1

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola member dorongan untuk mempelajari bagaimana dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi. Transformasi geometri adalah suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan suatu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y). secara aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks

T (xy)=(1 0

0 −1)( xy )=( x

− y )Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfigurasi

geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi geometri meliputi translasi(pergeseran), rotasi(perputaran), refleksi(pencerminan) dan dilatasi(pembesaran). Namun, pada makalah ini penulis mengkhususkan pada translasi (pergeseran). Dimana Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.

1.2 Rumusan Masalah Bagaimana definisi dari suatu translasi? Bagaimana peta translasi dalam bidang XY? Bagaimana contoh masalah translasi dan penyelesaiannya? Bagaimana penerapan translasi dalam kehidupan sehari-hari?

1.3 Manfaat Penelitian Penulis mengharapkan makalah ini dapat memberi manfaat dalam mendalami masalah translasi baik definisi, penerapan maupun contoh masalah selain itu makalah ini ditujukan untuk memenuhi tugas geometri transformasi.

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. Transformasi

Definisi :

Suatu transformasi bidang adalah fungsi satu-satu dari bidang onto bidang.

Contoh :

Pilihlah pada bidang euclides V suatu sistem Ortogonal. T adalah padanan yang mengaitkan setiap titikP dengan P' yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi !!

Jawab : Y

P P'

0 X

Kalau P = (x,y) maka T (P) = P' dan P' = (x = 1,y)

Jelas aerah asal T adalah seluruh bidang V.

Kita harus menyelidiki lagi dua hal, yaitu :

1). Apakah T surjektif ?

2). Apakah T injektif ?

Jika A (x,y), pertanyaannya yang harus dijawab ialah apakah A memiliki prepeta oleh T ?

Andaikan B = (x', y')

1). Kalau B ini prapeta titik A (x,y) maka haruslah berlaku T (B) = (x' + 1, y')

Jadi x' + 1 = x, y' = y

3

x' = x - 1

Atau

y' = y

jelas T (x-1, y) = ((x-1) + 1, y) = (x,y)

oleh karena x', y' selalu ada, untuk segala nilai x, y maka B selalu ada sehingga

T(B) = A

Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiiki prapeta yang berarti bahwa T surjektif.

2). Andaikan P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q

Apakah T (P) ≠ T (Q)?

Di sini T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = (x2 + 1, y2)

Kalau T (P) = T (Q), maka (x1 + 1, y1) = (x2 + 1, y2)

Jadi x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2 , ini berarti x1 = x2 dan y1 = y2. Jadi P = Q.

Ini berlawanan dengan yang diketahui bahwa P ≠ Q. Jadi haruslah T (P) ≠ T (Q).

Dengan demikian, ternyata bahwa T injektif dan T adalah padanan yang bijektif. Jai T suatu transformasi dari V ke V.

B. TRANSLASI

a. Definisi translasi

Sebelum kita mendefinisikan translasi kita harus tahu definisi transformasi lebih dulu. Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukkan bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan dan ukurananya berdasarkan rumus tertentu. Translasi itu sendiri merupakan suatu transformasi yang memindahkan setap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu.

4

2.1. Translasi Dalam Bidang (x,y)

1. Translasi Titik

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

(−22 )

Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis

sebagai (−2

1 ) Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius.

Dengan translasi (−2

2 ), diketahui tempat duduknya minggu ini pada titik N ’(a-

2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

N (a , b )⃗(−2

2 )N ' ( a−2 , b+2 )

5

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T 1=(ab )

maka

diperoleh bayangannya P' ( x+a , y+b ) . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

P ( x , y ) T⃗ 1(ab ) P' ( x+a , y+b )

Contoh

bayangan titik P (3,5) ditranslasikan (−2

3 ) adalah…..

jawab:

P (3,5 ) T⃗ 1(−23 ) P' (3+(−2 ), 5+5 )

= P’(1,8) Jadi bayangan titik P (3,5) adalah P’(1,8)

2. Translasi Ruas Garis

Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan konsep translasi titik di atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan translasi ruas garis. Cara pertama yaitu dengan memandang garis tersebut dipandang sebagai himpunan titik. Sedang cara kedua adalah dengan menggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b > 0 dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke atas.Contoh : Tentukan peta dari garis y = 2x + 1 yang digeser menurut vektor (2,1)Jawab:Cara pertamaGaris y = 2x + 1 dapat dipandang sebagai himpunan titik (x, 2x + 1), x ∈ R. Jika titik ini digeserkan menurut vektor (2,1) maka diperoleh

T ( x2 x+1)=( x+2

(2 x+1 )+1)( x+22 x+2)=( t

f (t))Untuk menentukan peta garis ini, misalkan t = x + 2 , maka x = t -2, Sehingga 2 x+2=2 ( t−2 )+2=2 t−2 ganti kembali t dengan x, maka peta garis y = 2x + 1 yang ditranslasikan menurut vektor (2,1) adalah garis y = 2x + 2Cara keduaGunakan sifat bahwa grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b > 0 diperoleh dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke atas. Jika grafik y = 2x + 1 digeserkan sejauh 2 satuan kekanan dan 1 satuan ke atas, maka hasilnya adalah grafik : y= (2 ( x−2 )+1 )+1=2 x−4+2=2 x−2

6

3. Translasi Bidang Datar

Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.Contoh : Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan

koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T =

(1 ¿)¿¿

¿¿

jawab :

titik O (0,0) ⃗

Talignl( 1¿ )¿¿ ¿¿¿¿ O’(0+1, 0+3) = O’(1,3)

titik A (3,0) ⃗

Talignl( 1¿ )¿¿ ¿¿¿¿ A’(3+1, 0+3) = A’(4,3)

titik B (3,5) ⃗

Talignl( 1¿ )¿¿ ¿¿¿¿ B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)

2.2. Contoh masalah dalam translasi dan penyelesaiannya

4. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan T=(−5

2 )!

Jawab Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4

Translasikan titik P dengan T = (−52 ) sehingga diperoleh P(a,b)(−5

2 )→

P (a-5,b+2

Jadi titik P'(a-5, b+2) Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

7

Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

Jadi bayangan dari (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan denganT=(−5

2 )adalah

(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

8

5. Translasi T 1=( p

q )memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a. Tentukan translasi tersebut !b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), danC(5,

6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan

T 2=(−1−1)

Tentukan bayangannya!d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2◦T1. Samakah jawabannya dengan

jawaban c?Jawaban

a. A (1,2 ) T⃗ 1( p

q ) A ' (1+ p , 2+q )=A1 ( 4,6 )

Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 32+q = 6 sehingga q = 4

Jadi translasi tersebut adalah T 1=(34)

b. translasi T 1=(34)

artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titik-titik A', B', dan C’ dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

A (1,2 ) T⃗ 1(34 ) A ' (1+3,2+4 )=A ' (4,6 )

B (3,4 ) T⃗1(34 ) B' (3+3,4+4 )=B ' (6,8 )

C (−5,6 ) T⃗1(34 )C ' (−5+3,6+4 )=C ' (−2 ,10 )

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)

9

c.A ' (4,6 ) T⃗2(−1

−1) A '' (4+(−1 ) ,6+(−1 ) )=A '' (3,5 )

A ' (6,8 ) T⃗2(−1−1 ) A '' (6+(−1 ) , 8+(−1 ))=B '' (5,7 )

A ' (4,6 ) T⃗2(−1−1 ) A '' ( (−2 )+ (−1 ) ,10+(−1 ))=A '' (−3,9 )

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

2.3 Contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari

Salah satu contoh translasi yang bisa kita lihat adalah pergeseran kursi pada mobil.

Translasi Bidang Datar Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.

10

Pengandaian translasi tersebut bisa diterapkan pada kursi mobil. Pada posisi awal kursi penumpang bagian tengah sesuai pada posisinya dengan pengandaian kursi tersebut berbentuk segitiga ABC. Setelah itu kursi tersebut mengalami perpindahan menjauh dari kursi depan dan mendekat ke kursi belakang.

11

Translasi T 1=( p

q )memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a. Tentukan translasi tersebut !b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut Misalkan titik awal kursi tengah

(segitiga ABC) adalah titik A(1,0), B(2,0) dan C(4,2). tentukan translasi tersebut.

a.Diperoleh 1+p = 2.69 sehingga p = 0

0+q = 0 sehingga q = 0

Jadi translasi tersebut adalah

b. Translasi artinya artinya memindahkan suatu titik 1.69 satuan ke kanan dan 0 satuan ke kanan. Dengan mentranslasikan titik-titik A', B', dan C’ dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(2.69,0), B''(4.69,0) dan C''(5.69,2)

12

BAB III

PENUTUP3.1 KESIMPULAN

1. Translasi merupakan suatu transformasi yang memindahkan setap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu.

2. Salah satu contoh translasi yang bisa kita lihat adalah pergeseran atau perpindahan orang pada eskalatot dan lift. Selain itu, penggunaan konsep translasi sering digunakan programmer game dalam membuat games.

3. Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T 1=(ab )

maka

diperoleh bayangannya P' ( x+a , y+b ) . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

P ( x , y ) T⃗ 1(ab ) P' ( x+a , y+b )

4. Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.

13

DAFTAR PUSTAKA

kbs.jogjakota.go.id/upload/transformasi-geometri.docblog.sunan-ampel.ac.id/.../BAHAN-GEOMETRI-TRANSFORMASI.d...picture google.co.id/picture