Manual del Ingeniero Químico [Antonio Valiente, Jaime Noriega]

http://carlos2524.jimdo.com/

MANUAL DEL

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INGENIERO QUIMICO


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MANUAL DEL

,

INGENIERO QUIMICO M. C. Antonio Valiente Barderas Profesor Titular C. de tiempo completo

de la Facultad de Qumica de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico

M. C. Jaime Noriega Bernechea Profesor Titular C. de tiempo completo

de la Facultad de Qumica de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico

lIj LlMUSA GRUPO NORIEGA EDITORES Mxico Espaa Venezuela Argentina

Colombia Puerto Rico


Elaboracin: GRUPO IMPRESA, S.A. de C. v.

La presentacin y disposicin en conjunto de MANUAL DEL INGENIERO QUMICO son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ningn sistema o mtodo, electrnico o mecnico (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, la grabacin o cualquier sistema de recuperacin y almacenamiento de informacin), sin consentimiento por escrito del editor.

Derechos reservados:

1993, EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES Balderas 95, C.P. 06040, Mxico, D .F. Telfono 521-21-05 Fax 512-29-03

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro nmero 121 .

Primera edicin: 1993 Impreso en Mxico (7419)

ISBN 968-18-4487-4

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0233004346 ) 1. ura rE CNO lO 'v' t. MAr~~~L DEL INGENIERO QUIMICO. . MNA 11 r GlCQ ; 't...v '.CIHR'-, Ullo."_,,,, . ~ . _. ~ TRo . LA N

Contenido ,

N' -~ . . RMACION DE /lDQU/SIClDN 025,

1i0. DE CLASIF/CACIO'N .. ~ N.O. CUTTfRS NO. E1E,l iI LARES-I-O ...... '-~

VOLC7MENES -~------fEOtA ~ . _ ARU-'1?e - ?r_

iP-J56 t6 35 fe 7=3. -------=-~--

CAPTULO 1. MATEMTICAS.. . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . ... . . 9

Convers iones y unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Superficies y volmenes ms comunes . .. ....... 16 Funciones trigonomtr icas . . . . . .. . .... . ....... 18 lgebra .... . .. . .. .... . . .. . .. . ..... . . ....... 20 Formulario de derivadas de func ion es .. . .... .- .. 21 Tab las de integrales . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

CAPTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ...... . .. . .. . .. 29

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 Ecu aciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . .. 31 Ecuaciones diferenci~les ordinarias de primer

orden pero no d~ primer grado, de segundo orden y de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . .. 38

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables .... . . .. .... . . . . .. . . . 44

Ecuaciones diferenciales parciales 55

CAPTULO 3. TERMODINMICA ....... ...... . ...... . .. .. . 67

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 Primera ley d e la termodinmica. . . . . . . . . . . . . . . 69

5


6 Contenido

M;ezclas y calores de disolucin ..... . .... . ... .. 89 ' ~Segunda ley de la termodinmica .............. 102

Relaciones termodinmicas ................ . ... 103 Tercera ley de la termodinmica . .... . . ........ 107 Equilibrio entre fases ...................... .. 107

: ," "R'egla de las fases de Gibbs ... .. ............... 115 ndice de refraccin y tensin superficial ....... 123 Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 G,qses reales ...... . . .. ......... .. .. . ........ 139 Mquinas trmicas y ciclos trmicos ......... . .. 144

. CAPTULO '4. FLUjO DE FLUIDOS 171

Generalidades ........... . ..... . . . .... . ...... 171 . ~, ' Esttica de los fluidos ........ . .... . .......... 171

Viscosidad de los fluidos .......... . . . ... . . . . . 172 Balance total de masa en flujo de fluidos ....... . 185 Balance de energa ........... ... ....... . .... 186 Ecuaciones de diseo para flujo laminar ........ 186 Ecuaciones de diseo para flujo turbulento ...... 189 Medidores de flujo .... . ............... . . .. ... 196 Grfica de Karman ............. .. .. . .... . . . . 203 Sistemas de tuberas .. . . .. ... .. ... . ...... . ... 208 Ecuaciones de diseo para fluidos

compresibles .............. . .... . . .. . .... 210 Bombas ...... .. ....... . ............ . ...... . 213 Agitacin ........ . .. . ................... . ... 224 Sedimentacin ..... . .. .... . . . .... .. .. . ... ... 225 Ciclones ................................ . ... 227

CAPTULO 5. TRANSFERENCIA DE CALOR 247

Generalidades ........... . ......... . ...... ' ... 247 Conduccin a rgimen permanente . ..... . ..... 251 Conduccin a rgimen transitorio ... . .......... 272 Conveccin natural .................. . .. . . ... 283 Transferencia de calor por conveccin

forzada sin cambio de fase . ... ... . .... . .... 293 Transferencia de calor con cambio de fase .... . . 311 Criterios generales para el diseo o

seleccin de equipo de transferencia de calor ... ... ... .. ..................... 32f


Contenido 7

Clculo de cambiado res de coraza y tubo sin camb io de fase . . .......... . .. . ... 343

Radiacin ..... . ................ . ... .. .. .... 357 Factores que afectan la transmisin de calor . . .. 385 Temperatura de ebullicin de la solucin ...... 387

CAPTULO 6. TRA SFERENCIA DE MASA . .. . . . . . . . ........ 399

General idades . . . . . . ... . . .. .......... . . . . . ... 399 Difusin .... .... ...... ... ........... . . . . .. . 400 Transferencia de masa por conveccin ....... . . . 409 D iseo de intercamb iadores de masa

de contacto continuo ........ . ............ 420 Absorcin . . . ... . ............. . .... .... .... . 426 Destilacin .... . .. .. . . ... . .. .. . ............. 447 Torres de platos .................. .. ... .. .... 462 Desti lacin e n torres empacadas .: ....... ..... . 473 Operaciones a ire-agua _ ........ .. .. . .. . .... ... 482 Secado .. _ ... . ......... . ............. . ... .. . 498

CAPTULO 7. REACTORES QUMICOS . ....... . ............ 521

Introdu ccin . . ................ . . . ..... .... . . 521 Clasificacin de los reactores qumicos .... . __ ... 522 Clas if icacin de las reacc iones qumicas ... ...... 53-0 Reacciones heterog neas catalticas . . . .. . ... .... 534 D ifus in en sistemas porosos .......... . ....... 547 Reacc iones en lechos fijos o fluidizados .. _ . .. . _ . 562


CAPTULO 1 Matemticas

CONVERSIONES Y UNIDADES

Es conveniente que en todo proceso industrial se realicen mediciones para determinar la cantidad que se produce, cmo se produce y con qu efi ciencia se hace. Medir es la accin de comparar cuntas veces cabe una unidad patrn en la dimensin que se desea cuantificar.

Las unidades patrn son muy numerosas y en el pasado variaban de un pas a otro. Hoy en da, los sistemas de unidades son muy pocos e in mutables. Entre los ms utilizados se encuentran: el sistema ingls, el ces y el MKS, aunque en los ltimos aos se est imponiendo mundialmente el Sistema Internacional de Unidades (SI)*, siendo ste un derivado del MKS, cuyas unidades fundamentales son el metro, el kilogramo y el se gundo.

Con dicho sistema se eliminarn definitivamente los problemas de conversin, tan frecuentes en el trabajo cotidiapo del ingeniero qumico.

Algunas identificaciones de unidades frecuentes

BTU AO N

UiJ}.ad britnica de calor Angstrong Newton

* El ao 1960 marca el nacimiento del Sistema Internacional de Unidades (SI), cuya finali dad es reemplazar al sistema mtrico en su versin anterior conocida como sistema MKS.

9


10 Matemticas Conversiones y unidades

Tabla 1.1 Unidades derivadas del S.L Tabla 1.2 Mltiplos y subrm

Expresin enfuncin delas unidades

Magnitud Nombre de la unidad Smbolo fundamentaleso derivadas

Superficie metro cuadrado m2Volumen metro cbico m3Frecuencia hercio Hz (= s-I)Nmero de onda 1 por metro m-IDensidad Kilogramo por metro cbico kg/m3Velocidad metro por segundo misVelocidad angular radianes por segundo rad/sAceleracin metro por segundo por se- m/s2

gundoAceleracin angular radianes por segundo por rad/s2

segundoFuerza newton N (=kg m/s2)Presin (tensin mecnica) newton por metro cuadrado N/m2

Viscosidad cinemtica metro cuadrado por segundo m2/sViscosidad dinmica kilogramo por metro por se- kg/m . s (=N . s/m2)

gundoTrabajo, energa, cantidad de julio J (=N m)calor

Entropia julio por kelvin J/KCalor msico julio por kilogramo por J/kg K)

kelvinPotencia vatio W (= J/s)Conductividad trmica vatio por metro por kelvin W/(mK)Intensidad energtica vatio por estereorradiante W/srCantidad de electricidad culombio C (=A . s)Tensin elctrica, diferenciade potencial, fuerza elec-tromotriz voltio V (=W/A)

Intensidad de campo elc- voltio por metro V/mtrico

Resistencia elctrica ohmio fl (=V/A)Capacidad elctrica faradio F (=A sN)Flujo de induccin magn- weber Wb (=V s)tica

Inductancia henrio H (=V s/A)Induccin magntica tsla T (=Wb/m2)Intensidad de campo mag- amperio por metro A/mntico , ~

Fuerza magnetomotriz amperio AFlujo luminoso lumen 1m (= cd . sr)Luminancia candela por metro cuadrado cd/m2Iluminancia lux Ix (=Im/m2)Actividad (de un manantial 1 por segundo s-Iradiactivo)

Factor por el que hamultiplicarse la unid

1012

109

106

103

10210010-110-210-310-610-910-12.-

10-1310-18

s segundolb libra

min minutoe grado centg,

1 litroatm atmsfera

J julioW vatioft pie

lbr libra fuerzacm centmetroK grado KelvinPa pascalkg kilogramokgr kilogramo fuIn pulgadah hora

cal caloraF grado Farenl

Equivalencias en dife

rea1 in2 6.4516 cm21 ft2 929 cm2


1atemticas Conversiones y unidades 11

Tabla 1.2 Mltiplos y submltiplos del S.l.

. sr)

'lresin enncin deunidadeslamenta/esierivadas

Factor por el que ha demultiplicarse la unidad Prefijo Smbolo

1012

109

]06103

102

1010-110-210-310-610-910-1210-1310-18

teragigamegakilohectodecadecicentimilimicronanopicofemtoatto

TGMkhdademJ1.n

Pfa

s)

s segundolb libra

min minutoC grado centgrado

1 litroatm atmsfera

J = julioW vatioft pie

lbf libra fuerza lbcm centmetroK grado KelvinPa pascalkg kilogramokgr kilogramo fuerza kgin pulgadah hora

cal caloraF grado Farenheit

.1

. m)

s)

lA)

A)

sN) s)

Equivalencias en diferentes aplicaciones

Area6.4516 cm2

929 cm2


12 Matemticas

1 m21 acre1 km2

10.764 ft243560 ft20.3861 milla2

Aceleracin

1 ftls2 = 0.3048 m/s2

1 m/s2 = 3.2823 ft/s2g = 9.81 m/s2 = 32.2 ftls2

Caudal

1 gal/min 3.7851 0.063 l/s 22.71 l/hmin

Coeficiente de transferencia de calor

1 kcal/hm2 C1BTU/hft2 F

1 BTU/hft2 F

Conductividad trmica

1 BTU/hft F

1 callhcm C

1 BTU/hft F

1W/m K

360 kcallhm C

Capacidad calorifica

0.2049 BTU/hft2 F1.3571 (10-4) cal/scm/ C = 5.6783 (10-4) W/cm2 C

5.6783 W/m2 C = 0.00204 W/in2 F

4.88 kcal/hm 2 C

0.1761 BTU/hft2 F

4.1365 X 10-3 cal/scm C = 1.73 W/m K

0.804 BTU/hft2~ = 0.1 kcallhm Cin

1.487 kcal/hm C

0.8595 kcal/hm C

1 callscm C

1 BTU/lb F = 1 callg C = 1 kcallkg C1 BTU/lb F = 4.1868 k]lkg K = 4.1868 kWs/kg C

, .

Conversiones y unidades

Constante de los gases 1

1.9872 callgmol K =82.057 atrncm vgmol '8314.34 ]/kgmol K =

10.731 ft3 lb/in2 lbm-

Difusividad

1 cm2/s1 m2/h1 m2/s1 ft2/s1 ft2/h

3.875 ft2/h10.764 ft213.875 x 10.0929 m2

0.2581 x

Entalpa y calor latente

1 BTU/lb = 2326 Jlkl-1 ftlb/lb = 2.989 J/kEnerga, trabajo y calor

1 kw-h 3600 kJ =

1 BTU 252 calor1 J 1 Nm =

1 ft-Ib 0.04214 J1 kcal 1000 cal

1 Hph 2543 BTl

1 atm-I 10.333 kg

1 J 10 cm ' bz= 9.478

1545.3 ft. lb /lbmol F62.361 1 mm Hglgmo

Densidad

1 g/c.c 1 kgl1 g/cm 3 8.345

1 kgmollm 3 0.062Densidad del aire a (



Constante de los gases R

1.9872 callgmol K = 1.9872 BTU/lbmol R 82.057 atmcm 3/gmo l K = 0.082 atm m 3/kgmol K 8314.34 J/kgmol K = 8314.34 kg m 2/s2 kgmol K

10.731 ft3 lb/in 2 lbmol R = 0.7302 ft3 atmllbmol R

Difusividad ] cm 2/s 1 m 2/h ] m 2/s ] ft 2/s

1 ft 2/h

3.875 ft2/h = 10 - 4 m 2/s 10.764 ft2/h 3.875 x 10 - 4 ft2/h 0.0929 m 2/s 0.2581 x 10 - 4 m 2/s

Entalpa y calor latente

1 BTUllb = 2326 J /kg = 0.555 kcal/kg = 237.1 kgm /kg

1 ftlbllb = 2.989 J/kg = 0.304689 kgm/kg

Energa, trabajo y calor 1 kwh

1 BTU ] J

1 ft-lb 1 kcal

1 Hph

1 a tm 1

3600 kJ = 3412.1 BTU 252 caloras = 778.2 ftlb = 1054 J = 0.293 W - h 1 j m = 19 7 e rgios = 1 kg m 2/s 2

0.042l4 J = 4.159 X 10-4 latm = 0.1383 kgm ]000 cal = 4.184 kJ 2543 BT

10.333 kgm = 0.0242 kcal

13

1J 10 cm 3 bar = 0.239 cal = 9.869 cm 3 atm = 0.7375 ftlb = 9.478 x 10-4 BTU

1545.3 ft lbllbmol R = 83l4.34 Pa m 3/kgmol K 62.361 1 mm Hg/gmol K = 555 mm Hg ft3/lbmol R

Densidad

1 g/c.c 1 kgll = 1000 kg/m 3 62.43 Ib/ft3 1 g/cm 3 8.345 lb/galn

1 kgmol/m 3 0.06243 Ibmol/ft3 Densidad del a ire a O oC y 760 mm de Hg = 1.2929 gil = 0.080711


14 Matemticas

BaumBaum

PR

(l40/PR) - 130 para lquidos ms ligeros que el agua145 - (145/PR) para lquidos ms pesados que el aguadensidad relativa = densidad de una sustancia/den-sidad del agua(141.5/PR) - 131.5 para lquidos ms ligeros que el

/agua200 (PR - 1) para lquidos ms pesados que el agua

API

Twaddell

Fuerza

1 N 1 kgm/s2 0.22481 lb 105 dinas

1 kg 9.81 N

1 lb 0.454 kg = 4.4482 N = 32.2 poundalsFactor gc (Conversin de sistemas absolutos a gravitacionales)

- - 2-gc = 9.81 kgm/s2 kg = 9.81 N/kg = 32.2 ftlb/s lb

Longitud

1 in 2.54 cm1 ft 12 in = 0.305 m

1 micra 10-6 metros1 yarda 0.944 m = 3 pies1 Angstrom = 10-10 m = 10-8 cm = 1 A1 milla terrestre = 5280 pies = 1.609 km1 milla nutica = 6080 ft = 1.1516 millas terrestres

1 m = 100 cm = 3.28 ft = 39.37 in

Masa

1 lb 453.9 g = 0.454 kg1 onza 28.394 g

1 kg = 2.2046 lb1 slug = 32.1739 lb1 tonelada mtrica 1000 kg1 tonelada corta = 2000 lb

7000 granos16 onzas

2240 lb

Presin

1 atm1 atm

- - 2760 mm Hg = 14.7 lb/in2 = 1.033 kg/cm33.93 ft de agua = 10 m de agua = 29.92 in de Hg

I1


1 bar = 0.9869 atmmmHg

1 Pa = 1 N/m21 atm = 1.01325 x

1 baria 1 dina/cm'

1 psi 1 Th/in2 =1 lb/ft2 4.882 kg/m

Potencia

1 vatio 1 W = 1lkW 239 cal/s

1 Hp = 42.4 BTU

ftlb/s1 caballo de vapor (c.1 caballo de caldera (1 BTU/h 0.2931 W1 kcal/h = 1.1622 W

Temperatura

1 KT (OK)T (OF)T (OF)LlT(C)LlT(C)LlT(OF)T (OF)T (0C)

1.8R(1/1.8) (OF1.8 (OK_1.8 -c + ~1.8 Ll T (O}1 Ll T (OK)1 Ll T (OR)R - 460K - 273

Tensin superficial

1 dina/cm gcm/s2 (

1 N/m 0.06852(

Velocidad

1 ft/min1 nudo

0.508 crr1 milla r


Conversiones y unidades 15 .

1 bar = 0.9869 atmsferas = 105 N/m 2 = 14.5038 lb/in 2 = 750 mmHg

1 Pa = 1 N/m 2 1 atm = 1.01325 x 10 5 N/m 2 = 101.3 kPa/m 2

1 baria = 1 dina/cm 2

1 psi = 1 lb/in 2 = 730 kg/m 2 = 144 lb/ft2

1 lb/ft2 = 4.882 kg/m 2 = 6894.7 N/m 2

Potencia

1 vatio 1 W = 1 J /s = 14.34 callmin

1 kW 239 calls = 737.5 ft-lb /s = 56.87 BTU/min = 1.341 HP

1 Hp 42.4 BTU/min = 33000 ft-lb /min = 0.7457 kW = 550

ftlb /s 1 caballo de vapor (c. V.) 75 kgm/s = 0.736 kW 1 caballo de caldera (B. H. P.) = 33480 BTU/h = 9.803 kW 1 BTU/h 0.2931 W 3.93 (10-4) HP 1 kcallh = 1.1622 W = 15.58 (10-4) HP

Temperatura

1 K = T (OK) T (OF) T (OF) ~T(C) ~T(C)

~T(OF) T (OF) T (oC)

1.8R (1/1.8) (OF - 32) + 273 1.8 (OK - 273) + 32 1.8 oc + 32 1.8 ~ T (OF) 1 ~ T (OK) 1 ~ T (OR) R - 460 K - 273

Tensin superficial 1 dina/cm gcm/s2 cm = 1 (10-3) N/m

1 N /m 0.068529 lb /ft

Velocidad

1 ft/min 0.508 cm/s 1 nudo 1 milla nutica/h


16 Matemticas

1 barrillh 1 grado/s

0.0936 ft 3/min 0.017453 radianes/s 0.002778 revoluciones/s

Viscosidad

1 poise 1 cp 1 cp

1 lb/ft h 1 stoke

Volumen

100 centipoises (cp) = 1 g/cm s ~ 2.4191 lb/ft h = 6.7197 (10-4) lb/ft s = 3.6 kg/hm

10-3 kg/m s = 10-3 N - s/m 2 = 10-3 Pa - s 0.4134 cp = 0.4134 (10-3) kg/m s 100 centistokes = 1 cm 2/s = 929 ft 2/s

1 litro 1000 cm 3 = 61.03 in 3 1 m 3 1000 1 = 35.315 ft 3 = 264.172 gal 1 ft 3 28.317 1 = 7.481 galones americanos

1 galn americano = 4 cuartos = 3.785 litros 1 galn imperial = 1.20094 galones americanos 1 onza fluida = 29.57 cm 3 1 barril = 42 galones = 5.615 ft 3 = 159 litros

1 bushel = 1.2444 ft 3 1 gmol de gas ideal a O oC, 760 mm Hg = 22.414 litros 1 lbmol de gas ideal a O oC, 760 mm Hg = 359.05 ft3

SUPERFICIES Y VOLMENES Ms COMUNES La mayora de los equipos empleados en las instalaciones de procesamien to de materiales tienen formas geomtricas sencillas. El clculo de los vo-lmenes y de las reas de flujo en esos aparatos permite evaluar la cantidad de materia contenida o procesada, as como la rapidez con que se est llevando a cabo la operacin correspondiente. Adems, estima las mago nitudes de las reas por donde fluye el calor o desde el interior del equi po, cuando la operacin involucrada no es isotrmica.

Superficies y volmenes

Sean a, b, e, d, g, h Y s longitudes; A indica reas y V indica volmenes.

Tringulo ,

A = bh/2, en donde b es la base y h la altura.


Superfteies y volmenes ms comunes 17

Rectngulo

A = ab, en d onde a y b son los lados.

Paralelogramo

A = ah = ab sen (J , en donde a y b son los lados, h la altura y (J el ngulo entre lados. '

Trapecio

A = 1/2 h (a + b), en donde a y b son los lados y h la altura.

Polgonos regulares de n lados

A = 1/4 n a 2 cot 180o/n, en donde a es la longitud de un lado.

Crculo

R = a/2 csc 180o /n a 360o /n = 27r/n a = 2 R sen a/2

e = 27rR = 7rD, en donde e es la circunferencia, R radio y D dimetro. A = 7rR 2 = 1/47rD2

Elipse

A = 7r ab en donde a y b son las longitudes d e los sem iejes.

El~ Parbola

A = 2ld/3

..


18 Matemticas

Cubo

v = a3A = 6a2

en donde a es la longitud de un lado.

Paralelepipedo rectangular

v = a beA = 2(ab + be + ea)en donde a, b y e son las longitudes de los lados.

Cilindro

v = 7rR2A = 27rR2 + 7r Dlen donde l es la longitud.

Pirmide

v = 1/3 (rea de base) (altura)

Esfera

A = 47rR2 = 7rD2V = (4/3)7rR2 = (1I6)7rD3

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Gran nmero de frmulas de fsica, fisicoqumica e ingeniera qumicainvolucran el uso de funciones trigonomtricas; entre las ms empleadasestn las siguientes:

Funciones trigo nomtricas de un ngulo

y

Funciones trigonomtricas

seno a = secoseno a = ee

tangente a = tacotangente a = ec

secante a = secosecante a = es

Signo de las funciones

Cuadrante sen

I +II +IIIIV

Relaciones entre lasft

x

Funciones de la suma

sen (a + (3) sen a ocos (a + (3) cos ex otan (a + (3) (tan excot (a + (3) (eot a (sen (a - (3) sen ex ecos (a - (3) eos a etan (a - (3) (tan acot (a - (3) (eot a tsen a + sen (3 = 2 1sen a - sen (3 2 ,

sen2 a - sen" (3 = ea


Matemticas Funciones trigonomtricas

seno acoseno a

tangente acotangente a

secante acosecante a

sen a = ylrcos a xlrtan a ylxcot a xlysec a rlxese a rly

Signo de las funciones

Cuadrante sen cos tan

I + + +11 +III +IV +

cot sec

+ +

++

Relaciones entre las funciones de un ngulo

LJ sen2 a + cos 2 a = 1

tan asen alcos a1 cos a

cot atan a sen a

x

tan2 a sec" a1

1 + cos2 a

+ cot2 a csc2 a1

1sen2 a

a qumicampleadas

Funciones de la suma y diferencia de dos ngulos

sen (a + (3) sen a cos {3 + cos asen {3cos (a' + (3) cos a cos {3- sen asen {3tan (a + (3) (tan a + tan (3)/(1 - tan a tan (3)cot (a + (3) (cot a cot (3 - l)/(cot a + cot (3)sen (a - (3) sen a cos {3- cos asen {3cos (a - (3) cos a cos {3 + sen asen {3tan (a - (3) (tan a - tan (3)/(1 + tan a tan (3)cot (a - (3) (cot a cot {3 + l)/(cot (3 - cot a)sen a + sen {3 2 sen 1/2 (a + (3) cos 1/2 (a - (3)sen a - sen {3 2 cos 1/2 (a + (3) sen 1/2 (a - (3)

sen2 a - sen2 {3 cos? {3- cos2 a = sen (a + (3) sen (a - (3)

19

csc

++


20 Matemticas Formulario de derivadas deJu:

cos2 o: - sen2 (3cos o: + cos (3tan o: + tan (3tan o: - tan (3cot o: + cot (3cot o: - cot (3

cos2 (3 - sen 2 o: = cos (o: + (3) cos (o: -(3)2 cos 1/2 (o: + (3) cos 1/2 (o: - (3)sen (o: + (3)/cos o: cos (3sen (o: - (3)/cos o: cos (3sen (o: + (3)/sen o: sen (3sen (o: - (3)/sen o: sen (3

(a - b)2 = (a-(a + b) (a - b) =(a + b)3 = a3 +(a - b) (a2 + ab(a + b) (a2 + abta" _ bn) = (a-

LGEBRA

(a + br = a" +n(n - 1) (n-

3!

Muchas de las deducciones y las frmulas en las diferentes materias queforman el currculum de un ingeniero qumico son algebraicas; por lotanto, la maestra en el manejo de las principales leyes algebraicas es in-dispensable para todos los profesionistas.

Logaritmos

y = log, (x),log, (AB) = log, i

log, (~) = log,

log, (A n) = n log,

r: log",log, (\1A) = --

n

Leyes de los exponentes

(amr = amn

a o = 1 si a -, Oal = a(abr = a" b"

FORMULARIO n

a-n 1an

am/n !lfam

a lIn va

La derivacin de funcmodinmica, en fsica, eres. stas ocurren cuaruna funcin con resp!ms comunes se prese

a-m/n = 1!lfam

de= O

dx

va - !ifb = '!lfabR = a

d-lf')dx

nj-l dJdx

Productos notables

dxdx

1

a (b + e) = ab + ac(a + b)2 = (a + b) (a + b)


Matemticas Formulario de derivadas de funciones

cos (ex -(3)) (a - b)2 = (a - b) (a -b) = a2 _ 2ab + b2

(a + b) (a - b) = a2 _ b2(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 _ b3(a + b) (a2 + ab + b2) = a3 + b3(an

- bn) = (a - b) (an-1 + an-2 b + an-3 b2 + . . . + bn-1)

Logaritmos

n(n - 1) an-2 b2 +2!

n(n - 1) (n - 2) an-3 b3 + '" + bn3!ntes materias queIgebraicas; por loalgebraicas es in-

y = log" (x), aY = xlog" (AB) = lag" A + lag" B

log" (;) = lag" A - loga B

loga (A n) = n log, A

lag" (Vii) = log" An

FORMULARIO DE DERIVADAS DE FUNCIONES

La derivacin de funciones se encuentra con mucha frecuencia en ter-modinmica, en fsica, en las operaciones unitarias y en el diseo de reacto-res. stas ocurren cuando se desea representar la rapidez del cambio deuna funcin con respecto a los cambios de una variable. Las derivadasms comunes se presentan a continuacin:

de = Odxd nn-l dJ- if')dx dx

dx- 1dx

d (~)g (1) - J (!)dx g2

21


22 Matemticas Tablas de integrales

d df dg- if g) = - -dx dx dx

d dg dJ- ifg) = J - + g-dx dx dx

d (cos h x)dx

sen h .

d (tan h x)dx

sec h2

dJc-dx

TABLAS DE INTEG(log a) a"

La integracin de funciocin) se presenta con mucfsica e ingeniera. En gerque la diferenciacin, poben efectuarse por mtocseguida se presentan algu

e

d (fJ) = gg-I dJ + g In J dgdx dx dx

d (In x)dx

Integrales1x (du + dv + dw)

d V)dx

adv = a dv

d- (sen x)dx

o" + 1--+n + 1cos x

d- (cos x) - sen xdx

d (tan x)sec2 x

dx

d (cot x)- csc2 X

dx

d (sec x)tan x sec x

dx

d (sen-Ix)(1 - x2)-1/2

dx

d (sen h x)cos h x

dx

fdvJ-; = In Ivl + e

jsen vdv - cos v

cos vdv sen v +

sec2 vdv tan v -1

csc2 vdv - cot ;

sec v tan vdv = se


Matemticas Tablas de integrales 23

d (cos h x)

dxsen h x

d (tan h x)

dx

TABLAS DE INTEGRALES

La integracin de funciones algebraicas (operacin inversa a la deriva-cin) se presenta con mucha frecuencia en las materias de termodinmica,fsica e ingeniera. En general la integracin es una operacin ms difcilque la diferenciacin, por lo que no son raras las integraciones que de-ben efectuarse por mtodos numricos en vez de mtodos analticos. Enseguida se presentan algunas de las frmulas ms comunes de integracin.

Integrales

j(du + dv + dw) jdu + jdv + jdw

jadv a jdv

~ vn

dvo" + 1

+ en + 1

Id: = In Iv I + e

~av dvaV

+ eIn a

jsen vdv - cos v + e

jcos vdv = sen v + e

jsec2 vdv tan v + e

jcsc2 vdv = - cot v + e

jsec v tan vdv = sec v + e


24 Matemticas

\esc v cot vdv = - csc v + e

~

dv 1 -1 V- - tan - + ev2 + a2 - a a

l dv v.Ja2 _ v2

sen-1 - + ea

l dv _1 lnl v-a I +v2 _ a2 e2a v + a1 dv In Iv + .Jv2 + a21 + c.Jv2 + a2lsec vdv In (sec v + tan v) + elcsc vdv In (ese v - cot v) + e

Integracin numrica

Cuando una integral dada no tiene solucin analtica (como las anterio-res), se recurre a la integracin numrica.

Mtodo del trapecio

Este mtodo consiste en dividir el intervalo a::5x::5b en n subintervalos,cada uno de longitud h,

f(x)

h.

x- ba

Figura 1.1

Tablas de integrales

El rea bajo la curvarea de los n trapecios fo

1:f(x) dx = [fia) +f(a + 2 h) ; f(a +Si f(a) = f(o),j(n) = j

entonces

l:f(x) dx h- [fo +2Mtodo de Simpson o d

Este procedimiento cons

subintervalos, cada uno daproxima f(x) por una paranterior la frmula de in

lb hf(x) dx = - [fo +a 3+ 2fn-2 + 4fn-1 +

Series

Una sucesin de nmerosdefinidas se llama secuensecuencia es una serie, y svadas a una potencia la s

Las series tienen aplicdinmica, fsica, clculo, c(las ms comunes son:

L (l + x)" 1 + r

n!+ - - - +

(n - r:


Tablas de integrales 25

El rea bajo la curva V(x) dx se obtiene mediante la evaluacin del rea de los n trapecios formados al dividir el intervalo a, b (figura 1.1).

~ : j(X) dx = [j(a) + ~a + ~) ] h + fea + h) +/(a + 2 h) ] h +

[j(a + 2 h) ; j(a + 3 h) ] h + . .. [j(a + n~) + j(b) ] h

Si j(a) = j(o),f(n) = j(b),f(a + h) = j ;

entonces

h ~: j(x) dx "2 ffo + 2 JI + 2 12 + . . . + 2 j n-I + In] Mtodo de Simpson o de la parbola

Este procedimiento consiste en subdividir el intervalo a :5, x :5, b en ..::. 2

sub intervalos, cada uno de longitud 2h en donde n es par. Este mtodo aproximaj(x) por una parbola en cada sub intervalo. Usando la notacin anterior la frmula de integracin quedara:

lb j(x) dx = .!!.... ffo + 4jl + 212 + 4h + ... + 4jn-3 + Ja 3 + 2jn-2 + 4jn_l + jn]

Series

U na sucesin de nmeros o trm inos que se forma de acuerdo con reglas definidas se llama secuencia. La suma indicada de los trminos de una secuencia es una serie, y si los trminos de la secuencia son variables ele vadas a una potencia la serie es una serie de potencias.

Las series tienen aplicacin en la resolucin de problemas de termo dinmica, fsica, clculo, computacin y operaciones unitarias. Algunas de las ms comunes son:

1. (1 + xt 1 + nx +

n!

n (n - 1) 2!

+ ... + _____ x T + (n - r)! r!

X2 + n (n - 1) (n - 2) x3

3!


26 Matemticas Tablas de integrales

n (n - 1) 2 n (n - 1) (n - 2) x32. (1 - xt = 1 - nx + x - --'-------'---'---'-----2! 3!

Serie de Taylor

r n!+ ... + (-1) xr +(n - r)! r!

-n n (n + 1) 2 n (n + 1) (n + 2) 33. (1+ x) = 1- nx + x - x +

2! 3!

r (n + r - 1)! r... + (-1) x +(n - 1)! r!

13. f(x + h) = f(h) +

n-I

+ x r:'(n - 1)!

1 114. 1 + - + - + -

2 3n (n + 1) 2 n (n + 1) (n + 2) 3. 4. (1 - x)-n = 1 + nx + ---- x + x +

2! 3!

(n + r - 1)!. . . + _-'-- __ ---'-_ xr +(n - 1)! r!

1 1 115.1-- + ---

2 3 4

n5. 1 + 2 + 3 + ... + n = - (n + 1)

2

6. 12 + 22 + 32 n2n

+ ... + = - (n + 1)(2 n + 1)6

x216. 1 + x + -- +

2!

n27. 13 + 23 + 33 + ... + n3 = - (n + 1)2

4

8. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + (2n - 1) = n 2

x-l +~(~17.x 2

x3 x518. x--- +-

3! 5!

9. 1 + 8 + 16 + 24 + 32 + ... + 8 (n - 1) = (2n - 1)2x2 x4

19.1--- +-2! 4!10. 1 + ax + (a + b) x2 + (a + 2b) x3 + ... = 1 + ax +

(b - a) x2+ --'-----'--::--(1 - x)2

1 1 1 111. 1--+---+-+

3 5 7 9

1 120.1 +-- +-

1! 2!

4 21. sen - 1 X = X + ....:.6

Serie de McLaurin

x2 x312. f(x) = f(O) + xi' (O) + -1" (O) + -1'" (O) + ... +

2! 3!~(!) (~)(~

xn - 1 r -1)(0)(n - 1)!

-1 122. tan x = x - -3


Matemticas

- 1) (n - 2) x3

31

1) (n + 2) 3;------X +31

1) (n + 2) 3r------X +31

+ 1)

= (2n - 1)2

ax+

.. +

Tablas de integrales27

Serie de Taylor

x213. f(x + h) = f(h) + xi' (h) + =rr I" (h) +

21xn-l

+ fn-l)(h)(n - 1)1

1 114. 1 + - + - +

2 31

4+ ... 00

11115. 1 - - + - - - + ... = In 2

2 3 4

16. 1 + x + + + ... +2! 3! n!

x - 117. -- +x + ... In x

x3 x5 x718. x--- + ----- + sen x3! S! 7!

9 x4 x6x-19. 1 --- + ----- + cos x2! 4! 6!

1 1 1 120. 1 + -- + + -- + + ... +1! 2! 3! 4! n!

x3 1 (3) (f)2l. sen -1 x = X + -6- + 2 4 +

e

~(!) (~)(+) + '"

22. 1 1 5 1 7tan-1x = x--x3 + -x --x +357


CAPTULO ~ Ecuaciones diferenciales

GENERALIDADES

Las leyes naturales en el campo de la ciencia y la tecnologa se expresan en forma matemtica"'. Esto es particularmente im portante en procesos tales como la conduccin de calor, de masa y de movimiento, los cuales son importan tes en muchas situaciones en la Ingeniera Qumica y dan lugar a las formulaciones de las leyes de Fourier, Fick y Newton, respectivamente. Esto ocurre tambin en lo que concierne a las reacciones qumicas, de las que interesa conocer su progreso en el transcurso del tiempo.

La forma matemtica (ecuacin) es una relacin entre las cantidades de inters (funciones) y las variab les independientes de las cuales dependen aqullas. Cuando la ecuacin involucra, adems de la funcin misma, una o ms de sus derivadas, se le denomina ecuacin diferencial.

Las ecuaciones diferenciales no slo representan las formu laciones de leyes, sino que adem s suelen significar modelos de procesos qumi-cos as como las operaciones de algunos equipos comunes en las plantas industriales. Un caso tpico lo constituyen los reactores qumicos catalti cos con lech o empacado y la o peracin intermitente de un reactor, don de los valores de las propiedades de inters varan conforme a la posicin en el equipo o en funcin del tiempo.

* Continuamente se desea explicar situ aciones en las que las propied ades de inters (como la composicin d e una mezcla, la temperatura o la cantidad d e movimiento) varan con la posicin y/o con el tiempo en el sistema que se anal iza.

29


30 Ecuaciones diferenciales

Obviamente, la solucin tanto de las ecuaciones como de los mode los es esencial para la interpretacin del funcionamiento y la dimensio nalizacin de los equipos involucrados.

Una ecuacin diferencial posee dos caractersticas particulares: orden y grado. El orden de una ecuacin diferencial es igual al orden mximo de las derivadas de la funcin que aparecen en ella*, y el grado es la potencia a la que est elevada la derivada de mayor orden en la ecuacin.

Asimismo, una ecuacin diferencial puede ser de dos tipos: ordina ri a y parcial. Cuando la funcin depende slo de una variable indepen diente la ecuacin diferencial es ordinaria, pero si la funcin depende de dos o ms variables independientes la ecuacin diferencial es parcial.

Se entiende por solucin de una ecuacin diferencial la relacin entre las variables que no contenga derivadas y que al sustituirse en la ecuacin la satisfaga. Una solucin que incluya constantes arb itrarias des conocidas se denomina solucin general, y a todas las constantes que han sido determinadas solucin particular.

Ejemplos a) La ecuacin diferencial ordinaria

que representa la curvatura de una superficie lquida, es de orden 2 y de 2 grado.

b) La ecuacin diferencial ordinaria dT H' -- = - -- (T4 - To 4) dt M

representa la prdida de calor por radiacin de un cuerpo; es de orden 1 y de 1 eL grado.

e) La ecuacin diferencial

aT al

representa la conduccin de calor en dos direcciones a rgimen no permanente; es de orden 2 con respecto a x e y, y de orden 1

* El orden d e una derivada es el nmero de veces que la funcin se d e riva con respecto a la var iabl e.


Ecuaciones diferenciales ordinarias 31

con respecto a t. Es de primer grado y, finalmente, es una ecua cin diferencial parcial.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden

Es aquella en donde no existen productos entre las derivadas; se repre sentan de la siguiente manera:

M(x,y) dx + N (x,y) dy O

Ejemplos: l. ~ + ~ = O

dx y - x y se puede representar:

(y + x) dx + (y - x) dy O; M (y + x) ; N Y - x dy 2 2. -- + 1 + x y = O dx

se puede representar:

(1 + x2y) dx + dy = O; M

Ecuaciones exactas

Cuando se cumple la condicin de que

aM aN ay ax '

1

la ecuacin diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = O se llama exacta. Su solu cin consiste en encontrar una funcin tal que:

M; Z = N ; f(x,y) = e es la solucin.

Para obtener f(x,y) se efecta el siguiente procedimiento:

Evaluar 1 Mdx manteniendo y constante. Evaluar R = N - _a_ r Mdx.

ay J



Evaluar j Rdy manteniendo x constante. Finalmente:

f(x,y) = (j Mdx) Y + (j Rdy) x e Ecuaciones homogneas Cuando en una ecuacin diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = O las funcio-nes M y N son homogneas y del mismo grado, la ecuacin se conoce co-mo homognea. U na funcin es homognea de grado m si para cualquier cantidad r satisface la siguiente relacin:

g(rx, ry) = rmg (x,y)

Ejemplos La ecuacin

[x In (y/x)} dx + [yx2

arc sen ( ~)] dy O es homognea de grado 1, pues:

M = x In (y/x), si r = 2: g (2x In (2y/2x)) g 2 (x In (y/x))

.:. g = 2M! m = 1

2: g2 = ( ~: arc sen (2Y/2X) ) g2 = 2 [( +) arc sen (Y /X) ] g2 = 2 N ! m = 1 !

Ecuaciones que se pueden reducir a homogneas

Una ecuacin diferencial cuya- forma es dy + f ( ax + by + e) dx = O dx + ey + g

/'

es reducible a una ecuacin homognea si se establecen las siguientes sus-tituciones:

l. Cuando (ae - bd) :; O u ax + by+c v= dx + ey + g


Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias 33

e

2. Cuando (ae - bd) = Oz=ax+byw=dx+ey

x entonces las derivadas correspondientes son:

En la sustitucin 1:du = adx + bdydv = ddx + edy

En la sustitucin 2:dz = adx + bdydw = ddx + edy

,y) dy = Olas funcio-uacin se conoce co-o m si para cualquier.

Ambas son ecuaciones simultneas que pueden resolverse para dx +dy; por consiguiente en el primer caso se tiene:

dy (: ~) -1 (: du : dV)dy O

dx dv e dv ~(~e)-I(l 1)---dy --- d -;;du - d dvd d d d a(2y/2x))

n (y/x))

I m = 1 ISustituyendo estos valores en la ecuacin diferencial original resulta:

arc sen (2Y/2X))

2

) arc sen (y/X)]

~ (~ _ ~) -1 du _ ~ (~ _ ~) -1 dv +a a d dad

by + e) .dx = O

ey+g /'n las siguientes sus-

e (~ ~) -1 (~dUdad a :dV)]=0

Al ordenar nuevamente la expresin queda:



y finalmente:

Por lo que se concluye que la ecuacin es homognea y, por lo tanto, puede ser de variables separables mediante la sustitucin adecuada en las mis-mas (ver ecuaciones de variables separables). De esta forma tambin se realiza la sustitucin en el segundo caso.

Ecuaciones de variables separables

La ecuacin diferencial

M(x,y) dx + N(x,y) dy O se puede representar:

j (x), g2(Y) dx + h(x) g (y) dy O Cuando hay uso del factor integrante

convierte a la ecuacin en:

j(x) ----''----- dx +

h(x) en la que cada trmino puede ser integrado por separado. Este proceso se denomina ecuaciones de variables separables.

Ejemplo En la ecuacin

\

M = X2(y + 1) = j(X) g2(Y)

N = y2(x - 1) = h(x) g (y)



el factor integrante es

mediante el cual, al ser multiplicada por los trminos de la ecuacin se obtiene:

( _ X2

) dx + (_l ) dy = O x - 1 Y + 1

En esta ecuacin las variables han sido separadas y la solucin es:

J X2 J l --dx + -- dy = e x - 1 Y + 1 Ecuaciones que se pueden reducir a variables separables

Cuando la ecuacin M(x, y) dx + N (x, y) dy = O no puede ser reducida directamente a un caso de separacin de variables se aprecia lo siguiente:

1. Si la ecuacin slo se puede volver a escribir como

JI (x, y) dx + h(x, y) dy = O

haciendo u x/y, se obtiene al sustituir la expresin:

h(1, u) du -- - ------'-'---- -----

dx x JI (1 , u) + u12(1, u)

2. Puede representarse la ecuacin como

JI (x, y) ydx + 12(x, y) xdy = O

obteniendo entonces con u xy por sustitucin:

dx 12(u) du x u [(2(U) - JI(U)]

Ejemplo , La ecuacin (xy2 + y) dx - x dy se puede volver a escribir (xy + 1) ydx - xdy = O, en donde JI = xy + 1,12 = - l. Haciendo u = xy se tiene:

dx du du x u [ - 1 - (u + 1)] u(u + 2) ,


'1


donde se han separado las variables y la solucin es:

du eu(u + 2)

Una vez obtenida la solucin en trminos de u se sustituye en la expresin el valor correspondiente de xy para obtener la solucin a la ecua-cin originaL

Ecuaciones diferenciales lineales

Cuando una ecuacin contiene nicamente la primera potencia de la fun-cin y de sus derivadas y se denomina ecuacin lineal;*

~ + P(x) y = Q(x)dx .

donde P y Q son independientes de y pero pueden involucrar a x.La solucin general es y = exp[ - IPdx] . jexp[\Pdx] Qdx + e, donde

exp] -IPdx] se conoce como factor integrante.*

Ejemplo

. , dC2 tLa ecuacron -- + k2C2 = k]ClO e-k] que se origina en un sistemadt

de reacciones qumicas en serie es una ecuacin lineal del tipo+ P(x) y = Q(x)

dydx

si x = tY = c2P = k2Q(x) = k] C]O exp( - k] t)

El factor integrante es

explPdx = exp [\ k2 dt] = exp (k2 t); as,

multiplicando la ecuacin original por este factor integrante se obtiene:

dc2exp(k2 t) --- + k2 exp(k2 t) c2 = k] c]O exp(k2 - kl) tdt

* Al no existir en ella productos de las variables dependientes, o de stas con las derivadas.

,

Ecuaciones diferenciales ordu

Los dos primeros trmiser reescritos de la sigr

d--(C2 (dt

integrando c2 exp(k2t) =la solucin de la ecuaci

k] eC2 exp(k2 t) = --

(k2 -

Otros factores inte]

Para la ecuacin difere

a) si [( a;) (tor integrante d,

b) si [( aa~) (tor integrante.

c) si M = yf](x, y)

N = x!2(x, y)

entonces, --(xM

Ecuaciones reducib

La ecuacin ~ + P(~dx

lineal mediante la sustiAl sustituir se tiene

du

dx+ u P'(x) = Q'(x)

sta es una ecuaci


,


Los dos primeros trminos son la derivada de un producto, que pueden ser reescritos de la siguiente manera:

d - - (C2 exp(k2 t) = kco exp(k2 - k) t dt

integrando c2 exp(k2t) = kcO lbexp(k2 - k) dt + c la solucin de la ecuacin es:

k k CO k k c2 exp( 2 t) = (k2

_ k) exp( 2 - ) t + c

Otros factores integrantes

Para la ecuacin diferencial

M(x, y) dx + N(x, y) dy = O

a) si [( a; ) - ( :~ ) ] / N = j(x) entonces, exp I!(X)dx es el fac tor integrante de la ecuacin.

b) si [( a;) - ( :~ ) ] / M = !(Y) entonces, exp I!(y) dy es el fac tor integrante.

c) si M = y! (x, y)

N = xh(x, y) 1

entonces, es un factor integrante. (xM - yN)

Ecuacio"les reducibles a ecuaciones diferenciales lineales

La ecuacin ~ + P(x) y = ynQ(x); n ; O, 1 es reducible a una ecuacin dx

lineal mediante la sustitucin u = l /yn -

du dx

Al sustituir se tiene

-- -- + uP(x) ( 1 ) du l - n dx q(x)

1 + u P' (x) = Q' (x) , donde Q ' (x ) = - - Q(x); P' (x)

1 - n 1

- -P(x) 1 - n

sta es una ecuacin lineal cuyo factor integrante es exp[ - lPdxJ-



Ejemplo ~ xy2 + 2y

dx x rearreglando

dy 2y 2 ---= y

dx x

entonces: n = 2, u = y - l . Sustituyendo

dy - 2 du 2y --= - u --; --=

dx dx x 2 _

--;/ = u 2 xu

la ecuacin queda ~ - .! u = - 1, que es una ecuacin lineal con dx x

factor integrante, exp - 1: dx, pues P(x) = (- : ) . ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN PERO NO DE PRIMER GRADO, DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

Ecuaciones de primer orden pero no de primer grado

( d ) 2 d En las ecuaciones como: ~ - x ~ - dy 2y -- + 2xy = O dx al hacer la sustitucin P = (dyldx)

la ecuacin quedara:

p 2 _ xp' -, 2yp + 2 xy = O

p 2 - (x + 2y)P + 2xy = O

(P - x) (P - 2y) = O

y las soluciones seran las siguientes:

dy P = x ---~ - '- = x

dx dy P = 2 Y ---+~ -- = 2y dx

:. y = xdx

:. 1 ;~ = x I



Para obtener una explicacin en este tipo de ecuaciones cabe la posibili dad de despejar la ecuacin diferencial en trminos de P = (dyldx)

siendo la solucin general: (y - xdx) (x - 1 i, ) = O x2

e.d. y = - - + Cl 2

1 x = - In y + C2 - Y = C2 exp(2x)

2 2 X

:. (y - - + Cl) (y - C2 exp[2x]) 2

En el caso general

O

Pn + mI (x, y) p n - 1 + . m (x y) P + m (:x ) .. n-l , n , Y

la ecuacin puede reescribirse

O

en que las F' s son funciones de x e y; igualando cada factor a cero se ob tienen n ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado:

dy Fl (x, y); --

dx

las cuales se pueden integrar

)' = 1 Fl (x, y) dx; y = J F2(x, y) dx . . . y Entonces, se tiene que si

dy dx

y -lFl(X,y) dx = 1; = O

Fn(x, y)

fl (x, y, c) . f2(x, y, c) . . . fn(X, y, c) O

es la funcin primitiva de la ecuacin diferencial.

En los casos en que se pueda despejar y en la ecuacin diferencial, des pus de sustituir (dyldx) por p. Se puede derivar con respecto a x y factori zar la expresin integrando cada uno de los factores, de tal manera que se puedan obtener tantas soluciones como factores se hayan integrado. Una vez que se tienen stas, el procedimiento es como en el inciso anterior.



Ejemplo

La ecuacin (dyldx)2 + x (dyldx) - Y = Ose puede escribir: y = (dyldx)2 + x (dyldx)haciendo: p = (dyldx), y = p2 + xderivando: (dyldx) = 2(dPldx) P + x (dPldx) + Peliminando trminos queda: 2P(dPldx) + x (dPldx)

(2 P + x) (~) = Odx

O

con ello se obtiene dos ecuaciones diferenciales de primer grado.

2p+x=O

~=Odx

2 (dyldx) -x

O

cuyas soluciones seran: y

y

Finalmente, la solucin general:

En los casos en que se pueda despejar x en la ecuacin diferencial.

A partir de la ecuacin diferencial se despeja x para obtener x = f(y, P)Despus se deriva la expresin con respecto a y.

dx

dyaf + af ~ay ap dy

1

Pdp

F(y, p, ---;y)

La ltima es una de primer orden y primer grado.

Ejemplo

despejando x:

3xyp

6p/ = f

Ecuaciones diferenciales ordi:

af 1121

ay p

312p

P P

que se puede factorizar

(1

dpdonde: 2p + y - =

dy

Y la solucin es: y2p =

Ecuaciones de segudependiente y la va

Cuando falta la variable

y se puede reducir a untucin

p =

o cuya

terior.

Ecuaciones de segundo

dySustituyendo: -- = t

dx

o qu


iones diferenciales

er grado.

diferencial.

ner x = f(y, P)

1

P


af 1 af dp Y-.!!:L_ 6l-.!!:L12py;--ay p ap dy p2 dy dy

3 1 6l -.!!:L - _y_-.!!:L- - 12py -P P dy p2 dy

que se puede factorizar como:

(1 + 6p2y) (2P + y -.!!:L) Ody

donde: 2p + Y -.!!:Ldy

Yla solucin es: lp

0-2~Y

_ -.!!:Lp

= e

Ecuaciones de segundo orden cuando falta la variabledependiente y la variable independiente

Cuando falta la variable dependiente, la ecuacin en general es del tipo

(dy d2y)Fx---- =0, dx ' dx2

y se puede reducir a una ecuacin de primer orden en p, x, con la susti-tucin

p = (~) :. ~ = -.!!:Ldx dx2 dx

O cuya solucin ya se ha presentado en la seccin an-

terior.

Ecuaciones de segundo orden cuando falta la variable independiente.

F(y, ~,4) = Odx dxSustituyendo: ~

dx-.!!:L ~dy dx

dpp-dy

'F(y, p, p : ) = O que es una ecuacin de primer orden en p, y.



Ecuaciones de orden superior

Cuando se tiene la stguiente forma:

dn - 2 + B Y + ... + Ky = O dxn - 2

Con A, B . .. , K como constantes la ecuacin diferencial es lineal, y para cada raz real y diferente (a) de la ecuacin auxiliar:

pn + Apn - 1 + Bpn - 2 + . . . K = O

existe un trmino h exp (ax) en la solucin. Todos los trminos se suman para obtener la solucin de la ecuacin diferencial original.

Cuando a se repite una vez, el trmino correspondiente a las dos ra ces es:

(hx + k) exp (ax)

Si se repite dos veces, el trmino correspondiente a las tres races es:

(hx 2 + kx + l) exp (ax)

Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes (caso homogneo)

d2y dy --- + A - - + By = O, A, B = coeficientes constantes

dx 2 dx primero se encuentran las races de la ecuacin auxiliar m 2 + Am + B = O

Si las races son cantidades reales y desiguales (a y b, respectivamente), la solucin de la ecuacin es:

y = h exp (ax) + k exp (bx)

donde h Y k son constantes en la solucin general.

Si las races son iguales entre s (a), la solucin es:

y = (hx + k) exp (ax)


Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes (caso no homogneo)

~ dy + A - + By = f(x); f(x); O

dx2 dx

cuando f(x) es del tipo

xn, exp(mx), cos kx, sen kx

43

La solucin de la ecuacin diferencial tiene la siguiente forma: y = H(x) + P(x) , en donde H(x) es la solucin de la ecuacin homognea (haciendo f(x) = O), descrita antes. P(x) es la integral particular, tal como aparece a continuacin:

f(x)

a

axn

a exp(rx) e COS(kX)] d cos(kx)

gxn exp(rx) cos(kx) hxn exp(rx) sen(kx)

P(x)

A An xn + An- 1 xn - 1 + ... A1x + Aa B exp(rx) A cos(kx) + B sen(kx) An xn + . . . Aa) exp(rx) cos kx + (Bn xn + . . . Bo) exp(rx) sen(kx)

Cuando f(x) consiste en una suma de trminos, P(x) es la suma de las integrales particulares de cada uno de los sumandos, de acuerdo con la tabla.

Cuando alguno de los trminos en P(x) ya aparece en la solucin H(x), entonces ese trmino de la integral particular se multiplica por x.

Finalmente, la solucin se obtiene por sus~itucin de las integrales particulares conocidas de la tabla en la expresin y = H(x) + P(x). Este mtodo se conoce como el de coeficientes indeterminados.

Cuando la ecuacin se presenta como:

d 2y dy x2 -- + Ax -- + By = f(x); f(x) ; O

dx 2 dx sta se puede convertir en una ecuacin lineal de coeficientes constantes por medio de la sustitucin x -= exp (v), quedando:

_ d 2y dy + (A - 1) - + By = f(exp (v

dv 2 dv



Ecuaciones lineales con coeficientes no constantes

d2 d--~- + A(x) _Y- + B (x) y = f(x)dx dx

Como en los casos descritos en la seccin Ecuaciones que se pueden re-ducir a variables separables, la solucirt consta de dos partes: la solucinde la ecuacin homognea asociada y la integral particular.

, Para este caso, la integral particular es de la forma siguiente:

P(x) = ufl + v12

u, v se determinar de las siguientes condiciones:

U' fl + u' 12 = O

u' f + u' f2 = f(x)

en donde fl y f2 son parte de la solucin de la ecuacin homognea (H(x)),en donde H(x) = CVl (x) + c?.h(x) que debe ser determinada de antemano.Adems:

du 12u' f(x)

dx fV2 - hf

dv fl f(x)v" =dx fV2 - 12f

Como fl,12 Yf(x) son conocidas, u y v pueden encontrarse por integra-cin directa y as obtener P(x).

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESCON COEFICIENTES VARIABLES

Existen muchos casos en aplicaciones de la Ingeniera en que las ecuacio-_nes diferenciales que describen la situacin tienen coeficientes que sonfunciones de las variables involucradas.

Ejemplos de estos casos son las ecuaciones de Bessel y de Legendre,donde las soluciones no son funciones algebraicas elementales.

1. Las soluciones aparecen en forma de una serie de potencias y elmtodo se conoce como mtodo de series de potencias; en principioes aplicable a cualquier ecuacin simple, aunque su uso principales con ecuaciones de coeficientes variables.

Ecuaciones diferenciales line(

Procedimiento

Se propone que y (la sofinita:

y, en consecuencia, tan

00

y' E mCm:m ; O

Al sustituir estos valorecin algebraica de la qltes de las series y presenentre otras, en las serie

Series de potencias

En (x - a)00

Series de McLaurin

00

E xm 1 +m = O

00

Exm

m!m; O

00

x21

E (- l)m_ 2nm = O

00

E (- l)mx2m +

(2m +m ; O


iones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales 45

antes Procedimiento

Se propone que y (la solucin) puede ser representada por una serie in-finita:

00

ue se pueden re-artes: la solucincular.a siguiente:

y E Cm xmm = O

y, en consecuencia, tambin sus derivadas:

00 00

y' E m Cm xm- 1m = O

, y" E (m - 1) m Cm x'" - 2m = O

omognea (H(x)),da de antemano.

Al sustituir estos valores en la ecuacin diferencial se obtiene una ecua-cin algebraica de la que pueden conocerse los valores de los coeficien-tes de las series y presentar los resultados en funcin de ellas, apoyndoseentre otras, en las series de McLaurin.

Series de potencias

En (x - a)00

E Cm (x - a)'"m = O

rse por integra- Series de McLaurin

00

1 + x + x2 + ... (1 - x) - 1

m = O

e potencias y el; en principio

su uso principal

00

E x'" + x + x2/2!1 + exp(x)m!m = O

00x2m x2 x4E (- 1)m --- 1 - + + cos(x)2m! 2! 4!

m = O

00

E 1)mx2m + 1 x3 x5(- X - + - sen(x)

(2m + 1)! 3! 5!m = O

que las ecuacio-icientes que son

1Yde Legendre,entales.



Ejemplo

Cuando la ecuacin es y" + y = 0, sustituyendo las series correspondientesse obtiene:

00 00

E (m - 1) m Cm xm - 2 + E Cm xm m = O m = Opara m = 0, 1, 2, 3 Y 4

Igualando potencias de x a ambos lados de la igualdad

(Co + 2C2) = 0,(CI + 6C3) = ,(C2 + 12C4) = 0,

Co/2 -- Co/2!CI/6--CI/3!C2/12 = Co/2H2 - - Co/4!

entonces la solucin propuesta es como sigue:

Co 2 C 3y = Co + Cx - -- x -- x

2! 3!Co 4+--x + ...4!

Reagru pando:

y = e; ( 1 ~~ + :~) + Cl (xSustituyendo por series de McLaurin:

3!x5

)+ --5!

y = Co(cos x) + C(sen x)

que es la solucin, con dos constantes arbitrarias por determinar con ayudade las condiciones de frontera.

Dos ecuaciones diferenciales importantes Solucin por series

(x + 1) Y + (x + y) y = O; y = Co(l + x) exp(x)

(1 - x2) y" - 2xy + n( n + 1) Y = O; y = CoY + CY2

x3 x5Y2 = (1 - C3 -- + C- -- + ... )3! "5!

Co y C son constantes arbitrarias; as, las dems constantes se obtienen de la expresin:

(n - s) (n + S + 1)Cs + 2 = - -------- Cs

(s + 2) (s + 1)

Ecuaciones diferenciales linec

Cuando n > 0, enteobtencin de los coefic

Cn-2m = I

Al calcular los coefirsiguiente:

y LEo (- 1)'y se le llama polinomio d

Pn(x)

Algunos valores del poi

Po (x) 1p(x) x

1P2(X) - (3x2 1)

21

P3(X) - (5x3 - 3x)21

P4(x) - (35x2 30x81

P5(X) - (63x5 70x38

Cuando en la ecuaccomo en el siguiente ca

x2y" + x a(x) y' + b (x)


Po(x)p(x) x

1P2(x) - (3x2 1)

21on ayuda P3(X) - (5x3 3x)2

P4(x) 1 2 + x)- (35x - 30x81

P5(X) - (63x5 - 70x3 + 15x)8

!iferenciales

ondientes

o

- - Co/4!

... )

+ ... )

expresin:

Ecuaciones diferenciales lineales47

Cuando n > 0, entero, la expresin anterior no es adecuada para laobtencin de los coeficientes y se usa la expresin:

e" _ 2m (-l)m (2n - 2m)!2" m! (n - m) ! (n - 2m)!

Al calcular los coeficientes de esta manera, la solucin tiene la formasiguiente:

yPnl)m (2n - 2m)! 2m)! x" - 2m]2"m! (n - m)! (n -

y se le llama polinomio de Legendre de grado n.

Pn(x) = (x); M = [n12 el que seay, (n - 1)/2 un entero

Algunos valores del polinomio de Legendre

Cuando en la ecuacin diferencial los coeficientes no son analticos,como en el siguiente caso:

x2y" + x a(x) y' + b (x) y 0, pero a y b s sonanalticas (diferenciables)


,""- Ecuaciones diferenciales48

entonces:

a(x) b(x)y" + ---y' +','--'---'--'--yX x2,

o siempre tiene una solucin del tipo:00

y xr E Cm xmm = O

El sistema para obtener esa solucin se conoce como el mtodo de Fro-benius:

a(x) y b(x) se expanden en series de potencias:

a(x)

b(x)

aa + a1 x + a2x2 +

bo + bl X + b2 x2 +

Al sustituirlas en la solucin propuesta y en sus derivados se obtiene:

00 00

y E Cm xm + ': y' E (m + r) Cm xm + r - 1m = O m = O

00

y" E (m + r - 1) (m + r) Cm xm + r - 2m = O

Siguiendo el mismo procedimiento de la seccin anterior de coefi-cientes analticos, factorizando e igualando a cero los coeficientes de laspotencias de x, se obtiene la siguiente expresin:

[r(r - 1) + ao r + boJ Ca = O; Co ~ O

r2 + (co - 1) r + ba = O

que se llama ecuacin indical, con dos soluciones: rl Y r2'

Existen tres casos:

1. rl2. rl3. rl

~ r2, Ydifieren por un nmero fraccionario.r2'

~ r2, Ydifieren por un nmero entero.

Ecuaciones diferenciales linea

Primer caso (rl ~ r2)00

Y1 = xr1 E Cmxj,l -19,5Cloruro de platino PtCI2 17,7Acetato potsito ................ KC2H,O, 173,2 ex> 3,68Carbonato potsico K2CO, 273,93 1000 7,63Clorato potsico ..... KCIO, 93,50 ex> + 9,96Cloruro potsico KCI -104,175 ex> + 4,115Cromato potsico K2CrO. 330,49 ex> + 4,49Cianuro potsico KCN 26,90 ex> + 2,80

-14,96 Dicromato potsico K2Cr207 485,90 2000 + 17,20Fluoruro potsico KF 134,46 ex> - 4,24

+ 4.2 Nitrato potsico KN02 117,76 ex> + 8,35+ 3,4 xido de potasio ....................... K20 86,4 ex> -75,28+ 3,2 Sulfato potsico K2S0. 342,66 ex> + 5,68

Sulfuro potsico .... K2S 100 400 9,9Sulfito potsico .. K2S02 266,9 ex> 2,2Tiosulfato potsico. K2S20, ae 274Hidrxido de potasio . KOH 101,78 ex> -13,22Nitrato potsico KNO, 117,76 ex> + 8,348Permanganato potsico KM nO" 194,4 4000 + 10,5xido de selenio ...... Se02 55,0 ex> + 0,93Carburo de silicio SiC 26,7Tetracloruro de silicio. SiCI4 I 153,0Tetracloruro de silicio. SiCI" g 145,7Dixido de silicio Si02 Cuarzo,c 205,4

- 7,77 Bromuro de plata ...................... AgBr 23,78Cloruro de plata ................... AgCI 30,362

00 -19,63 Nitrato de plata .................... - .... AgNO, 29,43 ex> + 5,37Sulfato de plata ..................... _- .. Ag2S0. 170,50 ex> + 4,50Sulfuro de plata. Ag2S a, e 7,60Acetato sdico NaC2H,02 169,8 ex> 4,322Arseniato sdico. Na2As04 365 500 -16,5Tetraborato sdico . Na2B407 777,7 900 -10,2

-19,2 Barato sdico Na2B,,07IOH20 -1497,2 900 + 26,1Bromuro sdico NaBr 86,030 ex> - 0,15Carbonato sdico .. Na2C03 270,3 400 - 5,6Carbonato sdico .... Na2C02IOH20 975,6 400 + 16,5

-34,03 Bicarbonato sdico NaHC03 226,5 ex> + 4,0-20,43 Clorato sdico. NaCIO, 85,73 ex> + 4,95

Cloruro sdico NaCI 98,232 ex> + 0,930Cianuro sdico .............. ""." NaCN 21,46 200 + 0,26

- 7,968 Fluoruro sdico NaF 136,0 ex> + 0,06+ 8,70 Hidrxido sdico ...................... NaOH 101,99 ex> -10,246+ 2,03 loduro sdico Nal 68,84 ex> 1,81-20,31 Nitrato sdico .......................... MaNO, 101,54 ex> - 5,111- 6,7 Oxalato sdico ... I Na2C204 314,3 600 + 3,8

O - 3,2 xido de sodio ... ....... ,........... ..INa20 99,4 ex> -56,8- 7,9 Fosfato trisdico. Na2P04 460 1000 -13,9- 2,4 Fosfato disdico . Na2HPO. 417,4 1000 6,04- 3,1 Fosfato monosdico . NaH2P04 en 300 H20 367,7

Fosfito sdico. Na2HP02 338 800 9,5


100 Termodinmica

Tabla 3.9 (Continuacin)

Calor de Moles Calor deCompuesto Frmula Estado formacin, de disolucin,

!J.H agua !J.H;0

Seleniato sdico Na2SeO, 258 00 1,7Seleniuro sdico. Na2Se 63,0 00 -19,9Sulfato sdico ............................ Na2S04 330,90 00 - 0,56Sulfato sdico Na2S04 10H20 -1033,48 00 + 18,85Bisulfato sdico NaHS04 269,2 200 - 1,4Sulfuro sdico Na2S 39,2 800 -15,16Sulfuro sdico .... Na2S4 Y,H20 416,9 800 + 5,11Sulfito sdico .... ......................... Na2S03 260,6 00 - 3,2Bisulfito sdico ...... NaHS03 dil -206,6Silicato sdico .... Na2SiO, vidrio 360

. Fluosilicato sdico. Na 2SiF4 677 600 + 5,8Dixido de azufre. S02 g 70,96 1Q000 9,90Trixido de azufre S03 g 94,45 00 -54,13cido sulfrico ..... H2S04 1 193,91 00 -22,99xido de teluro .. Te02 77,69 00 + 1,31Cloruro de estao ..... SnCl4 130,3 HClac -29,9Cloruro de estao SnCl2 83,6 HClac - 0,4xido de estao. Sn02 138,8xido de estao SnO 68,4xido de titanio Ti02 amorfo 207xido de titanio Ti02 Rutilo, e 218,0xido de tungsteno W02 136,3xido de vanadio. V20, 373Acetato de zinc o., Zn(C2H302) 258,1 800 - 9,8Bromuro de zinc ZnBr2 78,17 00 -16,06Carbonato de zinc .... ZnC02 194,2Cloruro de zinc ..... ZnCl2 99,40 00 -17,08Hidrxido de zinc Zn(OHh 153,5Ioduro de zinc ... ZnI2 49,98 00 -13,19xido de zinc ... ZnO 83,17Sulfato de zinc ZnS04 233,88 00 -99,45Sulfuro de zinc ZnS 48,5xido de circonio . Zr02 258,2

Fuente: O.A. Hougen, K.M. R.A. Ragatz. Chemical Process Principies, Torno 1. 2da.Ed. Wiley. Nueva York. Tabla 29. Pgs. 297, 298, 299, 300, 301 Y 302.

Mezclas y calores de disoli

Tabla 3.10 Potencia caTodas las potencias calori

ratura. Dichas potencias de lossignificativas que.las necesaria!significado de las pequeas di!cas -hrp o son de combustin (otros valores de las referenciasdmica solamente, puesto quelos smbolos: al escoger una po(s) = slido; (1) = lquido; (g) =el estado natural del combustiblos valores correspondientes a (lorfica superior para H,O cose aplique, el calor latente de

Combustible

SLIDO (s)Antracita*Carbn bituminoso*Carbn grafitico (hasta C02)Carbn graftico (hasta COlCoque de horno de colme-

na (metalrgico)Lignito'AzufreMadera de roble secada al

aire*NORMALMENTE

LQUIDO (1)Bencenon-decanon-dodecanoAlcohol etlico

Aceite combustible'(FuelOil)

Gasolina*nheptanon-hexadecanoKeroseno*Alcohol metlicoNonanon-octanoOctanon-pentanoNORMALMENTE GAS (g)AcetilenoGas de alto horno*n-buranoMonxirlo de carbonoCiangeno [a CO2 y N2lEtanoEtenoHidrgenoMetanoGas natural=PropanoGas de refinera=

Fuente: V.M. Faires, TherVI.


Termodinmica Mezclas y calores de disolucin

Tabla 3.10 Potencia calorfica de combustibles a presin constante.Todas las potencias calorficas son para un estado de referencia a 25C, O virtualmente a esta tempe-

ratura. Dichas potencias de los hidrocarburos se tomaron de la referencia (22), y se dan con ms cifrassignificativas que las necesarias para la precisin de las potencias individuales, con objeto de retener elsignificado de las pequeas diferencias entre el estado lquido y el gaseoso. Todas las potencias calorfl-cas -h,.po son de combustin completa hasta el estado ms estable, excepto C hasta CO. Se han tomadootros valores de las referencias (5) y (7). Los valores marcados con un asterisco (*) son para enseanza aca-dmica solamente, puesto que las composiciones y las potencias calorficas varan mucho. Significado delos smbolos: al escoger una potencia calorfica utilcense (s), (1), o (g) para indicar la fase del combustible:(s) = slido; (1) = lquido; (g) = gas. A menos que se indique otra cosa eljase la potencia calorfica segnel estado natural del combustible; por ejemplo, el benceno es normalmente lquido, por lo tanto utilcenselos valores correspondientes a (1). (a)Potencia calorfica inferior para H20 no condensada. (b) Potencia ea-lorfica su perior para H20 condensada. En todos los casos, el C02 est en estado gaseoso. En dondese aplique, el calor latente de vaporizacin es el ghO de la ltima columna menos el g"O de la quinta.

-h,pO KcallKg de -h,p o KcallKg decombustible slido combustible gaseoso

o lquidoCombustible Frmula M

Inferior I Superior Inferior I Superior(a) ql" (b) qh" (a) ql" (b) qh"

SLIDO (s)Anlracita* 7405 7522Carbn bituminoso* 7278 7555Carbn graftico (hasta C02) C 12.01 7832Carbn graftico (hasta COl C 12.01 2200Coque de horno de colme-

na (metalrgico) 6917 . 6961Lignito* 3722 4083Azufre S 32.06 2211Madera de roble secada al

aire* 4444NORMALMENTE

LQUIDO (1)Benceno C6H6 78.108 9588 9992 9692 10095n-decano CIOH22 142.276 10567 11379 10653 11465n-dodecano CI2H26 170.328 10537 11339 10622 11424Alcohol etlico C2H60 46.068 6627 7312Aceite combustible* 10278 10044

(FuelOil)Gasolina* 10444 11222n-heptano C7HI6 100.198 10643 11482 10730 11569nhexadecano CI6H31 226.432 10499 11288 10584 11373Keroseno* 10278 11055Alcohol metlico CH.O 32.042 5043 5699Nonano C9H20' 128.25 10587 11406 10673 11493n-octano C8HI8 114.224 10611 11439 10698 11526Octano C8HI6 112.208 10555 11305 10643 11392n'pentano CSHI2 72.146 10744 11619 10833 11707NORMALMENTE GAS (g)Acetileno C2H2 26.036 11519 11922Gas de alto horno' 611 622n-butano C4HIO 58.120 10831 11735 10919 11824Monxirlo de carbono CO 28.01 2414Ciangeno [a C02 y N21 C2N2 80.052 3272Etano C2H6 30.068 11342 12391Eteno C2H4 28.052 11264 12014Hidrgeno H2 2.016 28650.7 33887.6Metano CH, 16.042 11945 13256Gas natural* 11389 12778Propano C2H8 44.094 10985 11939 11072 12025Gas de refinera* 10839 11889

Moles Calor dede disolucin,agua l>.H;0

00 - 1,700 -19,900 - 0,5600 + 18,85200 - 1,4800 -15,16800 + 5,1100 - 3,2

600 + 5,810000 9,90

00 -54,1300 -22,9900 + 1,31

HClac -29,9HC! ac - 0,4

800 - 9,800 -16,06

00 -17,08

00 -13,19

00 -99,45

s, Tomo 1. 2da.y 302.

Fuente: V.M. Faires. Thermodynamics. Me. Millan. Nueva York, 1960. Pg. 252. TablaVI.

101


102 Termodinmica

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINMICA La conservacin de la energa es un requerimiento mnimo que todo pro-ceso real debe satisfacer. Sin embargo, esta ley no explica algunos proce-sos naturales. Hay procesos que tienden a efectuarse de una manera y no de la contraria, como el que un gas se desplaza de una regin de alta presin a una de baja o que el calor fluye de una regin de alta tempera tura a una de baja. Por ello se dice que los procesos naturales o espont-neos tienen una direccin que no puede ser explicada por la Primera Ley de la Termodinmica.

Hay una propiedad de la materia, una funcin de estado que puede usarse para predecir la direccin de un cambio espontneo y el estado de equilibrio de un sistema; esta funcin recibe el nombre de entropa. En un proceso irreversible la entropa del universo crece; en un proceso reversible la entropa del universo permanece constante.

Otra propiedad muy til asociada con la entropa es la energa libre de Gibbs. En una transferencia de calor reversible el calor adicionado al sistema debe ser igual al tomado de los alrededores, pero adems en tal proceso la diferencia de temperaturas en cualquier momento del proce-so debe ser diferencial. Para un proceso reversible cada incremento de la entropa debe ser idntico al de los alrededores, pero de signo opues-to. La suma algebraica de los cambios de la entropa de un sistema ms el de los alrededores debe ser cero para cualquier proceso reversible.

Segunda ley de la termodinmica

IlS i~ dQ;ev IlS incremento de entropa Qrev calor reversible

para un proceso irreversible

IlStotal = IlSsistema + IlSalrededores > O

para proceso reversible

,

IlStotal = IlSsistema + IlSalrededores O (ver tabla 3.11)

Energa libre de Gibbs

G H - TS


Relaciones termodinmicas

donde:

e = energa libre, H = entalpa, S = entropa

para proceso irreversible

~e

104

Tabla 3.11 Relaciones de Maxwell.

Termodinmica

( ;; )T

( :~ )s( :~ )T

( :~ )s( :~ )s( :~ )v

( :~ )p

( :~ )p

( ;~ )p

( ~~ )p

( :; )v

( :~)v( :! )v( ~~ )T

( :; )s( ~~ )T

Tabla 3.12 Algunas relaciones especiales.

(~~)T=V (:~)p=-S( ~ ~) v = Cv ( : ~) p = Cp

(aapT)H = MJf Coeficiente de Joule Thompson


Tabla 3.13 Funciones te

(:~)s=-I(:;)s = (~(:~)r = ({(;;)T =-(:~)v=(~(!~)s = ({(:~)p= ({

La energa libre y

.


Tabla 3.13 Funciones termodinmicas tiles.

C~)S =-( :~)v C:)S=( :;)p

(:~)T= (:~) v (: ;)T =-C ;)P

(:~)v = (:;)p = T (: ~ ) S = ( :~ ) T = - p (:~)p = (:~) =-S

Cv = T (~) = (~) a T P a T v

( a Cv ) ( a2

p ) avT=T ~v (~) = T(~)-P a v T a T

(:;)S = ( : ~)T = V cp = T ( : ~ ) P = (: ~) P

La energa libre y las reacciones qumicas

~GO . ~G~

tJ0 - T~So Enp ~GJJ,. - E nR ~Gjk

Cambio de energa libre estndar.

105

~G~ ~G.P Energa libre de formacin de los productos a 25C.

para la reaccin

aA + bB - ce + dD

~Go + RT In Pt P g PXP~ ~G Energa libre de reaccin a T. Pc = Presin parcial del producto C.

En el equilibrio ~G = O ~Go = - RT In K

K Constante de equilibrio de la reaccin T.

'\ http://carlos2524.jimdo.com/

Tab

la3.14

Funciones

derivadas

delasfunciones

term

odinm

icas.

Funcin

(afuncin

)(a

funC

in)

(afU

nCi

n)(a

funci

n)aT

P,Ni

apT,N

iaT

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avT,N

i

UCp

_p(aV

)-T(:

~)p-p(:

;)TCv

T(~)

-paT

PaT

v

v-T(~

)Cv

+v(~

)(ap

)(ap

)H

cpT--

+v--

aTP

aTv

aTv

avT

:-(:~

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S--

TT

G-s

V-s+

v(~)

v(;~)

TaT

l'

A-S-P

(~)

-PC;

)T-s

-PaT

P

ui-Si

Vi-(::JT,

1',Nj

~i

-(::JT

,v,Nj

~i

Hi-H

iVi

-l[(aU)

]-;

T(::J

T,v,Nj~

iIn

fi-

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-Hi

RT2RT

RT2aN

iT,I

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Equilibrio entre fases

Dependencia del equilibrio con la temperatura

donde:

K2 ln--K 1

Mio R (+,-+.)

Mio Cambio de entalpa o entalpa de reaccin a 25 C. K 2 Constante de equilibrio a T2. K 1 Constante de equilibrio a TI. R Constante de los gases.

TERCERA LEY DE LA TERMODINMICA

s - So

So O

EQUILIBRIO ENTRE FASES

107

Equilibrio es un vocablo que denota una condicin esttica o una ausencia de cambio. En termodinmica se considera que significa la ausen-cia no slo del cambio sino tambin de cualquier tendencia hacia el cam-bio en una escala macroscpica. El equilibrio en la transmisin de calor est dado por la uniformidad de la temperatura; el equilibrio en mecni-ca se determina por la igualdad de fuerzas o presiones. El equilibrio en qumica es ms difcil de definir, pero puede indicarse que est dado por la igualdad del llamado potencial qumico de las especies qumicas que componen el sistema entre las fases .

Si se considera el caso de la disolucin de un gas en un lquido, la energa libre molar del gas ser:

Ggas = GO + RT In PIpo

mientras que la energa libre molar del gas disuelto en el lquido ser:

\ Glq = GO + RT In e

G recibe el nombre de potencial qumico p., yen el equilibrio se debe-r dar que:

p.,gas p.,lquido


108 Termodinmica

Tabla 3.15 Entropa de formacin de algunos compuestos y elementos. (a 298K)

So (calr? K gmol)

AgCl 22.97 Ca(OHh 18.2AgN03 33.68 CaCl2 27.2Al203 12.186 CaS04 25.5B203 18.8 CaC03 22.2BaCl2 30 Fe203 21.5BaS04 31.6 Fe304 35CO 47.3 FeS2 12.7CO2 51.061 H2O(g) 45.1CH4 44.5 H2O(I) 16.71C2H2 47.99 HF 41.47C2H4 52.45 HCl 44.617C2H6 54.85 HBr 47.437CHgH 30.3 HI 49.314C2H5OH 38.4 H2S 49.15CCl4 51.25 HN03 37.9CS2 36.1 HCOOH 60CdCl2 28.3 HCHO 52.26CdSOg 32.8 HCN 48.23CdS 17 KMn04 41.09CuO 10.4 KCI 19.76CuCI 21.9 K2S04 42CnSOg 27.1 KBr 23.05CaC2 16.8 Kl 24.94CaO 9.5 Mn02 12.7MgC03 15.7 Ca 9.95NO 50.339 C grafito 1.3609N02 57.47 Cl2 53.29N20 52.58 F2 48.6N204 72.73 H2 31.211NH3 46.01 12(g) 62.28NH4Cl 22.6 K 15.2(NH4hS04 52.65 Mg 7.77NaCI 17.3 Mn 7.59Na2S03 34.9 Ni 7.2Na2S04 35.73 O2 49NaN03 27.8 N2 45.76Na2C03 32.5 Na 12.2Pb02 18.3 P blanco 10.6PbO 16.2 S rmbico 7.62Pb304 50.5 Ti 7.24PbS04 35.2 Zn 9.95S02 59.4S03 61.24S02 11.2ZnCl2 15.9ZnS 13.8ZnS04 29.8ZnO 10.5Al 6.769Ba 16B 1.56Br2 58.639


p = presin; po = preen el estado de refererDe lo anterior:

eO gas +constar

Fugacidad

Para gases que no obecidad, que es una funcnes de la idealidad. f

I

I: Fugacidad

a Llo

lG RTln a

De lo anterior sefases se requiere:

en donde:

1", pV TemTL y pV Tem

f v Fuga.ti v Ener

taml


Equilibrio entre fases 109

P = presin; po = presin en el estado de referencia, GO = energa libre en el estado de referencia; R = constante de los gases; T = temperatura. De lo anterior:

Fugacidad

P GO gas + RTln--Po G0 1q + RT In e

constante que depende de los estados de referencia

Para gases que no obedecen la ley de los gases perfectos se utiliza la fuga cidad, que es una funcin de la presin que toma en cuenta las desviacio-nes de la idealidad. f = fugacidad

de = VdP = RT d In f

f - P, P - O; L - 1, P

le = RTln L fo fo Fugacidad en el estado de referencia.

a f fo

a actividad

le RT In a

De lo anterior se deduce que para que exista el equilibrio entre dos fases se requiere:

en donde:

1', p V T L Y p V

;V .ti v

Temperatura y presin de la fase vapor. Temperatura y presin de la fase lquida. Fugacidad del componente i en la fase vapor. Energa libre molar del componente i en la fase gaseosa, tambin conocida con el nombre de potencial qumico.


110 Termodinmica

Para sistemas ideales

ofr = P-rji-v -P = PIYi (Ley de Dalton)

Presin total.Fraccin mol de i en la fase gaseosa.

L -fi = P? x,

P, = Presin de vapor del componente i.

(Ley de Raoult)

Xi Fraccin mol del componente i en la fase lquida.

Sustituyendo:

P-di P? XiP? --XpT '

Para sistemas no ideales

t; -_vf\,-v: i Yi

HV Fugacidad de i puro en el vapor a T y P.'Yiv Coeficiente de actividad de i en el vapor.

f-L = ",LfoL X1 11 1 1fiL Fugacidad del componente puro i en el lquido.'YiL Coeficiente de actividad de i en la fase lquida.

Por lo tanto:

'VVfoV y-o = ",LfoL X11 1 Z 1I 1 Z

K = ~i coeficiente de distribucin o constante de equi-x, librio

en donde:

i;


o tambin:

en donde:

4>iL JL eP

4>iV 'Ylr"P

Presin de vapor

Tanto de los lquidos Itienen una energa su

Supngase que uncuado. Las molculas (

2

.0 I!!!!

~8~6 ... ~" ..5f-- t- ~4 ~ "'1' P.

.;>

Equilibrio entre fasesTermodinmica

o tambin:

"

n)

0.10.2 0.3 0.4 20

en donde:

Coeficiente de fugacidad del lquido,

Coeficiente de fugacidad del vapor.

Presin de vaporquida.

Tanto de los lquidos como de los slidos se desprenden molculas quetienen una energa superior a la del promedio.

Supngase que un lquido est encerrado dentro de un recipiente eva-cuado. Las molculas del lquido cruzarn la superficie y llegarn a la fa-

11

11.....-:e::9-- _.0 10'8 ,~ '/.~2.0 7T7)lo-.: 15 i-1.5 r//..:-- ~"::' ~~ , ".' . :-v-~~ ~ ~ li1.0 -r-... r-, ..... 1.3'--f- r. ~'~~ ~ I.I~ ~ 1/"'Q :'U.8, " ~ .. /

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112 Termodinmica

se vapor, y all se comportarn como un gas movindose en todas direcciones, de manera que, eventualmente, algunas regresarn hacia la superficie lquida, donde sern atrapadas por las fuerzas intermolecula res. El proceso continuar hasta el momento en que la cantidad de mol culas que salgan sea igual a las que entran.

La presin ejercida en el recipiente en ese momento es la presin de vapor y depende solamente de la temperatura.

La presin de vapor de muchas sustancias se puede obtener mediante

la ecuacin de Antoine, que tiene la forma log po = A _ ( __ B_) , T+ ()

en donde A, B Y () son constantes caractersticas de cada sustancia (tabla 3.] 6).

p

Una ecuacin muy empleada para conocer el valor de la presin de vapor de una sustancia a una temperatura, cuando se conoce un dato, es la ecuacin de Clausius Clapeyron:

In p~ P?

p~ Presin de vapor a T2. Pp Presin de vapor a TI.

/j.fo

T (+,-+,) /j.fo Calor latente de vaporizacin.

Para obtener la presin de vapor tambin se suelen emplear las lla madas grficas de Cox, en las que se grafica el logaritmo de la presin de vapor contra la temperatura para muchas sustancias. (figura 3.9).


Termodinmica Tabla 3.16 Constantes de Antoine para obtener la presin de vapor.

dose en todaslogo P" = A - B/(e + t)

esarn hacia la P" es la presin de vapor en mm de Hg y t es la temperatura en grados centgrados.

intermolecula-Nombre Frmula Rango e A B e

tidad de mol-

Acetaldehdo C2H4O -45 a + 70 6.81089 992 230O es la presin cido actico C2H402 36 a 170 7.18807 1416.7 211

Acetona C3H6O 7.02447 1161 224tener mediante Acrilonitrilo C3H3N -20a+ 140 7.03855 1232.53 222

- (T: o). Amoniaco NH3 -83 a ., C 7.55466 1002.711 247.88Benceno C6H6 -5.5 a 104 6.90565 1211.033 221n-butano C4HlO 6.83029 945.9 240

sustancia (tabla Isobutano C4HlO 6.74808 882.8 227.4Cloroformo CHCI3 -30 a + 150 6.90328 1163.03 222.863Ciclohexano C6H2 -50 a200 6.84498 1203.526 231.361Ciclopentano C5HlO 6.88676 1124.162 212.59Decano C!OH22 10 a 80 7.31509 1705.6 256Etano C2H6

t6.80266 656.4 217

Acetato de etilo ' C4Hg02 -20a150 7.09808 1238.71 222.65Alcohol etlico C2H6O 8.94494 1554.3 255Etileno C2H4 6.74756 585.00 213.206Etil benceno C6H5C2H5 6.95719 1424.255 213.12Etil ciclohexano C6HC2H5 6.87041 1384.036 215.128nheptano C7H6 6.90240 1268.115 216.9n-hexano C6H14 6.87776 1171.53 224.366Metano CH4 6.61184 389.93 266Alcohol metlico CH40 -20 a +' 140 7.87863 1473.11 230Naftaleno C!OHg 6.84577 1606.519 187.227noctano CsHg 20 a 200 6.92379 1355.126 209.517n'pentano C5H2 6.85221 1064.63 232Propano C3Hg 6.82973 813.2 248Alcohol proplico C3HsO 7.99733 1569.7 209.5Alcohol isoproplico C3HgO O al13 6.66040 813.055 132.93Propileno C3H6 6.8196 785 247

de la presin de Estireno CSHg 6.92409 1420 206conoce un dato, Tolueno C7HS 6.9564 1344.8 219.482

Agua O a 60 8.10765 1750.286 235Agua 60 a 150 7.96681 1668.21 228

) o-xileno CgH!O 6.99891 1474.679 213.686mxileno CSHlO 7.00908 1462.266 215.105pxileno CsH!O 6.99052 1453.43 215.307lbuteno ,-81 a 12.5 6.84290 926.1 240i-pentano C5H2 -50 a 57 6.85221 1064.5 232Bromuro de carbono CS2 -10 a 160 6.85145 1122.5 236.46Bromuro de etilo C2H5Br -50 a 130 6.89285 1083.8 231.7Metiletilcetona 6.97421 1209.6 216

emplear las lla- Ejemplo para el tolueno:o de la presin

log. p =1344.8

as. (figura 3.9). 6.9564 - 219.482 + t

113


114

ne-

1H-1-H+++-+-+-

Presin de vapor, kglcm2

\\

Termodinmica

c.JeoVu...elJ:l':el

~-O~

- .n-- '"e", ':!- '"~....- .5:l~

'O

.0 ro ccir- UI ;:: "

116 Termodinmica

A, B

A, B

El equilibrio en destilacin se suele representar mediante el diagra ma ji vs. x a presin constante. En dicho diagrama cada punto de la grfi ca x vs. ji est a una temperatura diferente (ver captulo 6, Transferencia de Masa, sub tema Destilacin).

En la fase gaseosa: jAc = P~ yA Ley de Dalton En la fase lquida: P AL = _ P'A XA Ley de Raoult En el equilibrio: P AC = P AL

en donde:

t:.AL Presin parcial de A en la fase lquida. P A:cG Presin parcial de A en la fase gaseosa.

YA Fraccin mol de A en la fase gaseosa. XA Fraccin mol de A en la fase lquida. P'A Presin de vapor del componente A puro. PT Presin total.

El equilibrio en destilacin se suele representar mediante el diagra ma y vs. x a presin constante. En dicho diagrama cada punto de la grfi ca x vs. y es t a una temperatura diferente (ver captulo 6, transferencia de Masa, subtema Destilacin).


Regla de las fases de Gibbs 117

En cristalizacin, el equilibrio se da entre' un slido y un lquido; en l los grados de libertad son: Gr. = 2 - 2 + 2 = 2.

Las variables intensivas son la presin, la temperatura y la concentra cin de la fase lquida. La concentracili de la fase slida es constante; por ello, si se fija la presin y la temperatura existir slo una concentra cin mxima o de equilibrio que pueda tener la solucin. Esto da origen a las llamadas cartas de solubilidad, muy utilizadas en cristalizacin, di solucin y extraccin slidolquido (figura 3.10).

T

En absorcin el equilibrio se presenta entre un gas soluble en un lo quido y la disolucin.


118 Termodinmica

Gas A

En este caso:

Gas A

Lquido B

Las variables intensivas son T, P Yla concentracin del gas A en lafase gaseosa y en la lquida. Con tres grados de libertad puede fijarse T,P Yla concentracin del lquido; con ello la concentracin del gas en equ i-librio con la disolucin queda fijada.

De esta manera se pueden construir los diagramas de absorcin a Py T constantes. La solubilidad de los gases puede predecirse mediante laecuacin de Henry PA = H XA (figura 3.11):

en donde

PA = presin parcial de A en la fase gaseosa, XA = concentracin deA en la fase lquida, H = constante de Henry (ver captulo Transferenciade Masa, Absorcin). Para datos de algunas constantes de Henry recrra-se a la figura 6.4 y a la tabla 6.14 (captulo 6).

100 "e

80

!lO105100

95

90

85

~ 80o

:"' 75:l;o 70e,~ 65f-

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.... ~ ~ r e ... ;:l' ~' , ~ Dl ~


Termodinmica Gases reales 139

Para cualquier proceso:

----,.....I;.I.!:.~

~~I(~

~ L---l

Apndice IX. Factores de compresibilidad.

~

oC')

140

m"-en (X) r--.

""'=l'"e~~";:'OuO....:.,c:".s>., --.c: -,~g"..,P.,::""elc:'oe.2e""el'":2~" .n0..0>E eoO ,'"u p.." -"el"' '"" eoa" ;:; u -~

.;::

" .~"el"' -'" &... .sc

142

dS Cv --dT +

T

Termodinmica

(~) dV iJT v Cambios e n un gas real

H~ Entalpa de un gas idea l a la presin de referencia y a T" HpI Entalpa de un gas a la presin P, y T"

Te Temperatura crtica.

(H31 - H p l ) Los factores Te se obtienen de la grfica de la figura 3.15.

fugacidades e n el es tado 1 y 2 (figura 3.8) .

J

S 2 ...

~ 1 '/ :/ 1/1.1 :I:: I u 8. >- 0.8

:I:: 0.6 0.5 V. 0.4~ n 1/ 1/.

/ V;

0.2 V '/ ~ -II

1/1/ )8~ /. 0.1 ,11,1 v.; ,01 1,0; 1,0 )4 1,06 ),2 O,: 1,6 ,1.( 2 3 4 5 6 8 10 PRESiN REDUCIDA - Pr

Figura 3.15 Efecto de la pres in sobre la entalpa de gases. Fuente: M. Torneo La cru e. Elementos de Qynica Tcnica. Ed. Labor. Barce lo na. 1969. Pg. 130 . Fig. 2 . 11.


Termodinmica

P2) Te

encia y a TI'

figura 3.15.

T - R ln h.11

~)\

emperalura reducida.

resinreducida.

3 4 5 6 8 10

: M. Torneo La-.130. Fig. 211.

Gases reales 143

Tabla 3.2~ Propiedades crticas.

Sustancia P,(aun) Te K m3Vc--kgmol

Acetileno 62 308.88 0.112Aire 36.5 132.77 0.086Amoniaco 111.3 405.55 0.072Benceno 48.7 562.77 0.256n-butano 37.5 425 0.255Dixido de carbono 72.9 304.41 0.094Monxido de carbono 34.5 132.7 0.093Fren 12 39.6 384.44 0.221Etano 48.2 305.55 0.148Etileno 50.5 283.33 0.124Helio 2.26 5.18 0.057n-heptano 27 540 0.426Hidrgeno 12.8 33.22 0.065Metano 15.8 191.11 0.099Cloruro de metilo 65.8 416.11 0.143Nitrgeno 33.5 126.11 0.090n-octano 24.6 569.41 0.485Oxgeno 50.1 154.44 0.074Propano 42.1 370 0.200Dixido de azufre 77.7 430.55 0.122Agua 218.2 647.22 0.056Nen 26.0 44.5 0.041Argn 48.0 151 0.075Kriptn 54.3 209.4 0.092Xcnn 58 289.8 0.118Cloro 76.1 417 0.124Metiletilcetona 41.0 535.6 0.267Fren 11 43.5 471.2 0.248cido cianhdrico 53.2 456.8 0.139Brorno 102 584 0.144I'ropileno 45.5 365 0.181i-butano 36 408.1 0.263Pentano 33.3 469.8 0.311n-hexano 29.9 507.9 0.368n.heptano 27 540.2 0.426noctano 24.6 569.4 0.485nnonano 22.5 595 0.543Ciclohexano 40 553 0.308Tctracloruro de carbono 45 556.4 0.276Disulfuro de carbono 78 552 0.170Cloroformo 54 536.6 0.240Acetona 47.0 508 0.213Acetaio de etilo 37.8 253.1 0.286cido actico 57.1 594.8 0.171Bixido de nitrgeno 100 431 0.082Ciclopemano 44.5 511.8 0.26Acido clorhdrico 81.5 324.6 0.087Etanol 63 516.3 0.167i:pcntano 32.9 461 0.308Oxido de nitrgeno 65 179.2 0.058Oxido nitroso 71.7 309.5 0.096cido sulfhdrico 88.9 373.6 0.098Trixido de azufre 83.8 491.4 0.126Tolueno 40.3 593.9 0.318m-xileno 34.6 619 0.390o-xileno 35.7 631.5 0.380pxileno 33.9 618 0.37Clorobenceno 44.6 632.4 0.308Cloruro de metilo 65.9 416.2 139


144 Termodinmica

Tabla 3.24 Constantes de Van der Waals.

atm-12 1Sustancia a

gmol2b--

gmol

Dixido de azufre 6.69 0.0565

Amoniaco 4.05 0.369

Dixido de carbono 3.61 0.0428

Agua 5.464 0.0309Hidrgeno 0.244 0.0266

Acido clorhdrico 3.667 0.04081

cido sulfhdrico 4.431 0.04287

Monxido de carbono 1.485 0.03985

Cloro 6.493 0.05622

Metano 2.253 0.04278

Aire 1.33 0.0366

Etileno 4.48 0.0572

Nitrgeno 1.347 0.0386

Oxgeno 1.36 0.0319

Acetileno 4.408 0.0514

Benceno 18.798 0.1209

n-butano 14.332 0.1215

Ciclohexano 21.50 0.1401

Dietilamina 19.199 0.1393

Etano 5.425 0.0642

Helio 0.033 0.0232

n-heptano 30.93 0.2069

n-hexano 24.858 0.1768

Hidrgeno 0.244 0.0266

Isobutano 12.733 0.133

Isopentano 18.345 0.1437

Metano 2.266 0.0428

Cloruro de metilo 7.488 0.06506

n-pentano 19.055 0.1463

Propano 9.258 0.0903

Propileno 8.404 0.0832

Trixido de azufre 8.209 0.0602

MQUINAS TRMICAS Y CICLOS TRMICOS

Una mquina trmica es un dispositivo en el cual fluye calor desde unafuente de alta temperatura, permitiendo este flujo la realizacin de untrabajo en el medio ambiente; asimismo, de sta fluye una fraccin delcalor recibido hacia una fuente de menor temperatura.

Mquinas trmicas y ciclos

Segn el primer

La eficiencia de lael calor tomado de la

Para una mquin

Por otra p

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Manual del Ingeniero Químico [Antonio Valiente, Jaime Noriega]