1 1.Barisan Tak Hingga Contoh 1 : a)Padabarisan2,4 ,6 ,8 ,10 , terdapathubunganbahwasukuke-sama dengan2untuk = 1,2 ,3 , .Dengandemikianfungsiyangsesuai dengan barisan tersebut adalah = 2. b)Fungsi =dengan = 1,2,3, bersesuaiandenganbarisan 1,,,, Setiapbarisantakhinggaterdiriatassukupertama,sukukedua,suku ketiga, dan seterusnya. Secara umum suku-suku barisan berturut-turut dapat diberi simbol 1,2, 3, 4, 5, . Dengan demikian dapat dikatakan bahwa= . Misalkandalamcontohdiatasberlakubahwa1= 1 = 1,2=2 =12,3= 3 =13,danseterusnyasehingga= =1.Mengenai notasi,barisan1, 2, 3, 4, dapatdinyatakandengannotasi=1atau cukup ditulis .Dalam setiap barisan dapat ditentukan rumus untuk suku ke-. Misalnya : a)Jika =maka1 =13, 2 =25,3 =37,4 =49,5 =511, Dan beberapa pasangan terurut dalam barisan adalah1,13, 2,25, 3,37, 4,49, 5,511, DefinisiBarisanadalahsusunanbilanganyangterurutsesuaidenganurutan bilangan asli.,... , ,4 3 2 , 1a a a aBarisantakhinggaadalahsebuahfungsiyangdaerahasalnyaadalah himpunan bilangan asli.2 Sketsa dari grafik barisan diatas seperti gambar berikut. Perhatikanbahwaelemen-elemenberurutandaribarisantersebutsemakin mendekati 21,walaupundemikiantidakadaelemenbarisanyangnilainya21. Dengan mengambil nomer elemen yang cukup besar, elemen tersebut sedekat yangdikehendakike 21.Denganperkataanlain,barisan ( ))`+1 2nndapat dibuatlebihkecildaribilanganpositif yangsebarangdenganmengambil ncukup besar. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa nilai limit barisan ( ))`+1 2nn adalah21 Kekonvergenan Perlu diingat bahwa jika = nna limatau maka dikatakan nilai limit itu tidak ada, akibatnya barisan{ }nadikatakan divergen. Definisi Barisan{ }na dinamakankonvergenmenujuL atauberlimitL danditulis sebagai L ann= limapabilauntuksetiapbilanganpositif ,adabilanganpositifN sehingga untuk < L a N nn SuatubarisanyangtidakkonvergenkesuatubilanganL yangterhingga dinamakan divergen. 3 Contoh 2 : Buktikan bahwa barisan )`+1 2nnmempunyai nilai limit 21. Penyelesaian : Akanditunjukkanbahwauntuksetiap0 > terdapatsuatubilanganNsedemikian sehinggaN n berlaku < L an 211 2lim = ||

\|+ nnn Untuk setiap0 > terdapat setiap suatu bilanganNsedemikian sehinggaN n maka < + 211 2nn. Selanjutnya( )( ) 1 2 21 2 2211 2 ++ = + nn nnn ( ) 1 2 21+=n ( ) 2 411 2 21+=+=n n. Menggunakan bukti mundur Untuk setiapN n diperolehN n 4 4 2 4 2 4 + + N nN N n 412 412 41 Nakan membawakan .41412 412 41211 2=||

\| ,terdapatbilanganasliNsedemikian hingga jikaN n Maka < L an. Akandibuktikank kn= lim .Berdasarkandefinisikekonvergenanmaka diperoleh < = = 0 k k L an. (terbukti). 2.Jika0 = khasilnya jelas, sehingga dapat diandaikan0 k .Diberikan0 > danmenuruthipotesis nna lim ada,sebutnilainyaL .Ambil0 >k,terdapat bilangan asliNsedemikian hinggaN n diperolehkL an< Teorema 1.1 Andaikan dan barisan-barisan yang konvergen dan sebuah konstanta. Maka : 1)k kn= lim ; 2) nnnna k ka = lim lim ; 3)( )nnnnn nnb a b a = lim lim lim ; 4)( )nnnnn nnb a b a = lim . lim . lim ; 5) nnnnnnnbaba =limlimlimasalkan0 nb . 5 Sehingga= < = kk L a k kL kan n. (terbukti). 3.BerikutakandibuktikanuntukTeorema1.1(3).Diketahui dan { } B bn .Ambil sebarang > 0, a)karena makaterdapatbilanganasli1sedemikiansehingga untuk setiap 1N n berlaku 2< A an. b)Karena{ } B bn makaterdapatbilanganasli 2N sedemikiansehingga untuk setiap 2N n berlaku 2< B bn Pilih = maks 1, 2 sehingga apabilaN n akan berlaku|+ +| = | +| || +|| 0sebarang. Dipilih bilangan asli 1 sedemikian hingga mengakibatkan || untuk setiapN n> . Karena n nb b B B + = diperoleh n nb b B B + SekarangambilbilanganasliN sedemikianhinggaB B b b Bn n21< = untuk setiapN n> . KarenaB bnn= lim , maka dari (*) diperoleh nb B B + untuk setiapN n> . Selanjutnyaharusdibuktikan B bnn1 1lim = .Misalnyadiberikan > 0 sebarang, sehingga terdapat bilangan asli sedemikian hingga (**) (*) (*) 7 Berdasarkan hipotesis, diambil sebarang > 0, dapat ditemukan bilangan asli 1,sedemikianhingga221B B bn< ,untuksetiap 1N n > .Karena 0 lim nnb ,dapatdipilihbilanganasli2,sedemikianhingga|| >12||, untuk setiap > dimana adalah lebih besar dari 1 dan 2.Dari (**) diperoleh, = . Sehingga dapat dibuktikan Teorema 1.1 (5) , lim= lim.1 = lim. lim1 BABA = =1. . Contoh 3 : 1)Tentukan apakah barisan berikut ini konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan nilai kekonvergenannya! a) )`+1 2422nn b)8 2 c) Penyelesaian : a)Karena = sehingga21lim 2 lim4 lim124lim1 24lim2 222=+=+=+ n nnnn nnn n. 8 Jadi barisan konvergen ke 2. b)Karena( ) = nn2 8 lim , berarti barisan 8 2 divergen. c)Untuk kasus ini, kita menggunakan fakta berikut. Dalambarisan,rumussukukerumussukuke-adalah nnena2= . Kemudian bila diambil fungsi kontinu( )xexx f2=akan diperoleh( )xn nexx f2lim lim =xnex 2lim =(dengan aturan LHopital) xne2lim =(dengan aturan LHopital) = 0. Dengan demikian barisan konvergen ke 0. Bukti :Diketahuibahwa{na }dan{nc }barisanyangkonvergenmenujuL,ini berarti, L c annnn= = lim lim . Andaikan diberikan > 0, pilih 1Ksedemikian sehinggaJika ( ) L x fn= lim , maka ( ) L n fn= lim . Teorema 1.2 (Teorema Apit) Andaikan{na }dan{nc }barisanyangkonvergenmenujuLdanandaikan na nb nc untukK n ( Kbilanganasliyangtetap).Maka{nb }juga konvergen menujuL. 9 > || , Yang mengakibatkan, 0 ||< ,N ndanptertentu. Olehkarena01lim1 1lim = ||

\||||

\|=|||

\| n p pnn n,makaberdasarkanTeorema Apitdiperoleh0 lim = nnr .MakamenurutTeorema1.3,diperoleh0 lim = nnr . Sehingga terbukti bahwa0 lim = nnr . BARISAN MONOTON DefinisiBarisan bilangan real dikatakanMonoton naik bila untuk setiap n Nberlaku +1> Monoton tak turun bila untuk setiap n Nberlaku +1 Monoton turun bila untuk setiap n Nberlaku +1< Monoton tak naik bila untuk setiap n Nberlaku +1 11 Contoh 6 : Selidiki kemonotonan barisan bilangan real dengan = +12 Penyelesaian : Suku-suku barisannya adalah1,,,,, Rumus suku ke- ( ) 1 + nuntuk barisan ini adalah ( ) 1 221++=+nnan.Karena,( ) nnnna an n211 221+++= +( ) ( )01 211 21 2 22 2 0 dan = nS limn untuk < 0, ini berarti {Sn} divergen. Untuk r 1 = 1 = 1 1 || < 1 , maka0 lim = nnr (sesuai contoh 5) sehingga raS lim Snn = = 1 || > 1 atau r = 1, barisan {rn}divergen sehingga {Sn} juga divergen. Contoh 10 : Buktikan deret harmonik divergen. Penyelesaian :

=nS1 + + + ++ = 1 + ++ ++++ +++ ++ > 1 +++++ = 1 ++++++. Denganmembuatncukupbesar,dapatdiambil 12sebanyakyang dikehendakipadapersamaanyangterakhir.Jadi{Sn}divergen.Sehinggaderet harmonik adalah divergen. Kaitan antara kekonvergenan suatu deret dengan limit tak hingga dari suku ke-n deretnya diberikan dalam teorema berikut. Teorema 2.1 (Uji Kedivergenan dengan Suku ke-n)Apabila =1 nna konvergen,maka nna lim =0.Setaradenganpernyataanini ialah bahwa apabila nna lim 0(atau apabila nna lim tidak ada ) maka deret divergen. 17 Bukti : Andaikan Sn jumlah parsial ken dan S = nnS lim . Oleh karena= 1+2+3++ 1+2+3++1 = 1 ,maka nna lim =1 - nnnnS lim S lim = S S = 0. Contoh 11 : Buktikan bahwa =+121kkkdivergen. Penyelesaian :kka lim = kklimk 21 + = 12 0. Menurut Teorema 2.1, deret divergen. BanyakyanginginmembalikkanTeorema2.1itudenganmengatakan bahwa 0mengakibatkanderet =1 nna konvergen.Deretharmonik membuktikan bahwa pembalikan teorema di atas tidak benar. Pada deret harmonik jelasbahwa0 =||

\|= n1lim a limnnn.Walaupundemikian,deretharmonikitu divergen, sesuai pada contoh 10. Teorema 2.2 (Kelinieran) Jika =1 kkadan =1 kkbkeduanya konvergen dan c sebuah konstanta, maka =1 kkca dan( )=+1 kk kb a juga konvergen, selain itu,(i) =1 kkca = =1 kka c(ii)( )=+1 kk kb a = =1 kka+ =1 kkb . 18 Bukti : Lambing =1 kka dalamteoremadiatasdigunakanbaikuntukderettak hingga...2 1+ + a a maupununtukjumlahderetitusendiri,yangberupabilangan. Diketahui =nkka1dan =nkkb1keduanyaada.Denganmenggunakansifat penjumlahan dengan suku-suku terhingga dan sifat limit diperoleh (i) =1 kkca= = = =nkknnkkna c ca1 1lim lim== nkkna c1lim= =1 kka c .(ii) ( )=+1 kk kb a=( ) = += nkk knb a1lim((

+ = = nkknkknb a1 1lim= = nkkna1lim + = nkknb1lim = =1 kka + =1 kkb . Contoh 12 : Hitunglah ( )=|||

\|++12113nnn n. Penyelesaian :=121nn adalah deret geometri dengan 21= a dan 21= r , sehingga 121121211=== nn. Dari contoh 8 diperoleh ( )=|||

\|+111nn n= 1, sehingga menurut Teorema 2.2, deret konvergen dan19 ( ) ( )+|||

\|+=|||

\|++ == 1 11132113n nnn n n n=121nn = 3.1 + 1 = 4. Bukti : Misalkan Sn = =1 nna , Bila =1 nna divergenmaka nnS lim tidakada.Andaikanbahwa =1 nnca adalah konvergen. Maka nncS lim ada. Tetapi =, sehingga nnS lim =( )nncSclim1 =( )nncS limc 1. Jadi nnS lim harusadadaninisuatukontradiksi.Olehkarenaituderet =1 nnca adalah divergen. Contoh 13 : Tentukan apakah deret=141nn konvergen atau divergen. Penyelesaian :=141nn =+ + ++ + Karena =11nnadalahderetharmoniksehinggaderet=11nndivergen,maka menurut Teorema 2.3 deret yang diberikan adalah divergen. Teorema 2.3 Jika =1 nna divergen dan c 0, maka =1 nnca divergen. 20 Bukti : Andaikanbahwaderet( )=+1 nn nb a konvergendanjumlahnyaS.Misalkan R adalah jumlah deret =1 nna . Karena ==1 nnb ( ) [ ]= +1 nn n na b a = ( ) +=1 nn nb a=1 nna= S R,iniberartideret =1 nnb konvergendenganjumlahSR.tetapibertentangandari yang diketahui bahwa =1 nnb divergen. Jadi( )=+1 nn nb a divergen. Contoh 14 : Tentukan apakah deret =||

\|+13131nnnkonvergen atau divergen. Penyelesaian : =131nn=.n.n1311= Karena =11nnadalahderetharmoniksehinggaderet=11nndivergen,maka menurutTeorema2.3deretyangdiberikanadalahdivergen. =131nnadalahderet geometri dengan || =13< 1 maka deret tersebut konvergen.Jadi berdasarkan Teorema 2.4, deret yang diberikan adalah divergen. Teorema 2.4 Bila deret =1 nna konvergen dan deret =1 nnb divergen, maka( )=+1 nn nb adivergen. 21 Bukti : Andaikan na deretyangkonvergendanandaikanbarisanjumlah parsialderettersebut.Apabila nb deretyangdiperolehdaripengelompokan suku-suku deret nadan andaikan barisan jumlah-jumlah parsialnya, maka tiap Tm adalah salah satu dari Sn.Misalnya,4=1+2+3 +4+5+6 +7+8. Dalam hal ini T4 = S8. Jadi bagian barisan . Sehingga apabila Sn S, maka TmS. Teorema 2.5 (Pengelompokan) Suku-suku sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokkan dengan cara sebarang (asalkan urutan suku-suku tidak diubah) dan deret yang baru tetap konvergen dan jumlahnya sama dengan jumlah deret yang semula.