnih

brojeva, jer se tada po prvi put pojavljuje definicija kompleksnih brojeva kao uredenih

parova realnih brojeva. Vrlo cesto se za stvari za koje smatramo da nisu bitne, jer o

njima ne znamo puno, pokazu od velike vaznosti. Upravo kompleksni brojevi su jedna

od takvih stvari, kao dokaz tome mozemo navesti da su matematicari onoga doba

uvidjeli rjesenja nekih problema tek nakon njihova razvoja, a kompleksni brojevi i u

danasnje vrijeme i dalje doprinose laksem rjesavanju nekih trigonometrijskih problema

i zadataka.

Kljucne rijeci: kompleksni brojevi, fundamentalni teorem algebre, razvoj komplek-

snih brojeva, algebarska svojstva skupa kompleksnih brojeva, geometrijska svojstva

skupa kompleksnih brojeva

Summary

There are numerous reasons for introducing complex numbers. Mathematicians have

been dealing with many obstacles in solving cubic equations, for over 3000 years, which

may be listed as the main cause of introducing complex numbers. Imaginary unit first

occurs in 1539, the year of the beginning of the development of complex numbers,

since this was the time when the definition of complex numbers as ordered pairs of real

numbers first appeared. It is often the case that matters which are initially considered

as irrelevant, due to lack of our awareness, later be proven as being of great importance.

Complex numbers are one of those matters. And in support of this claim we may

state the fact that the mathematicians of that time did not see the solution to the

problem until their development. Complex numbers nowadays still contribute to an

easier solving of some trigonometric problems and tasks.

Key words: complex numbers, the fundamental theorem of algebra, genesis of the

complex numbers, algebraic properties of the field C, geometric properties of the field

C

Zivotopis

Maja Bandalo rodena je 02. srpnja 1986. godine u Osijeku, Hrvatska. Osnovnu

skolu Osnovna skola Ivana Filipovica zavrsava 2001. godine. Iste godine upisuje

Matematicko-prirodoslovnu gimnaziju u Osijeku. Srednju skolu zavrsava 2005. go-

dine. Pri zavrsetku srednje skole upisuje Sveucilisni diplomski nastavnicki studij na

Sveucilistu J. J. Strossmayera, Odjel za matematiku, Osijek, smjer matematika i in-

formatika. U meduvremenu aktivno se bavi sportom, rukometom, kojega igra jos od

osnovne skole pa do danas. Nastupa i za kadetsku i juniorsku reprezentaciju Hrvatske

na velikim natjecanjima kao sto su Europsko i Svjetsko prvenstvo u rukometu za mlade

dobne kategorije.