makalah Invers Fungsi matematika sekolah

8/19/2019 makalah Invers Fungsi matematika sekolah

1/17

RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika

Sekolah” Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono,M.P.

Universitas NegeriSurabaya

!leh

Siti Rohmawati (14778500!

K"#a$ %014D

PROGRAM STUDI S% PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PAS&ASAR'ANA

UNIVERSITAS NEGERI SURAA)A

%014


2/17


3/17

0Fungsi Komposisi dan Fungsi

(A( *I

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

ab ini meru2akan 2enggembangan gagasan =ungsi >ang tera2at 2aa ab

3. Dalam bab ini i2erkenalkan tentang ma;am =ungsi aljabar engan

menunjukkan bagaimana menemukan =ungsi kom2osit. Setelah mem2elajari

bab ini, ihara2kan:

0. Da2at menggunakan bahasa an notasi >ang benar terkait engan =ungsi.

1. Tahu ka2an =ungsi9=ungsi a2at ikombinasikan engan o2erasi kom2osisi

an a2at membentuk =ungsi kom2osit.

3. Menghargai bahwa urutan a2at iangga2 sebagai =ungsi >ang omainn>a

aalah bilangan asli, atau him2unan bagian berturut9turut ari

bilangan asli.

5. Tahu konisi ?satu9satu@ untuk =ungsi >ang memiliki inar A@out2ut@B.

Paa langkah keua terkaang menggunakan satu kun;i, atau2un lebih.

a. Menggunakan satu kun;i

Se2erti @akar kuarat@, @tana 2erubahan@ atau @sinus@

Contoh:


4/17

+n2ut !ut2ut

5 ൣ√ ൧ 1

3 FGHI 93

1 I J.4Dalam bab ini sin, ;os an tan mengarah 2aa =ungsi9=ungsi >ang

io2erasikan oleh kalkulator alam moe erajat.

&ika ana memasukkan bilangan x, maka out2ut >ang i2eroleh aalah

sin x˚, cos x˚ atau tan x˚ .

b. Menggunakan lebih ari satu kun;i

Se2erti @kurangi 3@,

6 [−, 3, =] 5

Paa 2rinsi2n>a hal >ang ter2enting aalah bahwa urutan tombol alam tana

kurung siku mewakili =ungsi. 'rutan ini sama a2a2un bilangan >ang

ana masukkan sebagai in2ut 2aa langkah 0.

'ntuk in2ut umum bilangan , #na a2at menulis

x [+ ⁄ ±] 9 x

x [−, 3, =] x L 3

Dan seterusn>a. Dan untuk =ungsi umum,

x [ ] (

)

Dimana = singkatan urutan tombol=ungsi.

'ngka2an9ungka2an se2erti @=ungsi x2@, @=ungsi ;os x

o@, atau @=ungsi f(x)@

benar9 benar salah x2, cos x

oan f(x) aalah simbol untuk out2ut ketika

iberikan in2ut , bukan untuk =ungsi itu seniri. &ika >ang imaksukan

aalah men>ebutkan

=ungsi, maka bahasa >ang te2at aalah @=ungsi 2angkat@, @=ungsi ;os ' atau '=ungsi f @.

Sa>angn>a han>a bebera2a =ungsi memiliki nama >ang muah se2erti

@2angkat@ atau @;os@. Tiak aa nama seerhana untuk =ungsi out2ut >ang

iberikan oleh


5/17

eks2resi se2erti ଶ − 6 +

4.

: ⟼N

− 6 +

4

Diba;a sebagai @ f aalah =ungsi >ang mengubah in2ut bilangan x alam omain ke

bilangan out2ut x2-6x+4@


6/17

;ontoh 00.0.0

&ika : B N N N4AN O , bera2akah A3BSimbol f A3B singkatan out2ut ketika in2ut 3. )ungsi f mengubah in2ut 3 keout2ut

3A493B Q 8. &ai f A3B Q 8.

Penggunaan 2anah untuk menunjukkan hubungan antara in2ut an out2ut a2at

ihubungkan engan gra=ik sebuah =ungsi. ambar. 00.0 menunjukkan gra=ik y

= x (5- x), engan bilangan in2ut 3 2aa sumbu . Panah, >ang naik ari titik

in2ut an membelok melalui suut kanan ketika memotong gra=ik,

menghasilkan bilangan out2ut 8 2aa sumbu >.

11+% M"m/"-t,0 ,-.$i om2o$it

&ika #na ingin menghitung nilai9nilai √ −3 , #na mungkinakan menggunakan tombol urutan 9, 3, Q, RI engan tiak bersamaan. Teta2i jika#na

2erhatikan engan teliti, #na akan melihat bahwa tiga angka mun;ul 2aa

la>ar selama 2roses tersebut.

Misaln>a, jika #na menggunakan in2ut 6, la>ar akan menam2ilkan

2aa bilangan masukan #na 6, maka Asetelah memasukkan 9, 3, QIB 5, an

akhirn>aAsetelah memasukkan ൣ

R൧B out2ut 1.

#na mengerjakan ua =ungsi, @kurangi 3@ lalu @akar kuarat@, berturut9turut.#na

bisa mewakili seluruh 2erhitungan engan:


7/17

6 O, 3, QI 5 NN N 1

!ut2ut ari =ungsi 2ertama menjai masukan keua.

Contoh 00.1.0

Cari out2ut ketika =ungsi @2angkat@ an @sin@ bertinak 2aa rentetan in2ut ari AaB3J, AbB

AaB 30 → [ ] → 900→][→0

AbB N N N] N I sinAN N BKarena alam AbB in2ut ke =ungsi sin aalah

1, bukan , maka out2utn>a aalah

sin(

N), bukan sin

.

'ntuk sebarang in2ut, an ua =ungsi sebarang = an g, 2roses akan itulis:

→][→)( → [ ] → ൫( )൯

)ungsi ketiga isebut @=ungsi kom2osit@.

Karena out2ut ari =ungsi kom2osit aalah gA= ABB, =ungsi kom2osit itu

seniri ilambangkan engan g=.

g= iba;a sebagai @= 2ertama, maka g@. Menulis =g berarti @g 2ertama, maka =@,

>ang ham2ir selalu berbea =ungsi ari g=.

Misaln>a, jika #na mengubah urutan =ungsi alam Contoh 00.1.0 AaB,

bukan out2ut J >ang #na a2atkan, melainkan:

3J sinI J,4 pangkat I J,14

Contoh 00.1.1

Misalkan : ↦ +3 an : ↦ ଶ. Cari gf an fg . Tunjukkan bahwa han>aaa satu bilangan sehingga gf A xB Q fg A xB.

Kom2osit =ungsi gf iwakili oleh

→][⟶ +3⟶][⟶)+

3( ଶ

Dan fg iwakili oleh

→][⟶ ଶ ⟶ [] ⟶ ଶ + 3.

&ika gf AB Q fg AB, makaA

+3BN

=N

+ 3,

sehingga N N F 8 F NN Q N F 3, menghasilkan Q 90


8/17

.

#na a2at memeriksa ini engan kalkulator #na.

0. &ika #na memasukkan 90 an kemuian @menambah 3@ F, 3, QI iikuti

engan @2angkat@, la>ar akan menam2ilkan 2aa gilirann>a 90, 1, 5.1. &ika #na mengo2erasikan @2angkat@ iikuti engan @menambahkan 3@,

ia akan menam2ilkan 90, 0, 5.

Ketika in2ut aalah 90, out2utn>a aalah sama meski2un tam2ilan9

tam2ilan tengahn>a berbea.

Contoh 00.1.3

&ika : ⟼ cos an: : ⟼ଵ, hitung AaB gf A8JB, AbB

gf AJB. Dengan in2ut 8J, kalkulator akan menunjukkan urutann>a 8J, J.4, 1, jai gf A8JB Q

1.

Dengan in2ut J, kalkulator akan menam2ilkan J, J an kemuian iberi 2esan

kesalahan "al ini karena cos 90

= 0 an 0UJ tiak

ie=inisikan.

#2a >ang terjai alam Contoh 00.1.3 AbB aalah bahwa angka J aaalam

kisaran =ungsi f , teta2i tiak alam omain g .

11+ Domai- 3a- Ra-."

Ketika #na melihat huru= an > alam matematika, misaln>a alam sebuah

2ersamaan se2erti y = 2x - 10, umumn>a i2ahami bahwa huru= an >

melambangkan bilangan real. Ta2i kaang9kaang 2enting untuk benar9

benar

teliti tentang hal ini. Simbol ! igunakan untuk men>ingkat @him2unan

bilangan

real@, an simbol untuk @anggota@. Dengan simbol9simbol ini, #na a2at∈mem2ersingkat 2ern>ataan @ aalah bilangan real@, atau @ anggotahim2unan

bilangan real@, ke N ∈ ℝ. &ai, a2at itulis

: N N1O N0JN , ∈ ℝuntuk menunjukkan bahwa f aalah =ungsi >ang omainn>a aalahhim2unan

bilangan real >ang mengubah setia2 masukan x ke out2ut 2x-

10.

௫


9/17

Te2atn>a, =ungsi tiak se2enuhn>a itentukan ke;uali #na men>atakan omain

serta aturan untuk mem2eroleh out2ut ari in2ut. 'ntuk =ungsi i atas range9n>a

juga *, meski2un tiak 2erlu i>atakan engan menggambarkan =ungsi.

Kita tahu ari bab 3 bahwa untuk bebera2a =ungsi omainn>a han>a bagianari

*, karena eks2resi =AB han>a bermakna untuk bebera2a " !.

"im2unan

bilangan real >ang =AB n>a memiliki arti akan isebut @omain asli@=.

Dengan kalkulator, jika #na memasukkan bilangan >ang tiak alam

omain asli, maka out2ut akan menunjjukkan tam2ilan @error@.

'ntuk =ungsi akar kuarat, misaln>a, omain aslin>a aalah him2unan

bilangan real 2ositi= an nol, sehingga #na menulis

#kar 2angkat : NR N N, i mana * an VJ.∈

Jika Anda di!"i f#ngsi yang di$!%askan o%!& "#'#s t!tapi tidak adado'ain

dinyatakan, Anda &a"#s '!ngas#'sikan a&a do'ain yang di'aks#d

ada%a& do'ain as%i)

Contoh 00.3.0

Cari range masing9masing =ungsi

AaB sin, engan omain asli !, AbB sin, engan omain " ! an J W WJ.Dari gra=ik # = sin , itunjukkan 2aa gambar. 00.1, #na a2at memba;a arirentang:


10/17

AaB 'ntuk " !, rangen>a aalah # " ! , −$ % #

&$ .


11/17

AbB 'ntuk N ∈ ℝ, J W X NJ , kisaran aalah N ∈ ℝ , J W X N0

Contoh 00.3.0 telah menggunakan huru= alam menggambarkan omain, an >

untuk range.

#turan umumn>a aalah:'ntuk membentuk =ungsi kom2osit g=, omain D ari = harus i2ilih

sehingga seluruh range = termasuk alam omain ari g. =ungsi g=

kemuian

ie=inisikan sebagai g=: g A= ABB, D.⟼ ∈11+4 U,ta- $"/a.ai ,-.$i

Tiak semua =ungsi memiliki omain him2unan bilangan real atau intera. "im2unan ini ilambangkan engan simbol %.

ebera2a game Ase2erti ;atur an S;rabbleB >ang imainkan i 2a2an

ikesam2ingkan alam kotak. &ika 2a2an memiliki kotak r masing9masing ;ara,

maka jumlah kotak aalah r 1. &ai ini mene=inisikan =ungsi

: ݎ ↦ N , i mana ݎ ∈ ℕ.+ni aalah =ungsi >ang berbea ari

: N N↦ N , i mana ݎ ∈

ℝ,

Karena jumlah kotak masing9masing ;ara harus bilangan bulat.

#na a2at membuat a=tar nilai9nilai >ang berurutan ari = ArB:

= A0B Q 0, = A1B Q 5, = A3B Q , = A5B Q 08, = A4B Q 14, ...

Perhatikan bahwa angka9angka ini aalah te2at berurutan AaB alam bagian 7.0. ini

menunjukkan bahwa urutan a2at iangga2 sebagai =ungsi >ang omainn>a

aalah %.

ebera2a urutan han>a memiliki jumlah terbatas istilah. #ngga2lah,

misaln>a, bahwa #na memiliki 8 koin ientik, an =ArB menunjukkan

sejumlah ;ara membagi koin ke alam r tum2ukan. &ai = A1B Q 3, karena #na


12/17

a2at memiliki tum2ukan koin 0 an 4 koin, 1 koin an 5 koin, atau 3 koin an 3

koin. Da2at ibuktikan bahwa = A0B Q 0, = A1B Q 3, = A3B Q 3, = A5B Q 1, = A4B Q 0,

an = A8B Q 0


13/17

ta2i = ArB tiak aa artin>a untuk r X 8. !leh karena itu omain =ungsi aalah

him2unan 0, 1, 3, 5, 4, 8Z, >ang meru2akan bagian ari angka berturut9turut

i %.

Sebuah urutan a2at ie=inisikan sebagai =ungsi >ang omain i % atau bagian

berturut9turut %. 'ntuk notasi urutan ur biasan>a igunakan lebih sering

ari2aa = ArB, ta2i itu han>a untuk ken>amanan.

Perbeaan >ang 2enting antara % an * aalah bahwa, untuk setia2 bilangan

asli r, aa @nomor berikutn>a@. +nilah >ang memungkinkan untuk

menggunakan e=inisi inukti= untuk menggambarkan urutan. Tiak aa ;ara

>ang sebaning

mene=inisikan =ungsi = AB, i mana "*, karena tiak aa hal se2erti

@bilangan

real berikutn>a[.

11+5+ M"m/a#i00a- ,-.$i

&ika kakak #na aalah 1 tahun lebih tua ari #na, maka #na 1 tahun

lebih mua ari ia. 'ntuk mena2atkan usian>a ari #na >ang #na gunakan=ungsi

@tambahkan 1@ untuk mena2atkan usia #na ari milikn>a #na ?mengurangi 1 @.

)ungsi @tambahkan 1@ an @mengurangi 1@ ikatakan =ungsi ina, @kurangi 1@ aalah =ungsi kebalikan ari @tambahkan 1@ Aan sebalikn>aB.

Kebalikan ari =ungsi = inotasikan engan simbol = 0. &ika = menjaikan bilangan

in2ut menjai bilangan out2ut >, maka = 0

menjaikan > ke .

Contoh 00.4.0

Cari nilai9nilai ;os0 > ketika AaB > Q J.4, AbB > Q 90 A;B > Q0,4.

Menggunakan [ ##ൣି ଵ ] kun;i engan in2ut J.4, 90, 0.4 2aa gilirann>amemberikan out2ut 8J, 07J, an 2esan kesalahan

&ai, alam mous erajat, AaB ;os0J,4 Q 8J, AbB ;os0 A9 0B Q 07J, teta2i A;B;os

00,4 tiak aa artin>a.


14/17

11+ F,-.$i Sat,-

$at,

Masalah mun;ul setia2 kali #na men;oba untuk men;ari sebuah =ungsi>ang memiliki out2ut >ang sama untuk lebih ari satu in2ut. Dalam matematika,

ambiguitas tiak a2at iterima. Satu9satun>a =ungsi >ang memiliki =ungsi inang setia2 out2ut alam range berasal ari han>a satu in2ut.

)ungsin>a ini ikatakan ?satu9satu@.

Sebuah =ungsi = ie=inisikan untuk bebera2a omain D aalah satu9satu jika,

untuk setia2 bilangan > i range * ari = han>a aa satu bilangan "D sehingga

>

Q = AB. =ungsi engan omain * ie=inisikan olehN ି ଵ: ,, i mana > Q = ABݕ ↦

aalah =ungsi inang itarik untuk

memastikan bahwa =ungsi = aalah satu9satu.

)ungsi = 90= an == 90 isebut =ungsi ientitas karena in2ut an out2ut mereka aalah

ientik. Ta2i aa 2erbeaan halus antara keua =ungsi kom2osit, karena omain

mereka mungkin tiak sama >ang 2ertama memiliki omain D an >ang keua

memiliki omain *.

11+7 M"-6ai ,-.$i i-"$

'ntuk =ungsi >ang sangat seerhana muah untuk menuliskan bentuk =ungsi

ina. Kebalikan ari @tambahkan 1@ aalah @mengurangi 1@, sehingga


15/17

N: F ↦ 1, ∈ ℝ memiliki ina bisa juga itulis sebagaiN

ି ଵ : O ,1ݕ ↦ ∈ ℝ.#na kaang9kaang a2at meme;ah =ungsi >ang lebih rumit menjai sebuah

mata rantai langkah seerhana.

Contoh 00.6.0

Cari ina aalah *.

Metoe 0 #na a2at meme;ah =ungsi sebagai

ganaI tambahkan 4I 1 F 4.

'ntuk menemukan = 90, ke belakang melalui rantai Aba;a ari kanan ke kiriB:

ଶ A O4 B \

NNNNN

NNℎI \ N

NNNNNݑݑݑݑ4 I \

&aiN

ି ଵ Q ↦ ଵ A O4 B, ∈ ℝ.Metoe 1 &ika > Q 1 F 4,

−= >ang memberikan =ଵ (

−). &ai =ungsi in


16/17

"al ini menunjukkan bahwa, ke;uali > Q 0, han>a aa satu nilai untuksetia2 nilai >. &ai = harus menjai salah satu9satu, sehingga =ungsi in Q = AB an > Q ൣଵି

AB aalah

;erminanari satu sama lain alam garis > Q .

:


17/17

DAFTAR PUSTAKA

%eill, "ugh an Douglas ^ualing. 1JJ1. Ad*anc! +!*!% at&!'atics .#"!

at&!'atics 1. Cambrige: Cambrige 'ni Press.

Documents

makalah Invers Fungsi matematika sekolah