LAPORAN PRAKTIKUM I

E_LEARNING PERMODELAN OSEANOGRAFI ITB

PENYELESAIAN NUMERIK METODE BEDA HINGGA

PERSAMAAN ADVEKSI 1 DIMENSI

Metode Eksplisit Forward in Time and Central in Space (FTCS)

Disusun Oleh:

Mamik Melani

115080601111033

FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2014

Skenario model :

Panjang kanal (L) : 1500 meter

Lama simulasi (T) : 3600 detik

KEL DT (m) DX (m) U1

(m/s)

U2 (m/s) POLUTA

N

KONTIN

U (mg/L)

GRID

(N,M)

POLUTA

N

DISKONT

INU

(mg/L)

GRID

(N,M)

SHIFT 1

1 3 50 0.55 -0.25 100 (N,25) 150 (5,15)

2 4 50 0.10 -0.60 100 (N,25) 150 (5,15)

3 5 50 0.60 -0.15 100 (N,25) 150 (5,15)

4 3 50 0.45 -0.35 100 (N,20) 150 (5,10)

5 4 50 0.20 -0.50 100 (N,20) 150 (5,10)

6 5 50 0.30 -0.40 100 (N,18) 150 (5,5)

7 3 50 0.65 -0.15 100 (N,18) 150 (5,5)

SHIFT 2

8 5 50 0.25 -0.55 100 (N,15) 150 (5,5)

9 4 50 0.60 -0.10 100 (N,15) 150 (5,5)

10 3 50 0.15 -0.60 100 (N,15) 150 (5,5)

11 5 50 0.35 -0.45 100 (N,10) 150 (5,20)

12 4 50 0.50 -0.20 100 (N,10) 150 (5,20)

13 3 50 0.40 -0.30 100 (N,10) 150 (5,20)

14 5 50 0.15 -0.65 100 (N,5) 150 (5,18)

15 4 50 0.25 -0.55 100 (N,5) 150 (5,18)

Buatlah model adveksi 1 dimensi berdasarkan skenario model di atas menggunakan metode

FTCS Masing-masing metode digunakan untuk kasus sebagai berikut :

1. Polutan kontinu dengan U1 dan U2

2. Polutan diskontinu dengan U1 dan U2

3. Polutan kontinu-diskontinu dengan U1 dan U2

Jumlah program yang dibuat adalah 24 program. Akan tetapi, flowchart yang dibuat cukup 4

saja (FTCS, CTCS, Upstream, dan Crank Nicholson) untuk kasus polutan kontinu-

diskontinu. Hasil setiap program ditampilkan dalam bentuk grafik sebagai berikut :

1. Grafik konsentrasi polutan terhadap ruang (pilih 7 grid yang mewakili, misal m=1, m=5,

m=10, m=15, m=20, m=25, dan m=30)

2. Grafik konsentrasi polutan terhadap waktu (pilih 7 grid yang mewakili, misal n=1,

n=14nmax, n=12nmax, dst)

1. TEORI DASAR

Metode Forward in Time and Central in Space (FTCS)

Metode numerik dapat menyelesaikan suatu permasalahan diferensial dengan

mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi sebuah sistem persamaan

linier. Metode tersebut digunakan untuk mendekati ungkapan turunan pertama dan kedua.

Pada metode beda hingga didasarkan pada ekspansi deret Taylor, yang merupakan metode

pendekatan agar sebuah persamaan diferensial parsial dapat diubah menjadi operasi

aritmatika dan operasi logika yang dapat dibaca oleh komputer. Berikut merupakan metode

beda hingga pada Deret Tylor:

Persamaan beda hingga pada metode FTCS adalah dengan menggunakan pendekatan

beda maju untuk turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang. Apabila :

Indeks n untuk waktu

Indeks m untuk ruang

u adalah kecepatan aliran yang dianggap konstan terhadap ruang dan waktu. Pada

dasarnya metode beda hingga ini tidak stabil secara numerik (lihat pada catatan

kuliah).

Maka persamaan adveksi dapat dideskritisasi menjadi:

1 !

)()()(

nn

nn

x

f

n

xxfxxf

3

33

2

22

!3

)(

!2

)()()()(

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

3

33

2

22

!3

)(

!2

)()()()(

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

+1 =

2(+1

1 )

Untuk mengetahui metode FTCS stabil atau tidaknya maka harus dilakukan uji

kestabilan, yaitu dengan menggunakan analisa stabilitas Von Neuman. Ide dari bentuk

analisis kestabilan ini, kita dapat membayangkan bahwa koefisien-koefisien dari persamaan

beda berubah sangat lambat ketika diperlakukan sebagai konstanta dalam ruang dan waktu.

Dalam kasus demikian, penyelesaian bebasnya atau swamode dari persamaan beda

mengambil bentuk seperti berikut :

= exp()

Jika kita mensubstitusikan persamaan diatas ke persamaan :

+1 =

2 ( +1

= 1 )

Maka akan diperoleh :

= 1

2 ()

Dari persamaan diatas dapat diketahui modulus dari yaitu sebagai berikut :

||2 = 1 + [

2sin()]2

Persamaan diatas menunjukkan bahwa penguatan (amplification) penyelesaiannya

berhrga 1, ini berarti bahwa metode FTCS tidak stabil mutlak untuk mendekati persamaan

adveksi.

2. METODOLOGI

Flowchart Metode FTCS

A

N=1, n+1

M=2, mmax-1

F(n,m)

Selesai

F(n+1, 1) > =1 atau F(n+1, mmax-1) > =1

A

Ya

Tidak

HARGA POLUTAN F(N,25)=100, F(5,15)=150

Mulai

M = 1, mmax

DEFINISI VARIABEL, INPUT HARGA VARIABEL DAN KONSTANTA L, dx,T, dt, u1,U2

Mmax = L/dx, Nmax=T/dt, A1=(u1*dt)/(2*dx), A2=(u2*dt)/(2*dx)

SYARAT AWAL

F (1,m) = 0

N = n+1

N = 1

M = 2, mmax-1

1+1 = 2

+1 +1 = 1

+1

SYARAT BATAS

+1 =

1 +1 1

+1 =

2 +1 1

DESKRITISASI FTCS

3. HASIL DAN ANALISIS

Desain Model :

Panjang Kanal (L) = 1500 m

dx = 50 m

dt = 4 s

u1 = 0.2 m/s

u2 = -0.5 m/s

Konsentrasi polutan

Kontinu di grid (n,25) = 100

Diskontinu di grid (5,15) = 150

A1 = (u1*dt) / (2*dx) A2 = (u2*dt) / (2*dx)

= (0.20*4) / (2*50) = (-0.50*4) / (2*50)

= 0.008

= - 0.02

Mmax = L/dx nmax = T/dt

= 1500/50 = 3600 / 4

= 30 = 900

Polutan Kontinue

x = m*dx

t = n*dt

t1 = polutan kontinue (100) (n*A1)*1)

t2 = polutan kontinue (100) (n*A1)*2) dsb.

x1 = polutan kontinue (100) (t*A1)*1)

x2 = polutan kontinue (100) (t*A1)*1) dsb.

Polutan Diskontinue

t1 = polutan diskontinue (150) (n*A1)*1)

t2 = polutan diskontinue (150) (n*A1)*2) dsb

x1 = polutan diskontinue (150) (t*A1)*1)

x2 = polutan diskontinue (150) (t*A1)*2) dsb.

3.1 Polutan Kontinue untuk u1 dan u2 terhadap ruang dan waktu :

m n x t Sumber Polutan (Kontinu) u1 terhadap ruang

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7

1 1 50 4 99.6 99.2 98.8 98.4 98 97.6 97.2

2 2 100 8 99.2 98.4 97.6 96.8 96 95.2 94.4

3 3 150 12 98.8 97.6 96.4 95.2 94 92.8 91.6

4 4 200 16 98.4 96.8 95.2 93.6 92 90.4 88.8

5 5 250 20 98 96 94 92 90 88 86

6 6 300 24 97.6 95.2 92.8 90.4 88 85.6 83.2

7 7 350 28 97.2 94.4 91.6 88.8 86 83.2 80.4

8 8 400 32 96.8 93.6 90.4 87.2 84 80.8 77.6

9 9 450 36 96.4 92.8 89.2 85.6 82 78.4 74.8

10 10 500 40 96 92 88 84 80 76 72

11 11 550 44 95.6 91.2 86.8 82.4 78 73.6 69.2

12 12 600 48 95.2 90.4 85.6 80.8 76 71.2 66.4

13 13 650 52 94.8 89.6 84.4 79.2 74 68.8 63.6

14 14 700 56 94.4 88.8 83.2 77.6 72 66.4 60.8

15 15 750 60 94 88 82 76 70 64 58

16 16 800 64 93.6 87.2 80.8 74.4 68 61.6 55.2

17 17 850 68 93.2 86.4 79.6 72.8 66 59.2 52.4

18 18 900 72 92.8 85.6 78.4 71.2 64 56.8 49.6

19 19 950 76 92.4 84.8 77.2 69.6 62 54.4 46.8

20 20 1000 80 92 84 76 68 60 52 44

21 21 1050 84 91.6 83.2 74.8 66.4 58 49.6 41.2

22 22 1100 88 91.2 82.4 73.6 64.8 56 47.2 38.4

23 23 1150 92 90.8 81.6 72.4 63.2 54 44.8 35.6

24 24 1200 96 90.4 80.8 71.2 61.6 52 42.4 32.8

25 25 1250 100 100 100 100 100 100 100 100

26 26 1300 104 89.6 79.2 68.8 58.4 48 37.6 27.2

27 27 1350 108 89.2 78.4 67.6 56.8 46 35.2 24.4

28 28 1400 112 88.8 77.6 66.4 55.2 44 32.8 21.6

29 29 1450 116 88.4 76.8 65.2 53.6 42 30.4 18.8

m n x t Sumber Polutan (Kontinu) u1 terhadap waktu

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7

1 1 50 4 99.968 99.936 99.904 99.872 99.84 99.808 99.776

2 2 100 8 99.936 99.872 99.808 99.744 99.68 99.616 99.552

3 3 150 12 99.904 99.808 99.712 99.616 99.52 99.424 99.328

4 4 200 16 99.872 99.744 99.616 99.488 99.36 99.232 99.104

5 5 250 20 99.84 99.68 99.52 99.36 99.2 99.04 98.88

6 6 300 24 99.808 99.616 99.424 99.232 99.04 98.848 98.656

7 7 350 28 99.776 99.552 99.328 99.104 98.88 98.656 98.432

8 8 400 32 99.744 99.488 99.232 98.976 98.72 98.464 98.208

9 9 450 36 99.712 99.424 99.136 98.848 98.56 98.272 97.984

10 10 500 40 99.68 99.36 99.04 98.72 98.4 98.08 97.76

11 11 550 44 99.648 99.296 98.944 98.592 98.24 97.888 97.536

12 12 600 48 99.616 99.232 98.848 98.464 98.08 97.696 97.312

13 13 650 52 99.584 99.168 98.752 98.336 97.92 97.504 97.088

14 14 700 56 99.552 99.104 98.656 98.208 97.76 97.312 96.864

15 15 750 60 99.52 99.04 98.56 98.08 97.6 97.12 96.64

16 16 800 64 99.488 98.976 98.464 97.952 97.44 96.928 96.416

17 17 850 68 99.456 98.912 98.368 97.824 97.28 96.736 96.192

18 18 900 72 99.424 98.848 98.272 97.696 97.12 96.544 95.968

19 19 950 76 99.392 98.784 98.176 97.568 96.96 96.352 95.744

20 20 1000 80 99.36 98.72 98.08 97.44 96.8 96.16 95.52

21 21 1050 84 99.328 98.656 97.984 97.312 96.64 95.968 95.296

22 22 1100 88 99.296 98.592 97.888 97.184 96.48 95.776 95.072

23 23 1150 92 99.264 98.528 97.792 97.056 96.32 95.584 94.848

24 24 1200 96 99.232 98.464 97.696 96.928 96.16 95.392 94.624

25 25 1250 100 99.2 98.4 97.6 96.8 96 95.2 94.4

26 26 1300 104 99.168 98.336 97.504 96.672 95.84 95.008 94.176

27 27 1350 108 99.136 98.272 97.408 96.544 95.68 94.816 93.952

28 28 1400 112 99.104 98.208 97.312 96.416 95.52 94.624 93.728

29 29 1450 116 99.072 98.144 97.216 96.288 95.36 94.432 93.504

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30

Ko

nsen

trasi

Po

luta

n

(mg

/L)

Langkah ruang

FTCS Kontinu u1 terhadap ruang

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

t=6

t=7

Pada grafik diatas untuk konsentrasi Polutan Kontinue u1 pada grid 100 terhadap

ruang menunjukkan penurunan polutan seiring dengan bertambahnya langkah ruang dan

polutan terlihat lebih menyebar. Berbeda dengan konsentrasi Polutan Kontinue u1 pada grid

100 terhadap waktu yang menunjukkan penyebaran polutan terjadi lebih rapat.

M n x t Sumber Polutan (Kontinu) u2 terhadap ruang

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7

1 1 50 4 101 102 103 104 105 106 107

2 2 100 8 102 104 106 108 110 112 114

3 3 150 12 103 106 109 112 115 118 121

4 4 200 16 104 108 112 116 120 124 128

5 5 250 20 105 110 115 120 125 130 135

6 6 300 24 106 112 118 124 130 136 142

7 7 350 28 107 114 121 128 135 142 149

8 8 400 32 108 116 124 132 140 148 156

9 9 450 36 109 118 127 136 145 154 163

10 10 500 40 110 120 130 140 150 160 170

11 11 550 44 111 122 133 144 155 166 177

12 12 600 48 112 124 136 148 160 172 184

13 13 650 52 113 126 139 152 165 178 191

14 14 700 56 114 128 142 156 170 184 198

15 15 750 60 115 130 145 160 175 190 205

16 16 800 64 116 132 148 164 180 196 212

17 17 850 68 117 134 151 168 185 202 219

18 18 900 72 118 136 154 172 190 208 226

19 19 950 76 119 138 157 176 195 214 233

20 20 1000 80 120 140 160 180 200 220 240

60

70

80

90

100

110

0 10 20 30Ko

ns

en

tra

si P

olu

tan

(m

g/L

)

Langkah waktu

FTCS Kontinu u1 terhadap waktu

x=1

x=2

x=3

21 21 1050 84 121 142 163 184 205 226 247

22 22 1100 88 122 144 166 188 210 232 254

23 23 1150 92 123 146 169 192 215 238 261

24 24 1200 96 124 148 172 196 220 244 268

25 25 1250 100 100 100 100 100 100 100 100

26 26 1300 104 126 152 178 204 230 256 282

27 27 1350 108 127 154 181 208 235 262 289

28 28 1400 112 128 156 184 212 240 268 296

29 29 1450 116 129 158 187 216 245 274 303

M N x t Sumber Polutan (Kontinu) u2 terhadap waktu

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7

1 1 50 4 100.1 100.2 100.2 100.3 100.4 100.5 100.6

2 2 100 8 100.2 100.3 100.5 100.6 100.8 101.0 101.1

3 3 150 12 100.2 100.5 100.7 101.0 101.2 101.4 101.7

4 4 200 16 100.3 100.6 101.0 101.3 101.6 101.9 102.2

5 5 250 20 100.4 100.8 101.2 101.6 102.0 102.4 102.8

6 6 300 24 100.5 101.0 101.4 101.9 102.4 102.9 103.4

7 7 350 28 100.6 101.1 101.7 102.2 102.8 103.4 103.9

8 8 400 32 100.6 101.3 101.9 102.6 103.2 103.8 104.5

9 9 450 36 100.7 101.4 102.2 102.9 103.6 104.3 105.0

10 10 500 40 100.8 101.6 102.4 103.2 104.0 104.8 105.6

11 11 550 44 100.9 101.8 102.6 103.5 104.4 105.3 106.2

12 12 600 48 101.0 101.9 102.9 103.8 104.8 105.8 106.7

13 13 650 52 101.0 102.1 103.1 104.2 105.2 106.2 107.3

14 14 700 56 101.1 102.2 103.4 104.5 105.6 106.7 107.8

15 15 750 60 101.2 102.4 103.6 104.8 106.0 107.2 108.4

16 16 800 64 101.3 102.6 103.8 105.1 106.4 107.7 109.0

17 17 850 68 101.4 102.7 104.1 105.4 106.8 108.2 109.5

18 18 900 72 101.4 102.9 104.3 105.8 107.2 108.6 110.1

19 19 950 76 101.5 103.0 104.6 106.1 107.6 109.1 110.6

20 20 1000 80 101.6 103.2 104.8 106.4 108.0 109.6 111.2

21 21 1050 84 101.7 103.4 105.0 106.7 108.4 110.1 111.8

22 22 1100 88 101.8 103.5 105.3 107.0 108.8 110.6 112.3

23 23 1150 92 101.8 103.7 105.5 107.4 109.2 111.0 112.9

24 24 1200 96 101.9 103.8 105.8 107.7 109.6 111.5 113.4

25 25 1250 100 102.0 104.0 106.0 108.0 110.0 112.0 114.0

26 26 1300 104 102.1 104.2 106.2 108.3 110.4 112.5 114.6

27 27 1350 108 102.2 104.3 106.5 108.6 110.8 113.0 115.1

28 28 1400 112 102.2 104.5 106.7 109.0 111.2 113.4 115.7

29 29 1450 116 102.3 104.6 107.0 109.3 111.6 113.9 116.2

Pada konsentrasi Polutan Kontinue u2 pada grid 100 terhadap ruang menunjukkan

terjadinya kenaikan nilai konsentrasi polutan seiring dengan bertambahnya waktu, serta

terlihat penuruan penyebaran polutan pada range 25. Sedangkan pada konsentrasi Polutan

Kontinue u2 pada grid 100 terhadap waktu menunjukkan kenaikan konsentrasi polutan

namun tidak disertai penurunan pada range tertentu.

3.2 Polutan Diskontinue untuk u1 dan u2 terhadap ruang dan waktu

m N x t Sumber Polutan (Diskontinu) u1 terhadap ruang

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7

1 1 50 4 149.6 149.2 148.8 148.4 148 147.6 147.2

2 2 100 8 149.2 148.4 147.6 146.8 146 145.2 144.4

3 3 150 12 148.8 147.6 146.4 145.2 144 142.8 141.6

4 4 200 16 148.4 146.8 145.2 143.6 142 140.4 138.8

90

140

190

240

290

340

0 10 20 30 40

ko

nsen

trasi p

olu

tab

(m

g/L

)

Langkah ruang

FTCS Kontinu u2 terhadap ruang

t=1t=2t=3t=4t=5t=6t=7

97.0

99.0

101.0

103.0

105.0

107.0

109.0

0 10 20 30

Ko

nsen

trasi

Po

luta

n

(mg

/L)

Langkah waktu

FTCS Kontinue u2 terhadap waktu

x=1x=2x=3

x=4x=5

x=6x=7

5 5 250 20 148 146 144 142 140 138 136

6 6 300 24 147.6 145.2 142.8 140.4 138 135.6 133.2

7 7 350 28 147.2 144.4 141.6 138.8 136 133.2 130.4

8 8 400 32 146.8 143.6 140.4 137.2 134 130.8 127.6

9 9 450 36 146.4 142.8 139.2 135.6 132 128.4 124.8

10 10 500 40 146 142 138 134 130 126 122

11 11 550 44 145.6 141.2 136.8 132.4 128 123.6 119.2

12 12 600 48 145.2 140.4 135.6 130.8 126 121.2 116.4

13 13 650 52 144.8 139.6 134.4 129.2 124 118.8 113.6

14 14 700 56 144.4 138.8 133.2 127.6 122 116.4 110.8

15 15 750 60 150 150 150 150 150 150 150

16 16 800 64 143.6 137.2 130.8 124.4 118 111.6 105.2

17 17 850 68 143.2 136.4 129.6 122.8 116 109.2 102.4

18 18 900 72 142.8 135.6 128.4 121.2 114 106.8 99.6

19 19 950 76 142.4 134.8 127.2 119.6 112 104.4 96.8

20 20 1000 80 142 134 126 118 110 102 94

21 21 1050 84 141.6 133.2 124.8 116.4 108 99.6 91.2

22 22 1100 88 141.2 132.4 123.6 114.8 106 97.2 88.4

23 23 1150 92 140.8 131.6 122.4 113.2 104 94.8 85.6

24 24 1200 96 140.4 130.8 121.2 111.6 102 92.4 82.8

25 25 1250 100 140 130 120 110 100 90 80

26 26 1300 104 139.6 129.2 118.8 108.4 98 87.6 77.2

27 27 1350 108 139.2 128.4 117.6 106.8 96 85.2 74.4

28 28 1400 112 138.8 127.6 116.4 105.2 94 82.8 71.6

29 29 1450 116 138.4 126.8 115.2 103.6 92 80.4 68.8

m n x t Sumber Polutan (Diskontinu) u1 terhadap waktu

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7

1 1 50 4 149.968 149.94 149.904 149.87 149.84 149.81 149.78

2 2 100 8 149.936 149.87 149.808 149.74 149.68 149.62 149.55

3 3 150 12 149.904 149.81 149.712 149.62 149.52 149.42 149.33

4 4 200 16 149.872 149.74 149.616 149.49 149.36 149.23 149.1

5 5 250 20 149.84 149.68 149.52 149.36 149.2 149.04 148.88

6 6 300 24 149.808 149.62 149.424 149.23 149.04 148.85 148.66

7 7 350 28 149.776 149.55 149.328 149.1 148.88 148.66 148.43

8 8 400 32 149.744 149.49 149.232 148.98 148.72 148.46 148.21

9 9 450 36 149.712 149.42 149.136 148.85 148.56 148.27 147.98

10 10 500 40 149.68 149.36 149.04 148.72 148.4 148.08 147.76

11 11 550 44 149.648 149.3 148.944 148.59 148.24 147.89 147.54

12 12 600 48 149.616 149.23 148.848 148.46 148.08 147.7 147.31

13 13 650 52 149.584 149.17 148.752 148.34 147.92 147.5 147.09

14 14 700 56 149.552 149.1 148.656 148.21 147.76 147.31 146.86

15 15 750 60 149.52 149.04 148.56 148.08 147.6 147.12 146.64

16 16 800 64 149.488 148.98 148.464 147.95 147.44 146.93 146.42

17 17 850 68 149.456 148.91 148.368 147.82 147.28 146.74 146.19

18 18 900 72 149.424 148.85 148.272 147.7 147.12 146.54 145.97

19 19 950 76 149.392 148.78 148.176 147.57 146.96 146.35 145.74

20 20 1000 80 149.36 148.72 148.08 147.44 146.8 146.16 145.52

21 21 1050 84 149.328 148.66 147.984 147.31 146.64 145.97 145.3

22 22 1100 88 149.296 148.59 147.888 147.18 146.48 145.78 145.07

23 23 1150 92 149.264 148.53 147.792 147.06 146.32 145.58 144.85

24 24 1200 96 149.232 148.46 147.696 146.93 146.16 145.39 144.62

25 25 1250 100 149.2 148.4 147.6 146.8 146 145.2 144.4

26 26 1300 104 149.168 148.34 147.504 146.67 145.84 145.01 144.18

27 27 1350 108 149.136 148.27 147.408 146.54 145.68 144.82 143.95

28 28 1400 112 149.104 148.21 147.312 146.42 145.52 144.62 143.73

29 29 1450 116 149.072 148.14 147.216 146.29 145.36 144.43 143.5

Grafik konsentrasi Polutan Diskontinue u1 pada grid 150 terhadap ruang

menunjukkan terjadinya penurunan nilai konsentrasi polutan seiring dengan bertambahnya

waktu, serta terlihat penuruan penyebaran polutan pada range 15. Sedangkan pada

0

50

100

150

200

0 10 20 30Ko

ns

en

tra

si P

olu

tan

(m

g/L

)

Langkah ruang

FTCS Diskontinu u1 terhadap Ruang

t=1t=2t=3t=4t=5t=6

100

110

120

130

140

150

160

0 10 20 30Ko

ns

en

tra

si P

olu

tan

(m

g/L

)

Langkah waktu

FTCS Diskontinu u1 terhadap waktuX=1

X=2

X=3X=4

X=5

X=6

X=7

konsentrasi Polutan Diskontinue u1 pada grid 150 terhadap waktu juga menunjukkan

penurunan konsentrasi polutan namun tidak disertai penurunan pada range tertentu.

m n x t Sumber Polutan (Diskontinu) u2 terhadap ruang

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7

1 1 50 4 151 152 153 154 155 156 157

2 2 100 8 152 154 156 158 160 162 164

3 3 150 12 153 156 159 162 165 168 171

4 4 200 16 154 158 162 166 170 174 178

5 5 250 20 155 160 165 170 175 180 185

6 6 300 24 156 162 168 174 180 186 192

7 7 350 28 157 164 171 178 185 192 199

8 8 400 32 158 166 174 182 190 198 206

9 9 450 36 159 168 177 186 195 204 213

10 10 500 40 160 170 180 190 200 210 220

11 11 550 44 161 172 183 194 205 216 227

12 12 600 48 162 174 186 198 210 222 234

13 13 650 52 163 176 189 202 215 228 241

14 14 700 56 164 178 192 206 220 234 248

15 15 750 60 150 150 150 150 150 150 150

16 16 800 64 166 182 198 214 230 246 262

17 17 850 68 167 184 201 218 235 252 269

18 18 900 72 168 186 204 222 240 258 276

19 19 950 76 169 188 207 226 245 264 283

20 20 1000 80 170 190 210 230 250 270 290

21 21 1050 84 171 192 213 234 255 276 297

22 22 1100 88 172 194 216 238 260 282 304

23 23 1150 92 173 196 219 242 265 288 311

24 24 1200 96 174 198 222 246 270 294 318

25 25 1250 100 175 200 225 250 275 300 325

26 26 1300 104 176 202 228 254 280 306 332

27 27 1350 108 177 204 231 258 285 312 339

28 28 1400 112 178 206 234 262 290 318 346

29 29 1450 116 179 208 237 266 295 324 353

m n x t Sumber Polutan (Diskontinu) u2 terhadap waktu

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7

1 1 50 4 150.1 150.2 150.2 150.3 150.4 150.5 150.6

2 2 100 8 150.2 150.3 150.5 150.6 150.8 151.0 151.1

3 3 150 12 150.2 150.5 150.7 151.0 151.2 151.4 151.7

4 4 200 16 150.3 150.6 151.0 151.3 151.6 151.9 152.2

5 5 250 20 150.4 150.8 151.2 151.6 152.0 152.4 152.8

6 6 300 24 150.5 151.0 151.4 151.9 152.4 152.9 153.4

7 7 350 28 150.6 151.1 151.7 152.2 152.8 153.4 153.9

8 8 400 32 150.6 151.3 151.9 152.6 153.2 153.8 154.5

9 9 450 36 150.7 151.4 152.2 152.9 153.6 154.3 155.0

10 10 500 40 150.8 151.6 152.4 153.2 154.0 154.8 155.6

11 11 550 44 150.9 151.8 152.6 153.5 154.4 155.3 156.2

12 12 600 48 151.0 151.9 152.9 153.8 154.8 155.8 156.7

13 13 650 52 151.0 152.1 153.1 154.2 155.2 156.2 157.3

14 14 700 56 151.1 152.2 153.4 154.5 155.6 156.7 157.8

15 15 750 60 151.2 152.4 153.6 154.8 156.0 157.2 158.4

16 16 800 64 151.3 152.6 153.8 155.1 156.4 157.7 159.0

17 17 850 68 151.4 152.7 154.1 155.4 156.8 158.2 159.5

18 18 900 72 151.4 152.9 154.3 155.8 157.2 158.6 160.1

19 19 950 76 151.5 153.0 154.6 156.1 157.6 159.1 160.6

20 20 1000 80 151.6 153.2 154.8 156.4 158.0 159.6 161.2

21 21 1050 84 151.7 153.4 155.0 156.7 158.4 160.1 161.8

22 22 1100 88 151.8 153.5 155.3 157.0 158.8 160.6 162.3

23 23 1150 92 151.8 153.7 155.5 157.4 159.2 161.0 162.9

24 24 1200 96 151.9 153.8 155.8 157.7 159.6 161.5 163.4

25 25 1250 100 152.0 154.0 156.0 158.0 160.0 162.0 164.0

26 26 1300 104 152.1 154.2 156.2 158.3 160.4 162.5 164.6

27 27 1350 108 152.2 154.3 156.5 158.6 160.8 163.0 165.1

28 28 1400 112 152.2 154.5 156.7 159.0 161.2 163.4 165.7

29 29 1450 116 152.3 154.6 157.0 159.3 161.6 163.9 166.2

140

160

180

200

220

240

0 5 10 15 20 25 30

Ko

ns

en

tra

si p

olu

tan

(m

g/L

)

Langkah ruang

FTCS Diskontinu u2 terhadap ruang

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

t=6

t=7

Grafik konsentrasi Polutan Diskontinue u2 pada grid 150 terhadap ruang

menunjukkan terjadinya kenaikan nilai konsentrasi polutan seiring dengan bertambahnya

waktu, serta terlihat penuruan penyebaran polutan pada range 15. Sedangkan pada

konsentrasi Polutan Diskontinue u2 pada grid 150 terhadap waktu juga menunjukkan

kenaikan konsentrasi serta diikuti pula penyebaran polutan.

Metode FTCS (Forward Time Central Space) merupakan salah satu metode

pendekatan yang tidak sabil, hal tersebut dikarenakan pada metode FTCS tidak memiliki

syarat kestabilan yang harus dipenuhi, sehingga akan memberikan grafik yang kurang stabil.

Pada grafik yang telah dihasilkan menunjukkan nilai konsentrasi polutan semakin bertambah

seiring dengan bertambahnya waktu pengamatan. Kemudian polutan akan tersebar kesegala

arah meskipun telah ditentukan arah kecepatannya. Untuk mendapatkan grafik yang lebih

stabil dapat dilakukan dengan menggunakan metode lain seperti Leap frog, Up stream dan

Crank Nicholson.

150.0

152.0

154.0

156.0

158.0

160.0

0 10 20 30

Ko

nse

ntr

as

i P

olu

tan

Langkah waktu

FTCS Diskontinu u2 terhadap waktu

x=1

x=2

x=3

x=4

x=5

x=6

x=7