MANUAL DE MATEMATICAS II - preparatoriamontesdeoca.com · Leyes de los Exponentes Ejemplo ... Simplificar significa reducir una cantidad a su equivalente lo ... Formula: PRACTICA

DOCENTE: ING. DAVID CLEMENTE TORRES ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA

MANUAL DE MATEMATICAS II

1


ESCUELA: ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA

ASIGNATURA: MATEMATICAS II

TETRAMESTRE: TERCERO

OBJETIVO: El alumno será capaz de resolver operaciones con exponentes y radicales aplicando el álgebra, así como determinar el resultado de productos notables y hacer la operación inversa de los mismos mediante la factorización. Además será capaz de encontrar los valores de X e Y para un sistema de 2 ecuaciones lineales por diversos métodos

UNIDAD OBJETIVOS ESPECIFICOS TEMAS Y SUBTEMAS

I EXPONENTES

1. Exponentes enteros

2. Exponente cero.

3. Leyes de los exponentes

4. Aplicaciones

II RADICALES

1. Radicales

2. Exponentes Radicales

3. Leyes de los radicales

4. Simplificación de radicales

5. Multiplicación de radicales

6. División de radicales

7. Resta de radicales

8. Suma de radicales

9. Racionalización de radicales

III PRODUCTOS NOTABLES 1. Productos Notables

2. Factorización

IV SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Método grafico

2. Método de eliminación (+ ó -)

3. Método de igualación

4. Método de sustitución



2

UNIDAD I. EXPONENTES

1. Exponentes Enteros.

El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar números en una forma más corta. Por

ejemplo: el producto 2 x 2 x 2 x 2 x 2 se expresa de la forma 25 y se lee “dos a la cinco”. La

expresión 2 x 2 x 2 x 2 x 2 está en la forma expandida y la expresión 25 es

una expresión exponencial. El valor 32 es la quinta potencia de 2.

Definición: La expresión xn significa que x aparece multiplicada n veces. x se conoce como

la base y n como el exponente. Se llama potencia al valor que se obtiene al multiplicar la

base n veces. Esto es, xn = x · x · x · x · · · multiplicado por si mismo n veces.

Ejemplos:

1) La notación exponencial de (-3)(-3)(-3)(-3) es (-3)4.

2) La notación exponencial de b · b · b es b3.

3) El valor de (-2)4 es (-2) (-2)(-2)(-2) = 16. La expresión (-2)4 se lee “negativo dos a la cuatro”.

4) El valor de -24 es – (2 · 2 · 2 · 2) = -(16) = -16. La expresión -24 se lee “el opuesto de dos a la

cuatro”.

5) ¿Cuál es el valor de (⅔)3?

Definición: Para toda base x, x1 = x. Esto es, cualquier número elevado a la uno es el mismo

número.

Ejemplos: 31 = 3; (17)1 = 17; (259)1 = 259

2. Exponente Cero

Definición: Cualquier número diferente de cero, elevado a la cero es igual a uno. Esto es, para toda

base x, x ≠ 0, x0 = 1.

Ejemplos: 30 = 1; (-5)0 = 1; (⅝)0 = 1; 00 no está definido

Definición: Cualquier número diferente de cero y n un número entero, tenemos:



3

Ejemplos:

Practica 1: Determina el valor de los siguientes números elevados al exponente dado:

1) 43 =

2) (-4)4 =

3) -42 =

4) (⅜)2 =

5) 4-2 =

6) (⅔) -2 =

3. Leyes de los Exponentes

1) LEY 1 (X1 = X): toda base “X” elevada al exponente 1 es igual a ella misma.

Ejemplo: 61 = 6

2) LEY 2(X0 = 1):toda base “X” elevada al exponente 0 es igual a la unidad.

Ejemplo: 70 = 1

3) LEY 3(X-1 = 1/X):toda base “X” elevada al exponente -1 es igual al cociente de la unidad

entre dicha base.

Ejemplo: 4-1 = ¼

4) LEY 4(XmXn = Xm+n):los exponentes en la multiplicación SE SUMAN cuando sus bases

son iguales.

Ejemplo: x2x3 = x2+3 = x5

5) LEY 5(Xm/Xn = Xm-n):los exponentes en la división SE RESTAN cuando sus bases son

iguales.

Ejemplo:x4/x2 = x4-2 = x2

6) LEY 6((Xm)n = Xmn):los exponentes en la potenciación SE MULTIPLICAN.



4

Ejemplo:(x2)3 = x2×3 = x6

7) LEY 7((XY)n = XnYn):en el producto de 2 bases diferentes elevadas a un mismo exponente

conservan individualmente dicho exponente.

Ejemplo: (xy)3 = x3y3

8) LEY 8((x/y)n = xn/yn):en el cociente de 2 bases diferentes elevadas a un mismo exponente

conservan individualmente dicho exponente.

Ejemplo: (x/y)2 = x2 / y2

9) LEY 9(X-n = 1/Xn):toda base “X” elevada a un exponente NEGATIVO es igual al cociente de

la unidad entre dicha base con exponente positivo.

Ejemplo: x-3 = 1/x3

10) LEY 10( ):toda base “X” elevada a un exponente FRACCIONARIO es igual a

la raíz n-ésima de la base elevada a la potencia m-ésima.

Ejemplo:

TABLA DE LAS LEYES DE LOS EXPONENTES

Leyes de los Exponentes Ejemplo

1) x1 = x 61 = 6

2) x0 = 1 70 = 1

3) x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

4) xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

5) xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

6) (xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

7) (xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

8) (x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2



5

9) x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

10)

4. Aplicaciones

PRACTICA 2Determine el valor de las siguientes operaciones con exponentes:

1) 32 · 35 =

2) a4 · a6 · a =

3) (a + 2b)3 (a + 2b)7 =

4) (3x2) (-5x3) =

5) (-4a2b3)(-3ab) =

6) (7x-3y-8)(2x5y5) =

7) (5xyz)0 =



6

PRACTICA 2: Aplique las leyes de los exponentes para simplificar cada expresión:

Respuestas:



7

PRACTICA 3: Escriba las Leyes de exponentes según sea el caso y determine el resultado para

cada ejercicio.

Aseveración Leyes/Definición Ejercicio

1. La expresión xn significa 2³

2.

En el producto de dos potencias

con bases iguales:

3.

En la división de dos potencias

con bases iguales:

4. Al elevar una base a un exponente

y a su vez a otro exponente:

5. Cuando tenemos el producto de

dos bases elevadas a un

exponente:

6.

Cuando tenemos el cociente de

dos bases elevadas a un

exponente:

7. Una base elevada al exponente

cero: b°

a) (16) ° =

b) y° =

8. La expresión 0°

9. Una base elevada a un exponente

negativo: b¯ⁿ

a) 4¯³=

b) x¯⁷ =



8

PRACTICA 4: Determine el resultado de los siguientes ejercicios utilizando reglas de exponentes:

10) m3 · m5 = 15)

11) y6 · y-2 = 16)

12) = 17)

13) (uv)6 = 18) (5x2 y4)3 =

14) 19)

PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO CONSULTAR:

http://ponce.inter.edu/cremc/exponentes.html

https://www.youtube.com/watch?v=P8nok4nKT_Q

http://ponce.inter.edu/cremc/exponentes.html

https://www.youtube.com/watch?v=P8nok4nKT_Q



9

UNIDAD II. RADICALES

1. Fundamento Teórico

Un radical es todo valor que se expresa con 2 números llamados Base y Exponente Fraccionario

(racional). Como se indica en la siguiente expresión matemática:

53/2

Base Exponente Fraccionario (Racional)

2. Estructura de un radical

Donde:

a= radicando

n=indice

c=coeficiente

3. Leyes de los Radicales



10



11

PRACTICA 5: Observa y analiza la lógica de los siguientes ejercicios:

Exponentes fraccionarios (racionales)

Un número racional es todo valor que puede expresarse como una fracción, así que un exponente

racional es todo aquel que se expresa como una fracción.

Ejemplos:

1)353/2=√353

2)X5/2=√X5



12

3) m4/3=

OJO:Toda base (número o letra) con exponente fraccionario puede expresarse como una raíz.

Leyes de los radicales

La radicación es la Inversa a la Potenciación. Leyes de las Radicales son:

1) ⁿ√(xª) = xª/ⁿ

2) ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b

ⁿ√a 3) ⁿ√a/b = -------

ⁿ√b 4)ª√ⁿ√b = ªⁿ√b

La radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta √(a² + b²) ≠ √a² + √b² La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división √(a² * b²) = √a² * √b²

4. Simplificación de radicales

Simplificar significa reducir una cantidad a su equivalente lo más SIMPLE posible en cuanto a

números y variables.

1. Simplificar

Un radical se puede poner como una potencia de exponente fraccionario. Por tanto se simplifica igual

que una fracción, o sea se divide el índice y el exponente por un mismo número.

2. Simplificar , ya vamos a simplificar directamente dividiendo, en este caso, índice y

exponente entre 4.



13

3. Simplificar

4. Simplificar dividiendo índice y exponente entre 3

5. Simplificar

6. Simplificar

7. Simplificar

8. Simplificar

9. Simplificar

10. Simplificar , para poder dividir (o multiplicar) dos radicales tienen que tener el mismo

índice. Por tanto hay que reducir a índicecomún. Se hace exactamente igual que cuando reducimos

fracciones a común denominador. En este caso el índicecomún es 15.

11. Simplificar



14

12. Simplificar

13. Simplificar

14. Efectuar

15. Suma y simplifica: , para poder sumar radicales tienen que tener el mismo

índice y el mismo radicando. Estos tienen el mismo índice pero distinto radicando. Vamos a factorizar

los radicandos para extraer de cada sumando todos los factores posibles.

, ahora basta sumar los coeficientes de cada raíz, o sea los números que

van delante de cada uno de ellos multiplicando.



15

PRACTICA 6: Determine la simplificación de las siguientes radicales:

Respuestas:



16

OPERACIONES CON RADICALES

5. Suma y

6. Sustracción

CASO 1: Mismo índice y mismo radicando.

En este caso solo se trabaja con los coeficientes de cada radicando, éstos se suman tomando en

cuenta sus signos.

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes.

Formula:

PRACTICA 7: Determine la suma y sustracciones de los siguientes radicales semejantes:

1.

2.

CASO 2: Mismo índice y diferente radicando.

En el siguiente caso los radicandos hay que factorizarlos y convertirlos a números con potencia,

sacarles raíz cuadrada para convertirlos en sus equivalentes en coeficientes y con el mismo

radicando.

Observe y piense:

1.

2.

3.

4.



17

5.

6.

En el siguiente caso los radicandos hay que convertirlos a números con potencia, dividir el exponente

de cada uno de ellos entre el subíndice correspondiente, obteniendo finalmente radicales

semejantes, de modo que solo trabajamos con los coeficientes.

Observe y piense:

7.

8. √32+√243-√12-√48-√27 =

=√ + √ - √ - √ - √

=2²√2+3²√3-2√3-2²√3-3√3

=4√2+9√3-2√3-4√3-3√3simplificar términos semejantes (9-2-4-3=0√3=0)

=4√2solución

Se aplica el método de la cruz para obtener su equivalente en potencia.



18

CASO 3: Diferente índice y diferente radicando.

Introducción:

Poner a común índice los radicales:

7. Multiplicación de radicales

CASO 1: Del mismo Índice

En este caso solo se multiplican los radicales y se conserva el mismo índice. Observa y piensa.

Ejemplos:

4.1)



19

CASO 2: De diferenteÍndice

En este caso solo se saca m.c.m. (mínimo común múltiplo)de los índices, se divide el mcm entre c/u

de los índices y el resultado será el exponente de cada radical, teniendo como índice el mcm.

Observa y piensa.Ejemplos:

Los índices son 2,3 y 6 la división del mcm entre c/u de ellos será el nuevo exponente del radical:

6/2=3, 6/3=2, 6/6=1, los números 3,2 y 6 son los nuevos exponentes para c/u de los radicales

respectivamente y note que el nuevo índice es el 6 para todos.

8) e l m.c.m de 2,3,4=12

9) e l m.c.m de 2,3=6



20

8. División de radicales

CASO 1: Del mismo Índice

En este caso sólo se dividen los radicales y se conserva el mismo índice. Observa y piensa.

Ejemplos



21

CASO 2: De diferente Índice

En este caso solo se saca m.c.m. (mínimo común múltiplo) de los índices, se divide el mcm entre c/u

de los índices y el resultado será el exponente de cada radical, teniendo como índice final el mcm.

Después se aplica la ley de los exponentes para la división (éstos se restan)

Observa y piensa.Ejemplos:

1)

2)

3)

4)



22

6.

7.

8.



23

LEYES DE EXPONENTES LEYES DE RADICALES

9. Racionalización de radicales

La racionalización de denominadores es la operación que elimina las expresiones radicales que

pueden aparecer en los denominadores.

Denominadores con monomios

Caso1 Con una única raíz cuadrada

Para eliminar el radical se multiplican numerador y denominador por la raíz que aparece en el

denominador.



24

Practica 8. Racionalización de denominadores:



25

Caso2 Con una única raíz n-ésima

Si el exponente del radicando es m se multiplica numerador y denominador por la raíz n-ésima del

radicando elevado a n-m

Practica 9. Racionalización de denominadores:



26

Practica 10. Racionalización de binomios.


http://www.ejerciciosyexamenes.com/raices.pdf

http://www.ejerciciosyexamenes.com/raices.pdf



27

http://www.cajondeciencias.com/Descargas%20mate2/ER%20radicales.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=SMXMZO24A24

UNIDAD III. PRODUCTOS NOTABLES

Se conoce como productos notables a la multiplicación de 2 ómás factores algebraicos lo cual genera

una sola expresión algebraica.

Dentro del algebra se han establecido leyes de productos definidos que nos permiten obtener la

solución de forma directa sin tener que realizar muchas operaciones.

3.1. Productos Notables

1) Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más (ó menos) el doble producto

del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

Está determinado por la siguiente fórmula:

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

Ejemplos:

1. (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

2. (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

2) Binomio al cubo

CASO 1: Suma de un Binomio al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero

por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.


(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

Ejemplo:

1. (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

http://www.cajondeciencias.com/Descargas%20mate2/ER%20radicales.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=SMXMZO24A24



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CASO 2: Diferencia de un Binomio al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del

primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del

segundo.


(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

Ejemplo:

1. (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

3) PRODUCTO DE 2 BINOMIOS CONJUGADOS

El producto de 2 binomios conjugados es el producto de la suma por la diferencia de 2 cantidades

cuyo resultado es una diferencia de cuadrados.


(a + b) · (a − b) = a2 − b2

Ejemplo:

1. (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 – 25

4) PRODUCTO DE 2 BINOMIOS DE LA FORMA (x + a) (x + b)

El producto de estos 2 binomios se caracterizan porque tienen un termino común que es “x” y es

igual al cuadrado del término común, mas la suma de los términos no comunes (a y b) por el termino

común, mas el producto de los términos no comunes (a y b).


(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a b

Ejemplo:



29

1. (x + 2) (x + 3) = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =x2 + 5x + 6

Nota: es importante tomar en cuenta los signos de “a” y “b” al efectuar la suma y el producto de

ambas según la fórmula.

5) PRODUCTO DE 2 BINOMIOS DE LA FORMA (mx + a) (nx + b)

El producto de 2 binomios de la forma (mx + a) (nx + b), en los cuales los términos en “x” tiene

distintos coeficientes, puede determinarse siguiendo el proceso que nos muestra el siguiente

esquema:

Ejemplo:

1) ( 3X + 5 ) ( 4X + 6 )=



30

PRACTICA 11. Determine el producto notable por simple inspección de los siguientes SUMA de

binomios al cuadrado:



31



32



33

PRACTICA 12. Determine el producto notable por simple inspección de las siguientes DIFERENCIAS

de binomios al cuadrado:



34

PRACTICA 13. Determine el producto notable por simple inspección de los siguientes binomios

CONJUGADOS:Recuerda el procedimiento:

1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo

menos el cuadrado del sustraendo"

2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente

de cada letra por 2.



35

PRACTICA 14. Determine el producto notable por simple inspección de los siguientes binomios AL

CUBO:Recuerda el procedimiento:

1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos

cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el

enunciado del paso 3:

2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple del

cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más

el cubo de la segunda"

3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del

cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda,

menos el cubo de la segunda"

4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente

de cada letra por 2.



36

PRACTICA 15. Determine el producto de 2 binomios de la forma (x + a) (x + b):

Recuerda el procedimiento:

1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio

2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos)

3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término

común de los paréntesis

4. El tercer término será el producto de los términos independientes



37


http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

https://www.youtube.com/watch?v=I1L8F3o93q0

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

https://www.youtube.com/watch?v=I1L8F3o93q0



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2. Factorización

Se conoce como factorización a la descomposición de una expresión algebraica en 2 o mas partes

llamadas factores que al ser multiplicadas entre si dan la expresión original.

1. FACTORIZACION DE UN MONOMIO

EJEMPLO: Descomponer en factores

1) 24ax³= (6) (4) (a) (x)(x)(x)

2) 6my²= (3) (2) (m)(y)(y)

2. FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

CASO 1: CUANDO TODOS LOS TERMINOS TIENEN UN FACTOR COMUN

EJEMPLOS: Descomponer en factores

1) a2+ 2a =a (a + 2)

La variable que está en el primer y segundo término es a por eso es el factor común

a2 le restamos el factor común nos da como resultado (a), los exponentes se restan

2) 10b - 30ab2 =10b(1-3ab)

El factor común de los coeficientes es 10 por que divide exactamente a 10 y 30.

La variable que se repite es "b"

Al dividir el factor común con el primer termino = 1

Al dividir el factor común con el segundo termino 30ab2/10b = 3ab, la variable a" pasa igual, la

variable b2 resta con "b"

CASO 2: FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

1) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + ( ay + by)

= x (a + b) + y (a + b)

= (x + y) ( a + b )

2) 3m2 - 6mn + 4m - 8n = (3m2 - 6mn) + (4m - 8n)

= 3m (m - 2n) + 4 ( m - 2n)

= (3m + 4)(m - 2n)



39

3) 2x2 - 3xy + 4x + 6y = (2x2 - 3xy) - (4x - 6y)

= x(2x - 3y) - 2 (2x - 3y)

= (x - 2)(2x - 3y)

3) FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERDECTO

Ley: se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por

el signo del segundo término. El binomio formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica

por si mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplos:

1) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

2) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

3) x2 - 10x + 25 = (x - 5)2

4) x + x2 + 1/4 = (x + 1/2)2

5) 9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2

6) x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2

7) 4x2 + 4xa3 + a6 = (2x + a3)2

8) 25x6 + 10 x5 + x4 = (5x3 + x2)2

9) -x2 + 6x - 9 = - (x2 - 6x + 9) = - (x - 3)2

4) FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Ley: la factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de 2 binomios conjugados, cuya

fórmula está determinada por:

(a² – b²) = (a + b) (a – b)

Ejemplos:

1) x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

2) x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

3) x2 - y2 = (x + y).(x - y)

4) b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)

5) x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

6) x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

7) 36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)

8) -x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)



40

5) FACTORIZACION DEL TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c

1. Se abren 2 paréntesis y se le saca raíz cuadrada a x²quedando “X”.

2. Se buscan 2 números que multiplicados den “C” y esos 2 mismos números con sus signos

multiplicados den “b” formando parte de cada binomio, como se muestra en los siguientes

ejemplos:



41

6) FACTORIZACION DE LA SUMA DE CUBOS

La suma de dos cubos se descompone en dos factores y es igual al producto de la suma de las

raícescúbicas de los términos, por el polinomio cuyos, términos son el cuadrado de la raízcúbica del

primer término, menos el producto de las raícescúbicas, mas el cuadrado de la raízcúbica del

segundotérmino.

x3+ a3 = (x +a) ( x2 - ax + a2)

EJEMPLO:

X3Y3 + 27Z3 = (xy - 3z)(x2y2 + 3xyz + 9z2)

Proceso:

Raíz cúbica el primer término, tercera parte del exponente de las variables........ X3Y3 = xy

Raíz cúbica del segundo término, tercera parte del exponente de las variables... 27Z3 = 3z

Se eleva al cuadrado la primera raìz..................................................................... (xy)2 = x2y2

Se multiplican entre si las raíces cúbicas..........................................................(xy)(3z)= 3xyz

Se eleva al cuadrado la segunda raíz............................................................... (3z)2 = 9z2

7) FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE CUBOS

La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores y es igual al producto de la diferencia de

las raícescúbicas de los términos, por el polinomio cuyos términos son el cuadrado de la raízcúbica

del primer término, mas el producto de las raícescúbicas, más el cuadrado de la raíz cubica del

segundo término.

x3 - a3 = (x - a)(x2 + xa + a2)

EJEMPLO:

125x6 - 8a3 = (5x2 - 2a)(25x4 + 10x2a + 4a2)

Proceso:

Raízcúbica del primer término, tercera parte del exponente de la variable........ 125x6 = 5x2

Raízcúbica del segundo término, tercera parte del exponente de la variable......... 8a3 = 2a

El primer término de las raíces halladas se eleva al cuadrado....................... (5x2)2 = 25x4

Se multiplican las raíces entre si..................................................................... (5x2)(2a) = 10x2a

Se eleva al cuadrado la segunda raíz........................................................................... (2a)2 = 4a2



42

8) FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

EJEMPLO:

6x2 - 7x - 3 = 36x2 - 6(7x) - 18

= (6x - 9)(6x + 2)

6

= (6x - 9) (6x + 2)

3 x 2

= (2x-3)(3x + 1)

6 por 6 es igual a 36

El 6 que está al lado del 7 es el primer termino del trinomio

El primer termino del trinomio (6) se multiplica con el tercero (3) = 18

Se buscan dos números que al sumarlos su resultado sea el segundo término del trinomio (7) y

multiplicados el tercero (18)

El denominador de la expresión es el primer termino del trinomio.

Se descompone el (6) para que pueda dividir ambos factores.

Otra forma para la Factorización de trinomio por la forma ax² + bx + c es:

1) 4x² + 8x + 3

= 4x² + 6x + 2x + 3

= (4x² + 6x) + (2x + 3)

= 2x(2x + 3) + (2x + 3)

= (2x + 1)(2x + 3)

2) 2x² + 5x + 3

= 2x² + 3x + 2x + 3

= x(2x+3) + (2x + 3)

= (2x + 3) ( x + 1)



43

3) 6x² + 7x + 2

= 6x² + 4x + 3x + 2

=2x(3x + 2)+(3x + 2)

=(2x + 1)(3x + 2)

4) 6x² + 5x - 4

= 6x² + 8x - 3x - 4

= (6x² + 8x) - (3x + 4)

= 2x(3x + 4) - (3x + 4)

= (2x - 1)(3x + 4)

5) 6x²+17x+12

= 6x² + 8x + 9x + 12

= (6x² + 8x) + (9x + 12)

= 2x(3x + 4) + 3(3x + 4)

= (2x + 3)(3x + 4)



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PRACTICA 16. Determine el factor común de los siguientes polinomios


1. Se identifica el factor común

2. Se divide cada término del polinomio por el factor común

3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en el segundo los cocientes

hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)



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PRACTICA 17. Determine la descomposición factorial de los siguientes polinomios por Factor común

por Agrupación de Términos. Recuerda el procedimiento:

1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis

2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis

3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis



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PRACTICA 18. Determine la descomposición factorial de los siguientes TCP

Definición: Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos

factores iguales.


1. Se ordena el trinomio

2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos

3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior

4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo téermino del trinomio y si el primero y

tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal.

5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos, separadas por

el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado.



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PRACTICA 19. Determine la descomposición factorial de los siguientes polinomios Diferencia de

Cuadrados Perfectos. Recuerda el procedimiento:

1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo2. Se abren dos paréntesis3. En el primer

paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1.



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PRACTICA 20. Determine la descomposición factorial de los siguientes polinomios aplicando el

Trinomio cuadrado perfectoy diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos).


1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los TCP...)

2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante

4. Se reduce, si es el caso



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PRACTICA 21. Descomposición factorial de unTrinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.


1. Se ordena el trinomio

2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos

3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior

4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio

5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio

cuadrado perfecto

6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de

la expresión no se altere



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PRACTICA 22. Descomposición factorial de un Trinomio de la formax² + bx + c.



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PRACTICA 23. Descomposición factorial de un Trinomio de la formaax² + bx + c.


Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma

y se factorizade la forma llevada:

1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a

2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)

3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio

4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno

de los paréntesis

5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio

6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio;

éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis

7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo

término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del

segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer

paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis

10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar

la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8

11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común

12. Se simplifica

Nota: siempre es posible eliminar el denominado.



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56



57


http://www.vitutor.com/ab/p/a_12.html

https://www.youtube.com/watch?v=2wV8n-UjkwQ

UNIDAD IV. SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER

GRADO CON 2 INCOGNITAS.

1. MétodoGrafico

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico debemos de:

http://www.vitutor.com/ab/p/a_12.html

https://www.youtube.com/watch?v=2wV8n-UjkwQ



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2. Método de Eliminación

Método de Eliminación o Reducción por suma o resta

Recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjuntos solución.

El método de reducción consiste en transformar el sistema dado en uno equivalente. En

esencia consiste primero en ver si alguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en

ambas ecuaciones, si no es así se trata de acomodar para que así lo sea. Luego, restando o

sumando miembro a miembro las ecuaciones, se obtiene una ecuación con una incógnita

menos , esto quiere decir que se redujo el número de incógnitas, de allí el nombre de reducción

o eliminación.

Los pasos a seguir son:

1) Preparamos ambas ecuaciones, multiplicando (dividiendo) por una constante (número)

adecuada para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente, salvo signo que puede

ser positivo (o negativo), en ambas ecuaciones.

2) Restamos (o sumamos), según signo del coeficiente, miembro a miembro ambas

ecuaciones y con ello desaparece una incógnita, así reducimos el número de ecuaciones, en

nuestro caso a una ecuación.

3) Resolvemos la ecuación obtenida.

4) Luego a este resultado lo llevamos a cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para

obtener la otra incógnita (o podemos emplear la misma técnica para despejar la otra incógnita).

5) Verificar la solución obtenida, en ambas ecuaciones.



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Ejemplos:



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PRACTICA 24. Determine los valores de X e Y para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

por el Método de Eliminación.


1. Se llevan las ecuaciones a la forma ax + by = c

2. Se halla el M.C.M (mínimo común múltiplo) de los coeficientes de alguna de las incógnitas

3. Dividimos el M.C.M por cada uno de los coeficientes de la letra escogida y el cociente lo multiplicams

por dicho coeficiente

4. Se suman o restan las ecuaciones, dependiendo de si los coeficientes tienen diferente signo o igual

signo

5. Se despeja la incógnita de la ecuación resultante

6. Se sustituye el valor numérico de la incógnita, obtenido en el paso anterior, en cualquiera de las dos

ecuaciones originales

7. Se halla el valor de la segunda incógnita

Nota1: la simbología utilizada para denotar el mínimo común múltiplo, c, de los dos números, a y b, es

la siguiente: [a, b] = c.



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3. Método por Igualación



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4. Método por Sustitución

1. Se ordenan (alfabéticamente) y nombran las ecuaciones

2. Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones.

3. El valor de la incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación.

4. Se resuelve la ecuación resultante (ecuación de una incógnita).

5. El valor numérico obtenido para la incógnita que estamos resolviendo, se sustituye en cualquiera de

las ecuaciones originales, obteniendo así el valor numérico de la otra incógnita.



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http://ggiraldog.galeon.com/2doperiodo2008.pdf

http://abfenixmx.blogspot.mx/2014/01/ecuaciones-simultaneas-de-primer-grado.html

https://www.youtube.com/watch?v=Ajss_kJtIK8

https://www.youtube.com/watch?v=9L8R9BwNrnk

https://www.youtube.com/watch?v=RUonn7t3zno

http://ggiraldog.galeon.com/2doperiodo2008.pdf

http://abfenixmx.blogspot.mx/2014/01/ecuaciones-simultaneas-de-primer-grado.html

https://www.youtube.com/watch?v=Ajss_kJtIK8

https://www.youtube.com/watch?v=9L8R9BwNrnk

https://www.youtube.com/watch?v=RUonn7t3zno

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